–  Resolución de problemas con cálculos de áreas

Página 237

M

1. Conociendo la altura del edificio, a = 108 m, y la distancia que hay desde P a su base,

d = 45 m, podemos calcular la longitud, l, del cable tendido desde P hasta la azotea. Halla la longitud l.

a

d _P

l

l 2 _{= a} 2 _{+ d} 2 _{→ l = 108}2₊₄₅2 _{= 117 m}

2. Un fajo de 200 folios tiene un grosor de 24 mm. Calcula el grosor de cada folio.

El grosor de cada folio es de 24 : 200 = 0,12 mm.

M

3. Intenta hallar las áreas de todas estas figuras del modo más eficaz: razonando, descompo-niendo y recompodescompo-niendo, …

1

3

4

5

6

1 → Área = 7 · 5 = 35 cuadraditos 2 → Área = 12 + 24 + 4 + 6 = 46 cuadraditos 3 → Área = 35 cuadraditos 4 → Área = 20 cuadraditos

5 → Área = 28 cuadraditos 6 → Área = 38 cuadraditos 7 → Área = 75 cuadraditos

1

35 cuadraditos

35 cuadraditos 28 cuadraditos

38 cuadraditos

75 cuadraditos 10 cuadraditos

46 cuadraditos

3

4

5

6

7 2

1

Medidas en los cuadriláteros

Página 238

Cálculo mental 1.

Di el área y el perímetro de este rectángulo:

A = 4 · 2,5 = 10 cm2 P = 2,5 · 2 + 4 · 2 = 13 cm

4 cm 2,5 cm

Cálculo mental 2.

¿Cuál es el lado de este cuadrado cuya área conocemos? ¿Y su perímetro?

l 2 = 81 → l = 81 = 9 cm P = 9 · 4 = 36 cm81 cm

2_l?

Cálculo mental 3.

Halla el área y el perímetro de este paralelogramo:

A = 10 · 3,2 = 32 cm2

P = 4 · 2 + 10 · 2 = 28 cm3,2 cm 4 cm

10 cm

Y ahora que ya conoces el área, ¿sabrías calcular la otra altura? Es decir, la distancia entre los otros dos lados.

Como el área es 32 cm2_{, podemos decir que}

32 = 4 · a → a = 32 = 8 cm.₄

a

4 cm

10 cm

1. Calcula el perímetro y el área de un salón rectangular de dimensiones 6,4 m y 3,5 m.

Perímetro = 2 · 6,4 + 2 · 3,5 = 19,8 m Área = 6,4 · 3,5 = 22,4 m2

2. Mide las dimensiones de una página de este libro. ¿Cuántos metros cuadrados de papel se necesitan para hacer el libro completo, sin contar las tapas?

3. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado de 225 cm2 _{de área?}

225 = l 2 _{→ l = 225 = 15 cm}

El lado del cuadrado mide 15 cm.

4. Halla la altura de un rectángulo de 47 m2 _{de superficie y 4 m de base.}

47 = a · 4 → a = 47 = 11,75 m₄

La altura mide 11,75 m.

a

4 m 47 m2

5. Halla el área y el perímetro de estos dos paralelogramos. Observa que, aunque el segun-do es un rombo, su área se puede calcular como la de un paralelogramo cualquiera.

Romboide: Área = 6 · 4 = 24 m2

Perímetro = 2 · 6 + 2 · 5 = 22 m Rombo: Área = 5 · 4 = 20 m2

Perímetro = 5 · 4 = 20 m

4 m

4 m 6 m

5 m 5 m

Página 239

Cálculo mental 1.

• Las diagonales de un rombo miden 6 cm y 10 cm. ¿Cuál es su área?

Área = ·26 10 = 30 cm2_{. El área del rombo es 30 cm}2_.

• La diagonal de un cuadrado mide 4 dm. ¿Cuál es su área?

Área = ·24 4 = 8 dm2_{. El área del cuadrado es 8 dm}2_.

Cálculo mental 2.

Las bases de un trapecio miden 13 cm y 7 cm. Su altura, 10 cm. ¿Cuál es su área?

Área = (13 7 10+₂) · = 100 cm2_{. El área del trapecio es 100 cm}2_.

6. Halla el área y el perímetro de las siguientes figuras:

a) b) c) d)

24 m 5 m

11 m 13 m 13 m

25 m 20 m

23 m 13 m

28 m

43 m 37 m

14,4 m

16 m

24 m

a) Área = 24 16 = 192 m₂· 2 _{b) Área = (} ) ·

2

28 43 20+ _{= 710 m}2

Perímetro = 4 · 14,4 = 57,6 m Perímetro = 28 + 20 + 43 + 25 = 116 m

c) Área = (23 37 11+₂ ) · = 330 m2 _{d) Área = 24 · 5 = 120 m}2

Perímetro = 2 · 13 + 23 + 37 = 86 m Perímetro = 4 · 13 = 52 m

7. Una parcela cuadrangular tiene dos lados paralelos de longitudes 37,5 m y 62,4 m. La distancia entre esos lados paralelos es 45 m.

¿Cuál es la superficie de la parcela?

Área = ( ,37 5 62 4 45+ ₂ , ) · = 2 247,75 m2

El área de la parcela es 2 247,75 m2_.

8. Las diagonales de un rombo miden 37 cm y 52 cm. Halla su área.

Área = 37 52 = 962 cm₂· 2

9. La diagonal de un cuadrado mide 15 cm.

Halla su área. (Recuerda, el cuadrado es, también, rombo).

Área = 15 15 = 112,5 cm₂· 2

El área del cuadrado es 112,5 cm2_.

10. ¿Verdadero o falso?

I

II

El área del ala-delta de la figura I se puede hallar calculando el área del rombo rojo (fi-gura II), restándole el área del rombo verde y dividiendo la diferencia por 2.

2

Medidas en los triángulos

Página 240

Cálculo mental.

Halla el área de este triángulo:

5 m

6 m

Área = ·26 5 = 15 m2

El área del triángulo es 15 m2_.

1. Halla el área de estos triángulos:

13 m

20 m

a) b)

240 m 50 m

a) Área = 20 13 = 130 m₂· 2 b) Área = 240 50 = 6 000 m₂· 2

2. De un triángulo rectángulo, conocemos los tres lados: c = 18 cm, c' = 24 cm y h = 30 cm. a) Calcula su área.

b) ¿Cuánto mide la altura sobre la hipotenusa?

a) Área = 18 24 = 216 cm₂· 2

b) Área = h · altura ₂ → 216 = 30 · altura ₂ → altura = 14,4 cm

3. Halla el área de un triángulo equilátero de 40 m de lado y 34,64 m de altura.

Área = 40 34 64 = 692,8 m· ,₂ 2

El área del triángulo es 692,8 m2_.

4. ¿Verdadero o falso?

En las siguientes figuras, se ve que el área de un triángulo es igual al área de un rectángu-lo con su misma altura y la mitad de su base.

3

Medidas en los polígonos

Página 241

Cálculo mental.

Halla el área y el perímetro de este cuadrilátero irregular. Observa que se puede descom-poner en dos triángulos rectángulos.

Área triángulo pequeño = ·23 4 = 6 m2

Área triángulo grande = 12 5 = 30 m₂· 2

Área cuadrilátero = 6 + 30 = 36 m2

Perímetro cuadrilátero = 4 + 12 + 13 + 3 = 32 m 4 m

3 m

13 m

12 m

5 m

1. Calca este polígono en tu cuaderno, continúa descomponiéndolo en triángulos y toma en ellos las medidas necesarias para calcular sus áreas. Halla, así, el área total.

1,7 cm

4 cm

1,4 cm

2,7 cm

1,7 cm 4 cm

2,7 cm

1,4 cm

2,7 cm

2,3 cm 2,3 cm

2,8 cm

2,1 cm

2. En el hexágono regular, la longitud del lado es igual a la longitud del radio de la circun-ferencia circunscrita.

Dibuja un hexágono regular cuyo lado tenga una longitud l = 4 cm. Mide su apotema y comprueba que es de, aproximadamente, 3,5 cm. Calcula su área.

Área = · · ,6 4 3 5 = 42 cm₂ 2 4 cm

3,5 cm _{4 cm}

3. El lado de un octógono regular mide 15 cm, y su apotema 18,9 cm. Halla su área.

Área = ·8 15 18 9 = 1 134 cm₂· , 2

4. Calcula el área de la siguiente figura:

60 m 20 m

12 m

Área 1 = 60 · 12 = 720 m2

Área 2 = Área 3 = Área 4 = 20 8 = 80 m₂· 2

Área figura = 720 + 3 · 80 = 960 m2 60 m

20 m

8 m

12

m

2 3

1

4

5. ¿Verdadero o falso?

a) En los polígonos irregulares, no se puede calcular el área. Si acaso, aproximadamente. b)

Con estas dos figuras se ve que si un triángulo equilátero y un hexágono regular tienen el mismo perímetro, entonces el área del triángulo es 3/4 de la del hexágono.

a) Falso. El área de un polígono irregular se puede calcular descomponiendo el polígono en triángulos y calculando el área de cada uno.

4

Medidas en el círculo

Página 242

1. Halla la superficie y el perímetro del recinto coloreado.

20 m 40 m

Área = π · 402 _{– π · 20}2 _{= 1200π≈ 3 769,9 m}2

Perímetro = 2π · 40 + 2π · 20 = 120π≈ 376,99 m

2. Calcula el perímetro y el área de esta figura:

40 m

Área = ·π ₂202 – π · 102 _{= 100π≈ 314,16 m}2

Página 243

3. ¿Verdadero o falso?

a) El valor de π es tanto mayor cuanto más grande sea la circunferencia sobre la que ac-túa.

b) Cuando tomamos para π el valor 3,14, lo estamos haciendo de forma aproximada.

a) Falso. El número pi siempre es el mismo número. b) Verdadero.

4. Halla el área y el perímetro de esta figura:

210° 4 dam

Área = ·π₃₆₀42 · 210 = 9,3π≈ 29,32 dam2

Perímetro = 2 4 · 210 + 4 + 4 ₃₆₀π· ≈ 22,66 dam

5. Halla la longitud de un arco de circunferencia de 10 cm de radio y 40° de amplitud.

Longitud del arco = 2 10 · 40 π₃₆₀· ≈ 6,98 cm

6. Calcula el área y el perímetro de esta figura:

90°

5 cm

2 cm

Área = ·π₃₆₀52 · 90 – π₃₆₀·22 · 90 ≈ 16,49 cm2

Perímetro = 2 5 · 90 + ₃₆₀π· 2 2₃₆₀π· · 90 + 3 + 3 ≈ 17 cm

7. Calcula el área de un sector circular de 20 cm de radio y 30° de amplitud.

5

El teorema de Pitágoras para el cálculo de áreas

Página 244

1. La diagonal de un rectángulo mide 65 cm, y uno de sus lados, 33 cm. Halla su área.

x = 652 –332= 3 136 = 56 cm Área = 33 · 56 = 1 848 cm2

x

33 cm 65 cm

2. El lado de un rombo mide 97 m, y una de sus diagonales, 144 m. Halla su área.

x = 972 –722₌ 4 225 _{= 65 m} La otra diagonal del rombo mide: 2 · 65 = 130 m

Área = 144 130 = 9 360 m₂· 2 x

97 m 72 m

144 m

3. En un trapecio rectángulo, las bases miden 45 m y 30 m, y el lado oblicuo, 17 m. Halla su área.

x = 172 –152₌ 64 _{= 8 m}

Área = 45 30₂+ · 8 = 300 m2 17 m

30 m

x

45 m

15 m

4. Halla el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden 8,3 m y 10,7 m, y el otro lado, 3,7 m.

x = ,3 72–1 2, 2₌ 12 25, _{= 3,5 m} Área = ,8 3 10 7+₂ , · 3,5 = 33,25 m2 3,7 m

1,2 m

x

Página 245

5. Halla el área de un triángulo equilátero de lado 15 cm.

a = 152–7 5, 2₌ 168 75, _{≈ 13 cm} Área = 15 13 = 97,5 cm₂· 2

15 cm

7,5 cm

a

6. Halla el área de un hexágono regular de 37 cm de lado.

37 cm

a = 372–18 5, 2₌ 1 026 75, _{≈ 32,04 cm} Área = ·6 37 32 04 = 3 556,44 cm· ,₂ 2 18,5 cm

a _{37 cm}

7. Halla el área de un pentágono regular de radio 21 cm, y apotema, 17 cm.

x = Mitad del lado → x = 212–172₌ 152 _{≈ 12,33 cm} l = 2 · 12,33 = 24,66 cm

Área = · ,5 24 66 17 = 1 048,05 cm₂ · 2 x

21 cm

17 cm

8. En una circunferencia de radio 29 cm trazamos una cuerda de 29 cm. Halla el área del triángulo con base en esta cuerda y vértice opuesto en el centro de la circunferencia.

x = 292–14 5, 2= 630 75, ≈ 25,11 cm Área triángulo = 29 25 11 · ,₂ ≈ 364,1 cm2

x

Ejercicios y problemas

Página 246

Áreas y perímetros de figuras sencillas

Halla el área y el perímetro de cada una de las figuras coloreadas en los siguientes ejercicios:

1. a) b)

5 dm 4 cm 2 cm 5 cm

8 cm

a) A = 52 _{= 25 dm}2 _b)

A = ·28 2 = 8 cm2 P = 5 · 4 = 20 dm P = 8 + 5 + 4 = 17 cm

2. a) b)

8 m 17 m

15 m 5 m

a) A = π · 52_{≈ 78,5 dm}2 _{b) A =} ·

2

15 8 = 60 m2 P = 2π · 5 ≈ 31,4 dm P = 15 + 8 + 17 = 40 m

3. a) 5 dm b)

11 dm

7 dm 9,2 dm 5 mm

10 mm

a) A = 211 5+ · 7 = 56 dm2 _{b) A = 10 · 5 = 50 mm}2

P = 11 + 9,2 + 5 + 7 = 32,2 dm P = 2 · 10 + 2 · 5 = 30 mm

4. a) b)

15 hm

28 hm 6 cm

18 cm 9,5 cm

5,4 hm

a) A = 18 6 = 54 cm₂· 2 _{b) A =} · ,

2

28 5 4 = 75,6 hm2

5. a) b)

30 mm

57 mm

30,4 mm

47 mm 2,1 cm

3 cm

a) A = 47 57₂+ · 30 = 1 560 mm2 _{b) A = · · ,}

2

5 3 2 1 = 15,75 cm2

P = 57 + 47 + 2 · 30,4 = 164,8 mm P = 5 · 3 = 15 cm

6. a) b)

4 dam

6 km

5 dam

9 dam

a) A = 9 · 4 = 36 dam2 _{b) A = ·}π

23

2

≈ 14,13 km2

P = 2 · 9 + 2 · 5 = 28 dam P = 2 3 + 6 π₂· ≈ 15,42 km

7. a) b)

7,2 cm 6 cm

12 cm

20 cm 15 cm

36 cm 43 cm

a) A = · · ,8 6 7 2 = 172,8 cm₂ 2 _{b) A =}

2

43 36+ _{· 12 = 474 cm}2

P = 8 · 6 = 48 cm P = 36 + 20 + 43 + 15 = 114 cm

8. Averigua cuánto mide la altura de un rectángulo de 40 m2 _{de superficie y 5 m de}

base.

a = 540 = 8 m

La altura del rectángulo mide 8 m.

5 m 40 m2 _a

9. Halla el área de un trapecio cuyas bases miden 12 cm y 20 cm, y su altura, 10 cm.

A = 12 20₂+ · 10 = 160 cm2

El área del trapecio es 160 cm2_.

11. Los lados de un triángulo rectángulo miden 15 dm, 8 dm y 17 dm. Calcula su área y la altura sobre la hipotenusa.

A = 15 8 = 60 dm₂· 2

60 = 17₂· ah → a_{h = 17}120 ≈ 7,06 dm

15 dm 17 dm 8 dm _a

h

12. Calcula el área y el perímetro de un hexágono regular de 6 mm de lado y 5,2 mm de apotema.

A = · · ,6 6 5 2 = 93,6 mm₂ 2 P = 6 · 6 = 36 mm

Medir y calcular áreas y perímetros

En cada una de las siguientes figuras coloreadas, halla su área y su perímetro. Para ello, ten-drás que medir algún elemento (lado, diagonal, radio…):

13. a) b)

3 cm 1,5 cm

a) A = 9 cm2 _{b) A = 7,07 cm}2

P = 12 cm P = 9,42 cm

14. a) b)

3 cm

2,6 cm 2 cm

3,5 cm

15.

c)

a) 1,8 cm b)

3 cm

2,2 cm

4,9 cm

2,3 cm

h

3,5 cm

3 cm 2,5 cm

a) A = 5,28 cm2 _{b) A = 7,7 cm}2

P = 9,5 cm P = 11,6 cm

c)

a) 1,8 cm b)

3 cm

2,2 cm

4,9 cm

2,3 cm

h

3,5 cm

3 cm 2,5 cm

c) h = 32–1 5, 2 _{≈ 2,6 cm} A = · ,3 2 6 = 3,9 cm₂ 2

Página 247

Áreas y perímetros menos sencillos

Halla el perímetro y el área de las figuras coloreadas en los siguientes ejercicios:

16. a) b)

54 m

40 m 49 m

31 m

35 m 37 m

6 dam

24 dam

6 dam

6 dam

7 cm 120°

8 mm

e)

c) d) 5 m

2,5 m

a)

54 m

40 m 49 m

26 m 31 m

35 m 5 m

5 m

37 m

42 m

A = 42 · 31 + 54 · 40 – 52 _{= 3 437 m}2

P = 54 + 40 + 49 + 26 + 42 + 31 + 37 + 35 = 314 m

b) 6 dam

24 dam

6 dam

6 dam 18 dam

12 dam

A = 6 · 18 + 6 · 12 = 180 dam2

d) A = ·π₃₆₀82 · 120 ≈ 66,97 mm2

P = 2 8 · 120 + 8 + 8 ₃₆₀π· ≈ 32,75 mm e) A = 5 · 5 = 25 m2

P = 2 · π · 2,5 · 2 ≈ 31,4 m

17.

5 cm 4 cm 3 cm

13 cm

A = 52 _{+ 4}2 _{+ 3}2 _{– (} ) ·

2

5 4 3 5+ + _{= 20 cm}2

P = 13 + 5 + 1 + 4 + 1 + 3 + 3 = 30 cm

18. a) b)

15 m

8 m

10 m

7,1 m

7,9 m 3,5 m

a) A = π · 152 _{– π · 8}2_{≈ 505,54 m}2 _{b) A = 10}2 _{– , ·}

2

14 2 7 = 50,3 m2

P = 2π · 15 + 2π · 8 ≈ 144,44 m P = 10 · 4 + 7,9 · 4 = 71,6 m

19. a) b)

3 km

9,9 km

4 km

A A ^

= 60°

— AB = 10 m — AC = 8,7 m

B C

a) A = ·7 7₂ – π·₄32 ≈ 17,43 km2 _{b) A = · ·}

2

2 8 11 · 5 = 440 cm2

P = · ·2 π₄ 3 + 4 + 4 + 9,9 ≈ 22,61 km P = 2 · 8 · 5 = 80 cm

20. a) b)

1 m

c) d)

7 mm

5 m

10 m

8 m

a) A = · ,π 1 5₄ 2 – π·₄12 ≈ 0,98 m2

P = 2 1 5π₄· , + 2 1π₄· + 0,5 + 0,5 ≈ 4,92 m

b) A = ·7 5₂ + π·₄52 ≈ 37,12 hm2

P = · ·2 π₄ 5 + 8,6 + 5 + 7 ≈ 28,45 hm c) A = 72 _{– π · 3,5}2_{≈ 10,53 mm}2

P = 7 · 4 + 2π · 3,5 ≈ 49,98 mm d) A = 10 · 5 = 50 m2

Para calcular el lado oblicuo utilizamos la otra altura del paralelogramo.

A = 50 m2 _{= b · 8 →}

b = 850 = 6,25 m P = 2 · 6,25 + 2 · 10 = 32,5 m

21. Halla el área de la parte coloreada sabiendo que el diámetro de la circunferencia grande es de 6 cm.

Radio circunferencia grande: R = 3 cm Radio circunferencias pequeñas: r = 1 cm A = π · 32 _{– 7 · π · 1}2 _{= 2π≈ 6,28 cm}2

22. Toma las medidas que necesites para calcular el área y el perímetro de cada figura:

a) b)

c)

a) b) 1,6 cm

1,6 cm

1,7 cm

3 cm

1,5 cm

3,1 cm 60º

0,5 cm 1,8 cm

A = 7,8 cm2 A = · , ·π 1 8 120₃₆₀2 – π· , ·0 5 120₃₆₀2 = 3,13 cm2

P = 11,1 cm P = 2 1 8 120π· , ·₃₆₀ + 2 0 5 120π· , ·₃₆₀ + 1,3 + 1,3 = 7,41 cm

c)

αα αα α

6 cm 0,5 cm

A = π · 32 _{– 2} π· · π· , ·

3603 36 – 0 5 36360

2 2

e o = 22,77 cm2

Página 248

Áreas y perímetros utilizando el teorema de Pitágoras

En cada una de las siguientes figuras coloreadas, halla su área y su perímetro. Para ello, ten-drás que calcu lar el valor de algún elemento (lado, diagonal, apotema, ángulo…). Si no es exacto, redondea a las décimas:

23. a) b)

5 m

7 m

6 m 25 m

a) a = 62–2 5, 2₌ 29 75, _{= 5,5 m} A = · ,5 5 5 = 13,75 m₂ 2

_{2,5 m} P = 2 · 6 + 5 = 17 m 6 m

a

b) x = 252–72₌ 576 _{= 24 m} A = 24 7 = 84 m₂· 2

7

m 25 m

x

P = 24 + 7 + 25 = 56 m

24. a) b)

5 cm 13 cm

99 m

a) x = 132–52₌ 144 _{= 12 cm} A = 12 · 5 = 60 cm2

P = 12 · 2 + 5 · 2 = 34 cm

13 cm _{5 cm}

x

b) x 2 _{+ x} 2 _{= 99}2 _{→ 2x} 2 _{= 9 801 → x} 2 _{= 4 900,5 →} → x = 4 900 5 , ≈ 70 m

A = 702 _{= 4 900 m}2

P = 70 · 4 = 280 m 99 m

x

x

25. a) b)

110 cm 90 m

a) x = 732–552₌ 2 304 _{= 48 cm} A = 110 48 2 = 5 280 cm·₂ · 2

_{73 cm} P = 4 · 73 = 292 cm

55 cm x

b) x = 532–452₌ 784 _{= 28 m}

A = ·2 28 90 = 2 520 m₂· 2

P = 53 · 4 = 212 m

53 m

x

45 m

26. a) b)

71 dam 41 dam 41 dam 53 dam 98 cm 89 cm 18 cm

a) x = 412–92₌ 1 600 _{= 40 dam} A = 53 71₂+ · 40 = 2 480 dam2

_{71 dam} P = 71 + 41 · 2 + 53 = 206 dam

41 dam

53 dam

9 dam

x

b) x = 892–802₌ 1521 _{= 39 cm} A = 18 98₂+ · 39 = 2 262 cm2

_{98 cm} P = 98 + 89 + 18 + 39 = 244 cm

89 cm

80 cm 18 cm

x

27. a) b)

c) d)

12 m 8 m

40 cm 37 cm

12 m

10,2 m _{8 m}

a) x = 10 2, 2–62₌ 68 04, _{≈ 8,2 m} · ,

b) x = 82–42 _{= 6,9 m}

A = · · ,6 8 6 9 = 165,6 m₂ 2

P = 6 · 8 = 48 m

8 m

8 m

x

c) x = 402–372 _{= 15,2 cm}

l = 30,4 cm

A = , · ·30 4 8 37 = 4 499,2 cm₂ 2 P = 30,4 · 8 = 243,2 cm

x 40 cm

37 cm

d) A = 122 _{– ·2} · ·

2 12 6 2 6 6 + c m

> H = 54 m2

P = 2 · 122₊62₊ 62_{+ = 35,3 m}62

28. a) b)

15 cm

10 cm

c)

AB AC BC= = =8 cm

BD DE= = ₂1BE

A E

B

C D

d) e)

24 m

18 m

10 m

10 m

a) x = 152₊152₌ 450 _{≈ 21,2 cm} A = π · 21,22 _{– π · 15}2_{≈ 704,7 cm}2

15 cm P = 2π · 21,2 + 2π · 15 ≈ 227,3 cm

15 cm

x

c) BE ₌ 82 –42 _{= 6,9 cm}

A = · ,8 6 9₂ – 8 3 45· ,₂ = 13,8 cm2

,

AD₌ 42₊3 452 _{= 5,3 cm}

P = 2 · 8 + 2 · 5,3 = 26,6 cm d) diámetro = 242₊182 _{= 30 m}

A = ·π ₂152 + 24 18₂· = 569,3 m2

P = 24 + 18 + 2 15 = 89,1 cmπ₂·

e) radio = 102₂+102 = 7,1 m

A = · ,π ₂7 12 = 79,1 m2

P = 14,2 + 2 7 1 = 36,5 mπ· ,₂

29. a) Recuerda que en un triángulo cordobés, si el lado pequeño mde 10cm, el grande mide aproximadamente, 13 cm. Calcula su área.

b) Halla el área de este trapecio cordobés.

10 cm

c) Calcula el área de este otro trapecio cordobés.

10 cm

l

a)

10 cm

13 cm 13 cm

a

a 13 5 144 12 10 12 60 –

2 2

$ $

b)

10 cm

Este trapecio cordobés, está formado pro tres triángulos cordobeses como el del apartado anterior.

Por tanto, el área del trapecio es 3 · 60 = 1890 cm2.

c)

10 cm

l

cm ,

l l l

1 13

10 ₌ 3_{"10 13=} 2_{" =16 9} 2

El área de estre trapecio es la suma de las áreas de los tres triángulos cordobeses que lo for-man.

13 cm

16,9 cm 16,9 cm

a _cm

, , , , cm

, _,

a

A b a

1 5

2 1 12

9 6 6 243 36 15 6 3 5 6 101 4 – 2 2 2 $ $ = = = = = =

Por tanto, el área del trapecio es 2 · 101,4 + 60 = 262,8 cm2.

30. Halla el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales menor y mayor miden, respectivamente, 10 cm y 24 cm.

A = 10 24 = 120 cm₂· 2 l = 52₊122 _{= 13 cm} P = 4 · 13 = 52 cm

31. Calcula el área de un rombo sabiendo que su perímetro mide 40 m, y su diagonal mayor, 16 m.

l = 40 = 10 m₄

A = 16 2 10· ₂ 2–82 = 16 2 6· ·₂ = 96 m2

32. Halla el área y el perímetro de un trapecio rectángulo de bases 16 cm y 11 cm y lado inclinado de 13 cm.

33. Halla el área y el perímetro de un trapecio isósceles cuyas bases miden 20 cm y 36 cm, y su altura, 15 cm.

Página 249

Resuelve problemas

34. Un salón cuadrado tiene una superficie de 50 m2. Hemos de embaldosarlo con lo-setas cuadradas de 25 cm de lado (se llaman lolo-setas de 25 × 25). ¿Cuántas losetas son necesarias?

A_loseta = 25 · 25 = 625 cm2 A_salón = 50 m2 _{= 500 000 cm}2

Para cubrir el salón se necesitan 500 000 = 800 losetas.₆₂₅

35. Para cubrir un patio rectangular, se han usado 540 baldosas de 600 cm2 _{cada una.}

¿Cuántas baldosas cuadradas de 20 cm de lado serán necesarias para cubrir el patio, igual, del vecino?

El patio tiene un área de 540 · 600 = 324 000 cm2_.

La superficie de una baldosa de 20 cm de lado es 20 · 20 = 400 cm2_.

Por tanto, se necesitan 324 000 = 810 baldosas de 20 cm de lado para cubrir el patio.₄₀₀

36. En una circunferencia de 24 cm de radio trazamos una cuerda de 34 cm. Halla el área del segmento circular sabiendo que el ángulo central correspondiente es de 90°.

24 cm 90° O

34 cm

Atriángulo = 24 24 = 288 cm₂· 2 Acírculo = π · 242≈ 1 808,64 cm2

Asegmento circular = ₄1 Acírculo – Atriángulo = 1808 64 – 288 = 161,16 cm₄, 2

37. El área de un triángulo es de 66 cm2; sus lados miden a = 20 cm, b = 11 cm y

c = 13 cm. Calcula sus tres alturas y su perímetro.

P = 20 + 11 + 13 = 44 cm

66 = 20 · a20 → a20 = 2066 = 3,3 cm

66 = 13 · a₁₃ → a_{13 = 13}66 ≈ 5,08 cm

66 = 11 · a11 → a11 = 1166 = 6 cm 20 cm

a₂₀

a₁₁

38. Observa el triángulo equilátero rojo y el azul:

12 cm

a) ¿Cuál es la relación entre sus áreas?

b) Basándote en la respuesta anterior, y teniendo en cuenta que tienen bases iguales, ¿cuál es la altura del triángulo azul?

c) ¿Cuál es la distancia del centro del triángulo a cada vértice?

a) El área del triángulo rojo es el triple que la del azul.

b) Como las bases de los dos triángulos son iguales y el rojo tiene un área tres veces mayor que el azul, por la fórmula del área, la altura del triángulo azul es un tercio de la altura del rojo; luego la altura del triángulo azul es 12 : 3 = 4 cm.

c) Primero hallamos la medida del lado del triángulo equilátero:

l 2 = l₄2 + 144 → l3₄2 = 144 → l 2 = 192 →

→ l ≈ 13,86 → _l2 ≈ 6,63 cm 12 cm

l

l—

2

39. La valla de esta parcela tiene una longitud de 450 m. ¿Cuál es el área de la parcela?

Si llamamos x al lado del cuadrado que está encima del rectángulo, el perímetro de la parcela es 10x. Al igualarlo a la longitud de la parcela, obtenemos:

10x = 450 m → x = 45 m

Por tanto, el área de la figura es la misma que la de 4 cuadrados de lado 45 m: A = 4 · 452 = 8 100 m2

40. A y B son puntos fijos. El punto C puede estar situado en

cual-quier lugar de la circunferencia. C C

C

A B

¿Dónde lo pondrás si quieres que el área del triángulo ABC sea la mayor posible?

Pondremos C en el punto más alto de la circunferencia para que el área

Problemas “+”

41. Halla la superficie de cada loseta de este embaldosado:

50 cm

40 cm

50 cm

40 cm

El área del rectángulo es 50 · 40 = 2 000 cm2_.

Como dentro del rectángulo hay 8 losetas completas, cada loseta tiene un área de:

A = 82 000 = 250 cm2

42. Nuria y Jorge entrenan en bicicleta. Nuria observa el cuentakilómetros y comenta: — Vamos a dieciocho kilómetros por hora. ¿Cuántas vueltas dará mi rueda en un

mi-nuto?

Jorge responde:

— No lo sé, habría que medir el radio de la rueda, pero así, a ojo, échale unas 200 vuel-tas por minuto.

Nuria piensa que son demasiadas:

— ¡Halaaaa! No creo que lleguen ni a 150.

Sabiendo que el diámetro de la rueda es de 50 cm, ¿cuál de los dos ha hecho una estima-ción más acertada?

Transformamos 18 km/h en centímetros por minuto:

1 800 000 : 60 = 30 000 cm/min Cada vuelta que da la rueda recorre 50π cm.

Por tanto, cada minuto la rueda dará 30 000 : 50π≈ 191 vueltas.

43. La base de este rectángulo mide 20 cm más que la altura. Su perímetro es de 100 cm. Calcula el área del cuadrilátero morado. (Los puntos rojos indican la mitad de los lados correspondientes).

Lo primero es calcular las dimensiones:

P = 2 · x + 2 · (x + 20) = 2x + 2x + 40 = 4x + 40 Como P = 100 cm, entonces:

4x + 40 = 100 → x = 15 cm

x + 20 x

Así, el dibujo queda:

35 cm

15 cm

Como vemos, el área de la zona coloreada es la mitad del área del rectángulo. Por tanto:

A = 35 15 = 262,5 cm₂· 2

44. Con los datos que te ofrece el esquema, haz una estimación de la longitud del hilo enrollado en el carrete. (Diámetro del hilo: 1/3 de mm).

35 mm

HILO 12 mm

HILO 12 mm

12 mm

Como el diámetro del hilo es 1/3 de mm, en cada milímetro hay 3 hilos.

A lo ancho hay, pues, 3 · 35 = 105 hilos. A lo grueso hay 3 · 12 = 36 hilos.

ANCHO: 35 mm

GRUESO: 12 mm

Supongamos que los hilos forman circunferencias (no es así, pero se aproxima mucho). ¿De qué radios son esas circunferencias? Las más pequeñas tienen un radio de 6 mm. Las mayores, de 18 mm.

El promedio es 26 18+ = 12 mm.

Supondremos que todas las circunferencias tie-nen el radio promedio. Su longitud es:

2 · π · 12 ≈ 75,4 mm 18 mm

6 mm

¿Cuántas circunferencias de hilo hay?

105 a lo ancho × 36 a lo grueso = 3 780 circunferencias.

Página 250

Interpreta, dibuja, justifica

45. Todos los arcos con los que se han trazado estas figuras son iguales, pertenecen a circunferencias de 6 cm de radio. Halla el área de cada una.

a) b)

a)

2

1 3

Las figuras (rectángulos) 1 , 2 y 3 son iguales y miden 12 cm × 6 cm, es decir: A1 = A2 = A3 = 72 cm2 → Atotal = 3 · 72 = 216 cm2

b)

El área pedida es la del cuadrado, que resulta ser de 12 cm de lado. Así, A = 122 _{= 144 cm}2_.

46. Halla el área y el perímetro de toda la figura.

60°

4 cm

Cada sector, al ser de 60°, es una sexta parte de un círculo. Como hay 6 sectores, resulta que tenemos el círculo entero.

47. La figura roja no es un rombo, pero tiene las diagonales per-pendiculares. Justifica que también puedes calcular el área medi-tante la fórmula:

' d d

2 ·

8 m

15 m

Calcula, ahora tú, el área de estos dos cuadriláteros tomando medidas.

A

B

A_rectángulo = d · d' = 8 · 15 = 120 m2

Como vemos, A1 = A2; A3 = A4; A5 = A6, A7 = A8

2

d’ = 8 m

d

= 15

m

1 3

6 ₄

7

8 5

Por esto el área de la figura roja es la mitad del área del rectángulo. Así:

Afigura = ARECTÁNGULO₂ = d d· '₂ = 120₂ = 60 m2 A

B

10 m 16 m

8 m

6 m

A = 10 8 = 40 m₂· 2 _{A =} ·

2

Página 251

Resuelve problemas con el teorema de Pitágoras

48. Queremos embaldosar un patio cuadrado de 48 m de perímetro. Para ello, vamos a poner baldosas con forma de rombo cuyas diagonales miden 40 cm y 30 cm. Si cada baldosa cuesta 2,20 € y el cemento cuesta 1,50 €/m2, ¿cuánto nos costará solar el pa-tio?

El lado del patio mide 48 : 4 = 12 m → A = 122 _{= 144 m}2_.

La superficie de una baldosa es , · ,0 4 0 3 = 0,6 m₂ 2_.

Para embaldosar el patio harán falta 144 : 0,6 = 240 baldosas.

Por tanto, solar el patio nos costará 240 · 2,20 + 144 · 1,50 = 744 euros.

49. Halla el perímetro y el área de esta figura:

26 dm

10 dm

x = 262–102= 576 = 24 dm Atriángulo = 24 10 = 120 dm₂· 2

A_{1/2 círculo grande} = ·π ₂122 ≈ 226,08 dm2 26 dm

10 dm x

A1/2 círculo pequeño = ·π₂5 2

≈ 39,25 dm2

Atotal = 120 + 226,08 + 39,25 = 385,33 dm2 P = 26 + 2 5π₂· + 2 12π₂· ≈ 79,38 dm

50. Calcula las dimensiones y el área de cada una de las siguientes secciones del cubo:

a) b)

6 cm 3 cm

3 cm

3 cm _{6 cm} 6 cm

6 cm 6 cm

a)

x = 32₊32₌ 18 _{≈ 4,24 cm}

b)

x = 62₊32₌ 45 _{≈ 6,71 cm} A = 6,71 · 6 = 40,26 cm2

P = 6,71 · 2 + 6 · 2 = 25,42 cm

x 6 cm

51. Una comunidad de vecinos quiere pintar una de las fachadas de su edificio. Esta tie-ne forma de trapecio rectángulo cuyos lados paralelos miden 110 m y 105 m. Sabiendo que tienen que pintar 4 300 m2 _{de pared, ¿cuánto miden los otros dos lados de la}

facha-da?

2

105 110+ _{· a = 4 300 m}2 _{→ a =} ·

215

4 300 2 = 40 m

El lado perpendicular a los lados paralelos mide 40 m, por tanto, el otro lado de la fachada mide 402_{+ = 40,31 m.}52

52. Calcula el área y el perímetro de la siguiente cenefa decorativa que ha puesto Susana en el jardín de su casa:

80 cm

La base de cada triángulo equilátero es 80 : 4 = 20 cm, por tanto, la altura de la cenefa es h = 202–102 _{= 17,3 cm.}

A = 80 · 17,3 = 1 384 cm2 P = 160 + 34,6 = 194,6 cm

53. Los lados de un triángulo miden 45 cm, 28 cm y 53 cm. Comprueba que es rectán-gulo, halla su área y calcula la altura sobre el lado más largo.

532 = 2 809 cm2; 452 + 282 = 2 809 cm2

Como 532 _{= 45}2 _{+ 28}2_{, es un triángulo rectángulo.}

A = 45 28 = 630 cm₂· 2 _{630 = 53 · a}

h → ah = 53630 ≈ 11,9 cm

La altura sobre la hipotenusa mide 11,9 cm.

54. ¿Es regular este octógono? Calcula su área y su perímetro.

1 cm

1 cm

Para calcular el área restamos el área del cuadrado que lo circunscribe de las áreas de los cuatro triángulos de las esquinas, que son iguales.

Atriángulo = ·21 1 = 0,5

A = 32 _{– 4 · 0,5 = 7 cm}2

Problemas “+” (con Pitágoras)

55. Calcula el perímetro y el área de esta figura:

18 m 8 m

8 m 12 m

x = 102₊42₌ 116 _{≈ 10,77 m} Arectángulo = 18 · 8 = 144 m2 Atrapecio = 28 18+ · 4 = 52 m2

A_{1/2 círculo} = ·π₂42 ≈ 25,12 m2 18 m

10 m 8 m

8 m

4 m 4 m x

Atotal = Arectángulo + Atrapecio – A1/2 círculo = 144 + 52 – 25,12 = 170,88 m2 P = 18 + 8 + 10,77 + 2 4 + 12 π₂· ≈ 61,33 m

56. Calcula el área y el perímetro de la siguiente figura:

10 cm

Hallamos la diagonal del cuadrado por el teorema de Pitágoras:

D 2 _{= 10}2 _{+ 10}2 _{→ D = 10}2₊₁₀2 _{= 14,14 cm} D 10 cm

El área del triángulo es, pues:

Atriángulo = ,4 14 2 07 = 4,28 cm₂· , 2 2,07 cm

4,14 cm

Por tanto, el área total de la figura será la del cuadrado más cuatro veces la del triángulo: A = 102 _{+ 4 · 4,28 = 117,14 cm}2

El perímetro de la figura es igual a las longitudes de los catetos de los 8 triángulos; es decir, 16 veces el cateto del triángulo. Hallamos c, la longitud del cateto.

c = ,2 072₊2 07, 2 _{= 2,93 cm 4,14 cm}2,07 cm c

Por tanto, el perímetro de la figura es: P = 16 · 2,93 = 46,84 cm

57. Calcula el área del siguiente triángulo equilátero sabiendo que está inscrito en una circunferencia de radio 2 cm.

2 cm

Según el ejercicio 38 de la página 249, se puede deducir que la altura de nuestro triángulo es 3, y usando este dato:

x = 22–12= 3 ≈ 1,73 cm l =2x = 3,46 cm

A = ,3 46 3 = 5,19 cm₂· 2

2 cm

2 cm

x

1 cm

58. En cada una de las siguientes figuras coloreadas halla su área y su perímetro:

a) b)

8 mm 10 m

60°

x x

x x

a) x = 102–52₌ 75 _{≈ 8,7 m}

A = ·π₃₆₀102 · 60 – 10 8 7 · ,₂ ≈ 8,8 m2

·

π

2 10 · 60 + 10 10 m

5 m

b) (2x)2 _{+ x} 2 _{= 8}2 _{→ 5x} 2 _{= 8}2 _{→ x ≈ 3,6 mm}

A = , · · , ·3 6 2 3 6 2₂ – 3 6 2 3 6, · · ,₂ ≈ 13 mm P = 2 · 8 + 2 · ,3 62₊3 6, 2 _{= 26,2 mm}

8 mm

x x

x x

59. Halla el área y el perímetro de cada una de las figuras rojas obtenidas mediante un corte plano a un cubo de 6 cm de arista.

a) b)

6 cm 3 cm

3 cm

6 cm

3 cm

3 cm

a) En primer lugar, hallamos las dimensiones del trapecio isósceles que se ha obtenido: b = 62+ 62 ≈ 8,49 cm; b' = 32+ 32 ≈ 4,24 cm a = 62+ 32 ≈ 6,71 cm; c = b b– = 2,13 cm₂ ' h = a2–c2₌ 6 71, 2 –2 13, 2 _{≈ 6,36 cm}

b'

b c

a _h

Ahora, ya podemos calcular su área y su perímetro:

A = b b+ · h = ,₂ ' 8 49 4 24₂+ , · 6,36 ≈ 40,48 cm2 P = b + b' + 2a = 8,49 + 4,24 + 2 · 6,71 = 26,16 cm

b) En primer lugar, hallamos las dimensiones del rombo que se ha obtenido:

d = 62₊62₊ 62 _{≈ 10,39 cm} d' = 62₊ 62 _{≈ 8,49 cm} l = 62₊ 32 _{≈ 6,71 cm}

d' d l

Ahora, ya podemos calcular su área y su perímetro:

Taller de Matemáticas

Página 252

Asocia causas y efectos

¿Por qué son esféricas las pompas de jabón?

• Las láminas de agua jabonosa son elásticas y tienden a reducirse todo lo que pueden. Cuando se las llena de aire (pompas), adoptan la forma esférica porque la esfera es el cuerpo geométrico cuya superficie es menor para un mismo volumen (el volumen de aire que hemos insuflado es su interior).

Aquí, la lámina de jabón es plana (mínima superficie).

Hemos depositado sobre ella un hilo con los extremos anudados. Si pinchamos en su inte-rior (punto rojo) se rompe esta parte de la lámina.

La parte exterior se contrae todo lo que puede. El hilo adopta la forma circular. ¿Por qué? Porque el círculo es la figura plana con mayor superficie (hueco) para el mismo perímetro (hilo). De este modo la lámina jabonosa exterior se contrae todo lo posible.

Explica por qué crees que, en este otro caso, el pentágono que se forma es regular:

Entrénate resolviendo problemas

• Dando dos cortes a un cuadrado se pueden obtener con facilidad 4 cuadrados:

a) Dando dos cortes rectos a un cuadrado se pueden formar, con los trozos, dos cuadrados. Hazlo.

b) ¡Más difícil todavía! Da dos cortes rectos a un cuadrado y construye, después, con los trozos, tres cuadrados.

a)

b) 1

2 3

• Dibuja un triángulo equilátero.

a) Divídelo en dos trozos iguales (fácil, ¿verdad?).

b) Dibuja otro y divídelo en tres trozos iguales (este es menos fácil).

c) ¡Pues también puedes dividirlo en cuatro trozos iguales! Y esto último se puede hacer con un triángulo cualquiera.

a) b) c)

Página 253

Entrénate resolviendo problemas

• ¿Cuál es el área de la zona comprendida entre los dos cuadrados? (Gira el interior del circulo 45°).

6 cm

6 cm

3 cm

El área de cada triángulo es A = ·23 3 = 4,5 cm2. Por tanto, el área pedida es Atotal = 4 · 4,5 = 18 cm2.

• Busca la manera de partir cada figura en cuatro trozos iguales.

a) b)

• Divide esta figura en cuatro partes, todas ellas de igual forma y tamaño.

Autoevaluación

1. Calcula el área y el perímetro de cada una de las siguientes figuras:

a)

5 cm

7 cm

12,5 cm

10 cm

b) 17 cm

12 cm 20,5 cm c) 15 cm 22 cm 28 cm 12 cm d) 56 m 106 m 90 m

e) _{5 cm}

6 cm

4 cm

f)

16 m11 m

g)

16 cm 10 cm

120°

a) A = 10 · 5 = 50 cm2_{; P = 2 · 7 + 2 · 10 = 34 cm}

b) A = , 220 5 17+ · 12 = 225 cm2_{; P = 12 + 17 + 12,5 + 20,5 = 62 cm}

c) A = 28 12 = 168 cm₂· 2; P = 15 + 22 + 28 = 65 cm

d) A = 90 56 = 2 520 m₂· 2_{; P = 56 + 106 + 90 = 252 m}

e) A = ·26 8 = 24 cm2; P = 5 · 4 = 30 cm f) A = ·5 16 11 = 440 m₂· 2_{; P = 16 · 5 = 80 m}

g) A = (π · 162 – π · 102) · ₃₆₀120 ≈ 163,36 cm2; P = · ·2 π₃ 16 + 2· ·π₃ 10 + 2 + 6 ≈ 66,45 cm

2. Calcula el área de este campo:

390 m 90 m

120 m

150 m 360 m

A = 360 150₂· + 120 90₂· = 32 400 m2

3. Halla el área y el perímetro de esta figura:

A = π · 102 – π · 82 + π · 12 = 116,18 cm2 P = 2_{8 cm} π · 10 + 2π · 8 + 2π · 1 = 119,32 cm

4. Halla el área y el perímetro de las siguientes figuras:

a) b)

12,5 cm

15 cm

1,2 m

2,5 m

3,5 m

a)

A = ,3 5 2 5₂+ , · 1,2 = 3,6 m2 x = ,0 52₊1 2, 2 _{= 1,3 m}

P = 1,3 + 2,5 + 3,5 + 1,3 = 8,6 m 0,5 m

x _{1,2 m}

b) x = 12 5, 2–7 5, 2 = 10 cm A = 20 15 = 150 cm₂· 2 P = 4 · 12,5 = 50 cm 12,5 cm

x

7,5 cm

5. El área de la siguiente figura es 45 cm2_{. Calcula su perímetro.}

El área de la figura es equivalente a 3 cuadrados de área 15 cm2 _{cada uno:}

45 cm2 x

y _{15 cm}2

45 cm2

=

15 cm2

Por tanto:

x = 15 = 3,9 cm y = · ,2 3 92 _{= 5,5 cm}