N = ( N, sg ) donde sg es una relación en N : sg = ( N, N, G sg ) con: G sg

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INTRODUCCION AL ALGEBRA.

5- TEORIA DE NUMEROS.

Apuntes de la Cátedra.

Vanesa Bergonzi, Alberto Serritella.

Colaboraron: Silvia Capalbo Cristian Mascetti.

Edición Previa – CECANA – CECEJS – CET – Junín – 2010.

UNNOBA

Universidad Nacional de Noroeste de la Pcia. de Bs. As.

Para mensajes: alberto_serritella@yahoo.com.ar

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5- TEORIA DE NUMEROS:

N

: NUMEROS NATURALES:

Sea N un conjunto. Consideremos la siguiente estructura:

N

= ( N, sg )

donde sg es una relación en N : sg = ( N, N, G sg ) con: G sg⊂ N × N

Utilizaremos la notación: ∀ x, y ∈ N :

[

y = sg x ⇔ ( x, y ) ∈ G sg ] De la misma forma diremos: ∀ x, y ∈ N :

[

y ≠ sg x ⇔ ( x, y ) ∉ G sg ] Diremos que N es un Conjunto de Números Naturales si se cumple: N1) ∃ 0 ∈ N : ∀ x∈ N : 0 ≠ sg x

N2) ∀ x∈ N : ∃ y ∈ N : y = sg x

N3) ∀ x, y ∈ N :

[

sg x ≠ sg y ⇒ x ≠ y ] N4) ∀ x, y ∈ N :

[

x ≠ y ⇒ sg x ≠ sg y

]

N5) Siendo p(x) una función proposicional cualquiera: se establece como válida la siguiente regla de inferencia: p ( 0 )

∀ x ∈ N : [ p( x ) ⇒ p ( sg x ) ]  ∀ z ∈ N : p ( z )

La expresión:

y = sg x

la leeremos como: " y es el siguiente de x " o también " y sigue a x " Establecidos los axiomas anteriores definimos al elemento 0 postulado por el axioma N1 como " cero ".

Traducidos estos axiomas y la definición del cero a palabras del lenguaje cotidiano y adelantándonos al significado que vamos a encontrarle, diremos que, hablando de números naturales:

N1) El 0 ( cero) no es el siguiente de ningún número. N2) Todo número tiene un siguiente.

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Corolario 1: sg : N → N es una función inyectiva. No es suryectiva.

Demostración: El axioma (N2) es totalmente similar al (F2) de la definición de función y el (N3) al (F1)

con lo cual estos dos axiomas nos dicen que sg puede ser vista como una función: sg : N → N mientras que (N4) similar a (F3) nos dice que esta función es inyectiva. Pero no puede ser suryectiva debido a que (N1) le impide al cero tener otro número del cual sea el siguiente: 0 ∉ sg ( N )

En resumen sg es una función inyectiva no suryectiva.

Aclaración: En lo anterior hemos definido el 0 (cero) como número natural. De acuerdo con los axiomas vistos lo consideraremos como el primer número natural.

Pero formalmente ello no es obligatorio. Se podría construir toda la teoría de números cambiando la definición basada en (N1) por otra que diga que el primer número natural es el 1. Y la teoría resultante sería igual de consistente.

En realidad hasta el momento salvo llamar " cero " al elemento del axioma (N1) no lo hemos diferenciado en sus funciones a dicho elemento inicial. Recién vamos a efectuar una opción de fondo cuando le demos al mismo el papel de elemento nulo para la suma.

Lo que si estamos obligados a ser es coherentes. Si hemos dicho que el cero es un número natural en adelante deberemos considerarlo siempre así.

El haber dicho que el 0 es un número natural es una simple cuestión de preferencias. Ello simplifica en alguna forma la teoría resultante. Y aunque complica otras parecería (al menos a quién esto escribe) que la teoría que se construye es algo más sencilla.

Si consideramos lo que dicen los axiomas anteriores en forma combinada lo que resulta es que:

Los números empiezan en el 0 (cero) (N1) que es quien comienza una única fila (N3 y N4) de números que no termina nunca (N2).

Precisamente (N3) significa que la fila no se bifurca en distintas ramas pero tampoco hay confluencias de ramas (N4).

Pero (N2) al combinarse con los otros axiomas precisamente dice algo más: que todo número natural tiene un siguiente que es único. Y que por lo tanto no se les puede meter otro número natural en el medio. Cosa que sí va a pasar con los Número Racionales y con los Reales: dados dos números distintos (reales o racionales) siempre se puede encontrar otro del mismo tipo que se halle entre ambos. Parecería que N1, N2, N3 y N4 alcanzaran para definir los números naturales. Pero no es así. La teoría que se establece sin (N5) es muy pobre. Más que pobre es una teoría incompleta en el sentido de que en una teoría sin (N5) no todas las formulas establecidas con un conjunto de números que cumpla N1 a N4 se puede establecer si es verdadera o falsa.

Nota: Por lo común cuando se trabaja con números naturales es usual cometer un abuso de notación

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Interpretación: Siendo un axioma el Principio de Inducción Completa no puede ser justificado. Simplemente se lo usa y se comprueba que la teoría resultante de ello es útil.

Pero en cambio es posible darle un significado práctico para poder entenderlo mejor. Lo haremos mediante el ejemplo clásico de las fichas de dominó:

Supongamos tener una larga fila de fichas de dominó paradas sobre uno de sus bordes.

Supongamos que a la del comienzo le asignamos el número 0 y a las siguientes números sucesivos. Supongamos que:

p(x) = " la ficha número x se cae hacia el lado de la ficha numerada con el número siguiente " ¿Como podremos saber si todas las fichas se caen?.

Tendremos que verificar para cualquier ficha " x " que su distancia a la siguiente ( sg x ) sea lo suficientemente chica de manera que si se cae x se caiga sg x. O sea:

p(x) ⇒ p( sg x)

pero para que se caigan todas las fichas alguien o algo ¡ deberá tomarse el trabajo de voltear la inicial !. Es decir: p(0)

Resumiendo:

Si se cae la ficha inicial: p ( 0 )

Y el proceso continúa: ∀ x ∈ N : [ p( x ) ⇒ p ( sg x )  Entonces se caen todas: ∀ z ∈ N : p ( z )

Algunas propiedades deducidas: Corolario 2: El cero es único.

Es decir: e ∈ N ∧∀ x ∈ N : [ e ≠ sg x ⇒ e = 0 ]

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Definiciones por Recurrencia:

Las definiciones que usan el principio de Inducción Completa reciben el nombre de Definiciones por Recurrencia.

Definición de los números naturales más comunes:

El 0 ( " cero " ) es el número natural que surge del axioma (N1) y que por el coralario 1 sabemos que es único.

Luego hacemos la siguiente cadena de definiciones: 1 = sg 0

2 = sg 1 3 = sg 2 4 = sg 3 5 = sg 4 6 = sg 5 7 = sg 6 8 = sg 7 9 = sg 8 10 = sg 9 11 = sg 10 12 = sg 11 ...

El inconveniente que tendríamos por este camino es que habría que definir uno por uno cada número natural.

Una de las formas alternativas de solucionar esto sería apelar a una numeración 1-aria definida por recurrencia:

representaríamos el 0 con la cadena s(0) = " " ( cadena vacía).

y suponiendo que tenemos definida la cadena del número x definimos la de su siguiente por medio de: s(sg x) = " s(x) "

Es decir vamos agregando de a un " palito " por vez que constituye la forma más rudimentaria de contar:

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Representación simbólica de los números naturales.

Solucionar adecuadamente el problema práctico de representar simbólicamente cada número natural requiere de una teoría más elaborada mediante definiciones por recurrencia. Dichas representaciones dependen de que número natural se utilice como base de numeración. Usualmente:

b =10 (decimal) ; b = 2 (binario) ; b = 8 (octal) ; b = 16 (hexadecimal).

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Suma de Números Naturales:

La suma de números naturales es una función:

+ : N × N → N que escribiremos así: ∀ x, y ∈ N : + (x, y) = x + y y la definimos por recurrencia de la siguiente forma:

(

)

  

+ =

+ ∈

∀

= + ∈

∀

y x sg y sg x : y

x x

: x

N

N 0

Construcción de una Tabla de Sumar:

Utilizando la primer línea de la definición anterior podemos escribir: x = 0 : 0 + 0 = 0

x = 1 : 1 + 0 = 1 x = 2 : 2 + 0 = 2 x = 3 : 3 + 0 = 3 ...

Y ahora mediante la segunda línea de la definición anterior y las definiciones de los distintos números: x = 0 ; y = 0 : 0 + 1 = 0 + sg 0 = sg ( 0 + 0 ) = [ por un resultado anterior] = sg 0 = 1 Resumen: 0 + 1 = 1 x = 1 ; y = 0 : 1 + 1 = 1 + sg 0 = sg ( 1 + 0 ) = [ por un resultado anterior] = sg 1 = 2 Resumen: 1 + 1 = 2 x = 0 ; y = 1 : 0 + 2 = 0 + sg 1 = sg ( 0 + 1 ) = [ por un resultado anterior] = sg 1 = 2 Resumen: 0 + 2 = 2 x = 1 ; y = 1 : 1 + 2 = 1 + sg 1 = sg ( 1 + 1 ) = [ por un resultado anterior] = sg 2 = 3 Resumen: 1 + 2 = 3 x = 2 ; y = 0 : 2 + 1 = 2 + sg 0 = sg ( 2 + 0 ) = [ por un resultado anterior] = sg 2 = 3 Resumen: 2 + 1 = 3 x = 2 ; y = 1 : 2 + 2 = 2 + sg 1 = sg ( 2 + 1 ) = [ por un resultado anterior] = sg 3 = 4 Resumen: 2 + 2 = 4 x = 0 ; y = 2 : 0 + 3 = 0 + sg 2 = sg ( 0 + 2 ) = [ por un resultado anterior] = sg 2 = 3 Resumen: 0 + 3 = 3 x = 1 ; y = 2 : 1 + 3 = 1 + sg 2 = sg ( 1 + 2 ) = [ por un resultado anterior] = sg 3 = 4 Resumen: 1 + 3 = 4 x = 2 ; y = 2 : 2 + 3 = 2 + sg 2 = sg ( 2 + 2 ) = [ por un resultado anterior] = sg 4 = 5 Resumen: 2 + 3 = 5 x = 3 ; y = 0 : 3 + 1 = 3 + sg 0 = sg ( 3 + 0 ) = [ por un resultado anterior] = sg 3 = 4 Resumen: 3 + 1 = 4

x = 3 ; y = 1 : 3 + 2 = 3 + sg 1 = sg ( 3 + 1 ) = [ por un resultado anterior] = sg 4 = 5 Resumen: 3 + 2 = 5

x = 3 ; y = 2 : 3 + 3 = 3 + sg 2 = sg ( 3 + 2 ) = [ por un resultado anterior] = sg 5 = 6 Resumen: 3 + 3 = 6 ...

Si observamos bien una de los resultados anteriores veremos que hemos logrado llegar a la conclusión de que:

¡¡ 2 +2 = 4 !!

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Corolario 4: sg x = x + 1

Demostración:

sg x = [ Por la primer línea de la definición de suma ] = sg ( x + 0 ) =

= [ Por la segunda línea de la definición de suma ] = x + sg 0 = [ Por definición de 1 ] = x + 1

Lema:∀ x, y ∈ N : x + sg y = sg x + y

Demostración: Sean x, y ∈N : Por inducción completa:

1°) y = 0) : x + sg 0 = [ Por la segundar línea de la definición de suma aplicada ] = sg ( x + 0 ) = = [ Por primer línea de la definición de suma ] = sg x= [ Idem aplicada sg x ] = sg x + 0

2°) y = u) : Lo admitimos como hipótesis inductiva: x + sg u = sg x + u y = sg u) : tratamos de demostrarlo:

x + sg ( sg u ) = [ Por la segunda línea de la definición de suma aplicada a: x + sg u ] = sg ( x + sg u ) = = [ hipótesis inductiva ] = sg ( sg x + u ) = [ Por la segunda línea de la definición de suma aplicada a: sg x + u ] = = sg x + sg u

queda así probado.

Corolario 5: La suma de números naturales tiene las propiedades: Asociativa, Existencia de Elemento Neutro y Conmutativa.

Demostración: Sean x, y ∈N : Por inducción completa:

Asociativa: Sean x, y, z∈N : Por inducción completa:

1°) z = 0) : x + ( y + 0 ) = [ Por la primer línea de la definición de suma aplicada a: y + 0 ] = x + y = = [ Por la primer línea de la definición de suma aplicada a: x + y ] = ( x + y ) + 0

2°) z = u) : Lo admitimos como hipótesis inductiva: x + ( y + u ) = ( x + y ) + u z = sg u) : tratamos de demostrarlo:

x + ( y + sg u ) = [ Por la segunda línea de la definición de suma ] = x + sg ( y + u ) =

= [ Idem pero aplicada a: y + u ] = sg ( x + ( y + u ) ) = [ hipótesis inductiva ] = sg ( ( x + y ) + u ) = = [ Por la segunda línea de la definición de suma aplicada a u ] = ( x + y ) + sg u

En resumen, admitiendo la hipótesis inductiva se verifica: x + ( y + sg u ) = ( x + y ) + sg u De (1°) y (2°) queda demostrada la asociatividad.

Exitencia de neutro: Probaremos que tal como fue definida la suma el 0 funciona como neutro.

Sea x∈N : por la primer línea de la definición de suma: x + 0 = x probaremos por inducción completa que 0 + x = x

1°) x = 0) : 0 + 0 = [ Por la primer línea de la definición de suma aplicada a: x= 0 ] = 0 2°) x = u) : Lo admitimos como hipótesis inductiva: 0 + u = u

x = sg u) : tratamos de demostrarlo:

(9)

Conmutativa: Sean x, y ∈N : Por inducción completa:

1°) y = 0) : por existir neutro ( el 0) se verifica: x + 0 = 0 + x 2°) y = u) : Lo admitimos como hipótesis inductiva: x + u = u + x y = sg u) : Lo demostraremos:

x + sg u = [ Por la segunda línea de la definición de suma ] = sg ( x + u ) = [ hipótesis inductiva ] = sg ( u + x ) = = [ Por la segunda línea de la definición de suma ] = u + sg x = [ lema ] = sg u + x

queda probado.

No existencia de elemento opuesto: Supongamos que tuvieran elemento opuesto. Por ejemplo, el 1 = sg 0

tendría que tener un elemento opuesto; llamémosle u: u + sg 0 = 0 Pero:

u + sg 0 = [ Por la segunda línea de la definición de suma ] = sg ( u + 0 ) = = [ Por existir neutro ] = sg u = [ Por hipótesis ] = 0 Absurdo, contradice (N1).

Según vimos los Números Naturales no cumplen la propiedad de existencia de elemento opuesto, Por tal motivo no forman grupo. Pero a pesar de ello cumplen con la propiedad del corolario siguiente: Corolario 6: La Suma de Números Naturales posee la propiedad cancelativa:

∀x, y, z∈N : [ x + z = y + z ⇒ x = y ]

Demostración: Por Inducción Completa:

1°) z = 0 ) Supongamos: x + 0 = y + 0 ⇒[ primer parte definición +] ⇒ x = x + 0 = y + 0 = y ⇒ x = y En resumen: x + 0 = y + 0 ⇒ x = y

2°) a) z = u ) Admitimos la hipótesis inductiva: x + u = y + u ⇒ x = y

b) z = sg u ) Veremos que se cumple. Supongamos:

x + sg u = y + sg u = [ por segunda parte definición +] =

= sg ( x + u ) = sg ( y + u ) ⇒[ contra-recíproco de (N4)] ⇒ x + u = y + u ⇒[ por hipótesis inductiva ] ⇒

⇒ x = y

En resumen: x + sg u = y + sg u ⇒ x = y

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Relación de Orden para los Números Naturales: Definición: ∀ x, y ∈ N : [ x ≤ y ⇔∃ h ∈ N : y = x + h ] Lema: ∀ h, k ∈ N : [ h + k = 0 ⇒ h = 0 ∧ k = 0 ]

Demostración: Sean: h, k ∈ N tales que: h + k = 0

Supongamos por el absurdo k ≠ 0 pero siendo así, por el corolario 2: ∃ u ∈ N : k = sg u con lo cual:

0 = [ por hipótesis ] = h + k = [ por lo recién supuesto ] = h + sg u = [ por segunda línea def.+ ] = = sg ( h + u )

nos queda: 0 = sg ( h + u ) lo cual contradice (N1). Debe ser en tal caso: k = 0

Conmutando en la hipótesis: k + h = 0 nos lleva por un razonamiento similar al anterior: h = 0 lo cual completa la demostración de este lema.

Corolario 7: Según fue definida ≤ establece una relación de orden sobre N.

Demostración:

Reflexiva: Sea x ∈ N : tomamos h = 0 se verifica: x = x + 0 ⇔[ por definición ]⇔ x ≤ x

Antisimétrica: Sea x, y ∈ N : supongamos: x ≤ y ∧ y ≤ x ⇔[ por definición ]⇔

⇔∃ h ∈ N : y = x + h ∧∃ k ∈ N : x = y + k Por simplificación se obtiene:

∃ k ∈ N : y = x + h Por conmutación y simplificación desde línea anterior: ∃ k ∈ N : x = y + k Por Ejemplificación Existencial desde línea anterior y = x + h [*] Por Ejemplificación Existencial desde línea anterior x = y + k Reemplazando la línea anterior en esta:

x = ( x + h ) + k = [ propiedad asociativa ] = x + ( h + k ) = [ propiedad conmutativa ] = = ( h + k ) + x = [ por tener elemento neutro la suma el x inicial es igual a ] = 0 + x⇒

⇒ [ propiedad cancelativa ] ⇒ h + k = 0 ⇒[ por lema anterior ] ⇒ h = 0 ∧ k = 0

Si h = 0 se tiene entonces en [*] se tiene: y = x + h = x + 0 = [ línea primera def.+ ] = x

con lo cual x = y

Resumiendo x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y de donde por Generalización Universal queda demostrada la propiedad antisimétrica: ∀ x, y ∈ N : [x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y ]

Transitiva: Sean x, y, z ∈ N : supongamos: x ≤ y ∧ y ≤ z ⇔[ por definición ]⇔

⇔∃ h ∈ N : y = x + h ∧∃ k ∈ N : z = y + k Por simplificación se obtiene:

∃ k ∈ N : y = x + h Por conmutación y simplificación desde línea anterior: ∃ k ∈ N : z = y + k Por Ejemplificación Existencial desde línea anterior y = x + h Por Ejemplificación Existencial desde línea anterior z = y + k Reemplazando la línea anterior en esta:

z = ( x + h ) + k = [ propiedad asociativa ] = z + ( h + k ) = [ llamando l = h + k ] = z + l Nos queda: z = x + l ⇔[ por definición ]⇔ x ≤ z

Resumiendo: x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z Con lo cual por Generalización Universal queda

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Corolario 8: El Principio de Inducción Completa tiene el siguiente enunciado equivalente: p( 0 )

∀ k ∈ N : [ p( k ) ⇒ p ( k + 1) ]  ∀ n ∈ N : p( n )

Demostración: Simplemente se hace un cambio de variables y se aplica el corolario 4: sg k = k + 1

Corolario 9: El Principio de Inducción Completa admite la siguiente generalización: Sea: n 0∈ N : p( n 0 )

∀ k ∈ N : [ n 0≤ k ∧ p( k ) ⇒ p ( k + 1) ]

 ∀ n ∈ N : [ n 0≤ n ⇒ p( n ) ]

Demostración: Supongamos que se cumplen las hipótesis:

n 0∈ N : p( n 0 )

∀ k ∈ N : [ n 0≤ k ∧ p( k ) ⇒ p ( k + 1) ]

Definamos: una nueva función proposicional: q( x ) = p( x + n 0 )

Por la primer línea de la hipótesis se tiene: p ( n 0 ) = p ( 0 + n 0 ) = q ( 0 )

Sea k ∈ N tal que: n 0≤ k

y además cumple: p( k )

Por la definición de ≤ sabemos que ∃ h ∈ N tal que k = h + n 0

Se verifica: q ( h ) = p (h + n 0 ) = p( k )

Aplicando Ejemplificación Universal a la segunda línea de la hipótesis y teniendo en cuenta lo afirmado sobre k:

n 0≤ k ∧ p( k ) ⇒ p ( k + 1)

n 0≤ k ∧ p( k )

por Modus Ponens queda:

p ( k + 1) = [ por lo antes visto ] = p ((h + n 0 ) + 1) = [ por propiedad asociativa suma ] =

= p (h + ( n 0 + 1) ) = [ propiedad conmutativa ] = p (h + ( 1 + n 0 )) = [ propiedad asociativa ] =

= p ( ( h + 1) + n 0 ) = q ( h + 1)

Resumiendo esta parte: h ∈ N y además: q ( h ) ⇒ q ( h + 1)

con lo cual por Generalización Universal queda: ∀ h ∈ N : [ q( h ) ⇒ q ( h + 1) ]

como además vimos que se cumple: q ( 0 )

estamos en la situación de las hipótesis del Corolario 8

( tomando la función proposicional como q ( x ) y usando h como variable) se cumplirá entonces la tesis de dicho corolario (usamos m como variable): ∀ m ∈ N : q( m ) [*]

Sea ahora un: n ∈ N tal que: n 0≤ n

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usando este m haciendo Ejemplificación Universal en [*] queda: q( m ) = p (m + n 0 ) = p( n )

resumiendo esta última parte para el

n ∈ N que habíamos tomado se tiene que bajo el supuesto: n 0≤ n se llega a: p( n )

O sea, se tiene que para este n ∈ N: n 0≤ n ⇒ p( n )

Con lo cual por Generalización Universal se obtiene

∀ n ∈ N : [ n 0≤ n ⇒ p( n ) ]

Resumiendo toda la demostración:

Partiendo de las hipótesis que para n 0∈ N se cumplía:

p( n 0 )

∀ k ∈ N : [ n 0≤ k ∧ p( k ) ⇒ p ( k + 1) ]

Se llega a la tesis:

∀ n ∈ N : [ n 0≤ n ⇒ p( n ) ]

Esto es precisamente lo que dice el corolario. Queda así demostrado.

Versión Simplificada: La versión generalizada anterior es común enunciarla de manera simplificada: Sea: n 0∈ N : p( n 0 )

∀ k ≥ n 0 : [ p( k ) ⇒ p ( k + 1) ]

 ∀ n ≥ n 0 : p( n )

Pero debe quedar en claro en el contexto que el significado es el de la versión detallada anterior. Por ejemplo queda implícito que k y n son números naturales.

Un ejemplo:

Siempre se asocia el uso del Principio de Inducción Completa a complicados cálculo algebraicos pero ello no es así necesariamente. Lo veremos para la versión generalizada:

En un país sólo se dispone como sistema monetario de monedas de 3 y de 5 pesos.

Demostrar por Inducción Completa que disponiendo de suficientes monedas siempre es posible pagar cualquier cifra igual o superior a 8 pesos sin recibir vuelto.

(13)

Producto de Números Naturales:

El Producto de números naturales es una función:

.

: N × N → N que escribiremos así: ∀ x, y ∈ N :

.

(x, y) = x .y y la definimos por recurrencia de la siguiente forma:

  

+ = ∈

∀

= ∈

∀

x y . x y sg . x : N y

. x :

x N 0 0

Construcción de una Tabla de Multiplicar:

Utilizando la primer línea de la definición anterior podemos escribir: x = 0 : 0 . 0 = 0

x = 1 : 1 . 0 = 0 x = 2 : 2 . 0 = 0 x = 3 : 3 . 0 = 0 ...

Y ahora mediante la segunda línea de la definición anterior y las definiciones de los distintos números: x = 0 ; y = 0 : 0.1 = 0 . sg 0 = 0.0 + 0 = [ por un resultado anterior] = 0+0= 0 Resumen: 0 .1 = 0

x = 1 ; y = 0 : 1.1 = 1 . sg 0 = 1.0 + 1 = [ por un resultado anterior] = 0+1= 1 Resumen: 1 .1 = 1 x = 0 ; y = 1 : 0.2 = 0 . sg 1 = 0.1 + 0 = [ por un resultado anterior] = 0+0= 0 Resumen: 0 .2 = 0 x = 1 ; y = 1 : 1.2 = 1 . sg 1 = 1.1 + 1 = [ por un resultado anterior] = 1+1= 2 Resumen: 1 .2 = 2 x = 2 ; y = 0 : 2.1 = 2 . sg 0 = 2.0 + 2 = [ por un resultado anterior] = 0+2= 2 Resumen: 2 .1 = 2 x = 2 ; y = 1 : 2.2 = 2 . sg 1 = 2.1 + 2 = [ por un resultado anterior] = 2+2= 4 Resumen: 2 .2 = 4 x = 0 ; y = 2 : 0.3 = 0 . sg 2 = 0.2 + 0 = [ por un resultado anterior] = 0+0= 0 Resumen: 0 .3 = 0 x = 1 ; y = 2 : 1.3 = 1 . sg 2 = 1.2 + 1 = [ por un resultado anterior] = 2+1= 3 Resumen: 1 .3 = 3 x = 2 ; y = 2 : 2.3 = 2 . sg 2 = 2.2 + 2 = [ por un resultado anterior] = 4+2= 6 Resumen: 2 .3 = 6 x = 3 ; y = 0 : 3.1 = 3 . sg 0 = 3.0 + 3 = [ por un resultado anterior] = 0+3= 3 Resumen: 3 .1 = 3

x = 3 ; y = 1 : 3.2 = 3 . sg 1 = 3.1 + 3 = [ por un resultado anterior] = 3+3= 6 Resumen: 3 .2 = 6 x = 3 ; y = 2 : 3.3 = 3 . sg 2 = 3.2 + 3 = [ por un resultado anterior] = 6+3= 9 Resumen: 3 .3 = 9 ...

Propiedades deducidas:

Corolario 10: El producto de números naturales tiene las propiedades:

Asociativa, Distributivas respecto a la suma, Existencia de Elemento Unidad y Conmutativa.

(14)

Corolario 11: El Producto de Números Naturales posee la propiedad cancelativa: ∀x, y, z∈N : [ z ≠ 0 ∧ ( x . z = y . z ) ⇒ x = y ]

(15)

Z

: NUMEROS ENTEROS:

Aunque el orden lógico de exposición es el aquí utilizado (Primero construir Z y luego Q) tal vez sea conveniente en una primer lectura considerar a los enteros como formados por los naturales con el agregado de los negativos y pasar directamente a los números racionales. En otra lectura incluir ambos. Sea N el conjunto de números naturales. Consideremos el producto cartesiano: N × N

Definimos sobre tal conjunto una relación R mediante:

∀ ( m; n), ( h; k) ∈ N × N :

[

( m; n) R ( h; k) ⇔ m + n = h + k

]

Corolario 12: Se demuestra que R es una relación de equivalencia.

Demostración:

1) Reflexiva: Si consideramos en la definición el caso particular: h = m ; k = n

nos queda: m + n = m + n ⇔ ( m; n) R ( m; n) Aplicando Generalización Universal:

∀ ( m; n) ∈ N × N : ( m; n) R ( m; n) Es decir la relación es reflexiva.

2) Simétrica: Supongamos tener:

( m; n), ( h; k) ∈ N × N

Supongamos: ( m; n) R ( h; k) ⇔[ Definición de R ] ⇔ m + k = n + h ⇔[ Conmutación ] ⇔

⇔ k + m = h + n ⇔ [ Prop. Simétrica igualdad ] ⇔ h + n = k + m ⇔[ Definición de R ] ⇔ ( h; k) R ( m; n) O sea se cumple la simétrica.

3) Transitiva: Supongamos tener:

( m; n), ( h; k) , ( i; j) ∈ N × N

Supongamos: ( m; n) R ( h; k) ∧( h; k) R ( i; j) ⇔[ Definición de R ] ⇔ m + k = n + h ∧ h + j = k + i ⇒

⇒[ por simplificación lógica y luego por conmutación y simplificación ] ⇒

m + k = n + h h + j = k + i

Tomamos la primera de ambas expresiones y le sumamos j :

( m + k ) + j = ( n + h ) + j = [ por prop. asociativa suma N] = n + ( h + j ) = [ por la segunda de las igualdades anteriores ] = n + ( k + i ) ⇒ [ resumiendo ] ⇒

⇒_{( m + k ) + j = n + ( k + i )}⇔[ prop. asociativa ]⇔ m + ( k + j ) = n + ( k + i ) ⇔

⇔ [ conmutativa Z ] ⇔ m + ( j + k ) = n + ( i + k ) ⇔[ prop. asociativa ] ⇔ ( m + j ) + k = ( n + i ) + k ⇒ ⇒ [ por prop. cancelativa de la suma en N ] ⇒ m + j = n + i ⇔[ Definición de R ] ⇔ ( m; n) R ( i; j) En resumen de todo esta parte:

( m; n) R ( h; k) ∧( h; k) R ( i; j) ⇒ ( m; n) R ( i; j)

Lo cual por Generalización Universal nos da la propiedad transitiva de R. Si R es relación de equivalencia podemos definir:

Z = N × N / R

Es decir formamos el conjunto cociente por la relación de equivalencia R.

(16)

El conjunto cociente está formado así: Z = N × N / R =

{

[ ( m; n) ] ; m, n ∈ N

}

Supongamos:

( h; k) ∈ [ ( m; n) ] ⇔ ( m; n) R ( h; k)

Con lo cual son clases de equivalencia iguales:

[ ( m; n) ] = [ ( h; k) ] ⇔ ( m; n) R ( h; k) ⇔ m + n = h + k En resumen:

[ ( m; n) ] = [ ( h; k) ] ⇔ m + n = h + k Corolario 13:

Siendo las clases de equivalencias del conjunto cociente: Z = N × N / R se verifica: Z =

{

[ ( n; 0) ] ; n ∈ N

}

∪

{

[ ( 0; n) ] ; n ∈ N -{0}

}

Demostración: Sean: h, k ∈ N

⊂ ⊂ ⊂

⊂) Sea [ ( h; k) ] ∈ Z = N × N / R =

{

[ ( m; n) ] ; m, n ∈ N

}

⇒ ⇒[ por definición de conjunto cociente y clases de equivalencia ] ⇒

⇒ h ∈ N ∧ k ∈ N ∧ [ ( h; k) ] =

{

( i; j) ; i, j ∈ N ∧( h; k) R ( i; j)

}

⇒[ por definición R ] ⇒

⇒ h ∈ N ∧ k ∈ N ∧ [ ( h; k) ] =

{

( i; j) ; i, j ∈ N ∧ h + j = k + i

}

⇒ Se presentan dos alternativas posibles:

1°) k ≤ h : Por la definición de ≤ sabemos que ∃ n ∈ N tal que h = n + k

Pero entonces dado que el 0 es neutro para la suma: h = h + 0 = n + k ⇔[ por definición R ] ⇔

⇔ ( h; k) R ( n; 0)

}

⇔[ por igualdad entre clases de equivalencia ]⇔ ⇔ [ ( h; k) ] = [ ( n; 0) ] ∈

{

[ ( n; 0) ] ; n ∈ N

}

2°) h < k : Por la definición de < : h < k ⇔ h ≤ k ∧ h ≠ k ⇔[ por definción ≤ ]⇔ ⇔∃ n ∈ N : k = n + h ∧ h ≠ k ⇒

No podría ser n = 0 porque en tal caso sería: k = 0 + h = h

⇒_∃ n ∈ N : k = n + h ∧ n ≠ 0 ⇒∃ n ∈ N - {0}: k = n + h ⇒

⇒_∃ n ∈ N - {0}: k = k + 0 = h + n ⇒∃ n ∈ N - {0}: ( h; k) R ( n; 0)

}

⇔

⇔ [ por igualdad entre clases de equivalencia ]⇔

⇔ [ ( h; k) ] = [ ( 0; n ) ] ∈

{

[ ( 0; n ) ] ; n ∈ N -{0}

}

Resumiendo:

[ ( h; k) ] ∈ Z = N × N / R ⇒ [( h; k) ] ∈

{

[ ( n; 0) ] ; n ∈ N

}∨

[ ( h; k) ] ∈{[ ( 0; n ) ] ; n∈ N -{0}

}

⇒ ⇒ Con lo cual: Z = N × N / R ⊂

{

[ ( n; 0) ] ; n ∈ N

}

∪

{

[ ( 0; n ) ] ; n∈ N -{0}

}

⊃ ⊃ ⊃

⊃) Supongamos: [( h; k) ] ∈

{

[ ( n; 0) ] ; n ∈ N

}

∪

{

[ ( 0; n ) ] ; n∈ N -{0}

}

⇔ ⇔∃ n ∈ N : [( h; k) ] = [( n; 0)] ∨∃ n ∈ N : [( h; k)] = [ ( 0; n ) ] ⇒

⇒ [ por ser por hipótesis [( n; 0)], [( 0; n )]clases de equivalencia del conjunto cocienteZ ]⇒

⇒ ( h; k) ] ∈ Z = N × N / R ∨ ( h; k) ] ∈ Z = N × N / R ⇒ [ tautología ]⇒

⇒ ( h; k) ] ∈ Z = N × N / R

Luego:

{

[ ( n; 0) ] ; n ∈ N

}

∪

{

[ ( 0; n ) ] ; n∈ N -{0}

}

⊂ Z = N × N / R

(17)

Veremos luego que el conjunto:

{

[ ( n; 0) ] ; n ∈ N

}

puede ser identificado con N. Por su parte:

{

[ ( 0; n) ] ; n ∈ N -{0}

}

se considerará que forman los números negativos.

Suma y Producto en

Z

: Definimos:

∀ [( m; n)], [( h; k)] ∈ Z : [( m; n)] + [( h; k)] = def [( m + h ; n + k )]

El producto se define:

∀ [( m; n)], [( h; k)] ∈ Z : [( m; n)] . [( h; k)] = def [( m h + n k ; m k + n h)]

Lema:∀ n ∈ N : [( n ; n)] = [( 0 ; 0 )]

Demostración: Sea: n ∈ N :

n + 0 = n + 0 ⇔ ( n ; n) R ( 0 ; 0 ) ⇔ [( n ; n)] = [( 0 ; 0 )]

Corolario 14: Z = ( Z, + ,

.

) es un Anillo Conmutativo con Unidad.

Demostración:

G1) Asociativa +: Sean: [( m; n)], [( h; k)] , [( i; j)]∈ Z :

[( m; n)] +

(

[( h; k)] + [( i; j)]

)

= [ definición suma Z ] = [( m; n)] + [( h + i ; k + j )] = = [ definición suma Z ] =

[(

m + ( h + i ) ; n + ( k + j )

)]

= [ asociativa suma N ] =

=

[(

( m + h ) + i ; ( n + k ) + j

)]

= [ definición suma Z ] = [( m + h ; n + k )] +[( i ; j )] = = [ definición suma Z ] =

(

[( m ; n )] + [( h ; k )]

)

+ [( i ; j )]

G2) Existencia de elemento neutro: Sean: [( 0; 0 )], [( m; n)] ∈ Z :

[( m; n)] + [( 0 ; 0 )] = [ definición suma Z ] = [( m + 0 ; n + 0 )] = = [ neutro N ] = [( 0 + m ; 0 + n )] = [ definición suma Z ] =

= [ ( 0 ; 0 ) ] + [( m ; n )] = [ neutro N ] = [( m ; n )]

En resumen: [( m; n)] + [( 0 ; 0 )] = [ ( 0 ; 0 ) ] + [( m ; n )] = [( m ; n )]

G3) Existencia de elemento opuesto: Sea: [( m; n)] ∈ Z : Probaremos:

-

[( m; n)] = [( n; m)]

[( m; n)] + [( m ; n )] = [ definición suma Z ] = [( m + n ; n + m )] = = [ conmutación suma N ] = [( m + n ; m + n )] = [ lema ] = [( 0 ; 0 )] En resumen: [( m; n)] + [( n ; m )] = [( 0 ; 0 )] De manera similar se prueba: [( n; m)] + [( m ; n )] = [( 0 ; 0 )]

G4) Conmutativa +: Queda para el lector.

A5) Asociativa prod. Z: Al lector.

A6) Distributiva: Al lector.

A7) Existencia de elemento unidad: Sean: [( 1; 0 )], [( m; n)] ∈ Z :

[( m; n)] . [( 1 ; 0 )] = [ definición producto Z ] = [( m.1 + n.0 ; m.0 + n.1 )] = = [ prop. producto N ] = [( m + 0 ; 0 + n )] = [ neutro N ] = [( m ; n )]

(18)

Corolario: El Producto de Números Enteros posee la propiedad cancelativa:

( )

[

a

;

b

]

,

[

( )

x

;

y

]

,

[

( )

z

;

w

]

∈

:

(

[

( )

x

;

y

]

≠

[

( )

0 ;

0 ]

∧

[

( )

x

;

y

]

.

[

( )

a

;

b

]

=

[

( )

z

;

w

]

.

[

( )

a

;

b

]

⇒

[

( )

x

;

y

]

.

[

( )

z

;

w

]

)

∀

Z

Demostración: Sea:

( )

[

a

;

b

]

∈

Z

:

[

( )

a

;

b

]

≠

[

( )

0 ;

0 ]

⇔

∼

(

( ) ( )

a

,

b

R

0 ,

0 )

⇔

a

+

0 ≠

b

+

0 ⇔

a

≠

b

⇔

a

<

b

∨

b

<

a

⇔

(

∃

h

∈

N

⊂

Z

h

≠

∧

b

=

a

+

h

) (

∨

∃

k

∈

N

⊂

Z

k

≠

∧

b

=

a

+

k

)

⇔

:

0 :

0

Supongamos entonces que tenemos:

[

( )

a

;

b

]

∈

Z

:

[

( )

a

;

b

]

≠

[

( )

0 ;

0 ]

De ambas alternativas posibles supongamos que se cumple la primera:

(

∃

h

∈

N

⊂

Z

:

h

≠

0 ∧

b

=

a

+

h

)

(1)

Sean ahora

[

( )

x

;

y

]

,

[

( )

z

;

w

]

∈

Z

Supongamos:

( )

[

x

;

y

]

.

[

( )

a

;

b

]

=

[

( )

z

;

w

]

.

[

( )

a

;

b

]

=

[

(

xa

+

yb

;

xb

+

ya

)

]

=

[

(

za

+

wb

;

zb

+

wa

)

]

⇔def. R⇔

⇔

(

xa

+

yb

) (

+

zb

+

wa

) (

=

xb

+

ya

) (

+

za

+

wb

)

=

agrupando =

(

+

) (

+

) (

=

+

) (

+

)

=

xa

wa

yb

zb

xb

wb

ya

za

distributiva =

(

+

) (

+

) (

=

+

) (

+

)

=

x

w

a

y

z

b

x

w

b

y

z

a

(1) =

(

+

) (

+

)(

+

) (

=

+

)(

+

) (

+

)

=

x

w

a

y

z

a

h

x

w

a

h

y

z

a

distributiva =

(

+

) (

+

) (

+

) (

=

+

) (

+

) (

+

)

=

x

w

a

y

z

a

y

z

h

x

w

a

x

w

h

y

z

a

asociativa suma =

(

_y

₊

_z

) (

_h

₊

[

_x

₊

_w

) (

_a

₊

_y

₊

_z

)

_a

]

₌

(

_x

₊

_w

) (

_h

₊

[

_x

₊

_w

) (

_a

₊

_y

₊

_z

)

_a

]

⇒

propiedad cancelativa de la

suma

⇒

(

y

+

z

) (

h

=

x

+

w

)

h

⇒

Por ser h≠0 se aplica propiedad cancelativa del producto ⇒

w

x

z

y

+

=

+

(19)

Identificación de los Números Naturales con un Subconjunto de los Enteros. Corolario 15 a: Sea f : N → Z : ∀ n ∈ N : f ( n ) = [ ( n; 0 ) ]

f es un homomorfismo inyectivo.

Demostración: Que es una función inyectiva es muy sencillo de demostrar. Queda para el lector.

Veremos que preserva la suma:

f ( n + m ) = [( n + m; 0 )] = [( n + m; 0 + 0 )] = [ suma Z ] = [( n ; 0)] + [( m; 0 )] =[ definición f ] = = f ( n ) + f ( m )

Y el producto:

f ( n . m ) = [( n . m; 0 )] = [ suma Z ] = [( n.m + 0; 0 + 0 )] = [ producto N ] = [( n.m + 0.m; n.0 + 0.m )] = = [ producto Z ] = [( n ; 0)] . [( m; 0 )] =[ definición f ] = f ( n ) . f ( m )

Corolario 15 b: Sea f : N → f ( N ) ⊂ Z : ∀ n ∈ N : f ( n ) = [ ( n; 0 ) ]

f es un isomorfismo.

Demostración: Al restringirse el codominio sólo a la imagen f es también suryectiva,

al ser homorfismo biyectivo es un isomorfismo.

Esto nos permite identificar: N ∼ f ( N ) ⊂ Z

Obsérvese que: f ( N ) =

{

[ ( n; 0) ] ; n ∈ N

}

Lo que nos permite decir: N ∼

{

[ ( n; 0) ] ; n ∈ N

} ⊂

Z

Observamos igualmente que:

{

[ ( n; 0) ] ; n ∈ N

} ∩

{

[ ( 0; n) ] ; n ∈ N -{0}

}

= φ Números Negativos:

Es válido también: Z - f ( N ) =

{

[ ( 0; n) ] ; n ∈ N -{0}

}

A este conjunto lo llamaremos números negativos.

Con las aclaraciones anteriores serán válidos los siguientes abusos de lenguaje: Los Naturales como un subconjunto de los enteros:

N ⊂ Z

Números Naturales N =

{

[ ( n; 0) ] ; n ∈ N

} ⊂

Z Al igual que: Números Negativos: Z - N =

{

[ ( 0; n) ] ; n ∈ N -{0}

}

⊂ Z

Igualmente serán válidas las siguientes identificaciones como abreviaturas de las clases de equivalencia:

n ∼ [ ( n; 0) ] para los números naturales - n ∼ [ ( 0; n) ] para los números negativos.

(20)

Función Substracción: Se define:

- : Z × Z → Z : ∀[( m; n)] , [( h; k)] ∈ Z :

- (

[( m; n)] ; [( h; k)]

)

= [ definimos forma de escritura para la resta ] = [( m; n)]

-

[( h; k)] = [ definimos la substracción de enteros ] = [( m; n)]

+ (

-

[( h; k)]

)

=

= [ ya visto al demostrar G2 ] = [( m; n)]

+ (

[( k; h)]

)

= [ definición de suma enZ ] = [( m + k ; n + h )]

(21)

Q

: NUMEROS RACIONALES:

Sea Z el conjunto de números enteros.

Consideremos el producto cartesiano: Z × ( Z - {0} ) Definimos sobre tal conjunto una relación R mediante:

∀ ( p; q), ( r; s) ∈ Z × ( Z - {0} ) :

[

( p; q) R ( r; s) ⇔ p s = q r

]

Corolario 16:

Se demuestra que R es una relación de equivalencia.

Demostración:

1) Reflexiva: Si consideramos en la definición el caso particular: r = p ; s = q

nos queda: p q = p q ⇔ ( p; q) R ( p; q) Aplicando Generalización Universal:

∀ ( p; q) ∈ Z × ( Z - {0} ) : ( p; q) R ( p; q) Es decir la relación es reflexiva.

2) Simétrica: Supongamos tener:

( p; q), ( r; s) ∈ Z × ( Z - {0} )

Supongamos: ( p; q) R ( r; s) ⇔[ Definición de R ] ⇔ p s = q r ⇔[ Conmutación ] ⇔

⇔ s p = r q⇔ [ Prop. Simétrica igualdad ] ⇔ r q = s p ⇔[ Definición de R ] ⇔ ( r; s) R ( p; q) O sea se cumple la simétrica.

3) Transitiva: Supongamos tener:

( p; q), ( r; s) , ( t; u) ∈ Z × ( Z - {0} )

Supongamos: ( p; q) R ( r; s) ∧( r; s) R ( t; u) ⇔[ Definición de R ] ⇔ p s = q r ∧ r u = s t ⇒

⇒[ por simplificación y luego por conmutación y simplificación ] ⇒

p s = q r r u = s t

Tomamos la primera de ambas expresiones y la multiplicamos por u :

( p s ) u = ( q r ) u = [ por prop. asociativa ] = q ( r u ) = [ por la segunda de las igualdades anteriores ] = q ( s t ) ⇒ [ resumiendo ] ⇒

⇒( p s ) u = q ( s t ) ⇔[ por prop. asociativa ]⇔ p ( s u ) = q ( s t ) ⇔[ conmutativa Z ]⇔

⇔ p ( u s ) = q ( t s ) ⇔[ por prop. asociativa ]⇔ ( p u ) s = ( q t ) s ⇒ [ por ser s ≠0 se puede aplicar prop. cancelativa del producto en Z ] ⇒

⇒ p u = q t ⇔[ Definición de R ] ⇔ ( p; q) R ( t; u)

En resumen de todo esta parte:

( p; q) R ( r; s) ∧( r; s) R ( t; u) ⇒ ( p; q) R ( t; u)

Lo cual por Generalización Universal nos da la propiedad transitiva de R. Si R es relación de equivalencia puedo definir:

(22)

Es decir formamos el conjunto cociente por la relación de equivalencia R.

Recordemos que el conjunto cociente es el formado por todas las clases de equivalencia. Las clases de equivalencia de Q se escriben de una manera especial. En lugar de escribir: [ ( p; q) ] ∈ Z × ( Z - {0} ) / R

se escribe:

q p

= [ ( p; q) ] ∈ Q = Z × ( Z - {0} ) / R =

{

[ ( p; q) ] ; p ∈ Z ∧ q ∈ Z - {0}

}

= Con lo cual:

Q = Z × ( Z - {0} ) / R =

{

q p

; p ∈ Z ∧ q ∈ Z - {0}

}

Supongamos:

( r; s) ∈ q p

= [ ( p; q) ] ⇔ q p

= s r _⇔

( p; q) R ( r; s) Con lo cual son clases de equivalencia iguales:

q p

= s r _⇔

( p; q) R ( r; s) ⇔ p s = q r

En resumen:

q p

= s r

⇔ p s = q r

Suma y Producto en

Q

:

qs qr ps s

r q p

def +

= +

Con la notación común para clases de equivalencia habría sido: [ ( p; q) ] + [ ( r; s) ] = [ ( ps + qr ; qs) ]

El producto se define:

s q

r p s

r . q p

(23)

Corolario 17: Q = ( Q, + ,

.

) es un cuerpo conmutativo.

Demostración: Probaremos algunas de las propiedades, las demás quedaran a cargo del lector.

1G) Asociativa +:

2G) Existencia de elemento neutro. 3G) Existencia de elemento opuesto 4G) Conmutativa +:

5A) Asociativa Producto: 6A) Distributiva:

7A) Existencia de elemento unidad. 9K) Existencia elemento inverso.

Función Substracción: Se define:

- : Q × Q → Q : _

     − ∈ ∀ s r , q p : s r , q p

Q = [ definimos forma de escritura para la resta ] = s r q p

− = [

definimos la substracción de racionales ] =       − + s r q p

= [ ya visto al demostrar G2 ] =

= [ definición de suma enQ ] = qs

qr ps−

En resumen, la resta en Q queda definida así: s r q p ₋ = qs qr ps−

Función División: Se define:

 : Q × (Q- {0}) → Q :

{ }

_

     − ∈ ∀ ∈ ∀ s r , q p : s r : q p 0 Q

Q = [ definimos forma de escritura para

división ] = s r q p

= [ definimos división de racionales ] =

1 −       s r . q p

= [ ya visto al demostrar K9 ] = r s . q p =

= [ definición producto enQ ] = r q

s p

(24)

Función Valor Absoluto:

Se define la función valor absoluto de la siguiente manera:

: Q → Q : ∀ r ∈ Q : ( r ) = forma de escritura =

r

= se define









−

=

⇒

<

=

⇒

≤

=

r

0

Coincide con la idea que tenemos de que el valor absoluto es el número convertido en positivo:

Ejemplos:

 4 = 4 debido a que: 0 ≤ 4

 - 4 = - ( - 4 ) = 4 debido a que: - 4 < 0

3

2

3

2 ₌

debido a que: 0 ≤

3

2

3

2

3

2

3

2 ₌













−

=

−

d  - 4 = - ( - 4 ) debido a que:

3

2

< 0

Propiedades:

1)

q

p

q

p

≤

∈

∀

Q

:

0

2)

_











=

⇔

=

∈

∀

:

0

0 q

p

q

p

q

p

Q

3)

s

r

q

p

s

r

q

p

s

r

q

p

_∈

₊

_≤

₊

∀

,

Q

:

Se la conoce como desigualdad triangular.

(25)

Corolarios:

1)

s

r

q

p

s

r

q

p

s

r

q

p

.

:

,

∈

=

∀

Q

2)













=

⇒

≠

∈

∀

s

r

q

p

s

r

q

p

s

r

s

r

q

p

0 :

,

Q

3)

q

p

q

p

q

p

=

−

∈

∀

Q

:

4)

q

p

s

r

s

r

q

p

s

r

q

p

−

=

−

∈

∀

,

Q

:

(26)

R

: NUMEROS REALES:

Concepto de Sucesión:

Tal como adelantamos en la unidad sobre funciones una Sucesión es una Familia cuyo conjunto índice son los números naturales, Como una Familia es una Función en la cual simplemente a su Dominio se le dice “Conjunto Indice” y a su Codominio “Conjunto de Valores” se tiene entonces que:

Una Sucesión es un Función cuyo dominio son los Números Naturales. Es decir, utilizando la notación usada para familias:

s = ( s(n) ) n ∈ N es una Sucesión ⇔ s : N → V función ⇒ ∀ n ∈ N : s(n) ∈ V

Se generaliza el concepto de sucesión permitiendo que su conjunto índice sea un subconjunto infinito de los naturales:

s = ( s(n) ) n ∈ I es una Sucesión ⇔ I ⊂ N ∧ # ( I ) = # ( N ) ∧ s : I → V función Distintas Notaciones Utilizadas:

Se utilizan de manera equivalente distintas formas de escrituras para las sucesiones: Sea una sucesión: s = ( s(n) ) n ∈ I

para la cual escribimos sus valores así: ∀ n ∈ I : s(n) = xn∈ V

Si su Conjunto Indice son los Números Naturales escribiremos indistintamente: s =

(

s(n)

)

n ∈ N s =

(

xn

)

n ∈ N

( )

∞

=

s

n

n 0

s

=

( )

x

_n _n∞₌₀

Si su Conjunto Indice es un subconjunto infinito de los Números Naturales escribiremos: s =

(

s(n)

)

n ∈ I s =

(

xn

)

n ∈ I

Si su Conjunto Indice es un intervalo infinito

[

n

0 ; ∞

)

N =

{

n ∈ N ;

n

0 ≤ n

}

de los Números Naturales:

( )

∞

=

0

n n

n

s

=

( )

∞₌

0

n n n

x

s

También suelen utilizarse notaciones intuitivas:

(27)

Otras formas de escrituras usadas son abusivas: s =

{

s(n)

}

n ∈ N s =

{

xn

}

n ∈ N

( )

{ }

∞

=

s

n

_n ₀

s

=

{ }

x

_n _n∞₌₀

s =

{

s(n)

}

n ∈ I s =

{

xn

}

n ∈ I

( )

{ }

∞

=

s

n

_n _n₀

s

=

{ }

∞₌

0

n n n

x

s

O a la vez intuitivas y abusivas:

{

s (0) , s (1), s (2), … , s (n), …

}

{

x0 , x1, x2, … , xn, …

}

Porque aunque en apariencia sólo se ha cambiado paréntesis por llaves, en realidad se está

confundiendo la familia: s =

(

s(n)

)

n ∈ N con la imagen: s( N ) =

{

s(n) ; n ∈ N

}

=

{

s(n)

}

n ∈ N

Sucesiones Racionales:

Una Sucesión Racional es una Sucesión cuyo Conjunto de Valores son los Números Racionales. Es decir

s = ( s(n) ) n ∈ I es una Sucesión Racional ⇔ s sucesión ∧ ∀ n ∈ I : s(n) ∈ Q Notaciones utilizadas para sucesiones racionales:

Para los valores de dichas sucesiones usaremos cualquiera de las formas de escritura siguientes:

s(n) = r n =

n n

q

p

En la última forma de escritura enfatizamos que cada racional es considerado como un cociente de enteros.

Atendiendo a lo anterior serán formas válidas de escribir las sucesiones racionales:

s = ( s(n) ) n ∈ N = ( r n ) n ∈ N =

N

∈













n n

n

q

p

(28)

Sucesiones Racionales Convergentes:

Sea: s = ( s(n) ) n ∈ I una sucesión racional con: I ⊂ N

Diremos que: s = I ∈













n n n

q

p

es convergente ⇔

n n n

q

p

q

p

q

p

lim

:

∞ →

=

∈

∃

Q

⇔

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

{ }













<

−

⇒

≤

∈

∀

∈

∃

−

∈

∀

∈

∃

β

α

β

α

q

p

q

p

n

N

n

N

q

p

n n

:

0 ,

:

N

I

Q

Sucesiones Racionales de Cauchy:

Sea: s = ( s(n) ) n ∈ I una sucesión racional con: I ⊂ N

Diremos que: s = I ∈













n n n

q

p

es de Cauchy ⇔

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

{ }













<

−

⇒

≤

∧

≤

∈

∀

∈

∃

−

∈

∀

β

α

β

α

m m n n

q

p

q

p

m

N

n

N

m

n

N

:

,

:

0 ,

N

I

Observación:

En las definiciones anteriores se pide: α, β ∈ N – {0} ello garantiza: α≠ 0 ∧β≠ 0 ⇒ 0 < α ∧ 0 < β Lo que a su vez nos asegura que por ser: α, β ∈ N – {0}⊂ N ⊂ Z por un lado al ser β ≠ 0 está definido

β

α

pero además como 0 < α ∧ 0 < β⇒

β

α

> 0

( Esta condición;

β

α

(29)

Teorema: Toda sucesión racional convergente es de Cauchy

Demostración: Sea: s =

I ∈













n n n

q

p

una sucesión racional.

Supongamos s es convergente ⇔

n n n

q

p

q

p

q

p

lim

:

∞ →

=

∈

∃

Q

Sean: α, β ∈ N – {0} Pero en tal caso también: : α, 2β ∈ N – {0}pudiéndose utilizar ambos números naturales en la definición de convergencia de una sucesión racional recién vista.

Se tendrá entonces que para tales naturales α, 2β por la definición de convergencia existirá un N ∈ N que cumplirá con el resto de la definición.

Sea: n ∈ N : y supongamos: N ≤ n se tendrá:

β

α

2 <

−

q

p

q

p

n n

De manera similar:

Sea: m ∈ N : y supongamos: N ≤ m se tendrá:

β

α

2 <

−

q

p

q

p

m m Pero entonces:

≤













−

+













−

=

−

+

−

=

−

m m n n m m n n m m n n

q

p

q

p

q

p

q

p

q

p

q

p

q

p

q

p

q

p

q

p

por desigualdad triangular ≤

≤

β

α

β

α

β

α

β

α

₊

₌

<

−

+

−

=

−

+

−

2

2 q

p

q

p

q

p

q

p

q

p

q

p

q

p

q

p

m m n n m m n n

Resumiendo lo visto:

{ }













<

−

⇒

≤

∧

≤

∈

∀

∈

∃

−

∈

∀

β

α

β

α

m m n n

q

p

q

p

m

N

n

N

m

n

N

:

,

:

0 ,

N

I

⇔⇔⇔⇔

⇔ ⇔ ⇔

⇔ por la definición vista ⇔ s =

I ∈













n n n

q

p

es de Cauchy

Proposición: No toda sucesión racional de Cauchy es convergente en Q.

(30)

Construcción de los Números Reales:

Sea:





























=

→

=

∈

Cauchy

de

racional

sucesión

q

p

s

n n n N

Q

N

;

:

S

El Conjunto de todas las sucesiones racionales de Cauchy

Definimos sobre una S_relación:













=













−

⇔

∈













=













=

∀

∞ →

0 ,

₂ ₁ ₂

_lim

1 n n n n n n n n n

s

r

q

p

s

R

s

r

s

q

p

s

S

:

Corolario 17:

Se demuestra que R es una relación de equivalencia.

Demostración:

1) Reflexiva: Si consideramos en la definición el caso particular de una relación: