FUNCIONES 1º BACHILLERATO. SOLUCIONES
1) Calcula el dominio de las siguientes funcionesa) f
( )
x = x2+1→x2+1=0 No tiene soluciónrealy es siempre positivo→Dom f =ℜb)
( )
(
2,2)
2 0
4
0 4
4 1
2 2 2
− = →
± = → = −
→ > − → − =
Domf x
x x x
x f
c)
( )
2 0 2 8{ }
82
3 3
3 − → − = → = → = → =ℜ−
= x x x Domf
x x x f
d)
( )
→ =[
−) (
∪ ∞)
− ≥
≠ → ≠ + → ≠ + →
≥ +
≠ − + → − +
= 4,0 0,
4
0 4
4 2
4 0
4
0 2 4 2
4 3
Domf x
x x
x x
x x
x x
f
e)
( )
→ =[
) (
∪ ∞)
≥
≠ → ≠ − → ≠ − →
≥ −
≠ − − → − −
= 4,8 8,
4
8 4
4 2
4 0
4
0 2 4 2
4 3
Domf x
x x
x x
x x
x x
f
f)
( )
(
)
(
∞)
= →
= → = − → = − → = − −
> − − → − − =
, 2 2
1 1 1
1 0
1 1
0 1 1 1
1 log
3 3
3 3
Domf x
x x
x
x x
x f
2) Dadas las funciones f
( )
x = x2 +5( )
3 1
+ − =
x x x
g h
( )
x = x calcula f og; go f ; hog; f oh;f g
ho o ; goho f ; f−1; g−1; h−1.
( )
(
( )
)
53 1 3
1 2
+
+ − =
+ − = =
x x x
x f x g f x g fo
( )
(
( )
)
(
)
8 4 3
5 1 5 5
2 2
2 2 2
+ + = + +
− + = + = =
x x x
x x
f x f g x f go
( )
(
( )
)
3 1 3
1
+ − =
+ − = =
x x x
x h x g h x g ho
( )
x
=
f
(
h
( )
x
)
=
f
( ) ( )
x
=
x
2+
5
=
x
+
5
h
f
o
( )
(
(
( )
)
)
(
(
)
)
8 4 8
4 3
5 1 5 5
2 2
2 2
2 2 2
+ + =
+ + =
+ +
− + =
+ =
=
x x x
x h x
x h x
g h x f g h x f g ho o
( )
(
(
( )
)
)
(
(
)
)
3 5
1 5 5
5
2 2 2
2
+ +
− + =
+
= + =
=
x x x
g x
h g x f h g x f h go o
( )
5)(
5 5
5
1 2
2 1
− + = →
→ − ± = → − = → + = →
− −
x x
f inverrsa función
como considerar podríamos
soluciones las
de una os consideram Si
función una
representa No
y x
y x x
y f
(
)
(
)
( )
( )
x x x
g x
x x
g
y y x
y y
x y x
yx x
y yx x
x y x
x y g
− + = →
− − − =
→ − − − = → − − = − → − − = − → − = + → − = + → + − = →
− −
−
1 3 1 1
3 1
1 3 1 3
1 1 3
1 1
3 1
3 3
1
1 1
1
( )
21 2
1
x x h x y x y
3) Calcula el límite de las siguientes funciones
a)
(
analizandolos grados)
x x x x 4 3 2 4 1 3 2 2 = ∞ ∞ = − + − ∞ →
lím
b)(
)(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
41 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2
lím
lím
lím
lím
lím
2 2 2 2 2 = + + = + + − − = + + − − + = + + − + + − + = = − − + → → → → → x x x x x x x x x x x x x x x x x xc)
(
Analizando los grados)
x x x 0 1 1 2 = ∞ ∞ = − − + ∞ →
lím
d)
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 grados los Analizando x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x −∞ = ∞ ∞ − = + + + + − = + + − + = + + + + − + = ∞ − ∞ = − + ∞ → ∞ → ∞ → ∞→
lím
lím
lím
lím
e)(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3 25 7 3 3 7 3 3 0 0 3 21 2 2 3 2 3 3 3 = + + = − + + − = = − − − → → → x x x x x x x x x x x x x xx
lím
lím
lím
f) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 grados los analizando x x x x x x lím x x x x x x x x x lím x x x x x x
lím
=∞ + + − + = + + + + − + = − + ∞ → ∞ → ∞ → g)
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
4 4 18 8 2 4 8 2 2 2 4 8 2 2 8 4 8 2 2 8 2 8 2 0 0 2 8 2 2 2 2 2 2 2 = + = + = + − − = + − − = + − + − = = − − → → → → → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
lím
lím
lím
lím
lím
x x x x x h)(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
−∞ = − = − − = − + − + = = − + − = − + − = − + − ⋅ − = = + − → − → + − − − − − − − + − → − → − → − → − → − → − → 0 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x calcular que hay negativo número un de raiz la sale porque x cuando exíste no numerador el porque existe no límite Este x xlím
lím
lím
lím
lím
lím
lím
x x x x x x xi)
(
)(
)
(
)
21 1 1 1 1 0 0
1 1 1
3 1 = + = − + − = = − − → → → x x x x x x x x x
lím
lím
lím
x x xj)
(
)
1 2 1 2(
2)
(
2)
20 0 1 1 0 0 2 0 2 0 2 0 = + = + = + = − + + = = − + → → → → → x x x x x x x x x x x x
lím
lím
lím
lím
lím
x x x x x k)(
)
(
)
(
)
(
)
(
−)
= − =−∞(
−)
= + =+∞ → = − = − − = = − − + − → → → → → 0 3 2 3 0 3 2 3 0 3 2 3 2 2 3 0 0 2 6 3 2 2 2 2 2 2 2 x x coinciden no laterales límites los porque existe No x x x x xlím
lím
lím
lím
lím
x x x x x l)(
)
(
Analizando
los
grados
)
x
x
x
lím
x∞
=
∞
∞
−
−
=
+
+
−
−∞→
7
1
3
2
2
m)
( )
( )
( ()(
)( ))
( )
(
)
103 5 4
2
5 5 4 5
2 5
5 5
1 5 4
10 7
5 5 1 5 4
10 7 10 7
5 4
2 2 5
5 1
2 2
5 5
1
2 5
5 1
2 5
5 1
2 5
2 2
2 2 2
2
2 2
10
7
5
4
1
1
5
4
10
7
1
1
5
4
5
3
1
5
4
5
3
1
5
4
5
3
− + −
− −
→ + − −
− − −
→ −
⋅ + −
− + −
→ − ⋅ + −
− + − ⋅ − + −
+ −
→
−
→ −
→ −
→
∞ ± −
→
=
=
=
=
−
+
−
+
−
+
=
+
−
−
+
−
+
=
−
+
−
−
+
=
+
−
−
→
=
+
−
−
e
e
lím
e
e
lím
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
coinciden
no
laterales
límites
los
porque
existe
No
x
x
x
x x
x x
x x x
x x x
x x x
x x x x x x
x x x x
x x
x
x x
x x
x x
x x
lím
lím
lím
lím
lím
lím
n)
(
)
( )
(
)
(
)
ex x
x x
x
x x x
x x
x
x
lím
lím
lím
lím
=
+ =
+ =
+ →
= +
→ →
→ ∞ ± →
1
0 1
0 1
0 1
0 1
1 1 1
1 1
1
o)
( )
( )
( )
23 4
6 4
1 5 6 1
1 4
6 1 1
1 4
6 1 6 1
1 4
2 3
1
3 2 1
3 3 2 3 1
3 2 3 1
3 2 3
4 2 4 2
3 2 2
3 2 2 3
2 2
2 2
6 1
1 4
1 1
1 4
6 1 1 1
4
1 4 6 4 1 1
1 4
6 4 1 1
1 4
6 4
− − −
+ − − ⋅ −∞ → + ⋅ − − ⋅ −∞ → + ⋅ − − ⋅ −
−
−∞ →
+
−∞ → +
−∞ → +
−∞ → ∞ +
−∞ →
= = =
=
− − +
=
− − + =
− + − − + =
− − − + =
=
− −
e e e
e
x x
x x x
x x x x
x x x
x x
x x
x x x
x x x
x x
x x x
x x x
x
x x
x x x
x x x
x x
x
x
lím
lím
lím
lím
lím
lím
lím
4) Estudia la continuidad de las siguientes funciones y clasifica las discontinuidades: a)
( )
< −
≥ +
=
0 1
0 1
x si x
x si x
x
f Ambas ramas son continuas en sus dominios de definición. Hay que comprobar la continuidad en x=0
1) ∃f(0)=1
2) ( )
(
1)
10 0
= − =
−
− →
→
x x
f
lím
lím
x x
(
1)
1) (
0 0
= + =
+
+ →
→
x x
f
lím
lím
x x
3) ( )
( )
(0)0 0
f x f x
f
lím
lím
x x
= =
+
− →
→
b)
( )
1
2
− =
x x x
f Dom f(x)=
ℜ
−
{ }
1
La función es continua enℜ
−
{ }
1
En x=11)
No
existe
f
(
1
)
2) =−∞
− =
−
− →
→ 1
) (
2
1
1 x
x x
f
lím
lím
x x
+∞ = − =
+
+ →
→ 1
) (
2
1
1 x
x x
f
lím
lím
x x
La función en x=1 tiene una discontinuidad inevitable de salto infinito
La función es continua en x=0
c)
( )
< −
≥ −
=
0 1
0 1
2
2
x si x
x si x
x
f Ambas ramas son continuas en sus dominios de definición. Hay
que comprobar la continuidad en x=0
1) ∃f(0)=−1
2) ( )
(
2 1)
10 0
− = − =
−
− →
→
x x
f
lím
lím
x x
(
2 1)
1) (
0 0
− = − =
+
+ →
→
x x
f
lím
lím
x x
3) ( )
( )
(0)0 0
f x f x
f
lím
lím
x x
= =
+
− →
→
d)
( )
1 1
2 − − =
x x x
f Dom f(x)=
ℜ
−
{
−
1
,
1
}
La función es continua enℜ
−
{
−
1
,
1
}
En x=11)
No
existe
f
(
1
)
2)
(
)(
)
21 1 1 1
1 1 0
0 1 1 )
(
1 1
2 1 1
= + =
+ −
− =
= − − =
− −
−
− → → →
→ x x x
x x
x x
f
lím
lím
lím
lím
x x
x x
(
)(
)
21 1 1 1
1 1 0
0 1 1 )
(
1 1
2 1 1
= + =
+ −
− =
= − − =
+ +
+
+ → → →
→ x x x
x x
x x
f
lím
lím
lím
lím
x x
x x
En x=-1
1)
No
existe
f
(
−
1
)
2)
(
)(
)
=−∞− = + −
− =
− = − −
= +
− → −
→ −
→ − − − 0
2 1 1
1 0
2 1
1 )
(
1 2
1
1 x x
x x
x x
f
lím
lím
lím
x x
x
(
)(
)
=+∞− = + −
− =
− = − −
= −
− → −
→ −
→ + + + 0
2 1
1 1 0
2 1
1 )
(
1 2
1
1 x x
x x
x x
f
lím
lím
lím
x x
x
e)
( )
− <
− ≥ =
1 1
3
x si x
x si x x
f Ambas ramas son continuas en sus dominios de definición.
Hay que comprobar la continuidad en x=-1
1) ∃f(−1)=−1
2) ( ) 1
1 1
− = =
−
− →−
− →
x x
f
lím
lím
x x
1 )
( 3
1 1
− = =
+
+ →−
− →
x x
f
lím
lím
x x
3) ( )
( )
( 1)1 1
− = =
+
− →−
− →
f x f x
f
lím
lím
x x
f)
( )
> ≤ ≤ < =
1 2
1 0
2
0
2
x si x
x si
x si x x
f x Las ramas son continuas en sus dominios de definición salvo, quizá x=0, x=1.
x=0
1) ∃f(0)=20 =1
2) ( ) 2 0
0 0
= =
−
− →
→
x x
f
lím
lím
x x
( ) 2 1
0 0
= =
+ +
→ →
x x
x
lím
lím
f x En x=0 es discontinua con salto 1 x=11) ∃f(1)=21 =2
2) ( ) 2 2
1 1
= =
−
− →
→
x x
f
lím
lím
x x
( ) 2 2
1 1
= =
+
+ →
→
x x
f
lím
lím
x x
En x=1 es continua La función es
continua en x=1
La función es continua en ℜ
La función es continua en x=0
La función es continua en ℜ
La función tiene en x=1 una discontinuidad
evitable
La función tiene en x=-1 una discontinuidad
g)
( )
( )
( )
1 0
1 cos )
2
1 cos
) 1
1 0
1 cos
0 )
2
1 0 cos 0 ) 1 0
0
. min
0 cos
0
0 0
salto con x
en a Discontinu x
sen lím
x lím f x
salto con x
en a Discontinu x
lím senx lím f x
x y x estudiar que
Hay
ón dedefinici ios
do sus en continuas son
ramas las
x si senx
x si x
x si senx x
f
x x x x
π π
π π
π π
π
π π
= →
= − =
− = =
∃ → =
= →
= =
= =
∃ → =
= =
→
> ≤ ≤ <
=
+ − + −
→ → → →
h)
( )
4 y 0 entre os comprendid valores
para definida está
no rama segunda la
porque definida
mal está
→
≥ −
−
< −
−
=
0 2
4 3
0 1
2
2
x si x
x x si x
x x f
i)
( )
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
10
2
12
salto
con
a
Discontinu
12
2
4
3
2
4
3
4
4
2
4
3
2
4
2
4
2
4
3
0
0
2
4
3
2
1
2
1
2
)
2
)
1
0
0
3
1
2
0
3
1
2
)
2
)
1
1
0
1
0
2
4
0
2
4
0
2
4
3
1
0
1
2
0
2
4
3
0
1
2
0 0
0 0
0 2 0
2 1
2 1
2 2
=
−
→
=
+
+
=
+
+
=
−
+
+
+
=
+
+
−
+
+
+
=
=
−
+
=
−
−
=
−
−
→
→
=
∞
+∞
=
−
−
=
−
−
−∞
=
+
−
=
−
−
→
→
−
=
≠
−
≠
∀
=
→
=
+
→
=
−
+
→
≥
−
+
−
=
→
<
−
−
→
≥
−
+
<
−
−
=
+ +
+ +
+ − + −
→ →
→ →
→ →
− →
− →
x
lím
x
x
x
lím
x
x
x
lím
x
x
x
x
lím
x
x
lím
x
x
lím
a
discontinu
es
imagen
la
existe
No
x
salto
con
a
Discontinu
x
x
lím
x
x
lím
a
discontinu
es
imagen
la
existe
No
x
x
x
continua
es
función
La
x
x
x
para
definida
está
no
x
si
x
x
x
para
definida
está
no
x
si
x
x
x
si
x
x
x
si
x
x
x
f
x x
x x
x x x
m)
( )
(
)(
)
(
)(
) (
)( )
(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
)( )
(
)(
)
=(
+)( )
=+∞→ = ∞
= − −
− −∞
= − =
= − −
− →
=
= → − = − + =
− −
− + =
= − −
−
− = − + =
− −
− + =
= − −
− →
=
= =
→ − = − −
− = − −
− −
= − = − →
=
= =
= →
> −
− −
< −
=
+ + +
+
→ →
→ +
→ →
→ →
→
→ →
salto con a discontinu 3
en x 1
0 5 0 5 2 3
4 lím
1 0 5 0 5 2 3
4 lím
2)
imagen la existe No 1) 3
evitable a discontinu 2
en x 4 3 2 lím 2 3
2 2 lím 0 0 2 3
4 lím
4 3 2 lím 2 3
2 2 lím 0 0 2 3
4 lím
2)
imagen la existe No 1) 2
2 2 1 salto con a discontinu 1
en x 2 3 1 2
3 2
3 4 lím
2 1 4 2 5 2 lím 2)
imagen la existe No 1) 1
1 estudiar x que
hay además 3; y x 2 en x continua es
no segunda La
dominio su
en continua es
función primera
la 1 2
3 4
1 5
2
2
3 x 2
3 x
2 x 2
x 2
2 x
2 x 2
x 2
2 x
2
1 x 1
x 2
-x x
x x
x x x
x x x
x x x x
x x
x x x
x x x x
x x x
x x
x x
x x
x si x
x x
x si x
x
x f
5) Calcula el valor de a para que las siguientes funciones sean continuas.
a)
( )
< +
≥ +
=
0 1
0
2
x si x
x si a x x
f Las ramas son continuas en sus dominios de definición.
Hay que asegurar la continuidad en x=0 x=0
1) ∃f(0)=0+a =a
2)
lím
f xlím
(
x a)
ax x
= + =
−
− →
→0 0
) (
(
1)
1)
( 2
0 0
= + =
+
+ →
→
x x
f
lím
lím
x x
b)
( )
< +
≥ +
=
1 1
1
2
x si x
x si x ax x
f Las ramas son continuas en sus dominios de definición.
Hay que asegurar la continuidad en x=1
1) ∃f(1) =a+1
2) ( )
(
1)
21 1
= + =
−
− →
→
x x
f
lím
lím
x x
(
)
1)
( 2
1 1
+ = + =
+
+ →
→
a x ax x
f
lím
lím
x x
c)
( )
< ≥ +
=
0 2
0 2
x si x
x si ax
x
f Las ramas son continuas en sus dominios de definición.
Hay que asegurar la continuidad en x=0
1) ∃f(0)=2
2) ( ) 2 0
0 0
= =
−
− →
→
x x
f
lím
lím
x x
(
2)
2) (
0 0
= + =
+
+ →
→
ax x
f
lím
lím
x x
3)
lím
f xlím
f( )
xx x→ − → +
≠ 0 0
) (
a=1
a+1=2 a=1
No hay ningún valor de a que haga continua la función en x=0
d)
( )
= ≠ −
− =
1 1 1
1
2
x si a
x si x
x x
f La primera rama es discontinua en x=±1. Hay que asegurar la
continuidad en esos valores x=-1
1) No existe f(−1) 2)
(
+)(
−)
= + = =−∞− =
− −
= −
− → −
→ −
→ −
→ − − − − 0
1 1 1 1
1 1 1
1 )
(
1 1
2 1
1 x x x
x x
x x
f
lím
lím
lím
lím
x x
x x
(
+)(
−)
= + = =+∞− =
− −
= +
− → −
→ −
→ −
→ + + + + 0
1 1 1 1
1 1 1
1 )
(
1 1
2 1
1 x x x
x x
x x
f
lím
lím
lím
lím
x x
x x
x=1
1) f(1)=a 2)
(
)(
)
21 1 1 1
1 1 1
1 )
(
1 1
2 1 1
= + =
− +
− =
− − =
− −
−
− → → →
→ x x x
x x
x x
f
lím
lím
lím
lím
x x
x x
(
)(
)
21 1 1 1
1 1 1
1 )
(
1 1
2 1 1
= + =
− +
− =
− − =
+ +
+
+ → → →
→ x x x
x x
x x
f
lím
lím
lím
lím
x x
x x
e)
( )
= ≠ −
=
2 / 1
2 / 1 1
2 3
x si a
x si x
x x
f La primera rama es continua en su dominio de definición. Hay
que asegurar la continuidad en x=1/2
1) f =a 2 1
2) = =−∞
−
= −
→
→ − − 0
2 / 3 1 2
3 )
(
2 / 1 2
/
1 x
x x
f
lím
lím
x x
+∞ = = −
= +
→
→ + + 0
2 / 3 1 2
3 )
(
2 / 1 2
/
1 x
x x
f
lím
lím
x x
f)
( )
= ≠ +
=
0 0
2
x si a
x si x
x x x
f La primera rama es continua en su dominio de definición. Hay que
asegurar la continuidad en x=0
1) f(0)=a
2) ( )
(
1)
(
1)
10 0
2
0 0
= + =
+ ⋅ =
+ =
− −
−
− → → →
→
x x
x x x
x x x
f
lím
lím
lím
lím
x x
x x
(
)
(
1)
11 )
(
0 0
2
0 0
= + =
+ ⋅ =
+ =
+ +
+
+ → → →
→
x x
x x x
x x x
f
lím
lím
lím
lím
x x
x x
La función en x=-1 es discontinua no
evitable de salto infinito
Si
a=1/2
la función es continua en
x=1
La función en x=1/2 es discontinua no evitable de
salto infinito, no existe ningún valor de a que haga continua la función
Si a=1 la función es
continua en x=0 y por
g)
( )
− ≠ +
− = =
1 2
2
1 1
x si a x
x x si a x
f La segunda rama es continua en su dominio de definición, siempre
que el denominador sea distinto de cero. Hay que asegurar la continuidad en x=-1 y comprobar qué ocurre para el valor de a obtenido.
1)
a f(−1)= 1
2)
a a
x x x
f
lím
lím
x
x − +
− = + =
−
− →−
−
→ 2
2 2
2 )
(
1 1
a a
x x x
f
lím
lím
x
x − +
− = + =
+
+ →−
−
→ 2
2 2
2 )
(
1 1
Para a=2/3 la función es continua en x=-1 pero deja de ser continua cuando 0 3 2 2x+ =
es decir en x=-1/3
3 2 2
2 2
2 1
= → + − = − → + −
−
= a a a