Determinación del grupo de simetrías de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden

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(1)Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE MATEMÁTICAS. DETERMINACIÓN DEL GRUPO DE SIMETRÍAS DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA DE PRIMER ORDEN. B. IB. LI O. TE. Tesis para optar el Tı́tulo de Licenciado en Matemática. Autor:. ALEXANDER MANUEL VILLOSLADA CHILÓN. Asesor: Mg. Ortiz Céspedes Lolo L.. Trujillo - Perú 2016. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(2) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE MATEMÁTICAS. DETERMINACIÓN DEL GRUPO DE SIMETRÍAS DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA DE PRIMER ORDEN. B. IB. LI O. TE. Tesis para optar el Tı́tulo de Licenciado en Matemática. Autor:. ALEXANDER MANUEL VILLOSLADA CHILÓN. Asesor: Mg. Ortiz Céspedes Lolo L.. Trujillo - Perú 2016. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(3) S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. Jurado. Dr. Amado Méndez Cruz. Dr. Obidio Rubio Mercedes Secretario. B. IB. LI O. TE. Presidente. Mg. Lolo Ortiz Céspedes Vocal. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/. keepaspectratio.

(4) A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Dedicatoria. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Dedicado a. a las personas que siempre están conmigo: mi familia, que con su apoyo de cualquier ı́ndole hicieron posible el presente trabajo, y todos aquellos que me dieron su confianza. Mis amigos, con quien tengo discusiones fructı́feras y puedo compartir gratos momentos: Eder Bazan Rojas, profesor Julio Culquichicón Malpica (por cierto me sumergió en el mundo de la música) y los integrantes del. B. IB. LI O. TE. grupo musical Sikus.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(5) A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Agradecimiento. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. A los docentes, amigos estudiantes y todo el personal del departamento de matemáticas. Gratitud enorme al profesor Lolo Ortiz por su apoyo, amistad y tiempo invalorables en todo momento.. Dos personas que aprecio mucho: Dr. José Olivencia Quiñones, por compartir momentos inolvidables involucrándome de lleno en sus conocimientos y haciéndome partı́cipe con diferentes inquietudes. Y Rodri De La Cruz Rodrı́guez, mi entrañable. B. IB. LI O. TE. amigo, por su apoyo incondicional.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(6) A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Presentación. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Señores miembros del jurado:. Presento ante ustedes la Tesis denominada “DETERMINACIÓN DEL GRUPO DE SIMETRÍAS DE UNA ECUACIÓN ORDINARIA DE PRIMER ORDEN”, con el propósito de optar el tı́tulo de licenciado en Ciencias Matemáticas. Esperando cumplir con los requerimientos de aprobación.. Agradezco anticipadamente sus opiniones y crı́ticas, pues me servirán como estı́mulo para continuar mejorando.. B. IB. LI O. TE. El Autor. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(7) M. A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Lista de Sı́mbolos. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. : Variedad diferenciable.. GL(n, R) : Conjunto de las matrices invertibles de orden n × n que tiene como entradas los números reales.. SO(2) ∂ ∂φi m. : Grupo de rotaciones en el plano.. : Vector tangente coordenado en m de M con respecto a la carta coordenada (U, φ), con m ∈ U .. F(x). : Conjunto de todas las funciones reales diferenciables definidas en algún entorno de x.. id X(M ). : Función identidad.. : Conjunto de todos los campos vectoriales diferenciables sobre la variedad M .. : Prolongación de una función.. B. IB. LI O. TE. pr(n) f. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(8) Jurado. A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Índice general. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Dedicatoria. Agradecimiento Presentación. Lista de Sı́mbolos Resumen. TE. Abstract. INTRODUCCIÓN. LI O. I. Preliminares. III. IV. V. VI. VII. XI. XII. XIII. 1. 1.1. Aspectos generales de la teorı́a de Ecuaciones Diferenciales mediante 1. 1.1.1. Teorema de la Función Explı́cita . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.1.2. La Curva integral de un Campo de Direcciones . . . . . . . . .. 3. 1.1.3. Una Ecuación Diferencial y sus soluciones . . . . . . . . . . .. 4. 1.2. Transformación de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.3. Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. B. IB. simetrı́as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.3.1. Acción de un Grupo sobre un Conjunto. . . . . . . . . . . . .. 8. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(9) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. ÍNDICE GENERAL. ix. 1.4. Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.1. Aplicaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.2. Subvariedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. A. S. 1.5. Grupo de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. SI C. 1.5.1. Grupo de Lie local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5.2. Grupo Local de transformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 16. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. 1.6. Campo Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6.1. Curvas Integrales. Flujo de un Campo Vectorial . . . . . . . . 19 1.7. Subconjuntos Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.7.1. Invariancia Infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.8. Transformaciones Infinitesimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.8.1. Generadores Infinitesimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.8.2. Funciones Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 II. Grupos de Lie y Ecuaciones Diferenciales. 30. 2.1. Acción de Grupos locales sobre Funciones. . . . . . . . . . . . . . . . 30. 2.2. Prolongación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. 2.3. Ecuaciones Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35. TE. 2.4. Prolongación de Acciones de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5. Invariancia de Ecuaciones Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 39. LI O. 2.6. Prolongación de Campos Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.7. Invariancia y prolongación de Campos Vectoriales . . . . . . . . . . . 41. IB. 2.8. Derivadas Totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42. B. 2.9. Fórmula general de Prolongación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43. III.Aplicaciones: Determinación del grupo de Simetrı́as de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden. 44. 3.1. Ejemplos de algunas Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden . . . . 45 3.1.1. Ecuaciones en cuadraturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.2. Ecuaciones en variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . 47. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(10) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. ÍNDICE GENERAL. x. 3.1.3. Ecuaciones Homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1.4. Ecuaciones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.1.5. Ecuaciones lineales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . 51. A. S. 3.1.6. Ecuación de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. CONCLUSIONES. SI C. 3.1.7. Ecuación de Ricatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54. 57. B. IB. LI O. TE. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. 56. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(11) S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. Resumen. En el presente trabajo el problema principal es la determinación de los grupos de simetrı́as de una ecuación diferencial de primer orden, para ello estableceremos en forma general la prolongación de un campo vectorial definido en un subconjunto del ∂ ∂ plano R2 , esto es, dado un campo vectorial v = ξ(x, u) ∂x + φ(x, u) ∂u se encuentra. la prolongación. pr(n) v = ξ. n X ∂ ∂ ∂ +φ + φk (x, u(n) ) (k) ; ∂x ∂u (k=1) ∂u. para n = 1, obtenemos:. pr(1) v = ξ. ∂ ∂ ∂ +φ + [φx + u0 (φu − ξx ) − (u0 )2 ξu ] 0 , ∂x ∂u ∂u. luego le aplicamos a F (x, u, u0 ) e igualamos a cero (esto se convierte en una ecuacion. TE. diferencial parcial, llamada condición de simetrı́a).. Enseguida, conociendo el campo vectorial asociado a la ecuación diferencial dada,. x̄∗ = φ(t, x) = etv x =. ∞ X. tk k v x. k=0 k!. IB. LI O. encontramos sus grupos de simetrás (uniparamétrico). B. Finalmente, aplicamos la condición de simetrı́a sobre ecuaciones diferenciales de variable separable, ecuaciones homogéneas, ecuaciones diferenciales exactas, ecuaciones diferenciales lineales, ecuaciones diferenciales no lineales (de Bernoulli y de Ricatti).. Palabras claves: Grupos de Lie, Simetrı́as, Condición de simetrı́a, Grupos locales de transformaciones, Ecuaciones diferenciales con simetrı́as.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(12) S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. Abstract. In this paper the main problem is the determination of symmetries of a differential equation of the first order to for it establish to in generally the prolongation of a vector field defined on a subset of the plane R2 , that is, given a vector field ∂ ∂ v = ξ(x, u) ∂x + φ(x, u) ∂u is the prolongation. pr. (n). n X ∂ ∂ ∂ +φ + φk (x, u(n) ) (k) ; v=ξ ∂x ∂u (k=1) ∂u. for n = 1 we obtain:. pr(1) v = ξ. ∂ ∂ ∂ +φ + [φx + u0 (φu − ξx ) − (u0 )2 ξu ] 0 , ∂x ∂u ∂u. then we apply to F (x, u, u0 ) and equal to zero (this becomes a partial differential. TE. equatio, called conditional symmetry).. Then, knowing the vector field associated with the given differential equation, we. x̄∗ = φ(t, x) = etv x =. ∞ X. tk k v x. k=0 k!. IB. LI O. find their symmetry groups. B. Finally, we applied the symmetry condition in differential equations of separable variable, homogeneous equations, exact differential equations, linear differential equations, nonlinear differential equations (Bernoulli and Riccati) applies.. Key words: Lie groups, Symmetries, Condition symmetries, Local groups of transformations, Differential equations with symmetries.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(13) A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. INTRODUCCIÓN. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Si examinamos los rasgos de todas las geometrı́as que existen, desde la oriental prehelénica hasta la topologı́a, observamos que cada una de ellas es una organizacion matemática de experiencias, en cuya base está la idea de grupo, que subyacente durante siglos, afloró con Galois a propósito de la resolución de ecuaciones algebráicas; pero los descubrimientos del matemático francés pasaron inadvertidos hasta el año 1872, en que el matemático Felix Klein hizo de los grupos base la nueva orientación que tomó la geometrı́a en su obra Programa de Erlangen, en el que quedó definida dicha ciencia como el Conjunto de las propiedades invariantes de la figura de un espacio de cualquier número de dimensiones, respecto de todos los grupos de transformaciones que se pueden definir en el [7].. Los grupos aparecieron en matemáticas precisamente en relación con las trans-. TE. formaciones y sólo después, tras un proceso de abstracción, comenzaron a estudiarse. LI O. independientemente de las transformaciones.. Una aplicación biyectiva de un conjunto Γ sobre sı́ mismo se denomina transfor-. IB. macón del conjunto Γ. Si x e y son transformaciones de conjunto Γ, el producto. B. z = xy de éstas se define mediante la relación: z(ξ) := x(y(ξ)) para cualquier ξ ∈ Γ. Es fácil convencerse que la aplicación z ası́ definida es una transformación del conjunto Γ. Para esta multiplicación el papel de unidad lo desempeña la transformación identidad e del conjunto Γ definda mediante la relación: e(ξ) := ξ para cualquier ξ ∈ Γ. Esta claro que ex = xe = x. La transformación x−1 inversa de la transformación x se define como la transformación que aplica todo elemento x(ξ) del conjunto Γ en. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(14) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. ÍNDICE GENERAL. xiv. el elemento ξ. Está claro que x−1 x = e, de modo que la transformación x−1 es la inversa por la izquierda de la transformación x. Por consiguiente todo conjunto no vacı́o G que este compuesto por transformaciones del conjunto Γ y que, si contiene. A. S. dos transformaciones, también contiene su producto y que, si contiene una trans-. SI C. formación, también contiene su inversa constituye un grupo con virtud de la ley de multiplicación de transformaciones establecida. Cualquier grupo de este género lleva. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. el nombre de grupo de transformaciones del conjunto Γ [7].. La resolución de ecuaciones diferenciales es uno de los problemas más importantes de la matemática aplicada y de la fı́sica matemática. En el curso del tiempo se fueron desarrollando diversos métodos de integración para resolver clases especiales de ecuaciones diferenciales que ocurren en la descripción de fenómenos fı́sicos. La teorı́a de grupos nos permite entender las conexiones entre estos diversos métodos de integración, generalizar y desarrollar nuevos métodos.. El matemático noruego Shophus Lie (1849-1899) inició el estudio de grupos de transformaciones continuas que llevan su nombre al descubrir muchos de estos métodos que son casos especiales de un procedimiento más general de integración basado en la invarianza de los sistemas de ecuaciones diferenciales ante un grupo continuo de simetrı́as: llamamos simetrı́a a la rotación, traslación, reflexión y homotecias.. TE. En el presente trabajo nos planteamos la siguiente pregunta: ¿Es posible determinar un grupo de simetrı́a de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden?. LI O. La posible respuesta es usando la forma general de prolongación (teorema 2.2 y 2.3) y finalmente aplicando el teorema 1.3 (que nos da el paso final de la búsqueda. B. IB. de grupos de simetrı́as). Los grupos de simetrı́as son grupos locales de transformaciones que actúan sobre una variedad diferenciable de modo local cerca del elemento neutro. La búsqueda de ellos (grupos de simetrı́as) nos lleva por un camino no tan sencillo, esto es, nos conduce a resolver ecuaciones en derivadas parciales. El presente trabajo comprende tres capı́tulos: el primero, consta de los conceptos y resultados básicos para entender los grupos local de transformaciones (grupos de simetrı́as) mediante el teorema (1.3). En el capı́tulo dos se establece la acción de. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(15) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. ÍNDICE GENERAL. xv. de grupos sobre funciones. Esto es, para comprender los grupos de simetrı́as actúan sobre las soluciones de una ecuación diferencial. Finalizamos con la forma general de prolongación de campos vectoriales [6].. A. S. Finalmente en el tercer capı́tulo exponemos algunos ejemplos, en los cuales deter-. SI C. minamos sus grupos de simetrı́as correspondientes; esto es, para ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden conocidas (el cual es objetivo del presente trabajo).. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Obsérvese que se unifica en este trabajo las tres grandes estructuras: estructura topológica, algebraica y analı́tica (todos ellos constituyen el método global de la. B. IB. LI O. TE. matemática).. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(16) S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. Capı́tulo I Preliminares 1.1.. Aspectos generales de la teorı́a de Ecuaciones Diferenciales mediante simetrı́as. En este capı́tulo trataremos sobre el surgimiento de los grupos de Lie, las definiciones y teoremas que se necesitan para buscar los grupos de simetrı́a de una ecuación diferencial ordinaria.. Definición 1.1 Una función f : U ⊂ Rn −→ R definida en un abierto U de Rn. LI O. TE. es diferenciable en el punto x0 ∈ U cuando las derivadas parciales ∂f ∂f ∂f (x0 ), (x0 ), ..., (x0 ) ∂x1 ∂x2 ∂xn. IB. existen y además para todo vector v = (α1 , α2 , ..., αn ) tal que x0 + v ∈ U tenemos. B. f (x0 + v) = f (x0 ) +. donde lı́mv→0. r(v) |v|. ∂f ∂f α1 + ... + αn + r(v), ∂x1 ∂xn. = 0.. Diremos que f : U ⊂ Rn −→ R es diferenciable cuando f es diferenciable en todos los puntos de U . Definición 1.2 Sea f : U ⊂ Rn −→ R una función que posee derivadas parciales. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(17) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.1 Aspectos generales de la teorı́a de Ecuaciones Diferenciales mediante simetrı́as 2. en todos los puntos del abierto U de Rn . Son definidas las n funciones ∂f ∂xi. : U ⊂ Rn −→ R, i = 1, ..., n 7−→. ∂f (x0 ) ∂xi. S. x0. A. Si estas funciones son continuas en U diremos que f es una función de clase C 1 y. SI C. escribiremos f ∈ C 1 .. De modo más general, decimos que una función f : U ⊂ Rn −→ R es de clase C k. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. cuando f posee derivadas parciales en todos los puntos de U y las funciones ∂f ∂f ∂f , , ..., : U ⊂ Rn −→ R ∂x1 ∂x2 ∂xn. son de clase C k−1 con k ∈ N.. Por definición podemos decir que una función f : U ⊂ Rn −→ R es de clase C 0 cuando f es continua. También diremos que f es de clase C ∞ , frecuentemente función suave, cuando f es de clase C k para todo k ∈ N.. Definición 1.3 Sea f : U ⊂ R −→ R tal que U es un abierto de R, si la función tiene n-ésima derivada en un punto x0 ∈ U , se puede construir un polinomio Pn de n-ésimo grado tal que Pn (x0 ) = f (x0 ) y Pn(k) (x0 ) = f (k) (x0 ) para k = 1, 2, ..., n. De. TE. hecho el polinomio. LI O. Pn (x) = f (x0 ) +. f 0 (x0 ) f 00 (x0 ) f (n) (x0 ) (x − x0 ) + (x − x0 )2 + ... + (x − x0 )n , 1! 2! n!. posee la propiedad de que él y sus derivadas hasta el orden n coincide con la función. IB. f y sus derivadas hasta el orden n, en el punto especificado x0 ∈ U . Este polinomio. B. se llama polinomio de Taylor1 de grado n de f en x0 . Ejemplo 1.1. El polinomio de grado n-ésimo para la función f (x) = ex , alrede-. dor de x0 = 0 se escribe de la forma Pn (x) = 1 + x + 1. 1 2 1 3 1 x + x + ... + xn . 2! 3! n!. Brook Taylor: matemático británico (1685-1731).. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(18) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.1 Aspectos generales de la teorı́a de Ecuaciones Diferenciales mediante simetrı́as 3. 1.1.1.. Teorema de la Función Explı́cita. Teorema 1.1 Sea la función de valor real z = F (x1 , x2 , ..., xn , y). Considere. ∂F (p) ∂y. i = 1, 2, ..., n y. ∂F ∂y. continuas en alguna bola B con. 6= 0. Entonces F (x1 , x2 , ..., xn , y) = 0 puede resolverse para. SI C. centro en p y que. ∂F , ∂xi. A. tiene derivadas parciales. S. p = (x1 , x2 , ...xn , y) ∈ Rn+1 un punto tal que F (p) = 0. Suponga que la función F. y en términos de x, y definir ası́ una vecindad V de Rn del punto (x1 , x2 , ...xn ), una. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. función y = f (x1 , x2 , ..., xn ) la cual tiene derivadas parciales continuas en V que se pueden calcular con las fórmulas. ∂F (x1 , x2 , ..., xn , y) ∂f i (x1 , x2 , ..., xn ) = − ∂x , (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ V. ∂F ∂xi (x1 , x2 , ..., xn , y) ∂y. 1.1.2.. La Curva integral de un Campo de Direcciones. Supongamos que en cada punto de cierta región del plano R2 una lı́nea recta pasa a través del punto elegido. En este caso decimos que un campo de direcciones ha sido definido en la región.Ver [1]. (Figura I.1). La ecuación diferencial. dx dt. = f (t, x) establece una dependencia entre las coordenadas. de un punto y el coeficiente angular de la tangente. TE. en ese punto. Conociendo (t, x), se puede calcular. dx . dt. dx dt. a la gráfica de la solución. Por consiguiente, la ecuación. diferencial de la forma considerada determina un campo de direcciones, y el problema. LI O. de la integración de la ecuación diferencial se reduce a hallar las llamadas curvas integrales, para las cuales la dirección de las tangentes a éstas coinciden en cada. B. IB. punto con la dirección del campo. Un campo vectorial sobre una región plana R es una función F que asigna un vector F (t, x) a cada punto en R. Definición 1.4 Un lı́nea que, en cada uno de sus puntos es tangente a un campo de vectores es llamada una curva integral del campo de direcciones. Referencia [1].. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(19) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.1 Aspectos generales de la teorı́a de Ecuaciones Diferenciales mediante simetrı́as 4. ∘. ∘. ∘ ∘. ∘. ∘ ∘ ∘. ∘. ∘. ∘. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. ∘. ∘ ∘. ∘ ∘. S. ∘ ∘. ∘. ∘. ∘ ∘. A. ∘. ∘. ∘. ∘. ∘. SI C. ∘ ∘. ∘. ∘. Figura I.1: Un campo de vectores y una de sus curvas integrales.. 1.1.3.. Una Ecuación Diferencial y sus soluciones. El problema geométrico de encontrar curvas integrales es escrita analı́ticamente. TE. como el problema de encontrar las soluciones de ẋ = v(t, x). Asumir que un campo de direcciones en el plano (t, x) es no vertical (nunca pararelo al eje x). Entonces la. LI O. pendiente v(t, x) del campo en el punto (t, x) es finita y la curvas integrales son las gráficas de las funciones x = ϕ(t).. IB. Suponiendo que el dominio de definición de la función ϕ es un intervalo I del eje t.. B. Tenemos el siguiente resultado. Teorema 1.2 Una condición necesaria y suficiente para que la gráfica de una función ϕ sea una curva integral es que la siguiente relación para todo t en I: dϕ = v(t, ϕ(t)). dt. (1.1). Ver referencia [1].. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(20) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.2 Transformación de un conjunto. 5. Definición 1.5 La función ϕ es llamada una solución de la ecuación diferencial ẋ = v(t, x). A. S. si satisface la relación (1.1).. SI C. Definición 1.6 La solución ϕ satisface la condición inicial (t0 , x0 ) si ϕ(t0 ) = x0 .. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Ası́ una solución es una función definida un intervalo I cuya gráfica es una curva integral; la solución satisface la condición inicial (t0 , x0 ) si la curva integral pasa por el punto dado.. Ejemplo 1.2. La solución de la ecuación ẋ = v(t) con condición inicial (x0 , t0 ). es dada por la fórmula de Barrow2 :. Zt. ϕ(t) = x0 +. v(τ )dτ.. t0. Definición 1.7 Se dice que un objeto es simétrico si se puede someter a ciertas operaciones y este permanece invariante. Cada una de las operaciones se llama simetrı́a del objeto.. TE. Ver referencia [8].. Transformación de un conjunto. LI O. 1.2.. IB. Una transformación de un conjunto es una aplicación uno a uno del conjunto. B. sobre si mismo. Más detalles en [1]. A continuación presentamos algunas transformaciones. Ejemplo 1.3 1. La función f : R2 −→ R2 definida por f (x, y) = (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ) 2. Isaac Barrow: Matematico inglés (1630-1677).. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(21) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.2 Transformación de un conjunto. 6. para algún θ ∈ [0, 2πi. A ésta función se le conoce como rotación del plano alrededor del origen.. −→ R2. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. se le conoce como transformación a escala.. SI C. (x, y) 7−→ h(x, y) = (λα1 x, λα2 y). A. R2. h:. S. 2. Sean λ ∈ R+ y α1 , α2 ∈ R no ambos nulos. La transformación. 3. Sea a ∈ R. Definimos la función R2. g:. −→ R2. (x, y) 7−→ g(x, y) = (x + a, y).. Ésta transformación es llamada traslación horizontal del plano. De modo análogo la transformación traslación vertical se define como g(x, y) = (x, y +a) para todo (x, y) ∈ R, y algún a ∈ R fijo.. El producto f g de dos transformaciones f y g de un conjunto es la transformación obtenida aplicando primero g, luego f , es decir, (f g)(x) = f (g(x)). La transformación f −1 inversa a f es definida por la condición que si f toma x a y, entonces f −1. TE. toma y a x.. Proposición 1.1 Sea Γ 6= φ. Toda transformación del conjunto Γ posee una. LI O. única transformación inversa. Demostración:. IB. (Exitencia). Dada f una transformación del conjunto Γ. Como f es una función. B. biyectiva y se sabe que una función admite inversa si y solamente si es biyectiva. Ası́ la inversa de f está garantizada. (Unicidad). Sea g otra función inversa diferente a f −1 sobre Γ. Entonces se cumple que (f g)(x) = (f f −1 )(x) = x para todo x ∈ Γ. Como f es inyectiva se tiene entonces. que g(x) = f −1 (x). Luego tenemos g = f −1 , la cual es una contradicción. Por tanto la función inversa a f es única.. . Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(22) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.3 Grupo. 1.3.. 7. Grupo. Definición 1.8 Un conjunto G con una operación binaria ∗ en él definida, esto. A. S. es, una función ∗ : G × G 7−→ G, es un grupo si se cumple los siguientes axiomas:. SI C. 1. La operación binaria ∗ es cerrada en G.. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. 2. Asociatividad: Si f, g y h de G, entonces f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h.. 3. Elemento identidad: Existe un elemento e de G, llamado elemento identidad, tal que e ∗ f = f ∗ e = f para cada f de G.. 4. Elemento Inverso: Para cada f de G existe un elemento inverso, denotado por f −1 , tal que f ∗ f −1 = f −1 ∗ f = e.. A demás el grupo G se dice que es abeliano si adicionalmente satisface: 5. Conmutatividad: Para cada f y g de G, se cumple que f ∗ g = g ∗ f . Ejemplo 1.4. TE. 1. (R, +), (R \ {0}, ·) son grupos abelianos.. B. IB. LI O. 2. GL(n, R) y SO(2) son grupos con la multiplicación usual de matrices. Donde 8 > <. SO(2) = > :. 9. . cos θ − sen θ sen θ cos θ. > =. : 0 ≤ θ < 2π > ;. y ¦. ©. GL(n, R) = A ∈ Rn×n : detA 6= 0 . 3. Sea X 6= φ y el conjunto G = {g : X −→ X, g es una transformación de X}. El par (G, ∗), donde f ∗ g = f g para todo f, g ∈ G, es un grupo y se llama grupo de transformaciones del conjunto X. Nota: En lo que sigue escribiremos f g en lugar de f ∗ g.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(23) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.3 Grupo. 8. Definición 1.9 Dado los grupos G y Ḡ. Una aplicación ϕ : G −→ Ḡ es un homomorfismo si. S. ϕ(f g) = ϕ(f )ϕ(g). A. para cualquier f, g ∈ G. Si además ϕ es biyectivo, se dice que ϕ es un isomorfismo. Acción de un Grupo sobre un Conjunto. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. 1.3.1.. SI C. entre G y Ḡ.. Diremos que un grupo G actúa sobre un conjunto X, si se puede definir una acción de G sobre X. Además escribiremos cuando sea necesario g · x en vez de ψ(g, x) para referirnos a una acción.. Definición 1.10 Sean X 6= φ y G un grupo. Una acción del grupo G sobre X es una aplicación. ψ : G × X −→ X (g, x). tal que. 7−→ ψ(g, x) = g · x. 1. Para cada x ∈ X, ψ(e, x) = x.. LI O. TE. 2. Para f y g ∈ G y para x ∈ X, entonces. ψ(f, ψ(g, x)) = ψ(f g, x).. B. IB. Si fijamos g ∈ G, la aplicación. ψg : X −→ X x. 7−→ ψg (x) = g · x. es una transformación de X, y el conjunto. G̃ = {ψg : X −→ X : ψg (x) = g · x ∀g ∈ G} con la operación (ψg ψf )(x) = ψgf (x),. x∈X. es un grupo de transformaciones de X. Los grupos G, G̃ son isomorfos, es decir que existe un homomorfismo biyectivo. En efecto:. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(24) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.3 Grupo. 9. 1. La aplicación ψ : G −→ G̃ 7−→ ψ(g) = ψg , ψg (x) = g · x ∀x ∈ X. S. g. A. es un homomorfismo, pues dado dos elementos cualesquiera f, g de G, entonces. SI C. ψ(f g) = ψf g . Por la operación de grupo de G̃, ψf g (x) = (ψg ψf )(x), ∀x ∈ X.. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Por tanto ψ(f g) = ψg ψf y ψ es un homomorfismo entre G, G̃. 2. El homomorfismo ψ es inyectivo. En efecto, dado dos elementos de ψf , ψg de G̃ tal que ψf = ψg . Entonces ψf (x) = ψg (x), ∀x ∈ X; luego f · x = g · x. Entonces g −1 · (f · x) = g −1 (g · x). Por la condiciónes de la definición de acción, (g −1 f ) · x = (g −1 g) · x = e · x = x. Entonces g −1 f = e, y por tanto f = g. 3. La aplicación ψ es sobreyectivo; ya que si tomamos ψg ∈ G̃, entonces ψg (x) = g · x, ∀x ∈ X, para algún g ∈ G. Luego existe un f = g de G tal que f · x = g · x, x ∈ X. Entonces ψ(f )(x) = ψf (x) = ψg (x); del cual ψ(f ) = ψg Por lo tanto se concluye que G ' G̃. Ejemplo 1.5. TE. 1. El grupo (R+ , ·) actúa sobre Rm con la acción. B. IB. LI O. ψ:. R × Rm. −→ Rm. (λ, x1 , ..., xm ) 7−→ ψ(λ, x1 , ..., xm ) := (λα1 x1 , ..., λαm xm ). donde {αi }, i = 1, 2, ..., m son números reales fijos no todos nulos.. 2. SO(2) actúa sobre R2 con la siguiente definición . cos θ − sen θ. · (x, y) := (x cos θ − y sen θ, y sen θ + y cos θ).. sen θ cos θ 3. (R, +) actúa sobre R2 si definimos α · (x, y) := (x + α, y).. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(25) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.4 Variedades. 10. Y se dice que el punto (x, y) se ha traladado paralelo al eje x. De modo análogo se define la acción para trasladar un elemento de R2 paralelo al eje y, haciendo. Variedades. SI C. 1.4.. A. S. α · (x, y) := (x, y + α) para todo (x, y) ∈ R2 .. Definición 1.11 Una variedad suave n-dimensional es un conjunto M junto con. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. una familia numerable de subconjuntos Uα ⊂ M , llamadas cartas coordenadas, y aplicaciones inyectivas φα : Uα −→ Aα , sobre subconjuntos abiertos conexos Aα ⊂ Rn , llamadas funciones coordenadas locales, satisfaciendo las siguientes propiedades: 1.. S. α. Uα = M .. 2. Para la intersección de cualquier par de cartas coordenadas Uα ∩ Uβ la función compuesta. φα ◦ φ−1 β : φβ (Uα ∩ Uβ ) −→ φα (Uα ∩ Uβ ). es una funcion suave.. 3. Si p ∈ Uα , p̃ ∈ Uβ son puntos diferentes de M , entonces existen subconjuntos. TE. abiertos W ⊂ Aα , W̃ ⊂ Aβ , con φα (p) ∈ W , φβ (p̃) ∈ W̃ , tal que −1 φ−1 α (W ) ∩ φβ (W̃ ). LI O. es igual al conjunto vacı́o.. Más detalles en [6].. B. IB. Nota: Si M y N son variedades diferenciables de dimensión m y n respectivamente,. entonces M × N es también una variedad diferenciable (m + n)-dimensional. Ver el texto [6] de la referencia bibliográfica. Ejemplo 1.6. 1. El cı́rculo unitario S 1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1} es una. variedad suave unidimensional; pues podemos identificar a un punto (x, y) de S 1 como (x, y) = (cos θ, sen θ). Elegimos las cartas coordenadas de S 1 : U1 = S 1 \ {(1, 0)}, U2 = S 1 \ {(−1, 0)}. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(26) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.4 Variedades. 11. 𝑀 𝑈𝛽 ∩ 𝑈𝛼. 𝑈𝛼. S. 𝑈𝛽. 𝜙𝛽−1. 𝜙𝛼 ∘ 𝜙𝛽−1. SI C. 𝜙𝛽 (𝑈𝛽 ∩ 𝑈𝛼 ). 𝜙𝛼 𝐴𝛼. 𝜙𝛼 (𝑈𝛽 ∩ 𝑈𝛼 ). C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. 𝐴𝛽. A. 𝜙𝛽. ℝ𝑛. ℝ𝑛. Figura I.2: Cartas coordenadas sobre una variedad.. Los abiertos de R elegidos son: A1 = h0, 2πi, A2 hπ, 3πi. Y φα : Aα −→ Uα , α = 1, 2.. TE. Las aplicaciones. φ1 (θ) = (cos θ, sen θ), φ2 (α) = (cos α, sen α). LI O. son biyectivas en un intervalo de longitud 2π. También se nota que U1 ∪ U2. B. IB. y la composición de las aplicaciones es α = θ + 2π; el cual es una aplicación suave.. 2. R, R+ y SO(2) son variedades suaves unidimensionales. En efecto. Para ver que R es una variedad suave, sólo tomamos la carta coordenada U = R con la aplicación identidad. Del mismo modo para R+ , es decir con U = R+ y la función identidad, la cual es una aplicación suave. En cuanto a SO(2), para ver que es una variedad suave sólo basta identificar con el cı́rculo unitario S 1 = {(cos θ, sen θ) : 0 ≤ θ < 2π} mediante la función. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(27) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.4 Variedades. 12. h : SO(2) −→ S 1 con . cos θ − sen θ. h. = (cos θ, sen θ).. De hecho, la función h es biyectiva; pues . cos θ − sen θ. h. SI C. A. y como S 1 es una variedad suave, entonces SO(2) también lo es.. S. sen θ cos θ. . cos α − sen α. =h. sen α cos α. , α, θ ∈ [0, 2πi,. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. sen θ cos θ. implica (cos θ, sen θ) = (cos α, sen α). Luego cos θ = cos α, y sen θ = sen α, entonces θ = α. Por tanto. . cos α − sen α. . =. sen α cos α. cos θ − sen θ. ,. sen θ cos θ. Ası́ queda mostrada la inyectividad de h.. Para ver que h es sobreyectiva, tomamos (cos θ, sen θ) ∈ S 1 . Luego existe el vector (− sen θ, cos θ) ∈ S 1 . Entonces. (cos θ, sen θ), (− sen θ, cos θ). son linealmente independientes. Podemos construir la matriz Aθ =, tal que cos θ − sen θ. TE. h(Aθ ) =. . Ası́ h es sobreyectiva.. LI O. sen θ cos θ. 3. El espacio vectorial Rn o todo subconjunto abierto de él, también es variedad. IB. suave.. B. Referencia [1].. 1.4.1.. Aplicaciones diferenciales. Definición 1.12 Sean M , N dos variedades suaves m, n-dimensional respectivamente. Decimos que una aplicación f : M −→ N es diferenciable en x ∈ M cuando existe cartas (U, φ), (V, ψ) de M y N respectivamente tales que x ∈ U , f (U ) ⊂ V y ψ ◦ f ◦ φ−1 : φ(U ) −→ ψ(V ), es una aplicación diferenciable en φ(x).. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(28) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.5 Grupo de Lie. 13. Definición 1.13 Una funcion f : M −→ N la llamaremos diferenciable sobre M si para todo punto x ∈ M , f es diferenciable.. S. Hay que notar que φ(U ) ⊂ Rm y ψ(V ) ⊂ Rn . Esto nos sugiere decir que la aplicación. Subvariedades. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. 1.4.2.. SI C. función ψ ◦ f ◦ φ−1 : φ(U ) −→ ψ(V ) es de clase C ∞ .. A. f de la definición anterior es suave (la cual usaremos en el presente trabajo), si la. Definición 1.14 Sea M una variedad suave de dimensión n. Un subconjunto W de M es una k-subvariedad dimensional de M (donde 0 ≤ k ≤ n) si, para cada x ∈ W , existe una carta coordenada U de M y una aplicación coordenada φ : U −→ A tal que φ(W ∩ U ) = A ∩ (Rk × {0n−k }). Escribimos 0n−k = (0, ..., 0). |. {z. }. n−k. 1.5.. Grupo de Lie. A primera vista un grupo de Lie 3 parece algo natural la unión entre los conceptos algebraico y geometrı́a diferencial de una variedad diferenciable. Sin embargo, como. TE. veremos, esta combinación del álgebra y el cálculo lleva una técnica poderosa para. LI O. el estudio de las simetrı́as. Los detalles se encuentran en [6] (sección Lie Groups). Definición 1.15 Un grupo de Lie r-paramétrico es un grupo G el cual tiene la. IB. estructura de una variedad suave r-dimensional de modo tal que tanto, la operación. B. de grupo m : G × G −→ G (g, h). 7−→ m(g, h) = gh,. y la inversión i : G −→ G g 3. 7−→ i(g) = g −1. Marius Sophus Lie (1842-1899): matemático noruego.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(29) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.5 Grupo de Lie. 14. son aplicaciones suaves. Ver [6]. Ejemplo 1.7. Los grupos (R+ , ·), (R, +) y SO(2) son grupos de Lie. En efecto.. S. Se dijo antes que (R+ , ·), (R, +) y SO(2) son variedades suaves unidimensionales;. A. sólo tenemos que probar que las aplicaciones: m, i son aplicaciones suaves. Para 1 x. es apli-. SI C. (R+ , ·) con la aplicación suave (x, y) 7→ m(x, y) = xy. También i(x) =. cación suave. En cuanto a (R, +), las aplicaciones m(x, y) = x + y e i(x) = −x son. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. suaves. Finalmente para SO(2) se tiene: . . cos θ − sen θ. cos α − sen α. sen θ cos θ. sen α cos α. 7→. cos(θ + α) − sen(θ + α). . .. sen(θ + α) cos(θ + α). Ası́ se tiene que (θ, α) 7→ θ + α, como se dijo, es aplicación suave.. 1.5.1.. Grupo de Lie local. A menudo estamos interesados en el grupo de Lie cerca del elemento identidad. En este caso se puede prescindir de la teoria abstracta de variedad y definir un grupo de Lie local unicamente en terminos de coordenadas locales las expresiones para las operaciones de grupo. Detalles adicionales en [6] (sección Local Lie Groups).. TE. Definición 1.16 Un grupo de Lie local de r-parámetros consiste de subconjuntos abiertos y conexos4 V0 , V de Rr tal que V0 ⊂ V , con el origen en V0 , y de funciones. LI O. suaves. m : V × V −→ Rr. IB. e. B. i : V0 −→ V. con las siguientes propiedades: 1. Asociatividad. Si x, y, z ∈ V , y m(x, y), m(y, z) ∈ V , entonces m(x, m(y, z)) = m(m(x, y), z). 4. Un espacio topológico (X, T ) es conexo si no existen abiertos A, B disjuntos no vacı́os tales. que X = A ∪ B. Es decir no puede ser descompuesto en dos abiertos disjuntos.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(30) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.5 Grupo de Lie. 15. 2. Elemento Identidad. Para todo x ∈ V , m(0, x) = x = m(x, 0). 3. Inversos. Para todo x en V0 , m(x, i(x)) = 0 = m(i(x), x).. S. Ver referencia [6].. SI C. A. Normalmente denotaremos a m(x, y) por xy y a i(x) por x−1 y omiteremos hacer referencia a V0 y V si estos se identifican fácilmente a partir del contexto.. Presentamos un grupo de Lie local no trivial (pero no global). C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Ejemplo 1.8. uniparamétrico. Sea V = {x ∈ R : |x| < 1} ⊂ R con la multiplicación de grupo m(x, y) =. 2xy − x − y xy − 1. x, y ∈ V.. Las propiedades de asociatividad e identidad para m se cumplen, pues . 2yz − y − z m(x, m(y, z)) = m x, yz − 1. . =. −x− 2x 2yz−y−z yz. 2yz−y−z yz−1. x 2yz−y−z −1 yz−1. ,. cuyo resultado es. 3xyz − 2xy − 2yz − 2xz + x + y + z . 2xyz − xy − yz − xz + 1. Por otro lado. . . TE. 2xy − x − y 3xyz − 2xy − 2yz − 2xz + x + y + z m(m(x, y), z) = m ,z = , xy − 1 2xyz − xy − yz − xz + 1. LI O. ası́ la asociatividad cumple. Para la segunda condición: m(0, x) =. B. IB. también: m(x, 0) = La inversa i(x) =. 2x(0)−x−0 x(0)−1. x , 2x−1. 2(0)x − 0 − x = x; (0)x − 1. = x.. definida para x ∈ V0 = {x : x < 12 }. En efecto. x x 2 2x−1 − x − 2x−1 x = m(x, i(x)) = m x, , x 2x − 1 x 2x−1 −1 . resultando. 0 (x−1)2. = 0 para todo x ∈ V0 . Por otro lado, también . m(i(x), x) = m. . x , x = 0. 2x − 1. Por tanto V junto a las aplicaciones dadas es un grupo local de Lie uniparamétrico.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(31) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.5 Grupo de Lie. 1.5.2.. 16. Grupo Local de transformaciones. Debemos conocer que en la práctica, los grupos de Lie surgen naturalmente. S. no como entidades abstractas, sino como grupos de transformaciones sobre alguna. A. variedad M . Por ejemplo el grupo SO(2) surge como el grupo de rotaciones en el. SI C. plano M = R2 , mientras que GL(n, R) aparece como el grupo de transformaciones lineales invertibles en Rn . En general un grupo de Lie G será visto como un grupo. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. de transformaciones sobre alguna variedad M si cada elemento g ∈ G tiene asociado una aplicación de M sobre si misma. Además el grupo podrı́a actuar de modo local, significa que el grupo de transformaciones podrı́a no ser para todos los elementos del grupo o no para todos los puntos de la variedad. Tomada de la referencia [6]. Definición 1.17 Sea M una variedad suave. Un grupo local de transformaciones que actúa en M está dado por un grupo de Lie (local) G, un subconjunto abierto U de G × M , con. {e} × M ⊂ U ⊂ G × M,. que es el dominio de definición de la acción del grupo, y una función suave ψ : U −→ M,. TE. con las siguientes propiedades:. ψ(g, ψ(h, x)) = ψ(gh, x).. B. IB. LI O. 1. Si (h, x) ∈ U, (g, ψ(h, x)) ∈ U y (gh, x) ∈ U, entonces. 2. Para todo x ∈ M , ψ(e, x) = x. 3. Si (g, x) ∈ U, entonces (g −1 , ψ(g, x)) ∈ U y ψ(g −1 , ψ(g, x)) = x.. Referencia [6].. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(32) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.5 Grupo de Lie. 17. Como antes, por brevedad y cuando sea necesario escribiremos g · x en lugar de ψ(g, x). Para x ∈ M fijo. SI C. forma un grupo de Lie local. En efecto:. A. S. Gx = {g ∈ G : (g, x) ∈ U}. 1. Sean f, g, h ∈ Gx , entonces (f, x), (g, x), (h, x) ∈ U. También los elementos. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. (f g, x), (gh, x) y ((f g)h, x), (f (gh), x) ∈ U. Por la igualdad de la acción se tiene (f g)h · x = f (gh) · x, se concluye la asociatividad f (gh) = (f g)h. 2. Como {e} × M ⊂ U, (e, x) ∈ U; entonces e ∈ Gx . Para cualquier f ∈ Gx , (f, x) ∈ U, aplicando la acción se tiene f · x = (ef ) · x = (f e) · x. Ası́ la condición 2. de grupo local de Lie se verifica.. 3. Sea g ∈ Gx , entonces (g, x), (g −1 , g · x) ∈ U. Por tanto g −1 ∈ Gx y por la acción (g −1 , g · x) = x; el cual implica que g −1 g = e. La condición de inversa de cumple.. Para cada g ∈ G el conjunto. TE. Mg = {x ∈ M : (g, x) ∈ U}. es una subvariedad de M . Referencia [6]. Un grupo local de transformaciones G. LI O. que actúa sobre una variedad diferenciable M se dice que es conexo si cumple las. IB. siguientes condiciones:. B. 1. G es un grupo de Lie conexo y M es una variedad suave conexa. 2. U ⊂ G × M es un abierto conexo. 3. Para todo x ∈ M , el grupo local Gx es conexo.. Observar referencia [6] A continuación daremos un ejemplo de grupo local de transformaciones.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(33) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.6 Campo Vectorial. Ejemplo 1.9. 18. Sean G = R, M = R, U = {(t, x) ∈ G × M : tx 6= 1}.. S. Se nota que U también es el conjunto R2 − {(t, x) ∈ R2 : x = 1t }.. A. Definamos ψ : U −→ R mediante ψ(t, x) = t · x = x/(1 − tx). Notemos que ψ. SI C. está bien definida en U. Veamos que sı́ cumple la condición 1. . . x. de donde. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. x x 1−t2 x t1 · (t2 · x) = t1 · = = (t1 + t2 ) · x = x 1 − t2 x 1 − t1 ( 1−t2 x ) 1 − (t1 + t2 )x t1 · (t2 · x) = (t1 + t2 ) · x.. Desde luego queda satisfecha la condición 2. Puesto que, por definición obtenemos: 0·x=. x = x. 1 − (0)x. Y finalmente también la condición 3: . . x x x 1−tx −t · (t · x) = −t · = = x. = x 1 − tx 1 − (−t 1−tx ) 1 − (−t + t)x. 1.6.. Campo Vectorial. TE. Definición 1.18 Un campo vectorial (suave) sobre una variedad diferenciable M. LI O. es una aplicación suave v : M −→ T M 5 tal que π ◦ v = id. Donde π : T M −→ M . La aplicación π : T M −→ M se define: X 7→ x, donde X ∈ Tx M . Consideremos una carta (U, φ), x ∈ M y las componentes vi de vx en la base { ∂φ∂ i },. IB. x. B. i = 1, 2, ..., n de Tx M . Entonces tenemos vx = vi (x). ∂ ∂φi. x. donde vi : U −→ R es una función llamada función coordenada de v en la carta (U, φ) definida por vi (x) := v(φi ). Nota: La condición π ◦ v = id nos dice que para cada x ∈ M se tiene v(x) ∈ Tx M . También escribiremos vx en vez de v(x). 5. TM =. S. x∈M. Tx M .. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(34) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.6 Campo Vectorial. 1.6.1.. 19. Curvas Integrales. Flujo de un Campo Vectorial. Definición 1.19 Sea una variedad M y v ∈ X(M )6 . Si α : ha, bi ⊂ R −→ M. S. es una curva7 suave, decimos que es una curva integral de v cuando, para todo. SI C. A. t ∈ ha, bi, la tangente8 a α en t coincide con v en α(t). Es decir α0 (t) = v(α(t)).. Proposición 1.2 Sea v ∈ X (M ). Para cada x0 ∈ M existe una curva diferen-. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. ciable γx0 : ha(x0 ), b(x0 )i ⊂ R −→ M tal que:. 1. γx0 es una curva integral de v y se tiene γx0 (0) = x0 (existencia). 2. si µ : hp, qi ⊂ R −→ M es otra curva integral de v de modo que 0 ∈ hp, qi y µ(0) = x0 entonces hp, qi ⊂ ha(x0 ), b(x0 )i y µ = γx0 |hp,qi (unicidad). Demostración:. (Existencia). Por la existencia de solución de ecuaciones diferenciales ordinarias definidas mediante funciones diferenciables, sabemos que existe, al menos un intervalo abierto de R que contiene al 0, en el cual está definida una curva integral de v que pasa por x0 para t = 0 [6]. Sea, pues, ha(x), b(x)i la unión de todos esos intervalos. Por lo que hemos dicho, se tiene a(x0 ) < 0 < b(x0 ). Si t0 ∈ ha(x0 ), b(x0 )i,. TE. definimos γx0 (t0 ) como el valor en t0 de algunas de esas curvas integrales de v, para las cuales t0 pertenece a su intervalo de definición.. LI O. (Unicidad). Supongamos que α y β son dos de ellas y sea hp, qi la intersección de sus intervalos de definición, de modo que 0 y t0 pertenecen a hp, qi. Sea J = {t ∈. IB. hp, qi : α(t) = β(t)}. El subconjunto J es cerrado por continuidad ya que M es. B. Hausdorff. Es abierto, porque si α(t1 ) = β(t1 ), la teorı́a de ecuaciones diferenciables. ordinarias nos dice que, por la unicidad, ambas curvas deben coincidir en un entorno de t1 . Finalmente es no vacı́o, ya que 0 ∈ J, porque α(0) = β(0) = x0 . Por tanto J = hp, qi; en particular α(0) = β(0). Por tanto queda demostrado el teorema.. De la. 6. Conjunto de todos los campos vectoriales suaves. Se llama curva diferenciable a una aplicación diferenciable α : ha, bi ⊂ R −→ M. ∂ 8 La tangente a α en t es α0 (t) := α∗t ( ∂r |t ), donde α∗t : Tt R −→ Tα(t) M.. 7. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(35) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.6 Campo Vectorial. 20. proposición 1.2 podemos concluir en la existencia y unicidad de una curva integral maximal γx0 : ha(x0 ), b(x0 )i ⊂ R −→ M que pasa por el punto de la variedad M , x0 = γx0 (0), donde maximal significa que no está contenido en alguna otra curva;. S. es decir si µ : hp, qi ⊂ R −→ M es otra curva integral con el mismo valor inicial. SI C. A. µ(0) = x0 , entonces hp, qi ⊂ ha(x0 ), b(x0 )i y γx0 (t) = µ(t) para todo t ∈ hp, qi. Si v es un campo vectorial, denotamos la curva intergral maximal parametrizada que. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. pasa por x en M por ψ(t, x) y llamamos ψ el flujo generado por v. Ası́ para cada x ∈ M , y t en algún intervalo Ix que contiene al 0, ψ(t, x) será un punto en la curva que pasa por x en M . El flujo de un campo vectorial tiene las propiedades básicas: ψ(τ, ψ(t, x)) = ψ(τ + t, x), x ∈ M,. (1.2). Para todo τ , t ∈ R tal que ambos lados de la ecuación estén definidas,. y. ψ(0, x) = x. (1.3). d ψ(t, x) = v|ψ(t,x) dt. (1.4). para todo t donde esté definida.. Aquı́ (1.4) simplemente v es tangente a la curva ψ(t, m) para m fijo, y (1.3) da las. TE. condiciones iniciales para esta curva integral.. Comparando las propiedades (1.2), (1.3) con las dos primeras de la definición (1.17),. LI O. vemos que el flujo generado por un campo vectorial es lo mismo que una acción de grupo local del grupo de Lie R sobre la variedad M , a menudo llamaremos grupo. IB. de transformaciones uniparamétrico. El campo vectorial v es llamado generador. B. infinitesimal de la acción. El cálculo del flujo o grupo uniparamétrico generado por un campo vectorial v es. a menudo referida como la exponenciación9 del campo vectorial. Para ubicar lo expuesto, en [6]. La sugerente notación etv x = ψ(t, x) 9. La notación es etv x = ψ(t, x), aunque también usaremos exp(tv)x para referirnos a lo mismo.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(36) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.7 Subconjuntos Invariantes. 21. para este flujo, será adoptado en la presente exposición.. Subconjuntos Invariantes. S. 1.7.. SI C. A. En las secciones anteriores estudiamos a los grupos locales de Lie. En esta sección nos concentraremos a estudiar las acciones de estos grupos en variedades diferenciales. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. y sus invariantes.. Definición 1.20 Dado un grupo local de transformaciones G que actúa sobre una variedad M . Un conjunto L ⊂ M es G-invariante y G es llamado grupo de simetrı́a de L, siempre que para cada x ∈ L y g ∈ G tal que g · x está definido, entonces g · x ∈ L. Ejemplo 1.10. 1. Sean M = R2 y G = SO(2). Tomar un elemento gθ ∈ G, luego: gθ · (x, y) = (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ).. El conjunto L = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1} es G-invariante, puesto que si. TE. elegimos (x, y) ∈ L, gθ · (x, y) está definido y sabemos que se cumple:. LI O. (x cos θ − y sen θ)2 + (x sen θ + y cos θ)2 = x2 + y 2 = 1.. Por tanto gθ · (x, y) ∈ L.. B. IB. En general para todo r > 0, el conjunto Lr = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = r2 } es G-invariante.. 2. Si Gε es grupo de translaciones uniparamétrico que actúa en M = R2 mediante ε · (x, y) = (x + cε, y + ε), donde c es una constante fija, entonces las rectas x = cy + d son vistas como conjuntos Gε -invariantes. El conjunto {(x, y) : k1 < x − cy < k2 } es también Gε -invariante.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(37) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.7 Subconjuntos Invariantes. 22. 3. Si tomamos a Gα como grupo uniparamétrico de transformaciones a escala que actúa sobre M = R2 del siguiente modo: λ > 0.. S. α · (x, y) = (λx, λα y),. A. Entonces los siguientes conjuntos son Gα -invariantes: {(0, 0)}, {(x, 0) : x <. SI C. 0 ∨ x > 0}, {(0, y) : y < 0 ∨ y > 0}, {(x, y) : xy = 0}, {(x, y) : y = k|x|α , x >. 1.7.1.. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. 0 ∨ x < 0}.. Invariancia Infinitesimal. Proposición 1.3 Sea G un grupo local de Lie conexo que actúa en una variedad M m-dimensional. Sea una función F : M −→ Rl , l ≤ m que define un sistema de ecuaciones algebraicas. Fν (x) = 0,. ν = 1, 2, ..., l.. Si es cero es un valor regular10 de F , entonces F −1 ({0}) es G-invariante si y sólo si v(Fν )(x) = 0,. ν = 1, 2, ..., l. siempre que F (x) = 0, para cualquier generador infinitesimal v de G.. TE. Demostración:. Sea x ∈ F −1 ({0}) = {x ∈ M/F (x) = 0} = LF . Si LF es G-invariante, entonces. d dε. ε=0. F ν (eεv x) = 0 = v(F ν )(x). ν = 1, ..., l.. IB. LI O. F (eεv x) = 0 para todo ε suficientemente pequeño, de donde. B. Ahora supongamos que v(F ν ) = 0 para todo ν. Sea x0 ∈ LF . Usando la condición. de rango máximo, podemos elegir coordenadas locales y = (y1 , ..., ym ) tales que y(0) = x0 y F (y) = (y1 , ..., yl ). Sea v = ξ1 10. ∂ ∂ + ... + ξ m ∂y1 ∂ym. Sean M, N dos variedades suaves y f : M −→ N una aplicación suave. Se dice que un punto. q ∈ N es valor regular si f∗ : Tp M −→ Tq N es sobreyectiva para todo p ∈ f −1 ({q}).. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(38) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.8 Transformaciones Infinitesimales. 23. entonces por hipótesis v(y1 ) = ξ i = 0 i = 1, ..., l. (1.5). S. siempre que y1 = ... = yl = 0. Ahora el flujo φ(ε) = eεv x de v a través de x0 = y(0). SI C. dφi = ξ i (φ(ε)), φi (0) = 0, i = 1, ..., m. dε. A. satisface el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. De (1.5) y la unicidad del problema con condición inicial, concluimos que φi (ε) = 0 para i = 1, ..., l.. Por tanto queda demostrada la proposición. Tomada de la referencia [6].. 1.8.. . Transformaciones Infinitesimales. Sabemos que la solución de una ecuación diferencial ordinaria F (x, y, y 0 ) = 0 es localmente una función de valor real y = y(x) con x ∈ I para algún abierto I ⊂ R, motivo por el cual es que en la presente sección consideraremos a nuestra variedad de trabajo M = Rn , t ∈ R y. x∗ = ψ(t, x). TE. un grupo de Lie de uniparamétrico que actúa sobre Rn . Luego podemos expandir ψ(t, x) alrededor de t = 0, obteniendo la siguiente expresión: . LI O. ∂ψ(t, x) ψ(t, x) = x+t ∂t. . t=0. para lo cual definimos ξ(x) =. IB. . 1 2 ∂ 2 ψ(t, x) + t 2 ∂t2. . t=0. . ∂ψ(t, x) +... = x+t ∂t. . t=0. +O(t2 ),. ∂ψ(t,x) . ∂t t=0. B. Por tanto, la transformación x + tξ(x) es llamada transformación infinitesimal del grupo de tranformaciones de Lie, y las componentes de ξ(x) son llamados in-. finitesimales del grupo de Lie uniparamétrico. Sobre R2 , estas ecuaciones son escritas del siguiente modo: x∗ = X(t, x, y) = x + tξ(x, y) + O(t2 ), y ∗ = Y (t, x, y) = y + tφ(x, y) + O(t2 ).. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(39) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.8 Transformaciones Infinitesimales. 1.8.1.. 24. Generadores Infinitesimales. Definición 1.21 El generador infinitesimal del grupo de Lie uniparamétrico x∗ =. ξi (x). i=1. ∂ , ∂xi. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. sea ∇ es el operador gradiente. A. n X. SI C. v = v(x) = ξ(x) · ∇ =. S. ψ(t, x) está dado por. . ∇=. . ∂ ∂ ∂ , , ..., . ∂x1 ∂x2 ∂xn. Para cualquier función diferenciable F (x) con x ∈ Rn , tenemos vF (x) = ξ · ∇F (x) =. n X i=1. ξi (x). ∂F (x) . ∂xi. Claramente observamos que v(x) = ξ(x).. Si vemos en R2 el generador infinitesimal es expresado de la siguiente manera v = ξ(x, y). con ξ(x, y) =. ∂X ∂t t=0. y φ(x, y) =. ∂F ∂F + φ(x, y) ∂x ∂y. ∂Y . ∂t t=0. TE. Veamos el presente ejemplo de generadores infinitesimales:. LI O. Ejemplo 1.11. B. IB. 1. Consideremos el grupo de rotaciones en el plano ψ(θ, x, y) = (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ) ∂ ∂ + φ(x, y) ∂y , su generador infinitesimal es el campo vectorial v = ξ(x, y) ∂x. donde d (x cos θ − y sen θ) = −y, dθ θ=0 d φ(x, y) = (x sen θ + y cos θ) = x. dθ θ=0. ξ(x, y) =. ∂ ∂ Ası́ v = −y ∂x + x ∂y .. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(40) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.8 Transformaciones Infinitesimales. 25. 2. Sea M = R2 , el grupo R. Ahora ψ(ε, x, y) = (eε x, eε y), d (eε x) = x, dε ε=0 d φ(x, y) = (eε y) = y. ε=0 dε. SI C. A. S. ξ(x, y) =. ∂ ∂ + y ∂y representa al flujo dado. luego el campo vectorial es v = x ∂x. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. 3. Sea M = R2 con coordenadas (x, y), y considerar el campo vectorial v =. ∂ . ∂x. Entonces. ψ(ε, x, y) = (x, y) + ε(1, 0). representa el flujo para el campo dado.. El siguiente teorema será la herramienta fundamental en la determinación de simetrı́as. Ver referencia [8].. Teorema 1.3 El grupo de transformaciones de Lie uniparamétrico x∗ = ψ(t, x) es equivalente a. x∗ = etv x =. ∞ X. tk k v x, k=0 k! Pn. ∂ i=1 ξi (x) ∂xi. donde el operador v esta definido por v(x) =. y el operador vk = vk (x). TE. esta dado por vk = vvk−1 , k = 1, 2, ... En particular vk F (x) es la función obtenida. LI O. por la aplicación del operador v a la función vk−1 F (x), k = 1, 2, ... con v0 F (x) = F (x).. IB. Demostración:. B. Sean v = v(x) =. n X. ξi (x). i=1. ∂ , x ∈ Rn ∂xi. y v = v(x∗ ) =. n X. ξi (x∗ ). i=1. ∂ . ∂x∗i. ∗. Si expandimos el grupo de Lie x = ψ(t, x) sobre t = 0, tenemos ∞ X. tk x = k=0 k! ∗. ∂ k ψ(t, x) ∂tk. !. t=0. ∞ X. tk =x = k=0 k! ∗. dk ψ(t, x) dtk. !. t=0. .. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(41) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.8 Transformaciones Infinitesimales. 26. Para cualquier función diferenciable F (x) obtenemos n n ∗ X X d ∂F (x∗ ) dx∗i ∗ ∂F (x ) F (x∗ ) = = ξ (x = v(x∗ )F (x∗ ). ) i ∗ ∗ dt ∂x dt ∂x i i i=1 i=1. S. Por lo tanto se deduce que. dx∗ dt. SI C. en general,. . . = v(x∗ )v(x∗ )x∗ = v2 (x∗ )x∗ ,. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. d2 x∗ d = dt2 dt. A. dx∗ = v(x∗ )x∗ , dt. dk x∗ = vk (x∗ )x∗ , k = 1, 2, ... dtk. en consecuencia tenemos. dk x∗ dtk. t=0. = vk (x)x, k = 1, 2, .... lo que nos lleva a. x∗ = etv x =. ∞ X. tk k v x. k=0 k!. Por tanto queda demostrado el teorema.. . Corolario 1.1 Si una función real F (x) es de clase C ∞ , entonces para el grupo de transformaciones de Lie x∗ = ψ(t, x) con generador infinitesimal v =. LI O. TE. tenemos. Pn. ∂ i=1 ξi (x) ∂xi ,. F (x∗ ) = F (etv x) = etv F (x). Demostración:. B. IB. Sea. ∞ X. tk F (x ) = F (e x) = k=0 k! ∗. tv. dk F (x∗ ) dtk. !. t=0. .. A partir de n n ∗ X d ∂F (x∗ ) dx∗ X ∗ ∂F (x ) F (x∗ ) = = ξ (x ) = v(x∗ )F (x∗ ), i ∗ ∗ dt ∂xi dt ∂x i=1 i=1. vemos que dk F (x∗ ) = vk (x∗ )F (x∗ ). dtk. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(42) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.8 Transformaciones Infinitesimales. 27. De este modo dk = vk (x)F (x). F (x∗ ) t=0 dtk De lo cual se concluye que !. SI C. Por tanto se cumple la relación.. S. tv. A. ∞ X. tk F (x ) = F (e x) = v(x) F (x) = etv F (x). k=0 k! ∗. . C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. A continuación daremos un ejemplo que explica el teorema 1.2. Ejemplo 1.12. 1. Consideremos el grupo de rotaciones. x∗ = x cos θ − y sen θ, y ∗ = x sen θ + y cos θ.. En éste grupo el infinitesimal está dado por. ξ(x, y) = (ξ1 (x, y), ξ2 (x, y)) = (−y, x).. Por tanto, el generador infinitesimal se define como v = ξ1 (x, y). ∂ ∂ ∂ ∂ + ξ2 (x, y) = −y +x . ∂x ∂y ∂x ∂y. Aplicando el teorema 1.1 encontramos que la serie de Lie correspondiente al. LI O. TE. generador infinitesimal está dada por. (x∗ , y ∗ ) = (eθv x, eθv y),. B. IB. donde vx = −y, v2 x = v(−y) = x. En general v4n x = x,. v4n−1 x= −y,. v4n−2 x = −x,. v4n−3 x = y,. n = 1, 2, .... v4n y = y,. v4n−1 y = x,. v4n−2 y = −y,. v4n−3 y = −x,. n = 1, 2, .... Consecuentemente, desarrollando se obtiene x∗ = eθv x =. ∞ X. θk k v x = x cos θ − y sen θ. k=0 k!. De modo similar para y ∗ tenemos y ∗ = eθv y =. ∞ X. θk k v y = y cos θ + x sen θ. k=0 k!. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(43) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.8 Transformaciones Infinitesimales. 1.8.2.. 28. Funciones Invariantes. Definición 1.22 Una función real F (x) de clase C ∞ , es una función invariante. A. S. del grupo de transformaciones de Lie x∗ = ψ(t, x) cuando sucede que F (x∗ ) = F (x).. SI C. Teorema 1.4 F (x) es invariante bajo el grupo de transformaciones de Lie x∗ = ψ(t, x) si y sólo si vF (x) = 0.. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Demostración:. Por el corolario 1.1 se tiene. F (x∗ ) = etv F (x) =. ∞ X. tk k v F (x) k=0 k!. y por hipótesis tnemos que F (x∗ ) = F (x), entonces F (x∗ ) =. ∞ X. tk k v F (x) = F (x), k=0 k!. el cual es equivalente a. ". ∞ X. #. tk k v = 0, F (x) k=1 k!. lo que es lo mismo que. vk F (x) = 0, k = 1, 2, .... LI O. TE. Y ası́ obtenemos. vF (x) = 0.. . IB. Teorema 1.5 Para un grupo de transformaciones de Lie de uniparamétrico x∗ =. B. ψ(t, x), se cumple la identidad F (x∗ ) = F (x) + t si y sólo si vF (x) = 1.. Demostración: Se sabe que F (x∗ ) = etv F (x) =. ∞ X. tk k v F (x), k=0 k!. y por hipótesis tenemos que F (x∗ ) = F (x) + t. Entonces ∞ X. tk k F (x ) = v F (x) = F (x) + t, k=0 k! ∗. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.