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EJERCICIOS DE MATRICES DETERMINANTES Y ECUACIONES LINEALES2º BC S

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Academic year: 2020

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(1)

Profesora: María Dolores González Peña

EJERCICIOS DE MATRICES.DETERMINANTES Y SISTEMAS LINEALES

1. Sean las matrices A=(1 2

0 −1) y B=( 3 −1 0 2 )

a) Calcule la matriz 𝐴2017

b) ¿Se verifica la expresión (B+A).(B-A)=𝐵2− 𝐴2? SOL; a) 𝐴2017=(1 2

0 −1) b) No

2. Sean las matrices A=(1 −1 0

0 1 −1), B=(

1 0

0 1

2 −2

) y C=(1 1 3 −2)

a) Razone cuáles de las siguientes operaciones son posibles: A.𝐵𝑡 B+3C C. 𝐵𝑡 A.B+C

b) Resuelva la ecuación matricial A.B.X=C SOL; b) X=(𝟔 𝟏

𝟓 𝟎)

3. Sean las matrices A=(2 1

0 −1), B=( 1 −1 2 0 ) , C=(

−2 4

1 −1) y D=(

1 0 1

0 1 0)

a) Razone si se pueden efectuar las siguientes operaciones A.D+B.C 𝐷𝑡. 𝐵 − 𝐴2

b) Halla la matriz X que verifica la ecuación matricial A.X= B-C. SOL; b) X=( 𝟐 −𝟐

−𝟏 −𝟏)

4. Sean las matrices A=(2 4

1 −1) y B=( −3 0

0 1)

a) Calcule 𝐴2+ 𝐵3.

b) Calcule X en la ecuación matricial (A+B).X=A-B SOL; a) (−𝟏𝟗 𝟒

𝟏 𝟔) b) X= ( 𝟏 −𝟐

𝟑 𝟐

𝟏 𝟐

)

5. Sean las matrices A=(1 0 1

0 1 1) y B= ( 0 1 1 0 1 1 )

a) Justifique cuales de las siguientes operaciones pueden realizarse y, en tal caso, calcule el resultado: 𝐴2 ; 𝐴 − 𝐵 ; 𝐴. 𝐵 ; 𝐴. 𝐵𝑡

b) Halle la matriz X tal que 𝐴𝑡+ 𝐵. 𝑋 = 3𝐵

SOL; b) X=( 𝟑 −𝟏 −𝟏 𝟑 )

6. Se consideran las matrices A=(−1 0

1 2) y B=(

2 1

0 −1)

a) ¿Se verifica la igualdad (𝐴 + 𝐵)2= 𝐴2+ 𝐵2+ 2𝐴. 𝐵? b) Resuelve la ecuación matricial X.A=𝐵𝑡+𝐼2

(2)

Profesora: María Dolores González Peña 7. Sean las matrices A=(6 0

2 4), B=( −4

6 ) y C=(−2 −2)

a) Justifique cuáles de las siguientes operaciones se pueden realizar y efectúalas cuando sea posible: B+2C.A A-(𝐵. 𝐶)𝑡

b) Resuelva la ecuación matricial 1

5. (𝐵 + 𝐴. 𝑋) = 𝐶 𝑡

SOL; b) X=(−𝟏−𝟕 𝟐

)

8. Se consideran las matrices A=(−1 2

−3 4) , 𝐵 = (

−1 2 1

3 0 2) 𝑦 𝐶 = (

3 0 1

2 −1 −1)

a) Razone qué dimensiones deben tener las matrices P y Q para que los productos (A.P.𝐵𝑡 ) y ( Q.A.C) den como resultado una matriz cuadrada.

b) Resuelva la ecuación matricial A.X-2B.𝐶𝑡 = 𝐴2

SOL; a) P 2x2 y Q 3x3 b) X=(−𝟑𝟏 −𝟐𝟔 −𝟐𝟎 −𝟏𝟓)

9. a) Resuelva el sistema de ecuaciones matriciales: 2A-5B= (7 2

7 8) ; 3A-B=(

4 3

4 −1)

b)Dadas las matrices C=(3 −2

1 1 ) 𝑌 𝐷 = (

0 1

−1 2), resuelva la ecuación matricial

X.C-𝐷2= 𝐼2

SOL; a) A=(𝟏 𝟏 𝟏 −𝟏) B=(

−𝟏 𝟎

−𝟏 −𝟐) b) X=(

−𝟐 𝟓

𝟔 𝟓 −𝟔

𝟓 𝟖 𝟓

)

10. a) Resuelva la ecuación matricial (2 3

1 −5) . 𝑋 = (

1 1

0 −1)

2

. (4 1)

b)Si A es una matriz con tres filas y dos columnas, determine razonadamente la dimensión que deben tener las matrices B,C y D para que se puedan efectuar las siguientes operaciones:

2ª-3B A.𝐴𝑡− 𝐶2 A.D

SOL; a) X= (

𝟐𝟑 𝟏𝟑 𝟐 𝟏𝟑

) b) B dimensión 3x2, C 3x3 y D 2xn, siendo n cualquier número de columnas.

11. Sean las matrices A=(1 0

1 −1) y B=(

1 0 −1

2 1 0 )

a) Calcule 𝐴2018+ 𝐴2019

b) Resuelva la ecuación matricial X.A+B.𝐵𝑡 = 2𝐴

SOL; a) (𝟐 𝟎

𝟏 𝟎 ) b) X=( −𝟐 𝟐 −𝟕 𝟕)

12. Sean las matrices A=(−1 −6 2 4 ) B=(

−1 1 2

1 0 −1) y C=(

𝑎 0 1

3 −1 𝑏)

a) Halle los valores de a y b para que se verifique B.𝐶𝑡 = 𝐴

(3)

Profesora: María Dolores González Peña SOL;a) a=3 b=-1 b) X=(

−𝟏 𝟐

−𝟐𝟏 𝟒 𝟕 𝟒

𝟑𝟏 𝟖

)

13. Los alumnos de segundo de Bachillerato organizan una venta de pasteles para el viaje de fin de curso. Venden pasteles grandes, que necesitan 2 huevos, 5 terrones de azúcar y 100 g de harina cada uno, y pasteles pequeños, que necesitan 1 huevo, 3 terrones de azúcar y 80 g de harina cada uno.

a) Presente en una matriz M, de dimensión 3x2, las cantidades de los elementos necesarios para la elaboración de un pastel grande y uno pequeño.

b) Si desean fabricar 20 pasteles de una clase y 30 de otra, escriba las dos matrices columna, A( 20 grandes y 30 pequeños) y B( 30 grandes y 20 pequeños ) que representan este reparto

c) Calcule los productos M.A y M.B e indique si con 8 docenas de huevos , 200 terrones de azúcar y 5 Kg de harina se pueden elaborar 20 pasteles grandes y 30 pequeños. ¿ Y 30 grandes y 20 pequeños?

14. Una fábrica produce dos tipos de productos, A y B, que distribuye a tres clientes. En el mes de enero el primer cliente compró 9 unidades de A y 5 de B, el segundo cliente 3 de A y 7 de B, y el tercer cliente 4 de A y 6 de B.

En el mes de febrero el primer cliente y el segundo duplicaron las compras del mes anterior, y el tercer cliente no compró nada, y el segundo y el tercero compraron lo mismo que en febrero.

a) Para cada mes construya la matriz de dimensión 3x2 correspondiente a las compras de ese mes.

b) Calcule la matriz de compras del trimestre.

c) Si los precios de los productos A y B son, respectivamente , 80 y 100 euros, calcule lo que factura la fábrica en el primer trimestre, por cada cliente y en total.

15. Sean las matrices A= (1 -2 3) B= ( 2 −1

1

) 𝑦 𝐶 = (

2 0 −1

1 1 1

1 3 2

). Resuelve , si es posible, la ecuación matricial B.A +2X=C

SOL;𝟏𝟐(

𝟎 𝟒 −𝟕

𝟐 −𝟏 𝟐

𝟎 𝟓 −𝟏

)

16. De una matriz cuadrada A, de orden 3 se conocen los siguientes elementos:

𝑎12= 𝑎21= −2 𝑎13= 𝑎31= 0 𝑎23= 𝑎32= 1

a) Determine los demás elementos de la matriz A sabiendo que debe cumplirse la ecuación A.B= 𝐶𝑡 donde 𝐵𝑡=(1 -1 1) y C= ( -4 2 -1)

b) Calcule 2𝐷2 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐷 = (1 −5

3 −5)

SOL; a) 𝒂𝟏𝟏 = −𝟔 𝒂𝟐𝟐 = −𝟑 𝒂𝟑𝟑= 𝟎 𝒃) (−𝟐𝟖−𝟐𝟒 𝟒𝟎𝟐𝟎)

17.

Considera las matrices A=

(

0

1 1

1

0 0

0

0 1

) ; 𝐵 = (

1

−1 1

1

−1 0

−1

2

3

(4)

Profesora: María Dolores González Peña

Determina si existe, la matriz X que verifica

𝐴. 𝑋 + 𝐵 = 𝐴

2

.SOL

. 𝑿 = (

−𝟏

𝟐

𝟏

−𝟏

𝟑

𝟐

𝟏

−𝟐 −𝟐

)

18.

Se sabe que

|𝐴| = −3 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐴 = (

𝑎

11

𝑎

12

𝑎

13

𝑎

21

𝑎

22

𝑎

23

𝑎

31

𝑎

32

𝑎

33

)

.Calcula, indicando las

propiedades que utilices, los siguientes determinantes:

a)

|−2𝐴| 𝑏) |

𝑎

21

𝑎

22

𝑎

23

7𝑎

11

7𝑎

12

7𝑎

13

2𝑎

31

2𝑎

32

2𝑎

33

| 𝑐) |

𝑎

11

𝑎

21

+ 2𝑎

31

5𝑎

31

𝑎

12

𝑎

22

+ 2𝑎

32

5𝑎

32

𝑎

13

𝑎

23

+ 2𝑎

33

5𝑎

33

|

SOL. a) 24 b) 42

c)-15

19. Considera las matrices A=

(

1

0 2

1

1 1

2

3 0

) , 𝐵 = (

2

0

−3

3

−1 −3

−1 −2 −1

)

a) Calcula

𝐴

−1

b) Hallar X que verifica

𝐴

𝑡.

. 𝑋 + 𝐵 = 𝐼,

siendo I la matriz identidad y

𝐴

𝑡

la matriz

traspuesta de A. SOL. a)

𝑨

−𝟏

= (

𝟑

−𝟔

𝟐

−𝟐

𝟒

−𝟏

−𝟏

𝟑

−𝟏

)

b) X=

(

𝟐

−𝟔

𝟏

−𝟑

𝟏𝟒

𝟎

𝟎

−𝟒

𝟏

)

20. Considera las matrices

𝐴 = (

1 + 𝑚

1

1

1 − 𝑚

) 𝐵 = (

1 −1

1

0

)

a) ¿Para qué valores de m e verifica que

𝐴

2

= 2𝐴 + 𝐼

b) Para m=1, calcula

𝐴

−1

y la matriz X que satisface A.X-B=A.B

SOL. a) m=1,-1 b)

𝑨

−𝟏

= (

𝟎

𝟏

𝟏

−𝟐

)

c)

𝑿 = (

𝟐

−𝟏

𝟎

−𝟏

)

21. Se sabe que el det(A)=3, siendo A=

(

𝑎

𝑏

𝑐

𝑏

𝑑

𝑒

𝑐

𝑒

𝑓

),

calcula los siguientes

determinantes, indicando, en cada caso, las propiedades que utilices:

a) det(

𝐴

3

) det(

𝐴

−1

)

det(A+

𝐴

𝑡

)

b)

|

𝑎

𝑏

𝑐

𝑐

𝑒

𝑓

2𝑏

2𝑑

2𝑒

|

c)

|

𝑎

𝑏

4𝑎 − 𝑐

𝑏

𝑑

4𝑏 − 𝑒

𝑐

𝑒

4𝑐 − 𝑓

|

SOL. a) 27

𝟏

𝟑

6 b)-6 c)-3

22. Sabiendo que

|𝐴| = 2, 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐴 = (

𝑥

𝑦

𝑧

1

0

1

1

2

3

)

calcula los siguientes

determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilices:

a) det(3A)

(5)

Profesora: María Dolores González Peña

c)

|

3

0

1

3𝑥

2𝑦

𝑧

3

4

3

|

d)

|

1

2

3

𝑥 + 2

𝑦 + 4 𝑧 + 6

−1

0

−1

|

SOL. a) 54 b)

𝟏

𝟐

c) -12 d) -2

23. Sea A=

(

1

1

1 −1

)

. Comprueba que

𝐴

2

= 2𝐼

y calcula

𝐴

−1

; 𝐴

2013

𝑦 𝑠𝑢 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎.

SOL.

𝑨

−𝟏

=

(

𝟏 𝟐

𝟏 𝟐 𝟏 𝟐

−𝟏 𝟐

)

𝑨

𝟐𝟎𝟏𝟑

= 𝟐

𝟏𝟎𝟎𝟔

(

𝟏

𝟏

𝟏

−𝟏

) ( 𝑨

𝟐𝟎𝟏𝟑

)

−𝟏

=

𝟏 𝟐𝟏𝟎𝟎𝟕

(

𝟏

𝟏

𝟏 −𝟏

)

24. Sabiendo que

|𝐴| = 4 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐴 = (

𝑎

𝑏

𝑐

𝑑

𝑒

𝑓

𝑝

𝑞

𝑟

)

Calcula:

a) det(-2A) det(

𝐴

−1

)

b)

|

𝑎

−𝑏

𝑐

2𝑑

−2𝑒

2𝑓

𝑝

−𝑞

𝑟

|

SOL. a) -32;

𝟏𝟒

b) -12

25. Sea la matriz A=

(

0

0

1

2

1

2

1 𝐾

1

)

a) ¿Para qué valores del parámetro K no existe la inversa de la matriz A? Justifica la

respuesta.

b) Para K=0, resuelve la ecuación matricial (X+I).A=

𝐴

𝑡

SOL. a) K=

𝟏𝟐

𝒃) 𝑿 = (

𝟎 𝟐

−𝟒

𝟎 𝟎

−𝟐

𝟎 𝟐

−𝟒

)

26. Encuentra la matriz X que satisface XA+

𝐴

3

𝐵 = 𝐴 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐴 = (

0 0 1

0 1 0

1 0 0

) 𝑦 𝐵 =

(

2

−1

0

0

2

−1

−1

0

2

)

SOL. X=

(

−𝟏

𝟎

𝟏

𝟎

−𝟏

𝟎

𝟎

𝟏

−𝟏

)

27. Dada la matriz A=

(

3 −2

5

1

)

, sea B la matriz que verifica AB=

(

−2 1

7

3

)

a) Comprueba que las matrices A y B poseen inversas.

b) Resuelve la ecuación matricial

𝐴

−1

𝑋 − 𝐵 = 𝐵𝐴

SOL. X=

(

−𝟑

𝟔

(6)

Profesora: María Dolores González Peña

28. Dada la matriz A=

(

𝛼 + 1

0

1

−1

)

a) Calcula los valores de

𝛼

para los que la matriz

𝐴

2

+ 3𝐴

no tiene inversa.

b) Para

𝛼 = 0

, hallar la matriz X que verifica la ecuación AX+A=2I

SOL. a)-1;-4 b) X=

(

𝟏

𝟎

𝟐

−𝟑

)

29. Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son

|𝐴| =

1

2

𝑦 |𝐵| = −2

. Halla:

a)

|𝐴

3

|

b)

|𝐴

−1

|

c)

|−2𝐴|

d)

|𝐴𝐵

𝑡

|

e) El rango de B

SOL. a)

𝟏𝟖

b) 2 c) -4 d) -1 e) 3

30. Sea M=

(

1

0

−1

0 𝑚 + 1

0

1

1

𝑚 − 1

)

a) Determina los valores de m para que los vectores fila de M sean linealmente

independientes.

b) Estudia el rango de M según los valores de m.

c) Para m=1, calcula

𝑀

−1

.

SOL; a) m

≠ 𝟎 𝒚 𝒎 ≠ −𝟏

b) Si m=0 ó m=-1 rango M=2, en cualquier otro caso rango

M=3 c)

𝑴

−𝟏

=

(

𝟎

−𝟏

𝟐

𝟏

𝟎

𝟏

𝟐

𝟎

−𝟏

−𝟏

𝟐

𝟏

)

31. Sabemos que el precio del kilo de tomates es la mitad que el del kilo de carne.

Además, el precio del kilo de gambas es el doble que el de carne. Si pagamos 18 euros

por 3 kilos de tomates, 1 kilo de carne y 250 gramos de gambas, ¿cuánto pagaríamos

por 2 kilos de carne, 1 kilo de tomates y 500 gramos de gambas?

(7)

Profesora: María Dolores González Peña

32. Plantee y resuelve un sistema de ecuaciones que dé solución al siguiente

problema: Un inversor compró acciones de las empresas A, By Cpor un valor de 20000

€, invirtiendo en C el doble que en A. Al cabo de un año la empresa A le pagó el 6% de

beneficio, la B el 8% y la Cel 10%. Si el beneficio total fue de 1720 €, ¿qué dinero

invirtió en cada empresa?

SOL; En la empresa A invirtió 6.000€, en B 2.000€ y en C 12.000€

33. a) Determine dos números sabiendo que al dividir el mayor por el menor

obtenemos 7 de cociente y 2 de resto, y que la diferencia entre el triple del mayor y el

menor es 106.

b) Resuelva el siguiente sistema e interprete gráficamente sus soluciones:

{

𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟓

𝟒(𝒙 − 𝟐) = 𝟏 + 𝟐(𝒚 + 𝟏)

SOL; a)x=37 y=5 b) Sistema incompatible

34. Clasifique y resuelva el sistema formado por las 3 ecuaciones siguientes:

x-3y+2z=0; -2x+y-z=0; x-8y+5z=0

SOL; x=

−𝒛

𝟓

𝒚 =

𝟑𝒛

𝟓

𝒛 = 𝒛

35.a) Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones dado por

(

3 1 − 2𝑥

0

2

𝑥 + 1

2

0

1

𝑧

) (

𝑦

2

1

) = (

−1

2

0

)

c)

Dada la matriz A=

(

2

3

4

5

)

, calcula la matriz M=

𝐴

𝑡

. 𝐴

−1

SOL; a) x=0 y=-1 z=-2 b) M=

(

𝟑

𝟓

−𝟏

𝟐

−𝟏 𝟐

)

36. Considera el siguiente sistema de ecuaciones:

{

𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0

2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 3

a) Determina el valor de m para que en el caso de añadir la ecuación x+my+4z=-3 al

sistema anterior se obtenga un sistema con las mismas soluciones.

(8)

Profesora: María Dolores González Peña

37. Sea A=

(

−2

1

−3

−1 𝑚

𝑚 − 2

𝑚

0

2

)

, B=

(

1

1

0

) 𝑦 𝑋 = (

𝑥

𝑦

𝑧

)

a) Determina el rango de A según los valores de m.

b) Discute el sistema AX=B según los valores de m.

c) Resuelve el sistema para m=1

SOL. a) Si m

≠ 𝟏;

𝟏

𝟐

el rango de A=3 .Si m=1;

𝟏

𝟐

el rango de A=2

b)Si m

≠ 𝟏;

𝟏

𝟐

𝑺. 𝑪. 𝑫. 𝑺𝒊 𝒎 = 𝟏 𝑺. 𝑪. 𝑰. 𝑺𝒊 𝒎 =

𝟏

𝟐

𝑺. 𝑰

c) (-2z,1-z,z)

38. Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

{

2𝑥 − 4𝑦 + 6𝑧 = 6

𝑚𝑦 + 2𝑧 = 𝑚 + 1

−3𝑥 + 6𝑦 − 3𝑚𝑧 = −9

a) Discute el sistema según los valores del parámetro m.

b) Resuélvelo para m=3. Para dicho valor de m, calcula, si es posible, una solución en la

que y=0

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