C u r s o : Matemática Material N° 08

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GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 7

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

CONCEPTOS

ECUACIÓN es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que contienen elementos desconocidos llamados incógnitas.

RAÍZ O SOLUCIÓN de una ecuación es (son) el (los) valor(es) de la(s) incógnita(s) que satisface(n) la igualdad.

CONJUNTO SOLUCIÓN es el conjunto cuyos elementos son las raíces o soluciones de la ecuación.

RESOLVER UNA ECUACIÓN es encontrar valores que reemplazados en la ecuación en lugar de la incógnita, hace que la igualdad sea verdadera. Para ello se debe despejar o aislar la incógnita.

ECUACIONES EQUIVALENTES son aquellas que tienen el mismo conjunto solución. EJEMPLOS

1. Para resolver la ecuación 3x + 2 = 6 primero se debe

A) multiplicar la ecuación por el recíproco de 3.

B) multiplicar la ecuación por el inverso multiplicativo de 6. C) restar el opuesto de 2 a ambos miembros de la ecuación. D) sumar el inverso aditivo de 2 a ambos miembros de la ecuación. E) igualar la ecuación al neutro multiplicativo.

2. ¿Cuál es la solución o raíz de la ecuación 10 – 4x = 4 – 6x?

A) -7 B) -3 C) 3 D) 4 E) 7

3. El valor de x en la ecuación 2x – (5 + x) – 1 = 3x – 10 es

A) -4

B) -8 3

C) -2 3 D) 1 E) 2

C u r s o :

Matemática

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4. Dada la ecuación 0,01x = -2,5. ¿Cuál de las siguientes opciones muestra una ecuación equivalente a ella?

A) 10 · x = -250

B) 0,1 · x = -250

C) 10-3 · x = -25 · 10-1

D) 10-2 · x = -2,5 · 10-1

E) 10-3 · x = -25 · 10-2

5. Si 5(x – 1) + 7 = 2x – 1 + 2(x + 3), ¿cuál es el valor de 2x?

A) 6

B) 3

C) -2

D) -4

E) -8

6. La ecuación que permite calcular el área A de un círculo es A = π · r2, donde r es el radio del círculo y π es un valor constante. ¿Cuál es la ecuación que permite calcular el radio r del círculo?

A) r = A

π

B) r = A · π

C) r = A

π

D) r = Α − π

E) r = Α · π

7. Una balanza queda perfectamente equilibrada cuando en uno de sus platillos hay tres libros y en el otro, un libro y un estuche con lápices que pesa medio kilo. Sabiendo que todos los libros pesan exactamente lo mismo, ¿cuál es la ecuación que permite determinar el peso x, en kilos, de cada libro?

A) 3x = x – 1

2

B) 3x = 2 1 – x

C) 3x + x = -1 2

D) 3x = x + 1 2 E) 3x = x + 2

8. En la ecuación 2(x + t) = 5t + 3(x – 2), ¿cuál debe ser el valor de t, para que la solución sea x = 3?

A) -3 B) -1

C) 3

4 D) 1

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ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

Una ecuación se denomina de primer grado o lineal si el mayor exponente de la incógnita es 1. Toda ecuación de primer grado en una variable puede expresarse en la forma:

donde a y b son números reales y x la incógnita que hay que determinar.

ECUACIÓN CON COEFICIENTES LITERALES

Es una ecuación que además de la incógnita tiene otras letras que representan cantidades conocidas.

EJEMPLOS

1. El valor de x en la ecuación 3(3x + 1) – (x – 1) = 6(x + 10) es

A) 29 B) 28 C) 5 D) 4 E) -5

2. ¿Qué número se debe restar de p + 3 para obtener 7?

A) p – 4 B) 4 – p C) 4 D) p + 4 E) p + 10

3. En la ecuación x – pq = pr, ¿cuál es el valor de x?

A) p(q – r) B) pr – qr C) p(q + r) D)

q r

E)

r q

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4. Si m2x – m = 25x – 5 y m ≠ ± 5, entonces x es igual a

A) 1

m + 5

B) 1

m 5− C) m – 5 D) m + 5 E) 5 – m

5. Si m(x + n) = m2 + n2 + n(x – m) y m≠n, entonces m – n es igual a

A) x2 B) -x C) 1

D) 1 x E) x

6. En la ecuación (x – a)2 = (x + a)2 + (a – b)2, el valor de x es

A)

2 (a b)

4a −

B)

-2 (a b)

4a −

C)

-2 (b + a)

4a

D)

2 (a + b)

4a E) (a – b)2

7. Si en la ecuación 3t + x – (-t – 4x2) = (2x – t)2 + t(15x – t), t = -1, entonces el valor de x es

A) -3

B) -1 4

C) -1 3

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ECUACIONES FRACCIONARIAS

Una ecuación es fraccionaria cuando alguno de sus términos o todos tienen denominadores.

Para resolver este tipo de ecuaciones se aplica el siguiente método:

Multiplicar los miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores que aparecen.

Efectuar las operaciones indicadas en los paréntesis.

Agregar y reducir términos en los miembros de la igualdad.

Colocar los términos en x en un miembro y los numéricos en otro. Resolver la ecuación equivalente de primer grado obtenida.

Comprobar el resultado con la ecuación dada.

EJEMPLOS

1. En la ecuación 5x 3 2 = 0 6

, x es igual a

A) -3 B) -1

C) 1 2 D) 1 E) 3

2. ¿Cuál es la raíz o solución de la ecuación x 2 = + 4x

5 − 3 ?

A) -45 B) -3 C) -1

D) 1

4 E) 3

3. Si a a

b − c = 1, entonces c =

A) ab

b a−

B) a + b ab

C) a b ab

D) ab

a + b

E) ab

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4. En la ecuación 1 + = 3 5

x x, x es igual a A) -2

B) 0

C) 1

2 D) 2 E) 8

5. En la ecuación 2x + 3 x 1 = x + 3

5 2 4

, el valor de x es

A) -13 7

B) -1 7 C) 1

D) 13

7

E) 37

3

6. ¿Cuál es el valor de x en la ecuación 2 1 = 1

3x 2x

?

A) 6 B) 1

C) 1

6 D) 0 E) -6

7. Si x = p + q

p q− , entonces p =

A) 2q

x 1−

B) q x x

C) q · (x + 1) 1 x−

D) q · (x 1) 1 + x

E) q · (x + 1) x 1−

8. ¿Cuál es el valor de x en la ecuación 4 2 = 0 3x − 2x 1− ?

A) 2

B) 1

2

C) 2

7

D) -1

2

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ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

El número de soluciones de la ecuación ax + b = 0 depende de los valores de a y b. Se pueden dar tres casos:

Caso 1: Si a ≠ 0 la ecuación tiene SOLUCIÓN ÚNICA.

Caso 2: Si a = 0 y b = 0 la ecuación tiene INFINITAS SOLUCIONES.

Caso 3: Si a = 0 y b ≠ 0 la ecuación NO TIENE SOLUCIÓN.

EJEMPLOS

1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La ecuación 5x + 2 = 4x + 1, tiene solución única. II) La ecuación 5x + 2 = 5x – 1, tiene infinitas soluciones. III) La ecuación 5x + 2 = 5x + 2, no tiene solución.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III

2. ¿Cuál de las siguientes opciones no es una ecuación con una sola solución?

A) 3 – 7x + 1 + 8x = 0 B) 2y + 3y – 1 = 3y + 5y – 4 C) (x + 1)(x + 1) = (x + 3)(x – 3) D) 3(x + 3) = 2x – 1 E) 4(x + 3) – x = 2x + 12 + x

3. Con respecto a la ecuación 3kx + 6k = 18, de incógnita x, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) Si k = 0, existe solución única. II) Si k = 3, no existe solución. III) Si k > 3, existe infinitas soluciones.

(8)

4. ¿Qué condiciones debe cumplir el parámetro t para que la ecuación

x(1 + 4t) – 24 = 3xt – x

2, tenga solución única?

A) t = - 3 2

B) t ≠ -3 2

C) t ≠ - 3 14

D) t ≠ - 1 14

E) t ≠ 1 2

5. ¿Qué condición debe cumplir el parámetro p para que la ecuación px – 1 = 4x + p no tenga solución?

A) p = -4 B) p = -1 C) p ≠ -1 D) p = 4 E) p ≠ 4

6. ¿Qué condición debe cumplir el parámetro m para que la ecuación (m2 – 4)x = m2 – 2m, tenga infinitas soluciones?

A) -5 B) -2 C) 2 D) 3 E) 5

7. ¿Qué valor(es) debe tener p para que la ecuación en x, 7

2x – px = 3 – x

2, tenga siempre solución negativa?

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EJERCICIOS

1. ¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones es (son) de primer grado?

I) (2x + 1)2 = (x + 1)2 II) (x + 1)2 – 5x = x2 III) (x2 + 1)0 + 3x – 5 = 10

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III

2. En la ecuación - x + x = x 1 3 1 31

3 2 − 5 − 30, el valor de x es

A) -5 B) -1

C) - 5 13 D) 2 E) 5

3. Si 2x + 1 = x – 5, entonces x2 + 1 es

A) 50 B) 37 C) 17 D) 5 E) -35

4. El valor de x en la ecuación (x + 2) – (3x + 2) = 5(x + 4) + 1 es

A) 3 B) 2 C) 1 D) -3 E) 7

5. El valor de x en la ecuación –{3 – [3 – (3x – 2)] + 5} = 12 – 4x es

(10)

6. El valor de x en la ecuación 0,1x + 0,5x – 0,25 = 0,75 es

A) 1 3

B) 2 3

C) 4 3

D) 5 3 E) 2

7. Si x en la ecuación a + 2x = 10 es igual a 3, entonces el valor de a debe ser

A) 2 B) 3,5 C) 4 D) 7 E) 16

8. El valor de x en la ecuación 4 + 3x 2x + 3 = 3x + 4

5 − 15 10 es

A) -18 5

B) -6 5

C) -2 5 D) 6

E) 5 42

9. Si 3t + 1

2 = 5, entonces 2t+1 es igual a

A) 3 25

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10. El valor de x en la ecuación 2ax – a = a + 2x, con a ≠ ±1, es

A) 0 B) 1 C) a−1

D) a

a 1−

E) a

a + 1

11. Si Q = C( T1 – T2) y C ≠ 0, entonces T2 es igual a

A) Q – C – T1 B) T1 – Q + C C) Q – CT1 + C

D) Q CT1 C −

E) CT Q1 C

12. El valor de x en la ecuación ax bx = + 1 1

b − a a b, con a ≠ ±b, es

A) a + b B) a – b C) b – a

D) 1 a b−

E) 1 b a−

13. Sea 1 = + 1 1

x y z, con x

y z y distintos de cero. Entonces, y · z es igual a

A) x + z

B) x

y + z C) x(z + y) D) x · z + y

E) y + z x

14. Si F = m · g, con m ≠ 0, entonces g-1 es igual a

A) (F m)

-1

B) (F · m)-1 C) F-1 + m

D) (m F )

-1

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15. ¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones tiene(n) solución(es) igual a 1?

I) 3 + x + 2(x + 1) = 5 + (2x – 1) II) 3(x – 5) = 2(x – 7)

III) 0,5x + 2 = 5

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III

16. El valor de x en la ecuación 4 3 = 2 5x − x es

A) -2 5

B) 2 5

C) 21 5

D) 14 15 E) 21

17. La ecuación

2 bx ax + b

= b

a a − , con a ≠ 0, tiene solución única si:

I) a = b II) a ≥ b III) a ≠ b

Es (son) verdadera(s)

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III

18. El valor de x en la ecuación 2x 3x + x = -1 5 − 4 10 4 es

A) -1

(13)

19. El valor de x en la expresión x : 1

2 = 4 : 1 es

A) 1 8

B) 1 2 C) 2 D) 4 E) 8

20. Sea la ecuación 0,16 x + 0,25x + 2 = 0, 3 . Entonces, el inverso aditivo de x es

A) -25 B) -4 C) 4 D) 15 E) 25

21. Si 2p = 1

4m + 7, con p ≠ 7

2, entonces m es igual a

A) 1 p

B) 1 2p + 3

C) 1 8p + 7

D) 1

4(2p + 7)

E) 1

4(2p 7)−

22. Si 1

2x – 6q = kx, entonces x es igual a

A) 12q + 2k

B) 12q

1 – 2k

C) 6q

1 – 2k

D) 6q

1 + 2k

(14)

23. Si 1 = 1 1

A − B C, entonces A -1

es igual a

A) BC

B C−

B) BC

B + C

C) - BC B + C

D) B C BC

E) B + C BC

24. Si y = mx 5 nx + 4

, con m ≠ ny, entonces x es

A) 5 + 4y m ny−

B) 5 4y ny m

C) - 5 4y m ny

D) m ny 5 + 4y

E) ny + 4 my 5−

25. Si 850 = B M 4

 

 

  · 7 + 350, entonces al despejar M se obtiene

A) B 500 28 −

B) 4B 2.000 7 −

C) 4B 2.000 7 −

D) 500 7B 7

E) 1.200 4B

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26. Se puede conocer el valor numérico de la expresión 3x 2y 2y

, con x e y distintos de

cero, si :

(1) x : y = 1 : 1

(2) x – y = 0

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

27. Sean x e y números reales positivos. Se puede determinar que x es el 25% de y si:

(1) x = 5

y 20

(2) 8x = 40

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

28. Se puede determinar que la expresión 2a + 3b – 4c es igual a 5b si:

(1) a = b

(2) c = a + b

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

29. En la ecuación a 5 = -1 3 x

− , se puede determinar que el valor de x es 7 si:

(1) a = 9

(2) a es un número comprendido entre 8 y 10.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

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30. Dada la expresión 2x + 2a = 1b

4x 2 . Se puede determinar que el valor de x es positivo si:

(1) a y b son números negativos.

(2) a

b 1− > 0

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

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