INT. A LA PROBABILIDAD (744)
MODELO DE RESPUESTA
Integral 17 – 01 – 09
OBJ 1 PTA 1
Una empresa constructora tiene en su plantel de trabajadores ocho plomeros y seis electricistas, para realizar determinado trabajo necesita escoger tres plomeros y tres electricistas.
a) Si la escogencia es aleatoria. ¿Cuántas son las posibles escogencias que se pueden hacer para realizar ese trabajo?
b) Si hay dos plomeros que hacen excelentes trabajos. ¿Cuántos grupos de trabajo se pueden escoger donde estén estos dos trabajadores?
c) Hay un electricista que realiza los mejores trabajos. ¿Cuántos grupos de trabajos pueden escogerse que contengan a este trabajador?
NOTA: El objetivo se considerará aprobado si hay al menos dos ítems correctamente resueltos.
Solución:
a)
56
20
1120
3
6
3
8
=
⋅
=
⋅
. b)
6
20
120
3
6
1
6
=
⋅
=
⋅
.
c)
56
10
560
2
5
3
8
=
⋅
=
⋅
.
OBJ 2 PTA 2
Una caja contiene un solo billete de cada una de las siguientes denominaciones $1, $5, $10 y $20.
(a) Se extrae aleatoriamente un billete; enumere el espacio muestral.
(b) Se extraen aleatoriamente dos billetes (sin reemplazo); enumere el espacio muestral como diagrama de árbol.
NOTA: El objetivo se considerará aprobado si los dos ítems están correctamente resueltos.
Solución:
(a) Ω = {$1, $5, $10, $20}
(b)
$5
$1 $10
$20
$1
$5 $10
$20
$1
$10 $5
$20
$1
$20 $5
$10
OBJ 3 PTA 3
Cuando ocurre un accidente de automóvil, las autoridades de transito hacen análisis al conductor para determinar la presencia de alcohol en la sangre. Por experiencias se sabe que si un conductor ha ingerido alcohol, el análisis resultará positivo en le 97% de los casos. Por otro lado, el examen produce erróneamente un resultado positivo en un 2% de los casos. Suponiendo que en el 1% de los accidentes el conductor haya ingerido licor, ¿cuál es la probabilidad de que en un accidente en el que el examen resultó positivo, el conductor haya realmente consumido alcohol?
Solución:
Sea A el suceso de haber ingerido alcohol, B el de resultar positivo el examen, así que:
02 0 97
0 01
0, , P(B/A) , , P(B/A) , )
A (
P = = =
Deseamos 03288
0295 0 0097 0 99 0 02 0 01 0 97 0 01 0 97 0 , , , , * , , * , , * , ) A ( P ) A / B ( P ) A ( P ) A / B ( P ) A ( P ) A / B ( P ) B / A (
P = =
+ =
+ =
OBJ 4 PTA 4
Un estudiante es elegido aleatoriamente de un grupo de 200; se sabe que de éstos, 140 son alumnos de tiempo completo (80 mujeres y 60 hombres) y 60 son de tiempo parcial (40 mujeres y 20 hombres) .
Sea el evento A : “el estudiante elegido es tiempo completo” y el evento C: “el estudiante elegido es una mujer”
Responda a la pregunta: ¿ Son independientes los eventos A y C ?.
Sugerencia: Realice un diagrama de Venn para ilustrar la situación descrita en este enunciado.
Solución:
Consideremos el gráfico siguiente, el cual representa el enunciado de nuestro problema
Ω
20
A C
Primero se encuentran las probabilidades P(A), P(C) y P(A | C). En efecto,
P(A) =
200 140
= 0.7 ; P(C) =
200 120
= 0.6 (1)
P(A | C) =
) (
) (
C P
C A
P I
120 80
=0.67 (2)
De (1) y (2) vemos que P(A) ≠ P(A | C) según la definición de la Pág. 105 del texto (737), por lo tanto A y C no son independientes.
OBJ 5 PTA 5
Sea X una variable aleatoria discreta que representa el número de niños en la familia y cuya
función de probabilidad está dada por: f (x) = C3, x
3
2 1
(a) Hallar la distribución de probabilidad de niños y niñas en familias con 3 hijos, suponiendo iguales probabilidades para niños y niñas.
(b) Hallar la función de distribución acumulada F(x) para la variable aleatoria X.
NOTA: El objetivo se considerará aprobado si los dos ítems están correctamente resueltos.
Solución:
(a) Sabemos por una parte que P(X = x) = f (x). Luego la función de probabilidad para la variable aleatoria X viene dada por
x 0 1 2 3
f (x) 1/8 3/8 3/8 1/8
(b) Utilizando la tabla anterior tenemos que
F (0) = f (0) =
8 1
; F (1) = f (0) + f (1) =
2 1
; F (2) = f (0) + f (1) + f (2) =
8 7
;
F (3) = f (0) + f (1) + f (2) + f (3) = 1
Luego
≤
<
≤
<
≤
<
≤
<
=
x
3
1
3
x
2
8
/
7
2
x
1
2
/
1
1
x
0
8
/
1
0
x
0
La función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria X está dada por
f (x) =
−>
parte
otra
en
0
0
x
.
3
e
3xpara
Determine: P(0.5 ≤ X ≤ 1).
Solución:
Para encontrar la probabilidad se obtiene:
P(0.5 ≤ X ≤ 1) =
∫
1 5 . 0 3x - dx e
3 = – e – 3 + e – 1.5 = 0.173
OBJ 7 PTA 7
Supóngase que una variable aleatoria X puede tomar cada uno de los cinco valores: -2, 0, 1, 3, 4 con la misma probabilidad. Determinar:
a) E (X), b) Var (X)
NOTA: El objetivo se considerará aprobado si los dos ítems están correctamente resueltos.
Solución:
Como X puede tomar cada uno de los cinco valores: -2, 0, 1, 3, 4 con la misma probabilidad, tenemos que P (X= Xi) = 1/5 , con i= 1, ..., 5.
a) E (X) =
.(
4
)
1
,
2
5
1
)
3
.(
5
1
)
1
.(
5
1
)
0
.(
5
1
)
2
.(
5
1
−
+
+
+
+
=
.
b) Var(X) = E (X2) – [E (X)]2
E (X2) =
.(
4
)
6
5
1
)
3
.(
5
1
)
1
.(
5
1
)
0
.(
5
1
)
2
.(
5
1
−
2+
2+
2+
2+
2=
Luego, Var (X) = 6 – (1,2)2 = 4,56.
OBJ 8 PTA 8
Por la carretera A , la duración en minutos del viaje desde el hotel al aeropuerto sigue una distribución normal con µ= 27 y σ = 5; por la carretera B, la distribución es normal con µ= 30 y σ = 2. ¿Qué carretera será la mejor si se dispone de 30 minutos?
Sugerencia: Llame t a un valor cualquiera del tiempo empleado y elija la carretera para la cual la probabilidad de exceder el tiempo disponible sea menor.
Solución:
En este caso, elegiremos la carretera para la cual la probabilidad de exceder el tiempo disponible sea menor. Llamemos t a un valor cualquiera del tiempo empleado.
Para la carretera A tenemos:
2743
,
0
7257
,
0
1
)
6
,
0
Z
(
P
1
)
6
,
0
Z
(
P
5
27
30
t
P
)
30
t
(
P
=
>
=
−
<
=
−
=
>
−
σ
µ
−
=
>
P
(
Z
0
)
1
P
(
Z
0
)
1
0
,
5
0
,
5
2
30
30
t
P
)
30
t
(
P
=
>
=
−
<
=
−
=
>
−
σ
µ
−
=
>
Luego, la mejor carretera es la A.
OBJ 9 PTA 9
La tabla que se muestra a continuación registra los pesos de 40 estudiantes en cierta universidad con aproximación de una libra.
138 164 150 132 144 125 149 157 146 158 140 147 136 148 152 144 168 126 138 176 163 119 154 165 146 173 142 147 135 153 140 135 161 145 135 142 150 156 145 128
Construir un histograma y un polígono de frecuencia para la distribución de los pesos del problema, tomando el tamaño del intervalo de clase de 5 libras.
Solución:
Ordenando los datos tenemos
119 135 138 144 146 150 156 164
125 135 140 144 147 150 157 165
126 135 140 145 147 152 158 168
128 136 142 145 148 153 161 173
132 138 142 146 149 154 163 176
Lo que nos permite afirmar que el peso mayor es 176 libras y el menor 119 libras, de modo que el recorrido es 176 – 119 = 57 libras. Si utilizamos 5 intervalos de clase, el tamaño de cada uno es 57/5 = 11 aproximadamente, si por el contrario utilizamos 20 intervalos de clase, el tamaño de cada uno es 57/20 = 3 aproximadamente. Así los intervalos de clases pueden ser 118-122, 123-127, 128-132, ... .
Esto nos permite construir la siguiente tabla:
Peso (libras) Frecuencia
118-122 1 123-127 2 128-132 2 133-137 4 138-142 6 143-147 8 148-152 5 153-157 4 158-162 2 163-167 3 168-172 1 173-177 2
OBJ 10 PTA 10
Después de observar el número de pasajeros que en los últimos 50 días han decidido viajar con
P&P Airlines, se obtuvieron los siguientes datos:
68 71 77 83 79 72 74 57 67 69 50 60 70 66 76 70 84 59 75 94 65 72 85 79 71 83 84 74 82 97 77 73 78 93 95 78 81 79 90 83
80 84 91 101 86
93 92 102 80 69
Calcule las medidas de tendencia central de estos datos: media, mediana y moda.
Nota: el objetivo se considera logrado si responde correctamente todas las partes.
Solución:
∑
=
=
=
501
78,36
i i
x
x
Al ordenar los datos de mayor a menor se obtiene que la media se encuentra entre los datos 25 y 26, los cuales son 78 y 79, por ello podemos tomar como mediana a:
Md= (78+79)/2
Esta muestra tiene tres modas, 79, 83 y 84, ya que son los datos que mas se repiten
