EX ALG TRIG GEOM

(1)

6 EXÁMENES ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA 1BAC CC Página 1 de 26

EXAMEN A:

Ejercicio nº 1.-

Halla el valor de la siguiente expresión, utilizando la definición de logaritmo:

1 81

16 ₃5

4 log ln

log + −

Simplifica al máximo las siguientes expresiones:

2 75 48

a) ⋅

147 108

b) −

3 6 3 2

c) +

Expresa como un solo logaritmo la siguiente expresión, utilizando las propiedades de los logaritmos:

4 log 25

1 5

2

3log +log +log −

Resuelve las ecuaciones:

0 36 37

a) x4− x2+ =

(

1

)

( )

2 2

2

b) ln x+ −ln x =ln

Halla las soluciones del sistema:

  

= −

1 9 y log x log

(2)

Encuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones, utilizando el método de Gauss:

+ + =

 

− + = −



 ₋ ₊ ₌



2 3

2 2 3 1

3 2 2 2

x y z

La edad de un padre hace dos años era el triple de la edad de su hijo. Dentro de once años, el padre tendrá el doble de la edad del hijo. ¿Cuál es la edad actual de cada uno?

Racionaliza y opera, simplificando al máximo, la siguiente expresión:

2 3 2 3

3 2 3 2

+ ₋ −

− +

En un determinado momento un avión se encuentra situado con respecto a dos puntos como muestra la figura:

Halla las distancias del avión a los puntos A y B, así como la altura a la que se encuentra en dicho instante.

(3)

a)))) Escribe la expresión analítica de la función cuya gráfica es la siguiente:

b) Representa la función en estos ejes: 2

x y ====sen

Demuestra la siguiente igualdad:

2 1 5

2

2 ₊ 2 x ₌ cosx+

cos x sen

x sen

Resuelve la ecuación:

cos x sen 2x −−−− sen x ==== 0

Un pentágono regular con centro en el origen de coordenadas tiene uno de sus vértices en el afijo z= += += += +1 3 . Calcula los otros vértices y el perímetro de la figura.i

(4)

(

)

(

)

(

, k

)

u.

w v u → → → → − − a lar perpendicu sea 2 que para k de valor El b) . 1 2, con forma que ángulo El a) : halla , 4 3, vector el Dado

a)))) Halla las ecuaciones paramétricas de la recta r, sabiendo que pasa por los puntos A((((2, 2,)))) y B((((1, −−−−3)))).

b)))) Determina la posición relativa de la recta anterior, r, con la recta:

   − = − = t y t x s 15 10 3 2 :

Halla el ángulo formado por estas rectas:

3x −−−−y ++++ 2 ==== 0 x ++++ 4y ++++ 1 ==== 0

Dada la recta r: −−−−3x ++++ 4y −−−− 1 ==== 0 y los puntos A((((2, 4)))) y B(−(−(−(−1, 3)))), halla la distancia:

a)))) Entre A y B. b)))) De B a r.

Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado están sobre las rectas:

r: 2x −−−− 3y ++++ 4 ==== 0 s: 2x −−−− 3y ++++ 1 ==== 0

Calcula el área de dicho cuadrado.

((((

))))

((((

))))

Dados los vectores 3, 4 y 6, 2 calcula un vector de la misma dirección que y cuyo módulo sea igual a la proyección de sobre .

a b a

(5)

EXAMEN B:

Calcula, utilizando la definición de logaritmo:

     

− +

2 1 32

343

2 1

2

7 log log

log

Opera y simplifica al máximo las expresiones:

45 80 5 a) ⋅

18 2 128

b) +

2 5

5 c)

−

Si sabemos que log k ==== 0,9, calcula:

(

k

)

log k

log 100

100

3

−

Resuelve:

x x x

x 1

6 16 1

a) − = +

+

3 1 3

3 b)

1 1

2

=

+ + −

x x x

(6)

   

− =

− = −

2 3

2 2

xy x y

Halla la solución del siguiente sistema mediante el método de Gauss:

+ − =

 

− + = −



 _{+ − =}



3 2 6

2 3 8

4

x y z

Hemos comprado un pantalón y una camiseta por 44,1 euros. El pantalón tenía un 15%%%% de descuento y la camiseta estaba rebajada un 10%%%%. Si no tuvieran ningún descuento, habríamos tenido que pagar 51 euros. ¿Cuánto nos ha costado el pantalón y cuánto la camiseta?

Simplifica, aplicando las propiedades de las potencias:

(((( ))))

5 3

2 3

4 16 2

32

⋅ ⋅

Dos amigos se encuentran situados cada uno a un lado de una estatua, como muestra la figura:

a)))) ¿Cuál es la altura de la estatua?

(7)

Calcula los lados y los ángulos del siguiente triángulo:

a)))) Escribe la ecuación de la función correspondiente a la siguiente gráfica:

b)))) Representa la siguiente función en los ejes que se dan:

2 x cos y =

Demuestra la igualdad:

(

x y

)

sen

(

x y

)

sen x sen y

sen + ⋅ − = 2 − 2

(8)

6 EXÁMENES ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA 1BAC CC Página 8 de 26 4 5 2 2 ₌ x cos x cos

Resuelve el sistema dando las soluciones correspondientes al primer cuadrante:

2 2 2 2 2 1 3 3 4 sen x sen y

cos x cos y

   + = ++ == + = ___    − = − − = − − = − − = − ___

( )

4, 1,

(

1, 2

)

y

(

1,

)

, halla: vectores

los

Dados x→= y→= − →z= k

lares. perpendicu sean y que para de valor El

a) k →x →z

. e forman que ángulo El

b) →x y→

a)))) Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta, r1, que pasa por P((((0, −−−−1)))) y es perpendicular a la recta:

   + − = + = t y t x r 2 3 2 : 2

b)))) Determina la posición relativa de la recta que has obtenido en a)))), r1, con la recta:

   − − = − = t y t x r 4 5 2 1 : 3

Calcula el ángulo formado por las rectas:

y ====−−−−2x ++++ 3 y ==== 4x ++++ 1

(9)

( )

  

− =− + =

t y

t x

r

2 1

3 2 :

recta la a 2 3, P punto del distancia la

Calcula

Halla el área del triángulo de vértices A((((4, 0)))), B((((2, 3)))) y C((((0, −−−−2)))).

(10)

6 EXÁMENES ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA 1BAC CC Página 10 de 26

EXAMEN C:

Teniendo en cuenta la definición de logaritmo, halla el valor de x en cada caso:

5 a)log₂x =

3 27 b)log_x =

Calcula y simplifica al máximo:

81 32 27

a) ⋅

48 2 75

b) +

2 2

2 2 c)

− +

Sabiendo que log 3 ==== 0,48, calcula ((((sin utilizar la calculadora)))) el logaritmo ((((en base 10)))) de cada uno de estos números:

5 ₉

c) 9

b) 30

a)

Resuelve las siguientes ecuaciones:

x x 1 11 2 3

a) − + =

0 4 2 3 2 2

b) x−1+ x+1− ⋅ x + =

(11)

   

− = +

1 3

2 1 3

y x

Obtén, mediante el método de Gauss, la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

   

− = +

+− − =

= + +

2 5

8 2

2

7 2

3

z y x

Se mezcla cierta cantidad de café de 1,2 euros/kg con otra cantidad de café de 1,8 euros/kg, obteniendo 60 kg al precio de 1,4 euros/kg. ¿Cuántos kilogramos de cada clase se han utilizado en la mezcla?

Calcula y simplifica:

((((

))))

− − − + −

+ 2

a) 18 9 5 2 2 8 4

b) 2 2

x x x

x y

Halla los valores de x, y, h en el siguiente triángulo:

(12)

a)))) Representa la siguiente función en los ejes que se dan:

y ==== sen 3x

b)))) Escribe la expresión analítica correspondiente a la función cuya gráfica es:

Demuestra que:

x sen x

cos

x cos x

cos x sen x

sen x cos

2 2 1

2 1 1

1 ₋

+ = +

+ −

Resuelve la siguiente ecuación:

sen 2x ++++ cos x ==== 0

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

((((

))))

4 3

2 3 5 38 2

z w i

zi i w i

+ = +

+ = + _{}

  

+ − = +

+ − = + _{}

(13)

(

, 1

)

y

(

3, 2

)

seanperpendiculares. vectores los que para de valor el Averigua

a) m →u m →v − −

(

3, 2

)

y

( )

2, 1.

forman que

ángulo el

Halla

b) v→ − − w→

a)))) Halla las ecuaciones paramétricas de la recta, r, que pasa por el punto A((((2, 5)))) y es paralela a la recta:

   − = + − = t y t x r 2 2 1 : 2

b)))) Estudia la posición relativa de r1 ((((la recta que has obtenido en a)))))))) con la recta:

   + − = − = t y t x r 4 1 2 4 : 3

Halla el ángulo que forman las rectas:

   − =− + =    + − = − = t y t x : s t y t x : r 2 1 2 1 3 2

(

)

2 3 : recta la a 4 2, punto el desde hay que distancia la

Halla P r y = x+

Halla el punto simétrico de P((((2, 3)))) con respecto a la recta r: 3x −−−− y ++++ 5 ==== 0.

(14)

EXAMEN D:

125 a)log₅

000 1

1 b) log

2 c)log₂

Halla y simplifica:

4 180 5 a) ⋅

28 2 63

b) −

1 2

1 2 c)

+ −

Si ln k ====0,7, calcula el valor de la siguiente expresión:

( )

2

3

10 10 ln k

k

ln +

Halla las soluciones de las ecuaciones:

2

2 ₆

3 3 1 4

5 a)

x x − =

(

1

)

(

3 2

)

1

(15)

    

= −

1 2

6 1 1 1

y x

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones, aplicando el método de Gauss:

   

= +

+ − =

+− + =−

−

6 2

6 2 3

4 2

z y x

2

La suma de dos números es 10 y la de sus inversos, . Hállalos. 15

−−−−

Comprueba que:

− _{= −}

3₁₀₀₀ ₁₀ ₄

3

log a log a

log a

Para sujetar un mástil al suelo como indica la figura hemos necesitado 10 metros de cable.

(16)

Halla los lados y los ángulos de este triángulo:

a)))) Representa en estos ejes la siguiente función trigonométrica:

y ==== cos 3x

b)))) Escribe la ecuación de la función cuya gráfica es:

Demuestra la siguiente igualdad:

1 2

2 2 =

  

 

− cosx

x cos

Resuelve:

(

+45

)

+

(

−45

)

=1

x sen x

sen

(17)

Simplifica la siguiente expresión:

:

4 4

cos

tg tg tg

sen

 

 _π_π_π_π  _π_π_π_π  _α_αα_α

+ α ⋅ − α − α

+ α ⋅ − α  − α

 

     _α

αα α

   

 

   

( )

2, 3 y

(

2, 3

)

. vectores

los forman que

ángulo el

Halla

a) →a →b −

(

)

(

)

→ → −

b) ¿Cuánto ha de valer k para que los vectores x k, 3 e y k, 3 sean

perpendiculares?

a)))) Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta, r, que pasa por los puntos P((((2, −−−−1)))) y Q((((3, 4)))).

b)))) Averigua la posición relativa de la recta obtenida en a)))) con la recta:

  

+ − = =

t y

t x s

3 :

Averigua el ángulo que forman las rectas:

2 2 3 0;

4 3

2x− y+ = y = − x+

Dados el punto P((((k, 1)))) y la recta r: 3x −−−−4y ++++ 1 ==== 0, halla el valor de k para que la distancia de P a r sea 3.

Halla la ecuación de la mediatriz del segmento que tiene como extremo los puntos de corte de la recta 3x ++++ 4y −−−− 12 ==== 0 con los ejes de coordenadas.

(18)

Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P((((1, 3)))) y forma un ángulo de 45°°°° con la recta r : 4x −−−− y ++++ 1 ==== 0.

EXAMEN E:

Halla el valor de x en cada caso, utilizando la definición de logaritmo:

x log 32= a) ₂

3 b)log₃x =

Efectúa y simplifica:

50 98 3 a) ⋅

45 2 80

b) −

1 3

3 c)

−

Sabiendo que log7 ==== 0,85, calcula ((((sin utilizar la calculadora)))):

3 ₇

c) 49 b) 700

a)log log log

Obtén las soluciones de las ecuaciones siguientes:

1 2 4 5

a) x+ = x+

0 9 8 3 3

b) 2x − x+1+ =

(19)

Resuelve:

   

= +

= −

6 2 2

0 2

y x

Resuelve, utilizando el método de Gauss:

   

= +

− − =

+− + =

1 3 2

3 2

2 2 2

z y x

Un grupo de amigos va a cenar a un restaurante. Cuando van a pagar observan que, si cada uno pone 20 euros, sobran 5 euros; y si cada uno pone 15 euros, faltan 20 euros. ¿Cuántos amigos son y cuál es el precio total que tienen que pagar?

Clasifica los siguientes números según sean naturales, enteros, racionales y/o reales:

(((( ))))

− −

− ; ;

− −

3 2

5 3

5

1 27 10

; 32 3; 5 ; 25

4

2 1 5 5

ln e log

⋅⋅⋅⋅

Raquel ve el punto más alto de una antena bajo un ángulo de 55

°°°°

. Alejándose 7 metros en línea recta, el ángulo es de 40°°°°. ¿Cuál es la altura de la antena?

(20)

a)))) Dado la siguiente gráfica, escribe la ecuación de la función correspondiente:

b)))) Representa la siguiente función en los ejes que se dan:

y ==== cos 2x

Demuestra que:

(

x

) (

cosx

)

cos x

cos 2

2 1 45

45 ⋅ − =

+

Resuelve la ecuación trigonométrica:

cos 2x ++++ cos2 x ==== 2

(21)

( )

(

)

. 2 2 que y lares, perpendicu sean e que para y de valores los halla 2 e 1 vectores los Dados = − → → → → → y y x b a , b , y a, x

a)))) Obtén las ecuaciones paramétricas de la recta, r, que pasa por P((((3, −−−−2)))) y es perpendicular a la recta 2x −−−− y ++++ 4 ==== 0.

b)))) Estudia la posición relativa de la recta, r, obtenida en a)))), con la recta:

   + − = − = t y t x s 1 3 :

Halla el ángulo formado por las rectas de ecuaciones:

   + = − =    + = = t y t x s t y t x r 2 1 : 1 2 :

Dados los puntos P((((0, −−−−4)))), Q((((2, −−−−5)))) y la recta r: −−−−3x ++++ y ++++ 1 ==== 0, halla la distancia:

a)))) Entre P y Q b)))) De Q a r.

(22)

a)))) Las ecuaciones de las alturas que parten de A y de C.

b)))) El ortocentro ((((punto de corte de las alturas)))).

Determinar la ecuación de una recta de pendiente −−−−1 que forma con la parte negativa de los ejes coordenados un triángulo de área 8.

EXAMEN F:

     

− +

2 1 32

343

2 1

2

7 log log

log

Halla y simplifica:

4 180 5 a) ⋅

28 2 63

b) −

1 2

1 2 c)

+ −

Sabiendo que log 3 ==== 0,48, calcula ((((sin utilizar la calculadora)))) el logaritmo ((((en base 10)))) de cada uno de estos números:

5 ₉

c) 9

b) 30

a)

Halla las soluciones de las ecuaciones:

2

2 ₆

3 3 1 4

5 a)

(23)

(

1

)

(

3 2

)

1

b)log x+ −log x− =

Obtén las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:

   

− =

− = −

2 3

2 2

xy x y

Encuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones, utilizando el método de Gauss:

+ + =

 

− + = −



 ₋ ₊ ₌



2 3

2 2 3 1

3 2 2 2

x y z

Un grupo de amigos va a cenar a un restaurante. Cuando van a pagar observan que, si cada uno pone 20 euros, sobran 5 euros; y si cada uno pone 15 euros, faltan 20 euros. ¿Cuántos amigos son y cuál es el precio total que tienen que pagar?

Calcula y simplifica:

((((

))))

− − − + −

+ 2

a) 18 9 5 2 2 8 4

b) 2 2

x x x

x y

(24)

Halla las distancias del avión a los puntos A y B, así como la altura a la que se encuentra en dicho instante.

Resuelve el siguiente triángulo, es decir, halla sus lados y sus ángulos:

a)))) Representa en estos ejes la siguiente función trigonométrica:

y ==== cos 3x

b)))) Escribe la ecuación de la función cuya gráfica es:

Demuestra la igualdad:

(

x y

)

sen

(

x y

)

sen x sen y

sen + ⋅ − = 2 − 2

(25)

(

+45

)

+

(

−45

)

=1

x sen x

sen

((((

))))

4 3

2 3 5 38 2

z w i

zi i w i

+ = + + = + + = + + = + _{}    + − = + + − = + + − = + + − = + _{}

( )

(

)

. 2 2 que y lares, perpendicu sean e que para y de valores los halla 2 e 1 vectores los Dados = − → → → → → y y x b a , b , y a, x

a)))) Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta, r, que pasa por los puntos P((((2, −−−−1)))) y Q((((3, 4)))).

b)))) Averigua la posición relativa de la recta obtenida en a)))) con la recta:

   + − = = t y t x s 3 :

Halla el ángulo formado por estas rectas:

3x −−−−y ++++ 2 ==== 0 x ++++ 4y ++++ 1 ==== 0

(26)

Dado el triángulo de vértices A((((2, 4)))) , B((((6, 5)))) y C((((4, 1)))), halla:

a)))) Las ecuaciones de las alturas que parten de A y de C.

b)))) El ortocentro ((((punto de corte de las alturas)))).