LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Texto completo

(1)

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

0

x

x

significa que x toma valores cada vez más próximos a

x

0. Se lee “x tiende a

x

0”.

Ejemplo: 0; 1,9; 0,5; 1,4; 0,8; 1,1; 0,95; 1,01; 0,999; … Es una secuencia de números cada vez más próximos a 1. Escribimos x1.

x

0

x

significa que x toma valores cada vez más próximos a

x

0, pero menores que

x

0. Se lee “x tiende a

x

0 por la izquierda”.

Ejemplo: la secuencia: 0; 0,5; 0,8; 0,95; 0,99; …

Está formada por números menores que 1 y cada vez más próximos a 1. Escribimos x

1

.

x

0

x

significa que x toma valores cada vez más próximos a

x

0, pero mayores que

x

0. Se lee “x tiende a

x

0 por la derecha”.

Ejemplo: la secuencia: 2; 1,5; 1,1; 1,01; 1,001; … Escribiremos x

1

.

Estudiaremos el comportamiento de la función cuando x se aproxima a

x

0:

El comportamiento de f(x) cuando

x

x

0, se expresa así:

lim

(

)

0

x

f

x

x  (límite de f(x) cuando x tiende a 0

x

por la izquierda)

El comportamiento de f(x) cuando

x

x

0, se expresa así:

lim

(

)

0

x

f

x

x  (límite de f(x) cuando x tiende a 0

x

por la derecha)

El comportamiento de f(x) cuando

x

x

0, se expresa así:

lim

(

)

0

x

f

x

x(límite de f(x) cuando x tiende a

x

0)

Ejemplo:

f

(

x

)

x

2

5

x 0 0,9 0,99 …

f(x) 5 5,81 5,9801 …

6

)

(

1

f

x

lim

(2)

x 2 1,1 1,01 …

f(x) 9 6,21 6,02 …

6

)

(

lim

1

f

x

x

Por lo tanto, cuando los valores de x se aproximan a 1, los valores de f(x) se aproximan a 6:

6

)

(

lim

1

f

x

x

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

En resumen: Si

f

x

f

x

L

x x x

x

(

)

lim

(

)

lim

0 0

, decimos que

f

x

L

x

x

(

)

lim

0

. Decimos que la función es convergente en x =

x

0.

Si los dos límites laterales no toman el mismo valor, se dice que no existe el

lim

(

)

0

x

f

x

x . Y la función no

es convergente en x =

x

0.

LÍMITES INFINITOS CUANDO X TIENDE A UN NÚMERO FINITO. ASÍNTOTAS VERTICALES

lim

(

)

0

x

f

x

x  (límite de f(x) cuando x tiende a 0

x

por la izquierda):



(

)

lim

0

x

f

x x

Cuando

x

x

0, f(x) toma valores cada vez más grandes, llegando a superar cualquier valor, por grande que sea.

Ejemplo:

2

1

1

)

(

x

x

f

x 0 0,9 0,99 …

f(x) 1 100 10000 …



1

(

)

x

f

lim

x

lim

(

)

0

x

f

x

x  (límite de f(x) cuando x tiende a 0

x

por la izquierda):



(

)

lim

0

x

f

x x

Cuando

x

x

0, f(x) toma valores cada vez más grandes pero negativos, llegando a superar cualquier valor, por grande que sea.

Ejemplo:

1

1

)

(

x

x

f

x 0 0,9 0,99 …

f(x) -1 -10 -100 …



1

(

)

x

f

lim

(3)

La idea de límites infinitos de una función cuando x tiende a un número real por la derecha o por la izquierda se ve en la siguiente imagen:

Cuando ambos límites laterales son infinitos, observamos que la función presenta una asíntota vertical en dicho punto

x

0.

Ejemplo:



1

(

)

x

f

lim

x ; 



)

(

lim

1

x

f

x

LÍMITES FINITOS EN EL INFINITO

Para expresar que x toma valores cada vez más grandes, ponemos x  + . Se lee “x tiende a más infinito”.

Por ejemplo, si x toma los valores 10, 100, 1000, 10000, …, decimos que x  + .

lim

f

(

x

)

(4)

Análogamente, si x toma los valores - 10, - 100, - 1000, - 10000, …, decimos que x  - .

lim

f

(

x

)

x (límite de f(x) cuando x tiende a menos-infinito)

Cuando x  + , si los valores de f(x) son cada vez más próximos a un número L, se trata de un límite finito cuando x tiende a + .

L

x

f

lim

x

(

)

Ejemplo:

5

3

2

)

(

2

2

x

x

x

f

x 10 100 1000 …

f(x) 1,876 1,9987 1,99999987 …

Es decir,

(

)

2

 

f

x

lim

x

Cuando los límites en el infinito son un número finito, observamos que la función presenta una asíntota horizontal de ecuación y = L.

Ejercicio:

(5)

LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO





f

(

x

)

lim

x Cuando x  + , los valores de f(x) crecen cada vez más.





f

(

x

)

lim

x Cuando x  + , los valores de f(x) son cada vez más “negativos”.





(

)

lim

f

x

x Cuando x  - , los valores de f(x) crecen cada vez más.





(

)

lim

f

x

x Cuando x  - , los valores de f(x) son cada vez más “negativos”.

existe

no

x

f

lim

x

(

)

Cuando x+, los valores de f(x) ni crecen ni decrecen indefinidamente,

ni se acercan cada vez más a ningún número. Los comportamientos que pueden darse:

EJERCICIOS

(6)

f(2) f(5) f(-5) f(-6)

)

(

5

x

f

lim

x 

)

(

5

x

f

lim

x

)

(

6

x

f

lim

x 

)

(

2

x

f

lim

x

)

(

2

x

f

lim

x

)

(

5

x

f

lim

x

)

(

5

x

f

lim

x

)

(

5 , 2

x

f

lim

x 

)

(

5 , 2

f

x

lim

x

g(1) g(2) g(2,5) g(3)

)

(

1

g

x

lim

xx

lim

2

g

(

x

)

x

lim

2

g

(

x

)

x

lim

3

g

(

x

)

x

lim

3

g

(

x

)

lim

x3

g

(

x

)

2.- En las siguientes funciones, cuyas gráficas se dan, calcula los valores pedidos:

)

(

1

f

x

lim

x x

lim

1

f

(

x

)

x

lim

1

f

(

x

)

x

lim

1

f

(

x

)

x

lim



f

(

x

)

x

lim



f

(

x

)

)

(

2

x

g

lim

x 

)

(

2

x

g

lim

x 

)

(

2

g

x

lim

xx

lim



g

(

x

)

x

lim



g

(

x

)

lim

x1

g

(

x

)

OPERACIONES CON LÍMITES DE FUNCIONES

Sean f y g dos funciones tales que existan

lim

f

(

x

)

a

x y

lim

xa

g

(

x

)

y c un número real, (a puede ser un

valor real o ), entonces:

PROPIEDADES FUNCIÓN OPERACIONES

)

(

)

(

)

)(

(

f

g

x

lim

f

x

lim

g

x

lim

a x a

x a

x

 Suma Adición

)

(

)

(

)

)(

(

f

g

x

lim

f

x

lim

g

x

lim

a x a

x a

x

 Diferencia

)

(

(

)

)(

·

(

f

g

x

lim

f

x

lim

g

x

lim

a x a x a

x

 

Producto Multiplicación

Y división

)

(

)

(

)

)(

(

x

g

lim

x

f

lim

x

g

f

lim

a x

a x

a x

 

Cociente

(

)

log

lim

(

)

log

lim

f

x

f

x

a x a a

a

x

Función logarítmica Logaritmo del límite

( )

) (

)

(

)

(

limg x

a x x g

a x

a x

x

f

lim

x

f

lim

(7)

Estas relaciones son ciertas siempre que tengan sentido las operaciones definidas con números reales o las definidas al añadir los elementos + y -. En caso contrario no es posible obtener el límite del primer miembro a partir de los límites del segundo.

Cuando esto ocurre se dice que el cálculo del límite es indeterminado. Esta expresión no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación directa de los teoremas tal y como están enunciados es imposible. Los casos de indeterminación son los siguientes:

Racionales Exponenciales

k/0, /, 0·, -, 0/0 

1

,

0,

0

0

Si al calcular un límite se presenta alguno de estos casos, conviene transformar la expresión de la función en otra equivalente a la que sí puedan aplicarse los teoremas de los límites. Las indeterminaciones que vamos a estudiar este curso son las siguientes:

INDETERMINACIONES TIPOS

0

L

0

K

0

0

0

0

0

(+)-(+)  - 

(8)

OPERACIONES CON EXPRESIONES EN QUE APARECE

SUMA Y RESTA PRODUCTO

K





0

0

k

si

k

si

·

k

K





0

0

k

si

k

si

·

k

K





·



K





·



 





·



 





COCIENTE POTENCIA

0

k

k



 

1

0

0

1

k

si

k

si

k

0

0

0



 

1

0

1

0

k

si

k

si

k



0

0

0

si

k

k

si

k



0

0

0

k

si

k

si

k



0







0

0

(9)
(10)

CÁLCULO DE LÍMITES

Cálculo de límites de una función en un punto

El primer paso para calcular un límite es sustituir el número al que tiende x en la función. 1. El límite de una constante, en cualquier punto, es ella misma:

k

k

lim

a

x

2. El límite de una función polinómica, f(x)=P(x), cuando xa, coincide con P(a).

)

(

)

(

x

P

a

P

lim

a

x

Ejemplo:

3

3

2

5

2

3

3

·

2

2

5

8

12

5

1

2

x

x

lim

x

3. El límite de un cociente de polinomios, f(x)=P(x)/Q(x), cuando xa, coincide P(a)/Q(a) si P(a)0 y Q(a)0.

)

(

)

(

)

(

)

(

a

Q

a

P

x

Q

x

P

lim

a

x

Ejemplo:

5

3

25

15

2

3

3

·

2

3

2

2

3 2 3 2

3

x

x

x

lim

x 4. Indeterminación

0

0

a) La indeterminación 0/0 de funciones racionales desaparece descomponiendo en factores el numerador y el denominador y simplificando.

Ejemplos:



0

6

0

4

2

4

2

2

)

(

0

0

8

2

4

4

2 2 2 2 2

2

     

x

x

lim

x

x

x

lim

IND

x

x

x

x

lim

x x x

1

3

3

4

4

2

4

4

3

2

3

)

(

0

0

12

16

7

6

5

2 2 3 2 2 3 2 3 2 3

3

 

x

x

x

x

lim

x

x

x

x

x

x

lim

IND

x

x

x

x

x

x

lim

x x x

b) La indeterminación 0/0 de funciones con radicales desaparece multiplicando y dividiendo la función por la expresión radical conjugada.

Ejemplos:



 

5

·

1

2

2

1

2

1

·

5

2

1

·

2

1

)

(

0

0

5

2

1

2 2

5 5

5

x

x

x

lim

x

x

x

x

lim

IND

x

x

lim

x x x

4

1

2

1

1

)

(

0

0

2

1

·

5

5

5

5

x

x

IND

lim

x

x

lim

x x



 

2 2 2 2 2

(11)

2

1

1

2

1

1

)

(

0

0

2

1

1

·

2

2

2

x

IND

lim

x

x

x

lim

x x



 

2

5

3

9

5

3

5

2

3

5

3

5

)

(

0

0

2

3

5

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x

x

x

x

lim

x

x

x

x

x

lim

IND

x

x

x

lim

x x x



3

1

12

4

3

5

2

3

5

2

2

2

)

(

0

0

3

5

2

4

2 2 2 2 2 2 2

2

  

x

x

x

lim

x

x

x

x

x

lim

IND

x

x

x

x

lim

x x x

5. Indeterminación k/0

El caso k/0, k0, no suele tomarse como indeterminado ya que el límite, si existe, es siempre + ó -. Se calculan los límites laterales; si son iguales, la función tiene límite + ó -; en caso contrario no existe el límite.

Ejemplos:

No

existe

el

ite

x

x

lim

x

x

lim

IND

K

x

x

lim

x x x

lím

0

5

3

2

0

5

3

2

)

(

0

3

2

3 3 3







      

No

existe

el

ite

x

x

lim

x

x

lim

IND

K

x

x

lim

x x x

lím

0

6

2

2

0

6

2

2

)

(

0

2

2

2 2 2 2 2 2







      

6. La indeterminación - de funciones racionales desaparece efectuando la operación y reduciendo la diferencia a una única expresión.

Ejemplo:

1

7

4

5

4

2

1

x

x

x

lim

x

7. La indeterminación 0· se resuelve transformándolas en las de tipo 0/0.

Ejemplo:





  

1

4

1

1

)

(

0

0

1

4

·

1

)

(

·

0

1

4

·

1

1 2 1 2 1

x

x

x

x

lim

IND

x

x

x

lim

IND

x

x

x

lim

x x x

1



4

6

1

x

x

lim

x

EJERCICIOS

3.- Calcula los siguientes límites:

1)

3

3

2

4

5

3

x

x

x

lim

x 2)

4

4

7

3 5

1

x

x

lim

x 3)

3

1

2

0

x

lim

x 4)

 

2 1 x x

e

lim

 5)

1

3 1

x

x

lim

x 6)

lim

x3

x

5

7)

lim

x3

5

x

10

8) 2

2

x

x

e

(12)

9)

1

3 1

 

x

x

lim

x 10) 3

x

3

x

lim

x 11)

8

5

8

 

x

lim

x 12)

2

5

2

x

x

lim

x 13)

4

4

6

2 2

2

x

x

x

x

lim

x 14)

3

6

2 3

x

x

x

lim

x 15)

7

8

8

2

8

x

x

x

lim

x 16)

2



·

3

4

2

2

x

x

x

lim

x 17)

1

1

1

x

x

lim

x 18)

1

2

3

2

x

x

lim

x 19)

2

2

2

x

lim

x 20)

1

1

2

2 1

x

x

x

lim

x 21)

3

8

3

x

x

lim

x 22)

4

4

2 2

x

x

lim

x 23)

x

x

x

x

lim

x

2

3

1

2 3

3

1

 24)

x

x

x

x

x

lim

x

 3 2

2

0

2

Cálculo de límites en el infinito

1. El límite de un polinomio cuando x es  ó - según que el signo del coeficiente del término de mayor grado sea positivo o negativo.

2. Límites cuando x-

Se calculará el límite cuando x de la expresión que resulte de cambiar x por –x en la función.

Ejemplos:

a)

2

3

1

x

x

lim

x b)

3

1

2



x

x

lim

x c)

3

1

2

x

x

lim

x

d)

2

3

1



x

x

lim

x e)

3

1

3

x

x

lim

x f)

3

1

3



x

x

lim

x

g)

3

3

1

x

x

lim

x h)

3

1

3



x

x

lim

x

NOTA: No son indeterminaciones las siguientes expresiones:

0

1

;

;

k

·

k

0

,

k

;

 ;

0

1

 ;

0

0



; 



0

1

0

. 3. Indeterminación

La indeterminación

desaparece dividiendo numerador y denominador por la mayor potencia de x. ✓ Podemos dar la siguiente regla para hallar límites (x+) de funciones racionales:

...

...

)

(

)

(

mn

(13)

✓ También podemos resolverlos tomando únicamente los términos de mayor grado tanto del numerador como del denominador.

n m x n m x

bx

ax

lim

bx

ax

lim

   

...

...

Ejemplos:

2

1

0

0

2

0

0

1

6

4

2

4

3

1

)

(

6

4

2

4

3

3 3 2 2 3 3

   

x

x

x

x

lim

IND

x

x

x

x

lim

x x

2

1

0

2

1

0

0

1

2

1

2

1

)

(

1

2

2

2 4 3 2 2

   

x

x

x

lim

IND

x

x

x

lim

x x



    

3

5

(

)

3

3

3

5

2 2

x

lim

x

x

lim

IND

x

x

x

lim

x x x

3

(

)

3

1

0

2 3 2

    

x

lim

x

x

lim

IND

x

x

lim

x x x

2

3

2

3

)

(

6

2

1

5

3

2 2 2 2

   

x

x

lim

IND

x

x

x

lim

x x

4. La indeterminación -

a) La indeterminación - de funciones racionales desaparece efectuando la operación y reduciendo la diferencia a una única expresión.

Ejemplos:







  

1

·

2

5

4

1

5

3

·

1

4

5

2

·

3

4

5

2

1

5

3

1

3

2 3 2 2 2 3 2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

lim

x

x

x

x

x

x

lim

x x                                 

2 0 0 0

0 0 0 2 4 9 7 2 11 10 5 2 4 9 7 2 11 10 5 2 3 2 3 2 2 3 2 3 4 x x x x x x x lim x x x x x x x lim x x





 

2

3

2

2 4 2 3

x

x

x

x

lim

x

b) La indeterminación - de funciones con radicales desaparece multiplicando y dividiendo la función por la expresión radical conjugada.

Ejemplos:



0

1

1

2

1

1

1

1

·

1

1

1

1

    

x

x

lim

x

x

x

x

x

x

lim

x

x

lim

x x x



  

    

 2 2

(14)



   

1

1

·

1

2

1

1

·

1

2

x

x

x

lim

x

x

x

x

x

lim

x x



    

x

x

x

x

x

x

lim

x

x

x

x

x

x

x

x

x

lim

x

x

x

lim

x x x

2

5

4

4

5

4

2

5

4

2

5

4

2

5

4

2

5

4

2 2 2 2 2 2 2

4

5

4

5

2

2

5

2

4

5

2

     

x

x

lim

x

x

x

lim

x

x

x

lim

x x x

5. La indeterminación 0· se resuelve transformándola en una del tipo

.

Ejemplo:

1

·

3

0

·

(

)

3

(

)

1

2 2

2

       

x

x

lim

x

x

lim

IND

x

x

x

lim

IND

x

x

x

lim

x x x x

EJERCICIOS

4.- Calcula los siguientes límites:

1)

 

2

3

x

lim

x 2)

2

8

 

x

lim

x 3)

x

x

x

x

lim

x

2

7

2

8

4 3

 4)

x

x

lim

x

 

1

1

5)

2

2

1



x

x

lim

x 6)





 

x

x

x

lim

x

1

7)





 

1

2 2

x

x

x

lim

x 8) x

lim



x

x

1

9)

8

5

3

x

x

lim

x 10)

1

9

8

8

x

x

lim

x 11)

2

16

8

8

x

x

lim

x 12)

1

14

1

 

x

x

lim

x 13)

3

9

2 3

x

x

lim

x 14)

4

4

4

2 2 2

x

x

x

lim

x 15)

x

x

x

x

lim

x

5

5

3

2 3 0

 16)

5

125

3 5

 

x

x

lim

x

17)





4

2

4

x

x

lim

x 18)





5

5

5

5

x

x

lim

x 19)





4

3

25

2

5

x

x

lim

x 20)





0 2

x

x

lim

x

21)

5

7

3

3



x

x

lim

x 22)

5

7

1

2



x

x

lim

x 23) x

lim

4

x

5

x

3

3



 24)

2

4

4

2

3



x

x

lim

x 25)

2

5

2

 

x

lim

x 26)

3

5

3

4

3

2 2



x

x

x

x

lim

x 27)

2

8

1

6

3

5 5



x

x

x

x

lim

x 28)

x

x

x

x

lim

x

4

5

2

5

3

2 3

  29)

4

4

2

1

6

3 2



x

x

x

x

lim

x 30)

1

3

2

4 4

 

x

x

x

lim

x 31)

3

5

3

3

2 2



x

x

x

x

lim

x 32)

2

4

2

(15)

33)

3

3

3

 

x

x

lim

x 34)

x

x

lim

x

5

2



 35)

x

x

x

lim

x



 36) x

lim



x

x

1

37)

lim

x

x

x

2

38) x

lim



x

x

39) x

lim



x

3

x

1

40)

x

x

lim

x

1

41) x

x

e

lim

0

 42)

x

x

lim

e

 

 43)

x

x

lim



e

44)

x

x

lim



e

45) x

x

e

lim

0 46)

x

x

lim

e

 

 47)

x

x

lim

2

 48)

x

x

lim

  

2

49) x

x

lim

3

1

 50) x

lim

x

3

1

51)

3

2

1

2

  x

x

x

lim

52)

1

2

1

3

  x

x

x

lim

53)

x

x

x

x

lim

x

9

5

2

2

 

5.- Dada la función:

2

1

2

1

3

1

1

2

)

(

x

si

x

x

si

x

si

x

x

f

, calcula:

)

(

1

x

f

lim

x

)

(

1

x

f

lim

x

)

(

1

f

x

lim

x 2

(

)

x

f

lim

x

)

(

2

x

f

lim

x

)

(

2

f

x

lim

x

)

(

x

f

lim

(16)

ASÍNTOTAS

 Si

lim ( )

xa

f x

 

, aR, la recta x=a, es una asíntota

vertical. Para determinar si f(x) tiende a más o menos infinito, en x=a, habría que calcular los límites laterales y así determinamos la posición de la curva respecto a la asíntota. En las funciones racionales se busca en los valores de x que son raíces del denominador.

 Si

lim

f

x

b

x

(

)

, b

R, la recta y=b es

una asíntota

horizontal.

Asíntota horizontal a la izquierda

Asíntota horizontal a la derecha

Cálculo de asíntotas oblicuas:

Por ser una asíntota oblicua tendrá por ecuación y=mx+n, donde “m” indica la pendiente de la recta y “n” la ordenada en el origen. (m0 y m, n).

Los valores de “m” y “n” se obtienen calculando los siguientes límites:

x

x

f

lim

m

x

)

(

 

y

n

lim

f

x

mx

x

 

(

)

➢ Para estudiar la posición de la gráfica respecto de las asíntotas oblicuas y horizontales calculamos los límites cuando x de la diferencia entre la función y la asíntota. Si el resultado es positivo, la función está encima de la asíntota, y si es negativo, está debajo.

➢ Si una función tiene una asíntota horizontal, entonces no tiene asíntota oblicua.

Ejemplos:

• Dibuja la gráfica de una función f(x) que tenga los siguientes límites:



 1

(

)

x

f

lim

x

;



  1

(

)

x

f

lim

x

;

(

)

1

 

f

x

lim

x

;

x

lim



f

(

x

)

1

.

• La asíntota vertical de la función

2

)

(

x

x

x

f

es la recta x=2:







 

 

 

0

2

2

0

2

2

)

(

0

2

2

2 2 2

x

x

lim

x

x

lim

IND

x

x

lim

x x

(17)

• La asíntota horizontal de la función

x

x

x

f

2

1

3

)

(

es la recta

2

3

y

:

2

3

2

1

3



x

x

lim

x

2

3

2

1

3



x

x

lim

x

Posición de la gráfica respecto de la asíntota:

 

 

0

2

1

2

3

2

1

3

x

lim

x

x

lim

x

x

La gráfica está debajo de la asíntota.

 

 

0

2

1

2

3

2

1

3

x

lim

x

x

lim

x

x

La gráfica está encima de la asíntota.

• La asíntota oblicua de la función

2

3

6

8

3

)

(

2

x

x

x

x

f

es la recta y = x - 2:

1

2

3

6

8

3

2

3

6

8

3

2 2 2

  

x

x

x

x

lim

x

x

x

x

lim

m

x

x

2

2

3

6

6

2

3

6

8

3

2





  

x

x

lim

x

x

x

x

lim

n

x x

Posición de la gráfica respecto de la asíntota:

 

 





0

2

3

2

)

2

(

2

3

6

8

3

2

x

lim

x

x

x

x

lim

x

x

La gráfica está debajo.

 

 





0

2

3

2

)

2

(

2

3

6

8

3

2

x

lim

x

x

x

x

lim

x

x

La gráfica está encima.

Observaciones prácticas acerca de las asíntotas horizontales y verticales:

- Las funciones polinómicas tienen ramas infinitas, pero no tienen asíntotas horizontales y tampoco verticales.

- Las fracciones algebraicas tienen asíntota horizontal si el numerador y el denominador tienen el mismo grado. En ese caso, es la misma asíntota por la izquierda que por la derecha.

- Las fracciones algebraicas tienen tantas asíntotas verticales como raíces tenga el denominador, salvo que el numerador tenga alguna de esas raíces; en tal caso conviene, previamente, simplificar la fracción.

- Las expresiones con radicales pueden tener dos asíntotas horizontales.

(18)

EJERCICIOS

6.- Halla el dominio y las asíntotas de las siguientes funciones: 1)

1

2

)

(

x

x

f

2)

1

1

2

)

(

2

2

x

x

x

f

7.- Se ha observado que la población de una pequeña ciudad en la que sus habitantes están emigrando a la capital, se ajusta aproximadamente a la sucesión de término general:

n

a

n

3

2

, donde n es el nº de

años desde que se empezó la emigración y

a

n son los miles de habitantes para cada valor de n.

a) Calcula cuántos habitantes había para n=1. b) ¿Cuántos habitantes habrá para n=100? c) Calcula el límite de la sucesión cuando n .

d) Si se mantiene el ritmo de emigración que indica la sucesión, ¿qué ocurrirá al final? ¿Se quedará sin habitantes la ciudad?

8.- ¿Es posible que una función tenga dos asíntotas horizontales distintas? Si la respuesta es afirmativa, dibuja la gráfica de una función que lo cumpla. ¿Es posible que tenga tres asíntotas horizontales diferentes?

9.- Se adquiere una mercancía por un precio de 100 euros y se vende posteriormente por 200 euros. El tanto por ciento de beneficio sobre el precio de venta es entonces del 50 %, ya que la mitad es beneficio. Si se vende por 400 euros, el beneficio sobre la venta será del 75 %. Si se vende por x euros, ¿cuál es el tanto por ciento de beneficio f(x), en función del precio de venta? ¿Cuál es el límite cuando x  de f(x)?

10.- Al sacar un café de una máquina expendedora se observa que el líquido se encuentra a una temperatura elevada. Si se deja enfriar, llegará un momento en que su temperatura coincida con la temperatura ambiente. Se sabe que la función f(x) que da la temperatura del café, en grados

centígrados, es: x

e

x

f

0,2

70

21

)

(

 , donde x son los minutos transcurridos desde que se sacó el café

de la máquina.

a) Calcula la temperatura inicial a la que se encontraba el café al sacarlo de la máquina, es decir, su temperatura para x=0.

b) ¿A qué temperatura estará el café cuando hayan transcurrido 10 minutos? (Utiliza la calculadora).

c) Calcula el límite de f(x) cuando x tiende a infinito, mediante valores elevados de x. ¿Cuál es la temperatura ambiental?

11.- Dibuja la gráfica de una función que tenga los límites siguientes:

5

)

(

2

f

x

lim

x ;



2

(

)

x

f

lim

x ;

2

)

(

 

f

x

lim

x ; x

lim



f

(

x

)

2

. ¿Qué asíntotas tiene?

12.- Dibuja la gráfica de una función que tenga los límites siguientes:

7

)

(

3

f

x

lim

x ;



3

(

)

x

f

lim

x ;





f

(

x

)

lim

x ; x

lim



f

(

x

)

1

. ¿Qué asíntotas tiene?

Figure

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