Equacions de difusió amb condicions de contorn no lineals

152  Descargar (0)

Texto completo

(1)

amb

Condiions de Contorn No Lineals

Neus Consul Porras

UniversitatPolitenia deCatalunya

(2)

amb

Condiions de Contorn No Lineals

Neus Consul Porras

Memoriapresentada pera aspiraral grau

de Dotoraen Matematiques

Departament de MatematiaApliada I

Universitat Politeniade Catalunya

(3)

estatrealitzadapernaNeusConsulPorras

sota lameva direio, al Departament de

Matematia Apliada I de la Universitat

Politenia de Catalunya.

Barelona, Mar de 1997.

Dr. JoanSola-Morales iRubio

Catedrati d'Universitat de Matematia

Apliada

(4)
(5)

Vull aprotar aquest espai per donar les graies a totes aquelles

per-sones que,d'algunamanerao altra,han fetpossiblelarealitzaio d'aquesta

memoria.

Enprimerllovullmostrarelmeu agramentde totoralmeu diretor

de tesi, en Joan Sola-Morales. Ell em va introduir en aquest treball i ha

estat ellqui,paientment,m'haestatensenyant iajudanttots aquestsanys.

Es per aixo que li haig d'agrair tot el temps que m'ha dediat, les seves

suggereniesiideesiels seus onsellsen eldesenvolupament d'aquestatesi.

Ino pudeixarde bandalamevagratitud enversd'enJoanquanen aquells

moments mes baixos imes difilsm'ha estat reolzant i animant. Per tot

aixoipermoltes altres oses quesegurament estiometent,graiesJoan.

Haigd'estendreelmeuagramentatots elsaltresmembres delSeminari

d'Equaions enDerivadesParials/Sistemes DinamisUAB-UPC,ambels

quals m'hetrobat molta gusttotaquest temps.

Duranttotsaquests anys heomptatamb laompanyia ielreolzament

detotselsompanysdelDepartamentdeMatematia ApliadaI. Atots ells

moltes graiesperl'animqueentotmomenthe estatrebent. No pudeixar

d'agrair a l'

Angel Jorba el seu ajut informati. Tambe reordo amb molta

simpatia tots els moments ompartits amb el queha estat elmeu ompany

de despatx totsaquests anys,en Miguel

Angel Barja.

Molt espeialment haig d'agrair als meus estimats pares tota la seva

omprensio,ompanyiaipaieniaquem'hanofertentotmoment. Haigde

ferextensiu aquestagrament als meussogres.

Finalment, un agrament molt emoionat a la persona que m'ha

aom-panyat en aquest llarg am, en Juanje. Sense el seu anim i reolzament

duranttots aquestsanysno haguesarribat alnald'aquesttreball. Graies

per la paienia mostrada en tot moment i per la teva omprensio innita

(6)

Elproblema paraboli nolineal

8

>

>

<

>

>

:

u

t

= u+f(u); a ;

u

= 0; a ;

u(x;0) = u

0 (x);

(1)

enundominiaotatR n

represental'evoluioeneltempsdelaonentraio

u d'una determinada substania en un ontenidor isolat, el qual esta sotmes

alsefetes d'una reaio nolineal representada perla funio f i d'una difusio

lineal homogenia.

Es fail omprovar que els zeros de la funio f son soluions d'equilibri

onstants per al problema (1). L'existenia de soluions d'equilibri estables

no onstants per al problema (1) i amb n 2 es un fenomen important, que

sovint s'anomena \morfogenesi" oformaiode patrons.

Motivats per aquest problema amb ondiions de ontorn de Neumann

homogenies, el que anem a presentar en aquesta memoria preten ontribuir

a l'estudi de soluions d'equilibri estables no onstants per a una equaio de

difusio amb ondiions de ontorn de Neumann no lineals. El problema que

onsideraremes elseguent:

8

<

: u

t

= u; a;

u

= f(u); a:

(2)

SuposemqueeldominiR n

,n 2,esaotatiambfronteraregular.

En la ondiio de ontorn,

(7)

la frontera. La soluio u = u(x;t) es una funio de R en R i la funio

f(u):!R.

De manera semblant a allo que deiem per al problema (1), podem

inter-pretar (2) om l'equaio que modela l'evoluio d'una onentraio sota els

efetes onjunts d'una difusio lineal homogenia a l'interior d'un ontenidor i

unareaionolinealquesueeixuniamentalafronteraiqueverepresentada

per f. Per exemple,perla presenia d'un atalitzador.

L'observaio de fenomens fsis, qumis, biologis i d'enginyeria que es

poden modelar amb aquest tipus d'equaions presenten sovint ondiions de

ontorn nolineals. Aquest fet fa augmentar l'interes en l'estudi de problemes

om el(2).

Tal om passa per al problema (1), els zeros de la funio f son soluions

d'equilibri onstants del problema (2). Ens preguntem, pero, per l'existenia

ono de soluions d'equilibriestablesno onstants.

Observem,perexemple,quesieldominiesnoonnexespodenonstruir

de maneratrivialequilibris establesnoonstantsassignant aada omponent

onnexadiferentsvalors onstants

i

,talsque f(

i

)=0i f 0

(

i

)<0.

(L'esta-bilitat d'aquests equilibris no es immediata i se seguira d'un prinipi

d'esta-bilitat per linealitzaio per al problema (2), tal om es veura en el aptol 2

d'aquestamemoria.)

Com ja es pot deduir del que aabem de dir, en el moment que varem

deidir estudiar equilibris estables, es feia neessari tenir riteris per tal de

determinar l'estabilitat de les soluions d'equilibri. Per exemple, un prinipi

d'estabilitatperlinealitzaio.

Ambaquest objetiu se'nsvafer neessariun estudimesprofunddel

prob-lema de valoriniial pera (2).

Es peraixo quealloque varem questionar-nos

en un primer moment era en quins espais de funions estava ben plantejat el

problemaiquinesondiions aliaimposarsobref pertaldetenirexisteniai

uniitatde soluio. Unavegadaresoltaaquestaquestiointentaremobtenirun

(8)

d'estabilitatdels equilibris.

Es onegut que laformulaioabstrata de problemes de valoriniial pera

equaionsde reaio-difusio om

8

>

>

>

>

<

>

>

>

>

: u

t

u = g(u); a;

u

= f(u); a;

u(x;0) = u

0 (x):

(3)

en un domini aotat R n

, om un problema d'evoluio en un espai de

funionss'aostuma afer,quan lesondiionsde fronterasonlineals,

inorpo-rant les esmentades ondiions en la deniio de l'espai de fases. Destaquem

algunesreferenies: [20℄, [30℄, :::

Arabe,elsproblemesambondiionsdeontornnolinealssonquelommes

difil,om es potveure a [3℄, [4℄, [5℄, [7℄i [12℄. La inorporaioen aquest as

de les ondiions de ontorn a l'espai de funions no dona un espai vetorial,

per la qual osa l'us de les teniques de l'Analisi Funional sembla, en una

primeraaproximaio alproblema, no massasenzill.

Existeix un am, suggerit per H. Amann, per tal de poder superar

aque-sta diultat. Aquest punt de vista ha estat usat per ell mateix en l'estudi

de problemes parabolis quasilinealsi de sistemes amb ondiions de ontorn

no lineals, om es pot veure a [3℄, [5℄. Igualment, altres autors, om per

ex-emple [12℄, [34℄, estudien problemes diversos amb ondiions de ontorn no

lineals usant les teniques i els resultats de H. Amann. En aquesta memoria

desenvoluparem en una primera part el punt de vista de H. Amann per al

as d'equaions paraboliques semilineals amb ondiions de ontorn de tipus

Neumannno lineals,om a (3),

Abans, pero, d'iniiar l'estudi del problema (2), ens va semblar natural

omenar pelas messenzill d'un interval,esa dir, pera dimension=1. Els

resultats obtinguts ens semblen prou interessants om per reservar un espai,

l'apendix A, on exposar-los. Cal dir que aquest va esser el primer ontate

amb el problema (2) i que el que s'obte per als equilibris resulta illustratiu

(9)

resultatsd'existeniaiuniitatdesoluioielprinipid'estabilitatquedonarem

enelsdosprimersaptolsdelamemoriaseranperalproblemamesgeneral(3).

Ambelsresultatsqueveuremalsaptols1i2jaestenenleseines neessaries

per tal d'estudiar el nostre objetiu prinipal: l'existenia o no d'equilibris

establesno onstantsperal problema (2).

Els tres darrers aptols d'aquesta memoria estaran dediats a aquestes

questions de la morfogenesi. Conretament, en el aptol 3 veurem alguns

asos on no es possible que existeixin equilibris estables no onstants i en

els dos ultims, es a dir, en els aptols 4 i 5, es veuran alguns exemples on

s es tindra existenia d'equilibris estables no onstants. En el aptol 4 es

onsideraran dominis a R n

, n 2, onnexos amb vora disonnexa i en el

aptol5 dominisambvora onnexa.

Finalment,despresdel'apendixAqueitavemabans,aabaremlamemoria

ambun segon apendix ones fan aluls explits de soluions om aquellesde

lesquals s'haura provat l'existenia en elaptol 5.

Desripio dels resultats

Talom deiem abanshem utilitzaten elplantejament funionaldel nostre

problema el punt de vista que dona H. Amann ([3℄, seio 12) per a aquest

tipusde problemes. Aquest puntde vistaonsisteix,essenialment, en

onsid-erarespaisdefunionsprougransiveureom,ambunabonaeleiod'aquests

espais, anomenats espais de fase, i dels operadors lineals involurats,

s'aon-segueix inorporar les ondiions de ontorn en una equaio semilineal om

una nova nolinealitat.

Aix dons, en el aptol 1 es mostrara om es pot formular de manera

semilinealelproblema (3), esa dir, en la forma

8

<

: u

t

= Au+F(u);

u(0) = u

0 ;

(4)

(10)

semilineal (4) onsiderarem una olleio d'espais de funions obtinguts per

interpolaio entre els espais de Banah W 2

p;B

() i L p

(), on W 2

p;B

() denota

l'espaide lesfunionsde W 2

p

() talsqueu= =0a. Lainterpolaioens

donarauna olleiod'espaisdeBanahordenats entrel'espaimenorW 2

p;B ()

i el mes gran L p

(), entre els quals triarem els espais de fases. A mes, sobre

elsespaisextrems espoden triarde maneranaturaluns operadorslineals A

0;p

i A

1;p 0

, A

0;p : W

2

p;B ! L

p

i A

1;p : L

p

! (W 2

p;B )

0

tals que A

1;p

restringit a

W 2

p;B

oinideixi amb A

0;p

i de manera que, sobre els espais intermitjos, les

restriions de A

1;p

siguin igualmentoperadors lineals ontinus.

Veurem que nosaltres onsiderarem om a espai de fases l'espai W 1

p (),

amb p > n ( R n

). El que farem, pero, es mirar-nos-el om un espai

d'interpolaio i aprotar-ne les propietats que aixo ofereix. Aquesta forma

d'esollirl'espaide fases,enspermetraprendrel'espaid'arribadade l'operador

nolinealF mespetitquel'espaid'arribadadelapartlinealA. Aquestaesuna

diferenia notableamb la formulaioque fan alguns autors, om per exemple

D. Henryi A. Pazy, aL p

. Enaquells asos es teque F s'apliad'un subespai

dens d'un espai de Banah en l'espai de Banah.

Per a la formulaio (4) es podra admetre una formula de variaio de les

onstantsque donara una equaio integral pera la soluio,es adir,

u(t)=e At

u

0 +

Z

t

0 e

A(t )

F(u())d : (5)

En la proposiio 1.1 veurem que si f i g son funions de Lipshitz sobre

aotats o be son de lasse C 1

(R;R), aleshores F es igualment de Lipshitz

sobre aotats o de lasse C 1

, respetivament, de W 1

p

en (W

2 2 1=p 0

p 0

) 0

, amb

1=2< <1=2+1=2p.

Seguidament, en la seio 1.3 provarem, en el teorema1.1, que si F es de

Lipshitz sobre aotats existeix una unia soluio per al problema (3) per a

t2[0;T) i valoriniial u

0 2W

1

p

donat.

Finalment,alaseio 1.4 veurem queelsistemadinami T(t) quedeneix

(4) a W 1

p

i que ve donat per T(t)u

0

(11)

laproposiio1.2 esprovaraque lasoluio de (4)u esderivable respete de t a

valorsaW 1

p

,osaqueusarempertaldeprovaren elteorema1.3 quelasoluio

u(x;t) de (4) es de lasse C 1

en t a valors a C

() i de lasse C 2+

() per a

t>0,pera alguna>0. A mes, u(x;t) es soluiolassia del problema (3).

Una vegada vistos aquests resultats d'existenia, uniitat i regularitat de

lasoluio,en elaptol2trataremlesquestionsde l'estabilitatdelsequilibris.

Aquest segon aptol esta dividit en dues seions. En la primera donarem

un prinipi d'estabilitat i inestabilitat per linealitzaio per al problema (3).

Aquest es elresultatque esreull en elteorema2.1 i queens dona el arater

estableoinestable d'unequilibrien funiodelsignede l'espetredel'operador

lineal queapareixera en lalinealitzaio.

Enlasegonaseiodonarem unaarateritzaiomesassequiblequelaque

oferiraelprinipid'estabilitatdelaseioanteriorperalvalorpropimaximde

l'operadorlinealitzat. Elquefarem en aquestaseioesdonar un quoientde

Rayleighper alprimer valorpropi, es a dir, veurem que aquest es pot trobar

omelsuprem d'unquoientsobre funionsa W 1

2

. Com s'ha ditanteriorment

nosaltres onsiderarem que l'espai de fases es W 1

p

, amb p > n. Aleshores,

l'obtenio del quoient de Rayleigh a W 1

2

no sera suient sino que aldra

veure que el valor propi trobat amb el quoient donat arateritza, de fet,

el valor propi maxim de l'operador a W 1

p

. El teorema 2.2 es el que reull el

quoient del qualparlem.

El terer aptol l'hem dediat a la no existenia d'equilibris estables no

onstantsperalproblema(2),esadir, al'estudienfuniodef ided'aquells

asos onnomespoden tenir-sesoluionsd'equilibri establesonstants.

El aptol esta dividiten tres seions. A laprimera esdona una aotaio

a priori de la soluio si se suposa que la funio f es tal que existeixen a i b,

amba b, tals quef(u)u<0 si u <a o u>b. Aleshores, tota soluiou de

(2) satisfaa u(x)b, pera tota x2.

La segona seio parlara de ondiions sobre f per tal que tot equilibri

establesiguiunasoluioonstant. Elprimerresultateldonaremenelteorema

(12)

petita, llavors tota soluiod'equilibries onstant. Cal notar que nonomesels

equilibrisestabless'obtenen onstants,sinoquetambehoseran elsinestables.

El segon resultat, en la mateixa lnia anterior, que es donara es un

resul-tat que ja era onegut per a problemes de reaio-difusio amb ondiions de

Neumannhomogenies, omelproblema(1). R.G.CasteniC.J. Hollanda[11℄

onsideren el problema (1) i proven que si f es una funio de lasse C 2

amb

f 00

> 0 o f 00

< 0, aleshores, tota soluio d'equilibri estable es onstant. En

el nostre as, per al problema (2) provarem en elteorema 3.3 quesi f es una

funio onava o onvexa en el rang de valors que pren la soluio, aleshores

tota soluio d'equilibriestableesonstant.

Finalment, dediarem la terera i ultima seio d'aquest aptol a donar

alguna ondiio sobre el domini per a la qual, om abans, nomes es tinguin

equilibris estables onstants. Per exemple, per al problema (1) R.G.Casten i

C.J. Hollanda [11℄ iH. Matanoa [27℄ proven que sieldomini esonvex iu

esunasoluiod'equilibrinoonstantde lasseC 3

(), aleshores,uesinestable.

Per alproblema (2) alloque nosaltres provarem es quesi es una bolaa R n

,

n2, aleshores lesuniques soluionsd'equilibriestablesson lesonstants. Si

benopresentaremunresultatsobreonvexos,volemdestaarquelesteniques

utilitzadespertaldeprovarelnostreresultatsonmoltdiferentsd'aquellesque

usen els autors anteriors per als onvexos. Aix dons, neessitarem provar

que si = 0 es el primer valor propi de l'operador lineal que s'obte en la

linealitzaio del problema amb funio propia u, aleshores es un valor propi

(algebraiamenti geometriament)simple iu(x)>0pera tota x2.

Els dos aptols nals de la memoria estan dediats a la morfogenesi o

formaio de patrons. Aix dons,el aptol 4reollira un resultat d'existenia

d'equilibrisestablesnoonstants en dominisambvora disonnexa. En aquest

aptol i dividit en tres seions es veura om es possible trobar equilibris

establesnoonstantssieldominiesonnex itelavora disonnexa. Veurem

queen aquest as s'obte una soluio d'equilibrinoonstant molt propera ala

soluiode u=0a ambvalors onstants aada una de les omponents de

, que hauran d'esser diferents om amnima dues d'aquestes omponents.

(13)

quelasoluiotrobadaambaquest metodeesnoonstant inotan solsestable

sino que resultara asimptotiamentestable.

En el darrer i ultim aptol, dediat om deiem abans tambe a la

mor-fogenesi,esonsideraran,adifereniadelaptol4,dominisambvoraonnexa.

En aquest aptol veurem que existeixen equilibris estables no onstants per

a doministipus halter (\dumbbell"a la literaturahabitual en angles).

Nova-ment, omparantel nostreproblema amb (1), esoneixen per aaquest darrer

problema i sota determinades ondiions sobre f, resultats que proven

l'ex-istenia d'equilibris estables no onstants per a aquests dominis halter. Cal

itar el treball [27℄ en aquesta lnia. Aquest treball de H. Matano va esser

l'origende l'estudidel nostre problema en aquest tipus de dominis.

Volem fer notar, pero, que si be s'obtindran resultats parallels a aquells

de [27℄, les teniques que nosaltres usarem seran molt diferents. Aix dons,

mentreMatanobasal'existeniadelsequilibrisestablesnoonstantsenellema

deZorniaprotalamonotoniadelux,nosaltres arribemaprovarl'existenia

d'equilibrisestablesno onstants pera (2) basant-nos en lau-dimensionalitat

d'una varietatentral.

Els resultats prinipals d'aquest aptol es donaran en els teoremes 5.2 i

5.3. Elsprimersd'aqueststeoremesdonaralesondiionsques'hande satisfer

pertalque existeixialgunequilibri establenoonstant. Enelsegon, isempre

suposant que la funio f satisfa alguna hipotesi addiionalales dels aptols

anteriors, es veura l'existenia per a tota f d'un domini D per al qual valgui

el teorema primer, es a dir, existeixin equilibris estables no onstants. El

dominiques'obteteunaformasemblantaunhalterjaqueresultauniode dos

subdominisdisjunts atraves d'un terer subdomini \petit" omparativament

alsprimers.

Aabaremlamemoriaambdos apendixos referents, omja hemditabans,

elprimeralproblema (2) en dimension =1ielsegon aquestionsnumeriques

relaionadesamb eldarrer aptol.

Com aabem de dir, en relaio al inque aptol neix l'apendix B. Una

(14)

no onstants per a un domini xat d'aquests a R 2

. Per tal de simpliar

els aluls varem onsiderar D un domini unio de tres retangles, dos d'ells

disjuntsi grans omparativamenta un terermes estreti petit que els uneix.

Despres d'un primer intent usant series de Fourier varem optar per la via

dels elements nits. Aquest am i els resultatsque ens va proporionares el

que es reull en l'apendix B d'aquesta memoria. En aquell es justiara en

primer llo perque es tria D d'una determinada forma i quina funio f ens

onvindra triar. Una vegada xats D i f erarem un onjunt de valors per

a un parametre k que hauremafegit davant de laf, de forma que ens situem

sota les hipotesis del aptol 5 i es pugui intentar alular alguns equilibris

establesno onstants,dels qualses va provarl'existeniaen aquellaptol.

Finalment, amb un domini xat i una funio f donada presentarem en

la darrera seio om s'ha usat el metode dels elements nits. I per aabar,

donarem alguns gras que representin algunes soluions d'equilibri estables

(15)
(16)

Plantejament funional

Enaquestaptolestudiaremalgunsresultatsanaltisperalproblemaevolutiu

de reaio difusio

8

>

>

<

>

>

:

u

t

= u+g(u); a ;

u

= f(u); a ;

u(x;0) = u

0 (x):

(1.1)

Suposem que es un dominiaotat ambvora prouregular. Suposem que

f : R ! R i g : R ! R son dues funions amb el grau de regularitat que es

preisara mes endavant. Denotem per f(u) = f(u(x;t)), per a x 2 i per

g(u)=g(u(x;t)),perax2, onu:R !R i0<t<1. Aquu

denota

laderivada normalexterior i la ondiioiniial u

0

lasuposem oneguda.

Els resultats analtis dels quals parlem donen resposta a diverses de les

preguntes,entorndelproblema(1.1),queensplantejavem alaintroduio

an-terior. Aixdons,veuremque(1.1)admetunaformulaiosemilinealaW 1

p ()

i que es pot usar, a partir d'aixo, una formula de variaio de les onstants.

Tambe veurem quines ondiions aldra imposar sobre la part no lineal per

talde tenir existenia i uniitatde soluiodel problema i aabarem elaptol

amb una seio dediada a la regularitat de la soluio i a la ompaitat del

(17)

1.1 Formulaio semilineal

En la primera seio d'aquest aptol introduirem alguns espais i operadors

per tal que el problema (1.1) es pugui esriure en forma semilineal i admeti

lautilitzaiod'una formulade variaiode les onstants. Per fer-ho, usaremel

punt de vistade H.Amann ([3℄, seio12 i [7℄).

La idea de H. Amann es onsiderar erts espais, denits per interpolaio,

om aespais de fasei uns operadors sobre ellsque siguin generadorsde

semi-grups no lineals. Aquesta formulaio permet posar problemes mes generals

que el que aqu onsiderem, en forma semilineali s'aplia tambe a problemes

quasilineals. En els treballs de H. Amann dels quals parlem, un op

s'aon-segueixposarenformasemilinealelproblema,apareixunaformuladevariaio

de onstants que permet mirar-selasoluioom una equaiointegral.

Altres autors, om per exemple D. Henry a [20℄ i A. Pazy a [30℄, estudien

equaionssemilinealsdel tipus

8

>

<

>

: du(t)

dt

+Au(t) = f(t;u(t)); t >t

0

u(t

0

) = x

0

(1.2)

per als quals A es el generador innitessimal d'un semigrup analti en un

espai de Banah X. Per a aquests operadors A es poden onsiderar, per a

0 1, les potenies fraionaries A

(vegi's [30℄, seio 2.6) i el domini

D(A

) de les quals resulta un espai de Banah amb la norma del graf. En

aquests asos suposen que la funio f : U ! X, U R +

D(A

) un obert,

esloalmentHlder ontnua en t i loalmentLipshitz en x,a U.

En aquests treballs, pero, es onsideren ondiions de ontorn o be

ho-mogenies o be lineals. A mes, la formulaio de H. Amann s'aplia a una

olleio mes amplia de problemes i dona mes regularitat en la soluio que

altres formulaions que, tambe valides, requereixen mes restriions en les

hipotesis del problema.

Elsespaisque onsideraremseran espaisde Banahobtinguts permetodes

(18)

total-Abans de donar els espais que volem usar, anem a reordar breument que

fa lainterpolaioentre espais de Banah.

SiguinA

0 iA

1

dosespaisdeBanahenabitsenunespailinealdeHaussdorf

A. Anomenem fA

0 ;A

1

g una parella d'interpolaio. Suposem que tenim dues

parellesd'interpolaiofA

0 ;A

1 gi fB

0 ;B

1

g, ambB

0 iB

1

aB omabans. Sigui

T un operador lineal de A en B, tal que les restriions T

jAi

, i = 0;1, son

linealsontnues d'A

i enB

i

. ElquebusalainterpolaiosonespaisdeBanah

AA i B B, talsquela restriio T

jA

sigui un operadorlineal ontinud'A

en B. En aquest as es diu que A iB tenenla propietat d'interpolaio.

La teoria de la interpolaio, introduda per J.L. Lions, A.P. Calderon,

E. Gagliardo i S.G. Krejn entre 1958 i 1961, es entra en dues questions

basiament: d'unabanda,trobar\onstruions",F,talsqueA=F(fA

0 ;A

1 g)

iB =F(fB

0 ;B

1

g)tinguinlapropietatd'interpolaioi,peraltrabanda,la

de-sripio tantd'aquests espais A i B om de les onstruions F.

La primera questio troba resposta, entre d'altres, a [8℄ i [36℄, on es donen

elsmetodes d'interpolaiode tipus real i omplex.

Notem que si es prenen parelles d'espais de Banah ordenats, es a dir,

A

0 A

1

, la interpolaioens dona una famliad'espais de Banah intermitjos

i ordenats entre A

0 i A

1

. Els espais que nosaltres usarem aqu s'obtenen

d'apliarinterpolaioalgunesvegadesreal ialtresomplexaaparellesd'espais

de Sobolev,osa quedona espaisintermitjos que, om esveuramesendavant,

tambe sonespais de Sobolev.

Finalment,reordemquelanotaiousualeslaseguent: donadaunaparella

d'interpolaiofA

0 ;A

1 g, (A

0 ;A

1 )

;p

denota l'espai d'interpolaio relatiu a ella

usantelmetodereal,on01i1p1i[A

0 ;A

1 ℄

l'espaid'interpolaio

relatiu a ellausant el metode omplex, on 0 1. Si =0 s'obte A

0 i si

=1s'obte A

1

en ambdos asos. Sigui R n

un dominiaotat ambvora

regular. Per talde simpliarlanotaio,denotaremperL p

iW r

p

elsespais

L p

() i elsespais de Sobolev W r

p

(), respetivament,sempre queno hipugui

haver onfusio. Sigui W 2

p;B

l'espaide lesfunions de W 2

p

talsqueu

(19)

quedenotarem perE

iE

1

,denits per

E

= (L p

;W 2

p;B )

;p

E

1 =

(L p

0

;W 2

p 0

;B )

1 ;p 0

0

pera01i6=1=2ipera=1=2,onsideremelsespaisques'obtenen

de la interpolaioomplexa

E

1=2

= [L p

;W 2

p;B ℄

1=2

E

1=2

= ([L p

0

;W 2

p 0

;B ℄

1=2 )

0

:

Aqu pi p 0

sonexponents onjugats,es adir, 1=p+1=p 0

=1.

Estem interessats en que els nostres espais de fase siguin aquests espais

d'interpolaioi voldrem,sifospossible,donaruna millori messenzilla

ara-teritzaiod'aquests.

EsquanvolemarateritzarelsespaisE

queensapareix

una \singularitat" per al as = 1=2. Usant la interpolaio real es poden

identiar els espais obtinguts amb espais de Besov, que resulten ser espais

de Sobolev si 6= 1=2. Per tal que per a = 1=2 s'obtingui tambe un espai

de Sobolev onve usar la interpolaio omplexa, que dona espais de Bessel,

identiables ambW 1

p

quan =1=2.

Peralprimeras,P.Grisvard,a[17℄(teorema7.5),donaunaarateritzaio

dels E

ens termes d'espaisde Besov que pera 6=1=2resulten ser elsespais

de Sobolev seguents

E

=

8

<

: W

2

p

; si 02<1+1=p;

W 2

p;B

; si 1+1=p <22;

iperals espais duals

E

1 =

8

<

: (W

2 2

p 0

) 0

; si 02 2<1+1=p 0

;

(W 2 2

p 0

;B )

0

; si 1+1=p 0

<2 22:

Per a = 1=2, R. Seeley, a [33℄ (teorema 4.1), arateritza en termes

d'espais de Bessel alguns espais obtinguts usant interpolaio omplexa i que

en el nostreas resulten ser elsespais: E

1=2 =W

1

p i E

1=2 =(W

1

p 0

) 0

.

Veurem que els espais E

(20)

Sabem que es satisfan les inlusionsW 2 p;B W 1 p L p i (L p 0 ) 0 (W 1 p 0 ) 0 (W 2 p 0 ;B ) 0

, les quals son denses i ontnues. D'ara endavant identiarem els

espais (L p ) 0 i L p 0

, 1=p+1=p 0

= 1. Reordem que E

1 = (W 2 p 0 ;B ) 0 , E 0 = L p i E 1 =W 2 p;B

en lanotaio dels espais d'interpolaio.

Considerem elsoperadors lineals ontinus A

0;p i A

1;p

,denits per

A 0;p : E 1 ! E 0 i A 1;p : E 0 ! E 1

u ! u+u u ! '

u

on'

u

esla formalineal ontnua

' u : W 2 p 0 ;B ! R v ! Z

( uv+uv)dx :

Observem que A

1;p = (A

0;p 0)

0

, es a dir, A

1;p

es l'operador dual d'A

0;p 0

:

ertament, si !2(L p

) 0

, per al'operador dual d'A

0;p 0 tenim ((A 0;p 0 ) 0

!)v =<!;A

0;p 0

v >= Z

( v!+v!)dx=(A

1;p !)v

pera tota v 2L p

, osa que prova que(A

0;p 0) 0 =A 1;p .

Observem tambe que la restriio A

1;pj

E

1 = A

0;p

. Aquesta propietat es

unaapliaiode laformuladeGreenide laidentiaiodeL p i(L p 0 ) 0

,queens

dona una relaio u a u entre A

0;p u 2 L

p (L p 0 ) 0

i u+u2 L p

, per a tota

u2W 2

p;B .

Els espais d'interpolaio E

i E

1

, 0 1, son espais intermitjos

ordenatsentreE

1 iE

0

ientreE

0 iE

1

,respetivament,esadir,E

1 E E 0 i E 0 E 1 E 1

. A mes, aabem de denir un operador lineal ontinu

A

1;p

de maneraque E

0 iE

1

tenen lapropietat d'interpolaio. Per tant,per

lapropietat d'interpolaio,es permesonsiderar elsoperadorslineals ontinus

A

1

denits de l'espai E

en l'espai E

1 per A 1 = A 1;pj E . Podem

representar la situaioamb elseguent esquema

W 2

p;B

, ! E

, ! L p ? ? y A 0;p ? ? y A 1 ? ? y A 1;p L p

, ! E

1

, ! (W 2

0 )

(21)

en el qualhem usat novament que (L p 0 ) 0 =L p .

En elas partiular que =1=2, A

1=2

esta denit per

A 1=2 : W 1 p ! (W 1 p 0 ) 0

u ! A

1=2 u;

onA

1=2

uesla formalineal ontnuadenida per

A

1=2

u : W 1 p 0 ! R v ! Z

(rurv+uv)dx :

Considerem 2 [1=2;1=2+1=2p). En aquest as els espais d'interpolaio

E

que s'obtenen noontenenlaondiio de ontorn u

=0a, osa ques

passa si espren <1=2. Sigui u una soluio lassia de (1.1). En partiular,

u(;t)2W 2 p E iu t

(;t)2L p

=E

0

. Consideremv 2W 1

p 0

. Usantelprodute

de dualitatentre L p

i L p

0

i la formulade Green,del problema (1.1) s'obte

Z

u

t vdx+

Z

(rurv+uv)dx= Z

(g(u)+u)vdx+ Z f( p u) p 0v

d`; (1.3)

on

p i

p

0 denoten els operadors traasobre , esa dir,

u j = p u; p :W 2 p !W 2 1=p p () i v j = p 0 v; p 0 :W 2 2 p 0 !W

2 2 1=p 0

p 0

() :

Prenem =1=2. Sidenotem per <;>i per <;>

els produtesde

dualitatentre(W 1 p 0) 0 iW 1 p 0

usantqueL p =(L p 0 ) 0 (W 1 p 0) 0

ientre(W 1 1=p 0 p 0 ()) 0 iW 1 1=p 0 p 0

(), respetivament,(1.3) s'esriu

<u

t

;v >+<A

1=2

u;v >=<g(u)+u;v >+<f(

p u); p 0 v > : (1.4)

Notem que estem fent un abus quan suposem que la funio f es tal que

f(

p

u), per exemple, es de L p

() (W

2 2 1=p 0

p 0

()) 0

. Preisarem mes

(22)

Observaio 1.1 H.Amann provaa[3℄queessatisfatambeuna igualtatom

(1.4) pera >1=2, es adir, pera A

1

, en llode A

1=2

,i per alsespais E

i E

1

,en llode E

1=2 iE

1=2 .

Observaio 1.2 En els resultats futurs ens onvindra restringir l'estudi del

problema (1.1) a l'espai W 1

p

, es a dir, al as = 1=2.

Es per aixo que,

per questions pratiques i de simpliitat, d'ara endavant, onsiderarem =

1=2. No obstant aixo, els resultats que es veuran a les seions 1.2 i 1.3 son

igualment valids anviant E

1=2 = W

1

p

per E

i E

1=2 =(W

1

p 0

) 0

per E

1 amb

2[1=2;1=2+1=2p).

En la identitat (1.4) observem que apareixen dos produtes de dualitat

diferents. Ens interessaria,pertaldepoderarribaraunaformulaiosemilineal

del problema (1.1), tenir un uni produte. Per exemple, poder traduir el

produte de dualitat entre espais a la frontera en produte de dualitat entre

espais al'interior.

Pertald'aonseguiraquestpropositonsidereml'operadoradjuntde

p 0

iel

denotemper 0

p 0

. Esporveureque 0

p 0

apliaL p

()en (W 1

p 0())

0

. Aleshores,

sidonat que estem suposant que f(

p

u)2L p

(), perdualitat tenim

<f(

p u);

p 0

v >

=<

0

p 0f(

p

u);v > :

Per tant,a (1.4) ens queda

<u

t

;v >+<A

1=2

u;v >=<g(u)+u;v >+< 0

p 0f(

p

u);v >;

pera tota v 2W 1

p 0

.

Denotem A=A

1=2

i denotem perF l'operadornolineal

F(u)=g(u)+u+ 0

p 0f(

p u) :

Amb aquesta notaio arribem a veure que el problema (1.1) pot posar-se

en la formasemilineal

8

<

: u

t

+Au = F(u);

u(0) = u ;

(23)

a W 1

p

, amb p > 2, tot i que veurem en la seio seguent que onve prendre

p>n.

Veurem en la propera seio amb mes preisioom es l'operadorno lineal

F. De fet, F aplia E

, no tan sols en E

1

sino en un subespai mes petit

E

1

, amb > . A mes, veurem quines son les ondiions per tal que F

estiguiben denit ide quina maneraesreexen leshipotesis de regularitatde

lesfunions f i g sobre la part nolineal F.

Cal remarar una diferenia notableen la formulaio que hem fet aqu

re-speted'aquellausadaquanlesondiionsdeontornsonhomogenies. Mentre

queF :E

!E

1 E

1

enaquestas,taliomdeiemalprinipid'aquesta

seio,en elpuntde vistade D. Henryi A.Pazya L p

este quel'operadorno

linealF apliaunsubespaidensd'unespaideBanahenl'espaideBanah.

Es

adir,en aquellas l'espaid'arribadade lapartlinealide lapart nolineal son

elmateix. Noesaix, pero, om aabem de dir, pera laformulaiosemilineal

(1.5) obtinguda peral problema (1.1) usant espais d'interpolaio.

1.2 Condiions sobre els termes no lineals

L'objetiu de la seio seguentes donarondiions sobre lesdues funionsno

lineals f i g per talque l'operadorno lineal F que en resulta a la formulaio

semilineal (1.5) satisfai les ondiions que es neessiten per poder obtenir

l'existeniade soluioaW 1

p

. VeuremquesiF esunafuniode Lipshitzsobre

aotatspodem provarexistenia i uniitatde soluioi quepera lesquestions

referents a l'estabilitat aldra demanar una mia mes, aldra que F sigui de

lasse C 1

.

En funio de la regularitat que presentin les funions f i g veurem que

F esta denit de W 1

p

, no tan sols en E

1=2

, sino que l'espai d'arribada pot

prendre's mespetit, E

1 E

1=2

, amb >1=2.

Reordem quef i g sonfunionsrealsde variablereal iqueperf(u)ig(u)

entenem f(u(x;t)), per a x 2 , i g(u(x;t)), per a x 2 , respetivament,

i t 2 R +

. Suposem, a mes, que u 2 W 1

i que

p

u 2 W 1 1=p

(), on

(24)

W 1

p !W

1 1=p

p

() denota,om ala seio anterior, l'operadortraasobre la

vora . Reordem tambeque F(u)=u+g(u)+ 0

p 0

f(

p

u), on 0

p 0

es l'adjunt

de l'operador traa

p 0

: W 1

p 0

! W

1 1=p 0

p 0

(). Aleshores, tenim la seguent

proposiio:

Proposiio 1.1 Siguiundominisatisfentla propietatdelon. Suposemque

f ig sonfunionsrealsdevariablereali queestal que1=2 < <1=2+1=2p

i p>n. Aleshores

(i) Si f i g son funions de Lipshitz sobre aotats, llavors F es una funio

de Lipshitz sobre aotats de E

1=2 en E

1 .

(ii) Sif i g sonfunionsdelasseC 1

(R;R), llavorsF esunafuniodelasse

C 1

(en el sentit de Frehet) de E

1=2 en E

1 .

Observaio 1.3 Estemsuposanten aquestaproposiioqueeldominisobreel

qualonsideremelproblema(1.1)estalquesatisfalapropietatdelon. Finsel

momentnohavemxatenapmomentlaregularitatquehadetenir,nomes

havem dit que el suposarem prou regular. L'objete d'aquesta restriio es

queessatisfainaquellsenabimentsdeSobolevneessarisenlaprovad'aquest

resultat. Arabe, om veurem mesendavant, aixo nosera ap restriiopera

nosaltres, ja que els dominis que onsiderarem seran prou regulars per a que

satisfain l'esmentada propietat.

Anem a reordar que voldir queun dominisatisfai la propietat del on:

Deniio 1.1 Es diu queun domini satisfa la propietat del on si existeix

un on nit C tal que tot punt x2 es el vertex d'un on nit C

x

ontingut

a i ongruent amb C.

Perexemple, el domini de R 2

, f(x;y):0< y<x 2

; 0< x<1g no satisfa

la propietat del on. Notem, pero, que els dominis amb vora regular sempre

satisfan aquesta propietat.

(25)

Demostrai

o de la

Proposii

o 1.1. Considerem F(u) om la suma

F

1

(u)+F

2

(u),on

F

1

(u)=g(u)+u i F

2

(u)= 0

p 0f(

p u):

Sisomapaosde veure queF

1 iF

2

sonfunionsdeLipshitzsobreaotats

de W 1

p en E

1

ja haurem provat que F es de Lipshitz sobre aotats de W 1

p

en E

1 .

LafunioF

i

esdeLipshitzsobreaotatssisobrequalsevolaotatB W 1

p ,

F

i

esunafuniodeLiphitz,i=1;2. Equivalentment,peratoteslesu;v 2B,

existeixen C

1 i C

2

onstants, talsque nomes depenen de B i essatisfa

kF

i

(u) F

i (v)k

E

1 C

i

ku vk

W 1

p

per ai=1;2:

ComenaremperF

1

. Siguin B, u i v lesque aabem de dir.

kF

1

(u) F

1 (v)k

E

1

= sup

k'k

W 2 2

p 0

;B =1

Z

(g(u) g(v))'+(u v)') dx

sup

k'k

W 2 2

p 0

;B =1

Z

jg(u) g(v)jj'jdx+ Z

ju vjj'jdx

: (1.6)

Estem suposant que g es una funio de Lipshitz sobre aotats, es a dir,

quepera qualsevolompate J R existeixuna onstant C =C(J)tal que

jg(x) g(y)jCjx yj

per aqualssevol x;y2J.

Donat que satisfa lapropietat del on, elteorema 5.4 de [1℄ ens diu que

si1<p<1 i onsiderems >0, sin <(s j)p pera algun enter no negatiu

j, essatisfa lainlusio

W s

p

() ,!C j

b ()

ies ontnua, on C j

b

() es el onjunt de funions u2 C j

()amb D

(26)

En el nostre as s = 1 i onsiderem j = 0. Aleshores, om p > n, es

ert l'enabiment W 1

p C

0

b

(). Per tant, om u;v 2 W 1

p

, u i v son funions

ontnues i aotades sobre . Com u;v 2 B C 0

b

(), existeix una onstant

M =M(B) talque!(x)2[ M;M℄ peratota x2i pera tota !2B. Per

tant,usant ara que g es Lipshitz sobre aotats,a (1.6), ens queda

kF 1 (u) F 1 (v)k E 1 sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 Z (C M

ju vjj'j+ju vjj'j) dx

(C

M

+1)ku vk

L p sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 k'k L p 0 k(C M

+1)ku vk

W 1

p ;

osa que provaque F

1

es Lipshitz sobre B, prenent C

1

=k(C

M +1).

Considerem ara l'altra funio, es a dir, F

2

. Donades u, v i B om abans

tenim kF 2 (u) F 2 (v)k E 1 = sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 Z 0 p 0 f( p u) 0 p 0 f( p v) 'dx :

Estem suposant que <1=2+1=2p, osa que implia que 2 2 > 1=p 0

.

Per tant, te sentit prendre la traa sobre de la funio ' 2 W 2 2 p 0 ;B . Aix dons, kF 2 (u) F 2 (v)k E 1 sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 Z jf( p

u) f(

p v)jj

p 0'j

d`:

UsantaraargumentsanalegsalsusatsperaF

1

,l'enabimentW 1 1=p p () C 0 b

(), ja quep>n, i laontinutatdels operadors traa

p i

p 0

,ens donen

kF 2 (u) F 2 (v)k E 1 C 0 sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1

fk'k

W 2 2 p 0 gC 00

ku v k

W 1

p

C

2

ku v k

W 1

p

tali omvolem. Ara,ladesigualtattriangular provaqueF esLipshitz sobre

aotats,amb laqual osa aabem lademostraiode l'apartat (i).

Anem a provar la difereniabilitat de F, provant que F

1 i F

2

son

(27)

de Frehet de F

1

DF

1

(u): W 1

p

! E

1

h ! DF

1 (u)h

esta denitper

DF

1

(u)h: W 2 2 p 0 ;B ! R v ! Z ((g 0

(u)h+h)v)dx:

Cal veure que

kF

1

(u+h) F

1 (u) DF 1 (u)hk E 1

khk

W 1

p

!0

quan khk

W 1

p

!0. Comenem per aotarel numerador

kF

1

(u+h) F

1 (u) DF 1 (u)hk E 1 sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 Z

jg(u+h) g(u) g 0

(u)hjj'jdx sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 Z jg 0

( ) g 0

(u)jjhjj'jdx

ja que estem suposant g 2 C 1

(R;R). Com a l'apartat (i), donat que p > n,

es satisfa l'enabiment W 1

p C

0

b

(). Aleshores podem onsiderar la onstant

M :=sup

x2 jg

0

( (x)) g 0

(u(x))j, la qual tendeix a 0 quan khk

W 1

p

! 0, ja que

(x) esta entre u(x) i u(x)+h(x) i g 0

es uniformement ontnua sobre

om-pates. Usant la desigualtatde Hlder s'obte

kF

1

(u+h) F

1 (u) DF 1 (u)hk E 1

M khk

L p sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1

k'k

L p 0 Mkhk L p ;

ambla qualosa veiem que l'operadordiferenial de F

1 es DF

1 .

Queda veure queDF

1

esontinu. Suposem " >0 donat. Volem veure que

existeixÆ =Æ(") talque siku vk

W 1

p

<Æ, aleshores

(28)

Comenem aotant kDF 1 (u) DF 1 (v)k L(W 1 p ;E 1 ) = sup khk W 1 p =1 k DF 1 (u)h DF 1 (v)hk E 1 sup khk W 1 p =1 sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 Z (jg 0 (u) g 0

(v)jjhjj'j+ju vjjhjj'j)dx sup khk W 1 p =1 sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 M 1 Z

jhjj'jdx+M

2 Z

jhjj'jdx onM 1 =sup x2 jg 0 (u(x)) g 0

(v(x))jiM

2

=sup

x2

ju(x) v(x)jiestanbendenides

per ser u;v 2 C 0

b

() i g 0

ontnua, per hipotesi. Usant ara la desigualtat de

Hlder s'arribaa

kDF 1 (u) DF 1 (v)k L(W 1 p ;E 1 ) M 1 +M 2 :

Del fetque g 0

esuniformementontnuasobre un intervaladequat i,

nova-ment,que W 1

p C

0

b

(),espossibletriarÆ proupetit de maneraqueM

1

"=2

i M

2

"=2,osa que prova laontinutatde DF

1 .

Cal provarelmateix peraF

2

. Enaquest as ide maneraanalogaesprova

que

DF

2

(u): W 1

p

! E

1

h ! DF

2 (u)h

denitper

DF

2

(u)h: W 2 2 p 0 ;B ! R v ! Z (f 0 ( p u) p h p 0 v)d`

esl'operadordiferenialde Frehet de F

2

. Usem, om abans,laontinutatde

g 0

,lainlusiode W 1 1=p

p

()C

0

b

()ilaontinutatdels operadorstraa

p

i

p 0

.

Pertalde veure laontinutatde l'operadorDF

2

s'usa novament

l'enabi-ment W 1 1=p

p

() C

0

b

(), la ontinutat uniforme de g 0

i la ontinutat de

p i

p

0, amesde ladesigualtat de Hlder.

Pertant,F esuna funio C 1 de W 1 p en E 1

(29)

1.3 Existenia i uniitat de soluio

En aquest moment tenim a punt les eines neessaries per tal de provar que

el problema (1.5), es a dir, el problema en forma semilineal orresponent al

problema (1.1) a W 1

p

, te soluio unia per a tota ondiio iniial u

0 2 W

1

p

donada. Primer de tot, anem a veure ques'enten persoluio de (1.5).

Deniio 1.2 Una funio u:[0;T℄!W 1

p

es una soluio de (1.5) si satisfa:

(i) u es ontnua a [0;T℄.

(ii) u2C 1

((0;T);E

1=2 ).

(iii) u satisfa (1.5) si t 2(0;T).

Usant resultats d'interpolaio i, novament, el punt de vista de H. Amann

es pot provar (vegi's [4℄ (apendix), [3℄ i [7℄) que, per a tota tal que 1=2

< 1=2 +1=2p, A es el generador innitessimal d'un semigrup analti

fe tA

; t0ga E

1 .

Aleshores,esvalidaunaformuladevariaiodelesonstantsperalproblema

(1.5) queens dona l'equaiointegral seguent per a lasoluio u,

u(t)=e tA

u

0 +

Z

t

0 e

(t )A

F(u())d; (1.7)

pera totat 2[0;T℄. (Potonsultar-se [4℄, [7℄ i[12℄ pertalde veure l'obtenio

d'aquestaequaio).

Observem que l'equaio integral (1.7) es dedueix de l'equaio (1.5) en el

sentitque totasoluiode (1.5)essoluiode(1.7): efetivament,siuessoluio

de (1.5), onsiderem

D

s (e

A(t s)

u(s)) = e A(t s)

u

s

(s)+e A(t s)

Au(s)

= e A(t s)

(30)

Arabe,delfetqueelsemigrupgeneratperl'operador Asiguiunsemigrup

analti, es dedueix que tota soluio de (1.7) es soluio de (1.5). Per tant, hi

hauna equivalenia entre les soluionsde (1.5) iles de (1.7). (Vegi's [7℄i [12℄

pera mesdetalls).

Amb tot aixo, anem a veure l'existenia de soluio per al problema (1.5)

situant-nos,siespossible,sota leshipotesisd'algunteoremadelpuntxo,per

essermespreisos, provaremde tenir ondiionssuients pertald'apliarun

teoremade ontraio. Aquesta es laraoper laqualens interessaria tenir per

al semigrup fe tA

; t 0g una desigualtat om la que satisfan els semigrups

que H. Amann obteperals seus problemes (teorema 10, [4℄) i que donem tot

seguit:

Observaio 1.4 Sigui fe tA

g elsemigrup analtisobre l'espai E

1

generat

perl'operadorA=A

1

,1=2 <1=2+1=2p,omalaseio1.1. Si >!,

essatisfa

ke tA

k

L(E

1 ;E

)

Mt 1

e t

; t>0 (1.8)

on! >0 es talque

ke tA

k

L(E

1 )

me !t

i laonstant M =M( ;).

Reordem que en el nostre as =1=2.

Veurem que ladesigualtat (1.8)es essenialen la demostraiodel seguent

teorema.

Teorema 1.1 Suposem que F : W 1

p ! E

1

, amb 1=2 < < 1=2+1=2p, es

una funio de Lipshitz sobre aotats. Aleshores, per a tot aotat B W 1

p i

per aqualsevol u

0

2B, existeix T =T(B)>0 talque elproblema (1.5)te una

unia soluio a [0;T℄, amb valor iniial u

0

. A mes,la soluio u(t)es ontnua

respete de la ondiio iniial u

0 .

Demostrai

o. Suposem que F es una funio de Lipshitz sobre aotats.

Donat B W 1

p

sigui L =L(B) la onstant de Lipshitz de lafunio F sobre

B,esadir, per atota v;w2B essatisfakF(v) F(w)k

E

1

Lkv wk

(31)

Sigui B

R

una bola a W 1

p

de radi R que ontingui B,es adir, B B

R per

auna R xada.

Siguin K >0i T =T(B)>0 tals que

ke At

u

0 k

W 1

p <

R+K

2

; si 0tT

M(L(B

R+K

)(R+K)+kF(u

0 )k

E

1 )

Z

T

0 e

s

s 3=2

ds<

R+K

2 :

Considerem, ames, el onjunt

S = n

v 2W 1

p

: v ontnua, v(0)=u

0

i kv(t)k

W 1

p

R+K sit 2[0;T℄ o

:

Noesdifilveure que S esun espai metri omplet ambla distania

dist (v;w)= sup

0tT

kv(t) w(t)k

W 1

p :

Donat v 2S, onsiderem

G(v): [0;T℄ ! W 1

p

t ! G(v)(t)

denitper

G(v)(t)=e At

u

0 +

Z

t

0 e

A(t s)

F(v(s))ds:

VeuremqueG apliaS en S iesuna transformaioontnuaiontrativa.

Aix dons,

kG(v)(t)k

W 1

p

ke

At

u

0 k

W 1

p +

Z

t

0 ke

A(t s)

k

L(E

1 ;E

1=2 )

kF(v(s))k

E

1 ds

R+K

2 +

Z

t

0 Me

(t s)

(t s) 3=2

kF(v(s)) F(v(0))k

E

1

+ kF(v(0))k

E

1

ds

R+K

2

+M(L(B

R+K

)(R+K)+kF(u

0 )k

E

1 )

Z

T

0 e

s

s 3=2

(32)

Es a dir, G(v)2B

R+K

. A mes, eslar que G(v)2W 1

p

i G(v)(0)=u

0 per

onstruio. Es omprova tambe que G(v) es ontnua a [0;T℄, amb la qual

osa, G:S!S.

Siguin ara v;w2S ialulem

kG(v)(t) G(w)(t)k

W 1

p

Z

t

0 ke

A(t s)

k

L(E

1 ;E

1=2 )

kF(v(s)) F(w(s))k

E

1 ds

ML(B

R+K ) sup

0tT

kv(t) w(t)k

W 1

p Z

t

0 e

s

s 3=2

ds ;

desigualtat ertapera tota t2[0;T℄. Per tant,de ladeniio de T,dedum

dist (G(v);G(w)) 1

2

dist (v;w):

Es adir, G es una transformaio ontrativai, per tant, ontnua.

Aleshores, del teorema del punt x dedum que existeix una unia funio

u 2S que es un punt x per a G,es a dir, u(t) = G(u)(t), t 2 [0;T℄, la qual

osaequivaladirqueexisteixunaunia soluiode l'equaio(1.7)iaixoaaba

lademostraiodelaprimerapart delteorema, jaque, om hemditabans,per

asemigrups analtis aixoequivaladirqueuessoluiouniadel problema en

formasemilineal(1.5), om volem.

Amb aquest resultat, de l'equivalenia entre soluio del problema (1.7) i

del(1.5),deduml'existeniad'unaunia soluioloalperalproblemaoriginal

(1.1). La ondiioqueF sigui una funio de Lipshitz sobreaotats, sip>n,

es tradueix sobre les funions f i g de (1.1) en que, segons es prova en la

proposiio1.1, tambe siguinfunions de Lipshitz sobre aotatsa R.

Observaio 1.5 Segons hem provat al teorema 1.1, si F es una funio de

Lipshitz sobre aotats,el problema (1.5)te una uniasoluio,donats u

0 2B

i B W 1

p

aotat, a [0;T) amb T >T = T(B)> 0. Diem que T es maximal

sideixa d'haver soluiodel problema a[0;T

1 ) si T

1 >T.

En les hipotesis del teorema 1.1, es pot veure que si ku(t)k

W 1

p

K, per

(33)

la soluio es mante aotada per a tot temps d'existenia es pot ontinuar la

soluiopera tot temps t>0.

Certament,suposem que ku(t)k

W 1

p

K per aalguna K >0,es a dir, que

lasoluioesmantedinsd'una bolaB

K aW

1

p

de radi K i peratota t<T(B).

Triem ara " prou petita. Si apliquem ara el teorema 1.1 a l'aotat B

K , amb

ondiioiniialu(T(B) "),existeixuntempsT(B

K

)>0talqueexisteixuna

uniasoluiodelproblema(1.5),u

1

(t),sit<T(B

K

),ambu

1

(0) =u(T(B) ").

Si s'ha triat " prou petita, es lar que T

1

= T(B) "+T(B

K

) > T(B). A

mes, esveu quela funio v(t) denida

v(t)= 8

<

:

u(t); 0tT(B) "

u

1

(t); T(B) "tT

1

es soluio de (1.5) a [0;T

1 ).

Es lar que la reiteraio d'aquest argument de

ontinuaiode lasoluioens dona l'exitenia de soluio pera tota t>0.

1.4 Regularitat i ompaitat

Fins el moment hem vist que donada p > n el problema (1.1) pot esriure's

om un problema de valor iniial semilineal abstrate a (W 1

p 0)

0

, de la forma

(1.5), amb espai de fases (es a dir, el domini de l'operador lineal A i del no

lineal F) W 1

p

. Hem vist tambe quees pot reduir auna equaio integralusant

la formulade variaiode onstants. Igualment, por trobar-se que deneix un

sistemadinami regularT(t),

T(t)u

0 =e

At

u

0 +

Z

t

0 e

A(t )

F(T()u

0

)d (1.9)

a W 1

p

. La mateixa demostraio del teorema 1.1 ens assegura que T(t)u

0 es

ontnuarespete de la ondiioiniial u

0

, mentre queestigui denit.

En aquesta seio anema donar algunsresultats referents a laompaitat

delsistemadinamiT(t)ialaregularitatqueespotassegurar peralasoluio

de(1.1),donadaunaondiioiniialu

0 aW

1

(34)

suposarem que la funio F es una funio de Lisphitz sobre aotats, mentre

que en els temes de la regularitat aldra que suposem que F es una funio

C 1

(E

1=2 ;E

1 ).

Comenarem veient que T(t) es ondiionalment ompate, es a dir, que

si B W 1

p

es aotat i el onjunt fT(s)u : u 2 B i 0 < s < tg tambe ho es,

aleshores T(t)B esompate.

Teorema 1.2 SuposemqueF es una funiode Lipshitz sobre aotats. Per a

t>0, elsistemadinamiT(t):W 1

p !W

1

p

, denit a(1.9),es ondiionalment

ompate.

Per tal de provar aquest resultat seguirem el mateix esquema que una

demostraio de ompaitat feta per J. Hale a [19℄ per a sistemes dinamis

d'equaions d'evoluio setorials.

Abans de veure la demostraio d'aquest teorema, neessitem introduir la

mesuradenoompaitatdeKuratowskid'unsubonjuntd'unespaideBanah,

aix om un resultat previ que donarem en el lema 1.1. Comenem per la

deniio:

Deniio 1.3 Donat un espai de Banah X, sigui B X un subonjunt. La

mesurade noompaitat de Kuratowski de B, (B), es deneix per

(B)=inffd : existeix un reobriment nit de B

amb boles de diametre dg:

La funio satisfa les seguents propietats, de les quals nomes n'usarem

dues ala demostraio del teorema1.2 :

(i) (B)=0 per aB X sii nomes siB es relativamentompate.

(35)

(iv) (oB)= (B),on B X io denota l'envolvent onvexa tanada.

El lema del qualparlavem esel seguent:

Lema 1.1 Per a tota t>0, l'operador e tA

es ompate de W 1

p en E

1=2 .

Demostrai

o. Fixatt>0,e tA

esontinude W 1

p en W

1

p

. Arabe,sabem

que la inlusio W 1

p E

1=2

es ompata. Per tant, e tA

es ompate de W 1

p

en E

1=2 .

Passem ara ala demostraio del teorema1.2.

Demostrai

o del Teorema 1.2. Sigui B un onjunt aotat a W 1

p .

Considerem ara elonjunt

B

1 =

Z

t

0 e

A

F(T(t )u)d : u2B

:

Fixat t >0, onsiderem,a mes, el onjunt

C=fT(t )u : u2B i 0 tg:

Per hipotesi, C esaotat a W 1

p .

Triem ">0 talque 0<"<t i onsiderem

Z

t

0 e

A

F(T(t )u)d

= Z

"

0 e

A

F(T(t )u)d + Z

t

" e

A"

e

A( ")

F(T(t )u)d

= I(0;")+e A"

I(";t):

Considerem primerI(";t)i veurem queesta aotata W 1

p .

Z

t

" e

A( ")

F(T(t )u)d

W 1

p

M

(t ") 1=2

1=2

M

(36)

on M = M(C). Per tant, es aotat. En el lema 1.1 hem vist que e A"

es

ompate,amblaqualosa,esdedueixquee A"

I(";t)esompate. Aleshores,

lamesura de Kuratowski (e A"

I(";t))=0.

Peraltra banda

kI(0;")k

W 1

p =

Z

"

0 e

A

F(T(t )u)d

W 1

p m

" 1=2

1=2 :

Aleshores, per les propietats de la mesura de Kuratowski, s'obte (B

1 )

(I(0;"))+ (e A"

I(";t))= (I(0;")),es a dir,

(B

1 )m

" 1=2

1=2

per a tota " > 0. D'aqu (B

1

) = 0.

Es a dir, B

1

es relativament

om-pate i, apliant el lema 1.1 al primer sumand de T(t)u

0

, dedum que T(t) es

ondiionalmentompate.

Passem ara a veure quina regularitat es pot assegurar per a la soluio de

(1.5), donadauna ondiioiniial u

0 a W

1

p .

Teorema 1.3 Suposem que f i g son funions de lasse C 1

(R;R). Donada

u

0 2 W

1

p

, existeix > 0 tal que la soluio u(x;t) = T(t)u

0

de (1.5) es de

lasse C 1

en t a valors en C

() i de lasse C 2+

() per a ada t>0. A mes,

u(x;t) es soluio lassia del problema (1.1).

Abans de provaraquest teorema anem a donar el seguent resultat de

reg-ularitatde urespete de t.

Proposiio 1.2 Suposem que F es una funio de lasse C 1

(E

1=2 ;E

1 ) amb

1=2 < <1=2+1=2p. Donada u

0 2 W

1

p

, la soluio u(x;t) =T(t)u

0

de (1.5)

es de lasse C 1

en t>0 a valors a W 1

p .

Demostrai

o. Considerem elproblema d'evoluio

8

<

: v

t

+Av = F(v); a

v(0) = u ; a :

(37)

onel parametre>0.

Si v es soluio de (1.10), per a tota 0 t T es prova que v es un punt

x de l'apliaio

G:C([0;T℄;W 1

p

)(0;1) !C([0;T℄;W 1

p )

(v;) !G(v;)

denida per

G(v;)=e At

u

0 +

Z

t

0 e

A(t )

F(v())d:

Com a la demostraio del teorema 1.1 es veu que G() es una ontraio

uniforme a C([0;T℄;W 1

p

). Sabem que es satisfa (1.8) per al semigrup generat

per A. Proedint de manera analoga a la demostraio del teorema 1.1 i

denimT, K, iS om alla,es omprova queG aplia S en S itambe que

kG()(v) G()(u)k

W 1

p

jjML max

0tT

jv(t) u(t)j Z

t

0 jj

3=2

jt j 3=2

d

jj

1=2

ML dist (u;v)

ondist (;) es la del teorema1.1. Aleshores, podem triar T =T() de

man-era que jj 1=2

ML < 1, amb la qual osa provem que G es una ontraio

uniforme a S C([0;T℄;W 1

p

). Per tant, existeix un uni punt x per a G,

depenent de la , que anomenaremv =v()=v(t;u

0 ;).

Anem a veure quel'apliaio

!v(t;u

0 ;)

es de lasse C 1

(I;W 1

p

), I (0;1). Si veiem que G 2 C 1

(C([0;T℄;W 1

p )

I;C([0;T℄;W 1

p

)) ja ho tindrem. I aixo es equivalent a veure que existeixen

les derivades parials G=v i G= i que son ontnues. Del fet que F 2

C 1

(W 1

p ;E

1

)es dedueix el quevolem.

Per a tota > 0, onsiderem v(t) = v(t;u

0

;). Sigui u(t) = u(t;u

0 ) la

(38)

onsiderem =t, ambla qualosa obtenimu(t;u

0

)=v(1;u

0

;t). Aabem de

veure que v esderivable amb ontinutatrespete del parametre, a valors a

W 1

p

i pertant hoes respete de t.

Demostrai

o del Teorema 1.3. La primera part del teoremaes

on-sequenia de la proposiio 1.2: donat que p > n, existeix alguna , amb

0 <1 n=p,talqueW 1

p C

(). Ara,omuesde lasseC 1

ent avalors

aW 1

p

,tambeho sera a valors a C

( ).

Dedumd'aqu, ames, quexatx

0

2, existeixla funio

t u(x

0

;t) pera

t>0i es ontnua.

Anem aveure ara queu2C 2+

() pera adat >0. Reordemque perla

proposiio1.2 sabem que u

t 2W

1

p

. Pertal de veure-hoonsiderem el seguent

problema auxiliar

8

<

:

w = '; a;

w

+w = ; a:

(1.11)

on ' = u+g(u) i = f(

p u)+

p

u, amb u la soluio del problema (1.1).

Donat que estem suposant que f;g 2 C 1

(R;R) i u 2 W 1

p

es pot veure que

'2W 1

p

i 2W 1 1=p

p

().

Anemaveureenprimerlloquelasoluiowde(1.11)esdelasseC 2+

()

per a alguna0 < <1. Com p>n, existeix , amb 0 <1 n=p, per a

laqual elsenabimentsW 1

p C

() i W 1 1=p

p

()C

() sonerts.

Veurem tot seguit que la funio 2 C 1+

(): usant la densitat de la

inlusioC 1+

() W

1 1=p

p

(), onsideremunasuessiode funions(

n )

n ,

n 2C

1+

(), talsque

n

! aW

1

p

. Peraada

n

onsideremelproblema

8

<

:

w

n

= '; a;

(w

n )

+w

n =

n

; a;

(1.12)

on ' 2 W 1

p

es la d'abans. A [15℄ es prova que existeixen i son uniques les

soluions dels problemes (1.12), per a n 1. A mes, w

n 2 C

2+

(39)

Ara,l'enabimentC 2+

( ) W 2

p

ens permet apliarelteorema15.2de [2℄

ales difereniesw

n w

m

, sin 6=m, d'on en resulta

kw n w m k W 2 p

C(k' 'k

L p +k n m k W 1 1=p p () +kw n w m k L p) : (1.13)

Es lar que k

n m k W 1 1=p p ()

! 0 si n;m ! 1. Veurem mes endavant

que kw n w m k L

p !0 si n;m!1, amb laqual osa el termede ladreta de

la desigualtat (1.13) tendeix a 0 quan n;m ! 1. Aix dons, la suessio de

soluions (w

n )

n

es una suessio de Cauhy a W 2

p

i, per tant, w

n

! w a W 2

p

quan n ! 1, essent w soluio de (1.11). Per tant, la soluio del problema

(1.11)esuna funiode lasse C 1+

() ja queW 2

p C

1+

().

Passem aveure quekw

n w m k L p

!0sin;m!1. Peraaixoonsiderem

elproblema (1.12) per aw

n

i per aw

m

iels restem. S'obte

8 < : (w n w m

) = 0; a ;

(w n w m ) +(w n w m ) = n m

; a :

(1.14)

Per tant, la diferenia w

n w

m

es una funio harmonia i pel prinipi del

maximde Hopf ([31℄) obtenim

sup (w n w m

) sup

( n m ) inf (w n w m

) inf

(

n m

)

d'on aabem deduint

sup jw n w m

jsup

j

n m

j=k

n m k C 0 () Kk n m k W 1 1=p p () :

Per tant, kw

n w m k L p

!0 quan n;m!1.

Aleshores, hem obtingutque la soluio ! del problema (1.11)es de lasse

C 1+

(). A mes, sabem que ' 2 W 1

p

i 2 W 1 1=p

p

(). Per tant, apliant

lesestimaionsde Shauderesveu, omfanD.Gilbarg iN.S.Trudinger a[15℄,

que, de fet,la soluio de (1.11)esmes regular,es adir, que w2C 2+

().

(40)

Donada v 2W 1

p 0

, lasoluio del problema (1.1) satisfa

Z

u

t vdx+

Z

rurvdx= Z

g(u)vdx+ Z

f(

p u)

p 0vd`;

om havem vist a (1.3). De la mateixa forma es pot veure que la soluio w

del problema (1.11) satisfa

Z

u

t

vdx+ Z

rwrvdx = Z

g(u)vdx+ Z

f(

p u)

p 0v

d`

+ Z

(

p

u

p w)

p 0

vd`:

Ara,restantles dues igualtatsens queda

Z

(ru rw)rvdx+ Z

(

p

u

p w)

p 0

vd`=0

per a tota v 2 W 1

p 0

. Considerem v = u w 2 W 1

p

W

1

p

0, ja que p 0

p si

pn 2. Aleshores,

Z

r(u w) 2

dx+ Z

(

p

0(u w)) 2

d`=0;

d'on esdedueixque u=w. Per tant,lasoluiou del problema (1.1)en forma

febleesde lasseC 2+

( ). Arabe,siuessoluiounia de (1.3)iu2C 2+

(),

aleshores u es soluio de (1.1), amb la qual osa aabem la demostraio del

(41)
(42)

Estabilitat i inestabilitat

d'equilibris

D'araendavantelnostreinteresesentrara en l'estudide soluionsd'equilibri

peralproblema d'evoluio(1.1)que varemonsiderar alaptol1,esadir, en

lessoluions del problema

8

<

:

u+g(u) = 0; a ;

u

= f(u); a ;

(2.1)

onR n

es un dominiaotat amb frontera regular.

En el aptol anterior varem veure que el problema (1.1) pot posar-se en

forma semilineal, es a dir, en la forma (1.5). Anem a donar, en primer llo,

algunesdeniions sobre estabilitatd'equilibris.

Deniio 2.1 Sigui

u

t

+Au=F(u) (2.2)

una equaio semilineal. Diem que u(t) u

0

es un punt d'equilibri si es una

soluio de (2.2),es a dir, si u

0

2D(A) i Au

0

=F(u

(43)

Deniio 2.2 (Deniions d'estabilitat)

Un punt d'equilibri u

0

es estable a W 1

p

si, per a tota " >0, existeix Æ >0

tal que tota soluio v 2 W 1

p

amb kv(0) u

0 k

W 1

p

< Æ existeix a t 2 [0;+1) i

satisfa kv(t) u

0 k

W 1

p

<" per a tota t0.

Elpuntd'equilibriu

0

esuniformementasimptotiamentestablesiesestable

i hi ha un entorn

V =fv 2W 1

p

:kv u

0 k

W 1

p <rg

tal que kv(t) u

0 k

W 1

p

!0 quan t !+1, uniformement per a v 2V.

Un punt d'equilibri u

0

es inestable sino es estable.

En la primera seio veurem que la linealitzaio del problema (1.1) al

voltant d'un punt d'equilibri u

0

, ens dona un prinipi d'estabilitat i

inesta-bilitatlligatalsignedel valorpropimaximdel'operadorlinealqueen resulta,

om passa en general en els problemes semilineals.

Enlaseio2.2donaremunaarateritzaiod'aquestvalorpropimaximde

l'operador linealitzat. Aquesta arateritzaio ve donada per un quoient de

Rayleigh, es adir, el valorpropi maximve donat pelsuprem (2.13) en l'espai

Hilbert W 1

2

. Ara be, el problema (2.1) l'estem onsiderant a W 1

p

, per la qual

osa alprovar que elvalor propiaix trobat i lafuniopropia assoiada aell

aW 1

2

, sonel valorpropimaximamb igual funio propia a W 1

p

,osa no trivial

d'entrada.

2.1 Estabilitat i inestabilitat per linealitzaio

Suposem quef ig son funionsC 1

(R;R) i que u

0

esun punt d'equilibri de

8

<

: u

t

+Au = F(u)

u(0) = u

0 :

(2.3)

Hem vist a la proposiio 1.1 de la seio 1.2 que si f i g son funions de

lasseC 1

(R;R) aleshores l'operadornolineal F esde lasse C 1

(W 1

p ;E

(44)

Sota aquestes hipotesis tenim

F(u

0

+v)=F(u

0

)+DF(u

0

)v+G(v)

amb kG(v)k

E

1

=o(k v k

W 1

p

) quan kv k

W 1

p

! 0. Aquesta desomposiioens

suggereixonsiderar la linealitzaiodel problema (2.3),esa dir,

v

t

+Av =DF(u

0

)v (2.4)

irelaionarl'estabilitatde l'equilibriu

0

ambelsigne delvalorpropimaximde

l'operadorlineal que apareix a(2.4).

Taliomdeiemalaintroduiodelaptol,elqueanemadonarenprimer

llo es un prinipi d'estabilitat i inestabilitat que reollim en el seguent

teo-rema:

Teorema 2.1 Sigui u

0

un punt d'equilibri de (2.3) i sigui (B) l'espetre de

l'operador B =DF(u

0

) A. Aleshores

(i) Si(B)fRe <agper aalgunaa <0, aleshores u

0

esuniformement

asimptotiament estable a W 1

p .

(ii) Si (B)\fRe >0ges un onjunt espetral nobuit, aleshores u

0 es un

punt d'equilibriinestable a W 1

p .

L'apartat (i)es el mateix que dir que si la linealitzaio (2.4) es

uniforme-ment asimptotiament estable aleshores u

0

esuniformement asimptotiament

establea W 1

p

. De fet, elque veurem es que existeix>0i M 1 talsquesi

ku

0 u

1 k

W 1

p

2M

aleshores existeix una unia soluiode

8

<

: u

t

+Au = F(u); sit 0

u(0) = u

1

(2.5)

denida a [0;+1) talque satisfa, pera tota t 0

ku u

0 k

W

12Me at

ku

1 u

0 k

Figure

FiguraA.2:
FiguraA.2: p.114
FiguraA.3:L��nia
ont��nuagruixuda:k=1.L��nia
ont��nuaprima:k=2.L��niadis
ont��nuagruixuda:k=3.L��niadis
ot��nuaprima:k=5
FiguraA.3:L��nia ont��nuagruixuda:k=1.L��nia ont��nuaprima:k=2.L��niadis ont��nuagruixuda:k=3.L��niadis ot��nuaprima:k=5 p.115
FiguraB.1:DominiD
FiguraB.1:DominiD p.119
FiguraB.2:
FiguraB.2: p.123
FiguraB.3:
FiguraB.3: p.124
FiguraB.4:Superior:Dambunamallagrollera.Inferior:DetalldeD3ambunamallagrollera.
FiguraB.4:Superior:Dambunamallagrollera.Inferior:DetalldeD3ambunamallagrollera. p.130
FiguraB.5:Superior:Dambunamallare�nada.Inferior:DetalldeD3ambunamallare�nada.
FiguraB.5:Superior:Dambunamallare�nada.Inferior:DetalldeD3ambunamallare�nada. p.131

Referencias

Actualización...

Related subjects :