EL LENGUAJE DE FUNCIONES Y GRÁFICAS

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Área: MATEMÁTICAS

Tema: FUNCIONES Y GRÁFICAS

Nivel: 4º ESO

Número de sesiones: 12

Justificación de la propuesta:

En esta secuencia, pretendemos poner al alumnado en contacto con el lenguaje de funciones y gráficas. Los alumnos ya son conocedores de otros lenguajes: numéricos, geométricos, algebraicos. La importancia del lenguaje de funciones es primordial pues les abre un mundo de relaciones matemáticas de gran significado e importancia, permitiéndoles resolver multitud de situaciones.

Situación problema :

A. Contexto: Los contenidos derivados del Lenguaje de Funciones y Gráficas adquiere su sentido pleno en la Educación Secundaria.; su estudio se centra en las relaciones entre variables y su representación mediante tablas, gráficas. Esta secuencia nos servirá para profundizar en el estudio de modelos matemáticos, de gran utilidad para describir, interpretar, predecir y explicar fenómenos diversos de tipo. En esta actividad desarrollamos la identificación y análisis de relaciones funcionales en sus distintas formas de representación: verbal, gráfica, numérica (tabular) y algebraica.

B. Problema: Se plantea la resolución de una situación que exige para su resolución un conocimiento del lenguaje de funciones y sus características más importantes, como son la identificación de variables y el paso de una representación a otra (en particular a la algebraica), así como el estudio de algunos puntos singulares de una función.

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Tarea:

El producto final será la exposición y comunicación a las preguntas planteadas en la situación problema, se hará de manera razonada, justificando las conclusiones obtenidas. Si es posible la comunicación se hará mediante un Power Point o similar incidiendo en los aspectos más relevantes de las situaciones planteadas.

Competencias básicas trabajadas:

A. Transversales o generales:

 Competencia en comunicación verbal, no verbal y digital

(todas las actividades).

 Competencia para convivir: la mayoría de las actividades.

 Competencia para aprender a aprender y para pensar :

actividades 1ª, 8ª, 12ª, 15ª.19ª, 21ª

 Competencia para la iniciativa y el espíritu emprendedor: 12ª,

18ª, 20ª

B. Específicas:

 Competencia matemática (todas las actividades).

 Competencia científica 1ª, 8ª,9ª, 11ª, 15ª, 20ª

Objetivos didácticos:

 Identificar y resolver diversas situaciones problemáticas en

relación con el lenguaje de gráficas.

 Utilizar distintos modos de razonamiento y argumentación de

carácter funcional.

 Interpretar, representar y comunicar

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aspectos relativos al lenguaje de gráficas.

 Favorecer la formación de un espíritu crítico en el ámbito

funcional.

 Valoración de la importancia de los conocimientos relativos al

lenguaje de gráficas y la trascendencia de su estudio.

Contenidos:

 Fenómenos de dependencia funcional.

 Interpretación de gráficas en contextos reales.

 Dependencia funcional entre magnitudes Concepto de función

matemática.

 Características de algunas funciones: lineales, cuadráticas,

proporcionalidad inversa, exponenciales.

 Expresión de una función: descripción verbal, tabular, gráfica

y algebraica.

 Utilización de las TIC de cara a elaborar gráficas de funciones

y realizar conjeturas.

 Procedimientos de trabajo colaborativo.

 Actitud positiva ante la revisión del trabajo realizado.

 Disposición favorable ante el trabajo en grupo.

Secuencia de actividades:

A. Fase inicial:

Actividad 1. El vuelo en avioneta.

Actividad 2. Una familia.

Actividad 3.- La temperatura.

Actividad 4. El viaje en coche.

Actividad 5. El recorrido de Ana.

Actividad 6.- La carrera de 1000 metros.

Actividad 7. El vuelo de una gaviota.

Actividad 8: Tratando de definir una función

B. Fase de desarrollo:

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Actividad 9. La noria

Actividad 10. El semáforo

Actividad 11. Las mareas

Actividad 12. Construyendo gráficas.

Actividad 13. La cisterna

Actividad 14. El vuelo del águila

¿ Qué es una función?

C. Fase de aplicación y comunicación:

Actividad 15. Llenado de botellas

Actividad 16. Conociendo aspectos de funciones

Actividad 17. Función de proporcionalidad inversa

Actividad 18: Eligiendo coche de alquiler.

Actividad 19. Poniendo fórmulas a las funciones.

Actividad 20. Fechando el Carbono en un ser vivo

D.Fase de generalización y transferencia:

Actividad 21. Un paseo por el río

Actividad 22.- Un paso más allá con Geogebra.

Actividad 23. ¿Qué hemos aprendido?

Evaluación

A. Indicadores:

 Representa datos mediante tablas y gráficos utilizando ejes y

unidades adecuadas.

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estudiado.

 Interpreta críticamente datos de tablas y gráficos sobre

diversas situaciones reales.

 Relaciona distintas tablas de valores y sus gráficas

correspondientes en casos sencillos justificando el por qué.

 Utiliza con destreza la calculadora gráfica o el ordenador para

dibujar gráficas y señalar los valores numéricos característicos con la precisión necesaria.

 Colabora en el grupo y respeta las ideas de los demás.

B. Instrumentos:

 Actividades de evaluación con diferentes finalidades:

o Actividades 1, 3 y 6 : evaluación de los conocimientos previos

sobre funciones.

o Actividad 12: evaluación del conocimiento sobre aspectos

globales y específicos de funciones.

o Actividad 15: Autoevaluación sobre el comportamiento de

funciones.

o Actividad 19: Evaluación sobre la asignación de fórmulas a

funciones.

o Actividad 21: Una actividad de integración similar a la

propuesta como Actividad 1.

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EL LENGUAJE DE FUNCIONES Y GRÁFICAS

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UNIDAD: EL LENGUAJE DE LAS FUNCIONES

Actividad 1. El vuelo en avioneta

Aitor es muy aficionado al vuelo con avioneta. En sus vacaciones de verano ha alquilado una avioneta que tiene una velocidad de crucero de 300 km/h en aire tranquilo (sin viento). La avioneta está cargada de combustible suficiente para volar un máximo de cuatro horas.

Aitor quiere conocer una serie de paisajes que están a varios kilómetros del aeropuerto. El día que se propone realizar el vuelo hay un viento

relativamente fuerte de 50 km/h(a favor) que aumenta su velocidad de crucero con respecto a tierra a 350 km/h.

Mientras está volando se da cuenta que en el viaje de vuelta estará volando contra el viento y por lo tanto volará a 250 km/h

¿Cuál es la máxima distancia a la que puede volar Aitor desde el

aeropuerto, y estar seguro de que tiene combustible suficiente para hacer el viaje de regreso?

Nota: Evidentemente si la velocidad del viento fuese otra podría hacer un

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Mediante las siguientes actividades queremos acercarnos al concepto de función en sus distintas versiones. Estas actividades son el inicio de la unidad, mediante las cuales pretendemos sondear tus conocimientos respecto al manejo de funciones, su representación y significado. Trata de

ser preciso y escribe las conclusiones con claridad. Para resolverlas es

conveniente que te juntes con otros compañeros (tres son suficientes) y entre

todos rellenéis las actividades propuestas anotando las dificultades y dudas

planteadas. No olvides de apuntar en tu diario los aspectos más reseñables.

Actividad 2. Una familia

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Seguro que habéis podido analizar una función expresada mediante unos puntos. En ocasiones la función se expresa de una manera gráfica, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Actividad 3.- La temperatura

Mira con atención este gráfico y contesta las siguientes preguntas:

El gráfico nos muestra la variación de temperatura de un enfermo a lo largo de las horas que ha estado hospitalizado.

a) ¿Cuántas horas ha permanecido en observación?

b) ¿Cuántas horas ha mantenido una temperatura constante?

c) ¿Cuál fue la máxima temperatura que alcanzó?

d) El médico decide administrarle un medicamento para bajarle la fiebre

en el momento en que ésta ha alcanzado los 39º, ¿a partir de qué hora recibió la medicación?

e) ¿Cuál es la temperatura mínima que alcanza y a qué hora se

produce?

Una función también puede expresarse mediante una tabla de valores.

Actividad 4. El viaje en coche.

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decidido alquilar uno y nos han informado que la tarifa es de 130 euros por el alquiler (incluido el seguro) y 0.20 euros por kilómetro recorrido.

De acuerdo a esa información rellena la siguiente tabla

Distancia (km) 0 200 400 600 800 1200

Precio( euros)

En ocasiones, detrás de una descripción verbal también podemos encontrar una gráfica.

Actividad 5. El recorrido de Ana.

Dibuja una gráfica que se ajuste al siguiente enunciado:

“Esta mañana, Ana fue a visitar a su amiga Berta y tardó 10 minutos en llegar a su casa, que se encuentra a 500 metros de distancia. Estuvo allí durante una hora y regresó a su casa, tardando en el camino de vuelta lo mismo que tardó en el de ida.”

Las variables a representar son distancia/tiempo.

En otras circunstancias se nos pide que pasemos de una descripción gráfica a una verbal.

Actividad 6.- La carrera de 1000 metros.

Tres alumnos , que denominaremos A, B y C, participan en una carrera de 1000 m. La presente gráfica muestra de forma aproximada su

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Actividad 7. El vuelo de una gaviota.

La gráfica siguiente muestra la altura, en metros, del vuelo de una gaviota en función del tiempo.

a) Durante todo el tiempo que estuvo volando, ¿en qué instante alcanzó la mayor altura?

b) ¿Podrías decir donde estaba cuando comienza a volar?

c) Entre los 20 y 50 seg. hubo un instante en que estuvo más bajo. ¿Cuál es?

d) Durante todo el tiempo que estuvo volando, ¿en qué instante alcanza la menor altura?

e) ¿Se puede saber la altura de su vuelo al cabo de 5 minutos? ¿Porqué?

Después de estas actividades seguro que ya tienes una idea de función aunque sea de manera muy informal e intuitiva.

Ahora, seguid manteniendo el equipo de tres personas y elegid a una que actúe como portavoz, a medida que avancéis en la unidad; haced que el portavoz del grupo no sea siempre el mismo.

Como resumen de las actividades resueltas y de lo que ya conoces sobre

el concepto de función tratad de resolver la siguiente actividad y discutirla en tu grupo.

Actividad 8: Tratando de definir una función

a) Trata de definir con tus palabras lo que entiendes por función

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b) Relaciona en un mapa conceptual los distintos términos que ya conoces de funciones: variables, crecimiento, descripción verbal, tabla numérica, gráfica, valores de las variables,…

Para realizar esta actividad recurre a informaciones que vienen en tu libro o están en Internet.

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El objetivo de estas nuevas actividades es avanzar un poco más en la unidad y trabajar los contenidos esenciales de la misma. Se propondrán distintos tipos de actividades con la intención que te vayas entendiendo mejor lo que es una función y sus diversas representaciones.

Para ayudarnos en el proceso de aprendizaje vamos a trabajar con un diario de aprendizaje. En él anotaréis una serie de aspectos; nos permitirá revisar nuestro trabajo, recoger los progresos, anotar las dudas ,…. En este diario iremos anotando respuestas a cuestiones como estas:

 ¿Qué estoy aprendiendo?

 ¿Qué actividades me han parecido interesantes?  ¿Qué dificultades tengo?

 ¿Qué recursos estoy utilizando?  ¿Con quién lo estoy aprendiendo?  ¿Quién me puede ayudar?

 ¿Cuál es mi grado de implicación en la tarea que estoy realizando?

Actividad 8. La montaña rusa

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Anota en la actividad otras cuestiones que te han surgido y coméntales en el grupo.

Actividad 9. La noria

La noria infantil de un parque de atracciones tiene una altura de 8 metros y da una vuelta completa cada 20 segundos.

En unos mismos ejes dibuja la gráfica que muestre cómo cambia la altura de la barquilla A lo largo de 1 minuto. ¿qué observas? ¿conoces esa gráfica?

Busca en Internet qué es un gráfica periódica y cuales son sus características.

Actividad 10. El semáforo

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a) ¿Cuántos segundos dura el semáforo en verde?

b) Los alumnos observan que el semáforo se pone en rojo. ¿Cuánto

tiempo han de esperar para que se ponga en verde?

c) En una hora ¿cuantas veces se ha puesto el semáforo en verde?

Actividad 11. Las mareas

La siguiente gráfica nos muestra la altura durante una semana de un puerto marítimo cercano a San Sebastián. Cuando la altura alcanza su punto más

alto y empieza a retroceder, se dice que hay MAREA ALTA. Y cuando pasa en

el punto más bajo, se dice que hay MAREA BAJA. La misma forma se repite

aunque con distintos patrones, dependiendo del día.

La gráfica que se muestra empieza el lunes a las 10 horas de la mañana . El

eje vertical está expresado en metros, mientras que el eje horizontal cada

línea del papel cuadriculado representa 2 horas de duración

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Actividad 12. Construyendo gráficas.

Seguro que ya puedes responder a las siguientes cuestiones. No te

preocupes por dibujar las gráficas con mucha precisión. Naturalmente tienes que definir en cada una de las actividades dos variables.

A) Cuando salgo a correr voy aumentando el ritmo gradualmente y

luego mantengo un ritmo constante durante un buen rato. Cuando estoy próximo al final voy disminuyendo el ritmo hasta que

finalmente me paro. Construye una gráfica que muestre cómo varía la distancia recorrida en función del tiempo durante el entrenamiento.

B) El avión fue ganando altura de modo regular, a razón de 1500

metros por minuto, hasta alcanzar la altitud de 7500 metros, que mantuvo el resto del vuelo. Construye una gráfica que muestre cómo varía la altura del avión sobre el suelo durante los 10 primeros

minutos de vuelo.

C) Después de hervir, la temperatura del agua bajó rápidamente.

Conforme pasaba el tiempo el descenso de temperatura era cada vez más lento hasta que finalmente alcanzó la temperatura ambiente, que era de 25º, a los 5 minutos. Construye una gráfica que muestre cómo varía la temperatura del agua con el tiempo.

D) Si las entradas son muy baratas, los dueños del cine perderán dinero.

Pero si son muy caras, irá poca gente y también perderán dinero. Por eso el precio de las entradas debe ser moderado para obtener

beneficios.

E) ¿Cómo varía la velocidad de una pelota de golf desde el momento en

que es golpeada hasta que toca el suelo? Exprésalo en palabras. A continuación construye una gráfica que describa lo que has escrito.

F) ¿Cómo varía la cantidad de pasta necesaria para hacer una pizza con

su diámetro? Exprésalo en palabras. A continuación, construye una gráfica en la que se pueda ver cómo varía la cantidad de pasta necesaria en función del diámetro de la pizza.

Actividad 13. La cisterna

Una cisterna se llena y vacía automáticamente expulsando 6 litros de agua cada 5 minutos, siguiendo el ritmo de la gráfica. Cuando el depósito está

vacío comienza el llenado, que tarda en llenarlo 1 minuto,…

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a) ¿Cuánto tiempo tarda en vaciarse la cisterna?

b) En los primeros seis minutos ¿Cuánto tiempo está la cisterna llena

de agua?

c) Qué ha pasado entre los minutos 6 y 14? Descríbelo con detalle.

Actividad 14. El vuelo del águila

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b) ¿Qué representa cada cuadrito en cada eje? c) ¿A qué altura se encuentra el nido?

d) ¿Cuánto dura el vuelo y cuando caza a la presa?

e) ¿Qúe altura máxima alcanza el águila en su vuelo?. ¿Y la mínima? f) ¿Qué ocurre entre el segundo 50 y 80?

Bueno, creo que ha llegado el momento de que conozcas que entendemos por función. En las siguientes páginas se da una información más o menos detallada de este concepto tan importante.

¿Qué es una función?

De manara informal, una función es como una máquina que tiene una entrada y una salida.

Y lo que sale está relacionado de alguna manera con lo que entra.

Ejemplos de funciones.

"Multiplicar por 3" es una función

 Dado un número si le hacemos corresponder su valor al cuadrado,

tenemos una función.

 Relacionar el radio de una circunferencia con su longitud es una

función

 Estudiar la temperatura de un horno eléctrico, que está funcionando,

en función del tiempo es una función.

 La altura de llenado de una botella en relación con la cantidad de

líquido es una función.

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Función en forma de tabla

Función de manera Verbal

Por la mañana me levanto con

mucho ánimo a medida que pasa

el día mi ánimo decrece hasta el

mediodía y luego comienza a

“subir” hasta la hora de dormir

Función de manera gráfica

Función de manera algebraica

Desde un punto de vista matemático

Una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y(llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del

codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito)

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Resumiendo:

 Una funciónrelacionaentradas con salidas

 Una función toma elementos de un conjunto (eldominio) y los

relaciona con elementos de un conjunto (elcodominio).

 La variable x se la suele llamar variable independiente y f(x) la

variable dependiente.

 Las salidas (los verdaderos valores de la función) se llaman

laimagenorango

 Una entrada sólo produce una salida. Si hay más de una salida no es

una función.

 Una entrada y la salida que corresponde se llaman juntos unpar

ordenado

 Así que una función también se puede ver como unconjunto de pares

ordenados.

¿Quién inventó el concepto de función?

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Ahora te presentamos una actividad muy significativa. Discútela en el grupo y anota en tu diario tus conclusiones. Para resolverla adecuadamente sería

conveniente que te hicieras con un vaso graduado.

Actividad 15. Llenado de botellas

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a) Relaciona cada una de las siguientes gráficas con la botella adecuada.

b) ¿Cuáles serían las formas de las botellas con las que se podrían generar gráficos de llenado (altura que alcanza el agua en la botella en función del tiempo con la canilla abierta) con formas similares a los gráficos que se muestran a continuación?

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http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/recipientes/aplicacio

n/llename.html

Actividad 16. Conociendo aspectos de funciones

En la siguiente gráfica se ha representado la velocidad de una furgoneta de reparto a lo largo de una mañana de trabajo, que finaliza cuando el

conductor para a la hora de comer

Observa la gráfica y responde:

a) ¿Qué se ha representado en el eje horizontal?

b) ¿Qué se ha representado en el eje vertical?

c) ¿Qué intervalo es el dominio de definición?

d) ¿Cuál es la variable independiente?

e) ¿Cuál es la variable dependiente?

f) ¿Cuántas paradas ha hecho antes de comer?

g) ¿A qué hora efectuó la primera parada?

h) ¿Cuánto duró la primera parada?

i) ¿A qué hora entró en la autovía?

j) ¿A qué velocidad circuló por la autovía?

En cursos anteriores ya has estudiado algunas funciones y sus

características como la función afín y la función cuadrática. Vamos a profundizar un poco más y trabajar con otras funciones que son muy importantes y que aparecen frecuentemente al resolver problemas reales.

Trata de resolver individualmente esta actividad y coméntala en tu grupo.

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Nº Pintores ( x) 1 2 3 4 5 6

Tiempo empleado en pintar un

muro(minutos) ( y)

120 60

a) Completa las casillas que faltan.

b) ¿Sabrías obtener una expresión algebraica que relacione el número de pintores con el tiempo empleado?

c) Representarla gráficamente. ¿Qué pasa a medida que el número de pintores aumenta? ¿Te parece razonable que la gráfica se llame de proporcionalidad inversa?

En muchas circunstancias tenemos que decidir qué opción es mejor, para ello el estudio de funciones nos ayuda a elegir la mejor posibilidad.

Actividad 18: Eligiendo coche de alquiler.

Una empresa de alquiler de coches ofrece dos modalidades de alquiler con dos tarifas:

 Tarifa A : 40 euros por día sin límite de kilómetros

 Tarifa B: 25 euros por dia y 0,15 euros por kilómetro recorrido.

Si queremos alquilar un coche por una semana(7 días) ¿ A partir de cuántos kilómetros interesará una u otra modalidad?

En la siguiente actividad emplea los conocimientos que ya conoces para encontrar la fórmula correspondiente a las funciones propuestas. Primero resuélvelas individualmente y posteriormente discútelas en tu grupo.

Actividad 19. Poniendo fórmulas a las funciones.

Trata de relacionar cada tabla, gráfica o dibujo con su correspondiente

expresión algebraica.

a)

x 2 4 6 8

y 5 9 13 17

b)

x 1 2 3 4

y 2 5 10 17

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Veamos una actividad en la que aparece otro tipo distinto de funciones: la función exponencial. En ella tendrás que investigar y obtener tus

conclusiones.

Actividad 20. Fechando el Carbono en un ser vivo

Esta es una técnica para descubrir la antigüedad de un objeto antiguo (como un hueso, un mueble, un árbol ). Se trata de medir la cantidad de Carbono 14 que contiene.

Sabemos que mientras los seres están vivos, los animales y plantas tienen una cantidad constante de Carbono 14, pero cuando mueren disminuye por la radiactividad.

La siguiente función ( en forma gráfica) indica como se comporta el porcentaje de C14 a medida que pasa el tiempo.

e)

f)

1) y = 2x-1 4)

y

x

2

1

2) y=x+1 5)

y

x

2

1

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Nota: El tiempo que tiene que pasar para que quede el 50% de la cantidad del C14 inicial, se llama periodo de semidesintegración.

a) ¿Cuál es aproximadamente el periodo de semidesintegración del C14? b) Si unos restos tienen 21000 años qué porcentaje de C14 quedaba en ellos.

c) Razonar la aplicabilidad del método para aplicarlo a los dinosaurios( La época de los dinosaurios tendrás que buscarla)

Nota: La gráfica anterior corresponde a la función

Actividad 21. Un paseo por el río

Marta tiene una pequeña barca a motor que puede navegar a 20 km. por hora. Se dispone al subir por el cauce de un río que tiene una fuerte corriente de 5 Km por hora.

a) En media hora ¿Cuántos km habrá avanzado por el río?

b) Si recorrió un total de 30 km ¿ Cuánto tiempo tardó en hacer el

recorrido?

c) Si ahora decide ir a favor de la corriente durante media hora

¿Cuánto habrá recorrido en ese tiempo?

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¿ Qué distancia total habrá recorrido?

e) Si la barca tiene combustible para 3 horas ¿ Crees que puede ir y volver hasta una distancia de 30 km? ¿ Porqué?

Una vez abordadas las actividades anteriores estamos en condiciones de resolver la actividad 1 (trata tú de resolverla). Utiliza todos los recursos a tu alcance.

Actividad 22.- Un paso más allá con Geogebra.

Como seguramente sabrás hay un programa llamado Geogebra con el que puedes realizar muchas investigaciones en relación con el tratamiento de las funciones.

Te proponemos algunas investigaciones.

Dadas las siguientes gráficas

2 3 2

bx

ax

y

c

bx

ax

y

b

ax

y

¿Qué efectos tiene sobre las gráficas la variación de los parámetros a, b y c? ¿ Podrías describirlos con detalle?

Actividad 23. ¿Qué hemos aprendido?

Individualmente, vais a escribir en vuestro diario un breve texto en el que defináis qué es una función, expliquéis sus características más importantes y pongáis ejemplos de funciones. Posteriormente, en tu grupo, discutir vuestros trabajos y mejorar la presentación en base a las apreciaciones de vuestros compañeros.

Se trata de autoevaluar el trabajo que has realizado durante toda la Unidad. Para ello, rellena la siguiente autoevaluación:

Siempre La

mayoría

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propuestas

Aporté ideas al grupo de cara a resolver las actividades.

Anoté en el diario los aspectos más interesantes.

Expuse mis ideas y puntos de vista.

Contribuí a que otros también participaran.

Escuché y valoré el trabajo de mis compañeros

Llevé todos los trabajos “al día”

Señala tres cosas que has aprendido al trabajar este tema y que antes no sabías:

1. 2. 3.

Señala las actividades que más te sirvieron para poder aprender. 1.

2. 3.

Es la hora de compartir vuestros trabajos con vuestros compañeros y compañeras. Para ello cada equipo va a seleccionar un medio de publicación y va a dar un argumento o razón de por qué ha elegido ese medio. Luego, entre toda la clase, dedicaremos una sesión de trabajo a elaborar el documento que tenemos que publicar. Algunas posibilidades:

 Un glogster para colgar en el blog del centro

 Carteles colectivos para las paredes

 Carteles individuales, con vuestros trabajos, para repartir por los

pasillos

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