EX ALG TRIG GEOM

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(1)

6 EXÁMENES ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA 1BAC CC Página 1 de 26

EXAMEN A:

Ejercicio nº 1.-

Halla el valor de la siguiente expresión, utilizando la definición de logaritmo:

1 81

16 35

4 log ln

log + −

Ejercicio nº 2.-

Simplifica al máximo las siguientes expresiones:

2 75 48

a)

147 108

b)

3 6 3 2

c) +

Ejercicio nº 3.-

Expresa como un solo logaritmo la siguiente expresión, utilizando las propiedades de los logaritmos:

4 log 25

1 5

2

3log +log +log

Ejercicio nº 4.-

Resuelve las ecuaciones:

0 36 37

a) x4x2+ =

(

1

)

( )

2 2

2

b) ln x+ −ln x =ln

Ejercicio nº 5.-

Halla las soluciones del sistema:

  

= −

= −

1 9 y log x log

(2)

6 EXÁMENES ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA 1BAC CC Página 2 de 26

Ejercicio nº 6.-

Encuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones, utilizando el método de Gauss:

+ + =

 

− + = −

+ =

2 3

2 2 3 1

3 2 2 2

x y z

x y z

x y z

Ejercicio nº 7.-

La edad de un padre hace dos años era el triple de la edad de su hijo. Dentro de once años, el padre tendrá el doble de la edad del hijo. ¿Cuál es la edad actual de cada uno?

Ejercicio nº 8.-

Racionaliza y opera, simplificando al máximo, la siguiente expresión:

2 3 2 3

3 2 3 2

+

− +

Ejercicio nº 9.-

En un determinado momento un avión se encuentra situado con respecto a dos puntos como muestra la figura:

Halla las distancias del avión a los puntos A y B, así como la altura a la que se encuentra en dicho instante.

Ejercicio nº 10.-

(3)

6 EXÁMENES ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA 1BAC CC Página 3 de 26

Ejercicio nº 11.-

a)))) Escribe la expresión analítica de la función cuya gráfica es la siguiente:

b) Representa la función en estos ejes: 2

x y ====sen

Ejercicio nº 12.-

Demuestra la siguiente igualdad:

2 1 5

2

2 + 2 x = cosx+

cos x sen

x sen

Ejercicio nº 13.-

Resuelve la ecuación:

cos x sen 2x −−−− sen x ==== 0

Ejercicio nº 14.-

Un pentágono regular con centro en el origen de coordenadas tiene uno de sus vértices en el afijo z= += += += +1 3 . Calcula los otros vértices y el perímetro de la figura.i

(4)

6 EXÁMENES ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA 1BAC CC Página 4 de 26

(

)

(

)

(

, k

)

u.

w v u → → → → − − a lar perpendicu sea 2 que para k de valor El b) . 1 2, con forma que ángulo El a) : halla , 4 3, vector el Dado

Ejercicio nº 16.-

a)))) Halla las ecuaciones paramétricas de la recta r, sabiendo que pasa por los puntos A((((2, 2,)))) y B((((1, −−−−3)))).

b)))) Determina la posición relativa de la recta anterior, r, con la recta:

   − = − = t y t x s 15 10 3 2 :

Ejercicio nº 17.-

Halla el ángulo formado por estas rectas:

3x −−−−y ++++ 2 ==== 0 x ++++ 4y ++++ 1 ==== 0

Ejercicio nº 18.-

Dada la recta r: −−−−3x ++++ 4y −−−− 1 ==== 0 y los puntos A((((2, 4)))) y B(−(−(−(−1, 3)))), halla la distancia:

a)))) Entre A y B. b)))) De B a r.

Ejercicio nº 19.-

Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado están sobre las rectas:

r: 2x −−−− 3y ++++ 4 ==== 0 s: 2x −−−− 3y ++++ 1 ==== 0

Calcula el área de dicho cuadrado.

Ejercicio nº 20.-

((((

))))

((((

))))

Dados los vectores 3, 4 y 6, 2 calcula un vector de la misma dirección que y cuyo módulo sea igual a la proyección de sobre .

a b a

(5)

6 EXÁMENES ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA 1BAC CC Página 5 de 26

EXAMEN B:

Ejercicio nº 1.-

Calcula, utilizando la definición de logaritmo:

     

− +

2 1 32

343

2 1

2

7 log log

log

Ejercicio nº 2.-

Opera y simplifica al máximo las expresiones:

45 80 5 a)

18 2 128

b) +

2 5

5 c)

Ejercicio nº 3.-

Si sabemos que log k ==== 0,9, calcula:

(

k

)

log k

log 100

100

3

Ejercicio nº 4.-

Resuelve:

x x x

x 1

6 16 1

a) − = +

+

3 1 3

3 b)

1 1

2

=

+ + −

x x x

Ejercicio nº 5.-

(6)

6 EXÁMENES ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA 1BAC CC Página 6 de 26

   

− =

− = −

2 3

2 2

xy x y

Ejercicio nº 6.-

Halla la solución del siguiente sistema mediante el método de Gauss:

+ − =

 

− + = −

+ − =

3 2 6

2 3 8

4

x y z

x y z

x y z

Ejercicio nº 7.-

Hemos comprado un pantalón y una camiseta por 44,1 euros. El pantalón tenía un 15%%%% de descuento y la camiseta estaba rebajada un 10%%%%. Si no tuvieran ningún descuento, habríamos tenido que pagar 51 euros. ¿Cuánto nos ha costado el pantalón y cuánto la camiseta?

Ejercicio nº 8.-

Simplifica, aplicando las propiedades de las potencias:

(((( ))))

(((( ))))

5 3

2 3

4 16 2

32

⋅ ⋅

⋅ ⋅

⋅ ⋅

⋅ ⋅

Ejercicio nº 9.-

Dos amigos se encuentran situados cada uno a un lado de una estatua, como muestra la figura:

a)))) ¿Cuál es la altura de la estatua?

(7)

6 EXÁMENES ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA 1BAC CC Página 7 de 26

Ejercicio nº 10.-

Calcula los lados y los ángulos del siguiente triángulo:

Ejercicio nº 11.-

a)))) Escribe la ecuación de la función correspondiente a la siguiente gráfica:

b)))) Representa la siguiente función en los ejes que se dan:

2 x cos y =

Ejercicio nº 12.-

Demuestra la igualdad:

(

x y

)

sen

(

x y

)

sen x sen y

sen + ⋅ − = 22

Ejercicio nº 13.-

(8)

6 EXÁMENES ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA 1BAC CC Página 8 de 26 4 5 2 2 = x cos x cos

Ejercicio nº 14.-

Resuelve el sistema dando las soluciones correspondientes al primer cuadrante:

2 2 2 2 2 1 3 3 4 sen x sen y

cos x cos y

   + = ++ == + =     − = − − = − − = − − = − 

Ejercicio nº 15.-

( )

4, 1,

(

1, 2

)

y

(

1,

)

, halla: vectores

los

Dados x→= y→= − →z= k

lares. perpendicu sean y que para de valor El

a) kxz

. e forman que ángulo El

b)x y

Ejercicio nº 16.-

a)))) Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta, r1, que pasa por P((((0, −−−−1)))) y es perpendicular a la recta:

   + − = + = t y t x r 2 3 2 : 2

b)))) Determina la posición relativa de la recta que has obtenido en a)))), r1, con la recta:

   − − = − = t y t x r 4 5 2 1 : 3

Ejercicio nº 17.-

Calcula el ángulo formado por las rectas:

y ====−−−−2x ++++ 3 y ==== 4x ++++ 1

(9)

6 EXÁMENES ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA 1BAC CC Página 9 de 26

( )

  

− =− + =

t y

t x

r

2 1

3 2 :

recta la a 2 3, P punto del distancia la

Calcula

Ejercicio nº 19.-

Halla el área del triángulo de vértices A((((4, 0)))), B((((2, 3)))) y C((((0, −−−−2)))).

Ejercicio nº 20.-

(10)

6 EXÁMENES ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA 1BAC CC Página 10 de 26

EXAMEN C:

Ejercicio nº 1.-

Teniendo en cuenta la definición de logaritmo, halla el valor de x en cada caso:

5 a)log2x =

3 27 b)logx =

Ejercicio nº 2.-

Calcula y simplifica al máximo:

81 32 27

a)

48 2 75

b) +

2 2

2 2 c)

− +

Ejercicio nº 3.-

Sabiendo que log 3 ==== 0,48, calcula ((((sin utilizar la calculadora)))) el logaritmo ((((en base 10)))) de cada uno de estos números:

5 9

c) 9

b) 30

a)

Ejercicio nº 4.-

Resuelve las siguientes ecuaciones:

x x 1 11 2 3

a) − + =

0 4 2 3 2 2

b) x1+ x+1− ⋅ x + =

Ejercicio nº 5.-

(11)

6 EXÁMENES ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA 1BAC CC Página 11 de 26

   

− = +

− = +

1 3

2 1 3

y x

y x

Ejercicio nº 6.-

Obtén, mediante el método de Gauss, la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

   

− = +

+− − =

= + +

2 5

8 2

2

7 2

3

z y x

z y x

z y x

Ejercicio nº 7.-

Se mezcla cierta cantidad de café de 1,2 euros/kg con otra cantidad de café de 1,8 euros/kg, obteniendo 60 kg al precio de 1,4 euros/kg. ¿Cuántos kilogramos de cada clase se han utilizado en la mezcla?

Ejercicio nº 8.-

Calcula y simplifica:

((((

))))

− − − + −

+ 2

a) 18 9 5 2 2 8 4

b) 2 2

x x x

x y

Ejercicio nº 9.-

Halla los valores de x, y, h en el siguiente triángulo:

Ejercicio nº 10.-

(12)

6 EXÁMENES ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA 1BAC CC Página 12 de 26

Ejercicio nº 11.-

a)))) Representa la siguiente función en los ejes que se dan:

y ==== sen 3x

b)))) Escribe la expresión analítica correspondiente a la función cuya gráfica es:

Ejercicio nº 12.-

Demuestra que:

x sen x

cos

x cos x

cos x sen x

sen x cos

2 2 1

2 1 1

1

+ = +

+ −

Ejercicio nº 13.-

Resuelve la siguiente ecuación:

sen 2x ++++ cos x ==== 0

Ejercicio nº 14.-

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

((((

))))

4 3

2 3 5 38 2

z w i

zi i w i

+ = +

+ = +

+ = +

+ = + 

  

+ − = +

+ − = +

+ − = +

+ − = + 

(13)

6 EXÁMENES ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA 1BAC CC Página 13 de 26

(

, 1

)

y

(

3, 2

)

seanperpendiculares. vectores los que para de valor el Averigua

a) mu mv − −

(

3, 2

)

y

( )

2, 1.

forman que

ángulo el

Halla

b) v→ − − w

Ejercicio nº 16.-

a)))) Halla las ecuaciones paramétricas de la recta, r, que pasa por el punto A((((2, 5)))) y es paralela a la recta:

   − = + − = t y t x r 2 2 1 : 2

b)))) Estudia la posición relativa de r1 ((((la recta que has obtenido en a)))))))) con la recta:

   + − = − = t y t x r 4 1 2 4 : 3

Ejercicio nº 17.-

Halla el ángulo que forman las rectas:

   − =− + =    + − = − = t y t x : s t y t x : r 2 1 2 1 3 2

Ejercicio nº 18.-

(

)

2 3 : recta la a 4 2, punto el desde hay que distancia la

Halla P r y = x+

Ejercicio nº 19.-

Halla el punto simétrico de P((((2, 3)))) con respecto a la recta r: 3x −−−− y ++++ 5 ==== 0.

Ejercicio nº 20.-

(14)

6 EXÁMENES ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA 1BAC CC Página 14 de 26

EXAMEN D:

Ejercicio nº 1.-

Calcula, utilizando la definición de logaritmo:

125 a)log5

000 1

1 b) log

2 c)log2

Ejercicio nº 2.-

Halla y simplifica:

4 180 5 a)

28 2 63

b)

1 2

1 2 c)

+ −

Ejercicio nº 3.-

Si ln k ====0,7, calcula el valor de la siguiente expresión:

( )

2

3

10 10 ln k

k

ln +

Ejercicio nº 4.-

Halla las soluciones de las ecuaciones:

2

2 6

3 3 1 4

5 a)

x x − =

(

1

)

(

3 2

)

1

(15)

6 EXÁMENES ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA 1BAC CC Página 15 de 26

Ejercicio nº 5.-

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

    

= −

= −

1 2

6 1 1 1

y x

y x

Ejercicio nº 6.-

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones, aplicando el método de Gauss:

   

= +

+ − =

+− + =−

6 2

6 2 3

4 2

z y x

z y x

z y x

Ejercicio nº 7.-

2

La suma de dos números es 10 y la de sus inversos, . Hállalos. 15

−−−−

Ejercicio nº 8.-

Comprueba que:

= −

31000 10 4

3

log a log a

log a

Ejercicio nº 9.-

Para sujetar un mástil al suelo como indica la figura hemos necesitado 10 metros de cable.

(16)

6 EXÁMENES ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA 1BAC CC Página 16 de 26

Ejercicio nº 10.-

Halla los lados y los ángulos de este triángulo:

Ejercicio nº 11.-

a)))) Representa en estos ejes la siguiente función trigonométrica:

y ==== cos 3x

b)))) Escribe la ecuación de la función cuya gráfica es:

Ejercicio nº 12.-

Demuestra la siguiente igualdad:

1 2

1 2

2 2 =

  

 

cosx

x cos

Ejercicio nº 13.-

Resuelve:

(

+45

)

+

(

45

)

=1

x sen x

sen

(17)

6 EXÁMENES ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA 1BAC CC Página 17 de 26

Simplifica la siguiente expresión:

:

4 4

cos

tg tg tg

sen

 

 

 

 

 ππππ  ππππ  αααα

+ α ⋅ − α − α

+ α ⋅ − α − α

+ α ⋅ − α − α

+ α ⋅ − α  − α

 

 

 

     α

αα α

   

   

   

   

 

 

 

   

Ejercicio nº 15.-

( )

2, 3 y

(

2, 3

)

. vectores

los forman que

ángulo el

Halla

a)ab

(

)

(

)

→ → −

b) ¿Cuánto ha de valer k para que los vectores x k, 3 e y k, 3 sean

perpendiculares?

Ejercicio nº 16.-

a)))) Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta, r, que pasa por los puntos P((((2, −−−−1)))) y Q((((3, 4)))).

b)))) Averigua la posición relativa de la recta obtenida en a)))) con la recta:

  

+ − = =

t y

t x s

3 :

Ejercicio nº 17.-

Averigua el ángulo que forman las rectas:

2 2 3 0;

4 3

2xy+ = y = − x+

Ejercicio nº 18.-

Dados el punto P((((k, 1)))) y la recta r: 3x −−−−4y ++++ 1 ==== 0, halla el valor de k para que la distancia de P a r sea 3.

Ejercicio nº 19.-

Halla la ecuación de la mediatriz del segmento que tiene como extremo los puntos de corte de la recta 3x ++++ 4y −−−− 12 ==== 0 con los ejes de coordenadas.

(18)

6 EXÁMENES ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA 1BAC CC Página 18 de 26

Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P((((1, 3)))) y forma un ángulo de 45°°°° con la recta r : 4x −−−− y ++++ 1 ==== 0.

EXAMEN E:

Ejercicio nº 1.-

Halla el valor de x en cada caso, utilizando la definición de logaritmo:

x log 32= a) 2

3 b)log3x =

Ejercicio nº 2.-

Efectúa y simplifica:

50 98 3 a)

45 2 80

b)

1 3

3 c)

Ejercicio nº 3.-

Sabiendo que log7 ==== 0,85, calcula ((((sin utilizar la calculadora)))):

3 7

c) 49 b) 700

a)log log log

Ejercicio nº 4.-

Obtén las soluciones de las ecuaciones siguientes:

1 2 4 5

a) x+ = x+

0 9 8 3 3

b) 2xx+1+ =

(19)

6 EXÁMENES ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA 1BAC CC Página 19 de 26

Resuelve:

   

= +

= −

6 2 2

0 2

y x

y x

Ejercicio nº 6.-

Resuelve, utilizando el método de Gauss:

   

= +

− − =

+− + =

1 3 2

3 2

2 2 2

z y x

z y x

z y x

Ejercicio nº 7.-

Un grupo de amigos va a cenar a un restaurante. Cuando van a pagar observan que, si cada uno pone 20 euros, sobran 5 euros; y si cada uno pone 15 euros, faltan 20 euros. ¿Cuántos amigos son y cuál es el precio total que tienen que pagar?

Ejercicio nº 8.-

Clasifica los siguientes números según sean naturales, enteros, racionales y/o reales:

(((( ))))

− −

− ; ;

− −

3 2

5 3

5

1 27 10

; 32 3; 5 ; 25

4

2 1 5 5

ln e log

⋅⋅⋅⋅

Ejercicio nº 9.-

Raquel ve el punto más alto de una antena bajo un ángulo de 55

°°°°

. Alejándose 7 metros en línea recta, el ángulo es de 40°°°°. ¿Cuál es la altura de la antena?

Ejercicio nº 10.-

(20)

6 EXÁMENES ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA 1BAC CC Página 20 de 26

Ejercicio nº 11.-

a)))) Dado la siguiente gráfica, escribe la ecuación de la función correspondiente:

b)))) Representa la siguiente función en los ejes que se dan:

y ==== cos 2x

Ejercicio nº 12.-

Demuestra que:

(

x

) (

cosx

)

cos x

cos 2

2 1 45

45 ⋅ − =

+

Ejercicio nº 13.-

Resuelve la ecuación trigonométrica:

cos 2x ++++ cos2 x ==== 2

Ejercicio nº 14.-

(21)

6 EXÁMENES ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA 1BAC CC Página 21 de 26

Ejercicio nº 15.-

( )

(

)

. 2 2 que y lares, perpendicu sean e que para y de valores los halla 2 e 1 vectores los Dados = − → → → → → y y x b a , b , y a, x

Ejercicio nº 16.-

a)))) Obtén las ecuaciones paramétricas de la recta, r, que pasa por P((((3, −−−−2)))) y es perpendicular a la recta 2x −−−− y ++++ 4 ==== 0.

b)))) Estudia la posición relativa de la recta, r, obtenida en a)))), con la recta:

   + − = − = t y t x s 1 3 :

Ejercicio nº 17.-

Halla el ángulo formado por las rectas de ecuaciones:

   + = − =    + = = t y t x s t y t x r 2 1 : 1 2 :

Ejercicio nº 18.-

Dados los puntos P((((0, −−−−4)))), Q((((2, −−−−5)))) y la recta r: −−−−3x ++++ y ++++ 1 ==== 0, halla la distancia:

a)))) Entre P y Q b)))) De Q a r.

Ejercicio nº 19.-

(22)

6 EXÁMENES ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA 1BAC CC Página 22 de 26

a)))) Las ecuaciones de las alturas que parten de A y de C.

b)))) El ortocentro ((((punto de corte de las alturas)))).

Ejercicio nº 20.-

Determinar la ecuación de una recta de pendiente −−−−1 que forma con la parte negativa de los ejes coordenados un triángulo de área 8.

EXAMEN F:

Ejercicio nº 1.-

Calcula, utilizando la definición de logaritmo:

     

− +

2 1 32

343

2 1

2

7 log log

log

Ejercicio nº 2.-

Halla y simplifica:

4 180 5 a)

28 2 63

b)

1 2

1 2 c)

+ −

Ejercicio nº 3.-

Sabiendo que log 3 ==== 0,48, calcula ((((sin utilizar la calculadora)))) el logaritmo ((((en base 10)))) de cada uno de estos números:

5 9

c) 9

b) 30

a)

Ejercicio nº 4.-

Halla las soluciones de las ecuaciones:

2

2 6

3 3 1 4

5 a)

(23)

6 EXÁMENES ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA 1BAC CC Página 23 de 26

(

1

)

(

3 2

)

1

b)log x+ −log x− =

Ejercicio nº 5.-

Obtén las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:

   

− =

− = −

2 3

2 2

xy x y

Ejercicio nº 6.-

Encuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones, utilizando el método de Gauss:

+ + =

 

− + = −

+ =

2 3

2 2 3 1

3 2 2 2

x y z

x y z

x y z

Ejercicio nº 7.-

Un grupo de amigos va a cenar a un restaurante. Cuando van a pagar observan que, si cada uno pone 20 euros, sobran 5 euros; y si cada uno pone 15 euros, faltan 20 euros. ¿Cuántos amigos son y cuál es el precio total que tienen que pagar?

Ejercicio nº 8.-

Calcula y simplifica:

((((

))))

− − − + −

+ 2

a) 18 9 5 2 2 8 4

b) 2 2

x x x

x y

Ejercicio nº 9.-

(24)

6 EXÁMENES ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA 1BAC CC Página 24 de 26

Halla las distancias del avión a los puntos A y B, así como la altura a la que se encuentra en dicho instante.

Ejercicio nº 10.-

Resuelve el siguiente triángulo, es decir, halla sus lados y sus ángulos:

Ejercicio nº 11.-

a)))) Representa en estos ejes la siguiente función trigonométrica:

y ==== cos 3x

b)))) Escribe la ecuación de la función cuya gráfica es:

Ejercicio nº 12.-

Demuestra la igualdad:

(

x y

)

sen

(

x y

)

sen x sen y

sen + ⋅ − = 22

Ejercicio nº 13.-

(25)

6 EXÁMENES ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA 1BAC CC Página 25 de 26

(

+45

)

+

(

45

)

=1

x sen x

sen

Ejercicio nº 14.-

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

((((

))))

4 3

2 3 5 38 2

z w i

zi i w i

+ = + + = + + = + + = +     + − = + + − = + + − = + + − = + 

Ejercicio nº 15.-

( )

(

)

. 2 2 que y lares, perpendicu sean e que para y de valores los halla 2 e 1 vectores los Dados = − → → → → → y y x b a , b , y a, x

Ejercicio nº 16.-

a)))) Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta, r, que pasa por los puntos P((((2, −−−−1)))) y Q((((3, 4)))).

b)))) Averigua la posición relativa de la recta obtenida en a)))) con la recta:

   + − = = t y t x s 3 :

Ejercicio nº 17.-

Halla el ángulo formado por estas rectas:

3x −−−−y ++++ 2 ==== 0 x ++++ 4y ++++ 1 ==== 0

Ejercicio nº 18.-

(26)

6 EXÁMENES ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA 1BAC CC Página 26 de 26

Ejercicio nº 19.-

Dado el triángulo de vértices A((((2, 4)))) , B((((6, 5)))) y C((((4, 1)))), halla:

a)))) Las ecuaciones de las alturas que parten de A y de C.

b)))) El ortocentro ((((punto de corte de las alturas)))).

Ejercicio nº 20.-

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Referencias

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