FUNCIÓN DEFINIDA POR TRAMOS, ALGEBRA, COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Y FUNCIÓN INVERSA pdf

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(1)

M

ATEMÁTICA

PARA

INGENIEROS

F

ORMACIÓN

POR

COMPETENCIAS

FUNCIÓN DEFINIDA POR TRAMOS,

(2)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

2

Situación Motivadora

Durante las últimas décadas los incendios forestales se han

convertido en un problema ambiental prioritario, pues reducen los

bosques, degradan los suelos, desertizan el paisaje, disminuyen la

calidad de los recursos hídricos y contaminan la atmósfera. Frente

a esto es bueno prevenirlos, detectarlos y saber como controlarlos.

Entonces es necesario conocer como se extienden.

Incendios Forestales

¿Cómo

es

posible

modelar

el

área

consumida por el fuego

usando funciones reales

de variable real? ¿Qué

datos se necesitan?

(3)

LOGROS DE APRENDIZAJE

Determina el dominio y realiza la gráfica de funciones

definidas por tramos; las obtenidas por suma, diferencia,

producto, cociente, composición, e inversa de una función

inyectiva.

Modela la regla de correspondencia de funciones

relacionadas con situaciones de contexto real que involucran

definiciones y propiedades de las funciones definidas por

tramos, de las obtenidas por el álgebra y composición de

funciones, y también de las funciones invertibles.

(4)

MATEMATICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

FUNCIÓN DEFINIDA

POR

(5)

En ocasiones la regla de correspondencia de una función se

describe con varías expresiones, por ejemplo la función valor

absoluto

𝒇 𝒙 = 𝒙 =

−𝒙 ; 𝒙 < 𝟎

𝒙 ; 𝒙 ≥ 𝟎

gráficamente

Función definida por tramos

(6)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

Toda función

𝑓

real de variable real que puede ser representada

como una función definida por tramos tiene las siguientes

características:

6

Características de una Función definida por tramos

I.

La regla de correspondencia de

𝑓

se escribe como dos o más

reglas de correspondencia

𝑓

𝑖

(𝑥)

donde

𝑖

es entero positivo.

II.

Cada una de las reglas de correspondencia

𝑓

𝑖

(𝑥)

está

definida en partes distintas del dominio de

𝑓

, cada una de estas

partes es denominada “dominio de

𝑓

𝑖

” para el correspondiente

valor de

𝑖

.

III.

La unión de todos los “dominio de

𝑓

𝑖

” es el dominio de

𝑓

y

(7)

𝒇 𝒙 =

𝒇

𝟏

𝒙 ,

𝒔𝒊 𝒙 𝒑𝒆𝒓𝒕𝒆𝒏𝒆𝒄𝒆 𝒂 𝒅𝒐𝒎(𝒇

𝟏

)

𝒇

𝟐

𝒙 ,

𝒔𝒊 𝒙 𝒑𝒆𝒓𝒕𝒆𝒏𝒆𝒄𝒆 𝒂 𝒅𝒐𝒎(𝒇

𝟐

)

𝒇

𝟑

𝒙 ,

𝒔𝒊 𝒙 𝒑𝒆𝒓𝒕𝒆𝒏𝒆𝒄𝒆 𝒂 𝒅𝒐𝒎(𝒇

𝟑

)

𝒇

𝒏

𝒙 ,

𝒔𝒊 𝒙 𝒑𝒆𝒓𝒕𝒆𝒏𝒆𝒄𝒆 𝒂 𝒅𝒐𝒎(𝒇

𝒏

)

Función definida por tramos

IV.

La regla de correspondencia de una función

𝑓

que cumpla

con las característica anteriores se expresará de la siguiente

manera:

(8)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

8

Ejemplos para mostrar en clase

(9)

Ejemplos para mostrar en clase

(10)

Matemática para Ingenieros Dirección de Estudios Generales

10

Ejemplos para mostrar en clase

Ejemplo 3.

En un plano cartesiano grafique la funciones definidas

por:

Resolución:

𝑓 𝑥 =

2, 𝑠𝑖 𝑥 ∈] − ∞; 1

−3, 𝑠𝑖

𝑥 ∈ 1; 4

g

𝑥 =

−1, 𝑠𝑖 𝑥 < 2

5, 𝑠𝑖 𝑥 = 2

2, 𝑠𝑖 𝑥 > 2

ℎ 𝑥 =

2𝑥 − 1, 𝑠𝑖 𝑥 ∈] − ∞; 2

−3𝑥 + 6, 𝑠𝑖

𝑥 ∈ 3; ∞

𝑞 𝑥 =

(11)

Ejemplos para mostrar en clase

Ejemplo 4.

En cada caso determine la regla de correspondencia en

forma explicita por tramos y grafique:

a)

𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑥

b)

𝑓 𝑥 =

𝑥

𝑥

(12)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

Resolución:

4

Ejemplos para mostrar en clase

Ejemplo 5.

Grafique

𝑓 𝑥 =

2𝑥 + 3 ;

𝑥 < 0

𝑥

2

; 0 ≤ 𝑥 < 2

1

;

𝑥 > 2

0

y

(13)

Resolución:

Ejemplos para mostrar en clase

Ejemplo 6.

Grafique

𝑓 𝑥 =

𝑥

2

− 4

𝑥 − 2

; 𝑥 ≠ 2

3

; 𝑥 = 2

0

y

(14)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

Resolución:

4

Ejemplos para mostrar en clase

(15)

Resolución:

Ejemplos para mostrar en clase

Ejemplo 8.

Suponga que los costos por envío de encomiendas son:

S/. 16,20 por kilo si el peso no excede 50 kg; S/16,10 por kilo si el peso

es mayor que 50 kg pero no excede 100 kg; S/ 16,05 por kilo si el peso

es mayor que 100 kg.

a) Modele el costo total de una encomienda como una función de su

peso.

b) Determine el costo de una encomienda que peso 53 kg 30 kg y 110

kg.

(16)

MATEMATICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

(17)

Dadas dos funciones reales de variable real

𝑓

y

𝑔

definidas

por:

𝑦 = 𝑓 𝑥 ,

𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚(𝑓)

𝑦 = 𝑔 𝑥 ,

𝑥 ∈ dom(𝑔)

Podemos realizar con estas dos funciones las siguientes

operaciones básicas:

OPERACIÓN NOMBRE CORRESPONDENCIA REGLA DE DOMINIO

ADICION 𝑓 + 𝑔 (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) 𝑑𝑜𝑚 𝑓 + 𝑔 = 𝑑𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝑑𝑜𝑚(𝑔)

SUSTRACCION 𝑓 − 𝑔 (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑜𝑚 𝑓 − 𝑔 = 𝑑𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝑑𝑜𝑚(𝑔)

MULTIPLICACION 𝑓 ⋅ 𝑔 (𝑓 ⋅ 𝑔)(𝑥) = 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑜𝑚 𝑓 ⋅ 𝑔 = 𝑑𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝑑𝑜𝑚(𝑔)

DIVISION 𝑓

𝑔 (

𝑓

𝑔)(𝑥) = 𝑓 𝑥

𝑔 𝑥 𝑑𝑜𝑚 𝑓

𝑔 = 𝑑𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝑑𝑜𝑚 𝑔 − {𝑥 𝑔 𝑥 = 0}

(18)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

Resolución:

Paso1.

Primero se intersectan los dominios de las funciones

Ejemplos para que analice el estudiante

Ejemplo 9

.

Dadas las funciones:

𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 3

,

−4 < 𝑥 ≤ 2

𝑔 𝑥 = 𝑥

2

− 1,

−2 ≤ 𝑥 < 4

Determine, de ser posible, las funciones:

(

𝑓 + 𝑔); 𝑓 − 𝑔 ; (𝑓 ⋅ 𝑔)

y (

𝑓

𝑔

)

𝑑𝑜𝑚 𝑓 :

−4

2

𝑑𝑜𝑚 𝑔 :

(19)

𝑑𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝑑𝑜𝑚 𝑔 = −2; 2]

−4

−2

2

4

Dominio para la:

ADICIÓN

SUSTRACCIÓN

MULTIPLICACIÓN

Determinar los puntos

𝑥

donde la función

𝑔

es cero, para ello se

resuelve la

ecuación

:

𝑔 𝑥 = 0,

𝑥

2

− 1 = 0 ⇒ 𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = −1

Para la DIVISIÓN

Luego:

𝑑𝑜𝑚

𝑓

𝑔

= −2; 2 − {1; −1}

Ejemplos para que analice el estudiante

(20)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

𝒇 + 𝒈 𝒙

= 3𝑥 + 3 + 𝑥

2

− 1

=

𝒙

𝟐

+ 𝟑𝒙 + 𝟐

,

𝒙 ∈ −𝟐; 𝟐]

𝒇 − 𝒈 𝑥

= 3𝑥 + 3 − 𝑥

2

− 1

=

−𝒙

𝟐

+ 𝟑𝒙 + 𝟒,

𝒙 ∈ −𝟐; 𝟐]

𝒇 ⋅ 𝒈 𝒙

= 3𝑥 + 3 𝑥

2

− 1

=

𝟑𝒙

𝟑

+ 𝟑𝒙

𝟐

− 𝟑𝒙 − 𝟑,

𝒙 ∈ −𝟐; 𝟐

]

𝒇

𝒈

𝒙

=

3𝑥+3

𝑥2−1

=

𝟑

𝒙−𝟏

,

𝒙 ∈ −𝟐; 𝟐 − {−𝟏; 𝟏}

20

Ejemplos para que analice el estudiante

(21)

Resolución:

Paso1.

Primero intersectar los dominios de las funciones

Ejemplos para que analice el estudiante

Ejemplo 10.

Dadas las funciones:

𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2

,

𝑔 𝑥 = 16 − 𝑥

2

Determine, de ser posible, las funciones:

(

𝑓 + 𝑔); 𝑓 − 𝑔 ; 𝑓 ⋅ 𝑔

y (

𝑓

𝑔

)

𝐷𝑜𝑚 𝑓 :

(22)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

22

𝐷𝑜𝑚 𝑔 :

Tenemos

; 16 − 𝑥

2

≥ 0 → 𝑥 − 4 𝑥 + 4 ≤ 0,

Entonces los puntos críticos son:

𝑥 = −4, 𝑥 = 4.

−4

4

+

+

Se tiene que:

𝑑𝑜𝑚 𝑔 = −4; 4 ,

luego hallando la intersección de los dominios:

2

−4

4

(23)

𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 = 2; 4]

Dominio para la:

ADICIÓN

SUSTRACCIÓN

MULTIPLICACIÓN

𝒇 ± 𝒈 𝒙

= 𝑥 − 2 ± 16 − 𝑥

2

𝒙 ∈ 𝟐; 𝟒]

𝒇 ⋅ 𝒈 𝒙

= 𝑥 − 2. 16 − 𝑥

2

= (𝑥 − 2)(16 − 𝑥

2

)

𝒙 ∈ 𝟐; 4

]

Para la DIVISIÓN

𝑔 𝑥 ≠ 0 ⟹ 𝑥 ≠ −4, 𝑥 ≠ 4 ⟹

𝒇

𝒙

=

𝑥−2

=

𝑥−2

𝒙 ∈ 𝟐; 𝟒

Ejemplos para que analice el estudiante

Paso 2

.

𝑑𝑜𝑚

𝑓

𝑔

= 2; 4

(24)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

Resolución:

4

Ejemplos para mostrar en clase

Ejemplo 11.

Dadas las funciones.

𝑓 = { 2; 4 , 3; −7 , 5; 2 , 7; 1 , 8; 4 , (−10; 1)}

𝑔 = { 3; 2 , 5; 0 , 7; −2 , 8; 7 , (9; −10)}

Determine, de ser posible, las funciones:

(25)

Resolución:

Ejemplos para mostrar en clase

Ejemplo 12.

Sean las funciones.

𝑓: 𝑅 → 𝑅 𝑦 𝑔: 𝑅 → 𝑅,

definidas por:

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥

2

y g

𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏

, si se cumple la siguiente identidad:

2𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 =

𝑥

2

+ 2𝑥 + 3, ∀𝑥 ∈ 𝑅.

(26)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

Resolución:

Ejemplos para que analice el estudiante

Ejemplo 13.

En la figura adjunta; determinar:

La gráfica de la función

𝑓 + 𝑔.

La regla de correspondencia de la función

𝑓

.

La regla de correspondencia de la función

𝑔.

La regla de correspondencia de la función

𝑓 + 𝑔 ,

indicando su

dominio.

(27)

f

g

D

O

M

I

N

I

O

E

N

C

O

M

Ú

N

(– 4; 0)

(– 4; 5)

f + g

Ejemplos para que analice el estudiante

(28)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

28

Ejemplos para que analice el estudiante

Paso2.

Determinar la regla de correspondencia de la función

𝑓

. Para ello, considerar sus

dos tramos lineales de la siguiente forma:

Tramo1.

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏; −5 ≤ 𝑥

<

0

Puntos de paso.

−5; 6 y (0; 1)

Reemplazamos en 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏

6 = −5𝑎 + 𝑏

1 = 0 𝑎 + 𝑏

Al resolver, 𝑎 = −1 y 𝑏 = 1

(29)

Ejemplos para que analice el estudiante

Tramo 2.

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏; 0 ≤ 𝑥 ≤ 2

Puntos de paso.

0; 1 y (2; 3)

Reemplazando en 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏

1 = 0(𝑎) + 𝑏

3 = 2𝑎 + 𝑏

Al resolver, 𝑎 = 1

y

𝑏 = 1

𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1

Finalmente, la regla de correspondencia de la función

𝑓

es:

(30)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

30

Ejemplos para que analice el estudiante

Paso3.

De forma análoga, determinar la regla de correspondencia de la función

𝑔

y la función

𝑓 + 𝑔

.

𝑔 𝑥 =

−𝑥 − 4 ; −4 ≤ 𝑥 < −3

𝑥 + 2

; −3 ≤ 𝑥 ≤ 1

(𝑓 + 𝑔) 𝑥 =

−2𝑥 − 3 ; −4 ≤ 𝑥 < −3

3 ; −3 ≤ 𝑥 < 0

2𝑥 + 3

; 0 ≤ 𝑥 ≤ 1

(31)

Resolución:

Ejemplos para que analice el estudiante

Ejemplo 14.

Sean las funciones:

Determine el gráfico de:

𝑓 − 𝑔.

𝑔 𝑥 = 3𝑥 + 3, −4 < 𝑥 ≤ 2

𝑓 𝑥 = 𝑥

2

− 1, −2 ≤ 𝑥 < 4.

20 15 10 5 0 -5 -10 -15 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 20 15 10 5 0 -5 -10 -15 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 D O M I N I O E N C O M Ú

g

f

f – g

Observación

:

(32)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

Resolución:

4

Ejemplos para mostrar en clase

Ejemplo 15.

Sean las gráficas de las funciones

𝑓

y

𝑔

, en la figura

adjunta .

a) Grafique la función

𝑓 + 𝑔

b) Determine la regla de correspondencia de la función

𝑓 + 𝑔

(33)

COMPOSICIÓN

DE

(34)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

Definición:

34

Sean

𝑓

y

𝑔

dos funciones, la composición de

𝑓

con

𝑔

es la

función

𝑓o𝑔

definida por:

𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥

Donde el dominio de

𝑓o𝑔

es el conjunto de todas las

𝑥

en

el dominio de

𝑔,

tales que

𝑔(𝑥)

está en el dominio de

𝑓.

Es decir:

(35)

Composición de funciones

Composición de f con g

x

g

f

dom(g)

ran(g)

dom(f)

ran(f)

g

(

x

)

f(g(x))

f

g

=(f

g)(x)

𝑑𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔)

(36)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

Composición de funciones

Composición de g con f

36

x

f

g

dom(f)

ran(f)

dom(g)

ran(g)

f

(

x

)

g(f(x))

g

o

f

=(gof)(x)

𝑑𝑜𝑚(𝑔𝑜𝑓)

(37)

Ejemplos para que analice el estudiante

Ejemplo 16

.

Determine:

𝑓𝑜𝑔

,

indicando su dominio; si:

𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 2; 𝑥 ∈ −4; 7

y

𝑔 𝑥 = 5𝑥 − 3; 𝑥 ∈ −2; 10

Resolución:

𝑑𝑜𝑚(𝑓𝑜𝑔) = {𝑥/𝑥 ∈ −2; 10

5𝑥 − 3 ∈ −4; 7 }

−2 ≤ 𝑥 ≤ 10

intersección

−4 ≤ 5𝑥 − 3 ≤

7

(38)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

Ejemplos para que analice el estudiante

38

−2 ≤ 𝑥 ≤ 10

15

≤ 𝑥 ≤

2

−2

1

5

2

10

Entonces

:

𝑑𝑜𝑚(𝑓𝑜𝑔) = −

1

5

; 2

𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥

= 𝑓 5𝑥 − 3 = 3 5𝑥 − 3 − 2

𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 15𝑥 − 11, ∀ 𝑥 ∈ −

1

5

; 2 .

(39)

Resolución:

Ejemplos para mostrar en clase

Ejemplo 18.

Dadas las funciones.

𝑓 𝑥 = 𝑥

2

+ 2; 𝑥 > 1,

𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 3; 𝑥 ∈ −1; 3

Determine, de ser posible, las funciones:

(40)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

Ejemplos para que analice el estudiante

Ejemplo 19.

Dadas las funciones

Resolución:

𝑓 = −3; 2 , −1; 5 , 0; 3 , 2; 2 , 3; −2

𝑔 = { −3; 0 , 0; 2 , 3; 2 , 5; 3 , (6; 1)}

Determine

𝑓𝑜𝑔

−3

0

3

5

6

0

2

3

1

g

−3

−1

0

2

3

2

5

3

−2

f

Luego:

(41)

Resolución:

Ejemplos para mostrar en clase

Ejemplo 20.

Dadas las funciones

.

𝑓 = 2; 4 , 3; −7 , 5; 2 , 7; 1 , 8; 4 , (−10; 1)

𝑔 = { 3; 2 , 5; 0 , 7; −2 , 8; 7 , (9; −10)}

(42)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

Resolución:

4

Ejemplos para mostrar en clase

Ejemplo 21.

Dadas las funciones

.

𝑓 𝑥 = 𝑥

2

− 2𝑥; 𝑥 ∈ −1; 7

𝑔 𝑥 =

1 − 2𝑥,

𝑥 ∈ −∞; −1

𝑥 + 2,

𝑥 ∈ 2; +∞

(43)

Resolución:

Ejemplos para mostrar en clase

Ejemplo 22.

Suponga que el volumen de un cubo es

𝑣 𝑥 = (4𝑥 − 3)

3

. Exprese 𝑣 como una composición

(44)

M

ATEMÁTICA

PARA

INGENIEROS

F

ORMACIÓN

POR

COMPETENCIAS

(45)

Una función

𝑓

, con dominio D es una función biunívoca

si cumple una de las condiciones siguientes:

Si

𝒂 ≠ 𝒃

en

D

, entonces

𝒇 𝒂 ≠ 𝒇(𝒃)

Si

𝒇 𝒂 = 𝒇(𝒃)

,

entonces

𝒂 = 𝒃

en

D

Funciones Biunívocas

Observación:

1.

A la funciones biunívocas también se les conoce como

funciones inyectivas o funciones uno a uno.

2.

Una función

f

es biunívoca

si y sólo sí toda recta

horizontal intercepta a su gráfica a lo más en un punto.

3.

Una función creciente es

biunívoca

.

(46)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

46

Funciones Biunívocas

En resumen:

Función Biunívoca

Definición Representación Sagital

Representación Cartesiana

Sea

f(x)

una función con

dominio

D

.

Se denominará

Biunívoca,

si entonces:

f a

( )

f b

( )

, a,b

( ).

a

b

Dom f

a b c n p q

f

46 4 2 0 -2 -4 -6 3 2 1 0 -1 -2 -3 4 2 0 -2 -4 -6 3 2 1 0 -1 -2 -3 y=x3

La línea horizontal corta en un solo punto a la gráfica

y

(47)

Resolución:

Ejemplos para mostrar en clase

Ejemplo 23.

¿Cuáles de las gráficas mostradas

representan funciones inyectivas?

a)

                 f x f(x)

b)

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x y

x

(48)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

48

Funciones Inversas

Si

f

es una

función biunívoca

, entonces la función

inversa

de

f

se denota por

f

–1

.

A

B

f

a.

b.

c.

d.

.f(a)

.f(b)

.f(c)

.f(d)

dom(f)

ran(f)

(49)

Funciones Inversas

Sea

𝒇: 𝑨 → 𝐁

una función inyectiva con dominio

𝑨

y

rango

𝑩

.

Entonces su función inversa

𝒇

−𝟏

tiene dominio

𝑩

y rango

𝑨

y esta definida por:

𝒇

−𝟏

𝒚 = 𝒙 ↔ 𝒇 𝒙 = 𝒚

para cualquier

𝒚

en

𝑩

.

𝒇

−𝟏

es la función

inversa de

f .

1

1

( )

( )

f

x

f x

Definición

(50)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

50

Funciones Inversas

1. Verifique que

𝒇

sea inyectiva, (Indique, si hay las

restricciones sobre el dominio de

𝒇 ;

observe que podría

ser necesario imponer alguna para obtener una versión

inyectiva de

𝒇

)

2. Determine la regla de correspondencia de

𝒇

−𝟏

despejando

𝒙

de

𝒚 = 𝒇 𝒙 .

3. Intercambie

𝒙

y

𝒚

en la regla

𝒇

−𝟏

𝒚 = 𝒙

.

4. Indique cualquier restricción sobre el dominio de

𝒇

−𝟏

.

(51)

Funciones Inversas

Verifique que al efectuar la composición resulte la

identidad, es decir:

𝒇

−𝟏

𝒇(𝒙) = 𝒙, ∀𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎(𝒇)

𝒇 𝒇

−𝟏

(𝒙) = 𝒙, ∀𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎(𝒇

−𝟏

)

Importante:

La gráfica de la función inversa

𝒇

−𝟏

es simétrica con

𝒇

,

respecto a la recta

𝑦 = 𝑥.

(52)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

Ejemplos para que analice el estudiante

Ejemplo 24.

En el gráfico adjunto; a partir de

𝒇

, graficar

𝒇

−𝟏

.

Resolución

:

        

      

f

x

y

y=x

f

:{…,(–3; 0), (–1; 1), (1; 2),…

}

f

-1

={...(0; –3), (1; –1), (2; 1),…}

(53)

Resolución:

Ejemplos para mostrar en clase

Ejemplo 25.

En el gráfico adjunto, partir de

𝑓

,

graficar

𝑓

−1

indicando su dominio y rango

(54)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

54

Funciones Inversas

¿Por qué una función tiene que ser inyectiva para que

tenga inversa?

Observación:

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x y

f

y=x

𝒇

−𝟏

Por no ser

inyectiva

la

función

𝒇

, al trazar la

gráfica simétrica respecto

de la recta

𝒚 = 𝒙

,

(55)

Resolución:

Ejemplos para mostrar en clase

Ejemplo 26.

En cada caso determine

𝑓

−1

indicando su dominio y

rango. Para comprobar su resultado muestre que

𝑓

−1

𝑓 𝑥 = 𝑥

a)

𝑓 𝑥 = 𝑥

3

+ 1;

b)

𝑓 𝑥 = 2 + 3 − 𝑥

3

(56)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

56

Ejemplos para mostrar en clase

Ejemplo 27.

Indique el valor de verdad (V) o (F), para cada una

de las siguientes proposiciones. En cada caso justifique su

respuesta en forma clara y precisa.

a) Si la gráfica de la función

𝒇

se muestra a continuación:

x

y

x =1, Asíntota vertical y =1, Asíntota horizontal

Entonces su función inversa

𝒇

−𝟏

es

creciente en su dominio.

b) La función

𝒈 𝒙 = 𝟐𝟓 − 𝒙

𝟐

,

es inyectiva.

c) Toda función lineal de la forma

𝑓 𝒙 = 𝒎𝒙 + 𝒃,

donde

𝒎 ≠ 𝟎,

tiene inversa.

d) Para la función

𝒇

donde

𝑓 𝒙 = 𝟓𝒙 + 𝟗,

se cumple que

(57)

Resolución:

Ejemplos para mostrar en clase

Ejemplo 28.

La función:

𝑝 = 𝑝 𝑞 =

1 200 000

𝑞

, 𝑞 > 0, expresa el

sueldo 𝑝 de una actriz, por película, como una

función del número de películas 𝑞 que protagoniza.

Exprese el número de cintas en las que actúa, en

términos de su sueldo por película. Muestre que la

expresión es una función de 𝑝.

Muestre que la función resultante es inversa a la

(58)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

36 F ORM AC IO N BA SI CA

CINCO COSAS QUE DEBEMOS RECORDAR

1.

Para evaluar cierto valor en una función definida por tramos,

debemos evaluarlo en el tramo donde la función está

definida para ese valor.

2.

Antes de definir la regla de correspondencia de una función

que resulta de usar el álgebra de funciones, debemos

determinar su dominio.

3.

Antes de dar la regla de correspondencia de una función

compuesta, debemos determinar su dominio.

4.

Antes de aplicar la regla de la línea horizontal para

determinar si una función es inyectiva, asegúrese que la

gráfica corresponde a una función.

5.

Para realizar la gráfica de

𝒇

−𝟏

, refleje

𝑓

respecto a la recta

(59)

F

ORM

AC

IO

N

BA

SI

CA

Tome su tiempo para reflexionar antes de responder las

siguientes preguntas:

Sobre la gráfica y modelado de las funciones por

tramos, las originadas usando álgebra y composición de

funciones y la función inversa

1.

¿Se te presentó alguna dificultad para graficar y modelar

estas funciones?

2.

¿Cual o cuales de estas funciones te resulta más difícil

de graficar y modelar?

3.

¿Qué acciones tomaste para superar estas dificultades?

4.

Finalmente, ¿crees que superaste las dificultades?

(60)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

38

ACTIVIDADES DE EXTENSIÓN

En el panorama del caso

“Incendios forestales”, presentado al

inicio de la semana, si un incendio forestal comienza en un

campo abierto y seco, propagándose en forma de círculo, cuyo

radio aumenta a una razón de 5 m/min. ¿Cuál es el área

afectada después de t minutos)?

(61)

REFERENCIAS

1. Demana F. y otros.

Precálculo: gráfico, númérico y

algebraico

. Pearson Education. México. 2007.

2. Figueroa R. .

Geometría Analítica

. Pearson Education.

Lima. 1991.

3. Lehman C.

Geometría Analítica

. Ed. Limusa. México.

1980.

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