Documento complementario 1 Notación cientifica y otros

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(1)

UNIVERSIDAD PONTIFICIA BOLIVARIANA

ESCUELA DE INGENIERIA – CENTRO DE CIENCIAS BÁSICAS

DOCUMENTO COMPLEMENTARIO 1

(Material tomado con fines estrictamente educativos)

depa.fquim.unam.mx/.../apoyo%20didactico%20roman%20tejeda.doc

Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Química

Docente compilador: William Alexander Torres Zambrano

N

OTACIÓN

C

IENTÍFICA

En nuestros cursos de física (o química), vamos a encontrarnos muy frecuentemente con números muy grandes o muy pequeños, por ejemplo: el número de Avogadro es 602 000 000 000 000 000 000 000 moléculas/mol, la carga eléctrica de un electrón es: 0.000 000 000 000 000 000 16 C, como se ve es muy difícil escribirlos, leerlos y más aún, operar con ellos. Para salvar esta dificultad se acostumbra emplear notación científica, ésta se basa en potencias de 10 y las leyes de los exponentes, que a continuación se desarrollan:

Por definición:

101 = 10 102 = 10 x 10 103 = 10 x 10 x 10 104 = 10 x 10 x 10 x 10

10n = 10 x 10 x 10... x 10 n veces.

La expresión 10n se lee 10 a la potencia n, 10 es la base y n es el exponente.

Dados los números m y n donde m y n pueden ser enteros, fraccionarios, positivos, negativos o cero se cumple:

(1)

Es decir para multiplicar potencias de 10 basta con sumar los exponentes.

También se cumple

(2)

Es decir, para dividir potencias de 10 basta restar la potencia del denominador de la potencia del numerador.

(2)

(3)

Es decir, para elevar a la potencia n al número 10m, basta con multiplicar las potencias m y n.

Para aplicar las reglas dadas, sin ambigüedades, establezcamos:

entonces, (4)

Se establece también, como definición que:

(5)

Con lo asentado hasta el momento podemos expresar cualquier número decimal, grande o pequeño como potencia de 10.

Resolvamos algunos ejemplos:

(3)

Para escribir un número decimal en notación científica, inspeccione el número de izquierda a derecha, cuando encuentre el primer dígito distinto de cero, desplace el punto decimal hasta la derecha de ese dígito y tendrá a.

Para encontrar m, cuente el número de dígitos (incluidos los ceros) que se recorrió el punto decimal y tendrá m. Si recorrió el punto hacia la izquierda el signo de m será positivo. Si recorrió el punto hacia la derecha, el signo de m será negativo.

Ejemplos:

Ejercicios:

Usando las expresiones (1) a (5) resuelva:

Escriba en notación científica los números:

(4)

R

EGLAS GENERALES PARA LA ESCRITURA DE LOS SÍMBOLOS DE LAS UNIDADES DEL

S

ISTEMA

I

NTERNACIONAL

(S.I.)

1. Los símbolos de las unidades deben expresarse en caracteres romanos, en general minúsculos, con excepción de los símbolos derivados de nombres propios, para los cuales deben utilizarse caracteres romanos mayúsculos.

Por ejemplo: m; cd; K; A

2. Al final de los símbolos de las unidades no debe colocarse punto.

Por ejemplo: m; kg; s; K

3. Los símbolos de las unidades no deben pluralizarse.

Por ejemplo: 1 kg; 50 kg; 1.0m; 15.0 m

4. Para indicar el producto de dos o más unidades, preferentemente, debe usarse el punto como signo de multiplicación. Este punto puede suprimirse cuando la falta de separación de las unidades que intervienen en el producto, no cause confusión.

Por ejemplo: N.m; Nm; m.N; pero no mN que se confunde con milinewton.

5. Las unidades derivadas, formadas por el cociente de dos unidades, se pueden denotar utilizando una línea inclinada, una línea horizontal, o bien potencias negativas.

Por ejemplo:

(5)

Por ejemplo:

7. Los múltiplos y submúltiplos de las unidades, se forman anteponiéndoles los prefijos correspondientes a los símbolos de sus nombres; con excepción de la unidad de masa, para lo cual los prefijos se anteponen al símbolo de “gramo”.

Por ejemplo: dag; mg; Mg; pero no kKg

8. Los símbolos de los prefijos deben imprimirse en caracteres romanos (rectos), sin espacio entre el símbolo del prefijo y el símbolo de la unidad.

Por ejemplo: mN; pero no m N

9. Si un símbolo que contiene a un prefijo, está elevado a una potencia, significa que el múltiplo o el submúltiplo de la unidad, está elevado a la misma potencia.

Por ejemplo: 1cm3 = (10-2m)3 = 10-6m3 1cm-1 = (10-2m)-1 = 102m-1

10.Los prefijos compuestos deben evitarse.

Por ejemplo: 1.0 nm; pero no 1.0mm

Tomado de: “Norma oficial mexicana”, Secretaría de Patrimonio y Fomento Industrial, D.G.N.

1981.

(6)

Se acostumbra definir a los números exactos como “aquellos que provienen del proceso de contar”, tal aseveración es cierta en general, pero hagamos algunas aclaraciones. Si en un salón de clases contamos el número de alumnos y éste es de 25, estamos ciertos que ese número es exacto pues no existen fracciones de personas, la precisión de ese número es infinita y podemos escribir el número con tantos ceros a la derecha del punto decimal, como sean nuestras necesidades. Sin embargo, no siempre podemos “contar” colecciones de objetos, por su propia naturaleza. Por ejemplo, el censo de población del Distrito Federal hecho en 1990 afirma que había 15,981,736 personas, este dato ¿es exacto?, ¿lo fue en algún instante?, para un demógrafo seguramente carece de importancia de exactitud, posiblemente le baste el dato “aproximadamente 16 millones”. Por otro lado, si quisiéramos saber el número de moléculas de NaCl en un litro de solución 1 molar ¿podríamos contarlas? es evidente que no, podemos calcular el número de moléculas, esta es una colección de objetos que aun cuando es susceptible de contarse (en principio), representa obstáculos muy difíciles de salvar. Tenemos otros números que son exactos como por ejemplo e, , , escritos en esa forma son exactos, no deben confundirse con las aproximaciones decimales que de ellos hacemos, por ejemplo, por ejemplo, es la razón de la circunferencia de un círculo a su diámetro en tanto que 3.1416 es una aproximación decimal que hacemos de él. es un número exacto en tanto que 1.4142 es una aproximación decimal que hacemos.

Cómo vemos, estamos tratando con dos tipos de números, los exactos y los aproximados, éstos últimos pueden provenir también de dos fuentes principales, de mediciones o de cálculos matemáticos.

Con respecto a las mediciones sabemos que ninguna puede ser hecha con precisión infinita, el resultado de una medición es, estrictamente hablando, una estimación, por ejemplo, si usamos una balanza con sensibilidad de décimas de gramo y en ella medimos una masa que resulta ser mayor que 9.3 g pero menor que 9.4 g tendremos que estimar en cuanto excede a 9.3g. Supongamos que usando el sentido común y la inspección asignamos 9.35g a la medida, es claro que el dígito 5 representa una estimación ya que no fue medido exactamente, en tanto que los dígitos 9 y 3 sí son exactos ya que fueron medidos.

Podemos ahora establecer una regla general. Todos los dígitos del resultado de una medición son exactos, excepto el último que representa una estimación.

En nuestro ejemplo, no podemos escribir el resultado de la medición como 9.350g, esto significaría que 9.3 y 5 son exactos y que estimamos 0, con esto estamos estableciendo una regla. Al escribir el resultado de una medición el número debe indicar la precisión de la medida.

(7)

Si de algún modo se hubiera hecho la medición y se tuviera un error diferente al máximo error, esto se expresa explícitamente, por ejemplo , en este caso el error es de 0.02g y no de 0.005g.

P

RECISIÓN Y EXACTITUD

Los conceptos precisión y exactitud poseen diferentes significados en las ciencias experimentales. En el lenguaje común son sinónimos.

En ciencia consideramos a una medida como precisa cuando la determinamos con errores aleatorios pequeño, en tanto que una medida será exacta si la determinamos con errores sistemáticos pequeños. Para aclarar estas declaraciones consideremos un ejemplo:

Supongamos que contamos con dos relojes, uno de ellos, que denominaremos A, tiene sensibilidad de décimas de segundo (es decir, puede medir hasta 0.1s), el otro reloj, que llamaremos B, puede medir hasta minutos. Si consultamos periódicamente “la hora” y comparamos con el valor que informa el observatorio astronómico nacional, que denotaremos N, encontramos los siguientes valores:

Reloj 1ª lectura 2ª lectura 3ª lectura 4ª lectura 5ª lectura

A 10h 02’

15.5’’ 10h 17’ 10.3’’ 10h 32’ 9.8’’ 10h 47’ 7.5’’

11h 02’ 3.5’’

B 11h 58’ 12h 13’ 12h 29’ 12h 44’ 13h 01’

N 12h 12h 15’ 12h 30’ 12h 45’ 13h

Podemos concluir que A es más preciso que B ya que los errores aleatorios son pequeños (del orden de 0.05s). Pero A es menos exacto que B puesto que los errores sistemáticos son grandes (del orden de 2 horas).

Sobre la base de este ejemplo podemos afirmar que hay cuatro tipos de medidas que son:

a) Exactas y precisas. b) Exactas y no precisas. c) No exactas y precisas. d) No exactas y no precisas.

(8)

Algunos autores definen a la exactitud de una medida, como la razón entre el error máximo y el valor de la medida, esta definición si bien ha probado ser satisfactoria en algunos casos, presenta serias dificultades en al menos dos casos claros:

a) Cuando la medida es cero.

b) Al medir algunas variables intensivas y expresar la medida en diferentes escalas produce diferentes exactitudes, por ejemplo, suponga que midió 25.0+ 0.5°C con un termómetro graduado en celcius y luego expresa su medida en Kelvin, es claro que su nuevo valor es 298.2+0.5K, la exactitud calculada para la medida expresada en celcius es , en tanto que la exactitud para su

medida expresada en Kelvin es , es evidente que la exactitud debe ser la misma independientemente de la escala empleada para determinar la medida.

C

IFRAS SIGNIFICATIVAS

Como vimos en la sección anterior, distinguimos entre dos tipos de números, los exactos y los aproximados. Los números exactos tienen un infinito de cifras significativas, entendiendo por éstas a aquellos dígitos que sirven para expresar la precisión de un número, exceptuando a los números que sólo sirven para ubicar al punto decimal. Los números aproximados tienen un número finito de cifras significativas. A continuación trataremos de caracterizar a las cifras significativas:

i. Todos los dígitos diferentes de cero son significativos. ii. El cero colocado entre dígitos significativos es significativo. iii. Los ceros que suceden al punto decimal son significativos.

iv. En números menores que 1 los ceros que suceden al punto decimal no son significativos (sólo determinan la posición del punto).

v. Los ceros a la derecha de un entero que se escriben para determinar la posición del punto decimal, no son significativos.

La importancia de un dígito significativo depende de su colocación en el número. El primer dígito significativo de izquierda a derecha, es el más significativo, el último dígito de izquierda a derecha es el menos significativo.

Ejemplos:

En 0.000205 tenemos 3 cifras significativas, el 2, el cero entre el 2 y el 5 y el 5. Los 3 primeros ceros no son significativos ( sólo sirven para ubicar el punto decimal). El 2 es el dígito más significativo, el 5 es el dígito menos significativo.

(9)

En 0.03140 tenemos 4 cifras significativas que son 3, 1, 4 y el último cero ( el cero indica la precisión del número), el dígito más significativo es el 3, el menos significativo es el cero.

En 125000, tenemos 3 cifras significativas que son 1, 2, 5. Los tres ceros sólo sirven para ubicar el punto decimal. El dígito más significativo es el 1 y el menos significativo es el 5.

En este último ejemplo parece que no siempre tenemos posibilidad de saber de manera unívoca cuando los ceros finales son significativos. Para evitar ambigüedades seguiremos la regla para escribir números en notación científica. “Al escribir un número en notación científica todos los dígitos en que se exprese a serán significativos“(recordar que se escribe ax10m) así pues, en el número 1.25000x105 todos los dígitos son significativos.

R

EDONDEO

Si para evaluar el área de un círculo conocemos el radio, podemos usar la conocida fórmula A=r2, donde A es el área y r es el radio. El número (en su expresión decimal) es 3.1415926... . Si tuviéramos r con tres cifras significativas no resultaría conveniente ni práctico conservar 8 o 10 cifras significativas de , para ello usamos el artificio conocido como redondeo, es decir, quedarnos con las primeras m cifras significativas y desechar las n restantes. Para el efecto procederemos de la siguiente manera:

Observamos el primer dígito eliminado, si este dígito es 0, 1, 2, 3 ó 4 se retiene el dígito anterior sin cambiar en la aproximación. Si el primer dígito es 5, 6, 7, 8, ó 9 se incrementa en uno el dígito anterior en la aproximación.

Ejemplo:

Si redondeamos el número 7.654321 a tres cifras significativas, observamos que el primer dígito a eliminar es el 4. Siguiendo la regla de redondeo, debemos conservar como última cifra significativa al 5, es decir, el número 7.654321 redondeado a tres cifras significativas es 7.65.

Si quisiéramos redondear el mismo número 7.654321 a dos cifras significativas, el primer dígito a eliminar es el 5 por lo que aumentaríamos en una unidad el número anterior. Por lo tanto, 7.654321 redondeado a dos cifras significativas es 7.7.

Esta regla de redondeo pudiera no satisfacer al lector muy exigente, sin embargo, es consistente con la afirmación de que el error máximo en un número aproximado es igual a un medio del valor siguiente al menor en que está expresado. Aclarando, el número aproximado 7.65 se entiende que está comprendido entre 7.645 y 7.655, es decir, si x=7.65 se cumple que 7.645<x<7.655 y por lo tanto para toda x comprendida en este intervalo, al redondear obtenemos 7.65.

(10)

O

PERACIONES MATEMÁTICAS CON NÚMEROS APROXIMADOS

Cuando realizamos cálculos matemáticos con números aproximados obtenemos, por razón lógica, un número aproximado. La precisión del resultado depende de la precisión de los números involucrados. Para proceder convenientemente, observamos las siguientes reglas, para los casos de suma o diferencia.

i. Redondear todos los números aproximados a una cifra decimal más de las que contenga el número de menor precisión.

ii. Redondear el resultado de la operación al mismo número de cifras decimales que tenga el número de menor precisión.

Ejemplo:

Sumar 7.65, 2.3456, 5.678 y 3.2.

Solución:

El número menos preciso es 3.2, por lo que redondeamos los restantes a centésimas:

Sumamos:

Redondeamos el resultado como 18.9.

Ejemplo:

Sustraer 3.1416 de 5.28

Solución:

(11)

Restamos:

Redondeamos el resultado a centésimas que es la precisión del número menos preciso, obteniendo 2.14.

Para el caso del producto y el cociente las reglas son las siguientes:

i. Redondear todos los números de manera que tengan una cifra significativa más que el número de menor precisión.

ii. Redondear el resultado al mismo número de cifras significativas que tenga el número de menor precisión.

Ejemplo:

Multiplicar 2.34567 por 3.4.

Solución:

Redondeamos el primer número a tres cifras significativas ya que el otro factor tiene dos cifras significativas.

2.35x3.4=7.99

Redondeamos el resultado a dos cifras significativas:

Resultado 8.0.

Ejemplo:

Multiplicar 7654.321 por 0.000012.

Solución:

El número menos preciso es 0.000012 ya que sólo tiene dos cifras significativas, por lo que redondeamos el otro factor a tres cifras significativas.

7.65x103x1.2x10-5=0.0918

Redondeamos el resultado a dos cifras significativas:

(12)

Ejemplo:

Dividir 0.065432 entre 0.2.

Solución:

El número menos preciso es 0.2 ya que sólo tiene una cifra significativa, por lo que redondeamos el otro factor a dos cifras significativas.

0.065/0.2=0.325

Redondeamos el resultado a una cifra significativa:

Resultado 0.3.

Ejemplo:

Realizar la operación

Solución:

El número de menor precisión es 0.43 (tiene dos cifras significativas).

Redondeamos todos los restantes a tres cifras significativas:

Redondeamos el resultado a dos cifras significativas:

Resultado 39.

Ejemplo:

Resolver:

Solución:

(13)

Redondeamos el resultado a dos cifras significativas:

Resultado 9.3x10-4.

Ejemplo:

Para calcular el volumen de una esfera usamos la fórmula geométrica V=(4/3)r3. Si tuviéramos el caso en que r=3.21 nos veríamos en el caso en que:

V= (1.3333...)(3.141592...)(3.21)3

Siguiendo nuestras reglas, redondeamos a cuatro cifras significativas:

V=(1.333)(3.142)(3.21)3

V=(1.333)(3.142)(33.1)=138.63

Redondeamos el resultado a tres cifras significativas:

Resultado 139.

I

NCERTIDUMBRE

(14)

longitud en el otro extremo. Al informar el valor de la longitud debemos tener claro que hacemos una declaración del resultado de una operación humana por lo tanto no podemos afirmar, por ejemplo, “la longitud de la hoja es de 30 centímetros”, más correctamente podríamos declarar “hemos medido la hoja de papel y obtenemos un resultado de 30 centímetros”.

Los valores que obtenemos siempre estarán sujetos a la evaluación de otras personas como pueden ser nuestros colegas, el jefe, el cliente, etc. Por lo tanto, surge de inmediato el concepto de confianza o confiabilidad del valor que obtuvimos, es decir, ¿quien lo reciba, deberá creerlo?. Es evidente que tan sólo por el hecho de ser “un profesional”, nuestro valor ya infunde una cierta confianza, pero, enfoquemos el asunto desde otro punto de vista. Si nosotros recibimos el valor nos podríamos preguntar ¿lo hizo un ingeniero cuidadosamente y significa que la hoja mide 30.000000 cm? o ¿lo hizo un estudiante descuidado y significa que la hoja tiene una longitud comprendida entre 29 y 31 cm?. Es evidente que tales cuestiones aparecen cuando publicamos un valor y tendrá mayor o menor importancia dependiendo de quien lo vaya a usar, por ejemplo, si un panadero necesita medir 500g de harina, le será un “buen valor” una cantidad comprendida entre 450 y 550g pero si es un químico el que va a agregar 0.5mg de un reactivo a un medicamento, posiblemente no le sirva ni siquiera un valor de 0.5 +2% mg ya que resulta impreciso para sus necesidades.

Por lo anterior debemos convencer a otras personas de la utilidad de nuestro resultado experimental. Esto puede lograrse si para el efecto le damos, además del valor, un intervalo de confianza, por ejemplo, “hemos medido la longitud de la hoja y encontramos el valor 29.95 con 95% de confianza de que se encuentra entre 29.90cm y 30.00cm”.

La explicación anterior podría llevarnos al otro extremo, también indeseable, podría nuestro estudiante descuidado ponerle imaginación a la acción de medir e informar que la longitud de la hija es de 29.993141168 cm pero ¿quién le creería?

Por lo tanto, debemos dar una descripción detallada y completa de nuestro experimento, informando nuestros valores tan cuidadosamente como sea posible.

Debe resultarnos claro que la confianza que tenemos en una medida y la cercanía de los límites que damos para la incertidumbre están en relación inversa. Si, por ejemplo, nos dicen que la longitud de la hoja está entre 29.5cm y 30.5cm tenemos más confianza que si nos dicen que la longitud está entre 29.995cm y 30.005cm.

Hemos hablado de incertidumbre en una medida pero aun no decimos como calcularla. Debemos tener presente que las fuentes de perturbación de las medidas son muy amplias, se ha pretendido catalogarlos en diferentes categorías tales como paralaje, calibración de instrumentos, de observación, etc. Por lo que a nosotros respecta, nos interesa agruparlos en sólo dos categorías que son:

Incertidumbre aleatoria

(15)

Incertidumbre sistemática

Se refiere a una perturbación que influencia a todas las medidas de una cantidad particular en la misma proporción. Es decir, ocurre en un solo sentido y es ocasionado por el sistema de medición.

Sin embargo estas definiciones deben tratarse con sumo cuidado ya que un conjunto de lecturas mostrará realmente un error aleatorio sólo si existe un gran número de pequeñas influencias perturbadoras.

También aparecerán como aleatorios algunos errores sistemáticos que al cambiar la forma de medir invierten el sentido de la incertidumbre.

A continuación trataremos de catalogar algunos errores que ocurren comúnmente en la experimentación.

Ruido.

En un experimento pueden haber varios factores que afecten la medida final que pretendemos, como pueden ser: las fluctuaciones de la línea de voltaje, las vibraciones de los soportes de los instrumentos, las variaciones de la temperatura, etc. El experimentador deberá reducirlos al valor mínimo, pero siempre quedará “un valor residual”, éste claramente será aleatorio.

Incertidumbre de origen personal

Estos pueden ser de los dos tipos, por ejemplo, una persona que presiona el botón de paro de un cronómetro y siempre lo hace tarde, cometerá un error sistemático en tanto que si está leyendo el valor en un vernier y las condiciones de luz son pobres, por lo general cometerá un error aleatorio.

Calibración del instrumento.

Por lo general, un instrumento que no está calibrado introducirá errores de tipo sistemático. Sólo puede evitarse si tenemos posibilidad de comparar con instrumentos standard. Algunos instrumentos son susceptibles de calibrarse ya que tienen interconstruidos estándar de comparación como algunos potenciómetros. En general, serán difíciles de identificar salvo en los casos más simples como una regla corriente de madera donde a simple vista se observa que las rayas de los milímetros no están igualmente espaciadas, o el caso de una balanza que sin carga, el fiel indica un valor distinto de cero y se puede corregir tarando la balanza, tenemos también el caso de un ohmetro que al unir sus puntas no indica cero (por lo general tienen interconstruido un circuito de ajuste), etc.

(16)

Algunos autores discrepan de que este sea un error, más bien lo califican como una equivocación ya que en algunos casos es evitable. Para evitarlo debemos colocarnos perpendicularmente al instrumento y procurar que éste se encuentre a la altura de nuestros ojos. Algunos instrumentos de aguja ya incluyen entre ésta y la escala una sección de espejo. Para evitar errores de paralaje debemos cuidar que la aguja y su imagen en el espejo coincidan. Si a pesar de nuestros cuidados lo cometemos, éste será aleatorio.

Sensibilidad de escala.

Aun el instrumento más fino y preciso en el cual se lee en una escala, ésta estará limitada ya que se divide en intervalos finitos, por ejemplo, leer en una regla graduada en milímetros nos limita a aproximar nuestra lectura a milímetros y conlleva una incertidumbre mínima de la mitad de la división más pequeña de la escala. Existe por supuesto, la posibilidad de interpolar visualmente entre las divisiones más pequeñas de una escala, pero esta acción depende fuertemente del intervalo no dividido, por ejemplo, si el intervalo no dividido de una regla fueran centímetros, podríamos estimar con cierta facilidad los milímetros, pero estimar décimas de milímetro puede no ser tan fácil. En cualquier caso, una estimación exacta es muy difícil de hacer.

Incertidumbre de instrumentos digitales.

Si al leer la pantalla de un instrumento digital obtuviéramos el valor 2.1846V estaríamos conviniendo que el valor de la diferencia de potencial medida se encuentra entre los valores 2.18455 y 2.18465 y por lo tanto, el intervalo de incertidumbre en la lectura es +0.00005V alrededor de 2.1846V. Esta no es una incertidumbre determinada estadísticamente, es una forma de declarar que conocemos el valor del voltaje con cuatro cifras decimales.

De nuestra discusión sobre errores podemos concluir:

Independientemente de las fuentes que los producen, siempre podremos identificarlos como aleatorios o sistemáticos, en cuyo caso procederemos de la siguiente forma:

Si detectamos errores sistemáticos debemos corregirlos “a priori”, si esto no es posible, debemos tenerlos en cuenta para corregir nuestros resultados, en cuyo caso aparecerán como incertidumbre del resultado final.

(17)

Por lo que respecta al término confiabilidad, este puede tipificarse mediante conceptos como “desviación típica” o “curvas de distribución”, temas que se salen del alcance de estas notas*.

P

ROPAGACIÓN DE INCERTIDUMBRE

Por lo general, en el laboratorio no realizamos mediciones directas, salvo en algunos casos simples. En la mayoría de los casos, medimos al menos dos magnitudes (comúnmente más) para obtener una tercera. Si como sabemos, cualquier magnitud obtenida en el laboratorio (excepto cuando contamos) está afectada por la incertidumbre, es decir, damos un intervalo en donde nuestra medida está comprendida, es válido preguntarnos ¿qué ocurre con las incertidumbres cuando operamos matemáticamente con ellas?

Para mayor entendimiento del problema, planteo la siguiente situación:

Usted necesita determinar con precisión la superficie de la mesa de trabajo, la cual es rectangular entonces mide el largo x y el ancho y de la mesa para proceder a multiplicarlos. Sin importar por el momento el método seguido, usted determinó las magnitudes como sigue:

Largo =x + x = 3+0.3m

Ancho = y + y = 2+0.2m

La superficie está dada según la geometría elemental como:

* Véase Experimentation: An introduction to measuremente theory and experimental design. D.C. Baird, Prentice Hall Inc.

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Superficie = S = (largo)(ancho)

Es claro que la superficie que obtenemos mediante el producto, estará afectada por un valor de incertidumbre ya que S + S = (x + x)(y +y)

Pero ¿cómo obtenemos el valor S?, el objeto de esta sección es dar solución a este problema y a todos los que surjan de operar matemáticamente con cantidades afectadas de incertidumbre. El tema lo conoceremos como propagación de incertidumbre.

Sea Z = X + Y (1)

Donde X e Y son magnitudes experimentales y Z es una cantidad que obtendremos de sumar X e Y. Calculamos la incertidumbre en Z, misma que llamaremos Z.

Entonces

(2)

(2)

Suponga que los valores numéricos son los que dimos en el ejemplo de la mesa, es decir:

X + X = 3+0.3m

Y + Y = 2+0.2m

Entonces, Z podrá tomar los valores

con lo que:

Si tomamos como válido el valor superior estamos siendo pesimistas y valuando en poco nuestro trabajo, significa creer que siempre estamos cometiendo errores en el mismo sentido.

(19)

cantidades afectadas de incertidumbre, ésta desaparezca, eso es crear un número exacto a partir de dos que no lo son. Por lo tanto no podemos restar incertidumbres.

Al parecer estamos en la encrucijada de dos caminos poco convenientes. En otro curso se da salida a este problema, por el momento nos quedamos con el valor menos malo, el primero, este si bien es pesimista, al menos nos da el criterio de máximo error posible, el que por sí es útil.

Entonces Z = X + Y = incertidumbre absoluta de Z

La incertidumbre absoluta es una magnitud que siempre tiene dimensiones, en nuestro caso Z = 0.5m ya que X = 0.3m y Y = + 0.2m.

Cuando requerimos comparar el valor de incertidumbre con la cantidad medida, calculamos la relación Z/Z a la cual denominaremos incertidumbre relativa o incertidumbre fraccional.

En nuestro ejemplo, claramente se ve que la incertidumbre relativa es

una cantidad adimensional ya que Z tendrá siempre las mismas unidades que Z.

Se acostumbra también, indicar la incertidumbre como una fracción porcentual, ésta está dada por

Analicemos ahora el caso de una diferencia:

(4) (5)

(6)

(7)

Nótese que la incertidumbre absoluta en el caso de la suma y en el caso de la diferencia son numéricamente iguales, sin embargo su significado es diferente, para que lo visualice resuelva el siguiente problema:

Considere los valores X + X = 3+0.3m y Y + Y = 2+0.2m.

Calcule la incertidumbre porcentual en Z para los casos:

a) Z = X + Y b) Z = X – Y

(20)

Sea (8)

(9) (10)

Si queremos que nuestro trabajo experimental sea aceptable, hemos de exigir siempre que:

X < X y Y < Y

con lo que XY<<XY

En nuestro único ejemplo numérico

0.3m < 3.0m y 0.2m < 2.0m

por tanto (0.3m)(0.2m) << (3m)(2m)

0.06m2 <<6m2

De donde podemos establecer: siempre que en un desarrollo matemático aparezca un producto de incertidumbres o una incertidumbre elevada a una potencia superior a uno, lo consideraremos despreciablemente pequeño y lo tomaremos como cero.

Volviendo a nuestro problema

y como nunca vamos a restar incertidumbres

Incertidumbre absoluta (11)

Si queremos la incertidumbre relativa dividimos ambos lados de la última ecuación entre Z.

Incertidumbre relativa (12)

Es claro que, hasta el momento hemos supuesto que Z es una función de dos variables X e Y. Si suponemos Z como función de más de dos variables, los resultados serán análogos.

(21)

Ejercicio

Suponga Z = f(X, Y, W) y obtenga las incertidumbres relativas para los casos de suma, resta y producto.

Analicemos el caso de un cociente:

(13)

(14)

usando las leyes de los exponentes

(15) (16)

Este último desarrollo surge de aplicar la expansión del binomio de Newton*.

Como todos los términos restantes del desarrollo también serán cero. Por tanto:

(17)

(18)

Nuevamente aparece un producto de incertidumbres

(19)

Restando Z en ambos lados

(20)

Pero acordamos que en ningún caso restaríamos las incertidumbres por lo que cambiaremos el signo para ser consistentes.

* Véase: Álgebra y trigonometría con geometría analítica, Earl W. Swokowsky. Grupo Editorial Iberoamérica, México

(22)

Incertidumbre absoluta (21)

Para calcular la incertidumbre relativa, dividimos entre Z ambos miembros de (21)

Incertidumbre relativa (22)

Pasemos a ver el caso de elevar a una potencia cualquiera una variable experimental.

Sea Z = kXN (23)

Donde estamos incluyendo a la constante absoluta k, es decir, k es un número sin incertidumbre.

(24)

(25)

El desarrollo (25) muestra términos como (X)2, (X)3, etc, que sabemos son despreciablemente pequeños, por lo tanto:

(26)

Restando Z en ambos lados:

Incertidumbre absoluta (27)

Para obtener la incertidumbre relativa, dividimos entre Z ambos lados de (27)

(28)

Supongamos ahora una relación exponencial

(30)

(23)

Hacemos cero las incertidumbres elevadas a potencias superiores a 1

con lo que

(32)

restando Z en ambos lados de (32)

Incertidumbre absoluta (33)

Incertidumbre relativa (34)

Es muy frecuente que en nuestro trabajo experimental nos aparezcan funciones trigonométricas, veamos el caso del SenX.

Sea Z=SenZ (35)

(36)

Como: (37)**

Hemos supuesto que X es pequeña comparada con X, en particular, si:

(37-b)***

Con estas aproximaciones

(38) (39)

Como Z=SenX por hipótesis:

Incertidumbre absoluta (40)

Incertidumbre relativa (41)

Veamos ahora el caso del coseno:

Sea Z=CosX (42)

* * Véase Introducción al cálculo y al análisis matemático, Vol. I, Courant y John, Limusa, México, 1982.

** Véase Geometría razonada y trigonometría F. Zubieta R. Edición del autor, México 1965.

(24)

(43)

Como: (44)**

Con las aproximaciones (37-b) tenemos:

(45) (46)

Como Z=CosX por hipótesis:

Incertidumbre absoluta (47)

Incertidumbre relativa (48)

Tenemos entonces una colección de fórmulas que nos permiten calcular la propagación de incertidumbre para la mayoría de los casos, estas expresiones las hemos resumido en la tabla siguiente y que sirven como referencia.

Operación

Hipótesis IncertidumbreAbsoluta IncertidumbreRelativa

Suma Z = X + Y

Diferencia Z = X - Y

Producto Z = X . Y

Cociente Z = X/Y

Potenciación Z = kXN

Funciones

(25)

Exponencial

Seno X

Coseno X

Usando la tabla anterior resuelva los siguientes problemas:

1. Se desea cercar un terreno triangular cuyas medidas son X+X=30+0.5m; Y+Y=40+0.8m; W+W= 50+0.6m. ¿Cuál es la longitud de la cerca y cuál su incertidumbre absoluta y porcentual?

2. Se cuenta con un flexómetro de 15m de largo, al medir con él se introduce una incertidumbre del 2.0%. Si queremos cortar 5.0m de una viga que mide 8.0. ¿Cuál es la longitud del trozo sobrante?

3. Queremos medir por desplazamiento de agua el volumen de un cuerpo irregular, para ello agregamos 10+0.5mL de agua en una probeta. Al introducir el cuerpo a la probeta leemos un volumen igual a 16+0.5mL. ¿Cuál es el volumen del cuerpo?

4. Se desea conocer la superficie de una mesa rectangular, las medidas de sus lados son son X+X= 3+0.3m; Y+Y= 2+0.2m. ¿Cuál es la superficie de la mesa?

5. Si la masa de una muestra de cobre es 9+0.4g y el volumen de dicha muestra es 3+0.5cm3. ¿Cuál es el valor de la densidad de la muestra?

6. Se mide en el laboratorio la arista de un cubo de madera encontrándose el valor a+a=3+0.5cm, ¿cuál es el valor de la superficie total de dicho cubo?

7. Al inicio de un experimento (t=0), tenemos una masa M0 de una sustancia radiactiva, con el tiempo esta masa decrece de acuerdo a la expresión

donde a=0.01s-1 y t representa al tiempo. Si al medir el tiempo transcurrido encontramos el valor t+t=1+0.2s, ¿con qué incertidumbre porcentual conocemos la masa M?

(26)

9. Un cuerpo de masa m+m=50+0.5g descansa sobre un plano inclinado un ángulo

=45°+0.1° en el laboratorio de física donde la aceleración normal de la gravedad es g=9.8m/s2 (exacto). ¿Cuál es la incertidumbre con que determinamos la fuerza normal de reacción que el plano hace sobre el cuerpo?

A

NÁLISIS

G

RÁFICO

Casi siempre que realizamos una investigación acerca de un fenómeno que ocurre en la naturaleza, nos vemos obligados a desarrollar de manera sistemática, una serie de acciones conducentes a resolver el problema. Entre otras, podemos mencionar:

1. Observación del fenómeno. 2. Planteamiento de la hipótesis.

3. Desarrollo de un modelo experimental. 4. Selección de equipo.

5. Determinación de las variables significativas del problema. 6. Establecimiento del intervalo de validez de los resultados. 7. Ejecución del experimento, dentro del cual se significan:

i. Tomar y anotar los datos experimentales. ii. Interpretar los resultados experimentales. 8. Contrastar las hipótesis.

9. Anotar las conclusiones. 10.Elaborar un informe.

Entre otras actividades vamos a desglosar, por su importancia, el punto 7 (ejecución del experimento).

De todas las variables que intervienen en el fenómeno, mediante procedimientos experimentales vamos a mantener a todas, excepto dos variables, constantes. Las dos variables que elegimos serán sujetas a experimentación, de ellas una recibe el nombre de variable independiente, es la que nosotros controlamos, la restante es la variable dependiente.

(27)

“tabla de valores”. Es recomendable, antes de desmontar el dispositivo experimental, hacer una representación gráfica de nuestros valores, esto nos permitirá observar desviaciones significativas de algún punto con lo que podremos repetir esos datos hasta quedar satisfechos.

Al obtener la tabla de valores hemos concluido la fase “manual” de nuestro trabajo. A partir de los valores obtenidos, realizamos una representación gráfica, para ello seguimos las siguientes reglas sencillas:

i. La gráfica deberá realizarse en papel impreso específicamente para el efecto, como puede ser: milimétrico, logarítmico, semilogarítmico, polar, probabilístico, etc.

ii. Dibuje los ejes coordenados en su gráfica, indicando el sentido de crecimiento de los mismos mediante puntas de flecha.

iii. Indique con claridad la variable que representa en cada eje así como las unidades con que midió los valores.

iv. Escoja escalas convenientes. Esto lo logra dividiendo la longitud de su hoja entre el intervalo de variación de la variable y, aproximando la mínima división de la gráfica a los números, 1, 2, 5 ó 10. No use números como 3, 7, 9, 11 ó 13. v. Represente mediante líneas trazadas a escala, las incertidumbres de sus

puntos experimentales. De arriba abajo para las ordenadas y de izquierda a derecha para las abcisas.

vi. Una los puntos mediante curvas suaves (sin discontinuidad en la derivada). Esta curva representa una predicción de los posibles valores de las variables para puntos no medidos experimentalmente.

vii. No incluya la tabla de los valores experimentales en la gráfica. viii. No haga el análisis escrito en la gráfica.

ix. Sólo represente un fenómeno en cada gráfica (excepto cuando pretenda un comparativo).

Una vez obtenida la gráfica debemos obtener una relación analítica entre las variables, esto en general lo podemos lograr con facilidad cuando la gráfica es una línea recta. Basta con encontrar los valores de m y b en la ecuación:

(1)

Para encontrar el valor de la pendiente “m” en la ecuación de la recta tomamos dos puntos arbitrarios (no experimentales) tan separados como sea posible, sustituyendo sus coordenadas en la expresión analítica:

(2)

(28)

Si al graficar en papel milimétrico obtenemos una curva debemos buscar un cambio de variable que nos produzca una recta.

Para ello procedemos como sigue:

1. Hacer una gráfica en papel logarítmico. Si obtenemos una recta, estamos seguros que nuestras variables cumplen con una relación de potencias del tipo:

(3)

Esto lo afirmamos porque al haber obtenido una recta en papel logarítmico sabemos que:

(4)

y como (5)

(6)

además (7)

(8)

Se cumple que (9)

(10)

como existe la función inversa (11)

entonces, para escribir la relación de potencias (11) calculamos la pendiente m de la recta y la ordenada al origen c. 2. Hacer una gráfica en papel semilogarítmico, cuidando de representar en el eje de las ordenadas (logarítmico) a la serie de valores que tenga un mayor índice de crecimiento, quedando el eje de las abcisas (divisiones equidistantes) para la variable restante. Si obtenemos una recta, afirmamos que nuestras variables cumplen con una relación exponencial del tipo: (12)

Es claro que al haber obtenido una recta, se cumple que: (13)

usando (7) (14)

(15)

como (16)

(17)

(29)

(18) multiplicando por c

(19)

en resumen vamos a manejar sólo tres tipos de relaciones matemáticas que son:

i. Lineal

ii. De potencias iii. Exponencial

(30)

El análisis dimensional es un método que nos permite encontrar en muchos casos, la forma general de las ecuaciones que describen un fenómeno natural. Se basa en la premisa de que el fenómeno puede ser descrito por una ecuación dimensionalmente homogénea, entre ciertas variables. Ha demostrado ser útil en el campo de estudio de la mecánica de fluidos y las teorías de transferencia de calor y es aplicable a casi todos los campos de la ingeniería.

La generalidad del método constituye su eficacia y sus limitaciones ya que nos permite encontrar con cierta facilidad una solución parcial a casi cualquier problema, pero, por otro lado no nos permite obtener una solución completa ni nos revela el mecanismo interno de un fenómeno. En un problema dado, nos permite hacer una reducción notable del número de variables.

Para aplicar el método deberemos utilizar el concepto de dimensión física, este concepto fue creado por J.C. Maxwell y lo simbolizó como denotado fuerza, tiempo, masa, longitud y temperatura, respectivamente. Estos conceptos fuerza, masa, longitud, etc. Son las entidades abstractas que el científico utiliza en sus razonamientos. Para cada una de ellas existe una unidad de medida. Cuando formamos un conjunto de propiedades físicas independientes y para cada una de ellas asignamos una forma de medirlas y por lo tanto una unidad de medida, decimos que hemos construido un sistema de medidas; los sistemas de medidas empleados más comúnmente son los denotados cgs, mks, British mass, American Engineering y otros. Cuando se considera a la masa como fundamental, el sistema se denomina Sistema-masa, en tanto si se considera a la fuerza como fundamental, el sistema se denota como Sistema-fuerza.

En la actualidad se pretende usar un solo sistema de unidades que es el sistema internacional (SI), mismo que considera a la masa, longitud, tiempo, temperatura, cantidad de materia, corriente eléctrica e intensidad luminosa como fundamentales, siendo estas medidas en las unidades Kg, m, s, K, mol, A y cd, respectivamente. Toda otra propiedad física diferente de las mencionadas, tendrá unidades que pueden expresarse como combinaciones de algunas de las fundamentales. Las reglas para simbolizar las unidades correctamente se dan al final de estas notas.

Las dimensiones de las propiedades físicas no fundamentales son combinaciones de las fundamentales. Por ejemplo, la velocidad tiene dimensiones , la aceleración tiene dimensiones , la fuerza tiene dimensiones , etc. La dimensión de una variable arbitraria Z es , si la variable es adimensional la representaremos así .

A continuación se incluye una tabla con las dimensiones de las propiedades más comunes.

Propiedad

Dimensiones

(31)

Masa Tiempo

Fuerza Velocidad Aceleración Velocidad angular Aceleración angular

Ángulo Temperatura Densidad de masa

Presión Energía, trabajo Ímpetu, impulso

Potencia Torca Coeficiente de viscosidad dinámica

Coeficiente de viscosidad cinemática Módulo de elasticidad Momento de inercia

Corriente eléctrica Tensión superficial Constante elástica

Claramente, hemos considerado un sistema-masa ya que en la tabla precedente, las dimensiones de la fuerza son . Se deja al lector la tarea de construir una tabla similar para un sistema fuerza.

Como antes se dijo, el análisis dimensional se basa en la suposición de que la solución de un problema es expresable por medio de una ecuación dimensionalmente homogénea. Vamos a entender que una ecuación es dimensionalmente homogénea si y sólo si todas las variables x, a, b, c, ..., tienen las mismas dimensiones.

(32)

ecuación diferencial que gobierna el fenómeno, entonces conocemos las variables significativas.

E

L TEOREMA DE

B

UCKINGHAM

E. Buckingham estableció un teorema que es parte medular del análisis dimensional, se le conoce como teorema de Buckingam o teorema  y puede expresarse como a continuación:

“Si una ecuación es dimensionalmente homogénea, esta puede ser reducida a una relación

entre un conjunto de productos adimensionales.”

Buckingham estableció la regla de que el conjunto completo de productos adimensionales en un problema es igual al número total de variables menos el número de dimensiones fundamentales.

Esta regla mostró no ser infalible. En 1946 E.R. Van Driest la modificó y lo que estableció puede ser demostrado con rigor matemático.

“El número de productos adimensionales en un conjunto completo es igual al número total de variables menos el máximo número de esas variables que no forman un producto adimensional.”

Para construir el conjunto completo de productos adimensionales de un problema vamos a proceder así:

i. Escribir las variables del problema en un renglón.

ii. Escribir en una columna las dimensiones fundamentales involucradas.

iii. Escribir en la intersección de las columnas y los reglones las potencias de las dimensiones.

El arreglo así formado recibe el nombre de matriz dimensional de las variables.

Ejemplo:

Suponga que las variables del problema son: densidad de masa , aceleración de la gravedad g, superficie S, masa m, altura h, tiempo t.

Las dimensiones de las variables son:

El arreglo pedido sería:

(33)

M 1 0 0 1 0 0

L 0 2 0 -3 1 1

T 0 0 1 0 -2 0

iv. Calculamos el rango de la matriz de acuerdo con la siguiente definición.

“Si una matriz contiene un determinante de orden , diferente de cero y si todos los determinantes de orden mayor que que contiene

la matriz son iguales a cero. El rango de la matriz es .”

En nuestro ejemplo el rango es 3 ya que, tomando las 3 últimas columnas tenemos:

v. El número de productos adimensionales es igual al número total de variables menos el rango de la matriz adimensional.

En nuestro ejemplo 6-3=3.

Si el rango de la matriz es menor que el número de renglones podemos afirmar que los renglones de la matriz son linealmente dependientes.

vi. Cualquier producto  de las variables consideradas tendrá la forma independientemente de los valores de las k’s, la dimensión de  es:

Usando las leyes de los exponentes, podemos agrupar:

Y como buscamos que sea adimensional, entonces los exponentes de deberán ser cero por lo tanto:

Cualquier solución del sistema de ecuaciones es un conjunto de exponentes en un producto adimensional.

Nótese que cada ecuación es un renglón de la matriz adimensional.

(34)

Por ejemplo:

Si hacemos k1 = 1; k2 = k3 = 0 obtenemos:

K4 = -1; k5 = 0; K6 = -3

Si hacemos k1 = 0; k2 = 1; k3 = 0 obtenemos:

K4 = 0; k5 = 0; K6 = -2

Si hacemos k1 = 0; k2 = 0; k3 = 1 obtenemos:

K4 = 0; k5 = 1/2; K6 = -1/2

Si arreglamos nuestros resultados, tenemos:

k1 k2 k3 k4 k5 k6

m s tg h

 1 0 0 -1 0 -3

 0 1 0 0 0 -2

 0 0 1 0 1/2 -1/2

Constituyendo cada renglón un producto adimensional.

(35)

sean las variables W, X, Y, Z con las dimensiones que se indican.

k1 k2 k3 k4

W X Y Z

M 3 2 1 0

L 1 2 3 4

T 5 2 -1 -4

Todos los determinantes de orden 3 de la matriz, son cero.

En tanto que, existe al menos un determinante de orden 2 distinto de cero:

Por lo tanto, el rango de la matriz es 2 y el número de productos adimensionales que forman un conjunto completo es número de variables menos rango de la matriz, es decir 4-2=2.

Eliminando el primer renglón, obtenemos:

K1 + 2k2 + 3k3 + 4k4 = 0

5k1 + 2k2 – k3 – 4k4 = 0

tenemos un sistema de dos ecuaciones y cuatro incógnitas, que como sabemos, está indeterminado. Dando valores a dos de las incógnitas obtenemos soluciones, que forman un conjunto completo de productos adimensionales. Por ejemplo:

Sean k1 = 1 y k2 = 0

Obtenemos k3 = -3 y k4 = 2

O bien, sean k1 = 0 y k2 = 1

Obtenemos k3 = -2 y k4 = 1

Ordenando los resultados obtenidos llegamos a:

k1 k2 k3 k4

W X Y

(36)

 0 1 -2 1

Entonces, el conjunto completo de productos adimensionales es:

y

Una manera alternativa de encontrar un producto adimensional particular (fórmula) es la siguiente:

Si conocemos a priori las variables que intervienen en un fenómeno físico, planteamos como obligatoria la homogeneidad dimensional y por álgebra elemental calculamos los exponentes de las variables involucradas.

Ejemplo:

Supóngase que lanzamos un proyectil de masa m, con velocidad v, formando un ángulo  con la horizontal, en un campo donde la aceleración de la gravedad es g y queremos encontrar el alcance del lanzamiento.

Proponemos que el alcance es una función de todas las variables mencionadas, es decir:

para encontrar de manera explícita esta funcionalidad, aceptamos que la expresión que buscamos es dimensionalmente homogénea, es decir, proponemos que la expresión:

sea dimensionalmente homogénea.

Introducimos una constante arbitraria (adimensional) para establecer una ecuación

(37)

Como la ecuación es dimensionalmente homogénea, las dimensiones a la izquierda del signo igual serán las mismas que las dimensiones a la derecha del signo igual, es decir:

Con lo que podemos establecer 3 ecuaciones algebraicas, una para cada cantidad fundamental:

Resolviendo encontramos los valores

a = 0; b = 2; c = -1

Nuestro resultado es:

lo que finalmente nos da:

Es decir, por el análisis dimensional encontramos que el alcance del lanzamiento es independiente de la masa del proyectil, depende del ángulo de lanzamiento en una forma que desconocemos e incluye una constante adimensional que el método no proporciona.

Analicemos, por último, un segundo ejemplo.

Considere una cuerda con densidad lineal de masa , sujeta a una pared en uno de sus extremos y a la cual se le ejerce una tensión F en el otro extremo. Por dicha cuerda se hace pasar una onda que se propaga con velocidad v. ¿Cómo depende la velocidad de la tensión y la densidad lineal?

(38)

Las dimensiones involucradas son:

La ecuación en dimensiones resulta ser:

Las ecuaciones algebraicas son:

Resolviendo, tenemos:

a = ½; b = - ½

Por lo tanto:

Figure

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Referencias

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