Tema de dinamica (1º de Bachillerato) (1) pdf

1. Introducción Hasta el momento hemos estudiado el movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta sus causas. En este capítulo, estudiaremos las causas del movimiento y la forma como unos cuerpos influyen en el movimiento de otros.

La dinámica es la parte de la Física que estudia los movimientos de los cuerpos en relación a las causas que los originan. Estas causas son las interacciones; una interacción es, en Física, cualquier mecanismo por el que dos o más partículas, suficientemente próximas, cambian el estado de movimiento. La intensidad de una interacción se expresa cuantitativamente a través de una magnitud vectorial que se denomina fuerza. Y, así la acción de una fuerza sobre una partícula provoca, en general, un cambio en su velocidad instantánea. Ejemplos de fuerzas, son:

Gravitatoria: entre masas (Ley de la gravitación de Newton). Eléctrica: entre cargas (Ley de Coulomb de la Electrostática). Magnética: entre cargas en movimiento.

Fuerte: entre nucleones (protones y neutrones) en el núcleo atómico, y entre partículas elementales pesadas.

Débil: entre las partículas elementales ligeras, y éstas y las más pesadas. entre otras.

2. Principios fundamentes de la dinámica. Leyes de Newton Las ideas básicas de la dinámica fueron enunciadas por Galileo, a raíz de una serie de experiencias realizadas con planos inclinados. Y, de forma resumida, estableció que:

a) Es necesaria una influencia externa para poner un cuerpo en movimiento, pero no es necesaria una influencia externa para conservar el movimiento de un cuerpo

b) Los estados naturales de un cuerpo son el reposo y el movimiento rectilíneo y uniforme.

c) Todo cuerpo tiende, por naturaleza, a conservar su estado natural mientras que no haya una causa exterior que los modifique.

d) Esta tendencia de los cuerpos a conservar su estado natural se llama inercia1.

e) La causa capaz de vencer la inercia de un cuerpo es la interacción con otros cuerpos. f) El movimiento de un cuerpo es el resultado de la interacciones que existen entre él y

los cuerpos que le rodean

g) La interacción entre dos cuerpos recibe el nombre de fuerza.

Las observaciones de Galileo fueron recogidas por Newton, junto a sus propios estudios, en su obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Principios Matemáticos de la Filosofía Natural), en 1686.

En lo que a nosotros se refiere, primero enunciaremos una serie de definiciones y luego las leyes o axiomas de los movimientos.

1º) La cantidad de materia es la medida de la misma, surgida de su densidad y magnitud conjuntamente.

En esta primera definición, Newton utiliza la densidad y el volumen (magnitud) para definir la masa:

V d

m 

donde "d" es la densidad, "V" el volumen y "m" la masa o cantidad de materia, ya que como Newton añade: Es esa cantidad la que en lo sucesivo menciono bajo el nombre de masa o cuerpo. La misma se da a conocer mediante el peso de cada cuerpo: pues la masa es proporcional al peso como he descubierto por experimentos muy precisos con péndulos.

1

2. La cantidad de movimiento es la medida del mismo, surgida de la velocidad y la cantidad de materia conjuntamente.

En esta segunda definición, Newton enuncia lo que hoy se conoce como cantidad de movimiento o momento lineal, definido por:

v

m

p







poniendo de manifiesto que el comportamiento dinámico de una partícula no sólo depende de la velocidad, sino que interviene la masa. Basta pensar en dos objetos, un elefante y un mosquito, que tengan la misma velocidad, y en la forma que hemos de actuar para alterar su estado de movimiento, por ejemplo pararlos.

3. La fuerza insita de la materia es un poder de resistencia de todos los cuerpos, en cuya virtud perseveran cuanto está en ellos por mantenerse en su estado actual, ya sea de reposo o de movimiento uniforme en línea recta.

En esta tercera definición Newton recoge los elementos ya formulados por Galileo, para declarar que la inercia es una fuerza insita de la materia. Es decir, una propiedad de la materia en sí misma.

4. La fuerza impresa es una acción ejercida sobre un cuerpo para cambiar su estado, bien sea de reposo o de movimiento uniforme en línea recta.

También aquí, Newton, hace uso de los resultados de Galileo, para indicar que es la acción de las fuerzas exteriores (fuerzas impresas) la que modifican los estados naturales de los cuerpos. Además Newton indica que estas fuerzas no acompañan a los cuerpos, sino que son instantáneas.

Veamos ahora, las leyes o axiomas del movimiento. Estas son tres:

I. Todos los cuerpos perseveran en su estado de reposo o de movimiento uniforme en línea recta, salvo que se vean forzados a cambiar ese estado por fuerzas impresas.

Esta ley actualmente se conoce como Ley de la Inercia, y nos indica que toda partícula no sometida a interacción conserva constante su estado de movimiento; es decir, se mueve libremente. Por tanto, al mantener constante su velocidad, el movimiento libre de una partícula tendrá la apariencia de un movimiento rectilíneo uniforme.

También nos aclara el concepto de inercia como la tendencia de cualquier objeto a continuar su estado de movimiento (a velocidad constante en línea recta) o en su estado de reposo, siendo la inercia lo que debemos vencer para alterar dicho estado. Así pues, la inercia presenta un doble aspecto, por un lado es un poder de resistencia, ya que debemos vencerla para iniciar el movimiento de un cuerpo, y es un poder de impetu ya que es la inercia la que se opone a que un cuerpo en movimiento, aminore su velocidad o se pare.

Obsérvese que si un cuerpo está en movimiento uniforme sobre una línea recta, una fuerza que forme un ángulo recto con la dirección del movimiento del cuerpo no afectará al movimiento de avance. Basta recordar lo estudiado en el movimiento de proyectiles, ya que estos en la dirección OX poseen un movimiento uniforme, que no se ve (en la dirección del eje OX) afectado por la acción de la gravedad (que es perpendicular a dicha dirección).

II. El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa, y se hace en la dirección de la línea recta en la que se imprime esa fuerza.

dt

p

d

F







si bien, una formulación más simple, debida a Euler, es la siguiente:

a m dt

v d m dt

v m d dt

p d

F 

 

 

 

 

es decir:

a

m

F







expresión que recibe el nombre de ecuación fundamental de la dinámica de traslación, y en la que se relaciona la fuerza externa, con la masa del objeto y la aceleración sufrida.

Notemos que la formulación original es mucho más amplia, ya que en la deducción realizada por Euler, se está considerando que la masa del objeto es constante.

Veamos ahora una serie de implicaciones de esta segunda ley:

a) De la expresión anterior se deduce que la cantidad de materia (masa) del objeto es la constante de proporcionalidad entre la fuerza y la aceleración ocasionada, de manera que realizando una misma fuerza sobre objetos diferentes, obtenemos aceleraciones mayores (menores) cuanto menores (mayores) sean las cantidades de materia de los objetos. En otras palabras, la inercia queda reflejada en la cantidad de materia, de hecho, la cantidad de materia así considerada, se denomina masa inercial.

Incluso, se considera que esta segunda ley sirve para definir la masa inercial de un objeto.

b) Si consideramos una partícula libre, es decir, sobre la que no actúan fuerzas impresas, entonces:

cte. v 0 dt

v d a m

0   

 

es decir que el movimiento correspondiente es uniforme y en línea recta. En otras palabras, recuperamos la Ley de la Inercia.

c) Esta segunda ley, también, nos proporciona un sistema de unidades para la fuerza, ya que la ecuación dimensional correspondiente será:

 

-2

T

L

M

F



y así:

Sistema Internacional (S.I) kg.m.s-2 = Newton

Sistema Gegesimal (C.G.S) g.cm.s-2 = Dina

Sistema Técnico u.t.m m s-2 = Kilopondio2

d) También, esta segunda ley nos proporciona una escala de masas. En efecto supongamos que sobre una serie de objetos de masas m1, m2, m3, etc, sobre los cuales aplicamos una misma fuerza "F", tendremos entonces:

2

... ;... a m F ; a m F ; a m

F _{1 1}  _{2 2}  _{3 3}

de donde

3 1 1 3 3

2 1 1 2 2

a a m a

F m

a a m a

F m

 

 

etc. Por tanto, tomando "m1" como patrón y determinando las magnitudes cinemáticas "a1", "a2", "a3", ..., obtenemos una escala de determinación de masas.

Además estas relaciones, nos indican que la masa es una magnitud escalar, ya que fuerzas y aceleraciones son magnitudes vectoriales que poseen las mismas direcciones.

(e) También nos permite conocer las causas de cada uno de los movimientos fundamentales:

1. Si un cuerpo tiene un movimiento rectilíneo y uniforme la resultante de las fuerzas que actúan sobre él es nula.

2. Una fuerza instantánea produce un movimiento rectilíneo y uniforme.

3. Una fuerza constante ocasiona un movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado.

4. Una fuerza constante en módulo y sentido, pero que cambia constantemente su dirección ocasiona un movimiento circular uniforme.

III. Para toda acción hay siempre una reacción opuesta e igual. Las acciones recíprocas de dos cuerpos entre sí son siempre iguales y dirigidas hacia las partes contrarias.

Esta tercera ley se denomina Principio de acción y reacción. Si designamos por F₁

 la

fuerza sobre la partícula 1 debido a su interacción sobre la partícula 2, y por F₂la fuerza sobre la partícula 2 debido a su interacción con la partícula 1, esta tercera ley se escribe:

2 1

-

F

F







que teniendo en cuenta la segunda ley de Newton, en su versión original, nos lleva a

dt p d -dt

p

d₁ ₂



de modo que las variaciones (vectoriales) instantáneas de la cantidad de movimiento de las partículas, en cualquier instante, t, son iguales y opuestas.

Veamos que falla en este razonamiento: En la figura se han dibujado las fuerzas que nos interesan (no hemos dibujado ni los pesos y correspondientes normales ni las posibles fuerzas de rozamiento), según podemos ver sobre el carro se ejerce una fuerza F que

será igual y de sentido opuesto a la fuerza que se ejercerá sobre el caballo, F



 , y que como se ejerce sobre el caballo no tiene ninguna influencia en el movimiento del carro. Es decir, las mencionadas fuerzas no pueden equilibrarse ya que actúan sobre objetos (caballo y carro) diferentes. En otras palabras únicamente se suman las fuerzas que actúan sobre un mismo cuerpo.

Otra importante consecuencia de la tercera ley de Newton es la siguiente: Supongamos dos objetos aislados de su medio ambiente, de forma que las únicas fuerzas que actúan sobre ellos son las que se ejercen entre sí. Sea F₁



la fuerza ejercida

sobre el cuerpo 1, de masa m1 y velocidad

v



₁ y F₂ la fuerza ejercida sobre el cuerpo 2 de masa m2 y velocidad

v

2



. Según la tercera ley :

dt p d -dt

p

d₁ ₂



o bien



m v m v



0 dt

d dt

v d m dt

v d

m 2 _{1 1 2 2}

2 1

1    

 

 

es decir:

cte.

v

m

v

m

₁



₁



₂



₂



expresión que se denomina principio de conservación de la cantidad de movimiento y que resulta fundamental a la hora del estudio de los choques o colisiones.

4. Tensiones.- El concepto de tensión se refiere a la fuerza que soporta una cuerda o elemento que sirve de unión entre cada una de las partes que compone un mismo sistema.

objeto. Es la cuerda la que soporta al objeto y debe hacerlo con una fuerza igual al peso. Esta fuerza recibe el nombre de tensión. Además, aplicando el principio de acción y reacción, esta tensión debe también manifestarse sobre la mano tal como se indica en la figura anteriormente mencionada.

En realidad, lo mencionado en el párrafo anterior únicamente es cierto si se supone que la cuerda carece de masa y además es inextensible, lo que hace que la tensión sea la misma en todos los puntos de la cuerda.

Es necesario tener en cuenta que en cada cuerda o elemento que una partes diferentes de un sistema habrá distintas tensiones.

A sí mismo en las dos ramas de una misma cuerda que pase por la garganta de una polea, la tensión será la misma a condición de que la polea no tenga masa.

5. Fuerzas de rozamiento .- Cuando dos cuerpos se hallan en contacto se ejercen fuerzas entre sí debido a la interacción de las moléculas de un cuerpo con las del otro.

Supongamos un bloque situado sobre una superficie, tal como se ve en la figura. El peso del bloque hace que éste presione sobre la superficie. Como las moléculas de la superficie tienen una gran resistencia a la compresión, la superficie ejercerá una fuerza hacia arriba sobre el bloque, esta fuerza es perpendicular a la superficie y recibe el nombre de normal, tal como ya se ha dicho, y que será exactamente igual a la fuerza que el bloque ejerce sobre la superficie(salvo, que el bloque sea tan pesado que rompa la superficie). Evidentemente, si se empuja hacia abajo el bloque o se le añade un sobrepeso, la superficie ejercerá una fuerza de soporte mayor que el peso del objeto.

En circunstancias normales, es decir sin que la superficie se rompa, una observación macroscópica no pondría de manifiesto ningún tipo de deformación debida a la compresión. Sin embargo, una medida cuidadosa demostraría que la superficie de soporte se deforma ligeramente en respuesta a la carga. Esto hace que exista una resistencia que se opone al movimiento relativo entre los dos cuerpos. Supongamos por ejemplo, que empujamos el bloque a lo largo de la superficie, dándole una cierta velocidad. Después de soltado, disminuye su velocidad hasta que se para. Esta resistencia se denomina fricción por deslizamiento o fuerza de rozamiento de deslizamiento.

Así pues, este fenómeno es complejo ya que depende de muchos factores, tal como es la naturaleza de los cuerpos, la velocidad relativa con que se mueven, etc. Si bien desde un punto de vista macroscópico y de forma experimental se pueden enunciar las siguientes leyes:

1º.- De forma aproximada la fuerza de fricción entre dos superficies es independiente de la velocidad2.

2º.- La fuerza de rozamiento es proporcional a la normal ejercida por la superficie de apoyo:

2

N

f

_r





donde "



" es un coeficiente, característico de la pareja de superficies que se encuentren en contacto, que se denomina coeficiente de rozamiento y es independiente del área de contacto.

En realidad, para dos cuerpos dados, debería diferenciarse entro dos tipos de coeficientes de rozamiento: estático



_e y dinámico ocinemático



_c.

El coeficiente de rozamiento estático es el valor por el que hay que multiplicar el valor de la normal para que nos indique la fuerza mínima que hay que ejercer para poner en movimiento relativo a los dos cuerpos en contacto, e inicialmente en reposo.

Por contra el coeficiente de rozamiento cinético es el número que al ser multiplicado por la normal nos indica el valor de la fuerza necesaria para mantener a los dos cuerpos en movimiento relativo uniforme.

Para todos los materiales conocidos se ha encontrado que:

c







Es evidente, según lo dicho, que en la práctica una buena parte de la energía producida se utiliza para vencer los rozamientos; sin ellos, un coche lanzado por un camino llano conservaría su marcha sin gastar gasolina, o un tren sin consumir combustible alguno, etc. Cabe pensar, entonces, que la existencia de rozamientos representa un gran inconveniente, y sin embargo no es así. Si no hubiese rozamientos, el coche no podría iniciar la marcha ni nosotros caminar. Sin rozamientos no habría tejidos, ni servirían para nada los clavos. Así pues son mayores las ventajas que los inconvenientes.

Podemos medir



_e y



_c para dos superficies simplemente colocando un bloque sobre una superficie plana e inclinándola hasta que el bloque comienza a deslizar . Sea



_c el ángulo crítico

para el que se inicia el deslizamiento. Para ángulo inferiores a



_c, el bloque

está en equilibrio estático debido a las fuerzas normal, de rozamiento y el peso. Tendremos entonces, aplicando la segunda ley de Newton:

0

N

-sin

mg

0

cos

mg

-N

e c

c











de donde:

c tag





e 

Para ángulos superiores a



_c, "







_c", el bloque comienza a deslizar con una

cierta aceleración "a", y así:

a m N -sin mg

0 cos mg -N

c 









de donde, obtenemos:



sin



-



cos





g

a _c

y así midiendo la aceleración obtendremos el valor de



_c.

Notemos que la fuerza de rozamiento estático anteriormente mencionada



e

N

es

el valor umbral, ya que si un cuerpo se encuentra en reposo y sobre él ejercemos una fuerza externa F, sin que consigamos moverlo, esto se debe a la existencia de una fuerza que contrarresta la ejercida. Esta es la fuerza de rozamiento estática, si bien de valor inferior al umbral.

Una vez alcanzado ese valor umbral, el objeto se moverá y el rozamiento que se opondrá será el cinemático. Desde un punto de vista gráfico, a continuación se representa la evolución de ambas fuerzas de rozamiento.

Veamos un ejemplo numérico: Sobre un cuerpo de masa 2 kg se ejerce una fuerza de 11 N formando un cierto ángulo  con la horizontal. El cuerpo se encuentra sobre una superficie horizontal sobre la que presenta un rozamiento estático dado por

6

.

0

e





y un rozamiento dinámico dado por



d



0

.

3

. Discutir en función del ángulo  el movimiento del cuerpo.

p

N

F

F

F

y r x







donde























cos

F

F

)

sin

F

mg

(

N

F

sin

F

mg

N

x r

de manera que:

a) Si

F

x





e

N



F

cos







e

(

mg



F

sin



)

el cuerpo no se mueve, ya que la fuerza ejercida no supera el umbral correspondiente a la fuerza de rozamiento estático. De esta manera, en todo momento la fuerza de rozamiento estática será igual a la componente horizontal de la fuerza ejercida, es decir:

x

r

F

F



b) El movimiento se iniciara cuando la componente horizontal de la fuerza aplicada alcance el valor umbral de la fuerza de rozamiento estático, es decir:

N

F

X





e

o sea

)

sin

F

mg

(

cos

F







e





que numéricamente nos conduce a:

)

sin

11

20

(

6

.

0

cos

11









que operando y dividiendo toda la expresión por “cos”, obtenemos









6

.

6

tag

cos

12

11

teniendo en cuenta que:













2

tag

1

sec

cos

1

tendremos











2

que elevando al cuadrado y después de operar nos lleva a la ecuación de segundo grado:

0

23

tag

2

.

145

tag

44

.

100

2











cuyas soluciones son:

º

66

.

51

;

º

26

.

10

2

1









donde se ha tenido en cuenta que  < 90º. En definitiva hemos obtenido los intervalos siguientes.

*

0







10

.

26

Para su estudio tomemos un valor cualquiera correspondiente a este intervalo, por ejemplo  = 5º, tendremos:

N

42

.

11

)

5

sin

11

20

(

6

.

0

N

F

.

N

98

.

10

5

cos

11

F

e e r x















como vemos

F

_x



F

_re, por lo que el cuerpo no se mueve, existiendo entre él y la superficie horizontal un rozamiento de 10.98 N.

*

51

.

66







90

Para su estudio tomemos un valor cualquiera correspondiente a este intervalo, por ejemplo  = 60º, tendremos:

N

28

.

6

)

60

sin

11

20

(

6

.

0

N

F

.

N

5

.

5

60

cos

11

F

e e r x















como vemos

F

_x



F

_re, por lo que el cuerpo no se mueve, existiendo entre él y la superficie horizontal un rozamiento de 5.5 N.

*

10

.

26







51

.

66

Para su estudio tomemos un valor cualquiera correspondiente a este intervalo, por ejemplo  = 30º, tendremos:

N

7

.

8

)

30

sin

11

20

(

6

.

0

N

F

.

N

53

.

9

30

cos

11

F

e e r x















como vemos

F

_x



F

_re, por lo que el cuerpo se mueve, existiendo entre él y la

superficie horizontal un rozamiento dinámico de valor



d

N

, o numéricamente:

N

35

.

4

)

30

sin

11

20

(

3

.

0

F

r







El cuerpo tendrá una aceleración que podemos calcular aplicando la segunda ley de Newton:

2 r x

ms

59

.

2

2

35

.

4

53

.

9

m

F

F

a













6. Sistemas de referencia. Principio de relatividad de Galileo.- En el capítulo dedicado a la Cinemática ya se indicó que para el estudio del movimiento es necesario la elección de un punto sobre el que se colocan los ejes de coordenadas. Es decir, un sistema de referencia a partir del cual se toman los vectores de posición, y las subsiguientes medidas.

sus valores variarán según el sistema de referencia. Y el principio de Newton dejaría de ser una ley general.

El problema, pues, está en conocer si existe un sistema de referencia que nos permita determinar el "verdadero" valor de la fuerza. Es claro, que este sistema, si existe, debe hallarse en reposo absoluto, de manera que todos los posibles cambios que pueda sufrir la velocidad de una partícula se deban únicamente a la acción de las fuerzas que actúen sobre ella, y no al movimiento del sistema. En tales circunstancias, los valores de

la aceleración "

dt

v

d

a







" coincidirán con los obtenidos por "

m

F

a







".

El valor verdadero sería, entonces "

dt v d m F

 

 ". Pero no disponemos de los

medios adecuados para determinar si en el Universos existe algo en reposo, y por lo tanto, si nuestros sistemas de referencia está o no dotados de movimiento.

Esta imposibilidad ya fue expuesta por Galileo: Por experimentos mecánicos es imposible poner de manifiesto si un sistema de referencia está en reposo o se mueve con movimiento rectilíneo uniforme.

Esta dificultad fue, también, resulta por el propio Galileo enunciando el siguiente principio: Las leyes físicas son las mismas para un observador que esté en reposo absoluto que para uno que se mueva con movimiento rectilíneo uniforme. Este principio se conoce hoy en día como Principio de relatividad de Galileo y ya fue expuesto y desarrollado en el tema correspondiente a la cinemática (Apéndice 1º).

Tal como vimos la aceleración es la misma para ambos observadores. Y en consecuencia:

F

a

m

F













el valor de la fuerza es la misma para ambos observadores, siendo independiente de las velocidades relativas de los sistemas de referencia.

Así pues, en la mecánica newtoniana la aceleración tiene carácter absoluto y además las leyes básicas de la mecánica son las mismas en dos sistemas, si se mueven de modo que su velocidad relativa sea constante (Principio de relatividad).

Desde un punto de vista experimental, lo anteriormente indicado implica la imposibilidad de determinar, mediante prácticas mecánicas realizadas en un laboratorio si éste se encuentra en reposo o en movimiento uniforme. Es por esto que un objeto que se deja caer en el interior de un tren que marcha con velocidad constante por una vía rectilínea cae justamente en la vertical del punto, o por lo que puede jugarse al billar en un barco sin cabeceo de igual forma que en tierra firme, o por lo que las moscas vuelan igual en el aire en reposo que en el interior de un coche en marcha rectilínea y uniforme.

Los sistemas de referencia que se encuentran en reposo o que tienen movimiento rectilíneo uniforme se denomina Sistemas inerciales3 , y en ellos son válidas las leyes de Newton. En un sistema inercial únicamente producen aceleraciones las fuerzas reales, es decir las ocasionadas por un agente externo.

7. Sistemas no inerciales. Fuerzas de inercia.- Según sabemos un sistema no inercial es aquel que tiene una determinada aceleración, es decir que la velocidad de arrastre no es constante.

3

Veamos un caso particularmente sencillo. Sea una partícula que obedece a segunda ley de Newton en un determinado sistema inercial, de manera que:

a

m

F







donde F



es una fuerza real, es decir ejercida por agentes externos, por ejemplo, otras partículas. Consideremos un nuevo sistema no inercial, S', de manera que tenga una velocidad de arrastre que no varíe su dirección pero sí su módulo con el paso del tiempo. Es decir, un sistema S' que posea un movimiento rectilíneo acelerado respecto de S. Entonces, tal como sabemos:





0 0

0

a a dt

v d dt

v d dt

v v d dt

v d

a  

  

  

   

     

donde se ha tenido en cuenta que la velocidad de arrastre no es constante y, por lo tanto:



a

a

0



m

a

m

a

0

m

F























expresión que evidentemente no coincide con la ley de Newton si por aceleración entendemos la observada en el sistema no inercial "

a





". Por consiguiente, un físico situado en el sistema no inercial únicamente tiene dos alternativas:

a) No utilizar las leyes de Newton.

b) Fijarse nuevamente en la expresión anterior, y suponer que el término "ma₀", que tiene unidades de fuerza, es una "fuerza" que actúa sobre el cuerpo y escribir:

0

0

F

F

a

m

-F

a

m



















donde

F



₀es una fuerza aparente y ficticia, que se denomina inercial o de inercia, y que es necesario introducir para seguir utilizando la segunda ley de Newton en un sistema no inercial. Notemos que si llamamos fuerzas reales a las producidas por agentes externos, las fuerzas inerciales no lo son, ya que se deben al movimiento relativo acelerado.

Tal es el caso del empujón que sufrimos cuando un tren o cualquier otro vehículo acelera o se para. No existe agente externo, únicamente existe nuestra tendencia a continuar en el estado de movimiento que teníamos, es decir la inercia. Y es precisamente esta tendencia la que hace que reaccionemos, y así si el tren se para nosotros nos vamos hacia adelante, mientras que si acelera nos vamos hacia atrás, como si una fuerza actuase sobre nosotros.

Otro ejemplo sería la fuerza centrífuga. Si un coche toma una curva de radio "R" de modo que su velocidad tenga "

v





cte.

", tal como sabemos su aceleración está dirigida hacia dentro (aceleración normal) y

tiene una magnitud "

R v2 _.

inercia "

R

v

m

f

2

i



" que estará dirigida radialmente hacia afuera, y que recibe el nombre

de centrífuga. No es real, ya que ningún cuerpo o agente externo la produce, es una consecuencia de la oposición del cuerpo a alterar su estado de movimiento, o sea, a ir cambiando continuamente su dirección para tomar la curva.

Desde un aspecto práctico conviene recordar que:

1) La fuerza inercial tiene sentido contrario a la aceleración que la origina.

2) Si a un cuerpo colocado en un sistema no inercial, se le aplica una fuerza igual a la inercial, este cuerpo estará en equilibrio dinámico respecto a dicho sistema.

3) Las fuerzas de inercia se pueden componer con fuerzas reales, siempre y cuando dicha composición se realice en sistemas no inerciales, pero nunca en sistemas inerciales.

4) Si a un cuerpo situado en un sistema no inercial, se le aplica una fuerza distinta de la inercial podremos determinar la resultante y aplicar la segunda ley de Newton para hallar su aceleración.

Hemos de insistir, en que para el observador no inercial, la incorporación de las fuerzas de inercia no es un truco matemático, para él éstas actúan realmente. Es decir, para él, estas fuerzas de inercia son capaces de deformar de la misma manera que lo hacen las fuerzas "reales".

8º.- Principio de D'Alembert.- Consideremos una partícula de masa "m" sometida a un conjunto de fuerzas externas cuya resultante es "F". Supongamos, además, que sobre esta partícula fijamos el origen de un sistema de referencia no inercial S'.

Mediante esta elección, el vector de posición de la masa "m" respecto del sistema S' será nulo, por lo que la partícula no tendrá velocidad de arrastre ni aceleración de arraste, es decir que, en las expresiones anteriormente

estudiadas, "

a







0

", de forma que si por "F_i" recogemos a todas las fuerzas inerciales que pudieran existir, podremos escribir:

0 F F i 

 

lo que equivale a decir que la suma de la resultante de las fuerzas externas

F



, aplicadas a la masa "m" y su fuerza de inercia F_ies nula, cuando se considera un sistema de referencia no inercial S', ligado a la partícula "m" que se mueve.

Esta expresión, es el denominado Principio de D'Alembert y cuyo significado es evidente: convierte un problema de dinámica en un problema de estática, sin más que añadir la fuerza de inercia que actúa sobre la partícula.

9.- Ejemplos.- A continuación se presentan diversos ejemplos de todo lo anteriormente estudiado, tanto de fuerza de rozamiento como de fuerzas de inercia.

1º Ejemplo: Una masa de 100 kg de masa es empujada a lo largo de una superficie horizontal, con la que presenta un rozamiento dado por





0

.

4

, mediante una fuerza F de modo que su aceleración es de 6 m/s2. Una masa de 20 kg desliza a lo largo de la parte superior de la masa de 100 kg con una aceleración de 4 m/s2.

a) ¿Qué fuerza de rozamiento ejerce la masa de 100 kg sobre la de 20kg? b) ¿Cuál es la fuerza neta sobre la masa de 100 kg?

Solución.- En la figura siguiente se realiza una representación global de la situación. En ella m = 20 kg, M = 100 kg, a= 6 ms-2 y a´=4 ms-2.

Puesto que el cuerpo M se mueve hacia la derecha, el cuerpo m se “moverá” hacia la izquierda y puesto que entre ellos existe rozamiento. El cuerpo m roza sobre el M y éste sobre aquel. De esta manera la situación, para cada uno de los cuerpos será la representada a continuación:

con lo que la segunda ley de Newton nos conduce al siguiente sistema de ecuaciones:





















a

m

Ma

F

F

F

r r

r

F

siendo

N

480

g

)

M

m

(

F

r









entonces

a) La fuerza de rozamiento de M sobre m es la misma que m sobre M (principio de acción y reacción) con lo que:

N

80

a

m

F

r









b) La fuerza neta sobre M la podemos determinar a partir de la primera de las ecuaciones dadas en el sistema y vendrá dada por:

N

600

Ma

F

F

F

R





r



r







c) Por último, la fuerza F vendrá dada por:

N

1160

80

480

600

F

F

Ma

F





r



r











2º Ejemplo: Una cuña se mueve sobre una superficie horizontal con una determinada aceleración. El coeficiente estático de fricción entre el pequeño bloque y la cuña es μ

. Calcula la máxima aceleración que puede darse a la cuña para que el bloque no deslice respecto a ella.

Si la aceleración es grande la tendencia del objeto situado sobre la cuña será a subir, por lo que el rozamiento estático estará dirigido hacia abajo. Resolveremos la situación desde dos posibles marcos de referencia.

a) Marco de referencia inercial: Situaremos los ejes en el suelo, tal como se indica

y así, según los ejes tendremos:

mg

sin

f

cos

N

:

OY

eje

sobre

Fuerzas

cos

f

sin

N

:

OX

eje

sobre

Fuerzas

0

a

a

a

e e y

x



















donde además:

N

f

e





luego la segunda ley de Newton nos conduce a:

0

mg

sin

N

cos

N

ma

cos

N

sin

N























es decir:

mg

)

sin

(cos

N

ma

)

cos

(sin

N





















que dividiendo y operando nos conduce a



















sin

cos

cos

sin

g

a

que es el valor de la aceleración buscada.

En este caso, la aceleración de la cuña se manifiesta sobre el objeto situado sobre ella como una fuerza (fuerza de inercia) que tiene la misma dirección que la aceleración pero sentido opuesto y cuyo valor es:

ma

f

i



donde “a” es la aceleración de la cuña y “m” la masa del objeto, de esta manera el objeto permanece en reposo. Los ejes se han tomado de forma que el eje de ordenadas coincide con la normal (perpendicular a la superficie de la cuña) y el eje de abscisas perpendicular al anterior, es decir coincidente con la superficie de la cuña, sobre la que desliza el objeto. Gráficamente se representa a continuación:

aplicando la condición de reposo, según los ejes tendremos:

0

sin

f

cos

mg

N

0

cos

f

f

sin

mg

i i e





















:

OY

Eje

:

OX

Eje

donde

N

f

ma

f

e i







de la segunda de las ecuaciones, tenemos:









mg

cos

ma

sin

N

de manera que

0

cos

ma

)

sin

ma

cos

mg

(

sin

mg



















y despejando



















sin

cos

cos

sin

g

a

que es el resultado anteriormente obtenido.

10º.- Impulso. Promedio temporal de una fuerza .- En el capítulo anterior, Cinemática, y a la hora de determinar la aceleración de un móvil se definió de la forma:

dt v d a

impulsiva no sólo depende de su magnitud sino también de la duración, incluso aunque sea muy corta. Esto nos obliga a la introducción de una nueva magnitud que tome en consideración ambos hechos, valor de la fuerza y duración de su aplicación. Esta nueva

magnitud física recibe el nombre de impulso, y se denota por

I



. De manera que: "n"

impulsos

I



, cada uno de los cuales consiste en una fuerza

d

F



que actúa durante un

tiempo

n

1





segundos tendrán, si se realizan sin pausas apreciables, exactamente el

mismo efecto que si la fuerza

F



hubiese actuado de forma continua durante todo un segundo. Es decir:

F 1 n

  

  I I



o

F

 





I

o introduciendo notación diferencial:

dt

F

d







I

Podemos visualizar esto, mediante el siguiente ejemplo. Supongamos un peso situado en uno de los brazos de una balanza y que con un martillo golpeamos de forma regular y rápidamente el otro brazo con golpes lo

suficientemente poderosos como para mantener el equilibrio (exceptuando pequeñas fluctuaciones). Es evidente que podemos golpear más débilmente pero más frecuentemente, o más fuerte pero más espaciadamente, siempre y cuando la intensidad del impulso,"dI", de cada uno de los golpes dividida por la duración, dt, de cada uno de los golpes, sea exactamente igual al peso, y así:

mg dt dI _

Si este resultado lo generalizamos para una fuerza cualquiera, y tenemos en cuenta el carácter vectorial de toda fuerza, podremos escribir:

dt

F

d







I

naturalmente, el impulso total para un intervalo de tiempo finito, nos vendrá dado por:





t

t₀

dt

F





I

Desde un punto de vista dimensional, tenemos:

 

-1

T L M



es decir el producto de unidades de masa por unidades de velocidad, lo que justificaremos más adelante.

Conviene notar, que el cálculo de la integral que aparece en la expresión anterior presenta grandes dificultades, no sólo de tipo matemático, sino que exige conocer la dependencia temporal de la fuerza que se ejecuta, lo que normalmente no es posible.

Sin embargo, recordando la segunda ley de Newton, podremos escribir:







  



t

t

p

p

0 F t

t ₀

F

0 0

p -p p d dt dt

p d dt F





   

 

I

donde "

p



₀" y "

p



_F" son las cantidades de movimiento final e inicial, correspondientes a los instantes final "t" e inicial "t0". Es decir: el impulso es igual al cambio en la cantidad de movimiento de la partícula.

Así pues, el efecto del impulso consiste en cambios repentinos en la velocidad para una partícula de masa dada.

Ya que el impulso está generado por una fuerza, en general variable, que actúa durante un cierto intervalo de tiempo, en general pequeño, otra posibilidad de cálculo es utilizar el teorema de la media del cálculo integral, es decir, definir una fuerza media o promedia, de forma que:



0



m t

t

t

-t

F

dt

F

0













I

tal como se aprecia en la figura.

Ejemplo: Una ametralladora dispara balas de 35 gr. a una velocidad de 750 m/s. Si el arma puede disparar 200 balas/min, ¿cuál es la fuerza promedio que el tirador debe ejercer para evitar que la ametralladora se mueva?

Solución- En primer lugar calcularemos la variación en la cantidad de movimiento, teniendo en cuenta que la inicial es nula, y así:

1 F

0

F p mv 0.035x750 26,25kgms

p

p     



es el impulso debido a una sola bala. Ahora bien, no nos olvidemos que el arma lanza un total de 200 balas en un tiempo de 60 s. Y así, el impulso ejercido por el tirador será:

F 60 t F

de donde:

25

,

26

x

200

60F



en definitiva:

F = 87,5 N

Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento.- Si el impulso es nulo, bien porque no exista fuerza o porque sea nulo el intervalo de tiempo considerado, tendremos:

cte.

p





es decir, la cantidad de movimiento de la partícula se conserva, lo que nos indicará que realizará un movimiento rectilíneo y uniforme. De esta manera, volvemos al primer principio de Newton, toda partícula sometida a una fuerza resultante nula, o sometida durante un tiempo nulo (fuerza instantánea) a una fuerza distinta de cero, experimenta un movimiento rectilíneo y uniforme.

Veamos ahora una serie de ejemplos que resultan ser una interesante aplicación del principio de conservación del momento lineal y de movimiento relativo. Supongamos un cañón que está montado sobre una plataforma que puede moverse sobre una pista horizontal sin rozamiento.

Caso 1º.- La plataforma está en reposo sobre el suelo, el disparo es horizontal. La masa del carro incluido el cañón vacío es M, y puede moverse, tal como hemos dicho, sin rozamiento sobre una pista horizontal, la masa del proyectil es “m” y el proyectil es disparado con una velocidad “u”

El sistema formado por el carro y el proyectil es aislado, por lo que aplicamos el principio de conservación del momento lineal

 El momento lineal inicial es cero

 El momento lineal final es Mv + mu

y de esta manera. el carro se mueve en la misma dirección que el proyectil pero en sentido contrario, ya que:

de donde

 La velocidad del proyectil respecto de Tierra será u'=u + V

 La velocidad del carro respecto de Tierra v'=v + V

puesto que se cumple el principio de conservación del momento lineal

o bien

que operando nos conduce al mismo resultado que en el caso anterior, es decir:

Caso 3º.- El carro está inicialmente en reposo y se fija el ángulo θ de tiro con el que se dispara el proyectil

El momento lineal tiene dos componentes: una horizontal y otra vertical. El sistema formado por el proyectil y el carro no es aislado en la dirección vertical, pero si lo es en la dirección horizontal, por lo que en ella el momento lineal se conserva.

 El momento lineal inicial es cero

 El momento lineal final es Mv + mux

donde ux es la velocidad horizontal del proyectil, y así:

luego

en este caso las componentes de la velocidad del proyectil cuando sale del cañón serán:

la velocidad del carro después del disparo será:

y así escribiremos, por las mismas razones que las indicadas en el caso anterior:

de donde:

y así:

Conviene notar que, si bien, el proyectil siempre sale hacia adelante, la plataforma puede moverse hacia adelante o hacia atrás. Cuando se mueva hacia atrás V < 0, y para un cierto ángulo de tiro θ la componente horizontal ux+V de la velocidad es nula, el alcance horizontal será nulo, el proyectil sube y baja a lo largo del eje Y.

11.- Colisiones.- Se dice que, entre dos partículas o sistemas, se ha producido una colisión si al aproximarse su interacción mutua altera su movimiento, dando lugar a un intercambio de energía y cantidad de movimiento. Notemos que esto no significa que

las dos partículas o sistemas hayan estado físicamente en contacto, en un sentido microscópico, tal como ocurre en una colisión macroscópica de dos bolas de billar, por ejemplo. Esto se representa en la figura y a veces se denomina dispersión.

producirse durante el proceso, el concepto de C.M hará que podamos considerar la colisión entre partículas, los C.M de los sólidos, en los que se encuentra concentrada toda la masa del sólido. Este tipo de simplificación nos evita tener que considerar los posibles movimientos de rotación, que pueden adquirir después del choque. Diremos que se tratan de choques centrales.

Las características físicas fundamentales de un choque son:

a) Las fuerzas que se producen durante el proceso, la colisión, son de magnitudes tan considerables, que las otras posibles fuerzas que pudieran existir se consideran despreciables.

b) La duración del proceso es muy breve. Con esta expresión queremos indicar que el tiempo de colisión es muy corto en comparación con el tiempo de observación, de manera que es posible diferenciar muy bien entre los periodos anterior y posterior al choque, durante los que las fuerzas de colisión no están presentes.

Estas características se recogen en la figura en la que se representa una fuerza que aumenta desde cero hasta un valor muy alto, en un intervalo de tiempo muy pequeño (el que dura la colisión).

La deformación que sufren, en el choque, los objetos que colisionan, depende del material del que estén hechos y de la magnitud de las fuerzas que actúan durante el proceso. Pueden tratarse de deformaciones permanentes o transitorias. Esta circunstancia será importante a la hora de clasificar los procesos desde el punto de vista energético.

Sea

p



la cantidad de movimiento de una de las partículas, la segunda ley de Newton nos permite indicar que la fuerza neta ejercida sobre el cuerpo, en cuestión es:

dt p d F

 



de donde;

dt F p d

expresión que debe aplicarse a cada uno de los dos objetos que colisionan. Integrando:



f 

i

t

t

i f -p p dt

F  

o bien:

i f -p p

I  

 

donde Ies el impulso.

El problema que presenta el razonamiento anterior es que, en general, no es posible conocer la fuerza en función del tiempo, con lo que no es posible realizar la integral anterior.

Consideremos, entonces, dos partículas de masas m1 y m2, con cantidades de movimiento

p



₁ y

p



₂, antes del choque, y

p



₁



,

p





₂ después del mismo. Por otro lado, en

el momento del impacto, la masa m1 ejercerá una fuerza F



sobre la masa m2, mientras que m2 ejercerá una fuerza F



sobre m1. Estas fuerza, según el principio de acción y reacción serán tales que:

0

F

F











todo esto se representa en la figura, entonces:













f

i t

t 1

1

-

p

F

dt

p

p









y de igual forma:

















f

i t

t 2 2

2

p

-

p

F

dt

-

F

dt

p











de donde:

2

1

-

p

p











es decir:

)

p

-p

(

-p

-p



₁





₁







₂





₂

o bien:

2 1 2

1

p

p

p

p



















expresión que no es sino la correspondiente al principio de conservación de la cantidad de movimiento del sistema.

Para centrar las ideas vamos a dividir el proceso en dos fases: una primera en la que los objetos chocan y se deforman y una segunda en la que recuperan su configuración inicial. La primera fase la llamaremos de deformación, mientras que la segunda de restitución. Naturalmente si la deformación es permanente, la segunda fase no existirá. De esta manera, si nos limitamos a considerar la masa m1 que antes de la colisión tiene una velocidad

v



₁, su velocidad pasará a ser

u



, después del choque y durante el periodo de deformación, ya que la otra partícula habrá ejercido

sobre esta una fuerza D , cuyo impulso será:





f

o

t

t

1 1 1u-m v m

dt

durante el periodo de restitución, nuevamente la masa m2 ejercerá una fuerza

R



, en general distinta de la de deformación, y que hará variar la velocidad de m1 de

u



a

v



₁



, y así tendremos:







  f

o

t

t

u m -v m dt

R 1 1 1

 



donde los límites de integración recogen las duraciones de ambos periodos. Se denomina coeficiente de restitución al cociente:







dt

D

dt

R

e

donde debe notarse que el cálculo se realiza sobre los módulos o magnitudes de las integrales. Lo que no debe extrañar, ya que al ser fuerzas de duración muy corta, puede suponerse que todo se realiza en la misma dirección. Este coeficiente, también puede escribirse como:

u

v

v

-u

e

1 1







Procediendo de forma análoga con la partícula de masa m2, obtenemos:

u

v

v

-u

e

2 2







y operando:

2 1

1 2

v v

v -v e

   

de manera que el conocimiento del coeficiente de restitución nos permite relacionar las velocidades de las dos partículas antes de la colisión con la que tendrán después de la misma.

Además, este coeficiente nos permite clasificar los choque en: i) Elásticos : e = 1.

ii) Parcialmente inelásticos : 0 < e < 1.

iii) Perfectamente inelásticos o plásticos : e = 0.

Colisiones elásticas en una dimensión: En este caso, podemos aplicar tanto el principio de conservación de la cantidad de moviendo, como el hecho de que las energías cinéticas inicial y final son iguales.

Este tipo de colisiones también se denominan frontales, ya que el movimiento de las partículas que chocan, se produce a lo largo de una misma línea. Por esta razón, en el estudio siguiente se prescinde del carácter vectorial, si bien se debe aclarar que:

- v > 0 indica un movimiento hacia la derecha. - v < 0 indica un movimiento hacia la izquierda.

m1 v1 m2 v2

m1 v’1 m2 v’2

la aplicación del principio de conservación de la cantidad de movimiento y el hecho de que las energías cinéticas inicial y final sean iguales nos permite escribir:

2 2 1 1 2 2 1

1

v

m

v

m

v

m

v

m











2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1

1 m v

2 1 v m 2 1 v m 2 1 v m 2 1 _     es decir:

)

v

-v

(

m

)

v

-(v

m

)

v

-v

(

m

)

v

-(v

m

2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1













por tanto:

)

v

v

(

v)

-v

(

m

)

v

(v

)

v

-(v

m

)

v

-v

(

m

)

v

-(v

m

2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1





















luego: 2 2 1

1

v

v

v

v











en definitiva:

1 2 2

1

-

v

v

-

v

v







la velocidad relativa entre las dos partículas es la misma antes que después de la colisión .En realidad a este resultado podíamos haber llegado de forma más directa, utilizando la definición del coeficiente de restitución y su valor para este caso (e = 1). También, conviene notar que el resultado es independiente de las masas de las partículas.

Algunos casos particulares son:

Masas Iguales (m1 = m2): En este caso el principio de conservación de la cantidad de

movimiento, adopta la forma:

2 1 2

1

v

v

v

v











y según el resultado concerniente a las velocidades relativas

1 2 2

1

-

v

v

-

v

v







sumando ambas ecuaciones, se obtiene:

2

1

v

mientras que si las restamos, entonces:

1

2

v

v





es decir las partículas intercambian sus velocidades.

La segunda partícula está en reposo (v2 = 0): Tendremos:

1 2 1 2 2 1 1 1 1

v

-v

v

v

m

v

m

v

m















de manera que:

1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1

v

m

-v

m

v

m

v

m

v

m

v

m















de forma que restando, se obtiene:

1 2 1

2 1

1

v

m

m

m

-m

v







y de igual forma se llega a:

1 2 1

1

2

v

m

m

m

2

v







expresiones que bajo ciertas circunstancias especiales, adoptan formas diferentes.

- Las dos partículas tienen la misma masa (m1 = m2).- Basta operar en las dos expresiones anteriores para obtener los resultados siguientes:

1 2 1

0

;

v

v

v









es decir, que la partícula que impactaba queda en reposo, y la que estaba en reposo , partícula blanco, sale con la velocidad de impacto.

- La partícula incidente es mucho mayor que la partícula blanco (m1 >> m2).- Si en la expresiones que relacionan las velocidades, hacemos las aproximaciones:

2 m m 1 2 m m 2m 1 m m 1 m m -1 m m m -m 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1         obtendremos: 1 2 1

1

v

;

v

2v

es decir, la partícula más pesada y que impactaba, apenas altera su velocidad, mientras que la partícula blanco y más ligera, sale despedida con una velocidad doble de la de impacto.

- La partícula blanco es mucho mayor que la incidente (m1 << m2).- En este caso las aproximaciones a realizar serán:

0 m m 1

m m 2 m m

2m

1 -m m 1

1 -m m m m

m -m

2 1

2 1

2 1

1

2 1

2 1

2 1

2 1

 

 

 

 

con lo que:

0

v

;

v

-v

1





1



2



luego, el objeto más ligero y que impactaba sale rebotado con la misma velocidad con la que colisionó, mientras que la partícula blanco y más pesada, apenas si se mueve.

Colisiones elásticas en dos o tres dimensiones.- Aquí, como en el caso monodimensional, también es posible aplicar el principio de conservación del momento lineal y el hecho de que las energías cinéticas inicial y final sean iguales, la diferencia radica en que en este caso sí habrá que tener en cuenta el carácter vectorial de las velocidades. En la figura, se representa la situación, en ella la masa m1 se dirige hacia la masa m2, que inicialmente está en reposo. Una vez producida la colisión, las partículas salen despedidas formando ángulos



₁



y



₂



con respecto de la dirección de impacto.

La distancia “b” que se representa sobre la figura, corresponde a la existente entre las rectas del movimiento inicial y la paralela trazada por el C.M de la partícula blanco. Naturalmente, si b = 0, ambas direcciones coinciden y nos encontramos en el caso de una colisión frontal, que ya hemos estudiado.

Las ecuaciones que rigen este proceso serán:

2 2 2 2

1 1 2

1 1

2 2 1 1 1 1

v m 2 1 v m 2 1 v m 2 1

v m v m v m

 

 

  

  

la expresión vectorial puede escribirse en forma escalar, igualando componentes, y así: 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1

sin

v

m

sin

v

m

0

cos

v

m

cos

v

m

v

m

v

m

2

1

v

m

2

1

v

m

2

1









































con lo obtenemos un sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas

)

,

,

v

,

v

(

₁





₂



₁





₂



, de manera que para su resolución es necesario el conocimiento de una de esas cuatro magnitudes, por ejemplo



₁



.

Colisiones perfectamente inelásticas (plásticas).- Son aquellas en las que la deformación producida por la colisión se conservas, en ellas el coeficiente de restitución es nulo, e = 0. Por tanto, al no existir reacción elástica, los dos cuerpos quedan unidos después del choque. En este caso, basta aplicar el principio de conservación de la cantidad de movimiento para resolver el problema:

s 2 1 2 2 1

1v m v (m m ) v

m   

donde vs es la velocidad del sistema formado por las dos partículas juntas después de la colisión.

Colisiones inelásticas.- Son aquellas en las que la energía cinética no se conserva, y además los objetos no quedan unidos después de la colisión, También se denominan parcialmente elásticas, y es el caso intermedio entre los dos anteriormente estudiados. Su resolución pasa por la aplicación del principio de conservación de la cantidad de movimiento y el valor y definición del coeficiente de restitución.

Estudiaremos dos posibles casos:

Choque frontal,- En este caso tendremos:

donde nuevamente se ha prescindido del carácter vectorial, dadas las características de la colisión. La resolución de este sistema nos llevará a las soluciones buscadas.

Choque oblicuo.- Para este estudio adoptaremos como eje de abscisas la dirección del segmento que une los centros de las partículas que colisionan justo en el momento del choque, mientras que como eje de ordenadas adoptaremos la dirección perpendicular trazada por el punto de tangencia común a los sólidos que chocan, tal como se aprecia en la figura

Por un lado, ya que el sistema está aislado, se conservará la cantidad de movimiento, y por otro lado la definición del coeficiente de restitución, que en este caso se aplicará sobre las componentes X de las velocidades, ya que las otras componentes no intervienen de forma efectiva en la colisión. Es decir tendremos:

x x

x x

)

(v

-)

(v

)

v

(

-)

v

(

e

v

m

v

m

v

m

v

m

2 1

1 2

2 2 1 1 2 2 1 1

























además como las componentes tangenciales, sobre el eje de ordenadas, de la velocidad son iguales antes y después del choque, tendremos:

j

v

j

v

j

v

j

v

2 2

1 1

































que junto a las ecuaciones anteriores nos permite construir un sistema, cuya resolución nos resuelve el problema.