Desarrollo de una Herramienta para Estudiar Fuzzy Logic Tipo 2
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(2) Desarrollo de una herramienta para estudiar Fuzzy Logic Tipo-2. Edier Gustavo Linares Zarate John Jairo Rojas Coronado. Monografía para optar el título de Ingeniero en control electrónico. Director Ing. M. Sc. MBA Andrés Escobar Díaz. Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad tecnológica Ingeniería en control electrónico Bogotá 2015.
(3) Nota de aceptación. _____________________________ _____________________________ _____________________________. _____________________________ Presidente del jurado. _____________________________ Jurado. _____________________________ Jurado. Fecha de Presentación: 2 de Octubre de 2015.
(4) A mis padres y familia por el apoyo prestado, a los docentes de la universidad Distrital, a mis compañeros de estudio..
(5) Agradecimientos. Los autores expresan sus agradecimientos a: A todas las personas que con su apoyo y colaboración hicieron posible la culminación exitosa de este proyecto de grado para obtener el título de ingeniero en control electrónico. Al Ingeniero Andrés Escobar (Director) quien con su conocimiento, apoyo y colaboración formo parte fundamental en la definición y elaboración de este trabajo. A todos los compañeros ingenieros de la universidad Distrital que aportaron con sus sugerencias y opiniones sobre el trabajo desarrollado..
(6) TABLA DE CONTENIDO 1 INTRODUCCIÓN. 9. 2 ESTADO DEL ARTE. 11. 3 INCERTIDUMBRE EN UN FLS. 12. 4 CONJUNTOS FUZZY TIPO-2. 16. 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5. 17 19 19 23 26. CONCEPTO DE UN CONJUNTO FUZZY TIPO-2 FUNCIONES DE PERTENENCIA CONCEPTOS ASOCIADOS A CONJUNTOS FUZZY TIPO-2 CONJUNTOS FUZZY LOGIC DE INTERVALO TIPO-2 (IT2FS-INTERVAL TYPE-2 FUZZY SET) TEOREMA DE LA REPRESENTACIÓN. 5 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS FUZZY TIPO-2. 27. 5.1 5.2 5.3 5.4. 28 28 30 31. JOIN Y MEET BAJO LA T-NORMA MÍNIMO UNIÓN INTERSECCIÓN COMPLEMENTO. 6 SISTEMAS FUZZY LOGIC TIPO-2. 32. 6.1 INFERENCIA EN CONJUNTOS FUZZY TIPO-2 6.2 REDUCCIÓN DE TIPO 6.3 DEFUZZIFICADOR. 34 36 42. 7 GUI EN MATLAB PARA SISTEMAS DE INTERVALO FUZZY TIPO-2. 43. 7.1 FUNCIONES DE PERTENENCIA UTILIZADAS 7.2 MODULO CONCEPTOS BÁSICOS EN CONJUNTOS FUZZY TIPO-2 7.3 INTERFAZ GRÁFICA PROPUESTA PARA SISTEMAS FUZZY DE INTERVALO TIPO-2. 44 46 47. 8 APLICACIONES Y EJERCICIOS PROPUESTOS DE ESTUDIO. 50.
(7) 8.1 APLICACIÓN DE CONTROLADORES FUZZY LOGIC TIPO-2 8.2 EJEMPLO CONTROLADORES DE INTERVALO TIPO-2 “CONTROL MARINOS”. 50 DE VELOCIDAD PARA MOTORES. 50. 9 RESULTADOS. 55. 10 CONCLUSIONES. 56. 11 ANEXO 1. 57. 12 BIBLIOGRAFÍA. 67.
(8) Tabla de Figuras. Tabla 3-1: Ocurrencia, causas y naturaleza de la incertidumbre según Klir [23]............................................. 13 Figura 3-1: Sistemas Fuzzy Logic ...................................................................................................................... 14 Figura 4-1: Conjunto fuzzy tipo-2 ..................................................................................................................... 16 Figura 4-2: Función de pertenencia triangular para conjuntos fuzzy tipo-2 ..................................................... 18 Figura 4-3: Conceptos nuevos en Sistemas fuzzy tipo-2 [2] .............................................................................. 22 Figura 4-4: Conceptos para conjuntos fuzzy de intervalo tipo-2 ...................................................................... 26 Figura 5-1: Sistema fuzzy logic general ............................................................................................................ 32 Figura 5-2: Sistema fuzzy logic tipo-2 ............................................................................................................... 33 Figura 5-3: Grafica de la inferencia Tipo-2 para producto y mínimo [15] ....................................................... 35 Figura 6-1: Grafica para una función gaussiana .............................................................................................. 44 Figura 6-2: Grafica para la función trapezoidal................................................................................................ 45 Figura 6-3: Grafica para la función triangular .................................................................................................. 45 Figura 6-4: Interfaz inicial modulo conceptos fuzzy tipo-2 ............................................................................... 46 Figura 6-5: Ejemplo conjunto fuzzy de intervalo tipo-2 con forma Gaussina ................................................... 47 Figura 6-6: Unión de intervalo tipo-2 para los conjuntos A y B en el módulo Conceptos Fuzzy Tipo-2 ............ 47 Figura 6-7: Interfaz gráfica principal para definir entradas y salidas en un sistema fuzzy de intervalo tipo-2 48 Figura 6-8: Interfaz gráfica para definir y editar las reglas del sistema ........................................................... 48 Figura 6-9: Analizador de reglas ....................................................................................................................... 49 Figura 6-10: Analizador de superficie ............................................................................................................... 49 Figura 7-1: Tabla resumen ejemplo de control para motores diésel marinos .................................................. 53 Figura 7-2: Superficie de control para controlador de motores marinos mostrado en [40] ............................. 54 Figura 7-3: Superficie de control para el controlador tipo-1 resultante del toolbox fuzzy de Matlab .............. 54 Figura 7-4: Resultados de las pruebas realizadas en [40] ................................................................................ 55 Figura A-1: Grafica para una función de pertenencia gaussiana ..................................................................... 57 Figura A-2: Grafica para un función de pertenencia trapezoidal ..................................................................... 58 Figura A-3: Grafica para una función de pertenencia triangular ..................................................................... 58 Figura A-4: Grafica para una función de pertenencia s-shape ......................................................................... 59 Figura A-5: Grafica para un función de pertenencia z-shape ........................................................................... 59 Figura A-6: Grafica para para un conjunto fuzzy de intervalo tipo-2 con forma gaussian ............................... 60 Figura A-7: Ejecución del IT2FLSGUI en Matlab ................................................................................................ 60 Figura A-8: Selección tipo de fuzzificación ........................................................................................................ 61 Figura A-9: Selección método ........................................................................................................................... 61 Figura A-10: Definición de antecedentes y consecuencias ............................................................................... 62 Figura A-11: Vista general del sistema fuzzy de intervalo tipo-2 ..................................................................... 62 Figura A-12: Parámetros para el método CF Izquierda + CF Derecha .............................................................. 63 Figura A-13: Parámetros para el método CF Principal + FOU........................................................................... 64 Figura A-14: Parámetros para el método CF Inferior + CF Superior ................................................................. 64 Figura A-15: Editor de Reglas ........................................................................................................................... 65 Figura A-16: Analizador de Reglas.................................................................................................................... 66 Figura A-17: Analizador de Área....................................................................................................................... 66.
(9) 1 Introducción En el mundo real se presentan constantemente retos para la ingeniería que busca de forma permanente construir y entregar a la sociedad herramientas que ayuden a mejorar el estilo de vida. Para la ingeniería en control poder construir un equipo que se adapte con facilidad a los constantes cambios del entorno y al desgaste de dispositivos utilizados en los diferentes sistemas se convierte en todo un reto, para lo cual ingenieros y científicos trabajan arduamente y de esta forma poder desarrollar, deducir, construir, o ingeniar mecanismos que detecten estos cambios y permitan tomar decisiones iguales o mejores a las que toma un experto cuando estas alteraciones se presentan. El poder colocar en un dispositivo la posibilidad de tomar decisiones es un tema en el cual se han realizado bastantes avances, una de las técnicas más utilizadas en los desarrollos recientes es fuzzy logic, una tecnología de inteligencia computacional que permite a los dispositivos tomar decisiones de acuerdo a los cambios que ocurran en el entorno del sistema bajo control. Fuzzy logic es una lógica que va más allá de la lógica tradicional en la cual solo se tiene un sí o no (pertenece o no pertenece, en términos de conjuntos), fuzzy logic en su esencia permite tener resultados intermedios para lo cual se definen conjuntos que abarcan estos estados y así no solo tener blanco y negro, también poder contar con toda una gama de grises, siendo esto muy útil en el entendimiento y solución de problemas bastante comunes en el área de la ingeniería. En la actualidad fuzzy logic tiene dos categorías llamadas fuzzy logic tipo-1 y fuzzy logic tipo-2, y su diferencia radica en el tipo de conjuntos que es utilizado para definir el sistema. Los conjuntos fuzzy tipo-1 (CF T1) que han sido utilizados en múltiples aplicaciones desde 1965 cuando Zadeh realizo su introducción en [1], han alcanzado resultados exitosos, sin embargo estos tienen capacidades limitadas para manejar, modelar y minimizar los efectos de datos con incertidumbre. El hecho que los CF T1 no puedan hacer esto suena paradójico ya que la palabra fuzzy por un largo tiempo ha tenido una connotación de incertidumbre [2]. En los CF T1 la función de pertenencia es un conjunto clásico mientras que los conjuntos fuzzy tipo-2 tienen una función de pertenencia fuzzy, este conjunto es útil en circunstancias donde es difícil definir una función de pertenencia exacta. Cuando se tienen varios conjuntos en los cuales existen diferentes apreciaciones sobre los extremos que puede tener una misma variable, para llegar a su función de pertenencia podemos tomar los valores promedio de sus extremos según los diferentes conjuntos de datos, definir estos como los puntos finales de la función de pertenencia y tomar la mitad.
(10) de estos dos puntos como el punto donde está el vértice superior de una función triangular (se puede construir la función con otras formas) y tendríamos una función de pertenencia tipo-1 que puede ser representada en dos dimensiones, sin embargo de esta forma se ignora por completo la incertidumbre asociada a los extremos de la función [3]. Una segunda alternativa para la construcción de la función de pertenencia es usar los valores promedios de los extremos y su desviación estándar y así establecer un intervalo de incertidumbre sobre los valores, de esta forma mostrar la dispersión natural de los extremos según los datos de los diferentes conjuntos tomados, si construimos una función triangular con esta dispersión se puede tomar como un área formada por N funciones triangulares, luego cada valor de x pude llegar hasta N funciones de pertenencia teniendo µ1(x), µ2(x),……, µN(x) y cada función de pertenencia tiene un peso asociado wx1, wx2,….., wxN. De esta forma para cada x se tiene la función de pertenencia {(µi(x),wxi), i=1,2,…..,N} llamada función de pertenencia secundaria y como resultado obtenemos una representación en tres dimensiones [2]. Esta capacidad que tienen los conjuntos fuzzy tipo-2 de trabajar con incertidumbre puede modelar en cierta medida los ambientes dinámicos en los que opera un sistema en el mundo real, en este documento se dará una introducción a esta teoría y se hace una compilación de varios autores e investigadores organizada en 10 capítulos incluyendo esta introducción como se describen a continuación. En el capítulo 2, Estado del arte, se realiza una descripción de las fuentes utilizadas para realizar el presente trabajo referenciando a los principales autores y trabajos relacionados con temas como conjuntos fuzzy tipo-2 y sistemas de fuzzy logic tipo-2, esto con el fin de ofrecer al lector fuentes alternas de profundización sobre el tema abordado en este documento. En el capítulo 3, Incertidumbre en un SFL, se realiza una descripción básica de incertidumbre y sus fuentes utilizando autores que has estudiado el tema a profundidad ya que el manejo de la incertidumbre es una de las principales características de los sistemas fuzzy logic tipo-2 por la utilización de palabras en la definición de las reglas de estos sistemas; la interpretación de las palabras por su naturaleza puede ser ambigua. En el capítulo 4, Conjuntos fuzzy tipo-2, se introducen los conjuntos fuzzy tipo-2 y los conceptos asociados, esto es fundamental debido al uso de estos en la definición de los antecedentes y consecuencias, haciendo una conversión del lenguaje natural de las palabras a una interpretación matemática. El capítulo 5, Operaciones entre conjuntos fuzzy tipo-2, se explican las operaciones básicas unión, intersección y complemento en los conjuntos fuzzy tipo-2 y las operaciones join y meet de las funciones de pertenencia, que son utilizas para realizar las diferentes acciones de condicionalidad en las reglas, implicación y agregación en los SFL..
(11) El capítulo 6, Sistemas fuzzy logic tipo-2 (SFL T2), describe las diferentes etapas que caracterizan el sistema como son fuzzificación, inferencia, reducción de tipo y defuzzificación, este capítulo es muy importante porque realiza la descripción teórica, profundizando en el motor de inferencia, reducción de tipo donde esta una de las grandes diferencias con su antecesor sistemas fuzzy Tipo-1. El capítulo 7, GUI en Matlab para sistemas de intervalo fuzzy tipo-2, describe la herramienta de software que complementa la teoría recopilada en los capítulos 2 al 5, como para apoyo para el estudio y análisis de sistemas fuzzy logic tipo-2, para que la practicas con este software puedan afianzar los conceptos tratados en la teoría. El capítulo 8, Aplicaciones y ejemplos, se realiza una descripción de las aplicaciones en las que se ha utilizado sistemas fuzzy logic tipo-2 mostrando los diferentes campos en los que es beneficioso utilizar esta tecnología y los resultados exitosos que se obtienen, esto con el fin de mostrar su uso potencial e invitar a los lectores a profundizar y utilizar fuzzy logic tipo-2 en desarrollos futuros. En el Capítulo 9 y 10, Resultados y Conclusiones respectivamente, se realiza un resumen de los resultados obtenidos junto con las conclusiones finales del trabajo presentado, así como una invitación a utilizar esta tecnología en próximos trabajos de ingeniería en control como en otras áreas en las que pueda ser funcional.. 2 ESTADO DEL ARTE Para realizar una introducción correcta en los sistemas fuzzy logic tipo-2 es necesario abordar los temas de forma organizada iniciando por los conceptos de conjuntos fuzzy tipo2, luego abordar sus operaciones, pasando a sistemas fuzzy logic tipo-2 y finalizando en las aplicaciones donde puede utilizarse esta tecnología. Los conjuntos fuzzy fueron definidos por Zadeh en 1965 [1] y realizo una introducción a los conjuntos fuzzy tipo-2 en 1975 [4], [5] y [6] si se quiere entender como inicio todo el concepto relacionado a esta tecnología este sería un bueno comienzo. Aunque el concepto inicial fue abordado en la década de los 70’s [7] un trabajo más profundo se realizó hasta los 90’s y posteriormente cuando se realizan investigaciones relacionadas con las propiedades [8], operaciones [9], centro geométrico [10] para conjuntos fuzzy tipo-2, también se encuentra autores donde se buscar utilizar nuevos métodos de análisis y utilización de los conceptos matemáticos y geométricos como en [11], [12] y [13]. Paralelamente con el estudio de los conceptos matemáticos para fuzzy logic tipo-2 se ha desarrollado avances en sistemas fuzzy logic tipo-2, encontrando a finales de los 90’s publicaciones como [14] [15] donde se realiza una introducción a estos sistemas, a.
(12) principios de siglo por la dificultad matemática y conceptos naturales de los sistemas fuzzy logic tipo-2 autores como Jerry M. Mendel y Robert I. Bob John publican [16] [2] [17] donde se busca hacer simple la compresión de esta tecnología pretendiendo despertar el interés de los lectores. Una de las etapas fundamentales en los FLS Tipo-2 es la reducción de tipo donde se encuentra la mayor dificultad para poder aplicarla en sistemas reales ya que requiere un esfuerzo computacional alto por este motivo se han realizado publicaciones específicas sobre este tema [18] [19] [20] la forma en que se realiza esta reducción de tipo es utilizando algoritmos definidos en [21] [22]. En el capítulo 8 se encuentran referenciados publicaciones realizadas en la última década donde se utiliza sistemas fuzzy logic tipo-2 para una respuesta más eficiente que métodos ya conocidos, entre las aplicaciones que se destacan esta los filtros adaptativos fuzzy tipo-2, en comunicaciones, en medicina en la realización de diagnósticos, en clasificación de información y en sistemas de control para motores y robots móviles.. 3 INCERTIDUMBRE EN UN FLS La incertidumbre es un fenómeno que se puede encontrar en cualquier evento que se presente en la naturaleza, para la ingeniería en el transcurso de los años ha sido todo un paradigma ya que poder controlar o tomar una determinada decisión cuando esta se presenta es todo un reto, a continuación se realiza una breve descripción de lo que es la incertidumbre y como se ve reflejada en los sistemas de control. La incertidumbre viene en muchas máscaras y es independiente del tipo de metodología que se use para manejarlas. Una de las mejores fuentes para abordar la incertidumbre es [23]. El profesor Klir y sus estudiantes han investigado la incertidumbre desde 1980, trabajo del cual han aportado conceptos definiciones y características, en el cual se destacan 3 factores básicos de la misma que especifican su naturaleza, características y ocurrencia, resultados que se resumen en la tabla 3-1. Ocurrencia. “Cuando se trata de problemas del mundo real, podemos raramente evitar la incertidumbre. En el nivel empírico, la incertidumbre es una compañía inseparable de casi cualquier medición, resultando desde una combinación de errores inevitables en la medición y en los límites de la resolución en los instrumentos de medición. Como el nivel cognitivo, este emerge desde la vaguedad y ambigüedad inherente en el lenguaje natural, en el nivel social, la incertidumbre tiene incluso usos estratégicos y es a menudo creado y mantenido por personas para diferentes propósitos (privacidad, secreto, propiedad).”.
(13) Causas. “La incertidumbre involucrada en cualquier situación de solución de problemas es un resultado de algunas deficiencias en la información. La información (pertenecientes al modelo dentro del cual la situación es conceptualizada) puede ser incompleta, fragmentada, no es completamente fiable, vaga, contradictoria, o deficiente de alguna u otra manera. En general, estas diversas deficiencias en la información pueden resultar en diferentes tipos de incertidumbre.”. Naturaleza. “La incertidumbre involucrada en cualquier situación de solución de problemas es un resultado de algunas deficiencias en la información. La información (pertenecientes al modelo dentro del cual la situación es conceptualizada) puede ser incompleta, fragmentada, no es completamente fiable, vaga, contradictoria, o deficiente de alguna u otra manera. En general, estas diversas deficiencias en la información pueden resultar en diferentes tipos de incertidumbre.”. Tabla 3-1: Ocurrencia, causas y naturaleza de la incertidumbre según Klir [23]. Ellos dividen estos tres tipos de incertidumbre en dos clases mayores, fussines y ambiguity, donde ambiguity (“relación de una a muchas”) incluye nonspecificity y strife. Otra fuente para una discusión general acerca de incertidumbre es [24], quien afirma, de acuerdo a [23] que “la incertidumbre se deriva de la falta de información completa.” ellos también afirman que la incertidumbre puede reflejar imprecisión, errores o falta de información, o datos aleatorios en procesos. Esto nos muestra que la incertidumbre está asociada con la imperfección del conocimiento acerca del proceso natural o estado natural, presentándose las siguientes fuentes de incertidumbre derivadas de este conocimiento impreciso [25]: . Incertidumbre en la medición, representa el error sobre las cantidades observadas Incertidumbre en el proceso, resultado de la dinámica aleatoria de un sistema Incertidumbre en el modelo, muestra las especificaciones equivocadas en la estructura del modelo Incertidumbre estimada, aparece de cualquiera de las incertidumbres previas o una combinación de estas.
(14) . Incertidumbre en la implementación, es la consecuencia de la variabilidad que resulta desde políticas equivocadas, es decir incapacidad de encontrar el objetivo estratégico exacto [25].. Reglas Procesador de salida. Fuzzyficador Entrada Clasica. Motor de inferencia. Salida Clasica Y. Figura 3-1: Sistemas Fuzzy Logic. Como describen los autores que se mencionaron anteriormente hay varios elementos que intervienen e interactúan en la incertidumbre, cuando es vista sobre un sistema fuzzy logic (FLS por sus siglas en inglés Fuzzy Logic System) como el que se muestra en la figura 3-1 se pueden identificar las siguientes fuentes de incertidumbre. . Incertidumbre sobre los significados de las palabras utilizadas en las reglas. . Incertidumbre sobre la consecuencia utilizada en una regla. . Incertidumbre sobre las mediciones que activan el FLS. . Incertidumbre sobre los datos que son usados para afinar los parámetros de un FLS [16]. Como un FLS consiste en reglas y las reglas usan palabras. De hecho, [26] ha promovido el término “Calculo con palabras” (Computing With Word, CWW) y el uso de FL para hacerlo. En su artículo del 1996, él dice [26]: . El cálculo con palabras es una necesidad cuando la información disponible es demasiado imprecisa para justificar el uso de números y… cuando hay una tolerancia para la imprecisión la cual puede ser explotada para conseguir tratabilidad, robustez, bajo costo en la solución, y una mejor relación con la realidad.. . Fuzzy logic es una metodología para el cálculo con palabras. . Utilizado por los seres humanos, las palabras tienen denotaciones fuzzy.
(15) . Un aspecto clave del CWW es que se trata de una fusión de los lenguajes naturales y el cálculo con variables Fuzzy.. La tesis propuesta por Mendel y sus estudiantes es que “las palabras significan diferentes cosas para diferentes personas” y de esta forma se encuentra incertidumbre asociada con las palabras, lo que significa que FL debe de alguna manera usar esta incertidumbre cuando calcula con palabras [2], este concepto es importante en la medida que un FLS puede tomar sus datos a partir de expertos que pueden diferir en las palabras utilizadas para describir los antecedentes y las consecuencias, en un estudio realizado por Mendel se realiza un encuesta para clasificar una serie de oraciones en una escala de 0-10 como conclusiones de este estudio se encuentra como algunas palabras pueden tener un significado igual para la mayoría pero en general se solapan las diferentes opciones entregadas, todo esto se realizó utilizando métodos estadísticos y probabilísticos con los datos tomados de la encuesta [3]. FL Tipo-1 maneja la incertidumbre sobre los significados de las palabras con el uso de funciones de pertenencia precisas en las que el usuario considera puede capturar la incertidumbre de las palabras. Una vez que la función de pertenencia Tipo-1 ha sido encontrada, toda la incertidumbre sobre las palabras desaparece, porque las funciones de pertenencia tipo-1 son totalmente precisas. FL tipo-2, por otro lado, maneja la incertidumbre sobre el significado de las palabras modelando la incertidumbre. Esto se logra por la borrosidad de los límites de la función de pertenencia tipo-1 en lo que llamamos un footprint de la incertidumbre (footprint of uncertainty, fou). Aunque una función de pertenencia tipo-2 también será totalmente precisa, este incluye el footprint de la incertidumbre que entrega nuevos grados de libertad que permiten a la incertidumbre ser manejada por un fls tipo-2 en formas totalmente nuevas [3]. Por otra parte las consecuencias de las reglas son obtenidas a partir de expertos, por medio de explotación del conocimiento (ingeniería), o son extraídas directamente desde los datos. En muchas situaciones los expertos no están de acuerdo, una encuesta a expertos por lo general conduce a un histograma de posibilidades para la consecuencia de una regla. Este histograma representa la incertidumbre sobre la consecuencia de una regla, y este tipo de incertidumbre es diferente de la que se asocia con el significado de las palabras usadas en las reglas, este histograma puede ser manejado por FL Tipo-2. Las mediciones, elementos que son afectadas por la incertidumbre en FLS son usualmente alteradas por el ruido; por lo tanto, son inciertas. Con este planteamiento no se pretende abandonar las ideas tradicionales sobre mediciones de ruido (ej. Medida = señal + ruido). La incertidumbre en las mediciones (ej. aleatoriedad en los datos) pueden ser modeladas como conjuntos fuzzy (tipo-1 o tipo-2); por consiguiente, la incertidumbre sobre las mediciones que activa el FLS parece estar de acuerdo con la nonspecificity cuando la nonspecificity está asociada con la imprecisión basada en información [3]..
(16) Por último, un FLS contiene muchos parámetros de diseño cuyos valores deben ser establecidos por el diseñador antes que el FLS sea operacional. Hay muchas formas de hacer esto, y todos hacen uso de un conjunto de datos, usualmente llamado conjunto de entrenamiento. Este conjunto consiste en un par de entradas-salidas para el FLS, y, si estas parejas son señales medidas, entonces son tan inciertas como las medidas que activan el FLS. La incertidumbre sobre los datos que son usados para sintonizar los parámetros de un FLS, también parece estar de acuerdo con la nonspecificity cuando la nonspecificity está asociada con imprecisión basada en información. Un FLS Tipo-2 es capaz de abordar directamente los tres tipos de incertidumbre— fuzziness, strife y nonspecificity--- presentes en los diferentes elementos y fases de un FLS y tienen la capacidad de hacer esto porque los FLS Tipo-2 modelan directamente la incertidumbre.. 4 Conjuntos fuzzy tipo-2. 1. 0 1. 0 1 u9 u8 u7 u6 u5 u4. x7 u3 u2 u1. x2 0. 0. x3. x4. x5. x8. x9. x6. x1. Figura 4-1: Conjunto fuzzy tipo-2. Un sistema de control que utiliza fuzzy logic tipo-2 se caracteriza porque los antecedentes y las consecuencias están definidas por conjuntos fuzzy tipo-2, por tal motivo y poder lograr entender el funcionamiento de un sistema fuzzy logic tipo-2 es necesario comprender algunos conceptos básicos asociados a los conjuntos fuzzy tipo-2, los cuales son descritos a continuación..
(17) 4.1 Concepto de un conjunto Fuzzy Tipo-2 Para poder entender los conjuntos fuzzy debemos remitirnos a la teoría clásica de conjuntos en la cual se define como conjuntos la reunión de varios elementos que cumplen una característica o función, es decir que el conjunto está conformado por elementos que cumplen una condición; esta condición es llamada función de pertenencia que para la teoría clásica de conjuntos solo puede tener dos valores 0 ó 1, pertenece o no pertenece, si generalizamos esta definición encontramos las funciones de pertenencia fuzzy logic tipo-1 (utilizadas en los conjuntos fuzzy tipo-1) en la cual un elemento puede pertenecer a más de un conjunto en diferentes proporciones y esta pertenencia puede tomar un valor en el intervalo [0,1], una función de pertenencia para este tipo de conjuntos está dada por. (3-1) Donde µA(x) es la función de pertenencia y está condicionada a estar entre 0 y 1 para todo x Є X, siendo una función de dos dimensiones (2D), ahora si generalizamos más podemos encontrar que la funciones de pertenencia para los conjuntos fuzzy tipo-2 en donde su grado de pertenencia es un conjunto fuzzy tipo-1, es decir que estos son conjuntos “fuzzy fuzzy” y de forma general se pueden definir por: (3-2) Donde x Є X, u Є Jx ⊆ [0,1] y 0 ≤. ≤ 1, este concepto de fuzzy logic tipo-2 que. introdujo Lofti Zadeth en 1975, permite modelar situaciones en donde es difícil determinar la función de pertenencia de un conjunto, así como los conjuntos fuzzy permiten manejar situaciones donde no se puede tener una pertenencia exacta a un conjunto, otra forma de interpretarlo es; cuando algo es incierto tenemos problemas determinando su valor exacto, en este caso utilizar conjuntos fuzzy tipo-1 tiene más sentido que utilizar conjuntos clásicos, pero aun en los conjuntos tipo-1 se definen funciones de pertenencia exactas, entonces surge la pregunta; si no podemos determinar el valor exacto de una cantidad incierta, como se puede determinar su pertenencia exacta a un conjunto? [3], es una crítica que es completamente válida para pertenencias tipo-2, pero esta segunda da una mayor aproximación a la incertidumbre al manejar un segundo intervalo que modela las variaciones provocadas por este valor incierto. En [3], [2] y en [27] utilizan como ejemplo para describir los conjuntos fuzzy tipo-2 la variable de interés “contacto visual” por ejemplo en un proceso de inspección en el aeropuerto, la variable denotada por x donde x Є [0,10] ; 0 representa ningún contacto visual y 10 representa un máximo contacto visual, para poder construir un conjunto fuzzy tipo-2 realizan una encuesta a 50 personas en las que se les solicita indicar cuál es el intervalo para la expresión “algún contacto visual” en el intervalo [0,10], lo más seguro es que los 50 conjuntos van a ser diferentes porque “las palabras significan diferentes cosas.
(18) para diferentes personas”, una forma de utilizar estos 50 conjuntos es calcular el valor promedio de los puntos finales para construir un intervalo asociado con “algún contacto visual”, si se define una función de pertenencia triangular (otras formas pueden ser utilizadas) para este intervalo, donde la base son el promedio de los puntos finales y el vértice superior está ubicado en el medio de estos dos puntos, esta función puede ser graficada en dos dimensiones; ver la función de pertenencia punteada de la figura 4.2, esta definición ignora completamente la incertidumbre presente en cada uno de los extremos del intervalo. Otra aproximación que se puede realizar es tomar el promedio de los valores extremos del intervalo y su desviación estándar, de esta forma establecer un intervalo de incertidumbre sobre los puntos finales (extremos del intervalo), que se puede representar por la gráfica mostrada en la figura 4-2 en la que podemos interpretar la desviación estándar como una distorsión sobre el valor promedio, y que representa la incertidumbre en los datos tomados, como se describió en la introducción una medición x=x’ de la variable de interés en un momento dado puede tomar cualquier valor en este espacio donde está la dispersión, luego cada valor de x pude llegar hasta N funciones de pertenencia teniendo µ1(x), µ2(x),……, µN(x) y cada función de pertenencia tiene un peso asociado wx1, wx2,….., wxN. De esta forma para cada x se tiene la función de pertenencia {(µi(x),wxi), i=1,2,…..,N} llamada función de pertenencia secundaria, partiendo de esta definición general empezamos a encontrar conceptos que deben ser comprendidos en los que se evidencian las características especiales de los conjuntos fuzzy tipo-2 que permiten modelar y manipular la incertidumbre presente en el mundo real.. 1. 0.9. 0.8. Jx Pertenencia primaria. 0.7. 0.6. FPS . 0.5. --------Conjuntos embebidos T1 y T2 FPI. 0.4. 0.3. 0.2. ------------------------- footprint of uncertainty. 0.1. 0 -1. -0.8. -0.6. -0.4. -0.2. 0. 0.2. Figura 4-2: Función de pertenencia triangular para conjuntos fuzzy tipo-2. 0.4. 0.6. 0.8. 1.
(19) 4.2 Funciones de pertenencia Las funciones de pertenencia caracterizan los conjuntos fuzzy, que son Tipo-1 o Tipo-2, y en un FLS son asociadas con términos que aparecen en los antecedentes o consecuencias de las reglas, y con las entradas y salidas de los FLS [3]. Un conjunto fuzzy Tipo-1, A, que está en términos de una variable única, x Є X, está definido como donde µA(x), está condicionada a estar entre 0 y 1 para todo x Є X, y es una función en dos dimensiones (2D) [3]. Un conjunto fuzzy Tipo-2 A, denotado por. , es caracterizado por una función de. pertenencia tipo-2 donde x Є X y u Є Jx [0,1], esto quiere decir que la función de pertenencia tipo-2 está en términos de dos variables donde esta segunda variable le da una característica tridimensional y representa la incertidumbre presente en el sistema, es decir que para cada valor de x se pueden tener varios valores dados por u. La siguiente es la representación de una función de pertenencia tipo-2 [16] (3-3) En el cual 0 ≤. ≤ 1.. 4.3 Conceptos asociados a conjuntos Fuzzy Tipo-2 Si se toma función de pertenencia tipo-1 representada por la gráfica punteada en la figura 42 y se representan puntos de forma aleatoria en su contorno no necesariamente con la misma distancia a la línea punteada, como esta en la figura 4-2. Entonces, a un valor especifico de x, digamos x’, ya no hay un único valor para la función de pertenencia; en cambio, la función de pertenencia toma siempre valores sobre la línea vertical cruzando desde el valor más cercano al eje x hasta el valor más lejano del eje x. El peso de estos valores no será igual para todos; por lo tanto, podemos asignar una distribución de amplitud a todos los puntos. Haciendo esto para todos los x Є X, creamos una función de pertenencia tridimensional—una función de pertenencia tipo-2—que caracteriza un conjunto fuzzy tipo-2. Ahora definimos un conjunto fuzzy tipo-2 destacando cada uno de los elementos principales presentes en el. Definición 3-1: un conjunto fuzzy tipo-2 A, denotado por , es caracterizado por una función de pertenencia Tipo-2 , donde x Є X y u Є Jx ⊆ [0,1], es decir.. (3-4).
(20) En el cual 0 ≤. ≤ 1.. puede también ser expresado como. (3-5) Donde ∫∫ denota unión sobre todos los x y u. Definición 3-2: en cada valor de x, digamos x=x’, el plano en 2D cuyos ejes son u y es llamado corte vertical de . La función de pertenencia secundaria A es un corte vertical de. . Es. para x’ Є X y. , es decir.. (3-6) En el cual 0 ≤ fx’(u) ≤ 1. Porque se refiere a. , dejamos caer la notación de prima sobre. ,y. como una función se pertenencia secundaria; este es un conjunto Fuzzy. Tipo-1, la que también se le puede referir como un conjunto secundario. Basado en el concepto de conjuntos secundarios, podemos reinterpretar un conjunto Fuzzy Tipo-2 como la unión de todos los conjuntos secundarios, es decir. Usando (3-6), podemos re-expresar utilizando el corte vertical, como: (3-7) Ó, como: (3-8). Definición 3-3: el dominio de una función de pertenencia secundaria es llamado la pertenencia primaria de x. En (3-8), Jx es la pertenencia primaria de x, donde para . Definición 3-4: la amplitud de una función de pertenencia secundaria es llamada un grado secundario, en (3-8), es un grado secundario; en (3-6) es un grado secundario. Si X y Jx son ambos discretos (cada uno por la formulación del problema o por la discretización del universo del discurso continuo), entonces la parte más derecha de (3-8) puede ser expresada como:.
(21) (3-9). Observe que x ha sido discretizada entre N valores y cada uno de estos valores u ha sido discretizado en Mi valores. La discretización a lo largo de cada uik no tiene que ser la misma, por lo que se muestra una sumatoria diferente para cada uno de los términos entre corchetes. Sí, la discretización a lo largo de cada uik es la misma, entonces M1=M2=….=MN=M. Expresiones similares a (3-9) pueden ser escritas para casos mixtos donde X es continuo pero Jx es discreto, o viceversa. En este documento solo se trabaja con el caso descrito por (3-9), porque cuando una función de pertenencia Tipo-2 es programada, esta debe ser discretizada, no solo sobre X sino también sobre Jx. Definición 3-5: si se asume que cada una de las funciones de pertenencia secundarias de un conjunto fuzzy Tipo-2 tienen un solo grado secundario que es igual a 1. Una función de pertenencia principal es la unión de todos esos puntos en los que esto ocurre, es decir. (3-10) Y está asociado con un conjunto fuzzy Tipo-1. Definición 3-6: la incertidumbre en la pertenencia primaria de un conjunto fuzzy Tipo-2, consiste en una región limitada que llamamos el footprint de la incertidumbre (FOU Footprint Of Uncertainty). Esto es la unión de todas las pertenencias primarias, es decir. (3-11) El concepto del FOU es muy útil, porque no solo centra la atención sobre la incertidumbre inherente en una función específica de pertenencia Tipo-2, cuya forma es una consecuencia directa de la naturaleza de estas incertidumbres, sino también entrega una muy conveniente descripción verbal del domino entero de soporte para todos los grados secundarios de una función pertenencia Tipo-2 [3]. Definición 3-7: Considerar un grupo de funciones de pertenencia Tipo-1 µA(x|p1,p2,…,pv) donde p1,p2,…,pv son parámetros, algunos o todos de los cuales cambian sobre un rango de valores, es decir. pi Є Pi (i=1,…, v). Una función de pertenencia primaria (MF) es una de estas funciones de pertenencia Tipo-1, es decir. µA(x|p1=p1’, p2=p2’,…, pv=pv’,). (3-12). Para abreviar, se utiliza µA(x) para denotar una función de pertenencia primaria. Esto podría estar sujeto a algunas restricciones sobre sus parámetros. La familia de todas las funciones de pertenencia primaria crea un FOU..
(22) Termino. Significado. Variable primaria- Є X. Variable interés. Ej. Presión, temperatura, ángulo. Pertenencia primaria- Jx. Cada valor de la variable primaria x tiene un intervalo de valores de la MF. Jx’=[MF1(x’), MFN(x’)]. Variable secundaria- u Є Jx. Es un elemento de la pertenencia primaria, Jx’. Ej. U1…,UN. Grado secundario- FX(u). El peso (posibilidad) asignado para cada variable secundaria, fX’(u1)=WX’1. Conjunto Fuzzy Tipo-2 -- Ẫ. una MF tridimensional con el valor de un punto es dado por (x,u,µA%(x,u)), donde x Є X, u Є JX y 0 ≤ µA%(x,u) ≤ 1. Note que fX(u)= µA%(x,u).. MF secundaria de x. Un FS T1 de x, también llamado corte vertical.. La unión de todas las pertenencias primarias; el Huella de incertidumbre de Ẫ dominio en 2-D de Ẫ ; el área entre UMF(A%) y FOU(A%) LMF(A%); MF inferior de Ẫ- LMF(A%) o El límite inferior de FOU(A%) µA%(x) MF superior de Ẫ - UMF(A%) o El límite superior de FOU(A%) μA%(x). FS T1 embebido —Ae(x). Cualquier FS T1 dentro de Ẫ que se extiende ∀x Є X; también, es el dominio para un FS T2 embebido, LMF(A%) y UMF(A%).. FS T2 embebido —Ẫe(x). Comienza con un FS T1 embebido y grado secundario adjunto a cada uno de su elementos. MF primaria. Dado un FS T1 con al menos un parámetro que tiene un rango de valores. Una MF primaria es uno de los FSs T1 cuyos parámetros se sitúan dentro de los límites de los parámetros variables. Figura 4-3: Conceptos nuevos en Sistemas fuzzy tipo-2 [2].
(23) 4.4 Conjuntos fuzzy logic de intervalo tipo-2 (IT2FS-Interval Type-2 Fuzzy Set) En la actualidad se cuenta con dispositivos de computo bastante avanzados y poderosos que permiten realizar operaciones complejas, aun así poder colocar en un dispositivo un desarrollo con Fuzzy Logic tipo-2 en su completa definición resulta poco práctico y lento, por tal motivo los conjuntos fuzzy tipo-2 se llevaron a una forma particular de estos conjuntos llamada conjuntos fuzzy logic de intervalo tipo-2, que hace posible utilizar todos estos conceptos en un sistema real de forma eficiente y práctica, por tal motivo todos los conceptos de fuzzy logic tipo-2 son llevados a esta forma particular y son tratados en el presente documento. Un conjunto fuzzy de intervalo y tipo-2 esta caracterizado por:. (3-13). (3-14). Donde: x = es la variable primaria que tiene un dominio X = es la variable secundaria que tiene un dominio Jx para cada Jx =Pertenencia secundaria de x El grado secundario de =1. (3-15) Las funciones de pertenencia superior e inferior, UMF y LMF, respectivamente; son funciones de pertenencia T1 que limitan el FOU. UMF⇒. (3-16). LMF⇒. (3-17).
(24) Notar que Jx es un conjunto de intervalos, es decir: (3-18). Y el FOU( ) puede ser escrito como: =. (3-19). Para universos del discurso continuos X y U un conjunto fuzzy IT2 embebido. es:. (3-20) En donde esto significa: (3-21). El conjunto. esta embebido en. tal que para cada x este solo tiene una variable. secundaria, es decir una pertenencia primaria cuyo grado secundario es igual a 1, ejemplos son: 1/. (3-22). Para universos del discurso discretos X y U en el cual X ha sido discretizada en N valores y en cada uno de estos valores U ha sido discretizada en Mi valores un conjunto embebido IT2FS tiene N elementos donde contiene exactamente un elemento desde Jx1, Jx2, … , JxN, llamémoslo u1, u2, …. uN, cada uno con un grado secundario igual a 1, es decir :. (3-23). Esos conjuntos. están embebidos en. y se tienen un total de:.
(25) (3-24). Asociados con. se tienen unos conjuntos fuzzy tipo 1 (FS T1) embebidos. donde:. (3-25). Y esto significa que: (3-26). El conjunto. que actúa como dominio de. primarias del conjunto. ejemplos de. es la unión de todas las pertenencias. son: (3-27). En universos del discurso continuos hay un número incontable de FS IT2. y T1. embebidos en . Para universos del discurso discretos X y U un FS T1 embebido tiene N elementos, cada uno de Jx1, Jx2, … , JxN, llamémoslo u1, u2, …. uN, es decir: (3-28). es la unión de todas las pertenencias primarias del conjunto. y tiene un total de. (3-29) La siguiente tabla muestra un resumen de los conceptos sobre conjuntos fuzzy de intervalo tipo-2.
(26) Símbolo. Descripción Conjunto fuzzy tipo-2 Pertenencia primaria de x. u. Variable secundaria. FOU, FOU( ) LMF UMF -. ,. Footprint of uncertainty Función de pertenencia inferior y superior. ,. Conjuntos fuzzy T2 embebidos. ,. Conjuntos fuzzy T1 embebidos. 1/(·). Pertenencia secundaria es igual a 1 para todos los elementos. Figura 4-4: Conceptos para conjuntos fuzzy de intervalo tipo-2. 4.5 Teorema de la representación Para universos del discurso discretos X y U se define el teorema de la representación que es derivado de los conceptos de conjuntos fuzzy embebidos y en el cual se da una definición para un FS T2 , expresándolo como la unión de todos sus FS T2 embebidos, es decir:. (3-30). Este teorema es aplicable también a FS IT2, en el cual X y U son discretos, el dominio de es igual a la unión de todos sus FS T1 embebidos, así que puede ser expresado como: (3-31) Donde (3-32).
(27) 5 Operaciones entre conjuntos Fuzzy Tipo-2 Considerar dos conjuntos fuzzy tipo-2 pertenencia (conjuntos fuzzy en. y. , donde. y. son sus grados de. ) y representada cada una en x como: (4-1) (4-2). Respectivamente donde indicando la pertenencia primaria de x, y fx(u) , gx(u) son un elemento que pertenecen al intervalo [0,1] e indican las pertenencia secundaria de x. Utilizando el principio de extensión de Zadeh’ los grados de pertenencia para la unión, intersección y complemento de conjuntos fuzzy tipo-2 y han sido definidas como: Unión: (4-3) (4-4) Intersección: (4-5) (4-6) Complemento: (4-7) (4-8) Donde ∨ representa la t-conorma max y ∗ representa una t-norma, los símbolos de integral indican una unión lógica. En las definiciones que se tienen para la unión, intersección y complemento en conjuntos fuzzy tipo-2 que resultaron de utilizar el principio de extensión de Zadeh aparecen las operaciones (operaciones lógicas) ⊔ (join), ⊓(meet) y ¬ (negacion). Cuando las funciones son discretas los símbolos de integración se sustituyen por símbolos de sumatoria en la representación de la unión lógica..
(28) Si en la unión mas de un cálculo de v y w da el mismo punto entonces en la unión e intersección mantenemos el de mayor grado de pertenencia, un ejemplo en la unión para representar el caso, supongamos y , entonces en el cálculo para la unión se puede tener: (4-9) Donde el + denota la unión.. 5.1 Join y meet bajo la t-norma mínimo Suponer que se tienen n conjuntos fuzzy tipo-2 reales, convexos, normales caracterizadas por funciones de pertenencia números reales tal que y utilizando t-conorma max y la t-norma min, [9]. respectivamente. Sean entonces. (4-10). (4-11). 5.2 Unión La unión de 2 o mas conjuntos fuzzy tipo-2 puede ser definida como la unión de los conjuntos fuzzy tipo-2 embebidos como sigue: (Teorema de la representación). (4-12) (4-13) Donde.
(29) (4-14) Y h es una operación t-norma que cumple con: 1. 2. 3. 4.. ℎ( , ) = ℎ( , ) 0 ≤ ℎ( , ) ≤ 1 ℎ(1,1) = 1 ℎ( , 0) = ℎ(0, ) = 0 donde ⋆ es una t-norma. Y se puede concluir que (4-15) La unión de conjuntos fuzzy tipo-2 es la unión de todos los join de los conjuntos fuzzy tipo2 embebidos [3], y el join es la unión de todas las t-normas entre las funciones de pertenencia. Ejemplo: dados los conjuntos. y. definidos por las funciones de pertenencia (4-16) (4-17). Determinar (4-18) (4-19) (4-20). (4-21) (4-22) (4-23).
(30) 5.3 Intersección La intersección de dos conjuntos fuzzy tipo-2 es otro conjunto fuzzy tipo-2. (4-24) Utilizando el teorema de la representación, se puede representar la intersección de conjuntos fuzzy tipo-2 como:. (4-25) Si (4-26) Y (4-27) (4-28). Donde el operador ⋆ es una t-norma (mínimo o producto) que cumple con las 4 condiciones mencionadas en la unión [3] (4-29). (4-30). (4-31). Donde ⊓ denota la operación llamada meet..
(31) Ejemplo: Sean los conjuntos fuzzy tipo-2. y , definidos por. y Calcular la intersección. (4-32). entre los dos conjuntos. (4-32). (4-33). (4-34) (4-35) (4-36) (4-37). 5.4 Complemento El complemento de un conjunto fuzzy tipo-2 es otro conjunto fuzzy tipo-2, tal que: (4-38) Utilizando el principio de extensión se tiene (4-39) (4-40) Donde ¬ denota la operación llamada negación, y si se utiliza el teorema de la representación [3] (4-41).
(32) Ejemplo: sea el conjunto complemento de. fuzzy tipo-2 con función de pertenencia. determine el. . (4-42) (4-43) (4-44). 6 Sistemas Fuzzy Logic Tipo-2 Un sistema Fuzzy Logic basado en reglas contiene cuatro componentes; las reglas, el fuzzificador, el motor de inferencia, y el procesador de salida interconectados como se muestra en la figura 5.1. Cuando las reglas son establecidas el sistema puede ser visto como un mapeo de las entradas a las salidas y puede expresarse de forma cuantitativa como y=f(x), este tipo de sistema es ampliamente usado en aplicaciones de ingeniería tales como controladores Fuzzy Logic y procesadores de señales [3].. Reglas Procesador de salida. Fuzzyficador Entrada X. Salida Y. Motor de inferencia Figura 5-1: Sistema fuzzy logic general. Las reglas son el corazón de un sistema Fuzzy logic, las cuales pueden ser tomadas de los expertos o de datos numéricos, estas son expresadas como un grupo de preposiciones tipo Si… Entonces (If-Then), en donde la parte SI (If) de la regla es el antecedente y la parte entonces (Then) es la consecuencia. Los conjuntos Fuzzy están asociados con términos que aparecen en las reglas ya sea en los antecedentes o en las consecuencias y también con las entradas y las salidas del sistema Fuzzy logic, estos conjuntos pueden ser de Tipo-1 o Tipo-2, la función de pertenencia que describe los conjuntos Fuzzy Tipo-1 es completamente cierta, mientras que la función de pertenencia para los conjuntos Fuzzy Tipo-2 es completamente difusa, de esta forma podemos encontrar sistemas Fuzzy Tipo-1 y Tipo-2 dependiendo de los conjuntos Fuzzy que describan el sistema [3], [28]..
(33) Dependiendo del conocimiento que sea usado para construir las reglas se debe elegir el tipo de conjunto a usar, en algunos casos este conocimiento presenta incertidumbre que podemos encontrar de cuatro formas, (1) en el significado de las palabras usadas en las reglas ya que las palabras pueden tener diferentes significados para diferentes personas, (2) las consecuencias obtenidas por un grupo de expertos pueden ser diferentes especialmente cuando estos no están de acuerdo, (3) las mediciones que activan el sistema pueden ser ruidosas, y (4) los datos usados para sintonizar los parámetros del sistema pueden ser ruidosos [16]. Otro de los elementos presentes en un sistema Fuzzy es el fuzzificador el cual mapea los números clásicos de la entrada en conjuntos Fuzzy, esto es necesario para activar las reglas que están en términos de variables lingüísticas las cuales tienen conjuntos Fuzzy asociados con ellas. El motor de inferencia en un sistema fuzzy mapea conjuntos fuzzy en otros conjuntos fuzzy, esto muestra la forma en que las reglas son activadas y combinadas, de esta misma forma los seres humanos tomamos muchos diferentes tipos de procedimientos inferenciales para entender cosas o tomar decisiones. Por último en un sistema fuzzy encontramos el procesador de salida que entrega números clásicos en las salidas del sistema, este proceso es conocido como defuzzificacion, cuando el sistema es Tipo-1 solo tiene el defuzzyficador, pero si es Tipo-2 el procesador de salida está compuesto por dos componentes el reductor de tipo (Type-reducer) que mapea un conjunto Tipo-2 en un conjunto Tipo-1 y el defuzzyficador que realiza el proceso defuzzificacion, la figura 5.2 muestra en sistema fuzzy lógic tipo-2 [3].. Entradas clásicas x. Procesador de salida Fuzzyficador Reglas. Defuzzyficado r. Reductor de tipo. Conjuntos Fuzzy entrada Figura 5-2: Sistema fuzzy logic tipo-2. Motor de inferencia Conjuntos Fuzzy Salida. Salidas clásicas y.
(34) 6.1 Inferencia en conjuntos fuzzy tipo-2 Considerar un FLS T2 tiene p entradas y una salida se supone que este tiene M reglas donde la lth regla tiene la forma:. . Si. (5-1) Esta regla representa una relación fuzzy tipo-2 entre el espacio de entrada y el espacio de salida Y del FLS. Denotando la MF de esta relación fuzzy como: (5-2). Donde. representa el producto cartesiano de. ,. , …,. y. . Cuando una entrada pertenece y la regla [15] .. es aplicada, la composición de un conjunto fuzzy, al cual es encontrada por el uso de la composición sub-start extendida. (5-3). Si se utiliza fuzzyficacion singleton, por lo tanto el conjunto fuzzy es tal que este tiene un grado de pertenencia 1 correspondiente a x=x’ y tiene grado de pertenencia 0 para todas las otras entradas, por lo tanto la ecuación (5-3) se reduce a: (5-4) Se denota como , el conjunto de salida correspondiente para la lth regla, el extremo derecho de (5-4) es calculado utilizando la función de pertenencia implicación. En las aplicaciones de ingeniería de forma común se utiliza implicación producto o mínimo, que corresponde a la operación meet con la t-norm producto o mínimo, y (5-4) puede ser reescrito como: (5-5) La función de pertenencia para un producto cartesiano de conjuntos es calculada mediante la búsqueda del meet entre las funciones de pertenencia de los conjuntos individuales, por lo tanto (5-5) puedes ser:.
(35) (5-6) Donde se utiliza la misma operación para la t-norma y la inferencia. En [15] se muestra un ejemplo de la inferencia producto y mínimo para un sistema fuzzy logic tipo-2 de una entrada y una salida utilizando conjuntos tipo-2 con forma gaussiana. La incertidumbre en el grado de pertenencia primaria de una función de pertenencia tipo-2 se ve representada por FOU la región oscura en la figura 5-3 en el cual está la unión de todas las pertenencias primarias. Las áreas oscuras indican pertenencias secundarias mayores. La función de pertenencia principal, es decir, el conjunto de pertenencias primarias que tienen pertenencia secundaria igual a 1, son representados con una línea gruesa. El producto de la función de pertenencia (5-6) en la figura 5-3 C) fue obtenido mediante la búsqueda del meet bajo la t-norma producto del grado de pertenencia de x=4 con el grado de pertenencia para todos los puntos de la función consecuencia en b). Similarmente la función de inferencia mínimo en (5-6) en d) fue obtenida encontrando el meet bajo la tnorma mínimo del grado de pertenencia de x=4 con el grado de pertenencia de todos los puntos de la función consecuencia. Se observa que en ambos casos el resultado de la inferencia es un conjunto tipo-2. Se puede interpretar el comportamiento de las bandas sobre la función de pertenencia de la salida como una indicación de las incertidumbres combinadas de antecedentes y consecuencias.. Figura 5-3: Grafica de la inferencia Tipo-2 para producto y mínimo [15].
(36) 6.2 Reducción de tipo [15] El conjunto de salida para cada regla en FLS Tipo-2 es un conjunto fuzzy Tipo-2. El reductor de tipo combina todos estos conjuntos de salida en la misma forma que el defuzzificador combina las salidas de las reglas en un FLS Tipo-1, luego se calcula el centro geométrico sobre este conjunto tipo-2 y como resultado se llega a un conjunto tipo-1 que se le llama el conjunto “reducido de tipo”. El centro geométrico de un conjunto A tipo-1 cuyo dominio es discretizado en N puntos esta dado por:. (5-7). De forma similar el centro geométrico de un conjunto tipo-2 , en donde el dominio esta discretizado en N puntos, puede ser definido utilizando el principio de extensión como sigue, sea entonces se tiene. (5-8). Donde tipo-1. , esto significa que cada punto. de. tiene un grado de pertenencia fuzzy. asociado con el punto. Para encontrar el centro geométrico, se considera. cada posible combinación. tal que. . Para cada combinación se desarrolla. el cálculo del centro geométrico tipo-1 (5-7) utilizando. en lugar de. y para cada. punto en el centro geométrico tipo-1 se asigna grado de pertenencia igual a la t-norma del grado de pertenencia del en , se utiliza el centro geométrico tipo-1 ya que se están realizando operaciones con los conjuntos fuzzy tipo-1 embebidos del sistema. Si más de una combinación de obtiene el mismo punto en el centro geométrico se mantiene el que tenga el grado de pertenencia más grande [15]. Si se deja. , entonces (5-8). puede ser escrita como (5-9).
(37) Donde. es tal que. y. indica la t-norma elegida.. Cuando se trabaja con conjuntos fuzzy en un universo del discurso continuo este debe ser discretizado ya que los conjuntos fuzzy tipo-1 embebidos son incontables, es decir que el dominio del conjunto debe ser discretizado en M puntos para el cálculo del centro geométrico donde el posible número de combinaciones es MN y es muy grande para valores pequeños de M y N. En conclusión el conjunto reducido de tipo en un FLS tipo-2 es el centro geométrico de un conjunto de salida tipo-2, donde cada elemento del conjunto reducido de tipo es el centro geométrico de algún conjunto tipo-1 embebido en el conjunto de salida, el cual esta relacionado con la salida de algún FLS tipo-1 embebido en el FLS tipo-2, asi que el conjunto reducido de tipo es la reunión de todas las salidas de los FLS tipo-1 embebidos en el FLS tipo-2, permitiendo representar la salida del sistema como un conjunto fuzzy en lugar de un número clásico [15]. En la literatura se pueden encontrar varios métodos para calcular el conjunto reducido de tipo entre los que se puede encontrar los siguientes a. Reducción de tipo por centro geométrico El defuzzificador por centro geométrico combina los conjuntos de salida fuzzy tipo-1 utilizando una t-conorma y busca el centro geométrico de este conjunto. Si se denota el conjunto fuzzy de salida como B, donde (5-10) Con funciones de pertenencia asociadas ,y es la función de pertenencia del conjunto de salida para la lth regla, entonces el defuzzificador por centro geométrico esta dado como:. (5-11) Donde la salida del conjunto B ha sido discritizada entre N puntos. La reducción de tipo por centro geométrico combina todas las salidas de las reglas de conjuntos fuzzy tipo-2, , por la búsqueda de la unión y como la unión de conjuntos fuzzy tipo-2 esta definida por el join de sus funciones de pertenencia, el centro geométrico esta dado por (5-12) [3].
(38) (5-12) Donde es la función de pertenencia secundaria para la lth regla esta definida en (58), y la reducción de tipo por centro geométrico se calcula en . Donde el centro geométrico utilizando la notación de (5-8), , puede ser expresado como. (5-13) Donde. . En esta ecuación. ,. y. están asociadas con. y se muestra. como una función explicita de x porque cada en (5-12) es una función de entrada x en el FLS. Para diferentes entradas en FLS, se obtienen diferentes valores de . Una secuencia práctica de cálculos para obtener procedimiento de cinco pasos [15] [3]: 1. Calcular. está basada en el siguiente. utilizando (5-12). Esto es posible porque se tendrá siempre. calculado para todo . 2. Discretizar el dominio y entre N puntos . 3. Discretizar cada entre un número adecuado de puntos, por decir 4. Enumerar todos los conjuntos tipo-1 embebidos de ; se encontraran . 5. Calcular el centro geométrico del conjunto tipo-reducido utilizando (5-13); es decir, calcular el centro geométrico de cada conjunto tipo-1 embebido enumerado y asignar a este un grado de pertenencia igual a la t-norma del grado secundario correspondiente a los conjuntos tipo-1 enumerados. Se debe utilizar la t-norma mínimo. Los cálculos del centro geométrico y pertenencia tienen que ser repetidos veces y así, esto genera una sobre carga computacional en el cálculo para la reducción de tipo. b. Reducción de tipo por centro de sumas En la defuzzificación por centro de sumas combina las salidas de conjuntos fuzzy tipo-1 añadiéndolos; es decir,.
(39) (5-14) Y entonces se busca el centro geométrico de este conjunto. El defuzzificador por centro de sumas puede ser expresado como. (5-15) Donde denota el centro geométrico del lth conjunto de salida y conjunto. El subíndice a en y indica la combinación aditiva.. denota el área de este. El reductor de tipo por centro de sumas combina los conjuntos de salida de las reglas tipo-2 por la suma de su función de pertenencia secundaria y entonces encuentra el centro geométrico del conjunto tipo-2 resultante; es decir, el conjunto reducido de tipo por centro de sumas . La manera más sencilla de calcular ; es encontrando el centro geométrico de la suma de las funciones de pertenencia secundarias de salida, así como el reductor de tipo por centro geométrico encuentra el centro geométrico de la unión de los conjuntos de salida. La ecuación (5-13) puede ser utilizada para este propósito [3], donde. (5-16) Y , y están ahora asociadas con . Para cada valor de calcular la parte derecha de (5-16) se puede utilizar (5-17). , para. (5-17) Donde ⋆ indica la t-norma, mínimo, o producto. La secuencia de cálculos necesitados para obtener es exactamente la misma como se describió para , excepto que en el paso 1 se calcula. para el conjunto combinado de salida en (5-16).. c. Reducción de tipo por altura El defuzzificador por altura reemplaza el conjunto de salida de cada regla por el singleton en el punto que tiene la pertenencia máxima en el conjunto de salida, y entonces calcula el centro geométrico del conjunto tipo-1 compuesto de estos singletons. La salida de un defuzzificador por altura está dada como [3].
(40) (5-18). Donde es el punto que tiene la pertenencia máxima en el lth conjunto de salida (si hay más de estos puntos, su promedio es tomado como ) y su grado de pertenencia en el lth conjunto de salida es. .. El reductor de tipo por altura remplaza cada conjunto de salida tipo-2 por un conjunto de salida tipo-2 cuyo dominio y consiste de un punto único ( ), en el cual la función de pertenencia secundaria es un conjunto fuzzy tipo-1. El lth conjunto de salida es reemplazado por un singleton situado en , donde puede ser elegido como el punto que tiene la pertenencia primaria más alta en la función de pertenencia principal del conjunto de salida. [3].. La expresión para el conjunto tipo-reducido por altura es obtenido como una extensión de (5-18), como. (5-19) En esta ecuación, ,. y. están asociados con. Una secuencia práctica de cálculos para obtener 1. Elegir. el conjunto de salida de cada regla. .. es como sigue [3]: .. 2. Discretizar la pertenencia primaria de cada , , entre un número adecuado de puntos, por decir . La discretizacion se lleva a cabo de una manera similar a la tipo de reducción centro geométrico y centro de sumas, la única diferencia es que el número de puntos sobre el eje horizontal es ahora M (el numero de reglas) en lugar de N. 3. Enumerar todas las combinaciones posibles combinaciones.. tales que. ; habrá.
(41) 4. Calcular el conjunto reducido de tipo por altura utilizando (5-19). Puesto que el dominio del conjunto de salida combinado es discreto, se puede utilizar la t-norma producto o mínimo en (5-19). En el paso 4, la suma ponderada y cálculos de pertenencias en (5-19) tiene que ser repetido veces. Generalmente (donde N es el número y de puntos en el caso de la reducción de tipo por centro geométrico o centro de sumas). Así, calcular el conjunto reducido de tipo por altura generalmente involucra mucho menos cálculos. d. Reducción de tipo por centro de conjuntos En la defuzzificacion por centro de conjuntos se remplaza cada conjunto consecuente de la regla por un singleton situado en su centro geométrico y entonces busca el centro geométrico del conjunto tipo-1 compuesto por estos singletons. La expresión para la salida está dada como. (5-20) Donde T indica la t-norma elegida, y consecuente.. es el centro geométrico del lth conjunto. El reductor de tipo por centro de conjuntos reemplaza cada conjunto consecuente tipo-2,. ,. por su centro geométrico, siendo este un conjunto tipo-1 y, como en (5-20), se encuentra una promedio ponderado de estos centros geométricos. El peso asociado con el lth centro geométrico es el grado de activación correspondiente para la lth regla, a saber . Note que es tambien un conjunto tipo-1. La expresión para el conjunto reducido de tipo por centro de conjuntos es ahora el de un centro geométrico generalizado, y está dado por la siguiente extensión de (5-20). (5-21) Donde T y ⋆ indican la t-norma elegida. Una secuencia práctica de cálculos para obtener. es como sigue [3]:.
(42) 1. Discretizar el espacio de salida Y entre un número alcanzable de puntos, y calcular el centro geométrico de cada conjunto consecuente sobre el espacio de salida discretizado utilizando (5-8). Estos centros geométricos de conjuntos consecuentes pueden ser calculados previamente y guardarlos para un uso futuro. 2. Calcular el grado de activación consecuente utilizando (4-10). Note que. asociado con el lth conjunto es un conjunto fuzzy tipo-1 .. 3. Discretizar el dominio de cada conjunto fuzzy tipo-1 de puntos, es decir . 4. Discretizar el dominio de cada conjunto fuzzy tipo-1 de puntos, es decir .. entre un número adecuado entre un número adecuado. 5. Enumerar todas las posibles combinaciones. tal que. y. . El número total de combinaciones es . 6. Calcular el conjunto reducido de tipo por centro de sumas utilizando (5-21). Ya que hay exactamente M y , donde M es el número de reglas, se puede utilizar la tnorma producto o mínimo en (5-21).. En el paso 6 la suma ponderada y las operaciones t-norma en (5-21) se repiten veces. Este número es, en general, mayor que el requerido para la reducción de tipo por altura, pero es menos que el requerido para la reducción de tipo por centro geométrico y por centro de sumas. Si las consecuencias solo son conjuntos fuzzy tipo-2 (como en función de la aproximación), así que todos los grados de activación son números clásicos, entonces se reduce a. (5-22) Note que esta fórmula derivada desde. en (5-20) en la que. es reemplazado por. .. 6.3 Defuzzificador Se defuzzifica el conjunto reducido de tipo para poder obtener una salida clásica desde un sistema fuzzy logic tipo-2. La forma mas sencilla de realizarlo parece ser calculando el centro geométrico del conjunto reducido de tipo. Encontrar el centro geométrico es equivalente a encontrar el peso promedio de las salidas para todos los FLS tipo-1 embebidos en el FLS tipo-2, donde los pesos corresponden a las pertenencias en el conjunto.
(43) reducido de tipo. Si el conjunto reducido de tipo Y para una entrada x es discretizado en N puntos, la expresión de su centro geométrico es:. (5-23). Si el conjunto reducido de tipo tiene solo un punto con pertenencia unitaria y si se quiere reducir la complejidad computacional, se puede que pensar que una elección sencilla para el valor defuzzificado es el punto con pertenencia unitaria en el conjunto reducido de tipo. Esta elección es tomar solo la salida correspondiente para la función de pertenencia del FLS tipo-1 principal embebido en el FLS tipo-2, y por lo tanto no trasmite la incertidumbre presente en la función de pertenencia, por tal motivo no tiene sentido tomar este punto a no ser que el conjunto reducido de tipo sea simétrico y convexo en tal caso sería el mismo centro geométrico, por lo general el conjunto reducido de tipo no es simétrico por lo tanto el centro geométrico es diferente al punto con altura unitaria [15] [3]. Si el numero puntos N es grande los datos almacenados pueden ser un problema para el cálculo de (5-23), una alternativa de solución es utilizar procesamiento paralelo en la reducción de tipo y la salida de cada procesador puede ser agregada utilizando el defuzzificador por centro geométrico para de esta forma obtener un valor clásico. Cuando se dificulta el procesamiento paralelo es posible utilizar un método recursivo para reducir considerablemente las necesidades de memoria, almacenando los datos necesarios al calcular la salida defuzzificada, (5-23) puede ser calculada [15] [3] (5-24) (5-25) Para i=1,2,…,N y después de realizar la Nth iteración, la salida defuzzificada está dada por (5-26). 7. GUI en Matlab para Sistemas de Intervalo Fuzzy Tipo-2. Para complementar el estudio se propone la utilización de un conjunto de programas en Matlab que a través de una GUI (interfaz gráfica de usuario) permite desarrollar las operaciones básicas entre dos conjuntos fuzzy de intervalo tipo-2 y un sistema fuzzy de intervalo tipo-2 con tres entradas (antecedentes) y una salida (consecuencia). Para la construcción de este programa se utilizaron funciones disponibles en [27] y que hacen parte del material de estudio disponible en este libro. En la bibliografía disponible se.
(44) pueden encontrar varias herramientas de software para manejar sistemas fuzzy logic de intervalo tipo-2, en [29] se desarrolló con una interfaz gráfica y con la posibilidad de realizar simulaciones en simulink, en [25] utilizan el bloque función de matlab desde simulink y una serie de funciones que pueden ser llamadas directamente desde la ventana de comandos, en [30] utilizan el toolbox sobre un problema de predicción, en [31] realizan el tooolbox sobre labview y [32] realiza también una herramienta para sistemas fuzzy de intervalo tipo-2 en java. Todas estas herramientas se centran en los sistemas fuzzy tipo-2 pero no incluyen las operaciones básicas en conjuntos fuzzy tipo-2, información importante para profesionales que se inicien en el mundo de fuzzy logic tipo-2. Durante la interacción con el software se deben colocar parámetros para cada conjunto de intervalo fuzzy tipo-2 que se cree por lo cual se debe definir las funciones límites del intervalo, es decir su función de pertenencia superior y la función de pertenencia inferior que son funciones tipo-1, esta definición se puede realizar utilizando diferentes formas entre las que se encuentran:. 7.1 Funciones de pertenencia utilizadas Gaussiana definida por. (6-1) En donde se deben entregar los parámetros. y c.. 1. 0.9. 0.8. 0.7. f(x;sigma,c) . 0.6. 0.5. 0.4. 0.3. 0.2. 0.1. 0. 0. 1. 2. 3. Figura 6-1: Grafica para una función gaussiana. Trapezoidal definida por. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
(45) (6-2) Para la cual se deben definir los parametros a,b,c y d.. 1. 0.9. 0.8. f(x;a,b,c,d) . 0.7. 0.6. 0.5. 0.4. 0.3. 0.2. 0.1. 0. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Figura 6-2: Grafica para la función trapezoidal. Triangular definida por. (6-3) Los parámetros que se deben agregar son a, b y c 1. 0.9. 0.8. f(x;a,b,c) . 0.7. 0.6. 0.5. 0.4. 0.3. 0.2. 0.1. 0. 0. 1. 2. Figura 6-3: Grafica para la función triangular. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
(46) 7.2 Modulo conceptos básicos en conjuntos fuzzy tipo-2 El programa principal carga la interfaz gráfica para poder definir un sistema fuzzy tipo-2 completo, sin embargo en el menú de ayuda se agregó un módulo que ejecuta las operaciones básicas entre conjuntos como son unión, intersección y complemento, cuando el modulo es llamado se ve de la siguiente forma:. Figura 6-4: Interfaz inicial modulo conceptos fuzzy tipo-2. Lo primero que se debe realizar es ingresar los parámetros para las funciones de pertenencia inferior y superior, como se describe anteriormente dependiendo de la forma que con la que se quiera trabajar se deben colocar los parámetros que satisfacen cada forma, así deben colocarse 2 parámetros para pertenencias que describen formas gaussiana y 4 para las que son descritas por formas trapezoidales. Definir el universo del discurso (UDD) por ultimo seleccionar la forma para la función de pertenencia, la siguiente grafica muestra el resultado para una forma gaussiana en el conjunto A..
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