RESUMEN de inecuaciones VA

53 

Texto completo

(1)

Departamento de Formaci´on General y Ciencias B´asicas Universidad Sim´on Bol´ıvar

(2)

1 Valor Absoluto

Definici´on

Desigualdades con Valor Absoluto

2 Desigualdades NO lineales

Desigualdades Cuadr´aticas y Superiores

(3)

1 Valor Absoluto

Definici´on

Desigualdades con Valor Absoluto

2 Desigualdades NO lineales

Desigualdades Cuadr´aticas y Superiores

(4)

1 Valor Absoluto

Definici´on

Desigualdades con Valor Absoluto

2 Desigualdades NO lineales

(5)

El valor absoluto dex∈R, denotado por |x|se define como

|x|=

x six ≥0

−x six <0

El valor absoluto es una distancia no dirigida. En particular,la distancia de x al origen.

De manera an´aloga, la expresi´on|x−a|es la distancia desdex

(6)

Propiedades

1 |a·b|=|a| · |b|

2 a b = |a| |b|

3 |a+b| ≤ |a|+|b|Desigualdad Triangular.

4 |a−b| ≥ ||a| − |b||

Otras propiedades son:

|x|<a ⇔ −a<x <a

(7)

1 Valor Absoluto Definici´on

Desigualdades con Valor Absoluto

2 Desigualdades NO lineales

(8)

Ejemplo

Resolver

|x−2|<2

Soluci´on:

−2<x−2<2

0<x<4

(9)

Ejercicios

Resolver|3x−5| ≥1.

(10)

Ejercicios

Resolver|3x−5| ≥1.

(11)

Ejercicios

Resolver|3x−5| ≥1.

Soluci´on:

(12)

Ejercicios

Resolver|3x−5| ≥1.

Soluci´on:

|3x−5| ≥1⇒ −1≥3x−5 ´o 3x−5≥1

4 = 5−1 ≥ 3x

4

(13)

Ejercicios

Resolver|3x−5| ≥1.

Soluci´on:

|3x−5| ≥1⇒ −1≥3x−5 ´o 3x−5≥1

4 = 5−1 ≥ 3x

4

3 ≥ x

´

o 3x ≥ 5 + 1 = 6

x ≥ 6

(14)

Ejercicios

Resolver|3x−5| ≥1.

Soluci´on:

|3x−5| ≥1⇒ −1≥3x−5 ´o 3x−5≥1

4 = 5−1 ≥ 3x

4

3 ≥ x

´

o 3x ≥ 5 + 1 = 6

x ≥ 6

3 = 2

As´ı⇒S : −∞,43

(15)

Recordemos que√aes la ra´ız cuadrada no negativa dea.

Decir√16 =±4 es incorrecto. Lo correcto es decir ±√16.

As´ı

x2 =|x| y |x|2 =x2.

Esto nos permite afirmar que

(16)

Recordemos que√aes la ra´ız cuadrada no negativa dea.

Decir√16 =±4 es incorrecto. Lo correcto es decir ±√16.

As´ı

x2 =|x| y |x|2 =x2.

Esto nos permite afirmar que

(17)

Recordemos que√aes la ra´ız cuadrada no negativa dea.

Decir√16 =±4 es incorrecto. Lo correcto es decir ±√16.

As´ı

x2 =|x| y |x|2 =x2.

Esto nos permite afirmar que

(18)

Ejercicios

Resolver

1 |3x+ 1|<2|x−6|

2

2 +5

x >1

3 |2x+ 3| ≤1

(19)

Ejercicios

Soluciones

1 |3x+ 1|<2|x−6| S : (−13,11

5) 2

2 +5

x

>1 S : (−∞,−5)∪(−53,0)∪(0,∞)

3 |2x+ 3| ≤1 S : [−2,−1]

4 |2x+ 4| − |x−1| ≤4 S : [−9,1

(20)

Para resolver las desigualdades no lineales estudiaremos algunos tipos de desigualdades:

1 Desigualdades cuadr´aticas y de orden superior

(21)

1 Valor Absoluto Definici´on

Desigualdades con Valor Absoluto

2 Desigualdades NO lineales

Desigualdades Cuadr´aticas y Superiores

(22)

El primer tipo de desigualdad no lineal que estudiaremos

corresponde a desigualdades donde aparecen polinomios de grado

dos (desigualdades cuadr´aticas) y polinomios de grado≥que dos

(desigualdades de orden superior).

En ambos casos, siempre debemosfactorizar los polinomios y

(23)

Resolver la desigualdad x2 >2x

(24)

Resolver la desigualdad x2 >2x

(25)

Resolver la desigualdad x2 >2x

Soluci´on:

Primer paso: Pasamos todos los t´erminos al lado izquierdo de la

desigualdad

(26)

Resolver la desigualdad x2 >2x

Soluci´on:

Primer paso: Pasamos todos los t´erminos al lado izquierdo de la

desigualdad

x2 >2x ⇒x2−2x >0

Segundo paso: Factorizamos

(27)

Resolver la desigualdad x2 >2x

Soluci´on:

Tercer paso: Buscamos los intervalos de cambio de signo. Estos se construyen con las ra´ıces del polinomio:

x(x−2) = 0⇒x1 = 0, x2 = 2

Los intervalos son (−∞,0),(0,2) y (2,∞)

(28)

Resolver la desigualdad x2 >2x

Soluci´on:

Cuarto paso: Hacemos una tabla:

(−∞,0) (0,2) (2,∞)

−1 1 3

x x−2

(29)

Resolver la desigualdad x2 >2x

Soluci´on:

Cuarto paso: evaluamos cada testigo en la expresi´on de la primera

columna. El signo que d´a el resultado, lo colocamos en la casilla

correspondiente

(−∞,0) (0,2) (2,∞)

−1 1 3

(30)

Resolver la desigualdad x2 >2x

Soluci´on:

Cuarto paso: para la ´ultima fila, multiplicamos todos los signos de

cada columna:

(−∞,0) (0,2) (2,∞)

−1 1 3

x − + +

x−2 − − +

(31)

Resolver la desigualdad x2 >2x

Soluci´on:

Analizamos los resultados:

En los intervalos (−∞,0) y (2,∞) se tiene que x22x >0

En el intervalo (0,2) se cumple x2−2x<0

Por lo que la soluci´on es

(32)

Resolver la desigualdad(x2−1)(2x+ 4)<0

(33)

Resolver la desigualdad(x2−1)(2x+ 4)<0

(34)

Resolver la desigualdad(x2−1)(2x+ 4)<0

Soluci´on:

Primer paso: Factorizamos (ya todos los t´erminos estaban del lado

izaquierdo):

(x2−1)(2x+ 4)<0⇒ (x−1)(x+ 1)(2x+ 4)<0

Segundo paso: Buscamos las ra´ıces

(35)

Resolver la desigualdad(x2−1)(2x+ 4)<0

Soluci´on:

Segundo paso: Buscamos las ra´ıces

(x−1)(x+ 1)(2x+ 4) = 0⇒ x1= 1, x2 =−1, x3 =−2

Tercer paso: Constru´ımos los intervalos

(36)

Resolver la desigualdad(x2−1)(2x+ 4)<0

Soluci´on:

Cuarto paso: Hacemos una tabla:

(−∞,−2) (−2,−1) (−1,1) (1,∞)

−3 −1,5 0 2

x−1 − − − +

x+ 1 − − + +

2x+ 4 − + + +

(37)

Resolver la desigualdad(x2−1)(2x+ 4)<0

Soluci´on:

Como la pregunta es ¿cu´ando el polinomio es negativo? la soluci´on

es

(38)

Resolver la desigualdad(x−1)(2−x)≥1

(39)

Resolver la desigualdad(x−1)(2−x)≥1

(40)

Resolver la desigualdad(x−1)(2−x)≥1

Soluci´on:

Paso 1: (x−1)(2−x)≥1⇒(x−1)(2−x)−1≥0

Paso 2: Resolvemos para factorizar

(x−1)(2−x)−1 ≥ 0

2x−x2−2 +x−1 ≥ 0⇒ −x2+ 3x−3≥0

Al aplicar la resolvente, notamos que no tiene ra´ıces: no se puede factorizar.

(41)

Resolver la desigualdad(x−1)(2−x)≥1

Soluci´on:

En estos casos, existe un s´olo intervalo: (−∞,∞). Cualquier valor servir´a de testigo, tomemosx = 0.

Al evaluar (no hacemos tabla ya que tendr´ıa una sola columna):

−x2+ 3x−3⇒ −02+ 3·0−3 =−3<0

(42)

1 Valor Absoluto Definici´on

Desigualdades con Valor Absoluto

2 Desigualdades NO lineales

Desigualdades Cuadr´aticas y Superiores

(43)

En los casos en que aparezca una fracci´on, procedemos de manera similar, recuerda que no puedes pasar multiplicando ni dividiendo

ninguna expresi´on donde aparezca la variable ya que no conoces el

valor dex ni si el resultado es positivo o negativa (no sabes si la desigualdad cambia o no).

(44)

Resolver 2x+ 1

1−x ≤

x+ 3

1−x

(45)

Resolver 2x+ 1

1−x ≤

x+ 3

1−x

(46)

Resolver 2x+ 1

1−x ≤

x+ 3

1−x

Soluci´on:

Paso 1: Todo a la izquierda

2x+ 1

1−x ≤

x+ 3

1−x ⇒

2x+ 1

1−x −

x+ 3

1−x ≤0

Paso 2: Simplificamos y factorizamos numerador y denominador:

2x+ 1

1−x −

x+ 3

1−x ≤0 ⇒

2x+ 1−(x+ 3)

(47)

Resolver 2x+ 1

1−x ≤

x+ 3

1−x

Soluci´on:

Paso 3: Ya factorizado, buscamos las ra´ıces tanto del numerador y denominador, estos valores determinaran los intervalos:

x−2

1−x ≤0⇒ x1= 2, x2 = 1

(48)

Resolver 2x+ 1

1−x ≤

x+ 3

1−x

Soluci´on:

Cuarto paso: La tabla:

(−∞,1) (1,2) (2,∞)

x−2 − − +

1−x + − −

x(x−2) − + −

(49)

Resolver 2x+ 1

1−x ≤

x+ 3

1−x

Soluci´on:

Por lo tanto la soluci´on es

Sol:(1,2]∪[2,∞) = (1,∞)

Nota: En 2 el intervalo va cerrado por ser la desigualdad≤. Pero en

(50)

En general, no hace falta escribir los pasos, pero es importante seguirlos

Pasar todo a la izquierda.

Factoriazar (el polinomio o el numerador y el denominador). Buscar ra´ıces y definir intervalos.

Realizar la tabla.

(51)

Ejercicios

Resolver

1 x

x+ 2 <0

2 2x+ 1

1−x ≤

x+ 2

1−x

3 x3−6x2+ 11x6>0

4

x−1

2−x

≥1

(x2−1)(2x+ 4)

(52)

Ejercicios

Soluciones

1 x

x+ 2 <0 S : (−2,0)

2 2x+ 1

1−x ≤

x+ 2

1−x S :R\ {1}

3 x3−6x2+ 11x6>0 S : (1,2)(3,)

4

x−1

2−x

≥1 S :3

2,2

∪(2,∞)

5 (x

21)(2x+ 4)

(53)

Saludos.

Si no logras resolver correctamente los problemas planteados, no dudes en notificarlo en el foro de la unidad.

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