HomologiaGeneral2012 pdf

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ÍNDICE

Pg

Prólogo iii

CAPÍTULO 1: PARTES CATEGÓRICAS NECESARIAS 1

Categorías, objetos, morfismos, identidades 1

Chain (h) 1

Subcategoría, plena 3

Sección, retracción, isomorfismo 3

Objeto inicial, final 4

Pares fuente, meta, cuadrados cocartesianos 4

Categoría opuesta, dualidad 5

Suma, 7

Funtores 14

Cilindros Topológicos 15

Transformaciones Naturales 15

Sistemas Homotópicos, Homotopía 16

Diagramas en , transformaciones de diagramas 17 La Categoría Homotópica, Equivalencia de Homotopía 19 Ejemplos de sistemas homotópicos en una categoría 20

Ejercicios suplementarios 21

CAPÍTULO 2: CATEGORÍAS ADMISIBLES PARA HOMOLOGÍA 24

Categorías admisibles para homología 29

Categorías punteadas de y partes de 32

Generación de categorías esencialmente admisibles 34

CAPÍTULO 3: AXIOMAS DE HOMOLOGÍA 39

Partes esenciales de 39

Sub diagramas admisibles 40

Escisiones categóricas 41

Axiomas de homología 44

Funtores de Homología 45

El teorema del isomorfismo relativo 49

Cambios de categorías 50

Homologias homotópicamente universales (y groceras) 51

(4)

Retracciones Admisibles y -deformaciones 59

CAPÍTULO 5: GRUPOS DE HOMOLOGÍA REDUCIDOS 62

CAPÍTULO 6: FUNTORES DE HOMOLOGÍA 65

Funtores de homología 65

Categorías de haces 65

La categoría ? 66

El modelo de los simplejos categóricos 67

Funtores de prehomología 68

Funtores singulares 69

Conos y límites inductivos 70

El modelo de los simplejos simpliciales 70

El modelo de los simplejos topológicos 72

El modelo travial de Top 73

El modelo puntual de una categoría 73

Un modelo de Ab 74

CAPÍTULO 7: SUSPENSIÓN 76

- esferas ( 82

CAPÍTULO 8: TRIPLAS ADMISIBLES 85

La escalera de (X,A,B) 85

La sucesión de (X,A,B) 86

La sucesión de homología de (X,A,B) 88

CAPÍTULO 9: ADITIVIDAD HOMOLÓGICA 92

Hiperaditividad 93

El cuadrado de un par admisible 94

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Prólogo

Estas notas pretenden mostrar lo que se puede llevar a cabo de un curso de TOPOLOGÍA ALGEBRAICA usando categorías admisibles cualesquiera (es decir no circunscritas a los espacios topológicos) y axiomas de homología ajustados a ellas. Para lograrlo se sortean los problemas obvios de sub objetos, categorías admisibles, homotopía y escisión.

Montados los axiomas se desarrolla la teoría es decir se dan las consecuencias normales, básicas, de los cursos de la teoría de homología. En la parte de ejercicios los que normalmente aparecen con carácter topológico aquí se adelantan de manera general. No hay en este caso mayores traumatismos.

Para verificar que la teoría funciona, pero no por ser trivial, se desarrollan los ejemplos de las esferas pero ahora con carácter homotópico. Ellas aparecen de manera normal como parte de los sistemas homotópicos que es la homotopía de la que hacemos uso. Es decir, cada sistema homotópico tiene sus esferas y a ellas les calculamos los grupos de homología las cuales resultan ser los mismos que en el caso topológico. Resta demostrar la unicidad homológica sobre los objetos generados por ellas, pero para ello se requiere aditividad mas general que la que aquí proveemos.

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CAPÍTULO 1

PARTES CATEGÓRICAS NECESARIAS

Categorías, objetos, morfismos, identidades

Una categoría consta de:

i una clase llamada la clase de los objetos de V, denota ObjV

ii para cada par Eß F −ObjV de un conjunto L97ÐEß FÑ llamado de los morfismos de en E F y finalmente

iii para Eß Fß G − S,4V de una función (llamada composición) HomÐEß FÑ ‚HomÐFß GÑÒ‰ HomÐEß GÑß Ð ß Ñα " Ø "‰α que cumple:

C1 Si α−HomÐEß FÑ, " −HomÐFß GÑ < −, HomÐGß HÑ entonces Ð< ‰ Ñ ‰" αœ < ‰ Ð ‰ Ñ" α (Propiedad asociativa).

C2 Para cada E − S,4 ß b −V 3 HomÐEß EÑ tal que si α−HomÐEß FÑ entonces α 3‰ œα y si "‰HomÐFß EÑ entonces 3 "‰ œ".

C3 Si HomÐEß FÑ ∩HomÐGß HÑ Á9 ÒHomÐEß FÑ œHomÐGß HÑ.

Se tiene de manera inmediata que en C2, es único para la propiedad que se le asignó3 y recibe una notación especial: "E que se lee la identidad de E.

Por ejemplo los conjuntos forman una categoría tomándolos como objetos y como morfismos las funciones.

Esta categoría se denota Conj o Set dependiendo del idioma. Tomamos Set como genérico. Otra categoría básica es la de los espacios toplógicos en la cual los objetos son los espacios topológicos y los morfismos son las funciones continuas. La denotaremos Top.

Se denota E, la categoría cuyos objetos son los grupos abelianos y cuyos morfismos son los homomorfismos de grupos.

Chain (Vh)

Usando la categoría de los grupos abelianos se construyen otras categorías de las cuales usaremos una en especial: Una “cadena” (chain) de grupos abelianos es una sucesión de morfismos componibles de E,, digamos

ÒA₈Òα8 E_{8 "}αÒ8 "E_{8 #} Ò

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En las cadenas dadas de alguna manera “mecánica” (es decir, no grupo por grupo y morfismo por morfismo) se trata frecuentemente de calcular los E8. En las cadenas llamadas exactas se hace mejor esta labor. Nosotros las consideramos las cadenas calculables.

Una cadena se dice exacta siE

M7α₈œ 5/< α_{8 "} ó bien 5/<α_{8 "} © M7α₈

En cuanto a morfismos de cadenas, si y son cadenas, un morfismo E F 0 À EÒF es una sucesión 0 À E8 8 ÒF8 tal que el diagrama que de abajo conmuta, es decir que 08 " ‰ α8 œ"8‰ 08.

E 8 "

F_{8 "}

E 8

F₈

0 8 " 0

8

α

8

"

8

Dada una cadena , se definen sus E grupos de homología de la siguiente manera: El n-ésimo grupo de homología de E está definido por L ÐEÑ8 œ _M75/<αα Þ La notación

8 8#" clásica de las cadenas es la siguiente:

Cadena G

los elementos de G8 se llaman las n-cadenas de GÞ

El homomorfismoG Ä G8 8 " se denota $8 y se llama el operador -frontera8 .

El kernel de $8À G Ä G8 8 "se llama el grupo de los n-ciclos de C. Se denota ^ ÐGÑÞ8

La imagen de $8#"À G8#" Ä G8se llama el grupo de las n- fronteras de y se denotaG F ÐGÑÞ8

Naturalmente se tiene entonces que L ÐGÑ œ8 _{F ÐGÑ}^ ÐGÑ8₈ Þ

Ö8 −™l G Á !×8 se llama el soporte de Gß =9:GÞ Si =9:Ges finito, entonces escribimos por facilidad =9:G + ∞

En general para un grupo abeliano finitamente generado(AFG) su descomposición corriente es

E œ™>"Š™>#Š â Š™>7 Š™<

La m-upla Ð> ß > ß âß > Ñ" # 7 se llama la torsión numérica de denotada E >ÐEÑy su rango,< que denotaremos 3ÐEÑ. El teorema fundamental de los grupos AFG es:

Si EF son grupos AFG, entonces

E z F Í >ÐEÑ œ >ÐFÑ y 3ÐEÑ œ ÐFÑ3

Supongamos ahora que G8 es un grupo AFG para cada y 8 =9:G + ∞. Entonces también L ÐGÑ8 es finitamente generado y 3ÐL ÐGÑÑ8 se llama la -dimensión (o8 número) de BettideGy se denota "8ÐGÑ y los Ð> ß > ß âß > Ñ" # 7 se llama la torsión -8 dimensional de Gßdenotada −8ÐGÑ.

;ÐGÑ œ Ð "Ñ " ÐGÑ GÞ

8−=9:G 8

8 se llama la característica de Euler-Poincaré de

(8)

;ÐGÑ œ Ð "Ñ 3ÐG Ñ

8−=9:G 8

8

o, mas explícitamente,

8−=9:G 8−=9:G

8 8

Ð "Ñ " ÐGÑ œ Ð "Ñ 3ÐG Ñ

Regresemos ahora a la parte categórica.:

Subcategoría, plena

Note que L97 Ð\ß ] ÑT denota L97Ð\ß ] Ñ en T y ‰T denota ‰ en T. Suponga que yT U son categorias y S,4T© S,4U, y que si \ß ] − S,4Tentonces L97 Ð\ß ] Ñ © L97 Ð\ß ] ÑT U y finalmente si α ", − Q 9<T entonces α‰T" œ ‰α U", cuando por supuesto α "ß son componibles en . Aquí esta igualdad significa que si yT α " son componibles en entonces tambien lo son en y los compuestos coinciden. SiT U tales cosas suceden diremos que T es una subcategoría de U. Se denota T ©U. Aceptemos que TœU significa que T©U y U©T.

Si T©U y para cada \ß ] − S,4T,L97 Ð\ß ] Ñ œ L97 Ð\ß ] ÑT U entonces decimos que T es una subcategoría plena de U, Por consiguiente para dar una subcategoría plena de es necesario y suficiente dar una subclase de sus objetos.U

Por ejemplo los espacios topológicos compactos forman de manera natural una subcategoria plena de la categoría X 9:. Pero la categoría, digamos con objetos losV espacios topológicos y con morfismos las funciones 0 À EÒF tales que si O es un subconjunto compacto de entonces E 0 l À OO ÒF es continua, tiene a X 9: como una subcategoría no plena de .V

Sección, retracción, isomorfismo

Un morfismo se dice una sección si existe = < À ] Ò\ tal que se dice una retracción si existe un morfismo = À \Ò] tal que < ‰ = œ "\. Por tanto una sección siempre va acompañada de una retracción y viceversa . Si < ‰ = œ "\ entonces y son< = compañeras ( la retracción compañera de y esta la sección compañera de ).< = <

1.1 Teorema: Si para un morfismo , es una retracción compañera y es una0 2 5

sección compañera entonces 2 œ 5.

Demostración: Ejercicio. è

La relación que liga los objetos de una categoría está dada así:

1.2 Definición:

i 0 se dice un isomorfismo de si es una sección y una retracción.V

ii Si 0 es un isomorfismo al único morfismo que es sección y retracción compañera de se le llama el morfismo inverso de y se le denota 0 0 0 "

iii Si existe un isomorfismo 0 À \Ò] decimos que \ z ] \ ( es isomorfo a ).] è

(9)

1.3 Proposición:

i Si es un isomorfismo 0 0 " tambien lo es y Ð0 "Ñ " œ 0.

ii El compuesto de isomorfismos es un isomorfismo y Ð0 ‰ 1Ñ "œ 1 "‰ 0 ". iii Para cada , \ "\ es un isomorfismo.

iv Para cada objeto , \ \ z \Þ v Si \ z ] Ê ] z \Þ

vi Si\ z ] • ] z ^ Ê \ z ^.

Objeto inicial, final

En conjuntos hay dos objetos especiales y g ÖB×. Sobre ellos, por ejemplo, hay una única topología. El primero es el conjunto mas pequeño, y el segundo es un ejemplo de que el dual de mas pequeño no es mas grande. Aquí estudiamos su generalización.

1.4 Definición: Sea un objeto de .\ V

i Si L97Ð\ß ] Ñ tiene un solo elemento para cada ] entonces \se dice un objeto inicial de V.

ii Si L97Ð] ß \Ñ tiene un solo elemento para cada ], entonces \ se dice un objeto final de .V è

Los objetos iniciales genéricamente denotan por . Si hay mas de uno y queremos9 distinguirlos usamos 9 93ß 4 etc. La notación genérica de los objetos finales es . La‡ unicidad es inmediata:

i Si y 93 94 son iniciales Ê93z94. ii Si y son finales ‡3 ‡4 ‡ z ‡3 4.

Al único morfismo 9 Ò\ se le denota 9\ cuando se hace necesario nombrarlo. Igualmente \Ò‡ se denota ‡\.

Pares fuente, meta, cuadrados cocartesianos

Damos algunos nombres referentes a cuadrados como el siguiente

O ]

^ \

Un par de morfismos de fuente (dominio) común se denomina un par fuente. Es del tipo ] Ñ\Ò^. Uno del tipo ] Ò\Ñ^ es un par meta y

i la meta es .\

(10)

Un cuadrado es un par fuente y un par meta con los mismos extremos y se dice que ] ÒOÑ^cierra a ] Ñ\ Ò^ ó al reves dependiendo de qué se da originalmente. Considere ahora un cuadrado

O ]

^ \

"

" (

α

ÐGÑ

i Se dice que conmuta G Í(αœ$".

ii Se dice que el par meta cierra cocartesianamente al par fuente (ó que G es cocartesiano) si:

conmuta .

a G

Dado otro par meta cualquiera que cierra a

b ^ Ò$" O_"Ñ(" ]

ZÑ" \Òα ] conmutativamente, entonces existe un único 2 À O ÒO"

que deja los triángulos (] ß Oß O" y ^ß Oß O") conmutativos, es decir que 2 œ( ( y 2 œ$ $".

Categoría opuesta, dualidad

Note que dada una categoría , “V la categoría opuesta” de , denotada V V9: (que en efecto es una categoría) esta dada así:

i S,4V9: œ S,4V_.

ii L97 ÐEß FÑ œ L97 ÐFß EÑÞV9: V

iii α9: "9: " α 9: α9: Ò α Ò

9:

‰ œ Ð ‰ Ñ en donde À F G es À G F.

Dado un concepto en una categoría se llama su dual al mismo ; concepto en la categoría opuesta. El concepto resultante se denomina genéricamente Co . Por; ejemplo si α− L97 ÐEß FÑV se denota αÀ EÒF y se llama el dominio de . PorE α ende existe el concepto de co dominio. El codominio de αÀ EÒF es el dominio de α9: _{À F}Ò_E_{que es . Note que}_F _{G ÐG ;Ñ}_o _{o es .}_;

Acabamos de dar el concepto de cuadrado cocartesiano. Por tanto existe el de cuadrado cartesiano que es el de cocartesiano en V9:_Þ

(11)

E∩F E

F _E∪F

3 "

3

# 3%

3 $

E∩F

E‚G

E

1

"

1

#

G

‡

Las partes de cuadrados cartesianos y cocartesianos tienen nombres especiales que concretamos a continuación.

1.7 Definición: Si el cuadrado que sigue es cocartesiano en , entonces:V

i E se llama la “cobase” de .α

ii G se llama un cambio de cobase de . En efecto.α iii G es “el” cambio de cobase via :"

iv Dada :αEÒF el morfismo resultante del cambio de cobase via " es .#

E F

G _H

α

#

$ "

Los cuadrados cocartesianos son básicos en nuestro estudio, por tanto daremos las propiedades que más nos interesan. Note que para cada una de ellas existe la propiedad dual correspondiente.

En el cuadrado precedente se denota # αy se denota . Esto se hace porque en$ " realidad es único para y para , salvo isomorfismo. Mas exactamente:# α $ "

i Unicidad de la cerradura cocartesiana: Si ZÒα ÑY son cerraduras "

3

# 3

O

cocartesianas de ^ Ñ" \Òα ], para 3 œ "ß #, entonces existe un isomorfismo 2 À O"ÒO# tal que 2"" œ"# y 2α" œα#.

ii Los siguientes gráficos cuadrados son cocartesianos:

] \

0

" ] "

\

0

\ ]

] 0

" \

" ]

0 \

]

(12)

è

Note que si en 1.7 se fija , entonces se puede tener una operación categórica entreE "sus metas". Nosotros tocamos aquí un solo caso que es el que nos importa:cuando E œ gÞ

Suma

1.9 Definición: Si \ Ã9Ä ] se cierra cocartesianamente entonces \ y ] se

dicen sumables y sus sumas (hay mas de una) son las cerraduras cocartesianas de \ Ã9Ä ]. Es decir \ # ] es una suma de \ con ] si y sólo si el diagrama que sigue es cocartesiano.

\

]

9

]

9

\

\#]

Note: en la proposición precedente la demostración de la unicidad por isomorfismo es

la misma que la unicidad del grupo abeliano libre (ó el libre) generado por de álgebra\ abstracta. Es decir:

Se tienen los siguientes diagramas conmutativos. En la primera fila y son los únicos2 5 morfismos que dejan los triángulos conmutativos, para los objetos mostrados.

\ ]

O_" 2

α

O_#

" "

" " #

^ _α

"

α

#

\ ]

O_#

5

α

O

"

" "

# " "

^ α#

α

"

(13)

\ ]

O_" ₂

α

O

#

" "_"

"

^ α

"

α

"

O

"

5

\ ]

O_#

2

α

O

"

α "_#

"

#

^ α

#

α

#

O

#

5

è Note la siguiente simplificación de un caso especial:

El diagrama

]

\

9

]

9

\

^

es cocartesiano si y solo si:

i existen morfismos cualesquiera 9] À \Ò^ß 9\À ] Ò^.

ii Si 9]"À \ Ò^" y 9\"À ] Ò^8 son (otros) morfismos entonces existe un único morfismo ^ Ò2 ^ tal que 2 ‰9] œ9]" y 2 ‰9\ œ9\".

Demostración: Obvio por que un cuadrado

F

E

9

G 0

1

siempre conmuta . è

Notación: Se usa \ ] para ^ en la proposición precedente y los morfismos que deben existir se denotan 3 À \" Ò\ ] 3 À ]ß # Ò\ ] y si existe 0 À \ÒX y 1 À ] ÒX el único 2 À \ # ] ÒX tal que 2 ‰ 3 œ 0_" y 2 ‰ 3 œ 1_# se denota Ò0 ß 1Ó À \ ] ÒX. Las se llaman inclusiones.34

Esto muestra que la existencia de no es necesaria para la existencia de sumas en9 una categoría y de manera general queda que:

(14)

1 À ] ÒX entonces existe un único 2 À \ # ] ÒX tal que 2 ‰ 3 œ 0" y 2 ‰ 3 œ 1# . Tal 2 se denota Ò0 ß 1Ó À \ # ] ÒX y las se llaman las 34 inclusiones.

i Si \ z \" y ] z ]"Ò\ # ] z \ # ]" ": ii \ #9z \Þ

iii \ # ] z ] # \Þ

iv \ # Ð] # ^Ñ z Ð\ # ] Ñ # ^Þ

Demostración: Ilustramos iv. Los demas quedan como ejercicio. Como hay varias

inclusiones les damos nombres especiales para evitar confusiones. Para \ # Ð] # ^Ñ hay las inclusiones \Òα" \ # Ð] # ^ÑÞ

] Ò"" ] # ^Ò<# \ # Ð] # ^ÑÞ ^ Ò"# ] # ^ Ò<# \ # Ð] # ^ÑÞ Por tanto existen

Òα #_"ß _#‰"_"Ó À \ # ] Ò\ # Ð] # ^Ñ con lo cual se obtiene un morfismo

. ÒÒα #_"ß _#‰"_#Óß#_#‰"_#Ó À Ð\ # ] Ñ # ^Ò\ # Ð] # ^Ñ

El lector debe proseguir así: hacer lo propio para obtener un morfismo de regreso \ # Ð] # ^ÑÒÐ\ # ] Ñ # ^ y mostrar que son inversos uno del otro.

En caso de grave dificultad debe hacerlo en el caso de W/>.

El dual de #es ‚. Así que \ ‚ ], si existe, es un objeto tal que existen morfismos (denotados) 1"À \ ‚ ] Ò\ y 12 À \ ‚ ] Ò] (llamados proyecciones) tales que si 0 À X" Ò\ y 0 À X# Ò\ existen, entonces existe un único morfismo (denotado) Ð0 ß 0 Ñ À X" # Ò\ ‚ ] tales que los siguientes diagramas conmutan:

Ð0

"

ß0

#

Ñ

\‚]

X

0

"

Ð0

"

ß0

#

Ñ

\

1

3

Ð0

"

ß0

#

Ñ

\‚]

X

0

#

Ð0

"

ß0

#

Ñ

1

#

]

Las propiedades de ‚ son, por supuesto, duales de los de # y el lector debe proveerlas.

(15)

] \

0

"

]

"

\

0

\ ]

] \

0

"_\

"_]

0

\ ]

tenemos el segundo, que en realidad es el mismo primero pero con diferente interpretación, tenemos además

\

]

9 \#]

\

]

]#^

0#"

^

\#^

0

3

"

3

"

Por otro lado definimos cocientes así : Si ‡ÑEÒ0 F se cierra cocartesianamente, entonces la meta resultante se denota FÎ370. Es decir que FÎ370, si existe, esta definido como el par meta para el cual el diagrama de la izquierda, si existe, es cocartesiano.

E

F

FÎ370

‡

0 _E

_F

FÎE

‡

3 E

En el caso de W/> y X 9: ese es exactamente el caso, no solo como notación y como caso particular si 3 À EÒF es la inclusión entonces el diagrama de la derecha es cocartesiano.

En el caso conjuntista si E © \ © ] entonces el diagrama que sigue es cocartesiano por que Ð\ EÑ # E œ \. Pero en los espacios topológicos ese no es el caso.

\qE ]qE

] \

3 3

(16)

Note: Si 0 À \Ò] y 1 À [ Ò^ entonces 0 # 1 À \ # [ Ò] # ^ es el único morfismo tal que los siguientes diagramas conmutan

\

]

]#^

\#[

0 0#1

3

_"

3

_"

[

^

]#^

\#[

1 0#1

3

_#

3

_#

y que son inducidos por \Ò0 ] Ò3" ] # ^ y [ Ò1 ^ Ò3# ] # ^ sobre \ # [ es decir que

0 # 1 œ Ò3 ‰ 0 ß 3 ‰ 1Ó" #

Lo mencionado en el ejercicio constituye el problema central de la generalización de lo que ha sido homología en espacios topologicos a categorias no topológicas. En realidad la misma concresión de qué es \ E en categorias ya es problemático, pero se puede acercarse a ese concepto de una manera, algo sorprendente, excepto por un punto, al menos a homología salvo:

1.12 Proposicion:

i En G984 \ÎE œ Ð\, EÑ ∪ ÖE×‰ en donde ∪‰ denota la reunión disjunta.

ii En X 9:los objetos (espacios) \ÎE y Ð\ EÑ ∪ ÖE×‰ no coinciden en general. è

Nota: la parte que importa más que nada es la parte ii por ser a la larga responsable de que los axiomas de escisión categórico y topológico no coincidan en Top..

Consideramos ahora cómo representar \ÎE en el caso no topológico. Para fortuna nuestra tenemos el siguiente resultado en X 9:, para los diagramas que siguen:

α

F

ÐF#GÑyµ E

" "

α

G

+

\

\yE E

‡

1

i) ii)

1.13 Proposición: En X 9: los diagramas y son cocartesianos, así: el diagrama i ii i)

(17)

Nota: \ÎE es conjuntistamente Ð\ EÑ ∪ ÖE× y 1À \ Ò\ÎE es por tanto la función

dada por si .

si 1ÐBÑ œ ÖE× B − E

B B Â E

œ

En el caso topológico el conjunto es el mismo y la topológia de \ÎE naturalmente está dada así: F es abierto en \ÎE Í1 "ÐFÑ es abierto en \. Ahora, 1 "ÐFÑ es F si F © \ E y es ÐF ÖE×Ñ E- si ÖE× − F.

Con esta salvedad la parte 1.21, ii) es prioritaria porque la igualdad no se da topológicamente será forzada a suceder salvo homología.

Usamos el diagrama de 1.22, ii) para definir cociente de tipo \ÎE. Para ello requerimos tener el concepto de inclusión Ð3 À EÒ\Ñ el cual aún no es posible. Es precisamente la parte de admisibilidad que viene. Así que daremos 1.22, ii) de manera mas general. Preparemoslo

1.14 Proposición: En X 9: el diagrama que sigue es cocartesiano.

0

]y370 ‡

\ ]

1

è Ahora en general usamos estos como definición.

1.15 Definición: Dado un morfismo 0 À \Ò] y si existe en ( ) definimos ‡ V ] Î370

por el siguiente diagrama cocartesiano, cuando exista

0

]y370 ‡

\ ]

è

El resultado que sigue, es parte de la teoría categórica Izquierda, la cual, junto con la de la derecha, aparecen de manera natural en categorías. Es simple (no "fácil"), general y tambien básico. Se usará en el teorema de aditividad homológica por lo cual involucra sumas.

1.16 Proposición: Suponga que, en , los dos primeros cuadrados, que siguen, sonV

(18)

E_" F_"

G_" H_" $_"

"_" #_"

α_"

E_# F_#

G_# _H

# $_#

"_# #_#

α_#

E_"#E_# F_"#F_#

G_"#G_# H_"#H_# $_"#$_#

"_"#"_# #_"##_#

α_"#α_#

Demostración: Un morfismo del tipo I # J Ä X2 será denotado por sus componentes

sobre y , I J 2 ‰ 3" y 2 ‰ 3#, por ejemplo Ò2ß 5Ó À I # J Ä X Þ

La conmutatividad del tercer cuadrado depende de que, compuesto con las inclusiones 3 À E4 4ÒE # E" #, para 4 œ "ß # produzcan, cada una, un cuadrado conmutativo. Veamos para 4 œ ". Para sigue por simetría.#

Al ampliar el cuadrado por la composición con la inclusión se tiene un paralelipípedo$ "

E_"#E_# F_"#F_#

G_"#G_# H_"#H_#

$

"#$#

"

"#"#

#

"###

α

"#α#

G_" #_"

E_" F_"

H_"

3_" 3_"

3_" 3_" α " $ " "_"

cuyas tapas superior, inferior, izquierda y derecha conmutan por definición de suma. La de atrás conmuta por hipótesis. De modo que

Ð""#"#Ñ ‰ Ðα"#α#Ñ ‰ 3 œ Ð" ""#"#Ñ ‰ 3 ‰" α" œ Ð3 ‰" ""Ñ ‰α" œ , ‰ Ð" ""‰α"Ñ œ 3 ‰ Ð" $"‰#"Ñ œ Ð3 ‰" $"Ñ ‰#" œ Ð$"#$#Ñ ‰ 3 ‰" #"œ Ð$"#$#Ñ ‰ Ð#"###Ñ ‰ 3 Þ"

Por otra parte si F # F" # ] y G # G" # ] y son tales que

Ò0 ß0 Ó Ò1 ß1 Ó

Ò" # Ò" #

Ò0 ß 0 Ó ‰ Ð1 2 α"#α#Ñ œ Ò1 ß 1 Ó ‰ Ð" # #"###Ñ entonces los cuadrados

E_" F_"

G_" ]

1_"

0_" #_"

α

"

E_# F_#

(19)

conmutan. Por tanto existen morfismos únicos 2 À H" " Ò]y 2 À H# #Ò] tales que 2 ‰" ""œ 0", 2 ‰" $"œ 1 2 ‰", # "#œ 0# y 2 ‰# $#œ 1#, como se ilustra en el gráfico

E_" F_"

G_" $" H_"

"_" #_"

α_"

] 1_"

0_"

2_"

E_# F_#

G_# $# H_# "_# #_#

α_#

] 1_#

0_#

2_#

Por tanto H # H" # ] es tal que Ò2 ß 2 Ó ‰ Ð" # "# #Ñ œ Ò0 ß 0 Ó" # y

Ò2 ß2 Ó

Ò" # " "

Ò2 ß 2 Ó ‰ Ð ß" # $ $" #Ñ œ Ò1 ß 1 Ó" #. Es fácil mostrar que Ò2 ß 2 Ó" # es el único morfismo tal queX X ‰ Ð$"#$#Ñ œ Ò1 ß 1 Ó" # y X ‰ Ð""#"#Ñ œ Ò0 ß 0 Ó" # è

El resultado de 1.16 se resume diciendo que los cuadrados cocartesianos son cerrados para la suma.

Funtores

1.17 Definición: Dadas dos categorías y ,V W

i Un funtor covariante de V en W es una bifunción J À 9,4 V∪ Q 9< Ä 9,4V W∪ 79<W tal que:

F1 J l9,4V À 9,4V Ò9,4W (respeta objetos). F2 J l79<VÀ 79<V Ò79<W (respeta morfismos).

F3 Si 0 À \ Ò] en entonces V J Ð0 Ñ À J Ð\ÑÒJ Ð] Ñ en W (preserva dominios y codominios).

F4 J Ð0 ‰ 1Ñ œ J Ð0 Ñ ‰ J Ð1Ñ (preserva composición). F5 J Ð" Ñ œ "\ J ÐBÑ (preserva identidades).

ii Un funtor covariante J ÀV Ò W9: se dice un funtor contravariante J ÀV Ò W. è

Los funtores típicos son los funtores de olvido (olv). Por ejemplo olv TopÀ ÒSet que a un espacio le hace corresponder el conjunto subyacente y a una función continua la función subyacente. Es decir que olvida la estructura topológica y mantiene l parte conjuntista.

(20)

Cilindros Topológicos, Potencias abelianas.

1.18 Proposición: Los siguientes son funtores covariantes

i Gl:TopÒTop dado por a G6Ð\Ñ œ \ ‚ M y

b Para 0 À \Ò] ß G Ð0 Ñ À G6Ð\Ñ6 ÒG6Ð] Ñ es la función G Ð0 Ñ œ6 0 ‚ " À \ ‚ MM Ò] ‚ M

__ dado por

ii Ð Ñ À E, Ä E,ßE

un homomorfismo a Ð\Ñ œ \ œ Ö0 À E Ä \ l 0E E ×Þ

Si es un homomorfismo de grupos abelianos entonces b 1 À \ Ä ]

1 À \ Ä ]E E E

Está dado por 1 2Ñ œ 0 ‰ 2ÞE( _è

El lector verificará estas afirmaciones. Tome nota que en cada parte debe justificar las cerraduras correspondientes. Por ejemplo, en ii debe mostrar que \E_{es un grupo}

abeliano y que 1Ees un homomorfismo de grupos.

G6 de 1.18 se llama el funtor cilindro de Top, o el cilindro topológico y \ ‚ M se llama el cilindro de \. En cuanto a \E no es otro que L97ÐEß \Ñßel grupo de homomorfismos de en .E \

Ahora completaremos la estructura homotópica en el caso topológico (1.18 i), pero antes necesitamos alguna otra herramienta categórica:

Transformaciones Naturales

Los funtores J ÀT Ò U pueden ser naturalmente considerados como objetos (en alguna categoría). Los morfismos típicos para ellos se llaman transformaciones naturales.

1.19 Definición: Sean J ß K ÀT Ò U funtores contravariantes:

i Una transformación natural -:J ÒG es una familia -EÀ J ÐEÑ ÒKÐEÑ de morfismos de U, indiceados en los objetos de T, de modo que si, en T, 0 À E"ÒE# es un morfismo entonces el siguiente diagrama conmuta, en :U

JÐE_"Ñ KÐE_"Ñ

JÐ0Ñ _KÐ0Ñ

JÐE_#Ñ KÐE_#Ñ

-E_"

-E_#

(21)

i . À \! \ ‚ M Top . ÐBÑ œ ÐBß !Ñ!

\ Ò en dada por \ es una transformación natural

. À "! G6

Top Ò .

ii . À \" \ ‚ M . ÐBÑ œ ÐBß "Ñ"

\ Ò , dada por \ es una transformación natural

. À "" G6

Top Ò .

iii La proyección1"À \ ‚ M Ò\ es una transformación natural, denotada = À G6Ò"TopÞ

Demostración de iii: En los diagramas que siguen, si 0 À \Ò] es una función

continua, 0 ‚ " À \ ‚ MM Ò] ‚ M es G6Ð0 Ñ. Por otro lado "TopÐ\Ñ œ \ y "TopÐ0 Ñ œ 0. Además el primero claramente conmuta y el segundo es el mismo escrito en términos de cilindros.

\‚M

1

"

0‚" M

0

]‚M

\ _]

1

"

G6Ð\Ñ

=_\

0 G6Ð0Ñ

G6Ð]Ñ

=_]

"_X9:Ð\Ñ "_X9:Ð]Ñ è

En general si el producto por en una categoría existe entonces E T ‚ E ÀT Ò T es un funtor covariante y 1":\ ‚ EÒ\ es una transformación natural. Dualmente si la suma con E existe en E, entonces ___ # E ÀT Ò T es un funtor covariante y además 3 À \" Ò\ # E es una transformación natural.

Como casos particulares (respectivamente ) existen en ‡ 9 T, entonces \ ‚ ‡ z \ es (un isomorfismo) natural y respectivamente \ #9 z \ tambien lo es.

Otro ejemplo: en E, (la categoría de los grupos abelianos) y 8 − , fijo, se tiene que E È E8 es un funtor covariante, igual que, para F fijo, E È L97ÐFß EÑ. Ahora bien, hay un isomorfismo natural, muy conocido en algebra, con estos funtores que, como siempre, se representa usando las imagenes:

-_E_{À L97Ð}™8_{ß EÑ z E}8

Sistemas Homotópicos, Homotopía

La parte de homotopía que se usa en homología está representada aquí por lo siguiente.

i Un sistema homotópico a izquierda en una categoría , consta de:V Un funtor covariante , llamado del sistema.

a) G6 ÀV Ò V el cilindro

Dos transformaciones naturales

b) . ß . À "! " G6

(22)

Una trasformación natural de regreso, y

c) = À G6Ò"V

d) La condición de que = ‰ . œ " "3 ( denota la transformación natural idéntica de "VÒ"V), en el sentido de que, para cada \, el siguiente diagrama conmuta.

G6Ð\Ñ \

\

\ ."

\

.! \

=

\

"

\

"_\

Ð

‡

Ñ

e) El diagrama se conoce como ‡ el (diagrama) cilindro de \. .! y

\

." =

\ se conocen como las inclusiones de \ en su cilindro. es la

retracción del sistema y el sistena mismo se denota Ð ß G6ßV . ß . ß =Ñ! " _oÐG6ß . ß . ß =Ñ! " _{cuando esta bien entendida.}_V

Un sistema en una categoría , es un sistema

ii homotópico a derecha V

homotópico a izquierda en la categoría V9:, opuesta de . Por facilidad laV escribimos V‰_Þ Se denota _{Ð ß I=ß H ß H ß WÑ}V ! " con los nombres de _diagrama espacio espacio de morfismos , (I:Ñ, evaluaciones ! y " ÐH Ñ3 y sección del sistemaÐWÑ. è

Naturalmente, entendido en Vßel sistema Ð ß I=ß H ß H ß WÑV ! " _{tiene diagrama}

E _I=ÐEÑ

"_E "_E

H" E

H!

E E

E

W_E

Diagramas en , transformaciones de diagramasV

i Un diagrama en es una subclase no vacía de V Mor VÞ

ii Si es un diagrama entonces los objetos que aparecen en son sus V V objetos y los morfismos que aparecen son sus morfismos. è

(23)

ì ì

Naturalmente a los puntos hay que darles nombres e igual a las flechas. Por ejemplo, una categoría es un esquema. El concepto de funtor entre esquemas es obvio y entonces tambien el de transformaciones naturales. En el caso de un funtor si en los diagramas

ì

Eì

G

F

#

α

"

el primer diagrama conmuta y el segundo es su ímagen por un funtor entonces "‰αœ#.

Ejemplos importantes de transformaciones naturales entre diagramas son, en caso de que 0 À \ Ò] sea un morfismo de Top

\ 0 ]

.!

\

." \ G6Ð\Ñ

\

0 \

." \ G6Ð]Ñ

]

] 0

G6Ð0Ñ

El cual es una transformación natural entre el diagrama G6Ð\Ñ y el diagrama G6Ð] Ñ. Por ser una transformación natural el diagrama debe conmutar, lo cual es claro puesto que . À "!

Top ÒG6 es una transformación natural entre funtores. Regresando a homotopía se tiene:

1.23 Definición: Sea (œ ÐG6ß . ß . ß =Ñ! " un sistema homotópico en V. Si

(24)

G6Ð\Ñ \

\ ."

\

.!

\

2 0

1

]

è

1.24 Proposición: Para un sistema homotópico en se tiene:( V

i Para de \ Vß " µ "_\ ( _\.

ii Si 0 ß 1 À EÒFß 2 À G ÒEy0 µ 1 Ê( 0 ‰ 2µ 1 ‰ 2( (uniformidad a derecha). iii Si 0 ß 1 À EÒFß 2 À FÒHy0 µ 1 Ê( 2 ‰ 0 µ 2 ‰ 1( (uniformidad a izquierda). iii µ( es reflexiva: a0 −Mor G 0, µ 0( .

iv ._\! _{µ .}( _\

\", para todo .

v En L97Ð\ß ] Ñß µ( es simétrica Í . µ ._\" ( _\!. è

En suma, en general, µ( no es una relación de equivalencia en L97Ð\ß ] Ñß a\ß a] −O,V. Un estudio completo al respecto puede verse en “Homotopía Abstracta” por Roberto Ruiz (Sociedad Colombiana de Matemáticas). Casos como el de Top son especiales:

1.25 Teorema: La relación de homotopía en Top es una relación de equivalencia.

è

La Categoría Homotópica, Equivalencia de Homotopía

Las afirmaciones que aparecen a continuación hacen referencia a sistemas homotopicos a izqquierda. Cada una de ellas tiene su contraparte en homotopía a derecha y se espera que el lector sepa escribirlas y usarlas de manera expedita.

1.26 Proposición: Suponga un sistema homotópico en con ( V µ( de equivalencia. Si

se toma V (Î con Obj V(œObj , V L97 Ð\ß ] Ñ œ L97Ð\ß ] ÑÎ( ( y Ò0 Ó ‰ Ò1Ó œ Ò0 ‰ 1Ó, entonces V (Î es una categoría y 1 VÀ Ò V (Î , \Ø\, α Ø α[ ] es un funtor covariante. è

Note: L97 Ð\ß ] Ñ( se denota usualmente Ò\ß ] Ó( o bien Ò\ß ] Ó, si está claro.(

(25)

ii 0 À \Ò] se dice un isomorfismo ( ) ( homotópico o una Ð Ñ( equivalencia de homotopía si Ò0 Ó es un isomorfismo en V (Î . En tal caso se dice que \ß ] son Ð Ñ( homotópicamente equivalentes y se denota \ z ]( . è

Hay objetos que coinciden desde el punto de vista homotópico, como lo hemos mencionado en antes. El caso extremo es cuando la coincidencia sucede con el objeto final de la categoría:

1.28 Definición: Un objeto \ de se dice V contractible a un punto si X z ‡( , donde ‡

denota el objeto final de . V è

Por ejemplo en Top, con la homotopía corriente, ‘8 es contractible a un punto. De hecho todo subespacio de ‘8, convexo, es contractible a un punto. Por tanto el cubrimiento convexo de cualquier subconjunto de ‘8 tambien lo es.

Tema de investigación: grupos y cogrupos homotópicos

Ejemplos de sistemas homotópicos en una categoría :V

Note para comensar que los morfismos E Ä E"E y E Ä ‡‡E inducen el morfismo Ð" ß ‡ Ñ À EE E ÒE ‚ ‡ que , dicho sea de paso, es un isomorfismo.

1.29 Proposición: Sea una categoria tal que para cada V Eßexisten morfismos

‡ Ä E. Para un objeto M cualquiera de , pero fijo. SeanV i G6ÐEÑ œ E ‚ M

ii Para + À ‡ Ä Eß 3 œ !ß "3 , dos morfismos fijos, sean las composiciones.3 EÐ" ß‡ ÑÒE E E ‚ ‡ Ä E ‚ Mß 3 œ !ß ""‚+3 , finalmente

iii Sea = œ1"À E ‚ M Ä EÞ

Entonces ÐG6ß . ß . ß =Ñ! " forma un sistema homotópic sobre . V è

Tema de investigación: El sistema homotópico cuando es el espacio de CantorM

1.30 Proposición: Sea una categoría cerrada para sumas del tipo V E # EÞ

i Para cada sea E G6ÐEÑ œ E # E

ii . œ 3 À E Ä E # E . œ 3 À E Ä E # E! "

" , #

iii = À f À E # E Ä EE la codiagonal de E, es decir el unico morfismo tal que f ‰ 3 œ "E j Epara 4 œ "ß #Þ

Entonces

a ÐG6ß . ß . ß =Ñ! " _{forma un sistema homotópic sobre .}_V

b El sistema a) tiene como homotopía la relación grocera. Es decir que a0 ß 1 À E Ä F 0 µ 1, . è

(26)

relación de homotopía las dos relaciones de equivalencia extremas en L97ÐEß FÑ. Existe otra presentación de homotopía (se llama simplicial) para la cual cualquier relación de equivalencia compatible con composiciones es una relación de homotopía.

Tema de investigación: Es posible que la homotopía simplicial se pueda resentar

como homotopia de sistemas homotópicos? Es posible que G6ÐEÑ sea el nivel 1 del "nervio" , responsable de la homotopía simplicial?.R

Nota: la noción de grupo de homotopía deberá esperar a un capítulo posterior en este libro. Pero sigue la línea de que, con un cilindro especial, se construyen las esferas del sistema homotópico. Así existirán

, , , W ß W(! (" â W(n â

y se tomaría 18ÐF ‡Ñ œ W F Þ, [ (n, ] Es la estructura de W(n la que induce estructura algebraica en 1₈ÐFß ‡Ñ. Aquí solo ilustramos cómo puede una estructura en inducirE una en L97ÐEß FÑ, dual de la de , para todo objeto E FÞ

La estructura que usaremos se llama co grupo es decir el dual de grupo. Para iniciar E debe tener una co operación. Debe pues haber un morfismo E # E Ã Eˆ , que es la co operación, porque la operación es del tipo E ‚ E Ä E.

Ahora, ˆinduce una operación en L97ÐEß FÑ dada así: si 0 ß 1 À E Ä Fßentonces existe el morfismo E # E Ä FÒ0 ß1Ó y por tanto tambien la compuesta E Ä E # E Ä Fˆ Ò0 ß1Ó que por supuesto esta en L97ÐEß FÑ. Tomamos 0 Œ 1 œ Ò0 ß 1Ó ‰ ˆ Þ

Ahora una operacion en ß ‡ Eßes commutativa si ‡ ‰ Ð ß1 1_# _"Ñ œ ‡Þ Por ende, por dualidad la co operaciónˆes co conmutativa si ˆ ‰ Ò3 ß 3 Ó œ ˆ Þ# "

Veamos que si ˆ es co conmutativa entonces,Œ, la operación inducida por ˆes conmutativa. En efecto note que Ò0 ß 1Ó œ Ò1ß 0 Ó ‰ Ò3 ß 3 Ó# " y entonces

0 Œ 1 œ Ò0 ß 1Ó ‰ ˆ œ Ò0 ß 1Ó ‰ ˆ œ ÐÒ1ß 0 Ó ‰ Ò3 ß 3 ÓÑ ‰ ˆ œ Ò1ß 0 Ó ‰ ÐÒ3 ß 3 Ó ‰ ˆ Ñ œ# " # "

œ Ò1ß 0 Ó ‰ ˆ œ 0 Œ 0 Þ

Las demás propiedades de cogrupo de ˆse transmiten a propiedades de grupo de Œ ßde manera similar.

Ejercicios suplementarios

1 Demuestre que en C2, en la definición de categoría, es único para la3 propiedad que se le asignó.

2 Demuestre que los conjuntos forman una categoría tomándolos como objetos y como morfismos las funciones.

(27)

4 Demuestre que los grupos abelianos como objetos y como morfismos los homomorfismos de grupos, forman una categoría.

5 Demuestre que chain o “V2” forma una categoría. 6 Demuestre 1.1

7 Demuestre 1.2, i a vi 8 Demuestre1.3 iii a iv

9 Demuestre que V9: es una categoría.

10 Sin nombrar V9: (u “op”) determine cuando un cuadrado es cartesiano en .V 11 En relación a 1.7:

i Dé los conceptos duales de los que aparecen en la definición. ii Identifique los dos cambios de cobase del cuadrado.

12 Demuestre 1.4, iii, iv.

13 En Set dé la suma de \ con cuando ] \ß ] son disjuntos y cuando no lo son. Demuestre sus afirmaciones.

14 Demuestre 1.5, v, vi, vii

15 Dé un ejemplo que muestre que en X 9: \ E # \ Á \. 16 Demuestre 1.6.

17 Demuestre 1.7. 18 Demuestre 1.8.

19 Que es entonces un funtor contravariante J ÀV Ò W ?. 20 Demuestre 1.9.

21 Demuestre 1.10 i, ii.

22 Demuestre que \ ‚ ‡ z \ es un isomorfismo natural y \ #9 z \ tambien lo es.

23 Demuestre que para E, (la categoría de los grupos abelianos) y 8 − , fijo, EÒE8 es un funtor covariante y hay un isomorfismo natural -EÀ L97Ð™8ß EÑ z E Þ8

(28)

25 Demuestre 1.12. 26 Demuestre 1.13. 27 Demuestre 1.20, i,ii.

28 Demuestre que todo subespacio de ‘8, convexo, es contractible a un punto. 29 Demuestre. 1.29.

30 Demuestre 1.30.

31 Sobre grupos y co grupos:

i Dé un ejemplo de co operaciónˆy dé la operación inducida Œ.

ii Muestre que una operacion conjuntista en ‡ Eß es commutativa si y sólo si ‡ ‰ Ð ß1 1_# _"Ñ œ ‡Þ De esto por medio de un diagrama conmutativo.

iii Muestre que una co operaciónˆes co conmutativa si ˆ ‰ Ò3 ß 3 Ó œ ˆ Þ# "

iv Dé funcionalmente la propiedad modulativa de una operación y proponga el sentido de co modulativa y co módulo

Tema de investigación: recuperar la homotopía de G 2 via su identificación con

(29)

Teoría de homología general Por Roberto Ruiz Capítulo 2: Categorias admisibles para á

CAPÍTULO 2

CATEGORÍAS ADMISIBLES PARA HOMOLOGÍA

Sea una categoría.Si es un diagrama en denotaremos por V e V epl _VÐ œepl cuando V es clara) a la cubcategoría plena de generada por . La subcategoría generada por V e e será denotada +e\V o simplemente +e\cuando es clara.V

Damos ahora el sitio real de trabajo de homología general:

2.1 Proposición: Sea una categoría. Se tiene una categoría si:V

i Se toman como objetos los morfismos de .V

ii Para 0 ß 1 de Mor V, se toman como morfismos J À 0 Ä 1 a las parejas Ð ß Ñα " donde αÀ H97Ð0 Ñ Ä H97Ð1Ñ y "À G9.Ð0 Ñ Ä G9.Ð1Ñ son morfismos de talesV que "‰ 0 œ 1 ‰α.

iii Si Ðα "_"ß _"Ñ À 0 Ä 1 y Ðα "_#ß _#Ñ À 1 Ä 2 se toma

. Ðα ""ß "Ñ ‰ Ðα "#ß #Ñ œ Ðα"‰α "#ß "‰"#Ñ è

2.2 Definición: La categoría de la proposición precedente se llama la categoría de

los morfismos de V y se demota Mor . V è

Note que aquí inciamos el trabajo en una categoría "básica" pero V es en las

subcategorías de Mor donde yacen las entidades "admisibles" para homologíaV .

Esto puede generar alguna confusión en cuestión de cerraduras al pasar de diagramas de en V Q 9<Vy viceversa. Sin embargo estos traslados se hacen necesarios y debemos ser aun mas concretos. Naturalmente

2.3 Proposición: Toda diagrama edeQ 9<V es un diagrama en . V è

0 ₁

2 J

K L

J_. E

F 0

G

H 1

N I

2 J

-K_.

K

-L_.

L

(30)

2.4 Definición: Un diagrama e de Q 9<V considerado como diagrama de loV

llamaremos la proyección de en e V y lo denotaremos por ( ). 1 e è

En los gráficos que anteceden, a la izquierda se muestra un diagrama en Q 9<V. Su proyección en , se muestra a la derecha. Naturalmente hemos denotado V J œ ÐJ ß J Ñ. - , en donde J œ H97J. y J œ G9.J- igual cosa con y .K L

Asumimos que en existe un sistema homotópico y su homotopía se denota V µ o µ( cuando el nombre del sistema se requiera. Para un objeto \ de , llamaremos V el cilindro de \al diagrama con las siguientes dos notaciones gráficas

s

1

\

1

\ \

\

Ð\Ñ

.

!

\

.

" G

6

1

\

1

( _\

\

=₍Ð\Ñ

Ð\Ñ

.

!

(

.

"

G6

(

Ð\Ñ Ð\Ñ

que, por abuso, será denotada G Ð\Ñ6 (oG6 Ð\Ñ( cuando el nombre del sistema se( quiere hacer explícito).

Hasta hoy en día, en la teoría de homología, es una subcategoría de V X 9:, la categoría de los espacios topológicos y µ es la homotopía corriente de X 9: restringida a .V Estas especificidades serán desmontadas aquí y se trabajará en una categoría cualquiera con las restricciones propias de la admisibilidad que determinamos en este capítulo.

Sea una categoría y V (œ(G6, . . =!, ", ) un sistema homotópico en .V

i (Categorías básicas para homología) Diremos que la pareja Ð ß ÑV ( es una

categoría básica para homología si: a V tiene objeto inicial ( ) único.g b G6ÐgÑ œ g.

ii (Categorías básicas para homología punteada) Si tiene objetos finales yV

Ð ß ÑV ( es una categoría básica para homología se dirá que Ð ß ÑV ( es una categoría básica para homología punteada.

iii (subategorías básicas para homología) Sea es una subcategoría de y T V V

es básica para homología (respectivanente básica punteada).Decimos que T es

una subcategoría básica de V (respectivanente básica punteada), si:

a Como categoría, con la estructura heredada, Ð ß ÑT ( es básica para homología (respectivamente básica punteada).

(31)

homotopía Esto significa que restrigido a . ( T un sistema homotópico en T, lo cual implica que ( TÐ Ñ ©TÞSi T tiene objeto inicial propio, digamos 9T y además 9−T, entonces es inicial en T y por tanto 9T œ9. En el caso de objetos finales no existe tal unicidad y además es importante que así sea para que tenga sentido el concepto de clase subyacente de los objetos , \ como se verá mas adelante.

Resulta ser, como se verá, que los objetos iniciales y finales tienen grupos de homología "conocidos". Por esta razón, que una subcategoría tenga sus propios objetos iniciales y, o finales puede muy bien, a la larga, usarse como mecanismo de cálculo. Por ejemplo siEes objeto inicial de que no es inicial de , T V [ÐE œ) 0, si es[ la homología de "restringidida" a , pero, en principio, esto no tendría que saberse, aV T priori, al hacer cálculos en . Las subcategorías básicas están pues pensadas paraV poder recibir sin tráumas la restricción de la homología "de " (es decir, queremos queV la restricción no sea traumática), cuando exista, pero no apunta a que sean mejores que otras.

Ejemplifiquemos eso de traumático: Por ejemplo, si para , (( (EÑ œ Ey . œ . œ " ß! " E

entonces la categoría Eß "E tiene al objeto como objeto inicial y tambien final y laE homologia restrigida a ella sería trivial aun cuando no lo sea en , con la mismaV homotopía. Esta sería una restricción "traumática".

Queda pues establecido que si T es una subcategoría de donde es básica paraV V homología (punteada), entonces , es una subcategoría básica (punteada) de T Ð ß ÑV ( si, y sólo si,

i) ( T( )©T,

ii) gde Vesta en T,

iii) si es final en , entonces es final en .‡ T V Pero no tiene que ser punteada porque lo sea.T V

Ahora nos alistamos para proveer las categorías donde se hace homología. Para iniciar veamos cómo especificar los objetos que usaremos.

2.6 Definición (distinción de morfismos por diagramas) : Sea un diagrama e en

Q 9<V.

i Sea α− S,4e. Decimos que e aisla a αÀ E Ä F, si es el único mo fismo deα < L97ÐEß FÑ en el diagrama .e

ii Decimos que e distingue a un objeto \ de , si V " −\ S,4 e y e lo aislaÞ Es decir "\es el único morfismo \ Ä \ que está en el diagrama . e è

2.7 Definición (Categorías de parejas) : Sea euna categoría (respectivamente un

diagrama) en Q 9<V. Decimos que e es una categoría (respectivamente un

diagrama) de parejas de V si es una subcategoría (respectivamente diagrama) de

Q 9<V tal que:

i Para todo α− S,4e, e aisla a α.

ii e es cerrada para la composición de objetos: es decir que: si α− L97 ÐEß FÑV y " − L97 ÐFß GÑV están en entonces e "‰α también está en .e

(32)

En lo que sigue, denota una c categoría de parejas de V.

Si es una categoría de parejas de y es una subcategoría , entonces la categoríac V T V c∩ Q 9<Tes una categoría de parejas de que denotaremos T cT.

Note que en las categoría de parejas, c, la única flecha de L97 Ð\ß \ÑV escogible como objeto de es la identidad.c

Note además un punto importante: puesto que en las categoría de parejas, , enc general, se selecciona una única flecha EÒF como objeto digamos ß αß ella está únicamente determinada por y (en ese orden) en y entonces los símbolos y E F c E F son los únicos requeridos para determinarla. Esto permite afinar la notación.

2.8 Notación (Pareja admisible) Si : αÀ EÒF está en S,4c se denotará αœ

ÐFß EÑ, por similaridad con el caso topológico y se dirá que ÐFß EÑ es una pareja admisible (para homología, o para la homología que se defina sobre ella). Puesto que la notación ÐFß EÑ asegura su condición de objeto de c, para indicarlo, escribimos simplemente ÐFß EÑ −c. Por el contrario 0 −cindicará que esta es una flecha de .c è

Como ejemplo ubiquémosnos en el caso topológico : ser admisible para ÐFß EÑ incluiye normalmente que F sea un espacio topológico y E un subespacio de F. En la perspectiva de categorías , la flecha c admisible es simplemente la inclusión 3 ÀAÒF y se denota por 3 œ ÐFß EÑ.

Note que, con la notación de parejas, para dos objetosÐ\ß EÑ y Ð] ß FÑ de c un morfismo ÐJ ß 0 Ñ À Ð\ß EÑÒÐ] ß FÑ en debe ser, entonces, una pareja c J À \Ò], 0 À EÒF de morfismos de tales que el diagrama 9 conmuta.V #Þ

E F

\ ]

Ð\ßEÑ Ð]ßFÑ

0

J

E F

\ ]

3

0

J

3

2.9 2.10

En el caso corriente de X 9: el mismo diagrama sería #Þ"0, con " " denotando3 incluciones. Por ejemplo Ðg g Ñ À Ðgß gÑ Ä ÐEß gÑE, g es un morfismo de en cuanto c Ðgß gÑ y ÐEß gÑ estén en , puesto que 2,11(a) conmuta. También c ÐÐ\ß EÑß1EÑ es un morfismo de ÐEß EÑenÐ\ß EÑ por la conmutatividad del diagrama 2.11(b).

"_gœÐgßgÑ

g _g E

ÐEßgÑœg_E g

g_g g

"_EœÐEßEÑ

\ Ð\ßEÑ "_E

E E

(33)

Parte esencial de la estructura admisible son los diagramas de objetos los cuales describimos a continuación.

2.12 Definición (El diagrama de un par admisible): Si Ð\ß EÑ está en entonces c el

diagrama deÐ\ß EÑ, es

ÐgßgÑ ÐEßgÑ

Ð\ßgÑ

ÐEßEÑ

Ð\ßEÑ Ð\ß\Ñ

1

2

3

5 4

6

denotadoWÐ\ß EÑ, en donde los morfismos 1 a 6 son evidentes. è

En cuanto a homotopía en la categorías de parejas tenemos primero sobre c MorV

2.13 Proposición: si (œ ÐG6,. . =Ñ!, ", es un sistema homotópico sobre V y

αœ Ð\ß EÑ À EÒ\, entonces

i Ð. . Ñ À Ð\ß EÑ3 3 Ð Ð\Ñ ÐEÑÑ Ð Ñ À Ð Ð\Ñ ÐEÑÑ Ð\ß EÑ

\, E Ò G6 ,G6 y s ,s\ E G6 ,G6 Ò son

transformaciones naturales.

ii ŠCÐ Ñ Ð. . Ñ Ðα , !, ! , s ,s Ñ‹es un sistema homotópico en .

\ E \ E Q 9<V

Demostración: (ejercicio) è

2.14 Definición (cilindro de una pareja): si (œ ÐG6,. . =Ñ!, ", es un sistema

homotópico sobre y V αœ Ð\ß EÑ À EÒ\, entonces el cilindro de αœ Ð\ß EÑ en Q 9<V es el diagrama cuyo gráfico 2.15 (a) sigue, en el cual las flechas sin nombre son identidades. è

La notación compacta del cilindro de Ð\ß EÑse muestra en 2.15(b)

E \

GÐ\Ñ GÐEÑ

E \

\ E

d_A0

d_A1

d0_X

d1_X

s0_A sX

0

α

α α

GÐαÑ

C

d

0

d

1

s

1 Ð\ßEÑ

Ð\ßEÑ

1

Ð\ßEÑ

Ð\ßEÑ Ð\ßEÑ

Ð\ßEÑ

2.15 (a) cilindro de αœ Ð\ß EÑ (b)

(34)

2.16 Notación: El sistema homotópico de la proposición precedente se denotará

(Q 9<Vß(Q, o (+. cuando está restringido a una categoría, como en que sigue El cilindroc Þ de Ð\ß EÑ será por supuesto G6Ð\ß EÑo G6(Ð\ß EÑ cuando debe aparecer. ( è

Categorías admisibles para homología

Ahora concretamos las cualidades de admisiblidad:

2.17 Definición (Categorías admisibles):

i Una categoría c se dice esencialmente admisible para homología, sobre ÐV (, ÑÑ, si

AH0 Ð ß ÑV ( es una escategoría básica para homología.

AH1 c es una categoría de parejas deV.

AH2 Si Ð\ß EÑ está en entonces también está c WÐ\ß EÑ.

AH3 Si Ð\ß EÑ y Ð] ß FÑ −Objc, entonces todas las transformaciones naturales de eÐ\ß EÑ en eÐ] ß FÑ, en , están en V Q 9<c.

AH4 Si Ð\ß EÑestá en entonces también está su cilindroc G6Ð\ß EÑ.

ii c se dice admisible para homología, sobre ÐV (, ÑÑ si cumple AH0 a AH4 y además

admite al menos un objeto ,

AH5 c Ð ‡ gÑÞ

iii Una subcategoría d de se dice una c subcategoría admisible (esencial) si es admisible (esencial) para homología sobre ÐV (, ÑÑ. è

Así que en AH3, si Ð0 ß 1Ñ À Ð\ß EÑÒÐ] ß FÑ es un morfismo en Q 9< ßV es decir que 2.18(a) conmuta en , entonces el diagrama correspondiente a la flecha 5 de 2.12 deV las diagramas de Ð\ß EÑ y Ð] ß FÑ será 2.18(b) y entonces Ð1 1Ñ À ÐEß EÑ, ÒÐFß FÑ y Ð0 ß 1Ñ À Ð\ß EÑÒÐ] ß FÑ están en Q 9<c.

E F

\ ]

Ð\ßEÑ Ð]ßFÑ

1

0

ÐEßEÑ

ÐFßFÑ

Ð1ß1Ñ Ð0ß1Ñ

&_Ð\ßEÑ

&_Ð]ßFÑ

Ð\ßEÑ

Ð]ßFÑ

2.18 (a) (b)

Estando definida, en cambio de decir que está en diremos que c α c α es admisible. Igual cosa para morfismos de morfismos de .V

(35)

además tambien se identifican Ð ‡ gÑ, con y ‡ Ð\ß gÑ con \, entonces, en esos casos, termina siendo que, L97ÐÐ ‡ gÑß Ð\ß gÑÑ, es el conjunto subyacente de \Þ Sin embargo aquí, debido a la admisibildad, estos morfismos no producen "el conjunto subyacente de ", como veremos.\

Los axioma AH1 a AH4 de 2.17 se denominarán axiomas esenciales de admisibilidad. Aquí naturalmente tenemos en mente considerar las homologías reducidas, que son aquellas que no imponen condiciones sobre homología de Ð‡ß gÑßy que podríamos llamar homologías esenciales. Por su parte AH5 se requiere para el axioma de la dimensión, que sí las impone, por tanto bien podría llamarse axioma de irreducibilidad. Tiene la particularidad indeseable de que estropea el proceso corriente de generación de categorías admisibles para homología a partir de diagramas admisibles porque la intersección de categorías con objeto final no necesariamente tiene un tal objeto, pero, obviamente, no atenta contra ese proceso cuando de homologías reducidas se trata. La parte de generación de categorías admisibles es un proceso muy técnico que haría parte de un nivel mas avanzado que el presente y no la tocaremos.

Tema de invetigación: Generacion de categoría admisibles para

homología‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡

2 19 Þ Ejemplo (La categoría de pares topológicos). La subcategoría plena de

Q 9<X 9: generada por los pares topológicos Ð\ß EÑßes decir de las incluciones E Ä \ßcon un subespacio de es admisible (sobre la homotopía corriente y sobreE \ la igualdad) y se denota X 9::+<(ejercicio)Þ En general todas las categorías admisibles para homología, en el contexto de espacios topológicos y la Topología Algebráica corriente, lo son también en el sentido aquí establecido y nos referiremos a ellas sin explicaciones. Ejemplos de ellas, pueden encontrarse en el libro Homology Theory de S. T. Hu, Holden Day Inc, 1970 páginas 3 y 4. La categoría X 9::+< es el cubrimiento admisible de todas ellas. En el proceso de generación de categorías admisibles la existencia de un tal cubrimiento es indipensable.

Tema de investigación: Reconstrucción de alguna de las subcategoria propias, admisibles de Top y de al menos una teoria de homología categórica sobre ella.

2.20 Ejemplo (Categorías Simples una categoría básica para homología ): Ð ß ÑV ( ,

punteada o nó, de manera natural, tiene una categoría admisible asociada, cerrando la subcategoría de los morfismos del tipo g Ä \ \ Ä \ß, donde \ − S,4V, con los respectivos diagramas mostrados en 2.21a, que son en realidad Ðgß gÑ Ä Ðgß \Ñ Ä Ð\ß \Ñ y para 0 À \ Ä ] ßagregando los morfismos (verticales), como en 2.21 b).

Note que si G6 denota el cilindro de , entoncesV

G6Ðgß gÑ Ä Ðgß \Ñ Ä Ð\ß \Ñ œ Ðgß gÑ Ä Ðgß‘ G6Ð\ÑÑ Ä Ð Ð\ÑßG6 G6Ð\ÑÑ

que, de nuevo, es un diagrama del mismo tipo.

2.21 Diagramas:

(36)

ÐgßgÑ Ðg ßgÑ

Ð\ßgÑ

Ðg ßgÑ

Ð\ßgÑ Ð\ß\Ñ

" #

$ _&

% _'

b

Ð]ß]Ñ ÐgßgÑ

ÐgßgÑ

Ðgß\Ñ Ð\ß\Ñ

Ðgß0Ñ Ð0ß0Ñ

Ðgß]Ñ

Esta categoría se llamará la categoría admisible simple de Ð ß ÑV ( y, en su momento, por abuso del lenguaje, las homologías sobre esta categoría admisible se llamarán homologías sobre V.

Es costumbre en homología identificar \ con Ð\ gÑ, y 0 À \Ò] con Ð0 gÑ À Ð\ß gÑ, ÒÐ] gÑ, . En realidad esa identificación es innecesaria. Formalmente un funtor de homología sobre se compone con un funtor c \ È Ð\ß gÑ y el resultado es la homología sobre . Pero la identificación será útil en el contexto de categoríasV punteadas, es decir en las cuales g z ‡ porque allí evidencia la no existencia de puntos (plural) en los objetos. Cuando existen y es un punto de , \ß entonces existe la pareja admisible Ð\ß ,Ñ y con sus puntos estarían intrínsicamente representados por parejas\ admisibles Ð\ß ,Ñ. Ahora note que sucede cuando g z ‡ : Ð\ß ,Ñ z Ð\ß gÑ ´ \. Incluso visualmente los puntos desaparecen.

2.22 Ejemplo (Subcategorías admisibles simples):

i Si es admisible c sobre ÐV (, entonces los objetos de la forma Ñ Ð\ß gÑ y Ð\ß \Ñ son llamados objetos simples de c. La subcategoría plena de , generada porc los objetos simples, es una categoría admisible que llamaremos la subcategoría simple de .c

(37)

no existe por supuesto el dolor de cabeza de seleccionar el objeto inicial "representador" de los demás.

Categorías punteadas de yV partes de \

Supongamos, en esta discusión, que V es básica para homología punteada (2.5, .ii) Formar la categoría punteda de , usando el procedimiento corriente de considerar unV objeto final fijo, digamos , y tomar los morfismos ‡ ‡ Ä \ ßcomo los puntos de \, dá como resultado aquí, por admisibilidad, que cada \ admitiría a lo mas un punto, por 2.5, i. Esto por supuesto entra en conflicto con el caso más elemental como es el de los espacios topológicos punteados. Recuérdese que un tal espacio es una pareja Ð\ß BÑ, en donde B − \Þ Por tanto aquí importa distinguir los objetos finales distintos. Pero esto entra en conflicto con el universo mismo en el siguiente sentido: supongamos que + Ä Eα es un punto de . Entoces si es otro objeto final de , sería otro punto deE , V , Epor la composición , Ä + Ä Eα , donde el primer morfismo es el único isomorfismo de , a . Tenemos pues varios problemas:+

1 el cúmulo de puntos de . Por ejemplo calcule cuantos habría en un espacioE topológico.

2 de fundamentación lógica: la existencia de la categoría con objetos todos los + Ä Eα , con recorriendo todos los objetos finales y todos los objetos de , y+ E V 3 tercero, que es claro, que no hay una manera universal de tener la categoría

admisible de los objetos punteados de V por selección canónica de un , Ä E, para cada y para cada ., E

Sin embargo las categorías admisibles sí tienen, de manera natural, el concepto de "puntos" de un objeto de : son las parejas admisibles V Ð\ß ,Ñen donde es un objeto, final de . Eso, si misma no es punteada. Si es punteada, entonces, como V V V ‡ z gy el concepto de "punto" es parte del objeto porque: ÐFß ,Ñ œ ÐFß gÑ ³ F. De manera pues que, en el proceso de admitir parejas, de paso se están determinando, o mejor admitiendo puntos Es decir que los "puntos" son parte de lo que ". admiten" las categorías admisibles.

2.23 Definición (Partes admisibles de \): Suponga que c es una categoría

admisible, para homología sobre ÐV (, .Ñ

i (Sub objeto admisible). Si Ð\ß EÑ es admisible, diremos equivalentemente que

Ees un -sub objeto admisible de c \o, cuando no haya posibilidad de error que E es un sub objeto de y lo denotamos \ E © \c o, mas simplificado E © \.

ii (Partes admisibles de \). Llamaremos partes admisibles de \ (ó partes de