amb
Condiions de Contorn No Lineals
Neus Consul Porras
UniversitatPolitenia deCatalunya
amb
Condiions de Contorn No Lineals
Neus Consul Porras
Memoriapresentada pera aspiraral grau
de Dotoraen Matematiques
Departament de MatematiaApliada I
Universitat Politeniade Catalunya
estatrealitzadapernaNeusConsulPorras
sota lameva direio, al Departament de
Matematia Apliada I de la Universitat
Politenia de Catalunya.
Barelona, Mar de 1997.
Dr. JoanSola-Morales iRubio
Catedrati d'Universitat de Matematia
Apliada
Vull aprotar aquest espai per donar les graies a totes aquelles
per-sones que,d'algunamanerao altra,han fetpossiblelarealitzaio d'aquesta
memoria.
Enprimerllovullmostrarelmeu agramentde totoralmeu diretor
de tesi, en Joan Sola-Morales. Ell em va introduir en aquest treball i ha
estat ellqui,paientment,m'haestatensenyant iajudanttots aquestsanys.
Es per aixo que li haig d'agrair tot el temps que m'ha dediat, les seves
suggereniesiideesiels seus onsellsen eldesenvolupament d'aquestatesi.
Ino pudeixarde bandalamevagratitud enversd'enJoanquanen aquells
moments mes baixos imes difilsm'ha estat reolzant i animant. Per tot
aixoipermoltes altres oses quesegurament estiometent,graiesJoan.
Haigd'estendreelmeuagramentatots elsaltresmembres delSeminari
d'Equaions enDerivadesParials/Sistemes DinamisUAB-UPC,ambels
quals m'hetrobat molta gusttotaquest temps.
Duranttotsaquests anys heomptatamb laompanyia ielreolzament
detotselsompanysdelDepartamentdeMatematia ApliadaI. Atots ells
moltes graiesperl'animqueentotmomenthe estatrebent. No pudeixar
d'agrair a l'
Angel Jorba el seu ajut informati. Tambe reordo amb molta
simpatia tots els moments ompartits amb el queha estat elmeu ompany
de despatx totsaquests anys,en Miguel
Angel Barja.
Molt espeialment haig d'agrair als meus estimats pares tota la seva
omprensio,ompanyiaipaieniaquem'hanofertentotmoment. Haigde
ferextensiu aquestagrament als meussogres.
Finalment, un agrament molt emoionat a la persona que m'ha
aom-panyat en aquest llarg am, en Juanje. Sense el seu anim i reolzament
duranttots aquestsanysno haguesarribat alnald'aquesttreball. Graies
per la paienia mostrada en tot moment i per la teva omprensio innita
Elproblema paraboli nolineal
8
>
>
<
>
>
:
u
t
= u+f(u); a ;
u
= 0; a ;
u(x;0) = u
0 (x);
(1)
enundominiaotatR n
represental'evoluioeneltempsdelaonentraio
u d'una determinada substania en un ontenidor isolat, el qual esta sotmes
alsefetes d'una reaio nolineal representada perla funio f i d'una difusio
lineal homogenia.
Es fail omprovar que els zeros de la funio f son soluions d'equilibri
onstants per al problema (1). L'existenia de soluions d'equilibri estables
no onstants per al problema (1) i amb n 2 es un fenomen important, que
sovint s'anomena \morfogenesi" oformaiode patrons.
Motivats per aquest problema amb ondiions de ontorn de Neumann
homogenies, el que anem a presentar en aquesta memoria preten ontribuir
a l'estudi de soluions d'equilibri estables no onstants per a una equaio de
difusio amb ondiions de ontorn de Neumann no lineals. El problema que
onsideraremes elseguent:
8
<
: u
t
= u; a;
u
= f(u); a:
(2)
SuposemqueeldominiR n
,n 2,esaotatiambfronteraregular.
En la ondiio de ontorn,
la frontera. La soluio u = u(x;t) es una funio de R en R i la funio
f(u):!R.
De manera semblant a allo que deiem per al problema (1), podem
inter-pretar (2) om l'equaio que modela l'evoluio d'una onentraio sota els
efetes onjunts d'una difusio lineal homogenia a l'interior d'un ontenidor i
unareaionolinealquesueeixuniamentalafronteraiqueverepresentada
per f. Per exemple,perla presenia d'un atalitzador.
L'observaio de fenomens fsis, qumis, biologis i d'enginyeria que es
poden modelar amb aquest tipus d'equaions presenten sovint ondiions de
ontorn nolineals. Aquest fet fa augmentar l'interes en l'estudi de problemes
om el(2).
Tal om passa per al problema (1), els zeros de la funio f son soluions
d'equilibri onstants del problema (2). Ens preguntem, pero, per l'existenia
ono de soluions d'equilibriestablesno onstants.
Observem,perexemple,quesieldominiesnoonnexespodenonstruir
de maneratrivialequilibris establesnoonstantsassignant aada omponent
onnexadiferentsvalors onstants
i
,talsque f(
i
)=0i f 0
(
i
)<0.
(L'esta-bilitat d'aquests equilibris no es immediata i se seguira d'un prinipi
d'esta-bilitat per linealitzaio per al problema (2), tal om es veura en el aptol 2
d'aquestamemoria.)
Com ja es pot deduir del que aabem de dir, en el moment que varem
deidir estudiar equilibris estables, es feia neessari tenir riteris per tal de
determinar l'estabilitat de les soluions d'equilibri. Per exemple, un prinipi
d'estabilitatperlinealitzaio.
Ambaquest objetiu se'nsvafer neessariun estudimesprofunddel
prob-lema de valoriniial pera (2).
Es peraixo quealloque varem questionar-nos
en un primer moment era en quins espais de funions estava ben plantejat el
problemaiquinesondiions aliaimposarsobref pertaldetenirexisteniai
uniitatde soluio. Unavegadaresoltaaquestaquestiointentaremobtenirun
d'estabilitatdels equilibris.
Es onegut que laformulaioabstrata de problemes de valoriniial pera
equaionsde reaio-difusio om
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
: u
t
u = g(u); a;
u
= f(u); a;
u(x;0) = u
0 (x):
(3)
en un domini aotat R n
, om un problema d'evoluio en un espai de
funionss'aostuma afer,quan lesondiionsde fronterasonlineals,
inorpo-rant les esmentades ondiions en la deniio de l'espai de fases. Destaquem
algunesreferenies: [20℄, [30℄, :::
Arabe,elsproblemesambondiionsdeontornnolinealssonquelommes
difil,om es potveure a [3℄, [4℄, [5℄, [7℄i [12℄. La inorporaioen aquest as
de les ondiions de ontorn a l'espai de funions no dona un espai vetorial,
per la qual osa l'us de les teniques de l'Analisi Funional sembla, en una
primeraaproximaio alproblema, no massasenzill.
Existeix un am, suggerit per H. Amann, per tal de poder superar
aque-sta diultat. Aquest punt de vista ha estat usat per ell mateix en l'estudi
de problemes parabolis quasilinealsi de sistemes amb ondiions de ontorn
no lineals, om es pot veure a [3℄, [5℄. Igualment, altres autors, om per
ex-emple [12℄, [34℄, estudien problemes diversos amb ondiions de ontorn no
lineals usant les teniques i els resultats de H. Amann. En aquesta memoria
desenvoluparem en una primera part el punt de vista de H. Amann per al
as d'equaions paraboliques semilineals amb ondiions de ontorn de tipus
Neumannno lineals,om a (3),
Abans, pero, d'iniiar l'estudi del problema (2), ens va semblar natural
omenar pelas messenzill d'un interval,esa dir, pera dimension=1. Els
resultats obtinguts ens semblen prou interessants om per reservar un espai,
l'apendix A, on exposar-los. Cal dir que aquest va esser el primer ontate
amb el problema (2) i que el que s'obte per als equilibris resulta illustratiu
resultatsd'existeniaiuniitatdesoluioielprinipid'estabilitatquedonarem
enelsdosprimersaptolsdelamemoriaseranperalproblemamesgeneral(3).
Ambelsresultatsqueveuremalsaptols1i2jaestenenleseines neessaries
per tal d'estudiar el nostre objetiu prinipal: l'existenia o no d'equilibris
establesno onstantsperal problema (2).
Els tres darrers aptols d'aquesta memoria estaran dediats a aquestes
questions de la morfogenesi. Conretament, en el aptol 3 veurem alguns
asos on no es possible que existeixin equilibris estables no onstants i en
els dos ultims, es a dir, en els aptols 4 i 5, es veuran alguns exemples on
s es tindra existenia d'equilibris estables no onstants. En el aptol 4 es
onsideraran dominis a R n
, n 2, onnexos amb vora disonnexa i en el
aptol5 dominisambvora onnexa.
Finalment,despresdel'apendixAqueitavemabans,aabaremlamemoria
ambun segon apendix ones fan aluls explits de soluions om aquellesde
lesquals s'haura provat l'existenia en elaptol 5.
Desripio dels resultats
Talom deiem abanshem utilitzaten elplantejament funionaldel nostre
problema el punt de vista que dona H. Amann ([3℄, seio 12) per a aquest
tipusde problemes. Aquest puntde vistaonsisteix,essenialment, en
onsid-erarespaisdefunionsprougransiveureom,ambunabonaeleiod'aquests
espais, anomenats espais de fase, i dels operadors lineals involurats,
s'aon-segueix inorporar les ondiions de ontorn en una equaio semilineal om
una nova nolinealitat.
Aix dons, en el aptol 1 es mostrara om es pot formular de manera
semilinealelproblema (3), esa dir, en la forma
8
<
: u
t
= Au+F(u);
u(0) = u
0 ;
(4)
semilineal (4) onsiderarem una olleio d'espais de funions obtinguts per
interpolaio entre els espais de Banah W 2
p;B
() i L p
(), on W 2
p;B
() denota
l'espaide lesfunionsde W 2
p
() talsqueu= =0a. Lainterpolaioens
donarauna olleiod'espaisdeBanahordenats entrel'espaimenorW 2
p;B ()
i el mes gran L p
(), entre els quals triarem els espais de fases. A mes, sobre
elsespaisextrems espoden triarde maneranaturaluns operadorslineals A
0;p
i A
1;p 0
, A
0;p : W
2
p;B ! L
p
i A
1;p : L
p
! (W 2
p;B )
0
tals que A
1;p
restringit a
W 2
p;B
oinideixi amb A
0;p
i de manera que, sobre els espais intermitjos, les
restriions de A
1;p
siguin igualmentoperadors lineals ontinus.
Veurem que nosaltres onsiderarem om a espai de fases l'espai W 1
p (),
amb p > n ( R n
). El que farem, pero, es mirar-nos-el om un espai
d'interpolaio i aprotar-ne les propietats que aixo ofereix. Aquesta forma
d'esollirl'espaide fases,enspermetraprendrel'espaid'arribadade l'operador
nolinealF mespetitquel'espaid'arribadadelapartlinealA. Aquestaesuna
diferenia notableamb la formulaioque fan alguns autors, om per exemple
D. Henryi A. Pazy, aL p
. Enaquells asos es teque F s'apliad'un subespai
dens d'un espai de Banah en l'espai de Banah.
Per a la formulaio (4) es podra admetre una formula de variaio de les
onstantsque donara una equaio integral pera la soluio,es adir,
u(t)=e At
u
0 +
Z
t
0 e
A(t )
F(u())d : (5)
En la proposiio 1.1 veurem que si f i g son funions de Lipshitz sobre
aotats o be son de lasse C 1
(R;R), aleshores F es igualment de Lipshitz
sobre aotats o de lasse C 1
, respetivament, de W 1
p
en (W
2 2 1=p 0
p 0
) 0
, amb
1=2< <1=2+1=2p.
Seguidament, en la seio 1.3 provarem, en el teorema1.1, que si F es de
Lipshitz sobre aotats existeix una unia soluio per al problema (3) per a
t2[0;T) i valoriniial u
0 2W
1
p
donat.
Finalment,alaseio 1.4 veurem queelsistemadinami T(t) quedeneix
(4) a W 1
p
i que ve donat per T(t)u
0
laproposiio1.2 esprovaraque lasoluio de (4)u esderivable respete de t a
valorsaW 1
p
,osaqueusarempertaldeprovaren elteorema1.3 quelasoluio
u(x;t) de (4) es de lasse C 1
en t a valors a C
() i de lasse C 2+
() per a
t>0,pera alguna>0. A mes, u(x;t) es soluiolassia del problema (3).
Una vegada vistos aquests resultats d'existenia, uniitat i regularitat de
lasoluio,en elaptol2trataremlesquestionsde l'estabilitatdelsequilibris.
Aquest segon aptol esta dividit en dues seions. En la primera donarem
un prinipi d'estabilitat i inestabilitat per linealitzaio per al problema (3).
Aquest es elresultatque esreull en elteorema2.1 i queens dona el arater
estableoinestable d'unequilibrien funiodelsignede l'espetredel'operador
lineal queapareixera en lalinealitzaio.
Enlasegonaseiodonarem unaarateritzaiomesassequiblequelaque
oferiraelprinipid'estabilitatdelaseioanteriorperalvalorpropimaximde
l'operadorlinealitzat. Elquefarem en aquestaseioesdonar un quoientde
Rayleighper alprimer valorpropi, es a dir, veurem que aquest es pot trobar
omelsuprem d'unquoientsobre funionsa W 1
2
. Com s'ha ditanteriorment
nosaltres onsiderarem que l'espai de fases es W 1
p
, amb p > n. Aleshores,
l'obtenio del quoient de Rayleigh a W 1
2
no sera suient sino que aldra
veure que el valor propi trobat amb el quoient donat arateritza, de fet,
el valor propi maxim de l'operador a W 1
p
. El teorema 2.2 es el que reull el
quoient del qualparlem.
El terer aptol l'hem dediat a la no existenia d'equilibris estables no
onstantsperalproblema(2),esadir, al'estudienfuniodef ided'aquells
asos onnomespoden tenir-sesoluionsd'equilibri establesonstants.
El aptol esta dividiten tres seions. A laprimera esdona una aotaio
a priori de la soluio si se suposa que la funio f es tal que existeixen a i b,
amba b, tals quef(u)u<0 si u <a o u>b. Aleshores, tota soluiou de
(2) satisfaa u(x)b, pera tota x2.
La segona seio parlara de ondiions sobre f per tal que tot equilibri
establesiguiunasoluioonstant. Elprimerresultateldonaremenelteorema
petita, llavors tota soluiod'equilibries onstant. Cal notar que nonomesels
equilibrisestabless'obtenen onstants,sinoquetambehoseran elsinestables.
El segon resultat, en la mateixa lnia anterior, que es donara es un
resul-tat que ja era onegut per a problemes de reaio-difusio amb ondiions de
Neumannhomogenies, omelproblema(1). R.G.CasteniC.J. Hollanda[11℄
onsideren el problema (1) i proven que si f es una funio de lasse C 2
amb
f 00
> 0 o f 00
< 0, aleshores, tota soluio d'equilibri estable es onstant. En
el nostre as, per al problema (2) provarem en elteorema 3.3 quesi f es una
funio onava o onvexa en el rang de valors que pren la soluio, aleshores
tota soluio d'equilibriestableesonstant.
Finalment, dediarem la terera i ultima seio d'aquest aptol a donar
alguna ondiio sobre el domini per a la qual, om abans, nomes es tinguin
equilibris estables onstants. Per exemple, per al problema (1) R.G.Casten i
C.J. Hollanda [11℄ iH. Matanoa [27℄ proven que sieldomini esonvex iu
esunasoluiod'equilibrinoonstantde lasseC 3
(), aleshores,uesinestable.
Per alproblema (2) alloque nosaltres provarem es quesi es una bolaa R n
,
n2, aleshores lesuniques soluionsd'equilibriestablesson lesonstants. Si
benopresentaremunresultatsobreonvexos,volemdestaarquelesteniques
utilitzadespertaldeprovarelnostreresultatsonmoltdiferentsd'aquellesque
usen els autors anteriors per als onvexos. Aix dons, neessitarem provar
que si = 0 es el primer valor propi de l'operador lineal que s'obte en la
linealitzaio del problema amb funio propia u, aleshores es un valor propi
(algebraiamenti geometriament)simple iu(x)>0pera tota x2.
Els dos aptols nals de la memoria estan dediats a la morfogenesi o
formaio de patrons. Aix dons,el aptol 4reollira un resultat d'existenia
d'equilibrisestablesnoonstants en dominisambvora disonnexa. En aquest
aptol i dividit en tres seions es veura om es possible trobar equilibris
establesnoonstantssieldominiesonnex itelavora disonnexa. Veurem
queen aquest as s'obte una soluio d'equilibrinoonstant molt propera ala
soluiode u=0a ambvalors onstants aada una de les omponents de
, que hauran d'esser diferents om amnima dues d'aquestes omponents.
quelasoluiotrobadaambaquest metodeesnoonstant inotan solsestable
sino que resultara asimptotiamentestable.
En el darrer i ultim aptol, dediat om deiem abans tambe a la
mor-fogenesi,esonsideraran,adifereniadelaptol4,dominisambvoraonnexa.
En aquest aptol veurem que existeixen equilibris estables no onstants per
a doministipus halter (\dumbbell"a la literaturahabitual en angles).
Nova-ment, omparantel nostreproblema amb (1), esoneixen per aaquest darrer
problema i sota determinades ondiions sobre f, resultats que proven
l'ex-istenia d'equilibris estables no onstants per a aquests dominis halter. Cal
itar el treball [27℄ en aquesta lnia. Aquest treball de H. Matano va esser
l'origende l'estudidel nostre problema en aquest tipus de dominis.
Volem fer notar, pero, que si be s'obtindran resultats parallels a aquells
de [27℄, les teniques que nosaltres usarem seran molt diferents. Aix dons,
mentreMatanobasal'existeniadelsequilibrisestablesnoonstantsenellema
deZorniaprotalamonotoniadelux,nosaltres arribemaprovarl'existenia
d'equilibrisestablesno onstants pera (2) basant-nos en lau-dimensionalitat
d'una varietatentral.
Els resultats prinipals d'aquest aptol es donaran en els teoremes 5.2 i
5.3. Elsprimersd'aqueststeoremesdonaralesondiionsques'hande satisfer
pertalque existeixialgunequilibri establenoonstant. Enelsegon, isempre
suposant que la funio f satisfa alguna hipotesi addiionalales dels aptols
anteriors, es veura l'existenia per a tota f d'un domini D per al qual valgui
el teorema primer, es a dir, existeixin equilibris estables no onstants. El
dominiques'obteteunaformasemblantaunhalterjaqueresultauniode dos
subdominisdisjunts atraves d'un terer subdomini \petit" omparativament
alsprimers.
Aabaremlamemoriaambdos apendixos referents, omja hemditabans,
elprimeralproblema (2) en dimension =1ielsegon aquestionsnumeriques
relaionadesamb eldarrer aptol.
Com aabem de dir, en relaio al inque aptol neix l'apendix B. Una
no onstants per a un domini xat d'aquests a R 2
. Per tal de simpliar
els aluls varem onsiderar D un domini unio de tres retangles, dos d'ells
disjuntsi grans omparativamenta un terermes estreti petit que els uneix.
Despres d'un primer intent usant series de Fourier varem optar per la via
dels elements nits. Aquest am i els resultatsque ens va proporionares el
que es reull en l'apendix B d'aquesta memoria. En aquell es justiara en
primer llo perque es tria D d'una determinada forma i quina funio f ens
onvindra triar. Una vegada xats D i f erarem un onjunt de valors per
a un parametre k que hauremafegit davant de laf, de forma que ens situem
sota les hipotesis del aptol 5 i es pugui intentar alular alguns equilibris
establesno onstants,dels qualses va provarl'existeniaen aquellaptol.
Finalment, amb un domini xat i una funio f donada presentarem en
la darrera seio om s'ha usat el metode dels elements nits. I per aabar,
donarem alguns gras que representin algunes soluions d'equilibri estables
Plantejament funional
Enaquestaptolestudiaremalgunsresultatsanaltisperalproblemaevolutiu
de reaio difusio
8
>
>
<
>
>
:
u
t
= u+g(u); a ;
u
= f(u); a ;
u(x;0) = u
0 (x):
(1.1)
Suposem que es un dominiaotat ambvora prouregular. Suposem que
f : R ! R i g : R ! R son dues funions amb el grau de regularitat que es
preisara mes endavant. Denotem per f(u) = f(u(x;t)), per a x 2 i per
g(u)=g(u(x;t)),perax2, onu:R !R i0<t<1. Aquu
denota
laderivada normalexterior i la ondiioiniial u
0
lasuposem oneguda.
Els resultats analtis dels quals parlem donen resposta a diverses de les
preguntes,entorndelproblema(1.1),queensplantejavem alaintroduio
an-terior. Aixdons,veuremque(1.1)admetunaformulaiosemilinealaW 1
p ()
i que es pot usar, a partir d'aixo, una formula de variaio de les onstants.
Tambe veurem quines ondiions aldra imposar sobre la part no lineal per
talde tenir existenia i uniitatde soluiodel problema i aabarem elaptol
amb una seio dediada a la regularitat de la soluio i a la ompaitat del
1.1 Formulaio semilineal
En la primera seio d'aquest aptol introduirem alguns espais i operadors
per tal que el problema (1.1) es pugui esriure en forma semilineal i admeti
lautilitzaiod'una formulade variaiode les onstants. Per fer-ho, usaremel
punt de vistade H.Amann ([3℄, seio12 i [7℄).
La idea de H. Amann es onsiderar erts espais, denits per interpolaio,
om aespais de fasei uns operadors sobre ellsque siguin generadorsde
semi-grups no lineals. Aquesta formulaio permet posar problemes mes generals
que el que aqu onsiderem, en forma semilineali s'aplia tambe a problemes
quasilineals. En els treballs de H. Amann dels quals parlem, un op
s'aon-segueixposarenformasemilinealelproblema,apareixunaformuladevariaio
de onstants que permet mirar-selasoluioom una equaiointegral.
Altres autors, om per exemple D. Henry a [20℄ i A. Pazy a [30℄, estudien
equaionssemilinealsdel tipus
8
>
<
>
: du(t)
dt
+Au(t) = f(t;u(t)); t >t
0
u(t
0
) = x
0
(1.2)
per als quals A es el generador innitessimal d'un semigrup analti en un
espai de Banah X. Per a aquests operadors A es poden onsiderar, per a
0 1, les potenies fraionaries A
(vegi's [30℄, seio 2.6) i el domini
D(A
) de les quals resulta un espai de Banah amb la norma del graf. En
aquests asos suposen que la funio f : U ! X, U R +
D(A
) un obert,
esloalmentHlder ontnua en t i loalmentLipshitz en x,a U.
En aquests treballs, pero, es onsideren ondiions de ontorn o be
ho-mogenies o be lineals. A mes, la formulaio de H. Amann s'aplia a una
olleio mes amplia de problemes i dona mes regularitat en la soluio que
altres formulaions que, tambe valides, requereixen mes restriions en les
hipotesis del problema.
Elsespaisque onsideraremseran espaisde Banahobtinguts permetodes
total-Abans de donar els espais que volem usar, anem a reordar breument que
fa lainterpolaioentre espais de Banah.
SiguinA
0 iA
1
dosespaisdeBanahenabitsenunespailinealdeHaussdorf
A. Anomenem fA
0 ;A
1
g una parella d'interpolaio. Suposem que tenim dues
parellesd'interpolaiofA
0 ;A
1 gi fB
0 ;B
1
g, ambB
0 iB
1
aB omabans. Sigui
T un operador lineal de A en B, tal que les restriions T
jAi
, i = 0;1, son
linealsontnues d'A
i enB
i
. ElquebusalainterpolaiosonespaisdeBanah
AA i B B, talsquela restriio T
jA
sigui un operadorlineal ontinud'A
en B. En aquest as es diu que A iB tenenla propietat d'interpolaio.
La teoria de la interpolaio, introduda per J.L. Lions, A.P. Calderon,
E. Gagliardo i S.G. Krejn entre 1958 i 1961, es entra en dues questions
basiament: d'unabanda,trobar\onstruions",F,talsqueA=F(fA
0 ;A
1 g)
iB =F(fB
0 ;B
1
g)tinguinlapropietatd'interpolaioi,peraltrabanda,la
de-sripio tantd'aquests espais A i B om de les onstruions F.
La primera questio troba resposta, entre d'altres, a [8℄ i [36℄, on es donen
elsmetodes d'interpolaiode tipus real i omplex.
Notem que si es prenen parelles d'espais de Banah ordenats, es a dir,
A
0 A
1
, la interpolaioens dona una famliad'espais de Banah intermitjos
i ordenats entre A
0 i A
1
. Els espais que nosaltres usarem aqu s'obtenen
d'apliarinterpolaioalgunesvegadesreal ialtresomplexaaparellesd'espais
de Sobolev,osa quedona espaisintermitjos que, om esveuramesendavant,
tambe sonespais de Sobolev.
Finalment,reordemquelanotaiousualeslaseguent: donadaunaparella
d'interpolaiofA
0 ;A
1 g, (A
0 ;A
1 )
;p
denota l'espai d'interpolaio relatiu a ella
usantelmetodereal,on01i1p1i[A
0 ;A
1 ℄
l'espaid'interpolaio
relatiu a ellausant el metode omplex, on 0 1. Si =0 s'obte A
0 i si
=1s'obte A
1
en ambdos asos. Sigui R n
un dominiaotat ambvora
regular. Per talde simpliarlanotaio,denotaremperL p
iW r
p
elsespais
L p
() i elsespais de Sobolev W r
p
(), respetivament,sempre queno hipugui
haver onfusio. Sigui W 2
p;B
l'espaide lesfunions de W 2
p
talsqueu
quedenotarem perE
iE
1
,denits per
E
= (L p
;W 2
p;B )
;p
E
1 =
(L p
0
;W 2
p 0
;B )
1 ;p 0
0
pera01i6=1=2ipera=1=2,onsideremelsespaisques'obtenen
de la interpolaioomplexa
E
1=2
= [L p
;W 2
p;B ℄
1=2
E
1=2
= ([L p
0
;W 2
p 0
;B ℄
1=2 )
0
:
Aqu pi p 0
sonexponents onjugats,es adir, 1=p+1=p 0
=1.
Estem interessats en que els nostres espais de fase siguin aquests espais
d'interpolaioi voldrem,sifospossible,donaruna millori messenzilla
ara-teritzaiod'aquests.
EsquanvolemarateritzarelsespaisE
queensapareix
una \singularitat" per al as = 1=2. Usant la interpolaio real es poden
identiar els espais obtinguts amb espais de Besov, que resulten ser espais
de Sobolev si 6= 1=2. Per tal que per a = 1=2 s'obtingui tambe un espai
de Sobolev onve usar la interpolaio omplexa, que dona espais de Bessel,
identiables ambW 1
p
quan =1=2.
Peralprimeras,P.Grisvard,a[17℄(teorema7.5),donaunaarateritzaio
dels E
ens termes d'espaisde Besov que pera 6=1=2resulten ser elsespais
de Sobolev seguents
E
=
8
<
: W
2
p
; si 02<1+1=p;
W 2
p;B
; si 1+1=p <22;
iperals espais duals
E
1 =
8
<
: (W
2 2
p 0
) 0
; si 02 2<1+1=p 0
;
(W 2 2
p 0
;B )
0
; si 1+1=p 0
<2 22:
Per a = 1=2, R. Seeley, a [33℄ (teorema 4.1), arateritza en termes
d'espais de Bessel alguns espais obtinguts usant interpolaio omplexa i que
en el nostreas resulten ser elsespais: E
1=2 =W
1
p i E
1=2 =(W
1
p 0
) 0
.
Veurem que els espais E
Sabem que es satisfan les inlusionsW 2 p;B W 1 p L p i (L p 0 ) 0 (W 1 p 0 ) 0 (W 2 p 0 ;B ) 0
, les quals son denses i ontnues. D'ara endavant identiarem els
espais (L p ) 0 i L p 0
, 1=p+1=p 0
= 1. Reordem que E
1 = (W 2 p 0 ;B ) 0 , E 0 = L p i E 1 =W 2 p;B
en lanotaio dels espais d'interpolaio.
Considerem elsoperadors lineals ontinus A
0;p i A
1;p
,denits per
A 0;p : E 1 ! E 0 i A 1;p : E 0 ! E 1
u ! u+u u ! '
u
on'
u
esla formalineal ontnua
' u : W 2 p 0 ;B ! R v ! Z
( uv+uv)dx :
Observem que A
1;p = (A
0;p 0)
0
, es a dir, A
1;p
es l'operador dual d'A
0;p 0
:
ertament, si !2(L p
) 0
, per al'operador dual d'A
0;p 0 tenim ((A 0;p 0 ) 0
!)v =<!;A
0;p 0
v >= Z
( v!+v!)dx=(A
1;p !)v
pera tota v 2L p
, osa que prova que(A
0;p 0) 0 =A 1;p .
Observem tambe que la restriio A
1;pj
E
1 = A
0;p
. Aquesta propietat es
unaapliaiode laformuladeGreenide laidentiaiodeL p i(L p 0 ) 0
,queens
dona una relaio u a u entre A
0;p u 2 L
p (L p 0 ) 0
i u+u2 L p
, per a tota
u2W 2
p;B .
Els espais d'interpolaio E
i E
1
, 0 1, son espais intermitjos
ordenatsentreE
1 iE
0
ientreE
0 iE
1
,respetivament,esadir,E
1 E E 0 i E 0 E 1 E 1
. A mes, aabem de denir un operador lineal ontinu
A
1;p
de maneraque E
0 iE
1
tenen lapropietat d'interpolaio. Per tant,per
lapropietat d'interpolaio,es permesonsiderar elsoperadorslineals ontinus
A
1
denits de l'espai E
en l'espai E
1 per A 1 = A 1;pj E . Podem
representar la situaioamb elseguent esquema
W 2
p;B
, ! E
, ! L p ? ? y A 0;p ? ? y A 1 ? ? y A 1;p L p
, ! E
1
, ! (W 2
0 )
en el qualhem usat novament que (L p 0 ) 0 =L p .
En elas partiular que =1=2, A
1=2
esta denit per
A 1=2 : W 1 p ! (W 1 p 0 ) 0
u ! A
1=2 u;
onA
1=2
uesla formalineal ontnuadenida per
A
1=2
u : W 1 p 0 ! R v ! Z
(rurv+uv)dx :
Considerem 2 [1=2;1=2+1=2p). En aquest as els espais d'interpolaio
E
que s'obtenen noontenenlaondiio de ontorn u
=0a, osa ques
passa si espren <1=2. Sigui u una soluio lassia de (1.1). En partiular,
u(;t)2W 2 p E iu t
(;t)2L p
=E
0
. Consideremv 2W 1
p 0
. Usantelprodute
de dualitatentre L p
i L p
0
i la formulade Green,del problema (1.1) s'obte
Z
u
t vdx+
Z
(rurv+uv)dx= Z
(g(u)+u)vdx+ Z f( p u) p 0v
d`; (1.3)
on
p i
p
0 denoten els operadors traasobre , esa dir,
u j = p u; p :W 2 p !W 2 1=p p () i v j = p 0 v; p 0 :W 2 2 p 0 !W
2 2 1=p 0
p 0
() :
Prenem =1=2. Sidenotem per <;>i per <;>
els produtesde
dualitatentre(W 1 p 0) 0 iW 1 p 0
usantqueL p =(L p 0 ) 0 (W 1 p 0) 0
ientre(W 1 1=p 0 p 0 ()) 0 iW 1 1=p 0 p 0
(), respetivament,(1.3) s'esriu
<u
t
;v >+<A
1=2
u;v >=<g(u)+u;v >+<f(
p u); p 0 v > : (1.4)
Notem que estem fent un abus quan suposem que la funio f es tal que
f(
p
u), per exemple, es de L p
() (W
2 2 1=p 0
p 0
()) 0
. Preisarem mes
Observaio 1.1 H.Amann provaa[3℄queessatisfatambeuna igualtatom
(1.4) pera >1=2, es adir, pera A
1
, en llode A
1=2
,i per alsespais E
i E
1
,en llode E
1=2 iE
1=2 .
Observaio 1.2 En els resultats futurs ens onvindra restringir l'estudi del
problema (1.1) a l'espai W 1
p
, es a dir, al as = 1=2.
Es per aixo que,
per questions pratiques i de simpliitat, d'ara endavant, onsiderarem =
1=2. No obstant aixo, els resultats que es veuran a les seions 1.2 i 1.3 son
igualment valids anviant E
1=2 = W
1
p
per E
i E
1=2 =(W
1
p 0
) 0
per E
1 amb
2[1=2;1=2+1=2p).
En la identitat (1.4) observem que apareixen dos produtes de dualitat
diferents. Ens interessaria,pertaldepoderarribaraunaformulaiosemilineal
del problema (1.1), tenir un uni produte. Per exemple, poder traduir el
produte de dualitat entre espais a la frontera en produte de dualitat entre
espais al'interior.
Pertald'aonseguiraquestpropositonsidereml'operadoradjuntde
p 0
iel
denotemper 0
p 0
. Esporveureque 0
p 0
apliaL p
()en (W 1
p 0())
0
. Aleshores,
sidonat que estem suposant que f(
p
u)2L p
(), perdualitat tenim
<f(
p u);
p 0
v >
=<
0
p 0f(
p
u);v > :
Per tant,a (1.4) ens queda
<u
t
;v >+<A
1=2
u;v >=<g(u)+u;v >+< 0
p 0f(
p
u);v >;
pera tota v 2W 1
p 0
.
Denotem A=A
1=2
i denotem perF l'operadornolineal
F(u)=g(u)+u+ 0
p 0f(
p u) :
Amb aquesta notaio arribem a veure que el problema (1.1) pot posar-se
en la formasemilineal
8
<
: u
t
+Au = F(u);
u(0) = u ;
a W 1
p
, amb p > 2, tot i que veurem en la seio seguent que onve prendre
p>n.
Veurem en la propera seio amb mes preisioom es l'operadorno lineal
F. De fet, F aplia E
, no tan sols en E
1
sino en un subespai mes petit
E
1
, amb > . A mes, veurem quines son les ondiions per tal que F
estiguiben denit ide quina maneraesreexen leshipotesis de regularitatde
lesfunions f i g sobre la part nolineal F.
Cal remarar una diferenia notableen la formulaio que hem fet aqu
re-speted'aquellausadaquanlesondiionsdeontornsonhomogenies. Mentre
queF :E
!E
1 E
1
enaquestas,taliomdeiemalprinipid'aquesta
seio,en elpuntde vistade D. Henryi A.Pazya L p
este quel'operadorno
linealF apliaunsubespaidensd'unespaideBanahenl'espaideBanah.
Es
adir,en aquellas l'espaid'arribadade lapartlinealide lapart nolineal son
elmateix. Noesaix, pero, om aabem de dir, pera laformulaiosemilineal
(1.5) obtinguda peral problema (1.1) usant espais d'interpolaio.
1.2 Condiions sobre els termes no lineals
L'objetiu de la seio seguentes donarondiions sobre lesdues funionsno
lineals f i g per talque l'operadorno lineal F que en resulta a la formulaio
semilineal (1.5) satisfai les ondiions que es neessiten per poder obtenir
l'existeniade soluioaW 1
p
. VeuremquesiF esunafuniode Lipshitzsobre
aotatspodem provarexistenia i uniitatde soluioi quepera lesquestions
referents a l'estabilitat aldra demanar una mia mes, aldra que F sigui de
lasse C 1
.
En funio de la regularitat que presentin les funions f i g veurem que
F esta denit de W 1
p
, no tan sols en E
1=2
, sino que l'espai d'arribada pot
prendre's mespetit, E
1 E
1=2
, amb >1=2.
Reordem quef i g sonfunionsrealsde variablereal iqueperf(u)ig(u)
entenem f(u(x;t)), per a x 2 , i g(u(x;t)), per a x 2 , respetivament,
i t 2 R +
. Suposem, a mes, que u 2 W 1
i que
p
u 2 W 1 1=p
(), on
W 1
p !W
1 1=p
p
() denota,om ala seio anterior, l'operadortraasobre la
vora . Reordem tambeque F(u)=u+g(u)+ 0
p 0
f(
p
u), on 0
p 0
es l'adjunt
de l'operador traa
p 0
: W 1
p 0
! W
1 1=p 0
p 0
(). Aleshores, tenim la seguent
proposiio:
Proposiio 1.1 Siguiundominisatisfentla propietatdelon. Suposemque
f ig sonfunionsrealsdevariablereali queestal que1=2 < <1=2+1=2p
i p>n. Aleshores
(i) Si f i g son funions de Lipshitz sobre aotats, llavors F es una funio
de Lipshitz sobre aotats de E
1=2 en E
1 .
(ii) Sif i g sonfunionsdelasseC 1
(R;R), llavorsF esunafuniodelasse
C 1
(en el sentit de Frehet) de E
1=2 en E
1 .
Observaio 1.3 Estemsuposanten aquestaproposiioqueeldominisobreel
qualonsideremelproblema(1.1)estalquesatisfalapropietatdelon. Finsel
momentnohavemxatenapmomentlaregularitatquehadetenir,nomes
havem dit que el suposarem prou regular. L'objete d'aquesta restriio es
queessatisfainaquellsenabimentsdeSobolevneessarisenlaprovad'aquest
resultat. Arabe, om veurem mesendavant, aixo nosera ap restriiopera
nosaltres, ja que els dominis que onsiderarem seran prou regulars per a que
satisfain l'esmentada propietat.
Anem a reordar que voldir queun dominisatisfai la propietat del on:
Deniio 1.1 Es diu queun domini satisfa la propietat del on si existeix
un on nit C tal que tot punt x2 es el vertex d'un on nit C
x
ontingut
a i ongruent amb C.
Perexemple, el domini de R 2
, f(x;y):0< y<x 2
; 0< x<1g no satisfa
la propietat del on. Notem, pero, que els dominis amb vora regular sempre
satisfan aquesta propietat.
Demostrai
o de la
Proposii
o 1.1. Considerem F(u) om la suma
F
1
(u)+F
2
(u),on
F
1
(u)=g(u)+u i F
2
(u)= 0
p 0f(
p u):
Sisomapaosde veure queF
1 iF
2
sonfunionsdeLipshitzsobreaotats
de W 1
p en E
1
ja haurem provat que F es de Lipshitz sobre aotats de W 1
p
en E
1 .
LafunioF
i
esdeLipshitzsobreaotatssisobrequalsevolaotatB W 1
p ,
F
i
esunafuniodeLiphitz,i=1;2. Equivalentment,peratoteslesu;v 2B,
existeixen C
1 i C
2
onstants, talsque nomes depenen de B i essatisfa
kF
i
(u) F
i (v)k
E
1 C
i
ku vk
W 1
p
per ai=1;2:
ComenaremperF
1
. Siguin B, u i v lesque aabem de dir.
kF
1
(u) F
1 (v)k
E
1
= sup
k'k
W 2 2
p 0
;B =1
Z
(g(u) g(v))'+(u v)') dx
sup
k'k
W 2 2
p 0
;B =1
Z
jg(u) g(v)jj'jdx+ Z
ju vjj'jdx
: (1.6)
Estem suposant que g es una funio de Lipshitz sobre aotats, es a dir,
quepera qualsevolompate J R existeixuna onstant C =C(J)tal que
jg(x) g(y)jCjx yj
per aqualssevol x;y2J.
Donat que satisfa lapropietat del on, elteorema 5.4 de [1℄ ens diu que
si1<p<1 i onsiderems >0, sin <(s j)p pera algun enter no negatiu
j, essatisfa lainlusio
W s
p
() ,!C j
b ()
ies ontnua, on C j
b
() es el onjunt de funions u2 C j
()amb D
En el nostre as s = 1 i onsiderem j = 0. Aleshores, om p > n, es
ert l'enabiment W 1
p C
0
b
(). Per tant, om u;v 2 W 1
p
, u i v son funions
ontnues i aotades sobre . Com u;v 2 B C 0
b
(), existeix una onstant
M =M(B) talque!(x)2[ M;M℄ peratota x2i pera tota !2B. Per
tant,usant ara que g es Lipshitz sobre aotats,a (1.6), ens queda
kF 1 (u) F 1 (v)k E 1 sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 Z (C M
ju vjj'j+ju vjj'j) dx
(C
M
+1)ku vk
L p sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 k'k L p 0 k(C M
+1)ku vk
W 1
p ;
osa que provaque F
1
es Lipshitz sobre B, prenent C
1
=k(C
M +1).
Considerem ara l'altra funio, es a dir, F
2
. Donades u, v i B om abans
tenim kF 2 (u) F 2 (v)k E 1 = sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 Z 0 p 0 f( p u) 0 p 0 f( p v) 'dx :
Estem suposant que <1=2+1=2p, osa que implia que 2 2 > 1=p 0
.
Per tant, te sentit prendre la traa sobre de la funio ' 2 W 2 2 p 0 ;B . Aix dons, kF 2 (u) F 2 (v)k E 1 sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 Z jf( p
u) f(
p v)jj
p 0'j
d`:
UsantaraargumentsanalegsalsusatsperaF
1
,l'enabimentW 1 1=p p () C 0 b
(), ja quep>n, i laontinutatdels operadors traa
p i
p 0
,ens donen
kF 2 (u) F 2 (v)k E 1 C 0 sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1
fk'k
W 2 2 p 0 gC 00
ku v k
W 1
p
C
2
ku v k
W 1
p
tali omvolem. Ara,ladesigualtattriangular provaqueF esLipshitz sobre
aotats,amb laqual osa aabem lademostraiode l'apartat (i).
Anem a provar la difereniabilitat de F, provant que F
1 i F
2
son
de Frehet de F
1
DF
1
(u): W 1
p
! E
1
h ! DF
1 (u)h
esta denitper
DF
1
(u)h: W 2 2 p 0 ;B ! R v ! Z ((g 0
(u)h+h)v)dx:
Cal veure que
kF
1
(u+h) F
1 (u) DF 1 (u)hk E 1
khk
W 1
p
!0
quan khk
W 1
p
!0. Comenem per aotarel numerador
kF
1
(u+h) F
1 (u) DF 1 (u)hk E 1 sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 Z
jg(u+h) g(u) g 0
(u)hjj'jdx sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 Z jg 0
( ) g 0
(u)jjhjj'jdx
ja que estem suposant g 2 C 1
(R;R). Com a l'apartat (i), donat que p > n,
es satisfa l'enabiment W 1
p C
0
b
(). Aleshores podem onsiderar la onstant
M :=sup
x2 jg
0
( (x)) g 0
(u(x))j, la qual tendeix a 0 quan khk
W 1
p
! 0, ja que
(x) esta entre u(x) i u(x)+h(x) i g 0
es uniformement ontnua sobre
om-pates. Usant la desigualtatde Hlder s'obte
kF
1
(u+h) F
1 (u) DF 1 (u)hk E 1
M khk
L p sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1
k'k
L p 0 Mkhk L p ;
ambla qualosa veiem que l'operadordiferenial de F
1 es DF
1 .
Queda veure queDF
1
esontinu. Suposem " >0 donat. Volem veure que
existeixÆ =Æ(") talque siku vk
W 1
p
<Æ, aleshores
Comenem aotant kDF 1 (u) DF 1 (v)k L(W 1 p ;E 1 ) = sup khk W 1 p =1 k DF 1 (u)h DF 1 (v)hk E 1 sup khk W 1 p =1 sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 Z (jg 0 (u) g 0
(v)jjhjj'j+ju vjjhjj'j)dx sup khk W 1 p =1 sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 M 1 Z
jhjj'jdx+M
2 Z
jhjj'jdx onM 1 =sup x2 jg 0 (u(x)) g 0
(v(x))jiM
2
=sup
x2
ju(x) v(x)jiestanbendenides
per ser u;v 2 C 0
b
() i g 0
ontnua, per hipotesi. Usant ara la desigualtat de
Hlder s'arribaa
kDF 1 (u) DF 1 (v)k L(W 1 p ;E 1 ) M 1 +M 2 :
Del fetque g 0
esuniformementontnuasobre un intervaladequat i,
nova-ment,que W 1
p C
0
b
(),espossibletriarÆ proupetit de maneraqueM
1
"=2
i M
2
"=2,osa que prova laontinutatde DF
1 .
Cal provarelmateix peraF
2
. Enaquest as ide maneraanalogaesprova
que
DF
2
(u): W 1
p
! E
1
h ! DF
2 (u)h
denitper
DF
2
(u)h: W 2 2 p 0 ;B ! R v ! Z (f 0 ( p u) p h p 0 v)d`
esl'operadordiferenialde Frehet de F
2
. Usem, om abans,laontinutatde
g 0
,lainlusiode W 1 1=p
p
()C
0
b
()ilaontinutatdels operadorstraa
p
i
p 0
.
Pertalde veure laontinutatde l'operadorDF
2
s'usa novament
l'enabi-ment W 1 1=p
p
() C
0
b
(), la ontinutat uniforme de g 0
i la ontinutat de
p i
p
0, amesde ladesigualtat de Hlder.
Pertant,F esuna funio C 1 de W 1 p en E 1
1.3 Existenia i uniitat de soluio
En aquest moment tenim a punt les eines neessaries per tal de provar que
el problema (1.5), es a dir, el problema en forma semilineal orresponent al
problema (1.1) a W 1
p
, te soluio unia per a tota ondiio iniial u
0 2 W
1
p
donada. Primer de tot, anem a veure ques'enten persoluio de (1.5).
Deniio 1.2 Una funio u:[0;T℄!W 1
p
es una soluio de (1.5) si satisfa:
(i) u es ontnua a [0;T℄.
(ii) u2C 1
((0;T);E
1=2 ).
(iii) u satisfa (1.5) si t 2(0;T).
Usant resultats d'interpolaio i, novament, el punt de vista de H. Amann
es pot provar (vegi's [4℄ (apendix), [3℄ i [7℄) que, per a tota tal que 1=2
< 1=2 +1=2p, A es el generador innitessimal d'un semigrup analti
fe tA
; t0ga E
1 .
Aleshores,esvalidaunaformuladevariaiodelesonstantsperalproblema
(1.5) queens dona l'equaiointegral seguent per a lasoluio u,
u(t)=e tA
u
0 +
Z
t
0 e
(t )A
F(u())d; (1.7)
pera totat 2[0;T℄. (Potonsultar-se [4℄, [7℄ i[12℄ pertalde veure l'obtenio
d'aquestaequaio).
Observem que l'equaio integral (1.7) es dedueix de l'equaio (1.5) en el
sentitque totasoluiode (1.5)essoluiode(1.7): efetivament,siuessoluio
de (1.5), onsiderem
D
s (e
A(t s)
u(s)) = e A(t s)
u
s
(s)+e A(t s)
Au(s)
= e A(t s)
Arabe,delfetqueelsemigrupgeneratperl'operador Asiguiunsemigrup
analti, es dedueix que tota soluio de (1.7) es soluio de (1.5). Per tant, hi
hauna equivalenia entre les soluionsde (1.5) iles de (1.7). (Vegi's [7℄i [12℄
pera mesdetalls).
Amb tot aixo, anem a veure l'existenia de soluio per al problema (1.5)
situant-nos,siespossible,sota leshipotesisd'algunteoremadelpuntxo,per
essermespreisos, provaremde tenir ondiionssuients pertald'apliarun
teoremade ontraio. Aquesta es laraoper laqualens interessaria tenir per
al semigrup fe tA
; t 0g una desigualtat om la que satisfan els semigrups
que H. Amann obteperals seus problemes (teorema 10, [4℄) i que donem tot
seguit:
Observaio 1.4 Sigui fe tA
g elsemigrup analtisobre l'espai E
1
generat
perl'operadorA=A
1
,1=2 <1=2+1=2p,omalaseio1.1. Si >!,
essatisfa
ke tA
k
L(E
1 ;E
)
Mt 1
e t
; t>0 (1.8)
on! >0 es talque
ke tA
k
L(E
1 )
me !t
i laonstant M =M( ;).
Reordem que en el nostre as =1=2.
Veurem que ladesigualtat (1.8)es essenialen la demostraiodel seguent
teorema.
Teorema 1.1 Suposem que F : W 1
p ! E
1
, amb 1=2 < < 1=2+1=2p, es
una funio de Lipshitz sobre aotats. Aleshores, per a tot aotat B W 1
p i
per aqualsevol u
0
2B, existeix T =T(B)>0 talque elproblema (1.5)te una
unia soluio a [0;T℄, amb valor iniial u
0
. A mes,la soluio u(t)es ontnua
respete de la ondiio iniial u
0 .
Demostrai
o. Suposem que F es una funio de Lipshitz sobre aotats.
Donat B W 1
p
sigui L =L(B) la onstant de Lipshitz de lafunio F sobre
B,esadir, per atota v;w2B essatisfakF(v) F(w)k
E
1
Lkv wk
Sigui B
R
una bola a W 1
p
de radi R que ontingui B,es adir, B B
R per
auna R xada.
Siguin K >0i T =T(B)>0 tals que
ke At
u
0 k
W 1
p <
R+K
2
; si 0tT
M(L(B
R+K
)(R+K)+kF(u
0 )k
E
1 )
Z
T
0 e
s
s 3=2
ds<
R+K
2 :
Considerem, ames, el onjunt
S = n
v 2W 1
p
: v ontnua, v(0)=u
0
i kv(t)k
W 1
p
R+K sit 2[0;T℄ o
:
Noesdifilveure que S esun espai metri omplet ambla distania
dist (v;w)= sup
0tT
kv(t) w(t)k
W 1
p :
Donat v 2S, onsiderem
G(v): [0;T℄ ! W 1
p
t ! G(v)(t)
denitper
G(v)(t)=e At
u
0 +
Z
t
0 e
A(t s)
F(v(s))ds:
VeuremqueG apliaS en S iesuna transformaioontnuaiontrativa.
Aix dons,
kG(v)(t)k
W 1
p
ke
At
u
0 k
W 1
p +
Z
t
0 ke
A(t s)
k
L(E
1 ;E
1=2 )
kF(v(s))k
E
1 ds
R+K
2 +
Z
t
0 Me
(t s)
(t s) 3=2
kF(v(s)) F(v(0))k
E
1
+ kF(v(0))k
E
1
ds
R+K
2
+M(L(B
R+K
)(R+K)+kF(u
0 )k
E
1 )
Z
T
0 e
s
s 3=2
Es a dir, G(v)2B
R+K
. A mes, eslar que G(v)2W 1
p
i G(v)(0)=u
0 per
onstruio. Es omprova tambe que G(v) es ontnua a [0;T℄, amb la qual
osa, G:S!S.
Siguin ara v;w2S ialulem
kG(v)(t) G(w)(t)k
W 1
p
Z
t
0 ke
A(t s)
k
L(E
1 ;E
1=2 )
kF(v(s)) F(w(s))k
E
1 ds
ML(B
R+K ) sup
0tT
kv(t) w(t)k
W 1
p Z
t
0 e
s
s 3=2
ds ;
desigualtat ertapera tota t2[0;T℄. Per tant,de ladeniio de T,dedum
dist (G(v);G(w)) 1
2
dist (v;w):
Es adir, G es una transformaio ontrativai, per tant, ontnua.
Aleshores, del teorema del punt x dedum que existeix una unia funio
u 2S que es un punt x per a G,es a dir, u(t) = G(u)(t), t 2 [0;T℄, la qual
osaequivaladirqueexisteixunaunia soluiode l'equaio(1.7)iaixoaaba
lademostraiodelaprimerapart delteorema, jaque, om hemditabans,per
asemigrups analtis aixoequivaladirqueuessoluiouniadel problema en
formasemilineal(1.5), om volem.
Amb aquest resultat, de l'equivalenia entre soluio del problema (1.7) i
del(1.5),deduml'existeniad'unaunia soluioloalperalproblemaoriginal
(1.1). La ondiioqueF sigui una funio de Lipshitz sobreaotats, sip>n,
es tradueix sobre les funions f i g de (1.1) en que, segons es prova en la
proposiio1.1, tambe siguinfunions de Lipshitz sobre aotatsa R.
Observaio 1.5 Segons hem provat al teorema 1.1, si F es una funio de
Lipshitz sobre aotats,el problema (1.5)te una uniasoluio,donats u
0 2B
i B W 1
p
aotat, a [0;T) amb T >T = T(B)> 0. Diem que T es maximal
sideixa d'haver soluiodel problema a[0;T
1 ) si T
1 >T.
En les hipotesis del teorema 1.1, es pot veure que si ku(t)k
W 1
p
K, per
la soluio es mante aotada per a tot temps d'existenia es pot ontinuar la
soluiopera tot temps t>0.
Certament,suposem que ku(t)k
W 1
p
K per aalguna K >0,es a dir, que
lasoluioesmantedinsd'una bolaB
K aW
1
p
de radi K i peratota t<T(B).
Triem ara " prou petita. Si apliquem ara el teorema 1.1 a l'aotat B
K , amb
ondiioiniialu(T(B) "),existeixuntempsT(B
K
)>0talqueexisteixuna
uniasoluiodelproblema(1.5),u
1
(t),sit<T(B
K
),ambu
1
(0) =u(T(B) ").
Si s'ha triat " prou petita, es lar que T
1
= T(B) "+T(B
K
) > T(B). A
mes, esveu quela funio v(t) denida
v(t)= 8
<
:
u(t); 0tT(B) "
u
1
(t); T(B) "tT
1
es soluio de (1.5) a [0;T
1 ).
Es lar que la reiteraio d'aquest argument de
ontinuaiode lasoluioens dona l'exitenia de soluio pera tota t>0.
1.4 Regularitat i ompaitat
Fins el moment hem vist que donada p > n el problema (1.1) pot esriure's
om un problema de valor iniial semilineal abstrate a (W 1
p 0)
0
, de la forma
(1.5), amb espai de fases (es a dir, el domini de l'operador lineal A i del no
lineal F) W 1
p
. Hem vist tambe quees pot reduir auna equaio integralusant
la formulade variaiode onstants. Igualment, por trobar-se que deneix un
sistemadinami regularT(t),
T(t)u
0 =e
At
u
0 +
Z
t
0 e
A(t )
F(T()u
0
)d (1.9)
a W 1
p
. La mateixa demostraio del teorema 1.1 ens assegura que T(t)u
0 es
ontnuarespete de la ondiioiniial u
0
, mentre queestigui denit.
En aquesta seio anema donar algunsresultats referents a laompaitat
delsistemadinamiT(t)ialaregularitatqueespotassegurar peralasoluio
de(1.1),donadaunaondiioiniialu
0 aW
1
suposarem que la funio F es una funio de Lisphitz sobre aotats, mentre
que en els temes de la regularitat aldra que suposem que F es una funio
C 1
(E
1=2 ;E
1 ).
Comenarem veient que T(t) es ondiionalment ompate, es a dir, que
si B W 1
p
es aotat i el onjunt fT(s)u : u 2 B i 0 < s < tg tambe ho es,
aleshores T(t)B esompate.
Teorema 1.2 SuposemqueF es una funiode Lipshitz sobre aotats. Per a
t>0, elsistemadinamiT(t):W 1
p !W
1
p
, denit a(1.9),es ondiionalment
ompate.
Per tal de provar aquest resultat seguirem el mateix esquema que una
demostraio de ompaitat feta per J. Hale a [19℄ per a sistemes dinamis
d'equaions d'evoluio setorials.
Abans de veure la demostraio d'aquest teorema, neessitem introduir la
mesuradenoompaitatdeKuratowskid'unsubonjuntd'unespaideBanah,
aix om un resultat previ que donarem en el lema 1.1. Comenem per la
deniio:
Deniio 1.3 Donat un espai de Banah X, sigui B X un subonjunt. La
mesurade noompaitat de Kuratowski de B, (B), es deneix per
(B)=inffd : existeix un reobriment nit de B
amb boles de diametre dg:
La funio satisfa les seguents propietats, de les quals nomes n'usarem
dues ala demostraio del teorema1.2 :
(i) (B)=0 per aB X sii nomes siB es relativamentompate.
(iv) (oB)= (B),on B X io denota l'envolvent onvexa tanada.
El lema del qualparlavem esel seguent:
Lema 1.1 Per a tota t>0, l'operador e tA
es ompate de W 1
p en E
1=2 .
Demostrai
o. Fixatt>0,e tA
esontinude W 1
p en W
1
p
. Arabe,sabem
que la inlusio W 1
p E
1=2
es ompata. Per tant, e tA
es ompate de W 1
p
en E
1=2 .
Passem ara ala demostraio del teorema1.2.
Demostrai
o del Teorema 1.2. Sigui B un onjunt aotat a W 1
p .
Considerem ara elonjunt
B
1 =
Z
t
0 e
A
F(T(t )u)d : u2B
:
Fixat t >0, onsiderem,a mes, el onjunt
C=fT(t )u : u2B i 0 tg:
Per hipotesi, C esaotat a W 1
p .
Triem ">0 talque 0<"<t i onsiderem
Z
t
0 e
A
F(T(t )u)d
= Z
"
0 e
A
F(T(t )u)d + Z
t
" e
A"
e
A( ")
F(T(t )u)d
= I(0;")+e A"
I(";t):
Considerem primerI(";t)i veurem queesta aotata W 1
p .
Z
t
" e
A( ")
F(T(t )u)d
W 1
p
M
(t ") 1=2
1=2
M
on M = M(C). Per tant, es aotat. En el lema 1.1 hem vist que e A"
es
ompate,amblaqualosa,esdedueixquee A"
I(";t)esompate. Aleshores,
lamesura de Kuratowski (e A"
I(";t))=0.
Peraltra banda
kI(0;")k
W 1
p =
Z
"
0 e
A
F(T(t )u)d
W 1
p m
" 1=2
1=2 :
Aleshores, per les propietats de la mesura de Kuratowski, s'obte (B
1 )
(I(0;"))+ (e A"
I(";t))= (I(0;")),es a dir,
(B
1 )m
" 1=2
1=2
per a tota " > 0. D'aqu (B
1
) = 0.
Es a dir, B
1
es relativament
om-pate i, apliant el lema 1.1 al primer sumand de T(t)u
0
, dedum que T(t) es
ondiionalmentompate.
Passem ara a veure quina regularitat es pot assegurar per a la soluio de
(1.5), donadauna ondiioiniial u
0 a W
1
p .
Teorema 1.3 Suposem que f i g son funions de lasse C 1
(R;R). Donada
u
0 2 W
1
p
, existeix > 0 tal que la soluio u(x;t) = T(t)u
0
de (1.5) es de
lasse C 1
en t a valors en C
() i de lasse C 2+
() per a ada t>0. A mes,
u(x;t) es soluio lassia del problema (1.1).
Abans de provaraquest teorema anem a donar el seguent resultat de
reg-ularitatde urespete de t.
Proposiio 1.2 Suposem que F es una funio de lasse C 1
(E
1=2 ;E
1 ) amb
1=2 < <1=2+1=2p. Donada u
0 2 W
1
p
, la soluio u(x;t) =T(t)u
0
de (1.5)
es de lasse C 1
en t>0 a valors a W 1
p .
Demostrai
o. Considerem elproblema d'evoluio
8
<
: v
t
+Av = F(v); a
v(0) = u ; a :
onel parametre>0.
Si v es soluio de (1.10), per a tota 0 t T es prova que v es un punt
x de l'apliaio
G:C([0;T℄;W 1
p
)(0;1) !C([0;T℄;W 1
p )
(v;) !G(v;)
denida per
G(v;)=e At
u
0 +
Z
t
0 e
A(t )
F(v())d:
Com a la demostraio del teorema 1.1 es veu que G() es una ontraio
uniforme a C([0;T℄;W 1
p
). Sabem que es satisfa (1.8) per al semigrup generat
per A. Proedint de manera analoga a la demostraio del teorema 1.1 i
denimT, K, iS om alla,es omprova queG aplia S en S itambe que
kG()(v) G()(u)k
W 1
p
jjML max
0tT
jv(t) u(t)j Z
t
0 jj
3=2
jt j 3=2
d
jj
1=2
ML dist (u;v)
ondist (;) es la del teorema1.1. Aleshores, podem triar T =T() de
man-era que jj 1=2
ML < 1, amb la qual osa provem que G es una ontraio
uniforme a S C([0;T℄;W 1
p
). Per tant, existeix un uni punt x per a G,
depenent de la , que anomenaremv =v()=v(t;u
0 ;).
Anem a veure quel'apliaio
!v(t;u
0 ;)
es de lasse C 1
(I;W 1
p
), I (0;1). Si veiem que G 2 C 1
(C([0;T℄;W 1
p )
I;C([0;T℄;W 1
p
)) ja ho tindrem. I aixo es equivalent a veure que existeixen
les derivades parials G=v i G= i que son ontnues. Del fet que F 2
C 1
(W 1
p ;E
1
)es dedueix el quevolem.
Per a tota > 0, onsiderem v(t) = v(t;u
0
;). Sigui u(t) = u(t;u
0 ) la
onsiderem =t, ambla qualosa obtenimu(t;u
0
)=v(1;u
0
;t). Aabem de
veure que v esderivable amb ontinutatrespete del parametre, a valors a
W 1
p
i pertant hoes respete de t.
Demostrai
o del Teorema 1.3. La primera part del teoremaes
on-sequenia de la proposiio 1.2: donat que p > n, existeix alguna , amb
0 <1 n=p,talqueW 1
p C
(). Ara,omuesde lasseC 1
ent avalors
aW 1
p
,tambeho sera a valors a C
( ).
Dedumd'aqu, ames, quexatx
0
2, existeixla funio
t u(x
0
;t) pera
t>0i es ontnua.
Anem aveure ara queu2C 2+
() pera adat >0. Reordemque perla
proposiio1.2 sabem que u
t 2W
1
p
. Pertal de veure-hoonsiderem el seguent
problema auxiliar
8
<
:
w = '; a;
w
+w = ; a:
(1.11)
on ' = u+g(u) i = f(
p u)+
p
u, amb u la soluio del problema (1.1).
Donat que estem suposant que f;g 2 C 1
(R;R) i u 2 W 1
p
es pot veure que
'2W 1
p
i 2W 1 1=p
p
().
Anemaveureenprimerlloquelasoluiowde(1.11)esdelasseC 2+
()
per a alguna0 < <1. Com p>n, existeix , amb 0 <1 n=p, per a
laqual elsenabimentsW 1
p C
() i W 1 1=p
p
()C
() sonerts.
Veurem tot seguit que la funio 2 C 1+
(): usant la densitat de la
inlusioC 1+
() W
1 1=p
p
(), onsideremunasuessiode funions(
n )
n ,
n 2C
1+
(), talsque
n
! aW
1
p
. Peraada
n
onsideremelproblema
8
<
:
w
n
= '; a;
(w
n )
+w
n =
n
; a;
(1.12)
on ' 2 W 1
p
es la d'abans. A [15℄ es prova que existeixen i son uniques les
soluions dels problemes (1.12), per a n 1. A mes, w
n 2 C
2+
Ara,l'enabimentC 2+
( ) W 2
p
ens permet apliarelteorema15.2de [2℄
ales difereniesw
n w
m
, sin 6=m, d'on en resulta
kw n w m k W 2 p
C(k' 'k
L p +k n m k W 1 1=p p () +kw n w m k L p) : (1.13)
Es lar que k
n m k W 1 1=p p ()
! 0 si n;m ! 1. Veurem mes endavant
que kw n w m k L
p !0 si n;m!1, amb laqual osa el termede ladreta de
la desigualtat (1.13) tendeix a 0 quan n;m ! 1. Aix dons, la suessio de
soluions (w
n )
n
es una suessio de Cauhy a W 2
p
i, per tant, w
n
! w a W 2
p
quan n ! 1, essent w soluio de (1.11). Per tant, la soluio del problema
(1.11)esuna funiode lasse C 1+
() ja queW 2
p C
1+
().
Passem aveure quekw
n w m k L p
!0sin;m!1. Peraaixoonsiderem
elproblema (1.12) per aw
n
i per aw
m
iels restem. S'obte
8 < : (w n w m
) = 0; a ;
(w n w m ) +(w n w m ) = n m
; a :
(1.14)
Per tant, la diferenia w
n w
m
es una funio harmonia i pel prinipi del
maximde Hopf ([31℄) obtenim
sup (w n w m
) sup
( n m ) inf (w n w m
) inf
(
n m
)
d'on aabem deduint
sup jw n w m
jsup
j
n m
j=k
n m k C 0 () Kk n m k W 1 1=p p () :
Per tant, kw
n w m k L p
!0 quan n;m!1.
Aleshores, hem obtingutque la soluio ! del problema (1.11)es de lasse
C 1+
(). A mes, sabem que ' 2 W 1
p
i 2 W 1 1=p
p
(). Per tant, apliant
lesestimaionsde Shauderesveu, omfanD.Gilbarg iN.S.Trudinger a[15℄,
que, de fet,la soluio de (1.11)esmes regular,es adir, que w2C 2+
().
Donada v 2W 1
p 0
, lasoluio del problema (1.1) satisfa
Z
u
t vdx+
Z
rurvdx= Z
g(u)vdx+ Z
f(
p u)
p 0vd`;
om havem vist a (1.3). De la mateixa forma es pot veure que la soluio w
del problema (1.11) satisfa
Z
u
t
vdx+ Z
rwrvdx = Z
g(u)vdx+ Z
f(
p u)
p 0v
d`
+ Z
(
p
u
p w)
p 0
vd`:
Ara,restantles dues igualtatsens queda
Z
(ru rw)rvdx+ Z
(
p
u
p w)
p 0
vd`=0
per a tota v 2 W 1
p 0
. Considerem v = u w 2 W 1
p
W
1
p
0, ja que p 0
p si
pn 2. Aleshores,
Z
r(u w) 2
dx+ Z
(
p
0(u w)) 2
d`=0;
d'on esdedueixque u=w. Per tant,lasoluiou del problema (1.1)en forma
febleesde lasseC 2+
( ). Arabe,siuessoluiounia de (1.3)iu2C 2+
(),
aleshores u es soluio de (1.1), amb la qual osa aabem la demostraio del
Estabilitat i inestabilitat
d'equilibris
D'araendavantelnostreinteresesentrara en l'estudide soluionsd'equilibri
peralproblema d'evoluio(1.1)que varemonsiderar alaptol1,esadir, en
lessoluions del problema
8
<
:
u+g(u) = 0; a ;
u
= f(u); a ;
(2.1)
onR n
es un dominiaotat amb frontera regular.
En el aptol anterior varem veure que el problema (1.1) pot posar-se en
forma semilineal, es a dir, en la forma (1.5). Anem a donar, en primer llo,
algunesdeniions sobre estabilitatd'equilibris.
Deniio 2.1 Sigui
u
t
+Au=F(u) (2.2)
una equaio semilineal. Diem que u(t) u
0
es un punt d'equilibri si es una
soluio de (2.2),es a dir, si u
0
2D(A) i Au
0
=F(u
Deniio 2.2 (Deniions d'estabilitat)
Un punt d'equilibri u
0
es estable a W 1
p
si, per a tota " >0, existeix Æ >0
tal que tota soluio v 2 W 1
p
amb kv(0) u
0 k
W 1
p
< Æ existeix a t 2 [0;+1) i
satisfa kv(t) u
0 k
W 1
p
<" per a tota t0.
Elpuntd'equilibriu
0
esuniformementasimptotiamentestablesiesestable
i hi ha un entorn
V =fv 2W 1
p
:kv u
0 k
W 1
p <rg
tal que kv(t) u
0 k
W 1
p
!0 quan t !+1, uniformement per a v 2V.
Un punt d'equilibri u
0
es inestable sino es estable.
En la primera seio veurem que la linealitzaio del problema (1.1) al
voltant d'un punt d'equilibri u
0
, ens dona un prinipi d'estabilitat i
inesta-bilitatlligatalsignedel valorpropimaximdel'operadorlinealqueen resulta,
om passa en general en els problemes semilineals.
Enlaseio2.2donaremunaarateritzaiod'aquestvalorpropimaximde
l'operador linealitzat. Aquesta arateritzaio ve donada per un quoient de
Rayleigh, es adir, el valorpropi maximve donat pelsuprem (2.13) en l'espai
Hilbert W 1
2
. Ara be, el problema (2.1) l'estem onsiderant a W 1
p
, per la qual
osa alprovar que elvalor propiaix trobat i lafuniopropia assoiada aell
aW 1
2
, sonel valorpropimaximamb igual funio propia a W 1
p
,osa no trivial
d'entrada.
2.1 Estabilitat i inestabilitat per linealitzaio
Suposem quef ig son funionsC 1
(R;R) i que u
0
esun punt d'equilibri de
8
<
: u
t
+Au = F(u)
u(0) = u
0 :
(2.3)
Hem vist a la proposiio 1.1 de la seio 1.2 que si f i g son funions de
lasseC 1
(R;R) aleshores l'operadornolineal F esde lasse C 1
(W 1
p ;E
Sota aquestes hipotesis tenim
F(u
0
+v)=F(u
0
)+DF(u
0
)v+G(v)
amb kG(v)k
E
1
=o(k v k
W 1
p
) quan kv k
W 1
p
! 0. Aquesta desomposiioens
suggereixonsiderar la linealitzaiodel problema (2.3),esa dir,
v
t
+Av =DF(u
0
)v (2.4)
irelaionarl'estabilitatde l'equilibriu
0
ambelsigne delvalorpropimaximde
l'operadorlineal que apareix a(2.4).
Taliomdeiemalaintroduiodelaptol,elqueanemadonarenprimer
llo es un prinipi d'estabilitat i inestabilitat que reollim en el seguent
teo-rema:
Teorema 2.1 Sigui u
0
un punt d'equilibri de (2.3) i sigui (B) l'espetre de
l'operador B =DF(u
0
) A. Aleshores
(i) Si(B)fRe <agper aalgunaa <0, aleshores u
0
esuniformement
asimptotiament estable a W 1
p .
(ii) Si (B)\fRe >0ges un onjunt espetral nobuit, aleshores u
0 es un
punt d'equilibriinestable a W 1
p .
L'apartat (i)es el mateix que dir que si la linealitzaio (2.4) es
uniforme-ment asimptotiament estable aleshores u
0
esuniformement asimptotiament
establea W 1
p
. De fet, elque veurem es que existeix>0i M 1 talsquesi
ku
0 u
1 k
W 1
p
2M
aleshores existeix una unia soluiode
8
<
: u
t
+Au = F(u); sit 0
u(0) = u
1
(2.5)
denida a [0;+1) talque satisfa, pera tota t 0
ku u
0 k
W
12Me at
ku
1 u
0 k
