1
TEMA 2: EL PLANO AFÍN
En la primera mitad del siglo XVIII nació una rama completamente nueva de la Matemática que surge por la necesidad de relacionar las curvas del plano con las ecuaciones algebraicas de dos incógnitas. Fermat, consejero del parlamento de la ciudad francesa de Toulouse y matemático de fama mundial, el famoso filósofo René Descartes, fueron quienes establecieron las bases de los que hoy se conoce como
Geometría Analítica. DDeennttrroo ddeellaa Geometría Analítica, llaaGGeeoommeettrrííaaPPllaannaaeessllaaqquuee considera figuras cuyos puntos están todos en un mismo plano.
La geometría que utilizamos en nuestra vida cotidiana es una geometría euclidiana, denominada así porque acepta los postulados del matemático Euclides.
Posiblemente, de todos los postulados el más famoso sea el quinto:
“Por cualquier punto se puede trazar una paralela y sólo una a una recta determinada.”
1. SISTEMA DE REFERENCIA AFÍN
2. VECTOR DE POSICIÓN ASOCIADO A UN PUNTO Y COORDENADAS DEL PUNTO RESPECTO DEL SISTEMA DE REFERENCIA
3. ECUACIÓN DE LA RECTA
4. INCIDENCIA DE PUNTO Y RECTA
5. CONDICIÓN DE COLINEALIDAD DE TRES PUNTOS 6. POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS
7. HAZ DE RECTAS PARALELAS 8. HAZ DE RECTAS SECANTES 1. SISTEMA DE REFERENCIA AFÍN
Un sistema de referencia del plano afín está compuesto por un punto fijo O del plano físico y dos vectores que forman base de 2
V :
2 2
1 2
2
1 2
(plano físico) , (base de vectores del plano)
Sistema de referencia en el plano S = , ,
O E y u u V
E O B u u
Nota: por comodidad consideraremos una base de vectores del plano formada por dos vectores con origen en O, de direcciones perpendiculares y de módulo la unidad.
2. VECTOR DE POSICIÓN ASOCIADO A UN PUNTO Y COORDENADAS DEL PUNTO RESPECTO DEL SISTEMA DE REFERENCIA
Dado un punto A del plano físico, su vector de posición OA a
es el que tiene como origen O y como extremo
dicho punto A.
O
1 u
2 u
X Y
OA a
A
O
1 u
2 u
2
Fijado un sistema de referencia S = O B,
u u1, 2
del plano afín
2
E y dado un
punto 2
E
A definimos como “coordenadas del punto A respecto del sistema de referencia S a las coordenadas del vector del posición OA
asociado al punto A”.
Podemos expresar lo anterior así:
A PARTIR DE AHORA QUEDA FIJADO EL SISTEMA DE REFERENCIA S EN EL PLANO AFÍN S = O B,
u u1, 2
3. ECUACIÓN DE LA RECTA
Una recta queda determinada conociendo un punto por donde pase y una dirección v o bien dando dos puntos A y B por donde pase la recta.
||
x a AX se tiene que : AX v AX y v son lin. dependientes
AX v x a AX a v es la ecuación vectorial de la recta
Tenemos que la recta r viene determinada por r A v,
siendo las coordenadas del
punto A
a1,a2
y las coordenadas del vector v
v1,v2
. Sea X un punto cualquiera de la recta r de coordenadasX
x y, , entonces, a partir de la ecuación vectorial poniendo las coordenadas de los vectores tenemos que:
x,
1, 2
1, 2
x a AX a v pasando a coordenadas y a a v v
e igualando componentes, se obtiene:
A
X
v
x
a
2 2 2
1 2 V R
plano físico vectores parejas de nº reales
A OA , coordenadas del punto A
y como E
a a
1 22
1 2
1 2
, es una base del conjunto de vectores del plano entonces
el vector se podrá expresar como combinación lineal de los elementos
de la base de V B u u
a
a a u a u
O
1 u
2 u
3
1 1
2 2
x
" "
a v
es la ecuación de la recta r en forma paramétrica , al ir variando el
y a v
parámetro vamos obteniendo las coordenadas de todos los puntos de la recta. Despejando " " de las dos expresione
1
1 1 2
2 1 2
2 x
x
" 2" "
s anteriores e igualando se obtiene la "ecuación de la recta r en forma contínua" :
a
v a y a
ecuación contínua
y a v v
v
de aquí despejando y - a obtenemos la ecuación de la recta r en la f
2 2
2 1 2 1
1 1
2 1
" :
x x
x
x " "
2 1
orma punto - pendiente
v v
y a a donde llamamos m pendiente de la recta r y a m a
v v
despejando "y" se obtiene y = a + m x - a y a m ma y m n es la ecuación de la recta r en forma explícita
, en donde "m" es la
pendiente de la recta y (0,n) el punto de corte de la recta r con el eje de ordenadas OY. Desarrollando la anterior, o bien a partir de la contínua y pasando todo a un miembro y agrupand
2
2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1
1
1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
" "
x x x
x 0 x 0
A B C
x 0
o se obtiene la ecuación de la recta r en forma general : v
y a a y a v v a yv a v v v a
v
yv a v v v a v yv v a a v
llamamos : v v y v a a v
y queda : A By C q
" "
x x
x 0 x 1
x
1
ue es la ecuación de la recta r en forma general
Si pasamos al 2º miembro el término independiente C y dividimos los dos miembros entre - C :
A By C A By
A By C A By C
C C C C C
y
llamamos a
C C
A B
x
1
" "
C C y
y b
A B a b
se obtiene la ecuación de la recta r en forma segmentaria
siendo a,0 y 0,b los puntos de corte de la recta con los ejes coordenados OX y OY respectivamente.
Ejemplo: sea r A v,
con
3,1
2,3
v y
A , hallar la ecuación de la recta que
pasa por el punto A y tiene como dirección el vector v en todas sus formas:
ecuación vectorialPasamos a coordenadas e igualamos: x a AX a v
4
1 2
x, 3,1 2, 3
x 3 2
es la ecuación de la recta en forma paramétrica 1 3
Despejamos de las dos expresiones e igualamos x 3
x 3 1
2
ecuación contínua
1 2 3
3
de aquí obtenemos la ecuació
y
v
y v
y y
3 n punto-pendiente: 1 x 3
2
3 7
x ecuación explícita
2 2
Desarrollando la contínua o la punto pendiente:
x 3 1
x 3 3 2 1 3 9 2y 2
2 3
3 9 2y 2 0 3 2y 7 0 ecuación general de la recta
Si pasamos al
y
y
y
y x
x x
2
2º miembro el término independiente y dividimos los dos miembros 2x
3 y
3 2y 7 0 3 2y 7 1 1
7 7
7 7
3 2
se obtiene la ecuación segmentaria
x x
x x
Ejemplo: sea r A v,
con
2,4
1,2
v y
A , hallar la ecuación de la recta
que pasa por el punto A y tiene como dirección el vector v en todas sus formas:
ecuación vectorialPasamos a coordenadas e igualamos: x a AX a v
5
1 2
x, 2, 4 1, 2
x 2
es la ecuación de la recta en forma paramétrica 4 2
Despejamos de las dos expresiones e igualamos x 2
x 2 4
1
ecuación contínua
4 1 2
2
de aquí obtenemos la ecuac
y
v
y v
y y
2 ión punto-pendiente: 4 x 2
1 2 8 es la ecuación explícita
Desarrollando la contínua o la punto pendiente:
x 2 4
x 2 2 4 2 4 4
1 2
2 4 y 4 0 2 y 8 0 ecuación general de la recta
Si pasamos
y
y x
y
y x y
x x
al 2º miembro el término independiente y dividimos los dos miembros
2 y y
2 y 8 0 2 y 8 1 1
8 8 4 8
se obtiene la ecuación segmentaria
x x
x x
Otra determinación de la recta es conocer dos puntos A y B por donde pasa, en ese caso, tomaremos como vector de dirección el que tiene por ejemplo origen A y extremo B (o al revés).
Ejemplo: obtener, en todas sus formas, la ecuación de la recta que pasa por los puntos A
1,2 B
4,3
AB 4 1, 3 2 3,1
ecuación vectorial v
x a AX a v
A
B
6
1 2
Pasamos a coordenadas e igualamos:
x, 1, 2 3,1
x 1 `3
es la ecuación de la recta en forma paramétrica 2
Despejamos de las dos expresiones e igualamos x 1
x 1 2
3
ecuación co
2 3 1
1
y
v
y v
y y
ntínua
1 de aquí obtenemos la ecuación punto-pendiente: 2 x 1
3
1 5
es la ecuación explícita
3 3
Desarrollando la contínua o la punto pendiente:
x 1 2
x 1 3 2 1 3y 6
3 1
1 3y 6 0 3y 5 0 ecuación g
y
y x
y
y x
x x
eneral de la recta
Si pasamos al 2º miembro el término independiente y dividimos los dos miembros
3y y
3y 5 0 3y 5 1 1
5
-5 5 4
3 se obtiene la ecuación segmentaria
x x
x x
4. INCIDENCIA DE PUNTO Y RECTA
Un punto pertenece a una recta cuando al sustituir sus coordenadas en la ecuación de la recta, en cualquiera de sus formas, se satisface la igualdad.
Ejemplo: Sea la recta r: y3x5, el punto P
3,5 ¿pertenece a la recta?: 3 5 ¿ 5 3 3 5 ? 5 4
r y x Pr
CONDICIÓN DE COLINEALIDAD DE TRES PUNTOS
Tres puntos se dicen colineales cuando están alineados.
Dados tres puntos del plano, para estudiar su colinealidad, se calcula la ecuación de la recta determinada por dos cualquiera de ellos y, a continuación, se prueba si el otro punto pertenece o no a dicha recta, si pertenece entonces los tres puntos son colineales, en caso contrario los tres puntos no son colineales.
7
1 3
, 2 1, 6 3 1, 3 ,
1 3
2 1 3 3
¿ 2, 3 ? ¿ ? 3 0
1 3
AB AB
x y
r A AB con AB r A AB
C r C r
Luego los tres puntos A, B y C no son colineales.
Ejercicios:
Dada la ecuación segmentaria de la recta r : 1
3 2
x y
, obtener la cartesiana,
las paramétricas y la continua.
1 efectuando operaciones y pasando todo a un miembro, se obtiene la cartesiana:
3 2
2 3 6 2 3 6 0
Para obtener las paramétricas se des peja de la ecuación cartesiana la o l :
6 3 3
3
2 2
x y
x y x y
x a y
y
x y
3 3 3
3 2
2
Obteniéndose las ecuaciones paramétricas.
Despejando de las dos ecuaciones e igualando, se obtiene la contínua: 3
3
3 0
ecuación con 3
2 1
2
x
x y llamamos y
y
x
x y
y
tínua
Dada la ecuación de la recta en su forma cartesiana r x; y 4 0obtener la segmentaria e interpretarla:
0 4
; 4 0 4 1
0 4
4 4
4, 0 0, 4 son los puntos de corte de la recta con los ejes coordenados OX y OY
x y
x y
r x y x y
y x
y
Sea el segmento determinado por los puntos A
1,2 y B
6,8 , calcular:a. Coordenadas del punto medio.
b. Coordenadas del punto que se encuentra a
2 1
del punto A.
c. Coordenadas del punto que se encuentra a
4 3
del punto B.
d. Coordenadas de los puntos que dividen al segmento en 4 partes.
Nota: segmento que une los puntos A y B
( ) [ ]
( ) ( ) ( ) ( ) [ ]
8
1 5, 6 1,8 2 5, 6 ,
2 6 x
r A AB con AB r A AB
y
Entonces, los distintos apartados se obtendrán al ir dando valores al parámetro todos ellos comprendidos entre 0 y 1:
a. Coordenadas del punto medio.
1 7
1 5
1 2 2 7
, 3 1
2 2
2 6 3
2 x
y
b. Coordenadas del punto que se encuentra a
3 1
del punto A.
1 8
1 5
1 3 3 8
, 4 1
3 3
2 6 4
3 x
y
c. Coordenadas del punto que se encuentra a
4 3
del punto B.
1 9
1 5
1 4 4 9 7
,
1 7
4 4 2
2 6
4 2
x
y
d. Coordenadas de los puntos que dividen al segmento en 4 partes.
Falta sólo uno que es para
2 12 , 4 19
2 13 4 3 6 2
4 19 4 3 5 1 4
3
2 1
x x
9
Dos rectas en el plano pueden ocupar las siguientes posiciones relativas:
Secantes Paralelas Coincidentes
Para estudiar la posición relativa de dos rectas se resuelve el sistema de ecuaciones formado por las respectivas ecuaciones de las rectas, en cualquiera de sus formas, o también se estudia la posición comparando los vectores direccionales de las mismas.
Ejemplo:
Estudia la posición relativa de las rectas:
13 6 0
2 2
Pasamos la recta r a su ecuación cartesina y resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones cartesianas:
1
2
1 2 1 2 2 2 2
2
2 2
2 2 2 0 2
x
r s x y
y
x
y
r y x x y x y
x y r x
4 0
2 4 0 2 4 18 8
3 6 0 3 6 7 7
18 8 Por tanto, las rectas se cortan en el punto P ,
7 7 y
r x y x y
x y
s x y x y
Ejemplo:
Estudia la posición relativa de las rectas:
1
3 6 0
2 2
Como la recta r nos la dan con sus ecuaciones paramétricas, sustituimos x e , en la ecuación cartesiana de s para averiguar el valor del parámetro por el que se obtiene el
x
r s x y
y
y
posible punto de intersección:
1
3 6 0 1 3 2 2 6 0
2 2
11
1 6 6 6 0 7 11 0
7 x
r s x y
y
11 18 1
1 11 7 7
11 8
2 2 7
2 2
7 7
x x
r y P
y
y
Ejercicio: Hallar el área limitada por la recta r 5xy50 con los ejes coordenados.
r s
P r
s
10
Lo más cómodo para hallar los puntos de corte con los ejes coordenados es pasar la recta a su ecuación segmentaria:
5 5
5 5 0 5 5 1
5 5 5 1 5
De ésta forma, los puntos de corte con los ejes coordenados son: 1,0 0, 5
También podríamos haber hallado los puntos de corte con los ejes coordenados como siempre: Pun
x y x y
r x y x y
y
2to de corte con OY: x 0 5 0 5 5 0, 5
Punto de corte con OX: y 0 5 0 5 1 1,0
b h 1 5 5
El área limitada es un triángulo de área: S
2 2 2
y y
x x
u
Ejercicio: Calcular la ecuación de la recta en forma cartesiana que pasa por el punto
0,4
P y tal que la tangente del ángulo que forma dicha recta con el eje de abcisas sea 2.
Planteamos la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente: y 4 2 0ya que la pendiente "m" es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje OX.
Pasamos la ecuación a s
x
11 Ejercicio: Dadas las rectas r 2xy40 s3x2y90 hallar su punto de intersección y las ecuaciones de las rectas que pasa por el punto
3,4
y son paralelas a cada una de las dadas.
7 36 , 7 17
7 17 9
2 3
8 2 4
7 36 18
4 6
12 3
6
9 2 3
4 2
0 9 2 3
0 4 2
: corte de punto el obtener para
sistema el
Resolvemos
x y
x y x
y y
x y x
y x
y x y
x y x
Recta paralela a “r” y que pase por el punto
3,4
:Al ser paralela el comienzo en la “x” y en la “y” es el mismo: 2xyC0
El término independiente lo obtenemos con la condición de que pasa por el punto
3,4
:
3 4 0 10 recta 2 10 02 0
12 Recta paralela a “s” y que pase por el punto
3,4
:Al ser paralela el comienzo en la “x” y en la “y” es el mismo: 3x2yC0
El término independiente lo obtenemos con la condición de que pasa por el punto
3,4
:
3 2 4 0 1 recta 3 2 1 03 0
2
3x yC C C x y
6. HAZ DE RECTAS PARALELAS
Es el conjunto de rectas en una dirección dada.
Sea la dirección v
v1,v2
, entonces el haz de rectas con esa dirección es:
1 2
1 2
x a y a h
v v
Vamos a expresarlo en la forma cartesiana:
1 2
2 1 1 2 2 2 1 1 1 2
1 2
2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1
2 1 1 2 2 1
0 0
A y B son números pero K es variable pues depende del
x a y a
h v x a v y a v x v a v y v a
v v
v x v a v y v a reagrupando v x v y v a v a
renombrando A v B v K v a v a
1 2
1 2
punto , , por lo que el haz de rectas de dirección , es: 0
a a v v
13 Ejemplo:
Escribir las ecuaciones del haz de
rectas paralelas de dirección
1,2
v
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
2
2 2
2 2 0
2 2 0
2 0
x a y a h
x a y a x a y a x a y a x y a a x y K
Vamos a determinar, por ejemplo, de todo el haz “h” aquella que pase por el punto
3,1
A , para lo cuál tenemos que determinar el valor de “K” correspondiente.
2 0 2 3 1 0 5 la recta será de ecuación:
2 5 0
h x y K K K
r x y
7. HAZ DE RECTAS SECANTES
Es el conjunto de todas las rectas con el mismo punto base,
denominado vértice del haz.
Sea el punto base A
a1,a2
, entonces el haz de rectas con ese punto base es:1 2
1 2
x a y a h
v v
Vamos a expresarlo en la forma punto pendiente:
1 2 2 2
2 1 1 2
1 2 1 1
2 1 1 2
ahora , son variables, sea m
es el haz de rectas de unto base A ,
x a y a v v
h y a x a v v
v v v v
y a m x a p a a
Ejemplo: Calcular la ecuación del haz de rectas de vértice el punto A
3,1
2 2
1 2
1 2 1 1
3 1
1 3 ahora , son variables, sea m
1 3 es el haz de rectas de unto base A 3,1
v v
x y
h y x v v
v v v v
y m x p
14
Extraer de dicho haz la ecuación de la recta que sea paralela a la recta s y 2x5
Pasamos la recta a su forma punto pendiente: 2
2 5 2
0 1
2
x x m
s Entonces:
1 3 2 1 2 3 es la recta que se pide
y m x m y x
Ejercicio:
Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto A
2,1 y por el punto deintersección de las rectas 2 6 0
1 0
r x y
s x y
Resolvemos el sistema formado por las dos rectas para averiguar su punto de intersección:
2 6 0 2 6
5 4
1 0 1
El punto de intersección r s 5,-4
r x y r x y
x y
s x y s x y
P
Para calcular la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos consideramos como
vector direccional el vector
52,41
3,5
AP
Con lo cuál, la recta sería de ecuación: 2 1
3 5
x y
t
, la expresamos en su forma
cartesiana:
5 2 3 1 5 10 3 3 5 10 3 3 0
5 3 13 0 es la recta que buscamos.
x y x y x y
t x y
Vamos a hacerlo ahora considerando el haz de rectas de base el punto P de intersección de r y s, lo podemos expresar así:
2 6 0
2 6 1 0 como queremos una recta
1 0
de dicho haz que pase por el punto A 2,1 , tendremos que calcular el valor adecuado para el
parámetro : 2 2 1 6 1 2 r x y
haz x y x y
s x y
1 1 0 -1 2 0
2 1
el valor de en la ecuación del haz: 2 6 1 0 operando 2
obtenemos la recta t 5x 3 13 0
Sustituimos x y x y
y
