NÚMEROS ENTEROS,
ℤ
CPR. JORGE JUAN Xuvia-NarónEs el conjunto definido por, ℤ= {-, ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.... }. Se deduce que el conjunto de los números naturales, ℕ, está incluido en el conjunto de los números enteros, ℤ, (ℕℤ).
En el conjunto de los números enteros, ℤ, se define la función valor absoluto, , de un número entero, como aquella que deja al número entero tal cual si éste es positivo y le cambia el signo, es decir lo convierte en positivo si éste es negativo.
Los números enteros al igual que los naturales se representan en la recta numérica:
El número entero, 0, se coloca en el centro como origen o punto de referencia. Los enteros positivos se colocan a la derecha del cero.
Los enteros negativos se colocan a la izquierda del cero.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Con ayuda de esta recta se pueden ordenar los números enteros. Un número entero será más grande cuanto más a la derecha de esta recta esté colocado. Cualquier número entero es mayor que los que están situados a su izquierda y menor que los que están colocados a su derecha en la recta numérica.
Con los números enteros se redefinen las operaciones básicas vistas en los números naturales para que tengan en cuenta el signo, +, o ,-, que pueden tener ahora los números enteros, y de forma que las primeras estén incluidas en las nuevas, es decir, que sean un caso particular de las nuevas operaciones así definidas.
Sumar
La suma de dos números enteros o sumandos, a, y, b, da como resultado otro número entero
a,bℤ a+b= cℤ
2,-3ℤ 2+(-3)= -1ℤ
En la suma de dos números enteros se distingue:
Si ambos números enteros son del mismo signo, se suman sus valores absolutos, y el resultado de su suma tiene el signo común a ambos números enteros.
3 + 5= 8 -3 + (-5)= -8
Si ambos números enteros son de distinto signo, al mayor valor absoluto de ellos se le resta el menor valor absoluto, y el resultado de esta resta tiene el signo del número entero que tenga mayor valor absoluto.
Al sumarle a un número entero un entero positivo éste se mueve hacia la derecha en la recta numérica tantas veces como indica el número entero positivo.
Al sumarle a un número entero un entero negativo éste se mueve hacia la izquierda en la recta numérica tantas veces como indica el número entero negativo.
La suma tiene las siguientes propiedades:
Conmutativa
a,bℕ a+b= b+a= cℕ
2,3ℕ 2 + 3= 3 + 2 5 = 5
Asociativa
a,b,cℕ (a+b)+c= a+(b+c)
2,3,4ℕ (2 + 3) + 4= 2 + (3 + 4) 5 + 4= 2 + 7
9 = 9
Elemento neutro
eℕ/ aℕ a+e= e+a= a e= 0
2+0= 0+2= 2
Restar
La resta de dos números enteros o sumandos, a, y, b, da como resultado otro número entero
a,bℤ a-b= cℤ
2,-3ℤ 2-(-3)= 5ℤ
Para restar dos números enteros se cambia la operación de restar por la operación de sumar, pues lo que se hace es sumar al minuendo el opuesto del sustraendo. Para ello se cambia al mismo tiempo la operación a realizar y el signo del número entero que está a continuación del signo de restar cambiado y finalmente se suma siguiendo el criterio de los signos de la suma de números enteros.
(-2) – (+5)= (-2) + (-5)= (-7)
Al restarle a un número entero un entero positivo éste se mueve hacia la izquierda en la recta numérica tantas veces como indica el número entero positivo.
Al restarle a un número entero un entero negativo éste se mueve hacia la derecha en la recta numérica tantas veces como indica el número entero negativo.
Conmutativa
a,bℤ a-b b-a
2,3ℤ 3 - 2 2 - 3 1 -1
Asociativa
a,b,cℤ (a-b)-c a-(b-c)
2,3,5ℤ (5 - 2) - 3 5 - (2 - 3) 3 - 3 5 - (-1) 0 4
Elemento neutro
∄eℤ/ aℤ a-e= e-a= a
2 - 0 0 - 2 2 -2
La resta de números enteros si tiene la propiedad:
Anticonmutativa
a,bℤ a-b= -(b-a)= cℤ
2,3ℤ (3 – 2)= -(2 – 3)
1 = 1
Multiplicar
La multiplicación de dos números enteros, a, y, b, da como resultado otro número entero
a,bℤ a.b= cℤ
2,-3ℤ 2 .(-3)= -6ℤ
La multiplicación de números enteros se realiza en dos pasos:
El primero hace referencia al valor numérico que se obtiene, el cual se realiza de forma similar a la multiplicación de números naturales.
El segundo hace referencia el signo del resultado, para lo cual se tiene en cuenta:
Multiplicación de números enteros con igual signo el resultado es positivo, +.
(+5) . (+3)= +15 (-5) . (-3)= +15
Multiplicación de números enteros con distinto signo el resultado es negativo, -.
(+5) . (-3)= -15 (-5) . (+3)= -15
Conmutativa
a,bℤ a.b= b.a= cℤ
2,3ℤ 2 . 3= 3 . 2 6 = 6
Asociativa
a,b,cℤ (a.b).c= a.(b.c)
2,3,4ℤ (2 . 3) . 4= 2 . (3 . 4) 6 . 4= 2 . 12
24 = 24
Elemento neutro
eℤ/ aℤ a.e= e.a= a e= 1
2.1= 1.2= 2
Distributiva del producto con respecto a la suma
a,b,cℤ a.(b+c)= a.b + a.c
2,3,5ℤ 2 . (3 + 5)= 2 . 3 + 2 . 5 2 . 8 = 6 + 10
16 = 16
Se denominan múltiplos de un número entero, a, a los números enteros que se obtienen al multiplicar dicho número por cualquier otro número entero. Las propiedades que tienen los múltiplos de un número entero son:
El número entero, b, es múltiplo del número entero, a, si al dividirlo por él la división es exacta.
b a b= c.a 0 c
existe entonces un número entero, c, tal que:
b= c.a
Todo número entero, a, es múltiplo de si mismo.
a= 1.a
Todo número entero, b, es múltiplo del, 1.
b= b.1
El número entero, 0, es múltiplo de cualquier número entero, a.
La suma de dos múltiplos enteros, m, y, n, de un número entero, a, es otro múltiplo del número entero, a.
m= k.a n= k’.a .
m+n= (k+k’).a= K.a m+n es múltiplo del número entero, a
Si el número entero, a, es múltiplo del número entero, b, y el número entero, b, es múltiplo del número entero, c, entonces el número entero, a, es múltiplo del número entero, c.
a= k.b
a= k.k’.c= K.c el número entero, a, es múltiplo del número entero, c b= k’.c
Existen ciertas reglas que permiten saber de forma rápida si un número entero, a, es múltiplo de otro:
Múltiplo de 2
Un número entero, a, es múltiplo de, 2, si su última cifra es par.
24
Múltiplo de 3
Un número entero, a, es múltiplo de, 3, si la suma de sus cifras es 3 o múltiplo de, 3.
117 1+1+7= 9 9 es múltiplo de 3
Múltiplo de 4
Un número entero, a, es múltiplo de, 4, si acaba en, 00, o el número que forman sus dos últimas cifras es múltiplo de, 4.
108 108 es múltiplo de 4
Múltiplo de 5
Un número entero, a, es múltiplo de, 5, si su última cifra es, 0, o, 5.
105 termina en 5
Múltiplo de 6
Un número entero, a, es múltiplo de, 6, si acaba en, 0, o cifra par y sus cifras suman múltiplo de, 3. Se puede decir también que es múltiplo de, 6, si es al mismo tiempo múltiplo de, 2, y de, 3.
18 es múltiplo de, 2, por terminar en cifra par
es múltiplo de, 3, porque la suma de sus cifras lo es, 1+8= 9
Múltiplo de 9
Un número entero, a, es múltiplo de, 9, si la suma de sus cifras es múltiplo de, 9.
Múltiplo de 10
Un número entero, a, es múltiplo de, 10, si acaba en, 0.
Múltiplo de 11
Un número entero, a, es múltiplo de, 11, si la diferencia entre la suma de sus cifras de lugar par y la suma de sus cifras de lugar impar es, 0, o múltiplo de, 11.
121 suma de las cifras que ocupan posición impar: 1+1= 2 suma de las cifras que ocupan posición par: 2
2-2= 0
Múltiplo de 100, 1000, ...
Un número entero, a, es múltiplo de, 100, si las dos últimas cifras son, 0.
Un número entero, a, es múltiplo de, 1000, si las tres últimas cifras son, 0.
El concepto de múltiplo permite definir el mínimo común múltiplo de dos o más números enteros, como el menor de los múltiplos comunes de todos ellos.
El mínimo común múltiplo de varios números enteros tiene las siguientes propiedades:
Como valor mínimo su valor es el mayor de dichos números enteros.
Como valor máximo su valor es el producto de dichos números enteros.
Para la obtención del mínimo común múltiplo de varios números se procede de la siguiente manera:
Primer procedimiento
Se hallan los múltiplos de todos los números enteros.
Se busca el menor de los múltiplos comunes de todos ellos.
m.c.m.(8,12)= 24
múltiplos 8= {8, 16, 24, 32, 40, 48,….}
múltiplos 12= {12, 24, 26, 48, 60, ….}
Segundo procedimiento
Se descomponen factorialmente los números enteros.
Se toman los factores comunes y no comunes de la factorización de dichos números enteros con su mayor exponente.
El m.c.m. es el producto de estos factores así tomados.
m.c.m.(8,12)= 23.1.3= 8.1.3= 24
8 2 12 2 8= 23.1 4 2 6 2 12= 22.3.1 2 2 3 3
1 1 1 1
Completar la tabla
Número Millares Centenas Decenas Unidades
9854 9 8 5 4
32127 32 1 2 7
7019 7 0 1 9
18175 18 1 7 5
Completar la tabla
a b c a-b (a+b).c a.b-c a+b-c
5 2 3 3 21 7 4
4 1 2 3 10 2 3
3 2 1 1 5 5 4
10 5 10 5 150 40 5
5 1 5 4 30 0 1
Realiza las siguientes operaciones:
(25 + 15 + 8) : (15 -7)=48 : 8= 6 (10 . 1. 15) : 5=150 : 5= 30 (1 + 2 . 3) - (30 : 6)=7 - 5= 2 (9 + 3) . (120 : 40)=12 . 3= 36
Realizar las siguientes operaciones:
2 . (9-5)= 2 . 4= 8
9 - 2 . (9-5)=9 - 2 . 4= 9 - 8= 1
4 . (9 - 2 . (9-5))= 4 . (9 - 2 . 4)= 4 . (9 - 8)= 4 . 1= 4
3 . 2 - 4 . (9 - 2 . (9-5))= 6 - 4 . (9 - 2 . 4)= 6 - 4 . (9 - 8)= 6 - 4 . 1= 6 - 4= 2
Realiza las siguientes operaciones:
5 . (7 - 3) + 4 . 8 : 2 - 5 . (10 - 4)=5 . 4 + 16 - 5 . 6= 20 + 16 - 30= 6
3 - 2 . (5 - 4 . (7 - 3 . 2))=3 - 2 . (5 - 4 . (7 - 6))= 3 - 2 . (5 - 4 . 1)= 3 - 2 . 1= 3 - 2= 1 22 - (5 . 3 - 4 . (8 - 5)) - 6 . 3=22 - (15 - 12) - 18= 22 - 3 - 18= 1
3 . (4 - (6 : 2 - 2)) - 4 . (5 - (6 - 2 - 1))=3. (4 - 1) - 4 . (5 - 3)= 9 - 8= 1
Dividir
La división de un número entero llamado dividendo por otro número entero llamado divisor, con la condición de que el primero tenga un valor absoluto mayor o igual que el segundo, tiene como cociente y resto números enteros.
a,bℤ, ab a b c,rℤ r c
a Dividendo b Divisor c Cociente r Resto
Son denominan divisores de un número entero, a, a los números enteros, b, menores o igual que él, a excepción del, 0, que lo dividen de forma exacta. Como la división es exacta tanto el cociente como el divisor son divisores del dividiendo, a.
Las propiedades que tienen los divisores de un número entero son:
Si el número entero, b, es divisor del número entero, a, entonces existe un número entero, c, tal que:
a b a= b.c 0 c
Todo número entero, a, es divisor de sí mismo.
a a a= a.1 0 1
El número entero, 1, es divisor de cualquier número entero, a.
a 1 a= 1.a 0 a
Si el número entero, c, es divisor del número entero, b, y el número entero, b, es divisor del número entero, a, entonces el número entero, c, es divisor del número entero, a.
b= k.c
a= k’.k.c= K.c c es divisor de a a= k’.b
Se dice que un número entero es divisible entre otro, si el segundo es divisor del primero.
Un número entero es primo si sus únicos divisores son, 1, -1, él mismo y su opuesto. En caso contrario el número se dice compuesto.
Eratóstenes ideó un método, conocido como criba de Eratóstenes para obtener los números primos inferiores a, 100. Su método consistía en ir eliminando los múltiplos del, 2, a continuación eliminaba los múltiplos del siguiente número entero que aún quedaba y que era primo, el 3, y así sucesivamente con los números enteros que iban quedando y que eran los primos buscados.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
11 12 13 14 15 16 17 18 19
21 22 23 24 25 26 27 28 29
31 32 33 34 35 36 37 38 39
41 42 43 44 45 46 47 48 49
51 52 53 54 55 56 57 58 59
61 62 63 64 65 66 67 68 69
71 72 73 74 75 76 77 78 79
81 82 83 84 85 86 87 88 89
Un procedimiento para saber si un número entero es primo es comprobar que no es divisible por los sucesivos números primos, 2, 3, 5,... hasta llegar a una división en la que el cociente sea menor o igual que el siguiente número primo. Si tampoco esta siguiente división es exacta entonces el número entero es primo.
223 13 093 17 02
el cociente de la división es, 17, que en este caso es igual al siguiente número primo, 17. Se realiza de nuevo la división con el siguiente número primo
223 17 053 13 02
división que tampoco es exacta por lo que el número, 223, es primo.
Se llama descomposición factorial de un número entero o simplemente factorización al proceso por el cual dicho número entero se escribe como producto de números primos.
Para realizar la factorización de un número entero se sigue:
A la izquierda se escribe el número entero que se quiere factorizar y a su derecha, separado por una línea, el primer número primo que lo divide. Debajo del número entero se escribe el cociente de la división anterior. Se reanuda el proceso con este nuevo número entero obtenido y así sucesivamente hasta que el último cociente sea la unidad.
63 3 21 3
7 7 63= 3.3.7.1= 32.7.1 1 1
1
El concepto de divisor permite definir el máximo común divisor de dos o más números enteros, como el mayor de los divisores comunes de todos ellos.
El máximo común divisor de varios números enteros tiene las siguientes propiedades:
Como valor mínimo su valor es la unidad.
Como valor máximo su valor es el menor de dichos números enteros.
Si fuese mayor no dividiría al menor de los números enteros.
Para la obtención del máximo común divisor de varios números se procede de la siguiente manera:
Primer procedimiento
Se hallan los divisores de todos los números enteros.
Se busca el mayor de los divisores comunes a todos ellos.
divisores 18= {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Segundo procedimiento
Se descomponen factorialmente los números enteros.
Se toman los factores comunes de la factorización de dichos números enteros con su menor exponente.
El m.c.d. es el producto de estos factores así tomados.
m.c.d.(18,20)= 2.1= 2
18 2 20 2 9 3 10 2 3 3 5 5 1 1 1 1
1 1
18= 2.32.1 20= 22.5.1
Si, a, y, b, son dos números enteros se verifica:
Si el número entero, b, es múltiplo del número entero, a, entonces:
mínimo común múltiplo (a,b)= b
máximo común divisor (a,b)= a
Si el número entero, a, y el número entero, b, tienen por máximo común divisor la unidad entonces dichos números son primos.
a,bℤ / M.c.d.(a,b)= 1 a, b son primos.
Potencia
Sea, a, un número entero, aℤ, si este número se multiplica consigo mismo n-veces, siendo, n, un número entero, nℤ,
a.a.a.a....n...a
dicho producto se puede escribir en forma abreviada de la forma
an
y se dice que se ha realizado una potencia del número entero, a, de exponente entero.
En toda potencia se distingue:
Base, a
Es el número entero que se multiplica por si mismo.
Exponente, n
Es el número de veces que el número entero, a, se multiplica por si mismo.
El signo final de esta potencia depende tanto del signo que tenga la base como de la paridad del exponente, verificándose:
La potencia es siempre positiva
23= 2.2.2= 8
3 3
1
1
1
2
2
2.2.2
8
Base, aℤ, negativa
Exponente par
La potencia es positiva
(-2)2= (-2).(-2)= 4
Exponente impar
La potencia es negativa
(-2)3= (-2).(-2).(-2)= -8
Las potencias del número entero, aℤ, de exponente entero tienen las propiedades:
El producto de potencias de igual base es otra potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de dichas potencias.
am. an= am+n
23 . 25= 2.2.2 . 2.2.2.2.2= 28= 23+5
El cociente de potencias de igual base es otra potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes de la potencia del numerador o dividiendo y de la potencia del denominador o divisor.
am: an= m
n
a
a
= am-n
5
2 5 3 3
2
2.2.2.2.2
2.2
2
2
2
2.2.2
El producto de potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene por base el producto de las bases de dichas potencias y por exponente el mismo.
an. bn= (a.b)n
23.33= 2.2.2 . 3.3.3.= 6.6.6= 63= (2.3)3
El cociente de potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene por base el cociente de las bases de dichas potencias y por exponente el mismo.
an: bn=
n n n
a
a
b
b
3 3 3 38 8.8.8 8
4.4.4 4
2 2.2.2 2
La potencia de una potencia es otra potencia que tiene la misma base y por exponente el producto de los exponentes.
(am)n= am.n
(22)3= (22).(22).(22)= (2.2).(2.2).(2.2)= 2.2.2.2.2.2= 26= (2)2.3
Cualquier potencia de exponente nulo es la unidad.
a0= 1
Cualquier potencia de exponente la unidad es la propia base.
a1= a
Una potencia de exponente negativo se puede expresar como potencia de exponente positivo sin más que cambiar la potencia de lugar en la fracción.
a0, a-n=
1
na
el cociente de potencias con la misma base permite escribir
n
n m
a
a
= an – (n+m) = a-m
por otro lado se escribe
. . ... . . .
1
1
. . ...
...
. . ... ...
n n
n m n m m m
a
a a a
a a a
a
a a a
a
a a a
a
a
si estos dos resultados han de ser idénticos se deduce que
1
m m
a
a
5 5
1
2
2
Debido a que con estos números se expresan simultáneamente las operaciones de, +, -, ., :, se han de seguir una serie de reglas prácticas:
No pueden ir dos signos seguidos, se deben separar por medio de un paréntesis.
Los paréntesis siempre van por parejas, uno abre y otro cierra la expresión.
Si una pareja de paréntesis está dentro de otra, la más interna es la primera que se realiza.
El orden de jerarquía de las operaciones que se indican en una expresión matemática es:
Llaves, Corchetes, Paréntesis
Potenciación, Radicación
Multiplicación, División
A igualdad de jerarquía tiene preferencia la operación que se encuentra más a la izquierda.
Operando con los dígitos, 2, 3, y, 4, consigue el número que, multiplicado por, 5, dé un resultado lo más próximo a, 2160.
432 . 5= 2160
Un ganadero compra una vaca por, 1406 €. Cada día obtiene, 21 litros, de leche que vende a, 0’41 €/litro. La vaca consume cada día, 8 kg, de pienso que sale a, 0’69 €/kg. Al cabo de, 180 días, la vende por, 1172 €. ¿Qué beneficio ha obtenido?.
Ingresos Gastos
21 . 0’41 . 180= 1548’8 € 1406 € 1172 € 8 . 0’69 . 180= 993’6 €
2720’8 € 2399’6 €
Beneficio= Ingresos – Gastos= 2720’8 – 2399’6= 321’6 € de beneficio
Es, 223, un número primo. Y el número, 851.
Descomponer factorialmente los números
90 2.32.5
660 66.10= 6.11.2.5= 2.3.11.2.5= 22.3.5.11
12 4.3= 2.2.3= 22.3
50 5.10= 5.2.5= 2.52
121 11.11= 112
44 11.4= 11.2.2= 22.11
Hallar el m.c.d. y el m.c.m. de la pareja de números
4-6 4-9 4-5 8-4 6-9
5-10 12-14 8-12 16-20 9-12
12-18 20-30 2-10 8-9 14-15
Calcula la diferencia de altura entre el Everest que está a, 8848 m, y la Fosa de las Marianas que está a, -11022 m.
11022 + 8848= 19870 m
Raquel tiene, 4 pantalones, 5 camisetas, y, 3 cazadoras. ¿De cuántas formas distintas puede vestirse?.
En un concurso de radio se reparten, 108 €, entre dos concursantes que han acertado, 32, y, 28 preguntas, respectivamente. ¿Cómo se debe repartir el dinero?.
El número de aciertos en total entre los dos concursantes es, 32 + 28= 60 aciertos
Un concursante llevará Otro concursante llevará
32
60
de 108=32
60
. 108= 57’6 €28
60
de 108=28
60
. 108= 50’4 €Un caracol está en el fondo de un pozo de, 10 m. Para salir asciende, 3 m, cada día, pero por la noche desciende, 2 m. ¿cuántos días tardará en llegar al borde del pozo?.
Posición inicial noche Posición día Días transcurridos
10 7 1
9 6 2
8 5 3
7 4 4
6 3 5
5 2 6
4 1 7
3 0 está fuera 8 días han transcurrido
Una máquina trabajando, 8 horas diarias, tarda, 3 días, en fabricar, 6000 botellas. En la empresa tienen un pedido urgente de, 15000 botellas, y ponen la máquina a trabajar, 10 horas diarias. ¿Cuántos días tardarán en fabricar el pedido?.
3 días, trabajando a, 8 horas diarias, la máquina hace un total de, 3 . 8= 24 horas en esas, 24 horas, hizo, 6000 botellas, luego cada hora la máquina hace
6000 : 24= 250 botellas
Si se quieren hacer, 15000 botellas, con esa máquina se tardará, 15000 : 250= 60 horas Trabajando, 10 horas, al día la máquina precisa para hacer las, 60 horas, 60 : 10= 6 días
Tres personas trabajando, 8 horas diarias, hacen un trabajo en, 15 días. ¿Cuántos días tardarán en hacer el mismo trabajo, 5 personas en jornadas de, 9 horas?.
En una parada de autobuses coinciden dos líneas, A, y, B. Los vehículos de la línea, A, pasan cada, 15 minutos, y los de la línea, B, cada, 20 minutos. Son la, 8:20, de la mañana y hay un autobús de cada línea en la parada. ¿A qué hora volverán a coincidir?.
m.c.m.(15,20)= 22.3.5= 4.3.5= 60 minutos, han de transcurrir Se vuelven a encontrar a la, 9:20 de la mañana
Un taxista cambia el aceite de un vehículo cada, 3500 km, y le hace la revisión general cada, 8000 km. ¿Cada cuántos kilómetros coinciden las dos operaciones?.
m.c.m.(3500,8000)= 26.53.7.1= 64.125.7.1= 56000 km transcurren para coincidir las revisiones
El número de empleados de una empresa está comprendido entre, 150, y, 200. Con ellos se pueden formar equipos de, 15, 12, y, 20 personas, sin que sobre o falte ninguno en cada caso. ¿Cuántos empleados son?.
m.c.m.(12,15,20)= 22.3.5= 60 múltiplos de 60= 60, 120, 180, 240 12= 22.3 15= 3.5 20= 22.5
En una máquina de chicles hay, 4 bolas rojas, y, 6 bolas azules. Para sacar un chicle hay que meter un duro. ¿Cuántos duros hay que meter para estar seguro de obtener dos chicles del mismo color?.
Tres duros porque en ese momento alguna bola repetirá color
Sabiendo que, a>b>c y que, a, b, y, c, son enteros positivos. Ordenar de mayor a menor los valores,
-a, a+b, -(a+b), a+b+c