Definición: Sea una función de dos variables x e y .La derivada parcial de f con respecto a x, es aquella función denotada por

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Daniela Parada

65 UNIDAD 3

DIFERENCIACION DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

CONTENIDOS:

Derivadas parciales, definición, diferenciación; interpretación geométrica. Aplicaciones económicas: funciones marginales, elasticidades. Teorema del valor medio. Diferenciabilidad y el diferencial total; significado geométrico de la diferencial. Plano tangente y recta normal a una superficie. Aplicaciones económicas: sustitución de factores en la producción, sustitución de bienes en la utilidad.

Diferenciales sucesivas. Derivadas parciales de orden superior. Derivadas de funciones compuestas y de funciones implícitas. Funciones homogéneas. Teorema de Euler. Funciones económicas homogéneas. Aplicaciones en la teoría de la distribución según la productividad marginal. Ecuación del plano tangente cuando la superficie está expresada en forma implícita. Fórmula de Taylor y Mac Laurin para funciones de dos variables. Aplicaciones económicas.

COMENTARIOS:

Suplemento Campo La Nación 22/7/2000

Préstamos y retiros, dos factores con peso propio. Son la espada de Damocles del agro. El negocio agropecuario tiene en el crédito y en el retiro de capital a dos de sus habituales enemigos. El abuso de ellos puede hacer naufragar cualquier intento productivo. No obstante, si se realizan con sentido común pueden contribuir a un resultado positivo.

DESARROLLO:

Definición: Sea una función de dos variables x e y .La derivada parcial de f con respecto a x, es aquella función denotada por D1 f,tal que en cualquier punto(x;y) del dominio de f, está dada por:

Δx

y)

f(x;

y)

Δx;

f(x

lím

0 Δx

si este límite existe. Análogamente, la derivada parcial de f con respecto a y, es aquella función denotada por D2f , tal que en cualquier punto (x;y) del dominio de f, está dada por:

Δy

y) f(x; Δy) y f(x; lím

0 Δy

 

(2)

66 En los ejercicios 1 a 6, obtenga las derivadas parciales pedidas a partir de la definición que toma en consideración a Δx ó Δy.

1°)

f(x;

y)

5x

3y

10

Solución:

5

Δx

x

5

lím

Δx

10)

3y

(5x

10

3y

Δx)

5(x

lím

Δx

y)

f(x;

y)

Δx;

f(x

lím

y)

f(x;

D

0 Δx 0

Δx 0

Δx

1

 

Este valor obtenido significa que la función variará aproximadamente en 5 unidades, cuando la primera coordenada varíe en una unidad mientras que la segunda coordenada permanezca constante. Es decir, por ejemplo, si consideramos f(1;0)=15 y f(2;0) = 20 se observa que el resultado varió en 5 unidades cuando x creció en una unidad e y permaneció constante en 0 unidades.

2°) f(x;y)3xy6xy2 D2f(x;y) Solución:

Series1 Series7

Series13 Series19

0 5 10 15 20

-1

-0,8 -0,6 -0,4

-0,2 0 0,2 0,4

0,6 0,8 1

15-20

10-15

5-10

(3)

Daniela Parada

67

y

2

x

3

y

)

y

y

2

x

3

(

y

lím

0

y

 

Δy

)

y

6x

(3xy

Δy)

(y

6x

Δy)

3x(y

lím

0

Δy

y)

f(x;

Δy)

y

f(x;

lím

y)

f(x;

D

2 2

0 Δy 0

Δy 2

Por lo tanto el valor funcional se modificará aproximadamente en 3x-2y unidades, cuando la segunda coordenada varié en una unidad permaneciendo la primera coordenada constante.

Por ejemplo: f(1;1)= 8 f(1; 2) = 8 O sea el valor funcional se modificó 0 unidades cuando la segunda coordenada varió en una unidad permaneciendo constante la primera coordenada.

3°)

f(x;

y)

x

y

2

f

x

(x,

;

y)

1 2 2

4°) f(x;y) 2x xy y Dxf(x;y);Dyf(x;y) 2

2 

5°) f(x;y)3x25y3 Dxf(x;y); Dyf(x;y) 6°) f(x;y) 5x y Dxf(x,y); Dyf(x;y)

2

7°) Dada:

2 6y 3x y)

f(x;22

calcule D1f(x;y) 7°.a) Aplicando la fórmula cuando el incremento de x tiende 0 Series1

Series7 Series13

Series19

-10 -5

0 5 10

-1

-0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0

0,2 0,4 0,6 0,8 1

5-10

0-5

-5-0

(4)

68 7°.b) Aplicando la fórmula cuando x tiende al valor 2

7°.c) Aplicando la definición y luego sustituyendo por el par (2;1). Solución:

7°.a)

12 x

) x 4 ( x 3 lím

x x

0

x 

 

   

 

     

 

Δx

8 2 6 12Δ 12 lím Δx

2) 6.1 (3.4 2 6.1 Δx) 3(2 lím f(2;1) D

2

0 Δx 2

2

0 Δx 1

7°.b)

12

2

x

2)

2)(x

3(x

lím

2

x

4)

3(x

lím

2

x

2)

6.1

(3.4

2

6

3x

lím

f(x;1)

D

2 x 2

2 x 2

2 x

1

 

7°.c)

6x

Δx

x)

3

Δx(6x

lím

Δx

6xΔx

lím

Δx

2)

6y

(3x

2

6y

Δx)

3(x

lím

y)

f(x;

D

0 Δx 2

0 Δx 2

2 2

2

0 Δx

1

 

x

o sea D1f(2;1)12

Por lo tanto, usando las diversas fórmulas de la definición de derivada parcial obtenemos el mismo resultado. En este caso concreto, podemos asegurar que el valor funcional se modificará aproximadamente en 12 unidades cuando la primera coordenada varíe en una unidad manteniéndose constante en 1 la segunda coordenada.

8°) Utilizando la función del ejercicio anterior, calculeD2f(2;1) aplicando las fórmulas, oportunamente.

(5)

Daniela Parada

69 10°) a) Obtenga cada una de las derivadas parciales. Para ello mantenga constante todas las variables, excepto la que corresponda, siendo

f(x;y)(x3y1,5x)2( 3x4y) Solución:

3

4y)

(3x

2

1

1,5x)

y

(x

)

4y

3x

1,5)(

y

1,5x)(3x

y

2(x

y)

(x;

f

2

1 2

3 2

3 x

=

(

1

,

5

)(

3

4

)

)

2

3

4

3

)

5

,

1

3

(

2

)(

5

,

1

(

2

1 3

2

3

x

y

x

x

y

x

y

x

y

x

x

y

y) (x;

fy

)

4

(

)

4

3

(

2

1

)

5

,

1

(

)

4

3

(

)

5

,

1

(

2

2

1 2

3 3

3

y

x

x

y

x

y

x

x

x

y

x

2( 1,5 )( 3 4 ( 1,5 )(3 4 ) 2) 1 3

3

3      

x y x x x y x y x x y

b) Evalúe cada una de las derivadas parciales anteriores en el par (2; 0,3) e interprete el resultado obtenido.

Solución:

) 3 , 0 ; 2 ( x

f -5,27

Interpretación: Cuando x crece en una unidad e y se mantiene constante en 0,3 , el valor funcional variará aproximadamente en -5,27 unidades.

36 , 21 ) 3 , 0 ; 2

( 

y

f

Interpretación: Cuando y crece en una unidad y x se mantiene constante en 2, el valor funcional variará aproximadamente en -21,36 unidades

En los ejercicios 11 a 14, obtenga cada una de las derivadas parciales.

11°)

f(x;y)

4

y

3

x

2

y

2 12°)

f(x;y)

xy

ln

x

ln

y

(6)

70 14°)

f(x;

y)

6x

2

2xy

3y

2

15°) Compruebe que :

y) (x; f * y y) (x; f * x y)

f(x;xy

Para:

xy y x f(x;y)

3 3

Solución:

2 2

4 3 x

y

x

y

y

2x

y)

(x;

f

2 2

4 3 y

y x

x 2xy y)

(x;

f   

Por lo tanto:

2 2

3 3 2

2 3 3 2

2 4 4

2 2

4 4 4

4 2

2 4 3 2

2 4 3

) (

2 2

2 2

y x

y x y

x y x xy y

x xy y x y

x

y x xy xy

y x y

x x xy y y

x y y x

x              

Que es lo que queríamos demostrar

16°) Dada:

f(x,y) =

   

  

) ,

( (x,y

y x y

x y x

0 0 ) 0

) 0 , 0 ( ) , (

2 2

3 3

Determine:

16°.a) f1(0,y) si y = 0 16°.b) f1(0,0)

16°.c) f2(x,0) si x = 0 16°.d) f2(0,0)

(7)

Daniela Parada

71

16°.a) ( ) 0

0 ) , 0 ( ) , ( )

, 0

( 2 2

0 2

2 3 3

0 0

1

 

   

  

 

x y

y x x lím x

y y x

y x lím x

y f y x f lím y

f

x x

x

16°.b) 1

0 0 lim 0

) 0 , 0 ( ) 0 , ( )

0 , 0 (

0 0

1

 

  

x

x x

f x f lím f

x x

16°.c) f2(x,0)0 16°.d) f2(0,0)1

17°) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie:

0

36

4z

9y

36x

2

2

2

con el plano x = 1 en el punto (1; 12;3). Interprete este resultado como una derivada parcial.

Solución:

La curva que resulta de la intersección de la superficie dada con el plano x=1, está dada por 729y24z20

O sea que y 18 4

9

z22 con lo cual y 18 4

9

z2

ya que el punto dado debe pertenecer a la curva en cuestión.

Por lo tanto:

18 y 4 9 4

y 9 )

y ( y z

2

  

Con lo que resulta que

2 3 3 ) P ( y z

0 

 

18°) Obtenga la pendiente de la tangente a la curva de intersección de la superficie:

2 2

y x z 

Con el plano y = 1 en el punto (2;1;5).

(8)

72 APLICACIONES ECONÓMICAS:

19°) Un fabricante, para obtener un producto necesita de dos insumos en forma variable y de acuerdo con la siguiente ley de producción:

q(x

1

;

x

2

)

6x

1

2x

1

x

2

x

2 19°.a) Hallar las productividades marginales

19°.b) Interpretar económicamente para los valores de insumos dados: x1=3 y x2= 4. Solución:

19°.a) q1(x1;x2)62x2

q

2

(x

1

;

x

2

)

2x

1

1

19°.b) q1(3;4)2

q2(3;4)5

Si el insumo 1 aumenta infinitésimalmente, permaneciendo constante el insumo 2 en 4 unidades, la producción decrecerá aproximadamente en 2 unidades.

Si el insumo 2 aumenta infinitésimalmente, permaneciendo constante el insumo 1 en 3 unidades, la producción decrecerá aproximadamente en 5 unidades.

20°) La función de producción de un determinado país viene dada por la relación de Cobb-Douglas:

0,35 0,65

C T C) P(T;

donde T es el trabajo y C es el Capital

20°.a) Hallar las productividades marginales

20°.b) Analizar los signos de las derivadas parciales e interpretar.

20°.c) Ídem para la función de producción que viene dada por la relación de Arrrow:

   

1

) 1 ( )

; (

 

A K L

L K Q

Solución:

20°.a) 0,35

C

0,35

-T 0,65 T

C)

P(T;

 

0,65

C

 

0,65

T 0,35 C

(9)

Daniela Parada

73 20°.b) Ambas derivadas parciales son positivas, o sea, si se incrementa el trabajo se incrementará la productividad (manteniendo constante el capital). Si se incrementa el capital se incrementará la productividad (manteniendo constante el trabajo).

Sigue la misma ley directa para el caso de decrementos.

20°.c)

 

   

   

0 ; ) 1 ( ) ; ( ) 1 ( ) 1 ( ) ; ( ) 1 ( ) 1 ( ) ; ( ) 1 ( ) 1 ( 1 ) ; ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1                                                                                        L L K Q A L L K Q L L K A A L L K Q L L K A L L K Q L L K A L L K Q

0 ; ) ; ( 1              K L K Q A K L K Q

Ambas derivadas parciales son positivas, o sea, si se incrementa el trabajo se incrementará la productividad (manteniendo constante el capital). Si se incrementa el capital se incrementará la productividad (manteniendo constante el trabajo).

Sigue la misma ley directa para el caso de decrementos.

21°) Si la función de costo conjunto de la producción de las cantidades de dos bienes es: C(x;y)10x2xy2y2

21°.a) Determinar los costos marginales

21°.b) Analizar la variación de la función costo cuando x = 10 e y = 15 si varía infinitésimalmente el bien y

21°.c) Idem, pero variando infinitésimalmente el bien x Solución:

(10)

74 O sea, cuando se incrementa una infinitésima de 15 unidades la producción del bien y, manteniéndose constante en 10 unidades la producción del bien x, el costo de producción conjunta se incrementa aproximadamente en 70 u.m.

21°.c) Cx(10;15)35

O sea, cuando se incrementa una infinitésima de 10 unidades la producción del bien x, manteniéndose constante en 15 unidades la producción del bien y, el costo de producción conjunta se incrementa aproximadamente en 35 u.m.

CLASIFICACIÓN DE LOS BIENES

a) Para la demanda en función de los precios

Sean: D1  f(p1;p2) yD2  f(p1;p2), funciones de demandas para ambos bienes, dependiendo ellas de los precios de dichos bienes

NEGATIVA (S) POSITIVA (S)

i i

p D

Bien Típico Bien Giffen ó bien

Veblen

1 2 2

1

p D p

D

   

Bienes Complementarios Bienes Sustitutivos

b) Para la demanda en función del precio y del ingreso

c) Sea: Df(p;I) , la función de demanda de un bien, dependiendo de su precio y del ingreso del consumidor

NEGATIVA POSITIVA

I D

Bien Inferior Bien Normal

22°) Sea la función de demanda de un producto x1;x2;x3:

2

3 2

2 2

1 3

2

1;p ;p ) 150000 0,5p 0,3p 0,3p

f(p    

Donde p1indica el precio por unidad de producto x , 1 p2 y p3 indican los precios por unidad de los productos x1,x2 y x3

22°.a) Calcular todas las derivadas parciales.

22°.b) Si los precios actuales de cada uno de los productos son: p1= 10 u.m.; p2= 15 u.m. y p3= 20 u.m.; evaluar las derivadas parciales e interpretar su significado.

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Daniela Parada

75 ELASTICIDAD (TASA DE CAMBIO PROPORCIONAL)

ELASTICIDAD MEDIA:

La elasticidad de una función mide la relación entre el cambio porcentual en la variable dependiente y el cambio porcentual en una de las variables independientes, o lo que es lo mismo decir que es una medida de la sensibilidad (o respuesta) de la variable dependiente ante los cambios en una de las variables independientes. Es el cociente entre las variaciones relativas de la variable dependiente y de una de las variables independientes.

f x x

f

x x f

f

E i

i i

i

xi

  

 

ELASTICIDAD PUNTUAL:

La elasticidad puntual, mide el porcentaje de cambio de la variable dependiente ante una variación del 1% de una de las variables independientes.

f x x

f f x x

f lím x

x f

f lím E

lím i

i i i x

i i x

x

xi i i i

  

 

 

  

 

 0 0 0

Si se estudian funciones de producción, que dependen de los inputs/insumos; la comparación de las productividades marginales de los insumos se hace difícil ya que vienen expresadas en unidades de output/producto por unidad de input. Para evitar esta dependencia de las unidades de los insumos en términos absolutos, se suele emplear una medida adimensional de los cambios en la producción atribuibles a cambios en la utilización de un determinado input: la elasticidad. La elasticidad del output respecto al input i mide el porcentaje en que aumenta el output cuando dicho input aumenta en un uno por ciento. Es decir:

f x x

f

E i

i xi

(12)

76

CLASIFICACIÓN DE LA FUNCION DE ACUERDO A LA ELASTICIDAD:

VALOR ABSOLUTO DE LA

ELASTICIDAD

CLASIFICACION

Igual a Cero Perfectamente Inelástica significa que variando la variable independiente la variable dependiente permanece constante Menor a uno Inelástica significa que variando la variable

independiente, la variable dependiente cambia en menor proporción

Igual a uno Unitaria significa que variando la variable independiente, la variable dependiente cambia en igual proporción

Mayor a uno Elástica Unitaria significa que variando la variable independiente, la variable dependiente cambia en mayor proporción Creciente ilimitadamente Perfectamente Elástica, la relación del

cambio proporcional es ilimitada o sea incomparable

23°) Dadas

q p D q p D

2 2

1  funciones de demanda de dos artículos cuyos precios son p y q respectivamente.

Clasificar los bienes y hallar las elasticidades de cada una de las demandas para los precios q=10 p = 20

24°) Dada la función de producción: P(L;C)3L0,6C0,4 donde L es el trabajo y C el capital.

Hallar las elasticidades parciales de la producción e interpretar el resultado para L= 5 y C= 4

(13)

Daniela Parada

77

0,02

1 02 , 0 02

, 0

) 1 ( 3

) ; (

 

K L

L K

Q  

25°) Un fabricante ha determinado la relación existente entre las unidades de un bien que vende anualmente y los gastos hechos en publicidad de los mismos por radio y televisión. V(x;y)50000x20000y0,5x20,1y20,15xy

donde V(x;y) es el número de unidades vendidas anualmente, x el monto en miles de pesos destinados a publicidad televisiva e y el monto en miles de pesos destinados a publicidad radial.

25°.a) Si el monto destinado para publicidad por TV es 600000 u.m. y el monto para publicidad por radio es 400000 u.m.; determine la venta anual proyectada.

25°.b) Qué sucede si se destinan 1000 u.m. menos a la publicidad por televisión, respecto de las ventas? –en las condiciones del inciso a-

25°.c) Qué sucede si se destinan 1000 u.m. menos a la publicidad por radio, respecto de las ventas? –en las condiciones del inciso a-

25°.d) Calcule la variación real de las unidades vendidas, tanto para el inciso b como para el inciso c.

Solución:

25°.a) V(600;400) = 37768000 25°.b) Vx(600;400)49340 25°.c) Vy(600;400)19830

25°.d) V(600;400)V(599;400)49340,5 V(600;400)V(600;399)19830,1 FUNCIONES HOMOGÉNEAS

Definición:

Una función es homogénea de grado n, si cumple:

f(x,λy)λn f(x,y) siendo  un escalar real

O sea, si una función es homogénea, a partir de un par de valores (x,y) en el dominio y del valor funcional resultante en dicho par, es posible conocer el valor funcional para cualquier par de la forma (x,y)siempre que este par esté en el dominio.

(14)

78 Una aplicación interesante, en el área de la economía es lo que se conoce como Rendimientos a escala este concepto hace referencia a cómo varía la función de producción cuando aumentan todos los inputs en la misma proporción, es decir, cuando se aumenta la escala de la empresa. Supóngase que se está utilizando (x,y) para producir una cierta cantidad de output y o lo que es lo mismo (x,y) f, decidiendo multiplicar (escalar) todos los inputs por una cantidad determinada >0. Se dice que la tecnología presenta

a) rendimientos decrecientes a escala si:

0 y),

f(x, λ λy) x,

f(  1 

b) rendimientos constantes a escala si:

0 y),

f(x, λ λy) x,

f(  1 

c) rendimientos crecientes a escala si:

0 y),

f(x, λ λy) x,

f(  1 

En el caso a, la duplicación de inputs en un proceso productivo da lugar a un output menor que llevar a cabo dos procesos productivos separados, por lo tanto la acumulación de inputs en un proceso productivo no es beneficioso, ya que el producto de un proceso productivo con el doble de inputs es inferior al de dos procesos productivos separados. En el caso b, el resultado de duplicar los inputs es equivalente a llevar a cabo dos procesos productivos separados, o sea la acumulación de inputs en un proceso productivo no es beneficioso, ya que el producto de un proceso productivo con el doble de inputs es semejante la acumulación de inputs en un proceso productivo es beneficioso, ya que el producto de un proceso productivo con el doble de inputs es superior al de dos procesos productivos separados al de dos procesos productivos separados. En el caso c, la acumulación de inputs en un proceso productivo es beneficioso, ya que el producto de un proceso productivo con el doble de inputs es superior al de dos procesos productivos separados.

Puede ocurrir que una determinada tecnología genere rendimientos crecientes a escala en algunos situaciones productiva y decrecientes en otra, en dichas situaciones resulta útil emplear una medida local de los rendimientos de escala. Esta medida es la elasticidad de escala, que se define como el cambio porcentual que se produce en el output debido a un cambio de un uno por ciento en todos los inputs, y se define en términos matemáticos como:

1 1

1

ln ,... ln

,...

  

 

n

n

x x f x

(15)

Daniela Parada

79 Expresión que se evalúa en =1, por lo tanto se está considerando la escala presente de operaciones

La elasticidad de escala se puede expresar como una suma de elasticidades parciales, ya que:

 

 

 

   

n

j

j j

n n

n n

n n

x x

x x f x

x f x x f x x f x

x f x

x E

1 1 1

1 1

1 1

,... ,...

,... ,...

ln ,... ln

,...

  

 

 

  

  

 

La cual evaluada en =1, deviene en:

 

 

n

j xj n

j n

j

j n

n E

x x f

x x

x x f x

x E

1

1 1

1 1

,... ,...

,...

Por lo tanto, para calcular la elasticidad de escala en un punto, lo único que hay que hacer es sumar las elasticidades de cada input, evaluadas en el punto mismo.

Teorema de Euler:

Si una función f es homogénea de grado n, con derivadas parciales continuas, entonces verifica que:

xfx(x;y) y fy(x;y)n f(x;y)

26°) Compruebe que:

3 2

2 3

7y y 3x 2xy 6x

y)

f(x;    

es homogénea de grado 3. Verifique asimismo que se cumple el teorema de Euler. Solución:

(16)

80

y)

f(x;

λ

)

7y

y

3x

2xy

(6x

λ

y)

x)(

(

2

x)

6(

y)

x;

f(

3

2

3

(

x

)

2

(

y

)

7

(

y

)

3

3 3

2

2

3

3

Por lo tanto f es homogénea de grado 3.

Observe, que para todo par múltiplo de (x;y), el valor funcional resulta ser el valor funcional inicial multiplicado por el factor elevado al cubo.

Comprobemos que se verifica el Teorema de Euler: x fx(x;y)y fy(x;y)3 f(x;y)

Primeramente tenemos que analizar la existencia de las derivadas parciales; observe que las mismas existen para todo par ordenado de R2 , siendo:

2 2

2

y 21 x

3 xy 4 ) y ; x (

xy 6 y 2

 

 

y

2 x

f

x 18 y) (x; f

Por lo tanto:

y) 3f(x; )

7y y 3x 2xy 3(6x

21y y 9x 6xy 18x

) 21y 3x

(4xy y 6xy) 2y

(18x x

3 2

2 3

3 2

2 3

2 2

2 2

 

 

 

 

 

 

 

27°) Compruebe que:

3 3

2

y

x

y

x

y)

f(x;

es homogénea de grado 0, verifique asimismo que se cumple el teorema de Euler APLICACIONES ECONÓMICAS:

28°) Dada la funciones de producción de Cobb-Douglas y de Arrow, citadas en la unidad 1 en la aplicaciones económicas

Analizar si son homogéneas y en caso afirmativo, definir el grado de homogeneidad. Solución:

Función de producción de Cobb-Douglas

Si

1

es homogénea de grado uno; de lo contrario es homogénea de grado

.

(17)

Daniela Parada

81

 

 

 

 

 

 

 

j Q

K L

jQ

K L

L K

j A jL

jK A jL jK Q

; ;

1 1

; 1

1 1

 

 

 

  

 

  

 

 

 

  

 

Es homogénea de grado uno.

Generalmente las funciones de producción homogéneas son de grado uno, o sea el producto aumenta en la misma proporción que los insumos y el rendimiento es constante, además las productividades marginales son homogéneas de grado cero, lo cual implica que dependen exclusivamente de la proporción en que se usan los insumos, permaneciendo inalterables ante cambios proporcionales de los mismos.

Si el grado de homogeneidad es mayor a uno, significa que el producto aumenta en proporción mayor que los insumos y el rendimiento es creciente.

Si el grado de homogeneidad es menor a uno, el producto aumenta en menor proporción que los insumos y el rendimiento es decreciente.

Para cada una de las funciones de producción definidas en los ejercicios 29°) a 31°), determinar el grado de homogeneidad y la naturaleza de los rendimientos a escala. La función representa a la producción total, x e y representan a los insumos.

29°) f(x;y)3x30,5xy22y3

30°)

y 10 y

x x 12 y)

f(x;   2

Solución:

Es homogénea de grado -1. Rendimiento a escala decreciente 31°)

y

0,1x

5y

3x

y)

f(x;

2

32°) Dada la función de producción de Cobb-Douglas : P(C;T)5C0,4T0,6 32°.a) Determinar su grado de homogeneidad

32°.b) Verificar que se cumple el teorema de Euler

32°.c) Hallar las productividades marginales y determinar el grado de homogeneidad 32°.d) Ídem para la función de producción de Arrow:

0,02

1 02 , 0 02

, 0

) 1 ( 3

) ; (

 

K L

L K

Q  

(18)

82 33°.a)Comprobar que es homogénea y hallar el grado

33°.b)Verificar el teorema de Euler

33°.c)Si se desea reducir el costo un 15% ¿En qué porcentaje deben variar x e y? 33°.d)Si las variables se incrementan en un 10 % ¿En qué porcentaje varía el costo?

Definición: Si f es una función de dos variables x e y, entonces el incremento de f en el punto (x0,y0), denotado por Δf(x0,y0), está dado por

Δf(x

0

,

y

0

)

f

(x

0

x,

y

0

y)

-

f(x

0

,y

0

)

Definición: Si f es una función de dos variables x e y, y el incremento de f en (x0;y0) puede escribirse como

Δf(x

0

;

y

0

)

f

x

(x

0

;

y

0

)

Δx

f

y

(x

0

;

y

0

)

y

1

x

2

y

donde 1 y 2 son funciones de Δx y Δy, tales que 10 y 2 0 cuando ( (0;0)

Δy)

Δx;  , entonces f es diferenciable en (x0;y0)

Teorema del valor medio: Si una función de dos variables es continua en un conjunto C y derivable en su interior, dados dos puntos tales que el rectángulo de lados paralelos a los ejes que los tiene por vértices opuestos, esté incluído en C, el incremento de la función entre ellos es igual a la suma de los productos de los incrementos de las variables por las respectivas derivadas parciales de la función, tomadas en sendos puntos pertenecientes a dos lados consecutivos de dicho rectángulo.

1

0

;

1

0

y;

y)

y

;

(x

f

Δx

y)

y

x;

(x

f

)

y

;

Δf(x

2 1

2 0 0 y 0

1 0 x 0 0

Definición: Si f es una función de dos variables x e y, y si f es diferenciable en (x,y) entonces la diferencial total de f es la función df dada por

df(x,

y,

Δx,

Δy)

f

x

(x,

y)

x

f

y

(x,

y)

y

(19)

Daniela Parada

83 34°.d) df(1;4;0,02;-0,03) y compare el resultado con el obtenido en 33°.b)

Solución: 34°.a)

   

  

 

 

f(1 Δx;4 Δy)- f(1;4) 4(1

x)2 0,5(1

x)(4

y) 2(4

y)2 ( 26) Δf(1;4)

=48x4(x)220,5y2x0,5xy3216y2(y)226 =

10

x

4(

x)

2

15

,

5

y

0

,

5

x

y

2

(

y

)

2

34°.b) Si reemplazamos x 0,02 y y0,03 en lo obtenido genéricamente en el paso anterior, se tiene:

0,6645 f(1;4)

-0,03) -0,02;4 f(1

Δf   

Por lo tanto el valor funcional se incrementa en 0,6645 unidades cuando se pasa del par (1;4) al par (1,02 ; 3,97)

34°.c) fx(x;y)8x0,5y fy(x;y)0,5x-4y

Por lo tanto df(1;4;x;y)10x-15,5y

Observe, que la diferencial total es una función que depende de cuatro variables; aquí concretamente hemos dejado dos variables fijas (la primer coordenada y la segunda coordenada) y han quedado libres la tercera y cuarta variable. Tenga presente que el resultado obtenido es genérico y que variará de acuerdo a Δx y a Δy.

34°.d) df(1;4;0,02;-0,03)=0,665

Comparando con el resultado obtenido en 33°.b)(que es el valor real del salto que la función genera cuando se pasa del par (1;4) al par (1,02; 3,97)) , se puede considerar el resultado de la diferencial total como una buena aproximación al salto real.

En este caso, si nos valemos de este último elemento para estimar el valor real del salto, estaríamos cometiendo un error menor a 0,0005 unidades.

35°) Si g(x;y)= 2x y exy determine:

35°.a) Δg(3;-1); el incremento de g en (3;-1) 35°.b) Δg(3;-1) cuando Δx0,1 y Δy0,2

35°.c) dg(3;-1;Δx;Δy) la diferencial total de g en (3;-1) 35°.d) dg(3;-1;-0,1;0,2)

36°) Si g(x;y)=

ln(x

y)

evalúe:

(20)

84 36°.b) Δg(-1;3) cuando Δx0,01 y Δy0,03

36°.c) dg (-1 ; 3 ; Δx;Δy)la diferencial total de g en (-1; 3) 36°.d) dg(-1 ; 3 ; 0,01 ; 0,03)

37°) Dada f(x;y)=3x2yxy

37°.a) Calcule la diferencial total de f en (1 ; 2) para Δx0,1 y Δy0,01 37°.b) Calcule el valor aproximado de la función para el par en cuestión. 37°.c) Calcule el error que se comete usando el diferencial

Respuesta:

37°.a) df(1;2;0,1;0,01) 0,10,010,11 37°.b) f(1,1;2,01)50,115,11

37°.c) f(1,1;2,01)3(1,1)2(2,01)-1,1(2,01)5.109 Por lo tanto: el error es = 5,109 – 5,11= - 0,001 En los ejercicios 38°) a 40°) determine la diferencial total: 38°) z = 4x3x y23y

39°) z = exycos(xy) Solución:

dy (xy)) sen x e (x dx y sen(xy)) e

(y

dzxy   xy

40°) z =

2 2

y x

1 ln

Solución:

dy) y dx (x y x

1 -dy y x

y -dx y x

x

dz 2 2 2 2 2 2

  

 

 

En los ejercicios 41°) y 42°) demuestre que f es diferenciable en todos los puntos de su dominio:

(21)

Daniela Parada 85 Solución:                         0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 y 4x y 2x y x 4 Δx 4y Δy x 4 y 4x Δy) Δx y Δx ΔxΔy 2x Δx y 2x Δy x y x 2( 4x y 2(x -y) Δx)(y (x 4 -Δy) (y Δx) (x 2 f(x -Δy) y ; Δx f(x ) y ; Δf(x

2 0

0 y ) ) y ;

=2x02 Δy 4x0y0

x4x0

x

y 2

x2 y02

x2

y-4x0

y-4y0

x-4

x

y Ahora bien: 0 0 0 0 0

x(x ;y ) 4x y -4y

f  0 x 4   2 0 0 0

y(x ;y ) 2x f

Con lo cual:

y x 4 -y x 2 y x 2 y x 4x y ) y ; (x f -Δx ) y ; (x f -) y ; Δf(x 2 0 2 0 0 0 y 0 0 x 0

0

Busquemos las distintas formas de reescritura del 2° miembro de la igualdad anterior a los efectos de analizar si 10 y 2 0 cuando (x;y)(0;0)

a)(4x0

y 2

x y02

x

y)

x-4

x

y b)(4x0y2x y0)x(2x2-4x)y c)(2xy02xy)x(4x0x-4x)y d) (4x0y2x y0-4y)x2x2y e) (2xy2x y0 -4y)x 4x0xy f)(2x y0-4y)x(4x0x2x2)y g) (2x y0)x(4x0x2x2-4x)y

Hemos agotado las posibilidades de reescritura y vemos que para todas se verifica que:

 0   0

 (0,0) 1 ( x, y) (0,0) 2 y)

x,

( lím  lím

Por lo tanto podemos afirmar que la función dada es diferenciable para todo par (x0,y0 ) de su dominio.

42°) f(x;y)=

(22)

86 Solución: y) (y y y x y y) (y y 2x -y x 0 2 0 2 0 2 0 0 0 0

      1 43°) Dada:            1 y 1 x si 2 1 y 1 x si 2 -y y) f(x; x

Demostrar que D1 f(1;1) y D2 f(1;1) existen pero f no es diferenciable en (1,1) Solución:

1

x

0

-2

-1

Δx

1

lím

x

f(1;1)

-x;1)

f(1

lím

(1;1)

f

D

0 x 0 x 1

 

  1 y 0 -2 -y 1 1 lím y f(1;1) -y) f(1;1 lím f(1;1) D 0 y 0 y 2        

 

Con lo cual hemos demostrado que ambas derivadas parciales existen en el par (1;1) Para demostrar que f no es diferenciable en (1;1), veamos que f no es continua en (1;1):

a) f (1;1)=1

b)Analicemos el lím f(x;y) (1;1) y) (x;  Sea S1

(x;y):y 1

0 1 x 

     

(1;1) x 1 x 1

y)

(x;lím f(x;y) límx 1-2 lím 1

S y) (x;

Sea S2

(x;y):yx

lím f(x;y) lím2 2

1 x (1;1) y) (x; 2 S y) (x;     

Por lo tanto el lím f(x;y) (1;1) y)

(x;  no existe

Con lo cual f no es continua en (1;1), por lo tanto f no es diferenciable en (1;1)

(23)

Daniela Parada

87 44°)

f(x;

y)

2x

2

3xy

y

2

Solución:

3y 4x y) (x;

fx   es continua para todo par de R 2 2y

3x y) (x;

fy   es continua para todo par de R 2

Por lo tanto podemos afirmar que f(x;y) es diferenciable en R 2 45°)

f(x;

y)

6

ln

(x

y

)

sen

x

Solución: Es diferenciable en todos los puntos de su dominio. 46°)

f(x;

y)

y

e

3x

-

x

e

-3y

Solución: Es diferenciable en todos los puntos de su dominio. TASA MARGINAL DE SUSTITUCIÓN

Definición:

La tasa marginal de sustitución de x por y (TMxy )se refiere a la cantidad de y que un consumidor está dispuesto a renunciar para obtener una unidad adicional de x y permanecer en la misma curva de indiferencia, o sea que no se modifique el nivel de satisfacción o utilidad.

dy U

dx U

0

y) U(x; U

y x(x;y)  (x;y)

 

Con lo cual

y x

U U dx dy

 Por lo tanto

y x

U U

 

TMxy

(24)

88 Si TMxy   3

y x

U U

deberá interpretarse que el consumidor ha de renunciar al consumo de tres unidades del bien Y a los efectos de poder consumir una unidad más del bien X, si es que desea mantener su nivel de utilidad o satisfacción.

Si se analiza la variación de la relación marginal de sustitución a lo largo de una curva de indiferencia, se puede concluir que ésta va disminuyendo a medida que se incrementa el consumo de un bien, correlación inversa entre ellos y que es una manifestación del carácter convexo de las curvas de indiferencia. Este decrecimiento de la RMS informa de que un individuo empieza a estar relativamente más saciado a medida que consume más de un mismo bien.

Si en lugar de trabajar con una función de utilidad, se trabaja con una función de producción la tasa marginal de sustitución de x por y (cantidades de producidos) se denomina relación marginal de transformación (RMT)

47°) Se la función de utilidad dada por U(x;y)x3y, calcule la tasa marginal de sustitución x por y en (3;10)

Solución:

3 2 xy

x y 3x TM  

Con lo cual la tasa marginal de sustitución en el par indicado es:

10 27 270 TMxy   

48°) Si la función de utilidad de un consumidor está dada por: 2

2 1 2

1;q ) 2q q

U(q

Y el consumidor compra 4 unidades de q1 y 5 de q2.

48°.a) Qué cantidad de q1 debe comprar para mantener el mismo nivel de utilidad si su compra de q2 aumentara a 8 unidades?

48°.b) Qué cantidad de q2 debe comprar para mantener el mismo nivel de utilidad si su compra de q1 aumentara a 6 unidades?

48°.c) Qué cantidad de q1 debe comprar para mantener el mismo nivel de utilidad si su compra de q2 decrece a 4unidades?

48°.d) Qué cantidad de q2 debe comprar para mantener el mismo nivel de utilidad si su compra de q1 decrece a 2 unidades?

(25)

Daniela Parada

89 Solución:

48°.a) 10 48°.b) 2,2 48°.c) 2 5 48°.d) 20 48°.e)

2 5 U U

2 1 q q

49°) Una empresa va a fabricar 10000 cajas de madera cerradas, cuyas dimensiones serán 2, 4 y 6 metros. El costo de la madera que se empleará es de $15 por metro cuadrado. Si las máquinas que se utilizan para cortar madera tienen un error posible de 0,5 cm en cada una de las dimensiones, calcule, aproximadamente, empleando el concepto de diferencial total, el máximo error posible en el cálculo del costo de la madera.

Solución:

La cantidad de metros cuadrados de madera para fabricar una caja está dado por f(x;y;z)2xy2xz2yz

(2;4;6) )

z ; y ;

(x0 0 0

0,005m Δz

0,005m Δy

0,005m

Δx  

2y

2x

f

2z

2x

f

f

z y x

2

y

2

z

Tomando el valor máximo para Δx; y ;z se tiene: ,005)

05;0,005;0 (2;4;6;0,0

df20 (0,005)+16(0,005)+12(0,005)=0,24m 2

Con lo cual, podemos afirmar que el error aproximado máximo en el cálculo de la cantidad de madera para una caja es de 0,24m2; por lo tanto el error aproximado en la fabricación de 10000 cajas será de 2400m2. Siendo el error aproximado máximo en el costo total de $15 (2400) = $36000

50°) La demanda de un producto está dada por:

1 2 22 1

2

1 p p 8 p

p 100 ) p ; p

(26)

90 Calcular aproximadamente la variación de la demanda del bien cuando los precios se incrementan en un 10%, siendo los precios antes del incremento 15 u.m. y 12 u.m. respectivamente.

Solución:

La variación de la demanda es de aproximadamente 265,725 unidades Regla de la cadena:

En los ejercicios 51°) a 53°) obtenga la derivada parcial que se indica por dos métodos: a) Empleando la regla de la cadena

b) Haciendo las sustituciones de x e y antes de diferenciar 51°) ux2- y2 siendo

x

3r

-

s

y

r

2s

Hallar r  u y s  u Solución:

a) 2x(3) (-2y) 6x-2y 16r -10 s

r y y u r x x u r

u

            s 6 -r -10 y 4 -x 2 -2 (-2y) 2x(-1) s y y u s x x u

u

            s

b)

u(r;

s)

(3r

-

s)

2

-

(r

2s)

2

8r

2

-

10

r s

-

3

s

2

s 6 -r 10 -s) (r; u s 10 -r 16 s) (r; u s r  

Que es lo mismo que habíamos obtenido anteriormente en a)

(27)

Daniela Parada

91 53°) u ey

x

 siendo x2r cos(t) y4r sen(t) Hallar

t u ; r u

   

Solución:

) t (

2 2 t cotg

t r

2sen e -u 0

u  

En los ejercicios 54°) y 55°), obtenga la derivada total

t

 u

por dos métodos: a) Empleando la regla de la cadena

b) Sustituyendo x e y antes de diferenciar

54°) uy exxey siendo xcos(t) y sen(t) Solución:

 

 

 

 

            

cost) x (-sent e

cost) (-ysent

e (cost) ) e x (e (-sent) )

e e y ( t y y u t x x u t

u x y x y x y

e

cost

(-sen

2

t

cost)

e

sent

(-sent

cos

2

t)

55°)

u

x

2

y

2

z

2 siendo xtan(t) ycos(t) z sen(t) Solución: u tan(t) sec(t)

t

Teorema de Clairaut (conocido como Teorema de Schwarz): Sea f una función de las dos variables x e y, definida en un disco abierto B

x0;y0

;r

y que fx,fy,fxyy fyx están definidas en B, y que fxyy fyx son continuas en B. Entonces:

x0;y0

f

x0;y0

fxyyx

(28)

92 cuadrado están en el disco abierto B

x0;y0

;r

, por lo tanto

x0h;y0 h

,

x

0

h

;

y

0

 

,

x

0

;

y

0

h

,

están en B. Se define Δ como:

x0 h;y0 h

 

f x0 h;y0

 

f x0;y0 h

 

f x0;y0

f       

 (1)

Sea G definida por:

G

 

xf

x;y0h

 

f x;y0

(2) Entonces:

x h

f

x h;y0 h

 

f x h;y0

G      

Por lo que (1) puede reescribirse a partir de G como:

x0 h

  

G x0

G  

 (3)

De (2): G´

 

xfx

x;y0h

fx

x;y0

(4); donde G´

 

xx

x0;x0h

y G es continua si x pertenece al citado intervalo.

Por el teorema del valor intermedio, se tiene que:

 

 

c

x x h

x h x

x G h x G c

G  

 

 

 1 0 0

0 0

0 0

1 ´

; ;

De lo cual, sigue que:

 

´

 

1

0

0 h G x hG c

x

G    ; por lo tanto:

 

1

1 0

1 0

´

;

;y h f c y

c f h c

hGx   x

 (5)

Definiendo: g(y) fx

c1;y)

(6) Se puede expresar (5) como:

 

g(y0 h) g y0

h  

 (8)

Y de la relación definida en (6)

c y

f y

g ( ) xy 1;

´ 

(7) dondeg´

 

yy

y0;y0h

y g es continua si y pertenece al citado intervalo.

Por el teorema del valor intermedio, se tiene que:

 

 

d

y y h

y h y

y y h y g d

g  

 

 

1 0 0

0 0

0 0

1 ´

; ;

Y se llega a que:

 

d h

g´ 1

Y reemplazando en la igualdad expresada en (8), se llega a

c d

 

c d

B

f

h xy

 1 1 1 1

2

; ;

; (9)

Sea ahora:

 

y

f

x

0

h

;

y

 

f

x

0

;

h

Figure

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Referencias

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