Fuerza electromotriz Circuitos de corriente continua Carga y descarga de capacitores

(1)

Física II - UNSL

Marcelo S. Nazzarro

Clase # 6

Fuerza electromotriz

Circuitos de corriente continua

Carga y descarga de capacitores

(2)

2/22

fem

V -V₊

W

e

Fuerza electromotriz (

e

)

Cualquier dispositivo que realice el trabajo de mantener la diferencia de potencial entre dos puntos del mismo recibe el nombre de:

Para que las cargas se muevan dentro de un circuito eléctrico se necesita un dispositivo que provoque una diferencia de potencial entre dos puntos del mismo.

Fuente de fuerza electromotriz

(3)

3/22

La Fem de la fuente se define como trabajo por unidad de carga

e

1 volt

1 joule

coulomb



dq

dW



e

_e

Fuente ideal de fem:

V =

(circuito abierto o cerrado)

Fuente real de emf :

V = (circuito abierto) V < (circuito cerrado)

e

_e

e

La unidad en SI para la fem es el Volt (V) La fuente debe realizar trabajo (dW) sobre los portadores de carga para forzarlos a ir hacia el punto de

mayor potencial.

fem

*Fuerza electromotriz (

e

)

Resistencia interna

(4)

4/22

Suponga dos bater

í

as recargables ideales

A

y

B

, una resistencia

R

, y

un motor el

é

ctrico. El motor

M

sube al objeto de masa

m

usando la

energ

í

a que obtiene de los portadores de carga que fluyen por el

circuito.

¿

Cu

á

l afirmaci

ó

n es correcta?*

Energ

í

a, Trabajo y FEM

1. La Batería B pierde energía química. 2. La Batería B carga a la Batería A.

3. La Batería B provee energía al motor M.

4. La Batería B provee la energía que calienta a R 5. Todas las afirmaciones anteriores son

correctas.

(5)

5/22

punto del circuito donde se reúnen tres o más conductores

Regla de los nodos:

En cualquier nodo la suma de las corrientes es igual a cero:

Reglas de Kirchhoff

0 nodo

i





Primera Regla

Nodo: _{En otras palabras: La suma de}

todas las corrientes que ingresan al nodo debe ser igual a la suma de todas las corrientes que dejan el nodo

Conservación de la carga !!!

Resultado directo de la ley de: Flujo saliente

(6)

6/22

Reglas de Kirchhoff

Segunda Regla

Conservación de la energía !!!

Resultado directo de la ley de:

0

circuito cerrado

V

 



Si una fuente de fem se recorre desde el terminal

negativo al positivo el cambio de potencial es positivo +e; en la dirección opuesta es -e.

Si una resistencia se recorre en la dirección de la corriente, el cambio en el potencial es –iR; en la dirección opuesta es +iR.

Regla de las mallas (o circuito cerrado):

La suma algebraica de los cambios en el potencial encontrado en un recorrido completo de cualquier circuito cerrado es cero:

Sentido de

recorrido Sentido de

recorrido

Sentido de

recorrido Sentido de

(7)

7/22

C

á

lculo de corriente en un circuito simple

0

da d a

cd c d

bc b c

ab a b

loop cerrado

V

iR

V

iR

e





-







-







-







-



-  +

+ - 



i

_R

iR

e



-

0

b c d b c d

0

ba b a cb c b dc d c ad a d

loop cerrado

V

iR

V

iR

e





-







-







-



-



-



  + -

+ 



R

i

iR

e



-

0

Recorrido en sentido horario desde el punto a:

Recorrido en sentido anti-horario desde el punto a:

Sentido de recorrido Sentido de recorrido

Sentido de recorrido a favor de la corriente

Sentido de recorrido en contra de la corriente

(8)

8/22

Resistencias en serie

• Regla de los nodos: Cuando se le aplica una diferencia de potencial a un conjunto de resistencias en serie por cada resistencia circula la misma corriente:

• Regla de las mallas: La suma de la diferencias de

potencial en cada resistencia es igual a la diferencia de potencial aplicada:

3 2

1

i



0

3 2

1

-



-

iR

e

eq

R

i



e

0 

-

iR

_eq

e

3 2

1

R

i

+



e





n

i

eq

R

1

La resistencia equivalente de una combinación de resistencias en serie es igual a la suma algebraica de las resistencias individuales.

Siempre mayor que la máxima R de la serie

Circuito a)

(9)

9/22

Cuando se le aplica una diferencia de potencial V a un conjunto de resistencias conectadas en paralelo, todas están sometida a la misma diferencia de potencial

3 2

1

V



3 3

2 2

1

1 , ,

R V i R V i R V

i   

eq

R

V

i



0 

-

iR

_eq

V

      + +  + +  3 2 1 3 2 1 1 1 1 R R R V i i i i 3 2 1

1

1 R

R

_eq



+





n i _i eq

R

₁

1

1 Resistencias en paralelo

La inversa de la resistencia equivalente de una combinación de resistencias en

paralelo es igual a la suma algebraica de las inversa de las resistencias individuales.

Circuito a)

Circuito b) Regla de las mallas:

Regla de los nodos:

(10)

10/22

Resistencias en paralelo

En el dibujo se representa el circuito

eléctrico del departamento de un estudiante de ingeniería ¿Cuál es el valor de la

corriente total consumida?

(11)

11/22

¿

Cu

á

l es la resistencia equivalente entre los

puntos a y

c?

a)

4 R.

b)

3 R.

c)

2.5 R.

d)

0.4 R.

e)

No puede determinarse.

Resistencias en serie y paralelo

e

R

R R

R

c

(12)

12/22

¿

Cu

á

l es la capacitancia equivalente entre

los puntos a y c?.

a)

4 C.

b)

3 C.

c)

2.5 C.

d)

0.4 C.

e)

No puede determinarse.

Capacitores en serie y paralelo

e

C

C C

C

c

(13)

13/22

Ejemplo: Fuente Real

Toda fuente presenta cierta resistencia interna, r, al flujo de cargas.

r

R

i

+



e

r

i

ir

i

iV

P



(

e

-

)



e

-

2

R r R r r R ir

V V_b _a

+  +

- -

-

e

b a

ir

V

+

e

-



0 

--

ir

iR

e

Recorriendo el circuito obtenemos:

Recorriendo el circuito desde a hasta b :

(en sentido horario)

(14)

14/22

Ejemplo: M

ú

ltiples fuentes

c

a

ir

V

-

e

₂

-

₂



0

2 2

1

+



-

e

ir

iR

ir

e

A r

R r

i 0.2396 2 1 2 1  + + - e e

a

b

ir

V

-

₁

+

e

₁



V

ir

V

_a

-

_b



-

₁

+

e

₁



+

3 .

84

      

4.4 , ₂ 2.1 , ₁ 2.3 , ₂ 1.8 , 5.5

1 V e V r r R

e

R

P

_e₁



_e₂

+

W

R

i

P

_R



2



0 .

32 W

iV

P

_e₂



_ac



0 .

60 W

iV

P

_e₁



_ab



0 .

92 V

ir

V

_a

-

_c



e

₂

+

₂



+

2 .

53

¿Cuál es la diferencia de potencial entre los terminales de la batería 1?¿ y en la batería 2? Hacer el balance de potencia.

Recorriendo la malla obtenemos:

(sentido anti-horario)

Recorriendo el circuito desde b hasta a :

Potencia

Recorriendo el circuito desde a hasta c :

(15)

15/22

Circuitos de mallas m

ú

ltiples

• Determinar los nodos, ramas y mallas. • Rotular arbitrariamente las corrientes en

cada rama. Asignando la misma corriente a todos los elementos en serie de cada rama. • Los sentidos de las corrientes se asignan

arbitrariamente. • Regla de los nodos:

• Se pueden usar tantas ecuaciones para los nodos como se desee, en general para un circuito de N nodos hace falta N-1

ecuaciones.

2 3 1 i i

i + 

2 3

1

i

+



(16)

16/22

Circuitos de mallas m

ú

ltiples

2 3 1 i i

i + 

0

3 3 1

1

1 -i R +i R 

e

0

2 2

2 3

3 - - 

-i R i R

e

0

2 2

2 1

1

1 - - -

e



e

i R i R

Se recorre cada malla eligiendo un sentido arbitrariamente. Por ejemplo para recorre la primer malla, partiendo desde el punto b, tenemos dos opciones:

badb (sentido anti-horario)

bdcb: (sentido anti-horario)

También podemos recorrer otros caminos, por ejemplo:

(17)

17/22

• En general, para resolver un circuito dado, necesitamos un número de ecuaciones independiente igual al número de

corrientes desconocidas.

• Solución:

2 3 1 i i

i + 

0

3 3 1

1

1 -i R +i R 

e

0 2 2 2 3

3 - - 

-i R i R

e

3 1 3 2 2 1 2 1 1 2 3 R R R R R R R R i + +

-

e

2 3

1

i

+



3 1 3 2 2 1 1 2 3 2 2 1 2 R R R R R R R R R i + +

-

e

3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 2 1 1 R R R R R R R R R i + + -+



e

Circuitos de mallas múltiples

Regla de los nodos

(18)

18/22

Circuito RC

–

Carga de un capacitor

• Cuando conectamos el interruptor al

punto a:

• Regla de las mallas

• Condiciones de borde,

• Entonces,

• Integrando,

0  -C q iR e

0 

-C

q

iR

e

dt dq i 

;

)

0 (

;

0 )

0 (

R

t

i

t

q



e



+

C

q

dt

dq

R

;

0 ;

(max)



C

i



q

e

RC

q

R

dt

dq

-

e

RC

C

q

RC

q

RC

C

dt

dq

e

-

e

-

dt

RC

C

q

dq

1 -

-

e





-t q

dt

RC

C

q

dq

0 0

1 e

RC

t

C

q

_

(19)

19/22

Circuitos RC

–

Cargando un capacitor

• la carga en función del tiempo, • La corriente durante la carga,

• Un capacitor inicialmente se comporta como un conductor ordinario, pero para tiempos largos actúa como un circuito abierto.

• La diferencia de potencial,

• t = 0: q = 0, V_c = 0, i = e/R; • t => : q = ce, V_c = e, i = 0;

0



-C q iR

e

)

1 (

)

(

t

C

e

t/RC

q



e

-

-RC t

e

R

dt

t

dq

t

i

(

)



(

)



e

- /

)

1 (

)

(

)

(

t/RC

C

e

C

t

q

t

V



e

-

-

1



1

1 0.63 0.368

RC q C e C

i e

R R

 e e

e e

-   - 

  

Constante de tiempo

(20)

20/22

Circuitos RC

–

Descarga de un capacitor

• Conectamos el interruptor al punto b,

• Regla de las mallas

• entonces,

• Condici

ó

n inicial,

• Entonces,

• t = 0: q = q

₀

= CV

₀

, i = q

₀

/RC;

• t =>



: q = 0, i = 0;

0  -C q iR e

C

q

dt

dq

R



-0

)

0 (

t

q



0 

--

iR

C

q

dt

RC

q

dq

1 -

RC t

e

q

t

q

(

)



₀ - / t RC

e

RC

q

dt

t

dq

t

i

(

)



(

)



-

0 - /





-

t

q q

dt

RC

q

dq

0

1

0

RC

t

q

_

(21)

21/22

Considerando la el siguiente circuito y asumiendo que la

bater

í

a no tiene resistencia interna,

¿

cu

á

l es la corriente en la

fuente en el instante que cerramos el interruptor?

¿

Y para tiempo largos?

A.

0.

B. e

/2R.

C.

2 e

/R.

D. e

/R.

E. imposible de determinar

Resistencias en serie y paralelo

e

R R

(22)

22/22

Resumen

• Una fuente de FEM realiza trabajo sobre los portadores de carga para mantener la diferencia de potencial entre los dos bornes de salida.

• Reglas de Kirchhoff’s:

Regla de las mallas. La suma algebraica de las diferencias de potencial encontradas al recorrer cualquier malla del circuito es cero.

Regla de los nodos. La suma de las corrientes que ingresan a cualquier nodo es igual a la suma de corrientes que salen de él.

• Resistencias en serie: • Resistencias en paralelo:

• En un circuito simple de una malla con una fem y una R la i esta dada por: • Potencia entregada por una batería real:

• Circuito RC – Carga del capacitor: cuando se le aplica una fem a una resistencia R y capacitor C en serie la carga y la corriente en función del tiempo quedan

expresadas por:

• Circuito RC – Descarga del capacitor: cuando un capacitor se descarga a través de una resistencia R, la carga decae de acuerdo a:

• Y la corriente se comporta según:

dq

dW



e



  n i i eq R R 1



  n i i eq R R 1 1 1 r i i ir i iV

P   (

e

- ) 

e

- 2

r R i +  e ) 1 ( )

(t C e t/RC

q  e - - t RC

e R dt t dq t

i( ) ( )  e - /

RC t

e

q

t

q

(

)



₀ - /

RC t e RC q dt t dq t