E G t í l l t á ill l d li l t En Geometría el elemento más sencillo al que se puede aplicar el concepto de proporción es el segmento, dividiéndolo en dos partes. La proporción que aparece es el resultado de dividir las longitudes de ambas.
Si construimos un rectángulo Si construimos un rectángulo en el que cada lado mida como cada una de las partes en que se divide el segmento,
se divide el segmento, tendremos entonces un
Dado un rectángulo de lados a y b, llamamos proporción ( o módulo) del rectángulo al cociente entre el lado mayor y el lado menor.
)
i (
)
,
max(
)
,
(
b
b
a
b
a
p
=
)
,
min(
)
,
(
b
a
p
1
)
,
(
a
b
≥
p
En el caso de ser 1, estamos ante el cuadrado
1
)
,
Ad á
p
(
ta
tb
)
=
p
(
a
b
)
∀
t
>
0
AdemásEs decir, la proporción se mantiene cuando los rectángulos son semejantes.
0
)
,
(
)
,
(
ta
tb
=
p
a
b
∀
t
>
a
p
b
q
b
a
q
p
=
p
Hay dos tipos de proporción geométrica: Hay dos tipos de proporción geométrica:
Proporción estática: La que establece entre dos elementos una razón
Proporción dinámica: La que relaciona dos valores por una razón inconmensurable.
Algunos ejemplos son los siguientes:
Proporción
n
Proporción cordobesa
El caso más sencillo es el de raíz de 2, que representa la relación entre la diagonal de un cuadrado y el lado del mismo.
1
2
1
Có di idi t t i ? ¿Cómo dividir un segmento en estas proporciones?
)
x
2
(
)
x
1
(
)
x
1
(
+
2+
+
2=
+
21+x
2
4
x
2
x
4
4
x
x
)
x
2
(
)
x
1
(
)
x
1
(
22
+
+
+
+
+
=
+
+
+
1+x 1+x2
x
x
4
4
x
2
x
4
2
2+
+
=
+
+
12
x
2=
x 1
Có t i tá l d t i ? ¿Cómo construir un rectángulo de estas proporciones?
x y
1
21
2 2 ) 1 2 (1− − = − =
x
La proporción es
COMPROBACIÓN DE LA PROPORCIÓN DOBLANDO PAPEL COMPROBACIÓN DE LA PROPORCIÓN DOBLANDO PAPEL
2
b b
2
b b =
1
Es importante a nivel práctico porque resuelve el problema de la Es importante a nivel práctico porque resuelve el problema de la
duplicación manteniendo las proporciones. Si dividimos un cuadrado en dos rectángulos iguales, está claro que éstas ya no mantienen la forma cuadrada Esto sucede en cualquier rectángulo estático
Si b l d it d d í d 2 ti t i ió Sin embargo las dos mitades de un raíz de 2 tienen esta misma proporción.
1
a/22
/
a
1
1
a
=
11
2
a
2=
2
a
2=
a
2
=
La serie DIN-A ha normalizado los formatos de papel a partir de un rectángulo de un metro cuadrado de rectángulo de un metro cuadrado de
superficie con sus lados en proporción 1 a raíz de 2, que es el formato A0.
Dividiendo sucesivamente por la mitad ese rectángulo se van obteniendo los g formatos A1, A2, A3, A4…
Para hallar las dimensiones hay que resolver: Para hallar las dimensiones hay que resolver:
⎨
⎧
a
.
b
=
1
⎩
⎨
=
a
b
2
4 22
2
1
1
2
=
b
a
4 44
2
2
1
h h
3
1
3
3
4
3
4
1
1
h
2=
−
=
2
3
h
=
Es la relación que existe entre el radio de la circunferencia circunscrita a un octógono regular y el lado de éste.
Su valor es
c = 1,306562964
…Concretamente su valor exacto es Concretamente, su valor exacto es
2
2
1
VALOR DE LA PROPORCIÓN CORDOBESA VALOR DE LA PROPORCIÓN CORDOBESA
QCD y CPD son semejantes OPC es isósceles
x 2 y j 2 2 1 x − = 2 2 2 2 x x 2
2 = −
=
1
O
2 2
x = −
Se llamó así al ser encontrado por primera vez en la geometría de la Mezquita de Córdoba .
2
1
1
x
x
2+
2=
13
2
2
2
1
x
=
=
El lado del rectángulo sombreado es
x
x
1
2
2
2
2
1
x
2
1
+
=
+
=
+
x
El ú d l t
δ
1
2
El número de plata esδ
=
1
+
2
1
x
2
x
1
+
=
131
1
2
x
x
2
+
=
2
1
x
=
−
+
1 1 x
x
=
−
1
−
2
AC
AB
El todo es a la parte, como la parte al resto
B A C
BC
AC
AC
AB
=
Si el segmento AC=x y el BC=1, entonces AB=x+1g y ,
0
1
x
x
1
x
x
x
1
x
2 2=
−
−
⇒
+
=
⇒
=
+
0
1
x
x
1
x
x
1
x
1
x
+
0
1
x
x
1
x
x
1
x
x
1
x
2 2=
−
−
⇒
+
=
⇒
=
+
Resolviendo la ecuación se obtiene el valor positivo:
2 5 1+
= φ
CÓMO CONSTRUIR UN RECTÁNGULO DE ESTAS PROPORCIONES? ¿CÓMO CONSTRUIR UN RECTÁNGULO DE ESTAS PROPORCIONES?
CÓMO CONSTRUIR UN RECTÁNGULO DE ESTAS PROPORCIONES? ¿CÓMO CONSTRUIR UN RECTÁNGULO DE ESTAS PROPORCIONES?
CÓMO CONSTRUIR UN RECTÁNGULO DE ESTAS PROPORCIONES?
` Primero, dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus
l d L l i d l é ti d l l d t ll
¿CÓMO CONSTRUIR UN RECTÁNGULO DE ESTAS PROPORCIONES?
5
1 2
5
Otra forma
de
construirlo
Otra forma
de
construirlo
AD = x
el lado de un pentágono regular1 Los triángulos ABD y AFB son
isósceles y semejantes
1
x
1
1
x
−
=
11
x
x
1
x
1
2
−
=
El rectángulo áureo tiene la propiedad de que al quitar el mayor cuadrado El rectángulo áureo tiene la propiedad de que al quitar el mayor cuadrado posible, el rectángulo que queda es semejante al inicial.
1
x
1
x
1
1
1
x
−
=
0
1
x
x
2−
−
=
1
x
−
Repitiendo el proceso de quitar un cuadrado Repitiendo el proceso de quitar un cuadrado…
Taza gigante volante con
anexo inexplicable de cinco
metros de longitud.
(1944-1945)
Podemos llegar a una construcción similar de rectángulos con un proceso inverso: Podemos llegar a una construcción similar de rectángulos con un proceso inverso:
13
21
1 1
2 3
5
La sucesión de Fibonacci y el número áureo
13
21
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
1 1
2 3
5
La sucesión de Fibonacci y el número áureo
1 : 1 = 1
13
1 : 1
1
2 : 1 = 2
3 : 2 = 1´5
21
5 : 3 = 1´66666666
8 : 5 = 1´6
13 : 8 = 1´625
1 1
2 3
13 : 8 = 1 625
21 :13 = 1´6153846....
34 :21 = 1´6190476....
5
8
consecutivos de la sucesión de Fibonacci
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
13
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
21 21 13 34 21
13 8 8 5
1 1
2 3
5
8
...
55
89 55
Realizado por Cristóbal Vila.
De Etérea Estudios
- FERNÁNDEZ I., REYES E. Geometría del hexágono y el octógono. Proyecto Sur de ediciones. Granada, 2003
- VVAA. Papiroflexia y Matemáticas, Revista 1, nº 53. Editorial Grao, 2010
- VVAA La proporción: arte y matemáticas Biblioteca de UNO Editorial - VVAA. La proporción: arte y matemáticas. Biblioteca de UNO. Editorial Grao, 2009
- SKINNER SSKINNER S. Geometría SagradaGeometría Sagrada. Gaia Ediciones. Madrid, 2007Gaia Ediciones Madrid 2007
-CORBALÁN F. La proporción áurea. Colección El mundo es matemática. RBA editores, 2010
RBA editores, 2010
-Sobre el video:
