Capítulo
VII
PROBABILIDAD
... ...
Objetivo del
Capítulo
7.1Introducción
La estadística moderna se caracteriza por hacer uso de la estadística inferencial. Esta incluye un conjunto de técnicas que tienen el propósito de inferir o inducir leyes del comportamiento de una población a partir del estudio de una muestra. La inducción es posible debido a que suponemos que los datos muestrales siguen un modelo teórico de comportamiento, llamado comúnmente “Modelo matemático”, el cual tiene como elemento básico al cálculo de probabilidades.
Definición: La probabilidad mide la frecuencia con la que ocurre un resultado en un experimento bajo condiciones suficientemente estables; tambien se puede decir que es la posibilidad u oportunidad de que suceda un evento particular, es decir:
1. La posibilidad de que tenga éxito un nuevo producto en el mercado
2. La posibilidad de que un individuo seleccionado aleatoriamente de una comunidad se encuentre perfectamente sano
3. La posibilidad de que un individuo seleccionado aleatoriamente de un grupo de empleados de una determinada empresa esté satisfecho con su trabajo.
En cada uno de estos ejemplos, la probabilidad involucrada es una proporción o fracción cuyo valor varía entre 0 - 1 exclusivamente.
La teoría de la probabilidad es la teoría matemática que modela los fenómenos aleatorios. Estos deben contraponerse a los fenómenos determinísticos, en los cuales el resultado de un experimento, realizado bajo condiciones determinadas, produce un resultado único o previsible: por ejemplo, el agua calentada a 100 grados centígrados, a presión normal, se transforma en vapor. Un fenómeno aleatorio es aquel que, a pesar de realizarse el experimento bajo las mismas condiciones determinadas, tiene como resultados posibles un conjunto de alternativas, como el lanzamiento de un dado o de una moneda.
Cada experimento involucra el número de resultados favorables y el número total de resultados. En muchas instancias, sin embargo, debido al gran número de posibilidades, no es factible enumerar cada uno de los resultados, en este caso se han desarrollado las técnicas de conteo.
7.2Técnicas de Conteo
Las técnicas de conteo son aquellos principios que se usan para contar resultados que no se conocen o que son muy extensos, se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol, las que a continuación se explicarán y hay que destacar que éstas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado.
Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo, los que a continuación se definen y se hace uso de ellos.
PRINCIPIO DE MULTIPLICACION
Definición.- Si un suceso Pl ocurre de n1 maneras diferentes y otro suceso P2 ocurre de n2 maneras diferentes entonces el suceso Pl Y P2 ocurren de n1 por n2 maneras diferentes. Esto se conoce como principio de multiplicación o principio fundamental del análisis combinatorio.
Ejemplo:
Lugares Medios de transporte Familiares
Egipto Avión Mamá
Rwanda Barco Papá
Jerusalén Hermana
n=3 n=2 n=3
Por el principio de la multiplicación: 3 x 2 x 3 = 18 posibilidades diferentes
7.2.1 Diagrama de árbol
Es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.
El diagrama de árbol por lo regular siempre empieza con un circulo, de ahí mismo se dividen en ramas.
Ejemplo:
Egipto
Avión
Mamá (Egipto, avión, mamá)
Papá (Egipto, avión, papá)
Hermana (Egipto, avión, hermana)
Barco
Mamá (Egipto, barco, mamá)
Papá (Egipto, barco, papá)
Hermana (Egipto, barco, hermana)
Rwanda
Avión
Mamá (Rwanda, avión, mamá)
Papá (Rwanda, avión, papá)
Hermana (Rwanda, avión, hermana)
Barco
Mamá (Rwanda, barco, mamá)
Papá (Rwanda, barco, papá)
Hermana (Rwanda, barco, hermana)
Jerusalén
Avión
Mamá (Jerusalén, avión, mamá)
Papá (Jerusalén, avión, papá)
Hermana (Jerusalén, avión, hermana)
Barco
Mamá (Jerusalén, barco, mamá)
Papá (Jerusalén, barco, papá)
Hermana (Jerusalén, barco, hermana)
NOTA INTERESANTE:
Si se quiere saber CUANTOS = usar el Principio de Multiplicación Si se quiere saber CUALES = construir el Diagrama de Arbol
7.2.2 Factorial (n!)
Se utiliza para representar las operaciones de multiplicación secuencial. Su desarrollo significa el producto ordenado de los números enteros positivos, desde el que indica el signo factorial, hasta llegar a 1.
Ejemplo:
Tres factorial 3 ! = (3) (2) (1) = 6
Cinco factorial 5 ! = (5) (4) (3) (2) (1) = 120 . n factorial n! = (n) (n-1) ...(3) (2) (1)
7.2.3 Permutaciones (interesa el orden)
Se entiende como cambio de lugar, esto es si se tienen dos objetos a y b, no es igual que a sea primero y b segundo, esto es (ab) (ba), hay dos permutaciones.
Esto implica que el objeto debe ser distinguible, ya que importa el lugar que el objeto ocupe, la pregunta es ¿si es una permutación con reemplazo o sin reemplazo?
Se sabe que es sin reemplazo si no se repiten los elementos, por ejemplo, tres elementos 1, 2, 3, muestras de dos sin repetición son: (1,2). (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2); y con repetición sería (1,1), (1,2). (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3).
Permutaciones con repetición: n
P
k = nk Permutaciones sin repetición: nP
k =)! (
! k n
n
Ejemplos:
a) Sean a, b, y c tres objetos. Calcule el número de permutaciones diferentes de los tres objetos tomados 2 veces con y sin repetición.
Permutaciones con repetición: n = 3 y k = 2 3P2 32 9 k
n
(a,b), (a,c), (b,a), (b,c), (c,a), (c,b), (a,a), (b,b), (c,c)
Permutaciones sin repetición: n = 3 y k = 2
6 ! 2) -(3
! 3 P2
3 (a,b), (a,c), (b,a), (b,c), (c,a), (c,b)
b) Tres oficiales van a ser elegidos de 4 miembros de un club: presidente, vicepresidente y secretario. ¿De cuántas maneras pueden ser elegidos los tres oficiales?
Solución
Obsérvese que no es igual que alguien sea presidente y a la vez vicepresidente, esto es, importa el lugar. Por tanto es permutación; falta ver si es con reemplazo o sin reemplazo, como una persona no puede ocupar los dos puestos a la vez, entonces es sin repetición o reemplazo.
! k) (n
! n Pk
n 24
! ) 3 -(4
! 4 P3 4
c) Un educador en asuntos sanitarios tiene tres carteles para exhibir uno junto al otro en la pared del vestíbulo de un centro de salud, ¿en cuántas formas diferentes puede colocar los carteles?
Solución
Por ejemplo A = cartel # 1, B cartel # 2 y C cartel # 3, entonces: A B C B A C, y sin repetición, aquí importa el orden, son permutaciones con:
n = 3, k = 3 3! 6
)! 3 3 (
! 3
3 3
P
7.2.4 Combinaciones (No interesa el orden)
Es el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto de n. Combinaciones sin repetición
k)! -(n k!
n!
C
n
Combinaciones con repetición
n(CR)k
k! 1)! -(n
1)! -k (n
Ejemplos:
a) Se tiene un conjunto con 6 objetos diferentes {A,B,C,D,E,F}, de los cuales se desea escoger 2 (sin importar el orden de elección). Existen 15 formas de efectuar tal elección:
A,B A,C A,D A,E A,F
B,C B,D B,E B,F
C,D C,E C,F
D,E D,F
E,F
15 ! 4 ! 2
! 4 5 6 2)! -(6 2!
6! k)!
-(n k!
n!
C
6
2 2 6 n
k k
n
x x x C
b) De un equipo multidisciplinario, formado por un economista, un sociólogo, un psicólogo ¿Cuántos comités de dos profesionales pueden formarse?
Solución:
Datos: n = 3, k = 2
Luego la cantidad de comités a formarse, serán:
3 2
6 )! 1 )( 1 2 (
1 2 3 )! 2 3 ( ! 2
! 3
3 3
2 C
x x x C
Respuesta: Se pueden formar tres comités, que serían. Primer comité : Economista, Sociólogo
Segundo comité : Sociólogo, psicólogo Tercer comité : Economista, psicólogo.
c) Elección de un menu: para la comida un paciente de un hospital puede elegir una de cuatro carnes, dos de cinco vegetales, y uno de tres postres. ¿Cuántas comidas diferentes puede elegir el paciente, si selecciona el número especificado de cada grupo?. La condición es que el paciente no repita la misma comida
Solución
¿Son combinaciones o permutaciones?; son combinaciones, por que si se toman las muestras (carne, vegetal, postre) son iguales, esto es no importa el orden y es sin repetición.
Supongamos que A es una de cuatro carnes, entonces tenemos: C14= 4
! )(3) (1!
! 4
B es dos de cinco vegetales, entonces tenemos: C52 = 10
Entonces por el principio de la multiplicación, tenemos: A x B x C = 4 x 10 x 3 = 120 formas de combinar su comida.
d) Un investigador tiene cuatro medicamentos que desea poner a prueba pero sólo cuenta con los suficientes animales de experimentación para probar a tres de los medicamentos, ¿cuántas combinaciones de medicamentos puede poner a prueba?
Solución
La pregunta ya nos dice que son combinaciones, ahora falta saber si son con repetición o sin repetición.
Así que toma 3 de 4, esto es, no lo repite, entonces son combinaciones sin repetición, donde: N = 4 y k = 3 C34 4
7.3Definiciones básicas de probabilidad
DETERMINÍSTICO
* Suma de dos números naturales. * Lanzar una piedra desde una
determinada altura. Bajo las mismas
condiciones los resultados son los mismos cuantas veces
se repita.
EXPERIMENTO
Proceso que puede repetirse y obtener un
resultado, llamado espacio muestral:
ALEATORIO
*Lanzar un dado *Concebir un hijo *Lanzar una moneda Los resultados no se
pueden predecir a pesar de repetirse bajo
las mismas condiciones
A = Sexo de un niño al ser concebido = {H, M} n( ) = 2 B = Observar el número de caras que aparece al lanzar 3 monedas
= {sss, ccc, csc, ccs, ssc, css, scc, scs} n( ) = 8
7.3.1 Experimento Deterministico: Experimento que puede ser repetido bajo "las mismas condiciones", del que puede establecerse el conjunto de sus posibles resultados, ejemplo: calentar agua a 100ºC = vapor, soltar objeto = cae
7.3.2 Experimento Aleatorio (no determinístico): Es cuando los resultados de la observación no se pueden predecir con exactitud.
Ejemplo: lanzar un dado (puede caer cualquier valor entre 1 al 6), concebir un hijo (hombre o mujer), extraer con o sin reemplazo una ficha de una urna, efecto que produce un x fármaco en un organismo humano (efecto, no efecto).
Puntos muestrales
7.3.3 Espacio Muestral: Es el conjunto de todas los posibles resultados de un experimento, se denota por:
= {w/wi es un resultado de experimento} Ejemplo:
* Determinar el de un experimento de lanzar un dado. 1,2,3,4,5,6 n( ) 6
* Determinar el del experimento que consiste en lanzar 3 monedas y observar el número de caras que aparece.
= {sss, ccc, csc, ccs, ssc, css, scc, scs} n( ) 8 * Sexo de un niño al ser concebido
= {H, M} n( ) 2
* Una mujer portadora de hemofilia tiene 3 hijos ¿Cuál es el espacio muestral apropiado para estudiar la posible hemofilia de estos?
Opción a: Cada hijo puede padecer hemofilia (s) o no (n), por tanto ={sss, ssn, sns, nss, snn, nsn, nns, nnn}
Donde, por ejemplo, 'sns' significa el primero y el tercero la padecen y el segundo no. En este espacio muestral, el suceso "dos hijos padecen hemofilia" se representa como A1={ssn, sns, nss} y el suceso "los dos primeros no la padecen" como A2={nns, nnn}
7.3.4 Evento o Suceso: Es el conjunto de posibles resultados favorables del experimento. Es un subconjunto del espacio muestral y se denota por letras mayúsculas. En particular Evento cierto o seguro ; Evento imposible.
Ejemplo:
* Se lanza un dado, sean los eventos
A: aparece un número par
B: aparece un número < 3. = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A ={2,4,6} n(A) = 3 B ={1,2} n(B) = 2
7.4Probabilidad de un Evento: Sea un espacio muestral y sea A un evento cualquiera, entonces la “probabilidad de A” P(A) es igual a n(A) / n( )
P(A) =
) (
) ( n
A n
Ejemplos:
Si se lanza un dado, hallar la probabilidad de obtener un número par. # de resultados favorables
50 . 0 2 1 6 3 ) (A P
Al lanzar 3 monedas hallar la probabilidad de obtener B: dos caras
8 3 ) (
) ( ) (
n B n B P
7.5Axiomas de probabilidad
1. La probabilidad de un suceso A es un número real mayor o igual que Cero 0 < P(A) < 1
2. La probabilidad del total o espacio muestral es igual a uno
P( ) = 1 representa todas las posibles alternativas y se denomina suceso seguro.
3. Si A1, A2... son sucesos mutuamente excluyentes (incompatibles dos a dos, disjuntos o de intersección vacía dos a dos), entonces: P(A1A2 ...) P(Ai); Según este axioma se
puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de sus componentes.
4. Probabilidad de la Adición de Eventos
a. Si A y B son mutuamente excluyentes
Son aquellos eventos que no tienen elementos en común. Esto es, que nunca ocurren a la vez o que su intercepción es el conjunto nulo o vacío. P(A U B) = P(A) + P(B)
En general:
P(A1 U A2 U.... U An) = P(A1)+P(A2)+....+P(An)
b. Si A y B no son mutuamente excluyentes P(A U B) = P(A) + P (B) - P(A B)
Ejemplo: Un 15% de los pacientes atendidos en un hospital son hipertensos, un 10% son obesos y un 3% son hipertensos y obesos. ¿Qué probabilidad hay de que elegido un paciente al azar sea obeso o hipertenso?
A = {obeso}, B = {hipertenso} A B = {hipertenso y obeso} A B = {obeso o hipertenso}
p(A) = 0,10; p(B) = 0,15; p(A B) = 0,03 p(A B) = 0,10 + 0,15 - 0,03 = 0,22
A B
AC A
c) Si A, B y C no son mutuamente excluyentes
P(A U B U C) = P(A)+P(B)+P(C) - P(A B) - P(B C) - P(A C) + P(A B C) Nota:
= P(A U AC) = P(A) U P(AC) 1 = P(A) U P(AC)
Ejemplo: Tres caballos A,B,C intervienen en una carrera; A tiene el doble posibilidad de ganar que B y B el doble de ganar que C. ¿Calcular P(A), P(B), P(C), P de que A ó C ganen?
P(A) + P(B) + P(C) = 1 4C + 2C + C = 1 7C = 1
C =
7 1
A = 4 C A = 4/7, B = 2C B = 2/7
7.6Probabilidad condicional
La probabilidad condicional está referida a la posibilidad de que ocurra un evento (A) dada la condición de que otro evento (B) ya ocurrió. Es decir, en este caso ya no nos referimos al espacio muestral total, sino al subespacio conformado por el evento condicional. En este caso el nuevo espacio muestra es B y la única posibilidad de que ocurra A es que se den ambos.
No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.
El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes
La probabilidad condicional de A dado B esta definida como:
) (
) ( ) / (
B P
B A P B A
P
Ejemplo: Se sabe que el 50% de la población fuma y que el 10% fuma y es hipertensa. ¿Cuál es la probabilidad de que un fumador sea hipertenso?
A = {ser hipertenso} B = {ser fumador} A B = {ser hipertenso y fumador} P(A|B) = 0,10/0,50 = 0,20
Ejemplo: Consideremos el experimento de "lanzar un dado al aire". Calculemos, por ejemplo, la probabilidad de obtener un 3 sabiendo que ha salido un número impar:
Definimos los sucesos A="sacar 3" y B= {1,3,5}; entonces, P(A/B)=1/3 puesto que si sabemos que ha salido un número impar, los casos posibles ahora son 3 y los casos favorables al suceso A sólo 1.
Ejemplo: Se lanzan dos dados:
a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a 7?
b. Si la suma de puntos ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que en alguno de los dados haya salido un tres?
Sean los sucesos A = "la suma de los puntos es 7" y B = "en alguno de los dados ha salido un tres". a. Los casos posibles al lanzar dos dados son 36 y los casos favorables al suceso A son los seis
siguientes: (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2) y (6,1). Por tanto, P( A )=6/36=1/6
b. En este caso, el suceso B/A es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situación ocurre en las parejas (3,4) y (4,3). Por tanto, P( B/A )=2/6=1/3
Tablas de contingencia
Ejemplos
1. En una habitación se encuentra el siguiente grupo de personas: 5 hombres mayores de 21 años
4 hombres menores de 21 años 6 mujeres mayores de 21 años 3 mujeres menores de 21 años
Se elige una persona al azar y se definen los siguientes sucesos: A: lapersonaesmayorde21años
B: lapersonaesmenorde21años
C: lapersonaeshombre D: lapersonaesmujer
Calcular la probabilidad de que la persona elegida sea mayor de 21 años dado que la persona resulta ser hombre.
Solución
Experimento: Selección de una persona al azar de un conjunto de 18 personas Entonces n( ) 18
Si clasificamos a las personas por sexo y edad, tenemos la siguiente tabla:
Sexo
Edad
Total Mayores de 21 años
(A)
Menores de 21 años (B)
Hombres (C) 5 4 9
Mujeres (D) 6 3 9
Total 11 7 18
Se pide calcular:
) (
) ( ) / (
C P
C A P C A
P
) (A C
P =5/18 P(C)=9/18
) / (A C
2. Se conoce que un determinado taller por término medio acuden: por la mañana 3 automóviles con problemas eléctricos, 8 con problemas mecánicos y 3 con problemas de chapa, y por la tarde 2 con problemas eléctricos, 3 con problemas mecánicos y 1 con problemas de chapa.
a. Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde: 30% acude al taller por la tarde b. Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos: 55% de vehículos
ingresados por problemas mecánicos.
c. Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana: P(acuda por la mañana/tiene problemas eléctricos) = 0.15/0.25 = 0.6
En las tablas de contingencia, con las frecuencias absolutas y los porcentajes, respectivamente, pueden verse recogidos los datos del enunciado.
ELÉCTRICOS MECÁNICOS CHAPA TOTAL
MAÑANA 3 8 3 14
TARDE 2 3 1 6
TOTAL 5 11 4 20
% ELÉCTRICOS MECÁNICOS CHAPA TOTAL
MAÑANA 0.15 0.40 0.15 0.70
TARDE 0.10 0.15 0.05 0.30
TOTAL 0.25 0.55 0.20 1.00
Ejercicios
3. Una compañía de seguros hace una investigación sobre la cantidad de partes de siniestro fraudulentos presentados por los asegurados. Clasificando los seguros en tres clases: incendio, automóvil y "otros", se obtiene la siguiente relación de datos:
El 6% son partes por incendio fraudulentos; el 1% son partes de automóviles fraudulentos; el 3% son "otros" partes fraudulentos; el 14% son partes por incendio no fraudulentos; el 29% son partes por automóvil no fraudulentos y el 47% son "otros" partes no fraudulentos.
a. Haz una tabla ordenando los datos anteriores y hallando el porcentaje total de partes fraudulentos y no fraudulentos.
b. Calcula qué porcentaje total de partes corresponde a la rama de incendios, cuál a la de automóviles y cuál a "otros". Añade estos datos a la tabla.
c. Calcula la probabilidad de que un parte escogido al azar sea fraudulento. ¿Cuál será, en cambio, la probabilidad de que sea fraudulento si se sabe que es de la rama de incendios?
4. Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios: a. Lanzar tres monedas: llamando C a obtener cara y X a la obtención de cruz, obtenemos el
siguiente espacio muestral:
={(CCC),(CCX),(CXC),(XCC),(CXX),(XCX),(XXC),(XXX)}
b. Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos.
={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}
Sucesos:
o Salir número primo: B={2,3,5,7,11,13,17}
o Salir mayor o igual que 12: C={12,13,14,15,16,17,18}
5. El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos: si llamamos L al día lluvioso y N al día sin lluvia, para tres días consecutivos se obtiene el siguiente espacio muestral:
E={(LLL),(LLN),(LNL),(NLL),(LNN),(NLN),(NNL),(NNN)}
7.7Probabilidad Total
Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es
distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales
P(B/Ai), entonces la probabilidad del suceso B viene dada por la expresión: )
/ ( ). ( ... ) / ( ). ( ) / ( ). ( )
(B P A1 P B A1 P A2 P B A2 P An P B An
P
Llamamos sistema completo de sucesos a una familia de sucesos A1, A2, ...,An que cumplen:
Son incompatibles dos a dos, Ai Aj La unión de todos ellos es el suceso seguro, Ai E
n
i 1
Ejemplo:
Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad, de forma que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la primera línea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada línea. Determine la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería.
Solución
El suceso "sufrir una avería" (Av) puede producirse en las tres líneas, (L1, L2, L3). Según el teorema de
la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol adjunto, tenemos:
) / ( ). ( ) / ( ). ( ) / ( ). ( )
(Av P L1 P Av L1 P L2 P Av L2 P L3 P Av L3
P
P(Av) = 0.6 x 0.02 +0.3 x 0.04 + 0.1 x 0.01 = 0.025
0,02 Av
L1
0,98
0,6 No Av
0,04 Av
0,3 L2
0,96
No Av 0,1
0,01 Av
L3
0,99
No Av
Ejemplo: Una empresa del ramo de la alimentación elabora sus productos en cuatro factorías: F1, F2,
10%, respectivamente, y además el porcentaje de envasado incorrecto en cada factoría es del 1%, 2%, 7% y 4%. Tomamos un producto de la empresa al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre defectuosamente envasado?
Llamando M = "el producto está defectuosamente envasado", se tiene que este producto puede proceder de cada una de las cuatro factorías y, por tanto, según el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol adjunto, tenemos:
0,99 B
F1 0,01
0,4 N
0,98 B
0,3 F2
0,02 N
0,2 0,93 B
F3
0,07 N
0,1
0,96 B
F4
0,04 N
P(M) = P(F1) · P(M/F1) + P(F2) · P(M/F2) + P(F3) · P(M/F3) + P(F4) · P(M/F4) =
= 0.4 · 0.01 + 0.3 · 0.02 + 0.2 · 0.07 + 0.1 · 0.04 = 0.028
Ejemplo: Se lanzan dos monedas al aire. Si salen dos caras, se extrae una bola de una urna I, que contiene 2 bolas blancas y 3 negras. Si sale cara y cruz, se extrae una bola de una urna II, que contiene 4 bolas blancas y 1 negra. Si salen dos cruces, se extrae una bola de una urna III, que contiene 3 bolas blancas y 2 negras. ¿Cuál es la probabilidad de extraer bola blanca después de lanzar las monedas y sacar la bola?
El diagrama de árbol muestra, primero, las probabilidades correspondientes a la elección de la urna y, después, a la extracción de la bola.
La probabilidad total de sacar bola blanca la calculamos caminando por todas las ramas que terminan en sacar bola blanca.
P(B) = P(B/UI) · P(UI) + P(B/UII) · P(UII) + P(B/UIII) · P(UIII) =
2/5 B UI
3/5
1/4 N
4/5 B
2/4 UII
1/5
N 1/4
3/5 B
UIII
2/5
N
7.8 Teorema de Bayes
En el año 1763, dos años después de la muerte de Thomas Bayes (1702-1761), se publicó una memoria en la que aparece, por vez primera, la determinación de la probabilidad de las causas a partir de los efectos que han podido ser observados. El cálculo de dichas probabilidades recibe el nombre de teorema de Bayes.
Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad de cada uno de ellos es
distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales
P(B/Ai), entonces la probabilidad P(Ai/B) viene dada por la expresión: ) / ( ). ( ... ) / ( ). ( ) / ( ). (
) / ( ). ( )
/ (
2 2
1
1 n n
i i
i
A B P A P A
B P A P A B P A P
A B P A P B
A P
En los problemas relacionados con la probabilidad, y en particular con la probabilidad condicionada, así como con la probabilidad total y el teorema de Bayes, es aconsejable que, con la información del problema, se construya una tabla de contingencia o un diagrama de árbol.
Ejemplo: Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%.
Seleccionamos una pieza al azar:
Calcule la probabilidad de que sea defectuosa.
Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcular la probabilidad de haber sido producida por la máquina B.
¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa? Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa". La información del problema puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto.
0.03 D
0.97
0.45 N
0.04 D
0.30 B
0.96 N 0.25
0.05 D
C
0.95 N
Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la probabilidad total,
P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) =
P(D) = 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038 Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,
) / ( ). ( ) / ( ). ( ) / ( ). ( ) / ( ). ( ) / ( C D P C P B D P B P A D P A P B D P B P D B P 316 . 0 38 12 05 . 0 25 . 0 04 . 0 30 . 0 03 . 0 45 . 0 04 . 0 30 . 0 ) / ( x x x x D B P
Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:
355 . 0 380 135 05 . 0 25 . 0 04 . 0 30 . 0 03 . 0 45 . 0 03 . 0 45 . 0 ) / ( x x x x D A P 329 . 0 380 125 05 . 0 25 . 0 04 . 0 30 . 0 03 . 0 45 . 0 05 . 0 25 . 0 ) / ( x x x x D C P
La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A
Ejemplo: Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?
Llamamos R= "sacar bola roja" y N= "sacar bola negra". En el diagrama de árbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas. La probabilidad pedida es P(A/R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:
A
5/8
1/3 N
2/3 R
1/3 B
1/3
N 1/3
2/5 R
C 3/5 N ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( C R P x C P B R P x B P A R P x A P A R P x A P R A P 260 . 0 173 45 5 2 3 1 3 2 3 1 8 3 3 1 8 3 3 1 ) / ( x x x x R A
P probabilidad de haber sido extraída de la urna A
7.9Variable aleatoria
Es una variable cuyo valor es un número determinado por el resultado de un experimento aleatorio, se denota por letras mayúsculas: X, Y, Z... y sus valores individuales por su correspondiente letra minúscula, si X (es una variable aleatoria) v.a., entonces sus valores son: X1,X2,..., Xn
Si a cada valor de la variable aleatoria le asociamos su probabilidad obtenemos la distribución de probabilidad de dicha variable.
Por ejemplo: Definamos un experimento como el lanzamiento de una moneda 2 veces y anotemos los resultados obtenidos en la cara superior.
Podemos definir la variable aleatoria Y como el número de caras obtenido en los 2 lanzamientos. Así, los valores que toma la variable pueden ser 0, 1, 2 dependiendo de los resultados del experimento.
ESPACIO MUESTRAL VARIABLE ALEATORIA
CC CS SC SS 2 (caras) 1(cara) 1(cara) 0(cara)
Luego la distribución de probabilidad de esta variable será:
VARIABLE ALEATORIA X PROBABILIDAD P(X) 0 1 2 1/4 2/4 1/4
TOTAL 1
El espacio muestral es: ={c, s}, se tiene: 1 1 : S C R X
La función de probabilidad de la variable aleatoria x que mide la ganancia es:
Xi 1 -1
Px(Xi) 1/2 ½
Ejemplo: La función de probabilidad de la variable aleatoria x, viene dada por la tabla
xi -2 -1 0 1 2
Px(xi) 0.08 0.32 0.05 a 0.32
Hallar el valor de a: Como ( ) 1 0.08 0.32 0.05 0.32 1 0.23
1 a a Xi Px n i 23 . 0 ) 1 ( ) 1
(X Px a
P 55 . 0 32 . 0 23 . 0 ) 2 ( ) 1 ( ) 1
(X P X P X
P 40 . 0 32 . 0 08 . 0 ) 1 ( ) 2 ( ) 1
(X P X P X
P
Media o esperanza de una variable aleatoria
Se llama media o esperanza de una variable aleatoria x y se representa por al valor:
n
i
i i n
n P x X P x
X x P X x P X 1 2 2 1
1. ( ) . ( ) ... . ( ) ( )
Ejemplo:
Si lanzamos dos monedas. Si salen dos caras recibimos 3 dólares, si sale una cara recibimos 1 dólar, y si no sale ninguna cara pagamos 5 dólares. ¿Cuál es la ganancia media del juego?
Solución: Hallamos la función de probabilidad de la ganancia X en dólares:
xi 3 1 -5
Px(xi) 1/4 1/2 1/4
La ganancia media del juego es la media o esperanza de x:
) ( . ) ( . ) (
. 1 2 2 3 3
1 P x X P x X P x
X 3*1/4 1*1/2 5*1/4 0
Cuando en un juego la ganancia esperada 0 se llama juego justo, Si 0 es un juego con ventaja y si 0 es un juego en desventaja
Varianza y desviación típica de una variable aleatoria
Se llama varianza de una variable aleatoria x y se representa por 2 al valor: 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ) ( . ) ( . ... ) ( . ) ( . n i i i n
n P x X P x
A partir de la varianza se define la desviación típica como la raíz cuadrada de la varianza.
Ejemplo: Hallar la varianza y la desviación típica de la variable aleatoria x, dada por la función de probabilidad:
xi 0 1 2 3
Px(xi) 0.1 0.2 0.4 0.3
Solución:
Calculamos la media 0*0.1 1*0.2 2*0.4 3*0.3 1.9 Varianza:
89 . 0 9 . 1 3 . 0 * 3 4 . 0 * 2 2 . 0 . 1 1 . 0 * .
02 2 2 2 2
2
Desviación típica = 0.89 0.94
Ejercicios de probabilidad
1. Hallar la probabilidad de sacar una suma de 8 puntos al lanzar dos dados. El espacio muestral es:
1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6
Donde las casillas sombreadas son los casos favorables. La probabilidad pedida será:
36 5 P
2. Hallar la probabilidad de sacar por suma o bien 4, o bien 11 al lanzar dos dados. El espacio muestral es el mismo de antes, es decir:
1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 Y la probabilidad pedida es:
36 5 P
3. La probabilidad de que un artículo provenga de una fábrica A1 es 0,7, y la probabilidad de que provenga de otra A2 es 0,3. Se sabe que la fábrica A1 produce un 4 por mil de artículos defectuosos y la A2 un 8 por mil.
a. Se observa un artículo y se ve que está defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de la fábrica A2?
b. Se pide un artículo a una de las dos fábricas, elegida al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que esté defectuoso?
Sean los sucesos:
A = “el artículo es defectuoso”
A2 = “el artículo procede de la 2ª fábrica”. a. Sabemos que:
p(A1)= 0,7 p(A2)= 0,3
p(A/A1)= 0,004 p(A/A2)= 0,008
Por el Teorema de Bayes:
) ( ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( ) / ( 2 2 1 1 2 2 2 A P A A P A P A A P A P A A P A A P 462 . 0 0052 . 0 0024 . 0 ) 3 . 0 ( ) 008 . 0 ( ) 7 . 0 ( ) 004 . 0 ( ) 3 . 0 ( ) 008 . 0 ( ) / (A2 A P
b. Por el Teorema de la probabilidad Total:
P(A) = 0,0052, ya que las operaciones a realizar en dicho Teorema coinciden con el denominador de la fórmula de Bayes anteriormente calculado.
4. En una población animal hay epidemia. El 10 % de los machos y el 18 % de las hembras están enfermos. Se sabe además que hay doble número de hembras que de machos y se pide:
a) Elegido al azar un animal de esa población ¿Cuál es la probabilidad de que esté enfermo? b) Un animal de esa población se sabe que está enfermo ¿Qué probabilidad hay de que el
citado animal sea macho?
Sean los sucesos:
A = “el animal está enfermo”, A1 = “el animal es macho”, A2 = “el animal es hembra” Se sabe que:
P(A1) = 1/3 P(A2) = 2/3 P(A/A1) = 0,1 P(A/A2) = 0,18 a) Por el Teorema de la probabilidad Total:
153 . 0 3 2 . 18 . 0 3 1 . 1 . 0 ) ( ) / ( ) ( ) / ( )
(A P A A1 P A1 P A A2 P A2 P
b) Por el Teorema de Bayes:
218 . 0 153 . 0 033 . 0 3 2 18 . 0 3 1 1 . 0 3 1 1 . 0 ) ( ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( ) / ( 2 2 1 1 1 1 1 A P A A P A P A A P A P A A P A A P
5. En una clase mixta hay 30 alumnas, 15 estudiantes que repiten curso, de los que 10 son alumnos, y hay 15 alumnos que no repiten curso. Se pide:
b. Elegido al azar un estudiante ¿Cuál es la probabilidad de que sea alumno?
c. Elegido al azar un estudiante ¿Cuál es la probabilidad de que sea alumna y repita el curso?
Solución
a. Observemos la siguiente tabla de contingencia:
no repiten repiten total
alumnos 15 10 25
alumnas 25 5 30
Total estudiantes 40 15 55
55 estudiantes mostrados em la tabla
b. Sea el suceso A= “ser alumno un estudiante elegido al azar”. Será:
11 5 55 25 ) (A P
c. Sea el suceso B= “ser alumna y repetidora un estudiante elegido al azar”. Será:
11 1 55
5 ) (B P
6. La probabilidad de que un alumno apruebe Matemáticas es 0,6, que apruebe Lengua es 0,5 y la de que apruebe las dos es 0,2. Hallar:
a. La probabilidad de que apruebe al menos una de las dos asignaturas. b. La probabilidad de que no apruebe ninguna.
Sean los sucesos:
A = “aprobar matemáticas un alumno” B = “aprobar lengua”
Se sabe que:
P(A)= 0,6 P(B)= 0,5 P(C)=0,2
a) Sea D = “aprobar una de las dos”
9 . 0 2 . 0 5 . 0 6 . 0 ) (
) ( ) ( ) (
)
(D P A B P A P B P A B
P
b) Sea E= “no aprobar ninguna de las dos”.
1 . 0 9 . 0 1 ) ( 1 ) ( )
(E P D P D
