Simulación Numérica del Flujo de un Fluido en un Acuíıfero Confinado utilizando Elementos Finitos

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(1)Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Universidad Nacional de Trujillo. RA DO. Escuela de Postgrado. DE. PO. SG. Programa de Doctorado en Ciencias e Ingenierı́a. Simulación Numérica del Flujo de un Fluido en. CA. un Acuı́fero Confinado utilizando Elementos. TE. Finitos. e Ingenierı́a. BI. BL. IO. Tesis para optar el grado de doctor en Ciencias. Autor : Ms. Luis Alberto Lara Romero Asesor : Dr. Obidio Rubio Mercedes Co-Asesor: Dr. Adriano Da Silva Carvalho. Trujillo, Perú, 2009. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(2) RA DO. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Dedicatoria. SG. Deseo dedicar esta Tesis Doctoral a mis padres Alberto y Yolanda, a mi esposa. PO. Teresa y a mis hijos Luis David, Alyssa Nicolle y Diego Andre.. Luis Lara Romero. BI. BL. IO. TE. CA. DE. UNT, Octubre, 2009 ————————————————————————. 1 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(3) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Agradecimientos Los resultados de esta tesis fueron obtenidos durante mis estudios de doctorado en la. RA DO. Universidad de Porto, Portugal. Quiero expresar profundo agradecimiento a mi supervisor y amigo Adriano Carvalho cuya orientación y apoyo han sido cruciales para el éxito de este proyecto.. Quiero dar las gracias al profesor Obidio Rubio, mi supervisor y amigo, por sus numerosas sugerencias y apoyo constante en esta investigación.. SG. Por supuesto, agradezco a mi esposa Teresa, mis hijos Luis David, Alyssa Nicolle y Diego Andre por la paciencia y amor. Sin ellos este trabajo nunca hubiera llegado a. PO. existir (literalmente).. DE. Por último, quiero agradecer a Alberto (mi padre) y Yolanda (mi madre).. BI. BL. IO. TE. CA. UNT, Octubre, 2009. Luis Lara Romero. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(4) RA DO. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Índice general. SG. Resumen. PO. Abstract Introducción. DE. 1. Material y Métodos. 1.1. Material de Estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7 8 9 19 19. 1.2. Parámetros Hidráulicos, Base de Datos y Medios de Simulación Numérica 22. CA. 1.3. Métodos y Técnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31. TE. 2. Resultados y Discusión. 23. 31. 2.2. Modelo Discreto por Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35. IO. 2.1. Modelo Continuo del Acuı́fero del Valle de Moche . . . . . . . . . . . .. Caso Estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54. 2.2.2.. Caso Dinámico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57. 2.3. Validación del Programa EFMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59. BI. BL. 2.2.1.. 2.4. Resultados de la Simulación Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68. Conclusiones. 80. Trabajos Futuros y Recomendaciones. 82. Referencias. 87 1. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(5) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. 95. Anexo B. 102. BI. BL. IO. TE. CA. DE. PO. SG. RA DO. Anexo A. 2 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(6) RA DO. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Índice de figuras. Puerto de Veracruz, Golfo de México, 2009 . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.. Laguna artificial en el palacio de Tschudi ( Chan Chan, 2002). . . . . .. 11. 3.. Laguna artificial en el palacio de Tschudi ( Chan Chan, 2007 ). . . . .. 12. 4.. Sistema de acuı́fero costero formado por tres capas. . . . . . . . . . . .. 17. PO. SG. 1.. 10. 1.1. Mapa de localización de la zona de estudio, valle de Moche, Norte(Huanchaco),. DE. Sur(Salaverry), Trujiillo, Perú. Fuente: Municipalidad Provincial de Tru21. 1.2. Zona de estudio, valle de Moche. Fuente: Google Earth (2009). . . . . .. 22. CA. jillo(2006). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.3. Zona de estudio, Bahı́a de Apalachicola, Florida, USA. Fuente Google . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. TE. Earth(2009).. 27. 1.4. Modelo discretizado en elementos finitos triangulares de 6915 elementos 28. IO. y 3949 nodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. valle de Moche, Trujillo, Perú. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32. 2.2. Perfil del esquema para el modelo matemático del valle de Moche. . . .. 33. 2.3. Modelo cilindro espacio-tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35. BI. BL. 2.1. Esquema para el modelo matemático continuo del acuı́fero costero del. 2.4. Modelo discreto de la zona de estudio, Bahı́a de Apalachicola, discretizado en 8 521 nodos y 15 784 elementos triangulares. . . . . . . . . . .. 60. 2.5. Niveles piezométricos para una componente de marea diurna para 5, 6 y 10 horas de simulación, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . .. 64. 3 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(7) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. 2.6. Niveles piezométricos para una componente de marea semidiurna para 3, 5 y 10 horas de simulación, respectivamente. . . . . . . . . . . . . .. 65. 2.7. Niveles piezométricos para una componente de marea mixta para 3, 5. RA DO. y 10 horas de simulación, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . .. 66. 2.8. Niveles piezométricos afectado por una marea abierta diurna cuando la. filtración vertical es de 0/h, 0.005/h y 0.01/h, respectivamente, trans-. curridas 18 horas de la simulación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67. 2 694 elementos.. SG. 2.9. Modelo discreto de la geometrı́a del valle de Moche en 1 543 nodos y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69. 2.10. Niveles máximos de las alturas piezométricas para una componente de. PO. marea diurna en el litoral costero desde Huanchaco(Norte) hasta Salaverry (Sur). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70. DE. 2.11. Movimiento de las aguas subterráneas en la región del valle de Moche afectado por una marea diurna para los primeros 40 dias de simulación desde Huanchaco(Norte) a Salaverry (Sur).. . . . . . . . . . . . . . . .. 74. CA. 2.12. Movimiento de las aguas subterráneas en la región del valle de Moche afectado por una marea diurna para los primeros 80 dias de simulación. TE. desde Huanchaco(Norte) a Salaverry (Sur).. . . . . . . . . . . . . . . .. 75. 2.13. Movimiento de las aguas subterráneas en la región del valle de Moche. IO. afectado por una marea diurna para los primeros 125 dias de simulación 76. BL. desde Huanchaco(Norte) a Salaverry (Sur). . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14. Movimiento de las aguas subterráneas en la región del valle de Moche. BI. afectado por una marea diurna para los primeros 180 dias de simulación desde Huanchaco(Norte) a Salaverry (Sur).. . . . . . . . . . . . . . . .. 77. 2.15. Movimiento de las aguas subterráneas en el acuı́fero del valle de Moche para una condición de marea de flujo aislado. . . . . . . . . . . . . . .. 78. 2.16. Movimiento de las aguas subterráneas del acuı́fero del valle de Moche para una condición de marea de flujo saliente en dirección al mar. . . .. 78. 4 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(8) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. 2.17. Movimiento de las aguas subterráneas del acuı́fero del valle de Moche para una condición de marea de flujo entrante en dirección a la costa. .. 78. 2.18. Superficie piezométrica del acuı́fero del valle de Moche para una condi-. RA DO. ción de marea de flujo aislado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 79. 2.19. Superficie piezométrica del acuı́fero del valle de Moche para una condi-. ción de marea de flujo saliente en dirección al mar. . . . . . . . . . . .. 79. 2.20. Superficie piezométrica del acuı́fero del valle de Moche para una condi-. . . . . . . . . . . . . . .. SG. ción de flujo entrante en dirección a la costa.. 79. 2.21. Superficie piezométrica de las aguas subterráneas contenidas en un sistema de acuı́fero anisotrópico semipermeable costero. . . . . . . . . . .. 85. PO. 2.22. Acuı́fero con fronteras de geometrı́a irregular y zonas aisladas en el interior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85. DE. 2.23. Modelo discretizado del acuı́fero por elementos finitos en 6 915 elementos triangulares y 3 949 nodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 86. 2.24. Flujo de las aguas subterráneas contenidas en el acuı́fero anisotrópico. .. 86. CA. 2.25. Superficie piezométrica de las aguas subterráneas contenidas en un acuı́fero anisotrópico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. TE. 2.26. Tipos de acuı́feros según sus caracterı́sticas hidrodinámicas.. . . . . . .. 86 97. 2.27. Acuı́fero: formación geológica que es capaz de almacenar y transmitir el. IO. agua subterránea a través de ella en cantidades significativas. . . . . . .. 98. BI. BL. 2.28. Región de control para la ecuación de continuidad para un medio poroso 110. 5 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(9) RA DO. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Índice de tablas. SG. 2.1. Comparación entre las soluciones numéricas para una componente de. marea diurna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63. 2.2. Comparación entre las soluciones numéricas para una componente de 63. BI. BL. IO. TE. CA. DE. PO. marea mixta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(10) RA DO. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Resumen. SG. En este trabajo de tesis doctoral se ha investigado el comportamiento dinámico del nivel piezométrico de las aguas subterráneas en un sistema de acuı́fero confinado semipermeable costero homogéneo e isotrópico a través de un modelo matemático discreto. PO. de elementos finitos con condiciones de contorno de marea a lo largo del litoral costero. El sistema de acuı́fero esta formado por tres capas, un acuı́fero no confinado en la. DE. parte superior, una capa semipermeable en centro y un acuı́fero confinado en el fondo. La capa semipermeable permite filtraciones verticales hacia el acuı́fero confinado. El modelo matemático discreto se ha utilizo para calcular los niveles piezométricos en el. CA. acuı́fero costero del valle de Moche, localizado en la costa norte de Perú. El modelo discreto de la geometrı́a del acuı́fero del valle de Moche se ha obtenido con el generador. TE. de mallas de elementos finitos llamado mesh generate2d cuyo código se ha escrito en matlab. Los niveles piezométricos de las aguas subterráneas en el acuı́fero costero. IO. del valle de Moche fueron calculadas con el programa llamado Elementos Finitos. BL. para el Modelamiento de Aguas Subterráneas (EFMAS), escrito en el lenguaje de programación Fortran. Las simulaciones numéricas para el acuı́fero del valle. BI. de Moche mostraron que los niveles piezométricos se encuentran en niveles altos en la zona urbana de la ciudad de Trujillo y en sus alrededores. Palabras claves: Aguas subterráneas, acuı́feros confinados, método de los elementos finitos, flujo de fluidos.. 7 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(11) RA DO. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Abstract. SG. In this doctoral thesis investigated the dynamic behavior of the piezometric level of the groundwater in a confined aquifer system homogeneous and isotropic coastal leaky trough a discrete mathematical model of finite element with boundary conditions. PO. along the coastline. The aquifer system consists of three layers, an unconfined aquifer on the top, a leaky layer in the center and a confined aquifer in the bottom. The layer. DE. leaky allows vertical filtration into the confined aquifer. The discrete mathematical model was used to calculate the piezometric levels in the coastal aquifer of the Moche Valley, located on the north coast of Peru. The discrete model of the geometry of the. CA. Moche valley aquifer was obtained by the mesh generator of element finite named mesh generate2d whose code was written in matlab. The piezometric levels of. TE. the groundwater in the coastal aquifer in the Moche valley were calculated with the program named Finite Element for the Groundwater Modeling (FEGM),. IO. written in Fortran programming language. The numerical simulations for the Moche. BL. valley aquifer showed that the piezometric levels is at high levels in the urban zone of the Trujillo city and its neighborhood.. BI. Keywords: Groundwater, confined aquifers, finite element method, fluid flow.. 8 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(12) RA DO. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Introduction. SG. El agua es un recurso vital que requiere de la atención inmediata para asegurar su conservación en términos de cantidad y calidad. El crecimiento de la demanda y el desconocimiento de las condiciones de la reserva hidrológica son factores amenazantes. PO. para la conservación del recurso para los años futuros. En general, para las regiones donde la precipitación es poca, y por lo tanto, el desarrollo de fuentes de agua superficial. DE. es muy limitado, los recursos hidráulicos subterráneos adquieren relevancia. En las áreas costeras se presenta el problema del crecimiento de zonas urbanizadas de manera intensiva, debido a la presión creciente de la gente que quiere vivir y trabajar en estos. CA. sitios. Los terrenos arrebatados a las zonas pantanosas y los edificios de gran altura, son las respuestas comunes para satisfacer las necesidades de mas vivienda y usos nuevos. BI. BL. IO. TE. para el suelo, Figura (1).. 9 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(13) PO. SG. RA DO. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. DE. Figura 1: Puerto de Veracruz, Golfo de México, 2009. Las áreas costeras son comúnmente las zonas de descarga final de los sistemas de agua subterránea. Uno de los grandes problemas que afronta la sociedad en estas zonas. CA. costeras es el crecimiento o disminución de la napa freática o la existencia de zonas saturadas muy cerca a la superficie de la tierra. En las zonas costeras se concentran. TE. actividades de una gran intensidad, en particular la agricultura y el desarrollo urbano y turı́stico. En muchos casos, los recursos hı́dricos para el abastecimiento proceden de los. IO. acuı́feros costeros, que son intensamente explotados a falta de otros recursos hı́dricos. BL. convencionales. En consecuencia, los patrones de circulación de las aguas subterráneas se ven altamente modificados con respecto a la situación natural. Esto tiene repercu-. BI. siones importantes sobre la calidad del agua y del medioambiente, siendo uno de los efectos más relevantes la contaminación causada por la mezcla con agua marina. Las relaciones agua salada agua dulce en los acuı́feros costeros introducen circunstancias especiales a tener en cuenta, dado que no toda la recarga de los acuı́feros costeros puede aprovecharse. La evolución de la salinidad es a menudo un proceso lento, que pasa desapercibido, y cuyos efectos son muy dilatados en el tiempo. Por ejemplo, el área 10 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(14) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. costera en el norte del Perú, especı́ficamente en el valle de Moche, Trujillo, mas precisamente la zona de Victor Larco (Buenos Aires) y la zona arqueológica de la ciudadela de Chan Chan donde se presenta el problema del aumento de los niveles piezométricos. RA DO. (Portal del Proyecto Especial de Irrigación Chavimochic y Municipalidad Provincial de Trujillo), como se muestra en las Figuras (1.3) y (3) que corresponden a antes y después de la llegada de las aguas del proyecto especial de irrigación Chavimochic. Esta problemática es debido a la falta de explotación de las aguas subterráneas, principal-. SG. mente a la puesta en funcionamiento de la planta de tratamiento de agua potable del proyecto especial Chavimochic, al crecimiento de zonas agrı́colas en todo el valle de Moche y al fenómeno de el niño que ha producido una recarga de agua en todo el. PO. valle a través de lluvias y del rı́o Moche; de ahı́ la importancia de su estudio, empleando para ello modelos matemáticos discretos con la ayuda de los métodos numéricos como. BI. BL. IO. TE. CA. DE. Diferencias Finitas (DF) o Elementos Finitos (EF).. Figura 2: Laguna artificial en el palacio de Tschudi ( Chan Chan, 2002).. 11 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(15) PO. SG. RA DO. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. DE. Figura 3: Laguna artificial en el palacio de Tschudi ( Chan Chan, 2007 ).. Para los conceptos y términos usados en Hidrologı́a de Aguas Subterráneas puede consultar el Anexo A, mientras que la ecuación de continuidad adaptada para acuı́feros. CA. regionales se muestra en el Anexo B.. Bergamaschi (1999), desarrolló un modelo matemático bidimensional basado en el. TE. Elemento Finito Mixto Hı́brido (EFMH) para modelar la solución de la ecuación no lineal de Richard de flujo saturado variable en aguas subterráneas sobre mallas triangu-. IO. lares no estructuras. Chuang y Yeh (2006), desarrollaron un modelo matemático para. BL. calcular las cargas hidráulicas en un sistema de acuı́fero confinado semipermeable cerca a la lı́nea costera que se extiende a una distancia infinita bajo el mar y tiene conexión. BI. hidráulica con un acuı́fero no confinado situado en la parte superior del sistema de acuı́feros. Crowe et.al. (2004), desarrollaron un método conocido como gw-werland,. usado para simular el flujo de aguas subterráneas en estado dinámico y el transporte de contaminantes en una gran variedad de ambientes de aguas subterráneas pantanosas. Dogrul y Kadir (2006), dieron la ecuación de conservación de profundidad para el flujo de aguas subterráneas. Faraoni (2004) demostró que todo acuı́fero anisotrópico, 12 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(16) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. al menos en principio, es reducido a isotrópico usando una transformación conforme del espacio métrico euclidiano y la teorı́a de la geometrı́a diferencial en variedades diferenciables.. RA DO. Farthing et.al. (2003), presentaron la ecuación de Richard (ER) para modelar el flujo en un medio poroso saturado variable. Entre las diversas discretizaciones temporales aplicadas a (ER), se aplicó el método de lı́neas (MDL) para introducir aproximaciones temporales robustas, precisas y eficientes. Al mismo tiempo, usó un Método de. SG. Elementos Finitos Mixto Hı́brido (MEFM) combinado con una discretización en el tiempo adaptativa y de alto orden donde mostraron las ventajas sobre la tradicional aproximación para modelar el flujo de agua subterránea monofásico en medios porosos. PO. heterogéneos.. Guarracino y Quintana (2004, 2006), plantearon una herramienta computacional. DE. para simular el flujo de aguas subterráneas en variabilidad saturada fractura no deformable en un medio poroso en la cual se incluye un modelo numérico para resolver la ecuación de Richards. Hubbell et.al. (1997), presentaron la técnica de superposición pa-. CA. ra resolver el flujo de aguas subterráneas en un medio confinado para el caso lineal. Jeng et.al. (2005), trabajaron con fluctuaciones de marea en acuı́feros costeros, homogéneos. TE. e isotrópicos donde el modelo matemático es gobernado por la ecuación del flujo de aguas subterráneas bajo las hipótesis de Dupuit. Lapen et.al. (2005), presentaron un. IO. modelo matemático de flujo bidimensional estable de elementos finitos, debido a que. BL. reproduce geometrı́as de complicada geometrı́a y los gradientes hidráulicos pequeños son mejor aproximados que en el método de diferencias finitas.. BI. Li y Chen (1991), estudiaron el grado de intrusión salina dentro de un acuı́fero. confinado para determinar la posición de la interface agua-dulce-salada. Li et.al. (2001), realizaron un estudio para investigar el comportamiento de las cargas hidráulicas en un sistema de acuı́fero costero en respuesta a variaciones de la marea. El sistema consiste de un acuı́fero no confinado, un acuı́fero semiconfinado y una unidad confinada semipermeable entre ellos. Li et.al. (2002), presentaron una solución analı́tica para 13. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(17) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. describir el nivel de fluctuaciones del agua subterránea en un acuı́fero limitado por dos fronteras terrestres que forman un ángulo recto. Li y Jiao (2003), investigaron la influencia de la marea sobre el nivel medio de la. RA DO. superficie freática para el caso que el acuı́fero costero sea no confinado, no homogéneo y anisotrópico. El sistema de acuı́fero esta formado por un acuı́fero no confinado, un acuı́fero confinado y una capa semipermeable entre ambos. Se presentaron soluciones perturbadas asintóticas y soluciones aproximadas para una componente multi-. SG. sinusoidal de marea.. Li et.al. (2006), presentaron un método eficiente para analizar la respuesta de un acuı́fero a fuerzas periódicas. Utilizaron una transformación compleja para cambiar. PO. el modelo del acuı́fero lineal de tiempo-dependiente en un problema equivalente de tiempo-independiente. Consideraron el modelo matemático de acuı́fero lineal bidimen-. DE. sional.. Maskey (2002, 2003), presentaron un modelo matemático tridimensional de movimiento de aguas subterráneas asumiendo constante la densidad, un acuı́fero freático e. CA. isotrópico satisfaciendo las hipótesis de Dupuit y la ley de Darcy. Robinson (1999), planteo un modelo matemático bidimensional de aguas subterráneas. TE. desarrollado para simular el proceso de descarga de aguas subterráneas dentro de un acuı́fero costero no confinado. El modelo desarrollado fue basado en la aproximación. IO. del flujo de fluido de densidad dependiente con la superficie del agua subterránea y las. BL. condiciones de marea dinámicas. Smith y Griffiths (2004), mostraron una serie de programas y librerı́as totalmen-. BI. te actualizados al Fortran90, los cuales están a disposición para solucionar una gran variedad de problemas, incluyendo problemas de viscosidad, elasticidad, plasticidad, procesos de construcción en geomecánica, flujo de fluidos en estado estable y transiente, lineal y no lineal. Una de las mayores caracterı́sticas que presento Smith es que incluye programas en paralelo para todos los tipos de elementos finitos, mostrando que esos programas son eficientes en el uso de clusters de los PCs. 14 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(18) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Tang et.al. (2007), desarrollaron un método de integración semianalı́tico dependiente del tiempo para las ecuaciones diferenciales ordinarias producidas por la semidiscretización de la ecuación de flujo de agua subterráneas en estado dinámico, en lugar de. la solución exacta de la ecuación diferencial ordinaria.. RA DO. aproximar la derivada temporal con diferencias finitas, el método propuesto, aproxima. Kamp (1972), presenta un sistema de acuı́fero costero de tres capas consistente de un acuı́fero acotado por dos capas semipermeables, una arriba y la otra abajo del. SG. acuı́fero. Jiao y Tang (1999), derivó una solución analı́tica para estudiar las variaciones de las cargas hidráulicas en el acuı́fero confinado en un sistema de acuı́fero costero de tres capas. Hantush y Jacob (1995), ignoraron el almacenamiento elástico de la. PO. capa semipermeable y asumieron que las variaciones del nivel freático de las aguas subterráneas en el acuı́fero no confinado superficial es casi nula.. DE. Jiao y Tang (1999, 2001), encontraron que la filtración vertical es generalmente muy pequeña para un sistema de acuı́fero semipermeable real y no existe problema para usar estas hipótesis en los modelos matemáticos. Li (1991, 2001), utilizó un método. CA. de perturbación para investigar la interferencia de la onda de marea entre los acuı́feros confinados y no confinados, pero ignoraron los efectos de almacenamiento elástico de. TE. la capa semipermeable. Jeng et.al (2005), presentaron una solución analı́tica para describir la propagación de la onda de marea en los acuı́feros confinados y no confinados. IO. separados por una delgada capa semipermeable sin almacenamiento. Li y Jiao (2001),. BL. presentaron una solución analı́tica completa para describir la propagación de las ondas de marea de las aguas subterráneas en dos sistemas de acuı́feros costeros.. BI. Utilizar modelos matemáticos discretos implementado en programas en computado-. ras es una técnica utilizada en la actualidad para estudiar el comportamiento de las aguas subterráneas contenidas en los acuı́feros a lo largo del tiempo cuando son explotados por pozos o drenes para fines agrı́colas y de consumo doméstico. Los procesos de simulación numérica han ido evolucionando rápidamente y hoy en dı́a es posible simular el movimiento de las aguas subterráneas contenidas en cualquier medio poroso. 15. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(19) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. En este trabajo de tesis doctoral se utilizó la simulación numérica para estudiar el comportamiento dinámico de los niveles piezométricos de las aguas subterráneas contenidas en un sistema de acuı́fero confinado semipermeable costero homogéneo e. RA DO. isotrópico a través de un modelo matemático discreto de elementos finitos con condiciones de contorno de marea diurna y semidiurna a lo largo del litoral costero. Se eligió para la discretización del modelo matemático continuo el Método de los Elementos Finitos (MEF) (Brenner y Scott 2008, Cuvilier 1986, Gallagher et. al. 1978 ). SG. debido a que tiene gran flexibilidad para trabajar con dominios de frontera irregular y da la posibilidad de utilizar elementos de tamaño y de forma variable, lo que permite representar zonas de mayor interés o de caracterı́sticas distintas donde los datos tienen. PO. una mayor variación. Esto hace que disminuya el número de incógnitas en los sistemas ecuaciones algebraicas en comparación con el Método de Diferencias Finitas (MEF), lo. DE. que reduce considerablemente los requerimientos de memoria en las computadoras, el volumen de información a manipular y los tiempos de maquina para obtener la misma precision.. CA. El sistema de acuı́fero confinado esta formado por tres capas, un acuı́fero no confinado en la parte superior a presión atmosférica, en el centro una capa semipermeable. TE. que deja pasar agua desde la parte superior, un acuı́fero confinado en el fondo y una capa impermeable rocosa que no deja pasar agua a través de ella. La capa semipermea-. IO. ble permite filtraciones verticales hacia el acuı́fero confinado sobre todo en épocas de. BI. BL. lluvias, Figura (4).. 16 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(20) PO. SG. RA DO. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. DE. Figura 4: Sistema de acuı́fero costero formado por tres capas.. El modelo matemático discreto fue utilizado para calcular las alturas piezométricas en el acuı́fero costero del valle de Moche, localizado en la costa norte del Perú, apro-. CA. ximadamente a 580 Km al norte de la ciudad de Lima con una extension de 20 081 Ha. Abarca desde Huanchaco por el norte hasta Salaverry por el sur. Polı́ticamente. TE. pertenece a la provincia de Trujillo y al departamento de La Libertad. Para los procesos de simulación numérica fue necesario construir dos programas. IO. computacionales. El primer programa construido es un generador de mallas automáti-. BL. co de elementos finitos designado como mesh generate2d cuyo código fue escrito en matlab y utilizado para obtener un modelo discreto de la geometrı́a del acuı́fero del. BI. valle de Moche. El segundo programa llamado Elementos Finitos para el Modelamiento de Aguas Subterráneas (EFMAS) fue escrito en el lenguaje de programación Fortran y ejecutado bajo la plataforma Windows XP en una PC Intel(R)(TM) 2 Duo Pro CPU y calcula las alturas piezométricas de las aguas subterráneas contenidas en un acuı́fero confinado. El programa EFMAS validó sus resultados numéricos con los resultados dados para la Bahı́a de Apalachicola, Florida, USA (Jiao, 2001) en las 17 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(21) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. mismas condiciones hidrodinámicas. El modelo matemático discreto de elementos finitos fue implementado en el programa EFMAS para simular el movimiento de las aguas subterráneas en el acuı́fero. RA DO. costero y predecir el comportamiento de la napa freática. Los datos para la simulación como conductividad hidráulica, coeficiente de almacenamiento, alturas piezométricas medias, etc. han sido obtenidas del Portal del Proyecto Especial de Irrigación chavimochic (Portal de Proyecto 2007). Los parámetros hidráulicos como la velocidad. SG. de marea, cambio de fase, coeficiente de separación, etc. fueron extraı́das de los datos referentes a la Bahı́a de Apalachicola (Jiao, 2001). Las simulaciones numéricas han demostrado que la napa freática se encuentra en niveles altos en la zona urbana de. PO. la ciudad de Trujillo, Quinta Etapa de San Andrés, Buenos Aires, Moche, Huanchaco debido principalmente a la no explotación de las aguas subterráneas para uso agrı́cola. DE. y de consumo doméstico llegándose a predecir que si no se tiene condiciones de drenaje adecuados, la ciudad de Trujillo se empantanará en poco tiempo. Cabe señalar que la parte más alta del área de estudio está casi en su estado natural,. CA. mientras que la parte baja probablemente una de las áreas más desarrolladas en la costa del Perú esta sufriendo constantes cambios. Es evidente que el sistema de flujo del agua. TE. subterránea en la zona costera del valle de Moche ha sido cambiado a lo largo de los últimos 10 años. Los piezómetros en la zona han comenzado a variar considerablemente. IO. con las llegadas de las aguas provenientes del proyecto de irrigación Chavimochic.. BL. Esperamos que los alcances que se dan en esta tesis doctoral puedan servir a las autoridades para tomar decisiones sobre el manejo hı́drico en el acuı́fero del valle de. BI. Moche y la metodologı́a desarrollada en este trabajo se pueda aplicar en otras cuencas hidrográficas de interés similar a la estudiada.. 18 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(22) RA DO. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Capı́tulo 1. 1.1.. PO. SG. Material y Métodos Material de Estudio. DE. El material de estudio en la presente investigación fue el sistema de acuı́fero del valle de Moche, Trujillo, Perú donde se ha incrementado las actividades agrı́colas, urbanas e industriales, lo que implica un conocimiento de los niveles piezométricos del acuı́fero. La. CA. ciudad de Trujillo se caracteriza por su clima árido y semicálido, con una temperatura o. o. o. o. media máxima de 22,7 C (72, 9 ) F, y una mı́nima de 15,8 C (60, 4 ) F con ausencia. TE. de lluvias durante todo el año. No obstante, cuando se presenta el fenómeno de el Niño, el clima varı́a, aumenta el nivel de precipitaciones y la temperatura se eleva. En. IO. el valle existen aproximadamente 400 fuentes de agua subterránea tales como pozos,. BL. norias y/o manantiales, de los cuales aproximadamente 150 son pozos tubulares siendo su función la extracción de agua subterránea para satisfacer tanto las necesidades. BI. agrı́colas del propio valle, ası́ como para consumo humano en la ciudad de Trujillo y zonas periféricas urbanizadas. El acuı́fero tiene zonas impermeables por donde no transcurre el agua subterránea como son los cerros Pesqueda y La Virgen, y la parte alta del valle pues esta formado por una zona rocosa impermeable. En la parte costera el acuı́fero tiene unidades geológicas con diferentes propiedades agrupadas en tres capas perfectamente definidas. En la parte superior tiene una capa no confinada a presión 19 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(23) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. atmosférica; en la parte del centro tiene una capa semipermeable que deja pasar agua a un nivel inferior; en la parte de abajo se tiene una capa confinada y en el fondo una capa impermeable que no deja pasar agua a través de ella. Las fuentes principales. RA DO. de recarga del acuı́fero lo constituye las descargas del rı́o Moche donde parte de estas descargas se infiltran a través del lecho permeable del rı́o con intensidades diferentes a lo largo de su trayectoria. El rı́o Moche atraviesa todo el valle desde su naciente hasta su descarga en el mar. Las descargas del rı́o constituyen la respuesta de la cuenca. SG. frente a intensidades de precipitación, principalmente en las épocas de lluvia. El canal madre del proyecto de irrigación Chavimochic en la zona no constituye una fuente de recarga artificial pues se encuentra revestido. La agricultura en el valle es intensa y. PO. los sistemas de riego son por gravedad (surcos, pozas), los excedentes de las láminas de riego, necesariamente constituyen una fuente de recarga hacia la napa freática. Por. DE. otro lado, con la llegada de las aguas del rı́o Santa a través del ”canal madre” se ha comenzado a practicar el riego por goteo lo cual si bien es cierto no constituye una fuente de recarga inmediata a la napa freática si ha modificado el clima en la zona. CA. afectando principalmente el periodo y la intensidad de las lluvias lo cual se agraba por la presencia del fenómeno de el niño en la zona. Se ha detectado que en la ciudad de. TE. Trujillo y sus alrededores se esta dejando de utilizar las aguas subterráneas para fines domésticos debido a la construcción de una planta de tratamiento de agua en la parte. IO. alta de la ciudad. La parte alta del valle tiene zonas impermeables formado por rocas.. BL. A pesar de su importancia, en la actualidad no existe una evaluación hidrogeológica integral que determine la condición real del agua subterránea y que permita planear un. BI. manejo integral del acuı́fero del valle de Moche. La zona de estudio (parte baja de la cuenca hidrográfica), está ubicado en la costa norte del paı́s, aproximadamente a 580 Km al norte de la ciudad de Lima y a 140 Km de la ciudad de Chimbote. Polı́ticamente pertenece a la provincia de Trujillo y al departamento de La Libertad. Las Figuras (1.1) y (1.2) muestran la localización de la zona de estudio - acuı́fero del valle de Moche, Trujillo, Perú. 20 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(24) TE. CA. DE. PO. SG. RA DO. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. IO. Figura 1.1: Mapa de localización de la zona de estudio, valle de Moche, Norte(Huanchaco), Sur(Salaverry), Trujiillo, Perú. Fuente: Municipalidad Provincial de. BI. BL. Trujillo(2006).. 21 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(25) TE. CA. DE. PO. SG. RA DO. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. BL. IO. Figura 1.2: Zona de estudio, valle de Moche. Fuente: Google Earth (2009).. 1.2.. Parámetros Hidráulicos, Base de Datos y Me-. BI. dios de Simulación Numérica. Los parámetros hidráulicos y la base de datos para el sistema de acuı́fero confinado semipermeable del valle de Moche, tales como conductividad hidráulica, coeficiente de almacenamiento, recargas diarias del rı́o Moche, niveles medios piezométricos, etc., fueron extraı́das del Proyecto Especial de Irrigación chavimochic(Portal del Proyecto 22 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(26) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Especial Chavimochic, 2007). La velocidad de marea, coeficiente de humedad, cambio de fase, etc,. de los datos referentes a la Bahı́a de Apalachicola, Florida, USA, (Jiao, 2001).. RA DO. La simulación numérica fue a través del programa llamado Elementos Finitos para la Modelación de Aguas Subterráneas (EFMAS), construido para el proceso de simulación numérica en esta investigación siguiendo los lineamientos de Alberty (1999) y Person (2004). El programa EFMAS fue escrito en el lenguaje de programa-. SG. ción Fortran y ejecutado bajo la plataforma Windows XP en una PC Intel(R) Corel (TM) 2 Duo CPU. Para la visualizar los resultados numéricos se utilizó el Matlab y el graficador de superficies surfer.. PO. Para generar el modelo discreto en elementos finitos de la geometrı́a del valle de Moche y de la Bahı́a de Apalachicola se utilizó el programa generador de mallas mesh. Métodos y Técnicas. CA. 1.3.. DE. generate2d cuyo código fuente fue escrito en matlab.. El trabajo de investigación se inició construyendo el modelo matemático continuo. TE. del sistema de acuı́fero confinado semipermeable costero del valle de Moche, Trujillo, Perú. Para construir el modelo se hicieron importantes suposiciones y simplificaciones. IO. durante el diseño debido a que una reconstrucción completa del sistema de acuı́fero. BL. costero no es posible. Para su construcción, fue aplicado el principio de simplicidad de modo que fue lo mas simple posible, manteniendo la suficiente complejidad para la. BI. representación adecuada de los elementos fı́sicos del sistema de acuı́fero y reproducir su comportamiento hidrodinámico. Para deducir el modelo matemático se ha utilizado la ley de conservación de masa. y de movimiento, la ley de Darcy que relaciona el caudal que circula por una sección de área del acuı́fero y el gradiente hidráulico bajo una constante de proporcionalidad llamada conductividad hidráulica (Figuereido, 2001; Kazda 1990), la variable incog23 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(27) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. nita es la altura piezométrica y el dominio es una región de geometrı́a irregular, con dos tipos de condiciones de frontera, la condición de Neumann o de flujo, dado sobre una parte del dominio y la condición de Dirichelt o altura piezométrica conocida,. RA DO. sobre la parte complementaria del dominio. Las condiciones de contorno en la parte superior del acuı́fero son incorporadas en el término fuente el cual es el resultado de promediar verticalmente las alturas piezométricas desde el fondo hasta un nivel de referencia, esta condición incorpora los pozos de observación y de extracción. La ley de. SG. Dupuit-Forchheimer se utiliza para justificar de la ecuacion diferencial tridimensional en una bidimensional ignorando la componente vertical del flujo debido a que el flujo vertical es lento en comparación con el flujo horizontal (Delleur, 1999). Como condición. PO. inicial se tomo como referencia el nivel medio del mar. La ecuación diferencial parcial parabólica, junto con las condiciones de contorno y condición inicial representan el mo-. DE. delo matemático en estudio, disponible para hacer un estudio matemático y numérico. Se utilizó el Método de los Elementos Finitos (MEF)(Brenner, 2008; Cuvilier, 1986; Elmar, 2005; Gallagher, 1978; Schewchar, 2002; Salsa, 2008) para obtener el modelo. CA. matemático discreto del acuı́fero del valle de Moche. Para aplicar el Método de los Elementos Finitos fue necesario primero obtener la formulación variacional del problema. TE. continuo del valle de Moche consistente en una ecuación diferencial parcial, condiciones de contorno y la condición inicial. Esto fue hecho para cuatro casos, para el problema. IO. de Cauchy-Dirichlet, Cauchy-Neumann, Cauchy-Robin y el problema Mixto donde se. BL. demostró para cada caso la existencia y unicidad de un tipo de solución, llamada solución débil del problema continuo (Salsa 2008). Se aproximó el problema variacional. BI. siguiendo la metodologı́a siguiente: 1. Se seleccionó una sucesión de funciones lo suficientemente diferenciables {wk }∞ k=1 , base ortogonal de V = H01 (Ω) y ortonormal de H = L2 (Ω). 2. Se construyó una sucesión de subespacios finito dimensionales Vm = span {w1 , w2 , ..., wm } , S Vm = V Vm ⊂ Vm+1 tal que 24 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(28) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. 3. Para cada m fijo, se definió la aproximación de Galerkin. um (t) =. m X. ck (t)wk. y. Gm =. k=1. m X. gk wk. (1.1). RA DO. k=1. Se planteo entonces el siguiente problema de aproximación a resolver Hallar um ∈ H 1 (0, T ; V ), tal que se cumple, para cada s = 1, 2, ..., m,   (u̇(t), ws ) + a (um (t), ws ) = (f (t), ws ) , c.t.p t ∈ [0, T ] 0 0  u (0) = G , m. SG. m. (1.2). L2 (0, T ; V ∗ ), respectivamente.. PO. 4. Se demostró que las sucesiones {um } y {u̇m } son acotados en L2 (0, T ; V ) y. 5. Se demostró que existe una subsucesión {umk } que converge débilmente en L2 (0, T ; V );. DE. mientras {u̇mk } converge débilmente en L2 (0, T ; V ∗ ) para u̇.. problema (1.2).. CA. 6. Se demostró que u obtenida en el paso anterior es la única solución débil del. El modelo matemático discreto finito dimensional asociado al problema (2.18) fue ob-. TE. tenido seleccionando espacios finitos dimensionales de aproximación cuyas funciones. IO. bases son funciones diferenciables por partes y de soporte compacto, es decir, aquellas que se anulan fuera de un compacto. El modelo matemático discreto esta formado por. BL. una ecuación diferencial parcial parabólica discreta, condiciones de contorno e iniciales discretas definidas en espacios finitos dimensionales. El dominio del acuı́fero fue discre-. BI. tizado en una malla de elementos finitos triangulares para lo cual se utilizo el algoritmo de Delaunay (Borouchaki, 1996, 1997; Chang, 1997; Du, 2003, 2004; Jin, 2005; Jones, 1997; Kwork, 2005; Lohner, 1998; Nithiarasu, 2000; Rassineux, 1998; Ruppert, 1995; Shephard, 1991; Shewchuk, 1999) implementado en el programa generador de mallas adaptativas mesh generate2d cuyo código se ha escrito en Matlab. En esta malla triangular se definió las ecuaciones discretas del modelo, la ecuación diferencial parcial, 25. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(29) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. las condiciones de contorno y la condición inicial generando un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden a ser resueltas en cada nivel de tiempo. Para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias se utilizó diferencias. RA DO. finitas en cada nivel de tiempo y en cada nodo de la discretización. Para hacer esta tarea se construyó el programa llamado Elemento Finito para el Modelamiento de Aguas Subterráneas (EFMAS) que implementa numéricamente el Método de los Elementos Finitos de Faedo-Galerkin, cuyo código fuente fue escrito en Fortran.. SG. Se determino entonces las alturas piezométricas de las aguas subterráneas contenidas en el acuı́fero confinado del acuı́fero del valle costero de Moche. Para esto fue necesario introducir al programa EFMAS los parámetros hidráulicos como transmisividad,. PO. conductividad hidráulica, coeficiente de almacenamiento.. Para validar los resultados computacionales generados con el programa EFMAS. DE. fue seleccionado el modelo hidrodinámico de la Bahı́a de Apalachicola, Florida, USA, Figura (1.3), con una extensión de 50 km2 y una longitud a lo largo de lı́nea costera de 10 km. El modelo hidrodinámico esta formado por tres capas, un acuı́fero no confinado. CA. en la parte superior, una capa semipermeable en el centro y un acuı́fero confinado en el fondo. Existe filtración vertical a través de la capa semipermeable al acuı́fero confinado.. TE. La lı́nea costera esta afectada por cambios de marea diurna y semidiurna. En la parte norte y sur de la zona de estudio no existe un intercambio de flujo con el medio y en la. IO. parte de la costa los niveles piezométricos no cambian durante el periodo de simulación.. BL. Para los datos iniciales del modelo hidrodinámico fue considerado en nivel medio del mar. Los resultados de las simulaciones efectuadas fueron mostradas a través de figuras. BI. generadas en subrutinas de programación en matlab y Surfer.. 26 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(30) CA. DE. PO. SG. RA DO. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Figura 1.3: Zona de estudio, Bahı́a de Apalachicola, Florida, USA. Fuente Google. TE. Earth(2009).. IO. Presentamos en seguida los principales aspectos del algoritmo computacional para. BL. el programa mesh generate2d y EFMAS.. BI. Algoritmo para el programa mesh generate2d El programa mesh generate2d implementa numéricamente el algoritmo de trian-. gulación de Delaunay, que tiene la propiedad de maximizar el menor ángulo de la triangulación (Shewchuk 1999). Dado un conjunto P de puntos en el plano, entonces la triangulación de Delaunay 27 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(31) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. genera una subdivisión de su cápsula convexa en triángulos: Cada triángulo está formado por tres puntos de la triangulación P.. RA DO. La intersección de dos triángulos distintos: es nula; consistente en un punto de P; o consiste en el segmento que une dos puntos de P.. Nungún punto está dentro de la circunferencia que contiene a un triángulo de la. BL. IO. TE. CA. DE. PO. SG. triangulación.. BI. Figura 1.4: Modelo discretizado en elementos finitos triangulares de 6915 elementos y 3949 nodos.. La Figura (1.4), muestra el modelo discretizado en elementos finitos triangulares de un dominio de geometrı́a irregular bidimensional generado con el programa mesh generate2d.. 28 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(32) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Entrada de datos : contorno-omega n : (xi , yi ) matriz de orden N1 ×2 que contiene las xy-coordenadas para cada uno de los N1 nodos en la frontera del dominio.. RA DO. Procedimiento:. generación de la malla de elementos finitos triangulares usando triangulación de Delaunay. Para el refinamiento se usa el método de paso incremental. Salida de datos :. SG. coordenadas: matriz de orden M1 ×2 que contiene las coordenadas de los elementos de la triangulación.. PO. elementos3: matriz de orden P1 × 3 que contiene la matriz de conectividad de los. DE. M1 nodos.. CA. Algoritmo Computacional del Programa EFMAS El algoritmo computacional para el programa EFMAS consta de las siguientes. TE. partes:. Datos de entrada. IO. coordenadas: coordenadas de los nodos de la triangulación de Delaunay : (x1 , y1 ),. BL. (x2 , y2 ), (x3 , y3 ),... elementos3 : matriz de conectividad de nodos de la triangulación : ni1 , ni2 , ni3 ,. BI. nj1 , nj2 , nj3 ,.... nodos contorno: vector que contiene los nodos sobre el contorno del dominio : ni1 , ni2 , ni3 ,... parámetros de entrada: tinicial , tf inal , Nitera , Kdry, thks, S, L.. Procedimiento 29 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(33) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Generación de lo(s) vector(es) nodos dirichlet que contiene la condición de contorno de Dirichlet: nd1 , nd2 , nd3 ,... Generación de la(s) matriz(es) conectividad segmento neumann que contiene la. RA DO. condición de contorno de Neumann: (ne1 , ne2 ); (ne3 , ne4 ),... solve head hydraulic:. 0. • Genera el sistema elemental de ecuaciones diferenciales ae h + be h = f e ,. SG. e = 1, ..., M. • Ensamblaje matriz de masa A, rigidez B, vector fuerza F.. PO. • Imposición de condición inicial: Uinitial .. • Incorporación de la condición de contorno al sistema de ecuaciones.. DE. ◦ Inicio de la iteración tinicial = 0, ... ◦ Solución del sistema ecuaciones ordinarias para cada nivel de tiempo.. TE. datos de salida. CA. ◦ final iteración tmax .. Nivel piezométrica hi en las coordenadas (xi , yi ): (x1 , y1 , h1 ), (x2 , y2 , h2 ), (x3 , y3 , h3 ),. IO. .... .. BL. Para una descripción completa de los códigos en Fortran puede consultar Smith(2004). BI. ————————————————————————. 30 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(34) Capı́tulo 2. 2.1.. PO. SG. Resultados y Discusión. RA DO. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Modelo Continuo del Acuı́fero del Valle de Mo-. DE. che. La configuración del modelo del acuı́fero del valle de Moche, esta formado por un. CA. sistema de acuı́fero confinado semipermeable costero, Figura (2.1). El sistema tiene tres capas: un acuı́fero confinado en el fondo, una capa semipermeable en el centro y. TE. un acuı́fero no confinado en la parte superior. El origen del sistema es seleccionado en la parte izquierda de abajo de la cara delantera del acuı́fero confinado semipermeable.. IO. El material del acuı́fero es homogéneo e isotrópico. La velocidad de flujo en el acuı́fero confinado es esencialmente horizontal y existe una filtración vertical a través de la capa. BL. semipermeable. El nivel piezométrico de las aguas subterráneas en un tiempo inicial en todo el sistema es uniforme e igual a hz , el cual es la distancia desde la capa impermeable. BI. en el fondo hasta el nivel medio del mar. Para t > 0, hz en el acuı́fero no confinado permanece constante. El coeficiente de almacenamiento de la capa semipermeable es muy pequeña y la filtración vertical es linealmente proporcional a la diferencia entre los niveles piezométricos del acuı́fero confinado y no confinado (Jacob, 1950; Hantsust, 1995). Bajo estas hipótesis el modelo matemático continuo que describe el flujo de. 31 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(35) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. aguas subterráneas a través de sus niveles piezométricos esta dado por una ecuación diferencial parcial parabólica junto a una condición de contorno sobre el litoral costero de marea, mientras que la condición de contorno hacia el fondo del acuı́fero es nula,. RA DO. la cual afirma que la marea no tiene efecto lejos de la lı́nea costera hacia el interior cuando la distancia es muy grande. En la frontera superior e inferior se asume que no existe flujo. Para la condición inicial se asume que los niveles piezométricos son nulos. BI. BL. IO. TE. CA. DE. PO. SG. en toda el área de estudio, (Jiao y Tang, 2001).. Figura 2.1: Esquema para el modelo matemático continuo del acuı́fero costero del valle de Moche, Trujillo, Perú.. Número de capas del acuı́fero Las capas o estratos se utilizan en el modelo para representar las unidades hidroes32 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(36) SG. RA DO. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. PO. Figura 2.2: Perfil del esquema para el modelo matemático del valle de Moche.. tratigráficas, las cuales son unidades geológicas con similares o diferentes propiedades.. DE. En base a la información obtenida en el portal del Proyecto Especial de Irrigación Chavimochic el acuı́fero costero del valle de Moche tiene tres capas perfectamente de-. CA. terminadas cerca al litoral. En la parte superior tiene un acuı́fero no confinado, en la parte central tiene un acuı́fero semipermeable que permite que exista filtración vertical. TE. y en el fondo una acuı́fero confinado con una base impermeable de roca.. Parámetros de entrada al modelo. IO. En el sistema de acuı́fero costero con filtración vertical se requiere información referente a sus propiedades, principalmente la conductividad hidráulica (L/T ), el espesor del. BL. acuı́fero (L), transmisividad (L2 /T ), coeficiente de almacenamiento y filtración vertical (L).. BI. Condiciones de contorno. Las condiciones de contorno son restricciones impuestas al modelo sobre su frontera a fin de representar una interfase entre el interior del acuı́fero y el exterior. En el modelo se han considerado dos tipos de condiciones de contorno. La primera es una condición de contorno tipo Dirichlet donde los niveles piezométricos son constantes. Esta condición. 33 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(37) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. de contorno se ha impuesto sobre el litoral costero para una sola componente de marea diurna. La segunda condición de frontera que se implementa en el modelo es la condición de condición de flujo o Neumann sobre el litoral costero para indicar un intercambio de. RA DO. flujo de aguas subterráneas entre el mar y el acuı́fero, que puede ser saliente, entrante o nulo. Esta condición de contorno también se especifica sobre las zonas impermeables (zonas rocosas como los cerros).. Pozos. SG. La explotación del agua subterránea en el acuı́fero del valle de Moche se realiza mediante pozos tubulares y tajo abierto lo cual ha permitido obtener la información necesaria para los datos iniciales (condiciones iniciales) para iniciar el proceso de simulación.. PO. Descarga / Recarga. Se ha considerado una recarga que depende de la posición y el tiempo para todo el. DE. acuı́fero, estas recargas están dadas por las recargas del rı́o Moche a lo largo de todo el valle y por condiciones de recarga provenientes de las lluvias, mientras que las descargas son las aguas que se drenan al mar.. CA. Ecuación del Modelo Continuo Bajo estas condiciones la ecuación diferencial parcial parabólica que gobierna el flujo. TE. de las aguas subterráneas en el acuı́fero costero del valle de Moche esta dado por. IO. ∂ ∂h = S ∂t ∂x. ∂h ∂ ∂h Tx + Ty + L(hz − h) ∂x ∂y ∂y. (2.1). BL. con una condición de marea sobre el litoral costero dada por (2.2). BI. h = hz + A.e(−p.x−m.y) cos(at + by − (aS + 2bmT )/(2pT )x + c). donde hz es la condición inicial, S coeficiente de almacenamiento, T transmisividad, L coeficiente de filtración, A amplitud de marea, a velocidad de marea, t0 periodo de marea, b coeficiente de separación, m coeficiente de humedad de la amplitud de marea, c cambio de fase (Sun, 1997). En las demás fronteras se han impuesto condiciones de contorno tipo Dirichlet y Neumann en las zonas de aislamiento. 34. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(38) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. 2.2.. Modelo Discreto por Elementos Finitos. Sea Ω un dominio acotado en Rn y sea el cilindro espacio-tiempo QT = Ω × (0, T ), Figura (2.3). Sea A = A (x, t) es una matriz cuadrada de orden n, b = b (x, t),. diferencial parcial en su forma de divergencia dada por. RA DO. c = c (x, t) vectores en Rn , a0 = a0 (x, t) y f = f (x, t) funciones reales. Sea la ecuación. ut − div (A∇u − u) + c.∇u + a0 u = f. ∀ (x, t) ∈ QT , ∀ ξ ∈ Rn , ξ 6= 0. (2.4). CA. DE. PO. A(x, t)ξ · ξ > 0. SG. parabólica en QT pues. (2.3). TE. Figura 2.3: Modelo cilindro espacio-tiempo. IO. Para ecuaciones parabólicas del tipo (2.3) podemos repetir los argumentos concer-. BL. nientes a ecuaciones elı́pticas (Breźis, 1984; Brenner y Scott, 2008; Elmar, et.al., 2005). En este caso, usaremos pasos similares a los dados para problemas elı́pticos con las. BI. modificaciones de las ecuaciones debido a la naturaleza dinámica del problema (2.3). Desarrollamos esta teorı́a para ecuaciones en la forma de divergencia. Esto es, u = −div (A∇u − bu) + c · ∇u + a0 u. (2.5). dado f definida en QT , se quiere determinar una solución u, de la ecuación (2.3), ut + u = f. en QT. (2.6). 35 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(39) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. satisfaciendo una condición inicial u (x, t) = u0 (x) en QT. (2.7). RA DO. y una condición de contorno sobre la superficie lateral ST = ∂Ω × [0, T ]. Usamos en primer lugar el problema Cauchy-Dirichlet para introducir una formulación variacional del problema (2.6)-(2.7) junto con la condición de contorno lateral y determinar la existencia de una solución llamada solución generalizada asociada al. SG. problema de Cauchy-Dirichelt.. PO. Caso 1: El Problema Cauchy-Dirichlet. El problema que modela el movimiento de las aguas subterráneas en un medio. Dirichlet esta dado por (PCD):. DE. poroso homogéneo e isotrópico con filtración vertical y con condiciones de Cauchy-.   S ut + b u = T ∆u + f,    u(x, 0) = g(x),. en Ω. u(x, t) = 0. sobre ST. CA    . en QT (2.8). TE. donde Ω un dominio acotado en Rn .. El objetivo aquı́ es hallar una formulación variacional del problema (PCD) siguien-. IO. do los mismos pasos que para problemas elı́pticos. Para esto multiplicamos la ecuación. BL. del flujo de aguas subterráneas en (2.8) por una función prueba v = v(x) en D(Ω)1 , es decir, una función infinitamente diferenciable que se anula en la frontera de Ω y luego. BI. integramos sobre Ω, Z. S. Z. ut (x, t) v(x)dx +. Ω. Z b u (x, t) v(x)dx =. Ω. Z T ∆u (x, t) v(x)dx +. Ω. f (x, t) v(x)dx Ω. (2.9) 1. conjunto de funciones infinitamente diferenciable, con derivadas continuas de todos los ordenes. en Ω y con soporte compacto en Ω, es decir, C0∞ (Ω). 36 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(40) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Aplicando la primera Identidad de Green a la primera integral del lado derecho de (2.9) Z. Z ∇u.∇v dΩ = Ω. Z (∇u.n) v dS −. ∆u v dΩ. ∂Ω. (2.10). Ω. Z. Z. S. ut (x, t) v(x)dx +. Z b u (x, t) v(x)dx =. Ω. ZΩ −. T (∇u (x, t) .n) v(x)dx Z T ∇u (x, t) .∇v(x)dx + f (x, t) v(x)dx ∂Ω. Ω. Ω. SG. Pero como v ∈ D(Ω) se tiene Z. Z. Z ut (x, t) v(x)dx +. S. Ω. b u (x, t) v(x)dx = − T ∇u (x, t) .∇v(x)dx Z Ω + f (x, t) v(x)dx. PO. Ω. RA DO. se tiene. Ω. Z. Z. Ω. ut (x, t) v(x)dx + T ∇u (x, t) .∇v(x) dx + {z } |Ω {z. Derivada temporal. Z Ω. F orma bilineal. Z b u (x, t) v(x)dx = f (x, t) v(x)dx Ω } | {z } F orma lineal. (2.11). CA. S |. DE. Ordenando se tiene. TE. Nota 2.2.1 Esto es semejante a lo hecho para ecuaciones elı́pticas, excepto por la presencia de ut . Aquı́ hay que tener en cuenta además la condición inicial.. IO. En primer lugar, puesto que estamos trabajando con una ecuación diferencial parcial parabólica, es conveniente adoptar un procedimiento similar que para problemas. BL. elı́pticos y considerar a u = u(x, t) como una función de t con valores en un espacio de Hilbert V . Entonces escribimos u(t) en lugar de u (x, t), u̇ en lugar de ut (x, t) y f (t) en. BI. lugar de f (x, t). Por la densidad de D(Ω) en H01 (Ω) la ecuación (2.11) toma la forma: Z. S. Z T ∇u(t).∇v dx +. u̇(t) v dx + Ω. Z. Ω. Z b u(t) v dx =. Ω. f (t) v dx. (2.12). Ω. La condición homogénea de Dirichlet, es decir, u(t) = 0 sobre ∂Ω para t ∈ [0, T ], sugiere que el espacio natural para u(t) es H01 (Ω), al menos casi para todo t ∈ [0, T ]. 37 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(41) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Utilizando el producto interno de H01 (Ω) y la correspondiente norma k.k1 se tiene que la segunda integral en (2.12) puede ser escrita en la forma (∇u(t), ∇v)0 y como u̇(t) ∈ H −1 (Ω) la primera integral en (2.12) puede ser interpretada como hu̇(t), vi∗. RA DO. donde h., .i∗ denota la relación de debilidad entre H −1 (Ω) y H01 (Ω). Notar que f ∈ L2 (QT ), en las nuevas notaciones se tiene f ∈ L2 (0, T ; L2 (Ω))2 . De igual forma se tiene que u ∈ L2 (0, T ; H01 (Ω))3 y u̇ ∈ L2 (0, T ; H −1 (Ω)) entonces u ∈ C ([0, T ] ; L2 (Ω))4 donde u(0) = g con g ∈ L2 (Ω).. SG. Consideramos el triple espacio de Hilbert (V, H, V ∗ ), donde V = H01 (Ω), H = L2 (Ω) y V ∗ = H −1 (Ω).. PO. Resumiendo podemos hacer las siguientes notaciones:. a(u, v) = T (∇u, ∇v)0 + b (u, v)L2 (Ω) | {z }. (2.13). L(v) = (f (t), v)0 {z } |. (2.14). b(u̇, v) = S hu̇(t), vi∗ | {z }. (2.15). DE. F orma bilineal. F orma lineal. F orma bilineal. TE. CA. Finalmente podemos formular el problema variacional en la forma siguiente:   Hallar u ∈ L2 (0, T ; V ) tal que u̇ ∈ L2 (0, T, V ∗ ) y :    (2.16) hu̇(t), vi∗ + a(u(t), v) = (f (t), v)0 ∀ v ∈ H01 (Ω), c.t.p t ∈ [0, T ]     u(0) = g. IO. Aunque existen variantes del Lema de Lax-Milgram perfectamente adaptable para. BL. resolver problemas transientes que permiten demostrar la existencia de una solución 2. Para 1 ≤ p ≤ ∞, V un espacio de Hilbert y 0 < T < ∞. Se define Lp (0, T ; V ) co-. mo el espacio de Banach formado por las funciones vectoriales u : (0, T ) → V tales que. BI. la aplicación t → ku(t)kV ∈ Lp (0, T ). Cuando 1 ≤ p < ∞ se define Lp (0, T ; Lp (Ω)) = n o hR i1/p RT T u : (0, T ) → Lp (Ω); 0 ku(t)kpLp (Ω) dt < +∞ , con la norma kukLp (0,T ;V ) = 0 ku(t)kpV dt 3. ( p. L. 0, T ; H01 (Ω). . =. u : (0, T ) →. H01 (Ω);. Z 0. 4. C ([0, T ]; V ). =. ). T. ku(t)kpH 1 (Ω) dt 0. {u : u : [0, T ] → V f unciones continuas}. con. < +∞. norma. kukL∞ (0,T ;V ). =. máx0≤t≤T ku(t)kV. 38 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(42) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. generalizada, vamos a utilizar el Método de los Elementos Finitos de FaedoGalerkin (Salsa 2008; Cuvilier 1986) que es mucho más conveniente cuando se quiere aproximaciones numéricas.. RA DO. Presentamos los principales pasos a seguir del Método de Faedo-Galerkin: 1. Seleccionar una sucesión de funciones lo suficientemente diferenciables5 {wk }∞ k=1 tal que:. f orma una base ortogonal en V = H01 (Ω). SG. y. PO. una base ortonormal en H = L2 (Ω) En particular, escribimos. g=. ∞ X. gk wk. k=1. DE. donde gk = (g, wk )0 que converge en H.. CA. 2. Construir una sucesión de subespacios finito dimensionales. donde. TE. Vm = span {w1 , w2 , ..., wm }. tal que. [. Vm = V. IO. Vm ⊂ Vm+1. BI. BL. Para cada m fijo, se define la aproximación de Galerkin. um (t) =. m X. ck (t)wk. k=1. y. Gm =. m X. gk wk. (2.17). k=1. Planteamos entonces el siguiente problema de aproximación a resolver. 5. esto es posible puesto que V es un espacio de Hilbert separable. En particular, es posible elegir a. wk como las autofunciones de Dirichlet del operador de Laplace, normalizado con respecto a la norma en H. 39 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(43) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Hallar um ∈ H 1 (0, T ; V )6 , tal que se cumple, para cada s = 1, 2, ..., m,   (u̇m (t), ws ) + a (um (t), ws ) = (f (t), ws ) , c.t.p t ∈ [0, T ] 0 0  u (0) = G , m. RA DO. m. (2.18). Note que la ecuación (2.18) se cumple para cada elemento de la base ws , s = 1, 2, ..., m. Además, desde u̇m ∈ L2 (0, T ; V ), se tiene: (u̇m (t), v)0 = hu̇(t), vi∗. SG. donde um es llamada aproximación de Galerkin a la solución u.. tivamente (estimativas de energı́a).. PO. 3. Demostrar que {um } y {u̇m } son acotados en L2 (0, T ; V ) y L2 (0, T ; V ∗ ), respec-. DE. 4. Demostrar que existe una subsucesión {umk } que converge débilmente en L2 (0, T ; V ) para algún elemento u, mientras {u̇mk } converge débilmente en L2 (0, T ; V ∗ ) para. CA. u̇.. 5. Probaremos que u en el paso anterior es la única solución débil del problema. TE. (2.8).. Solución del problema aproximado. IO. Utilizaremos el siguiente Lema:. BL. Lema 2.2.1 Para todo m, existe una única solución um del problema (2.18). En particular, si um ∈ H 1 (0, T ; Vm ), se tiene que um ∈ C ([0, T ]; Vm ).. BI. Prueba:. Puesto que w1 , . . . , wm son mutuamente ortogonales en L2 (Ω), tenemos: ! m X (u̇m (t), ws )0 = ċ(t)wk , ws = ċs (t) para k=s k=1. 0. 6 1 H (0, T ; V ) = u ∈ L2 (0, T ; V ) : u̇ ∈ L2 (0, T ; V ). 40 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(44) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. y (um (t), ws )0 =. !. m X. c(t)wk , ws. = cs (t). k=1. para. k=s. 0. RA DO. También, w1 , . . . , wm es un sistema ortogonal en Vm , por lo tanto ! m X a (um (t), ws ) = a ck (t)wk , ws = α (∇ws , ∇ws )0 cs (t) = αk∇ws k20 cs (t) k=1. Sea Fs (t) = (f (t), ws ) ,. Fm (t) = (F1 (t), . . . , Fm (t)). SG. y Cm (t) = (c1 (t), . . . , cm (t)) ,. gm = (g1 , . . . , gm ). PO. Si introducimos la matriz diagonal. W = diag k∇w1 k20 , k∇w2 k20 , . . . , k∇wm k20. DE. de orden m, el problema (2.18) es equivalente al siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias acoplado de orden m con coeficientes constantes: c.t.p.. t ∈ [0, T ]. (2.19). CA. Ċm (t) = −αWCm − β Cm (t) + Fm (t), con la condición inicial. TE. Cm (0) = gm .. Puesto que F ∈ L2 (0, T ; Rm ), existe una única solución Cm (t) ∈ H 1 (0, T ; Rm ). Por. BL. IO. otro lado de. um (t) =. m X. ck (t)wk. k=1 1. m. BI. deducimos que um ∈ H (0, T ; R ). Nota 2.2.2 Se ha elegido una base wk ortonormal en L2 y ortogonal en H01 pues con. respecto a esta base, el operador de Laplace llega a ser un operador diagonal, como se visualiza en el problema de aproximación (2.18). Sin embargo, es posible elegir cualquier base enumerable para ambos espacios. Entonces el problema (2.18) se transforma en Ċm (t) = −M−1 WCm (t) − β M−1 Cm (t) + M−1 Fm (t). c.p.t.. t ∈ [0, T ]. 41 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.