INSTITUCION UNIVERSITARIA “ANTONIO JOSÉ CAMACHO” Asignatura: PRINCIPIOS DE ESTADÍSTICA
Profesores: Rubén Darío Corrales: rudacovesx@yahoo.com;
2013-1
Guía 4. Probabilidad
TABLA DE DISTRIBUCIÓN CONJUNTA DE DOS VARIABLES ALEATORIAS. TABLAS DE CONTINGENCIA
En algunos estudios estadísticos tomamos para cada unidad de información valores de dos variables estadísticas: La variable aleatoria X que toma los valores x1, x2,.. xn, y la variable aleatoria Y, que toma valores y1, y2, ..., yn. Se pueden escribir los datos recogidos en forma de listado, como se indica en la (Figura a), o bien, cuando todos o algunos pares se repiten, pueden escribirse como una tabla de doble entrada (o tabla de contingencia) (Figura b), donde fij indica la frecuencia absoluta con que aparece el par (xi, yj).
Si representamos mediante hij la frecuencia relativa del par de valores (xi, yj), se verifica la relación (1). Llamamos a esta frecuencia relativa de cada celda respecto al total de datos frecuencia relativa doble.
hij = fij/n (1)
Los valores marginales (que representan los subtotales por columna o por fila) por variable estarán dados por fi. Para la variable X y f.j para la variable Y
De ahí se tienen las siguientes relaciones:
n = Σ f.j = Σ fi. = Σ fij
Figura a Figura b
EJEMPLO
Realizar una tabla de contingencia para las variables género y cargo de los 25 funcionarios de una pequeña empresa.
CARGO GENERO CARGO GENERO
2 1 1 SUPERVISOR MASCULINO 1
2 1 2 EMPLEADO FEMENINO 2
2 1 3 DIRECTOR
2 1 4 AUXILIAR
2 1
2 1
2 1
4 1
2 2
4 2
2 1
1 1
2 1
2 2
2 1
3 1
2 1
1 2
2 1
2 2
2 1
4 1
2 2
2 1
La tabla de frecuencias que se halla inicialmente define las frecuencias que se cumplen para las dos variables a la vez
GENERO Subtotal
CARGO FEMENINO MASCULINO
AUXILIAR 1 2 3
EMPLEADO 4 15 19
SUPERVISOR 1 1 2
DIRECTOR 0 1 1
Subtotal 6 19 25
Se podría decir por ejemplo que 15 funcionarios tienen cargo de empleados y su género es masculino, que hay 19 hombres, que hay 2 supervisores, etc.
Se halla la frecuencia porcentual por fila, se halla con base como total los resultados de la columna de subtotal del cargo
GENERO Subtotal del Cargo
CARGO FEMENINO MASCULINO
AUXILIAR 1/3 = 0.33 2/3 = 0.67 1.00
EMPLEADO 4/19 = 0.21 15/19 = 0.79 1.00
SUPERVISOR ½ = 0.5 ½ = 0.5 1.00
DIRECTOR 0/1 = 0 1/1 =1.0 1.00
Subtotal 6/25 = 0.24 19/25 = 0.76 1.00
Este análisis se referencia por las filas o sea el cargo, se podría decir por ejemplo que el 21% de los que son empleados son de género femenino, que el 50% de los que son supervisores son mujeres, que el 67% de los que son auxiliares son hombres, etc. Observe que el término de “los que son” corresponde al valor que divide.
Se halla la frecuencia porcentual por columna, con base como total los resultados de la fila de subtotal del género
GENERO Subtotal
CARGO FEMENINO MASCULINO
AUXILIAR 1/6= 0.17 2/19 = 0.11 3/25 = 0.12
EMPLEADO 4/6 = 0.66 15/19 = 0.79 19/25 = 0.76
SUPERVISOR 1/6 =0.17 1/19 = 0.05 2/25 = 0.08
DIRECTOR 0/6 = 0.00 1/19 = 0.05 1/25 = 0.04
Subtotal del Género 1.00 1.00 1.00
Este análisis se referencia por las columnas o sea el género, se podría decir por ejemplo que el 66% de las que son mujeres tiene como cargo empleadas, que el 5% de los que son hombres son supervisores, que el 17% de las que son mujeres son auxiliares, etc.
Se halla la frecuencia porcentual por celda, con base en el total de la tabla
GENERO Subtotal
CARGO FEMENINO MASCULINO
AUXILIAR 1/25 = 0.04 2/25 = 0.08 3/25 = 0.12
EMPLEADO 4/25 = 0.16 15/25 = 0.60 19/25 = 0.76
SUPERVISOR 1/25 = 0.04 1/25 = 0.04 2/25 = 0.08
DIRECTOR 0/25 = 0.00 1/25 = 0.04 1/25 = 0.04
Subtotal 6/25 = 0.24 19/25 = 0.76 25
Este análisis se referencia con base al total, se podría decir por ejemplo que el 4% de los funcionarios son de género femenino y son auxiliares, que el 60% de los funcionarios son empleados y son hombres, que el 16% de los funcionarios son empleados y son mujeres, etc.
Conceptos básicos de probabilidad
Experimento aleatorio: Antes de su realización, conocemos de antemano todos sus posibles resultados, pero no el resultado concreto que vamos a obtener, aunque se observan regularidades al repetir varias veces el experimento. Espacio muestral (S): El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, normalmente se representa por S. Por ejemplo, si lanzamos una moneda nuestro espacio muestral tiene 2 elementos y coincide con S= {c, s} donde c=cara y s= sello.
Evento: Es un subconjunto del espacio muestral S. Esto implica que S también es un evento así como lo es el conjunto vacío. Cualquier resultado individual también puede considerarse como un evento.
Se dice que dos eventos A y B, son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir juntos; es decir, la intersección de A y B es el conjunto vacío.
Enfoques de probabilidad
Clásica: La probabilidad clásica es aquella que se toma de manera objetiva, puesto que se conoce el número exacto de
opciones a ocurrir y presenta un resultado exacto y que puede considerarse a priori.
- Probabilidad a Priori. La probabilidad de un evento A, P(A), es la medida del chance de que ese evento ocurra. En este caso los resultados del experimento son igualmente probables. Este método fue desarrollado por Laplace.
# de maneras que A puede ocurrir P(A) = ---
# total de resultados posibles
Ejemplo.
Se lanzan dos monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean cara (C)? S = {CC, CS, SC, SS} A = {CC}
P (CC) = ¼
Frecuencista o Probabilidad a posteriori. En el caso que los eventos no poseen igual posibilidad de ocurrencia, el problema de asignar las probabilidades ocurre a posteriori. El concepto de probabilidad a posteriori lo desarrolla Richard Von Mises y se conoce también como de frecuencia relativa y es apropiado cuando se tienen los datos para estimar la proporción del tiempo que ocurrirá el evento en el experimento si el experimento se repite un número grande de veces y cuyos resultados no son exactos.
Frecuencia relativa: Supongamos que repetimos n veces un experimento, y sean A y B dos eventos asociados con el
experimento. Sean nA y nB el número de veces que el evento A y el B (respectivamente) ocurrieron en las n repeticiones. Entonces, definimos fA = nA / n como la frecuencia relativa del evento A en las n repeticiones del experimento.
La frecuencia relativa fA tiene las siguientes propiedades:
- 0 ≤ fA ≤ 1.
- fA = 1 si y sólo si A ocurre cada vez en las n repeticiones.
- fA = 0 si y sólo si A nunca ocurre en las n repeticiones.
- Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes (o sea con frecuencia 0), y si f(A U B) es la frecuencia relativa asociada al evento A U B, entonces f(A U B) = fA + fB.
- fA, basada en la n repeticiones del experimento y considerada para una función de n, "converge" en cierto sentido probabilístico a P(A) cuando n-->+∞. (Esto no es lo mismo que el concepto corriente de convergencia que se encuentra en otra parte en matemáticas. En realidad, ésta no es una conclusión matemática, sino simplemente un hecho empírico.) Lo importante de esta propiedad es que si un experimento se realiza un gran número de veces, la frecuencia relativa con que ocurre un evento A tiende a variar cada vez menos a medida que el número de repeticiones aumenta.
Subjetiva, esta probabilidad ocurre cuando no existe frecuencias ni sabemos el número de opciones a ocurrir, por lo tanto es asignada de forma subjetiva por expertos en el área específica.
Axiomas de probabilidad: Sea E un experimento y S un espacio muestral asociado con E. Con cada evento A asociamos un número real, designado con P(A) y llamado probabilidad de A, el cual satisface las siguientes propiedades:
- 0 ≤ P(A) ≤1
- P(S) = 1
- Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, P(A U B) = P(A) + P(B)
- Si AC es el evento complementario de A, entonces P(A) = 1 - P(AC)
- Si A y B son dos eventos cualesquiera, entonces P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Ejemplos
1. Una empresa necesita aportes de sus socios para dos proyectos. La probabilidad de que los socios aporten al proyecto A es del 30%, de que aporten al proyecto B es del 60% y de que aporten en ambos es del 8% ¿Qué probabilidad hay de que aporten al menos en un proyecto?
Solución
Al menos a 1 sería al proyecto A o al proyecto B o a ambos, esto se define como la unión de dos conjuntos
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A B) = 0.3 + 0.6 - 0.08 = 0.82
2. Entre los 78 médicos del personal de un hospital, 64 poseen seguro contra negligencia, 36 son cirujanos y 34 de ellos poseen el seguro contra negligencia. Si se elige al azar uno de estos médicos cual es la probabilidad de que no sea cirujano y no posea seguro contra negligencia?
Solución
A = {Ser cirujano} B = {Tener seguro} P(A) = 36 / 78 = 0.46 P(B) = 64 / 78 = 0.82 P(A B) = 34 / 78 = 0.43
P(No cirujano y No seguro) = P(A´ B´) = 1 – P(A U B) = 1 – (P(A) + P(B) – P(A B)) = 0.15
Técnicas de Conteo
El análisis de los problemas de probabilidad se facilita a través de métodos sistemáticos de conteo de los grupos y arreglos de los datos. A continuación se explicarán algunas técnicas de conteo.
Principio de Multiplicación:
Si un experimento puede describirse como una secuencia de k pasos y en cada paso hay n1 resultados en el primer paso, n2 resultados en el segundo paso, n3 resultados en el tercer paso, y así sucesivamente, entonces el número de eventos que pueden ocurrir será, (n1)(n2) (n3)(n4) • • • • • • (nk)
Ejemplos.
1. Lanzar dos dados: Solución:
(n1) (n2) = ( 6 )( 6 ) = 36
2. Suponga que se desea formar un comité de tres miembros en el cuál se elegirá un presidente, un vicepresidente y un tesorero. Hay dos candidatos para la presidencia, 4 para la vicepresidencia y 3 para el tesorero. ¿De cuántas formas se puede formar el comité?
Solución:
# de formas para escoger presidencia : 2 # de formas para escoger vicepresidencia : 4 # de formas para escoger el tesorero : 3
# de formas para escoger las posiciones: (2)(4)(3) = 24
Permutación (P).
Cada arreglo de datos donde el orden es importante y que puede realizarse tomando algunos datos o todos los datos contenidos en el grupo.
n = # de datos
r = grupo tomado de n ( r < n )
Caso 1. ( n = r )
nPn = n !
Ejemplos
1. Se tienen 6 máquinas de escribir y 6 personas para operar las máquinas, ¿de cuántas maneras se pueden asignar las personas a las máquinas?
Solución:
2. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras A, B, C tomándolas todas a la vez? Solución:
3P3 = (3)(2)(1) = 6 [ ABC, BCA, CAB, BAC, CBA, ACB ]
Caso 2. (r<n). Muestras ordenadas sin repetición.
En éste caso cada observación se toma una sola vez, porque la unidad después de observada no se regresa a la población de donde proviene.
n)! (N
N! n
P
N
N # de elementos diferentes disponibles (población) n # número de elementos tomados de N (muestra)
Ejemplos
1. Un examen de candidatura consta de 5 partes que pueden obtenerse de un total de 10 temas. ¿de cuántas maneras se pueden escoger las 5 partes?
Solución
120 ! 5
! 10 5)! (10
10! 5
P
10
2. Haga una lista de las permutaciones que pueden formarse con los números: 1, 2, 3 y 4 tomando dos a la vez.
12 ! 2
! 4 2)! -(4
4 2 P
4
Cuando el orden en que se seleccionan los objetos no importa, tenemos lo que se denomina una Combinación.
Combinaciones.
Número de formas diferentes que se pueden seleccionar n objetos de un total de N objetos distintos sin importar el orden (juego de póker).
n)!
(N
n!
N!
n
C
N
Ejemplo
Se dispone de 8 personas, 5 hombres y 3 mujeres, para formar un comité de 5 personas. ¿de cuántas maneras se puede formar el comité si debe incluir 3 hombres y 2 mujeres?
10
3)!
(5
3!
5!
3
C
5
maneras de escoger 3 hombres de 5 posibles3
2)!
(3
2!
3!
2
C
3
maneras de escoger 2 mujeres de 3 posiblesEntonces el numero total de maneras que se puede formar el comité si debe incluir 3 hombres y 2 son: 10(3)= 30
PROBABILIDAD MARGINAL Y CONJUNTA
Una manera, muy usada en la práctica, de denominar la probabilidad un evento simple de un espacio muestral es como probabilidad simple o marginal, la cual hace referencia a la probabilidad de un evento simple, y se denota con P(A), siendo A el evento simple en cuestión. El nombre de probabilidad marginal se debe a que esta medida se puede obtener a partir de los totales marginales de una tabla de contingencia.
Ejemplo
Si en un estudio se hace una encuesta a 800 alumnos de una universidad sobre el grado de satisfacción con la carrera y el grado de satisfacción con el progreso en la misma. Los resultados de la encuesta se muestran en la siguiente tabla.
carrera Si No Total
Si 362 350 721
No 18 70 88
Total 380 420 800
La probabilidad de que un alumno se encuentre satisfecho con la carrera, es decir, la probabilidad de que ocurra el evento A = “satisfecho con la carrera elegida” será igual al número de alumnos que están satisfechos (712) divido por el número de total de alumnos encuestados (800), es decir, P(A) = 712/800 = 0.89. Esta es una probabilidad marginal.
La denominación de probabilidad conjunta se utiliza para referirse a la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos simples simultáneamente. Por ejemplo, si se usa los datos del ejemplo, la probabilidad de que ocurran simultáneamente los siguientes eventos simples A = “el alumno está satisfecho con su carrera” y B = “el alumno está satisfecho con su avance en la carrera” se calcula como el número de alumnos que se encuentran satisfechos tanto con la carrera como con sus avances en la misma (362) divido por el número total de alumnos encuestados (800), y se denota con P(A y B) o con P( A ∩ B ) y en esta caso es igual a 362/800 = 0.4525.
Observaciones:
1. Las definiciones dadas hasta ahora, son aplicables a situaciones donde el espacio muestral S se considera formado por n puntos. Por ejemplo, en la encuesta de alumnos n= 800. Cada uno de estos puntos (empleados) tiene probabilidad 1/n= 1/800 de ser elegido al azar.
2. Si el espacio muestral es particionado en r eventos, A1, A2,…, Ar, que definen una característica como por ejemplo “Satisfacción con la carrera”; y si en este mismo espacio se considera otra partición generada por s eventos B1, B2,…, Bs, que definen otra característica como ser “Satisfacción con su progreso en la carrera”, entonces el espacio muestral S queda particionado en rs subconjuntos. En el ejemplo de la encuesta, r = s = 2, y donde A1 = “Si está satisfecho con la carrera”, A2= “No está satisfecho con la carrera”, B1= “Si está satisfecho con su progreso” y B2= “No está satisfecho con su progreso”, luego el espacio muestral queda dividido en 4 subconjuntos a saber A1∩B1, A2∩B1, A1∩B2, A2∩B2, y sus respectivas probabilidades P[Ai∩Bj] = P[Ai y Bj], son las ya definidas probabilidades conjuntas, mientras que las probabilidades de los eventos determinados por cada partición, es decir, P[Ai] y P[Bj] son las probabilidades marginales correspondientes a la primera y segunda partición respectivamente.
3. Si dos eventos no tienen puntos comunes, es decir, ellos no pueden ocurrir simultáneamente, entonces, se dice que son mutuamente excluyentes. Por otra parte, un conjunto de eventos se dice que son colectivamente exhaustivos, si uno de ellos debe ocurrir necesariamente. Por ejemplo, A1 y A2 son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, ¿Por qué? ¿Lo son también A1 y B2?
4. A partir de la definición de probabilidad conjunta, y considerando que el número de alumnos que presentan la característica A1= “están satisfechos con la carrera” se obtiene sumando el número de alumnos que pertenecen al evento (A1∩B1) y al evento (A1∩B2), entonces se verifica que: P[A1] = P[A1∩B1] + P[A1∩B2].
5. En general si B1, B2,…, Bk son eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos y A es cualquier evento definido en el mismo espacio muestral, se verifica que:
P(A) = P[A∩B1] + P[A∩B2] + … + P[A∩Bk]
PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA
El concepto de Probabilidad Condicional surge cuando se quiere obtener la probabilidad de un evento A, y se tiene conocimiento que ya ocurrió otro evento B relacionado al primero y se denota con P[A|B] la cual se lee como “probabilidad de A dado B”. Una pregunta que podría hacerse el lector es sobre la necesidad de introducir este concepto. Para obtener una respuesta a este interrogante, al menos intuitivamente, supongamos se quiere conocer la probabilidad del evento A = “lloverá” y se sabe que se presentó el evento B = “está nublado”. Intuitivamente se percibe que la P[A] aumentará si se sabe que ocurrió B ya que ambos eventos están relacionados.
Ejemplo
Antes de dar la definición de probabilidad condicional considérese los datos de la encuesta a los 800 estudiantes y siguiendo la notación dada, se quiere calcular P[está satisfecho con la carrera / está satisfecho con su progreso en la misma] = P[A/B]. El número de estudiantes satisfechos con la carrera dentro de los 380 estudiantes no satisfechos con su progreso es 362, entonces se verifica que P[A/B] = 362/380 = 0.9526
(a) Si no se dispone de la información sobre B’, entonces P[A]= 712/800 = 0.89 es decir, la probabilidad de A sin el conocimiento de que ocurrió B es menor que P[A/B].
(b) El numerador (362) es el número de estudiantes que están satisfechos con la carrera y están satisfechos con su progreso en la misma, es decir pertenecen al evento conjunto “A y B”.
(c) El denominador (380) es el número de empleados que pertenecen al evento “B”, esto equivale a considerar un nuevo espacio muestral donde el número de puntos se redujo de 800 a 480.
(d) Si se divide numerador y denominador de la igualdad por 800, es decir, el número total de estudiantes, se tiene que
0.9526
380/800
362/800
P[A/B]
y entonces se debe observar que el numerador es la P[A y B]= P[A∩B] y el denominador es P[B].
A partir de esta última observación surge naturalmente la definición formal del concepto de Probabilidad Condicional para dos eventos cualesquiera A y B, como:
P[B]
B)
P[A
P[B]
B]
y
P[A
P[A/B]
La comparación de los valores obtenidos de P[A/B] con P[A] en el ejemplo revela cierta información importante: el conocimiento del progreso en la carrera afecta la predicción de la satisfacción con la carrera elegida. Por lo tanto, desde una perspectiva estadística se puede establecer que estos eventos están asociados de alguna manera. Esto lleva a definir uno de los conceptos más importantes de la estadística y que es el concepto de Independencia Estadística de la siguiente manera:
Dos eventos A y B se dice que son independientes si P[A/B]=P[A] o P[B/A]=P[B] o P[A∩B]=P[A]P[B]
Es decir que el conocimiento de la ocurrencia de B no afecta a la P[A].
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN
Usando la definición de la probabilidad condicional y con algún manejo algebraico se llega a otra regla básica de la teoría de probabilidad denominada Regla de la multiplicación y la cual permite el cálculo de la P[A y B] conociendo la P[A/B] y la P[B], en efecto, P[A y B] = P[A∩B] = P[A/B] P[B]
Teorema de Bayes
Si B1, B2,…, Bn son n eventos mutuamente excluyentes, de los cuales uno debe ocurrir, es decir
n i iB
P
11
)
(
, entonces)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
1
n i i i j j jB
A
P
B
P
B
A
P
B
P
A
B
P
, j= 1, 2,…, nEjemplo
Durante los últimos años se ha escrito mucho sobre la posible relación entre el fumar y el cáncer pulmonar. Suponga que en un centro médico, de todos los fumadores de quienes se sospecha que tenían cáncer pulmonar, el 90% lo tenía mientras que únicamente el 5% de los no fumadores lo padecía. Si la proporción de fumadores es de 0.45., ¿cuál es la probabilidad de que un paciente con cáncer pulmonar, seleccionado al azar, sea fumador?
Solución
Sean B1 y B2 los eventos ¨el paciente es fumador¨ y ¨el paciente es no fumador¨ respectivamente, y sea A el evento ¨el paciente tiene cáncer pulmonar¨. B1 y B2 son las alternativas que pueden predominar. Se supone que las probabilidades a priori, para estas dos alternativas, son 0.45 y 0.55 respectivamente. Si un paciente tiene o no cáncer pulmonar puede estar afectado por cualquiera de las dos alternativas que predominen y que constituyan la evidencia experimental. Se sabe que P(A/B1)= 0.9 y P(A/B2)= 0.05. Se desea determinar la probabilidad a posteriori de seleccionar un fumador, puesto que el paciente tiene cáncer, o P(B1/A).
Del teorema de Bayes se tiene
9364
.
0
)
05
.
0
)(
55
.
0
(
)
9
.
0
)(
45
.
0
(
)
9
.
0
)(
45
.
0
(
)
/
(
1
A
B
P
La probabilidad de que un paciente con cáncer pulmonar, seleccionado aleatoriamente sea fumador, es de 0.9364
1. Considere un juego en el que se tiene un dado especial con cinco lados, es decir que tiene las caras: 1, 2, 3, 4 y 5.
a) Defina el experimento estadístico cuando tiene dos (2) de estos dados especiales. b) Defina el espacio muestral S.
c) Cuántos puntos muestrales tiene S?
d) Lanzar dos dados son eventos dependientes o independientes?. Justifique su respuesta. e) Defina los puntos muestrales para los siguientes eventos:
A = Obtener al menos un numero par B = Los dos lados son pares
C = La suma de las caras es igual a “7”
f) Halle la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos anteriores
P (A) = P (B) = P (C) =
g) A cuál de los eventos anteriores le apostaría en un juego? Justifique su respuesta
2. Sea A el evento de que cierto libro de mecánica de fluidos de la biblioteca de la universidad se encuentre prestado, y sea B el evento de que otro libro sobre el mismo tema se encuentre prestado.
a. Si P(A)=0.5, P(B)=0.4 y P(A U B)=0.65,calcule P(A
B)b. Mediante las probabilidades del punto a, calcule la probabilidad de que exactamente uno de los dos libros esté prestado
c. Si P(AUB)=0.7, P(A
B)=0.2 y P(sólo el primer libro está prestado)=0.4, Calcule P(A) y P(B) d. Si P(AUB)=0.7, P(A
B)=0.2 y P(exactamente uno de los libros está prestado)=0.5 ¿Se puede determinar P(A) y P(B)?3. Una firma de consultoría de computadores ha licitado en tres proyectos. Sea Ai: Proyecto i otorgado, para i:1, 2, 3
Supongamos:
P(A1)=0.22, P(A2)=0.25, P(A3)=0.28
, , ,
Exprese verbalmente el significado de cada uno de los siguientes eventos y calcule su probabilidad. a.
b. c.
d.
e.
4. Suponga que los vehículos que toman determinada salida de la autopista dan vuelta a la derecha (R), a la izquierda (L) o siguen derecho (S). Considere el hecho de observar la dirección de tres vehículos sucesivos.
a. Liste los resultados del evento A donde los tres vehículos van en la misma dirección. b. Enumere los resultados del evento B donde los tres vehículos toman direcciones distintas.
c. Registre los resultados del evento C en el que exactamente dos de los tres vehículos dan vuelta a la derecha.
5. Suponga que se lanza una moneda al aire 5 veces. ¿Cuál es el número de diferentes resultados posibles?
6. El menú de un restaurante tiene un precio fijo para las cenas completas que consisten en un aperitivo, un platillo principal, una bebida y un postre. Se tiene la posibilidad de elegir entre 5 aperitivos, 10 platillos, 3 bebidas y 6 postres. Determine el número total de cenas posibles.
7. Si hay 10 preguntas de opción múltiple en un examen, cada una con 4 posibles respuestas. ¿Cuántos exámenes diferentes podrían diseñarse?
8. Una oficina tiene un sistema telefónico interno. Si la oficina utiliza solo una extensión seguida por cuatro dígitos, tales como 555-XXXX, ¿cuántos números diferentes pueden asignarse? Si se utiliza una segunda extensión 556-XXXX, ¿cuántas líneas telefónicas son posibles?
9. Una lista de lecturas para un curso contiene 20 artículos. ¿Cuántas formas diferentes hay para elegir tres artículos de esta lista?
10. De los 15 miembros de una junta directiva de una gran empresa, ¿cuántos comités de 5 miembros pueden seleccionarse?
11. Una caja con 24 latas contiene una que está contaminada. Se van a seleccionar tres latas al azar para someterlas a una prueba.
a. ¿Cuántas combinaciones de 3 latas se pueden seleccionar?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione la lata contaminada para la prueba?
1.
b) ¿Son independientes A y B? ¿Por qué si o por qué no?
2. Cooper Realty es una empresa pequeña de bienes raíces que se especializa en inmuebles habitacionales. Recientemente les ha interesado determinar la posibilidad de que una de sus propiedades se venda dentro de cierto tiempo. Un análisis de las ventas de 800 casas, efectuada por esa empresa en años pasados, arrojó los datos siguientes:
Días hasta la venta Menos de
30
De 31 a 90
Mas de
90 Total
Oferta inicial
Menos de 50
millones 50 40 10 100
De 50 a 100
millones 20 150 80 250
De 100 a 150
millones 20 280 100 400
Mas de 150 millones 10 30 10 50
Total 100 500 200 800
a) Estime la probabilidad de que una casa se vende en más de 90 días.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una casa se venda en menos de 30 días o en más de 150 millones? c) Determine la probabilidad de que una casa se venda en más de 90 días y cueste más de 150 millones.
d) Suponiendo que se acaba de firmar un contrato para anunciar una casa cuyo precio inicial es menor de 50 millones, ¿cuál es la probabilidad de que Cooper Realty tarde más de 90 días en venderla?
e) Sea A el evento en que una casa se vende en más de 90 días, y sea B el evento en que el precio inicial es menor de 50 millones. ¿Son independientes los eventos A y B?. Justifique su respuesta.
3. Considere elegir al azar un alumno de cierta universidad, y sea A el evento de que el individuo seleccionado tenga una tarjeta de crédito Visa y B el evento análogo para una MasterCard. Suponga que P(A) = 0.5, P(B) = 0.4 y P(A
a) Calcule la probabilidad de que el individuo seleccionado tenga al menos una de las dos tarjetas. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo elegido no tenga ninguna de esas tarjetas?
c) Describa, en términos de A y B, el evento de que el alumno seleccionado tenga una tarjeta Visa, pero no una MasterCard, y luego calcule la probabilidad de ese evento.
4. Suponga que en Australia el 3% de los hombres y el 2% de las mujeres son daltónicos (D) y que, además, existe igual número de hombres (H) que de mujeres (M). Un científico que investiga sobre el daltonismo selecciona una persona australiana daltónica aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada sea hombre (H)?
5. Un bolso contiene tres monedas, una de las cuales está acuñada con dos caras mientras que las otras dos monedas son normales y no son sesgadas. Se escoge una moneda al azar del bolso y se lanza cuatro veces en forma sucesiva. Si cada vez sale cara, ¿cuál es la probabilidad de que ésta sea la moneda con dos caras?
6. Cuatro individuos van a donar en un banco de sangre. Ninguno de ellos ha sido donante antes, así que se desconocen su tipo de sangre. Suponga que solo se desea el tipo de sangre O+ y en realidad solo uno de los cuatro donantes tiene ese tipo. Si se eligen al azar los donantes para la tipificación:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos se deba tipificar a tres individuos para obtener el tipo deseado? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tercer individuo sea O+?
7. Un banco de la ciudad cuenta con 3 empleados cajeros para la atención de sus clientes. Existe un cajero exclusivo para titulares (fila titulares), otro para personas que harán una transacción (fila rápida) y otra fila general para realizar más de una transacción. Se sabe que el 45% de las personas que llegan al banco son titulares de cuentas, el 35% son no-titulares que hará la fila rápida y el resto se dirigen a la fila general. De los titulares, el 80% son atendidos en menos de 10 minutos, al igual que el 70% en la fila rápida y el 20% en la fila general. Usted es el administrador del banco y debe asegurar la mejor atención a los clientes.
a) Una persona se acerca al administrador y le presenta una queja, pues alega que lleva media hora en el banco. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido un cliente titular del banco?