Raíces de Funciones

(1)

Ra´ıces de Funciones

Universidad Antonio Nari˜no

1. M´

etodo de bisecci´

on

El método de bisección utiliza el hecho de sif es continua en [a, b] = [a0, b0] y se satisfacef(a0)<0< f(b0) of(b0)<0< f(a0), entonces existep∈(a0, b0) tal que f(p) = 0, es decir, f tiene un cero en p. El primer paso en el método de bisección es calcular el punto medio del intervalo [a0, b0], x0 = a0+2b0. Si

f(x0) = 0, entoncesx0es una ra´ız def. En caso contrario, sif(a0) yf(x0) tienen signos contrarios, entonces en el intervalo (a0, x0) = (a1, b1) f tiene un cero. Si

f(x0) yf(b0) tienen signos contrarios, entonces en el intervalo (x0, b0) = (a1, b1) f tiene un cero. Repetimos el mismo proceso con el nuevo intervalo (a1, b1) cuya longitud es la mitad del original, llamando x1 al nuevo punto medio. Si

f(x1) = 0, entoncesx1es una ra´ız def. En caso contrario se determina el nuevo intervalo (a2, b2) donde se encuentra p (cuya longitud es la mitad de (a1, b1)) Prosiguiendo de esta forma, se construye la sucesi´on (x_n)_n de tal manera que si nunca se daf(x_k) = 0 para algunk de nuestra lista, por lo menos para unn suficientemente grande se garantiza que el cero def permanece en un intervalo suficientemente peque˜no.

Teorema 1. Seaf : [a, b]→Rcontinua con f(a)f(b)<0 y seap∈(a, b) un cero def. Si (x_n)_n es la sucesión generada por el método de bisección entonces

|x_n−p| ≤ b−a

2n+1, n= 0,1, . . . (1)

La convergencia lineal caracterizada por la ecuación (1) es lenta comparada con otros métodos. Esto es As´ı ya que el método solo usa evaluaciones de la función y comparaciones. Veremos que usando derivadas ó mas información de la función

f, podemos as´ı obtener métodos más rápidos.

(2)

b−a

2n+1 ≤² 2n+1≥b−a

²

(n+ 1) log 2≥logb−a

²

n+ 1≥log b−a

² log 2

n >logb−²a log 2

Nota: “log”denota logaritmo natural

Solo en unos pocos métodos como el anterior es posible saber con certeza cuándo hay éxito en la precisión. Por esta dificultad en los métodos iterativos es común aceptar como éxito que el error relativo satisfaga:

e_n =|xn−xn−1|

|x_n| < ²,

y usar esta condición para detener los calculos. Esta condición casi siemre funciona y se usa con frecuencia. También puede aceptarse como éxito, la condición sobre el error absoluto:

E_n =|xn−xn−1|< ²,

si embargo la garant´ıa de esta condici´on, no esta asegurada.

Ejercicio resuelto 1. El polinomiof(x) =x3−3x+1 tiene una ra´ız simple en el intervalo (1,5,2). Aproximarse a ella con un error menor que 10−6

f(1,5) = −0,125 < 0 y f(2) = 3 > 0, por lo tantof(1,5)f(2) < 0. Adem´as,

n >log210−−1,65

(3)

n a_n b_n x_n f(x_n) 0 1.5000000 2.0000000 1.7500000 1.0937500 1 1.5000000 1.7500000 1.6250000 0.4160156 2 1.5000000 1.6250000 1.5625000 0.1271973 3 1.5000000 1.5625000 1.5312500 0.0033275 4 1.5312500 1.5625000 1.5468750 0.06077194 5 1.5312500 1.5468750 1.5390625 0.0284104 6 1.5312500 1.5390625 1.5351563 0.0124412 7 1.5312500 1.5351563 1.5332032 0.0045093 8 1.5312500 1.5332032 1.5322266 0.0005566 9 1.5312500 1.5322266 1.5317383 −1,0014165 10 1.5317383 1.5322266 1.5319825 −0,0043026 11 1.5319825 1.5322266 1.5321046 0,0000631 12 1.5319825 1.5321046 1.5320436 −0,0001836 13 1.5320436 1.5321046 1.5320741 −0,0000603 14 1.5320741 1.5321046 1.5320894 0.0000014 15 1.5320741 1.5320894 1.5320818 −0,0000294 16 1.5320818 1.5320894 1.5320856 −0,0000140 17 1.5320856 1.5320894 1.5320875 −0,0000063 18 1.5320875 1.5320894 1.5320885 −0,0000025 19 1.5320885 1.5320894 1.5320890 0.0000005

Note que el error absoluto E = |x19 −x18| = |1,5320890−1,5320885| = 0,0000005 = ₁₀57 < 1016, y el error relativoe= 10,,00000055320890 = 0,0000003 = 1037 < 1016

Ejercicio 1. La funci´on f(x) = x3+ 2x2+ 10x−20 es continua y tiene un ´

unico cerop, es decir tiene solo una ra´ız real. Utilize el método de bisección para hallar éste cero, eligiendoa= 1,b= 2 con una precisión de 10 cifras decimales.

Ejercicio 2. La funci´on

f(x) = 10 sin(x+ 2)e−(x2+2) −₀,₂₃

es continua y tiene un único ceropen el intervalo [0,11]. Utilice el método de biseción para hallar éste cero, eliginendoa= 0,b= 11, con un error menor que 10−6, es decir,²= 10−6

2. M´

etodo de Regula Falsi

(4)

a0

b0

x0

En el m´etodo de Regula Falsi se considera el punto donde la recta que pasa por (a0, f(a0)), (b0, f(b0)) corta al ejex. Determinemos la rectalque une (a0, f(a0)) y (b0, f(b0):

l(x) =f(a0) +f(b0)−f(a0)

b0−a0 (x−a0).

El punto de corte de la recta l con el eje x lo llamamos x0 y es la primera aproximaci´on dep:

0 =f(a0) +f(b0)−f(a0)

b0−a0 (x0−a0)

x0=a0−f(a0)_f b0−a0 (b0)−f(a0)

x0= a0_ff(b0)−b0f(a0) (b0)−f(a0) ,

(5)

x_n=a_nf(b_n)−b_nf(a_n)

b_n+1=xn yan+1=an, cuandof(xn)f(an)<0

a_n+1=xn ybn+1=bn, cuandof(xn)f(bn)<0

donde los extremos inicialesa0 yb0 est´an dados.

Podemos imponer que el ´exito se logre cuando el error relativo en sea menor que la precisi´on deseada².

Ejercicio resuelto 2. Calcular el ceropde la funci´on de Stirling

f(x) =xxe−x√2πx−120

por el m´etodo de Regula Falsi en el intervalo [4,6,5,3], con una precisi´on²= 10−6

n x_n a_n b_n e_n

0 4.90158590655 4.60000000000 5.30000000000 1.00000000000 1 4.98288314648 4.90158590655 5.30000000000 0.01631530131 2 5.00318564976 4.98288314648 5.30000000000 0.00405791524 3 5.00814317532 5.00318564979 5.30000000000 0.00098989293 4 5.00934679664 5.00814317532 5.30000000000 0.00024027510 5 5.00963860883 5.00934679664 5.30000000000 0.00005825014 6 5.00970933309 5.00963860883 5.30000000000 0.00001411743 7 5.00972647255 5.00970933309 5.30000000000 0.00000342123 8 5.00973062608 5.00972647255 5.30000000000 0.00000082909

Ejercicio 3. En el método de Regula Falsi, los intervalos [a_n, b_n] tienen lon-gitud cada vez más pequeña, ¿esto implica que la longitud del intervalo tienda a cero? Justifique su respuesta

Ejercicio 4. ¿Es conveniente usar en el m´etodo de Regula Falsi el error abso-luto como criterio de detenci´on? Justifique su respuesta.

Ejercicio 5. Use el m´etodo de Regula Falsi para resolver el ejercicio 1. Com-pare resultados

3. M´

etodo del punto fijo

Los métodos vistos se aplican a la solución de la ecuaciónf(x) = 0. El método de punto fijo sirve para resolver la ecuacióng(x) = x, es decir, para encontrar

ptal quepes punto fijo deg.

La aplicación del método es muy sencilla. A partir de un x0 dado, se aplica varias veces la fórmula

(6)

Se espera que la sucesiónx_k contruida mediante (2) converja. Antes de ver un resultado sobre convergencia del método de punto fijo, observemos su interpre-tación gráfica

x0 x1 x2x3

y=x

y=g(x)

Convergencia: 0< g0_<₁

x0 x2 x3 x1

y=x

y=g(x)

(7)

x0 x1 x2 x3

y=x

y=g(x)

Divergencia:g0>1

x0

x1 x2

x3 x4

Divergencia: g0 <−1

Teorema 2. Sea gcontinuamente diferenciable en el intervalo [a, b], tal que

g([a, b])⊆[a, b],

(8)

Entonces existe un únicopen [a, b] solución dex=g(x) y la iteración de punto fijo (2) converge appara todox0∈[a, b].

Ejercicio resuelto 3. Para g(x) = x−x3−4x2+ 10, tenemos g(1) = 6 y

g(2) = −12. De modo queg([1,2]) 6⊆ [1,2]. Además g0(x) = 1−3x2−8x, de modo que|g0(x)|>1 en [1,2]. Aunque el teorema (2) no garantiza que el método deba fallar para esta elección deayb, tampoco tenemos razón para esperar su convergencia.

Ejercicio resuelto 4. para la funci´ong(x) =₂1(10−x3)12,

g0₍_x_{) =}₋3

4x

2₍₁₀₋_x3₎−1/2_<₀ _{en [1}_,_2]_,

as´ı que g es estrictamente decreciente en [1,2]. Sin embargo g0(2) ≈ 2,12. En el intervalo [1,1,5], se tiene |g0(x)| ≤ |g0(1,5)| ≈ 0,66. En este intervalo sigue siendo verdad queg0(x)<0 y ges estrictamente decreciente, pero adem´as

1<1,28≈g(1,5)≤g(x)≤g(1) = 1,5,

esto demuestra queg([1,1,5])⊆g([1,1,5]). As´ı el teorema (2) asegura la conver-gencia del m´etodo conx0∈[1,1,5]

Ejercicio 6. Sea

g(x) =p10/(4 +x)

Determinar un intervalo [a, b], tal que para todox0∈[a, b], el m´etodo de punto fijo converge

Teorema 3. Seapsoluci´on dex=g(x), g continuamente diferenciable en un intervalo abiertoItal quep∈I,|g0(p)|<1|.Entonces la iteraci´on de punto fijo converge appara todox0suficientemente cercano a p.

as´ı queg es estrictamente decreciente en [1,2]. Sin embargo

Ejercicio resuelto 5. Resolverx2= 2, o sea calcular√2. Dar una aproxima-ci´on con precisi´on 10−10

x2_{= 2}_,

x2

+x2=x2+ 2,

x=x 2_{+ 2}

2x ,

x=x+ 2 x 2

La sucesi´onx_n esta definida por:

x_n+1=1 2 ¡

x_n+_x2 n

(9)

Adem´as si x es raiz de 2, es decir, x2 = 2, entonces x = 2_x ya que x 6= 0. Tomandox0= 0, tenemos

n x_n ERROR=|_x2

n+1 −xn+1|

0 100.000000000000000 99.980000000000004 1 50.009999999999998 49.970007998400320 2 25.024996000799838 24.945075908107871 3 12.552458046745903 12.393126703629525 4 6.355894694931140 6.041226171301413 5 3.335281609280434 2.735632094098570 6 1.967465562231149 0.950929345082852 7 1.492000889689723 0.151519115301559 8 1.416241332038944 0.004052635977781 9 1.414215014050053 0.000002903352426 10 1.414213562373840 0.000000000001490

De la tabla con los datos de salida se observa que a pesar de haber elegido un va-lor inicial tan lejano, la sucesi´on “converge rapidamente”. Bastan 10 iteraciones

para obtener _√

2≈1,414213562373840 con una precisi´on de 10−10

Veamos la aplicaci´on del teorema (3):

g(x) =1 2 ¡

x+ 2

x

¢

g0₍_x_{) =}1

2 − 1

x2

g0₍√_{2) =} 1

2 − 1 2 = 0 Se concluye rapidamente que el m´etodo converge

Ejercicio 7. Calcular√5 con una precisi´on de 10−10(Realice el procedimiento como en el ejerrcicio resuelto 5)

Ejercicio 8. Use un método de iteración de punto fijo para calcular √325 con una precisión de 10−4

Ejercicio 9. Dada la funci´on de iteraci´on

g(x) =x2+a(1−x), a6= 1, x∈R,

Halle los puntos fijos deg y para cada uno de ellos determine los valores dea para los cuales el m´etodo iterativox_n+1=g(xn),n= 0,1, . . .converge

Ejercicio resuelto 6. Resolver

(10)

Para usar la iteraci´on de punto fijo se debe definir una funci´ıng(x) de tal manera que la soluci´on de (), sea un punto fijo deg. Usemos por ejemplo

g(x) =−tanx (4)

π

2 π 32π 2π 52π 3π

Para verificar la convergencia la convergencia del m´etodo iterativo de punto fijo, se calcula la derivada deg(x):

g0₍_x_{) =}₋ 1

cos2x

como los valores de cosxestán entre [−1,1], se tiene|g0(x)| ≥1 y las condiciones para la convergencia del método, establecidas en el teorema (3) no se satisfacen, ¡el método diverge!.

Para satisfacer el criterio de convergencia se debe buscar otra función g; por ejemplo transformando la ecuación (3) con ayuda de la función inversa para obtener:

x=−arctanx+kπ=g_k(x), k∈N

As´ı en el intervalo [π₂,3₂π], la funci´ong1(x) =−arctanx+πtiene derivada:

g0

(11)

π 2

π

3π 2 2π

5π 2 3π

Si determinamos, más o menos, el lugar donde se encuentra un punto fijo deg, podemos elegir un valor inicial cercano apropiado. En la grafica se observa que el punto fijo seg1 es más o menos próximo a π₂, as´ı que si elegimosx0= 1,75, este puede ser un buen valor inicial. En efecto:

n x_n e_n =|x_n−x_n₋1| |x9−xn| ≈ |xn−p|

0 1.7500000000 0.2787579659

(12)

Ejercicio 10. Use el m´etodo de punto fijo para resolver el ejercio 1, definiendo una adecuada funci´ong. Elijax0= 1 y compare el resultado con el obtenido en los ejercicios 1 y 5

Ejercicio 11. Formule un m´etodo de punto fijo, para calcular:

1. q

2 +p2 +√2 +. . .

2. 1 +₁₊ 11 1+₁₊1_...

Ejercicio 12. Resuelva (emplee el m´etodo que desee)

1000000i (1 +i) 1₂

(13)

Bibliograf´ıa

Mantilla Prada Ignacio, An´alisis Num´erico, Universidad Nacional de Colombia

Mora Escobar Héctor Manuel, Introducción a C y a Métodos Numéricos, Uni-versidad Nacional de Colombia