Funci ´on logar´ıtmica real

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Funciones elementales b´asicas

3.1 INTRODUCCI ´ON

La familiaridad que hemos llegado a tener con funciones como la exponencial, el logaritmo, las funciones trigonom´etricas, pueden habernos hecho olvidar que en realidad nunca hemos establecido una definici´on ‘anal´ıtica’ rigurosa de ellas. Mediante consideraciones gr´aficas, en algunos casos, o confiando en la autoridad de turno en otros, hemos aceptado ciertas propiedades (entre ellas, nada menos que su existencia), de las que hemos ido deduciendo las dem´as.

Con nuestros conocimientos actuales, este es un buen momento y un buen lugar para ofrecer esa definici´on rigurosa mediante series de potencias en el campo complejo y mostrar c´omo de la definici´on van saliendo las propiedades que nos son tan ‘conocidas’. No es ´esta, desde luego, la ´unica via de construcci´on posible (pueden introducirse tambi´en mediante integrales indefinidas, o como soluciones de ciertas ecuaciones —o sistemas de ecuaciones— diferenciales), pero indudable-mente es la m´as adecuada al presente curso.

3.2 FUNCI ´ON EXPONENCIAL

Funci´on exponencial

La serie de potencias +∞

n=0

zn

n! tiene radio de convergencia+∞, por lo que podemos

definir en todo C una funci´on como suma de tal serie.

Definici´on 3.1. Se llama funci´on exponencial a la definida por

exp : zC →exp(z) =

+∞

n=0

zn

n!C.

El n´umero exp(1) se denota por e, y suele escribirse ez en lugar de exp(z)

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Propiedades de la exponencial compleja.

(1.1) La funci´on exponencial es derivable (indefinidamente) y su derivada es ella misma: para cada zC,

exp(z) = exp(z).

(1.2) exp(0) =1.

(1.3) Para cada zC,

exp(z) = 1

exp(z)

con lo que, en particular, exp(z) = 0. Adem´as, para cualesquiera z,wC, exp(z +w) = exp(z) exp(w).

(1.4) Dados nNy zC, exp(nz)es el producto de n factores iguales a exp(z), exp(nz) = exp(z) · · ·n exp(z);

en particular, exp(n) =e · · ·n e.

(1.5) Para cada xR, tambi´en exp(x)R.

Demostraci´on. (1.1) Basta aplicar la regla de derivaci´on de una funci´on definida

mediante una serie de potencias. (1.2) Obvio.

(1.3) Puede verse directamente a partir de la definici´on y de la multiplicaci´on de series de potencias. Otra demostraci´on que usa s´olo las ‘propiedades diferenciales’ de la exponencial es la siguiente:

Para unw cualquiera en C previamente fijado, definamos

f : zCf(z) = exp(z) exp(z +w)C. Derivando de acuerdo con (1.1),

f(z) = −exp(z) exp(z +w)+exp(z) exp(z +w) = 0, luego como C es conexo, f toma constantemente el valor f(0) = exp(w).

Si el w elegido es 0, esto significa que exp(z) exp(z) = 1 cualquiera que sea zC. Por consiguiente, volviendo al caso general, de exp(z) exp(z+w) =

f(0) = exp(w)podemos despejar

exp(z +w) = exp(z) exp(w). (1.4) Se prueba por inducci´on sobre n utilizando (1.3).

(3)

Propiedades de la exponencial real.

(1.6) Para cada xR,

Exp(x) > 0.

(1.7) La funci´on exponencial real es estrictamente creciente y convexa. En particu-lar, es inyectiva.

(1.8) Se tiene

lim

x→+∞Exp(x) = +∞ , x→−∞lim Exp(x) = 0.

En consecuencia, el conjunto imagen de la funci´on exponencial real es(0,+∞).

Demostraci´on. (1.6) Exp(x) = (Exp(x/2))2 ≥ 0 y Exp(x) = 0.

(1.7) La derivada primera y la derivada segunda de la funci´on exponencial real (que son iguales a ella misma) son estrictamente positivas.

(1.8) Puesto que la funci´on exponencial real es estrictamente creciente,

e = Exp(1) >Exp(0) = 1, luego lim

n Exp(n) = +∞. Nuevamente por la monoton´ıa de la funci´on exponencial,

esto basta para probar que

lim

x→+∞Exp(x) = +∞.

Finalmente, lim

x→−∞Exp(x) = y→+∞lim Exp(y) = y→+∞lim

1

Exp(y) =0.

Aplicando el teorema de los valores intermedios (Darboux) se sigue que la funci´on exponencial aplica R sobre(0,+∞).

Obs´ervese que, seg´un la exposici´on anterior, todas las propiedades b´asicas de la funci´on exponencial se deducen realmente de (1.1) y (1.2), que en este sentido pueden ser consideradas sus propiedades “fundamentales”. Esto no es tan sorpren-dente sin pensamos en la unicidad de soluci´on de la ecuaci´on diferencial y = y

con la condici´on inicial y(0) =1.

En lo que sigue volveremos ya a la notaci´on tradicional, ez, para la exponencial de z.

Funci ´on logar´ıtmica real

(4)

Definici´on 3.2. La funci´on logar´ıtmica real

ln : x(0,+∞)ln xR

es la inversa de la funci´on exponencial, de modo que ln x = y si y s´olo si ey = x.

Por tanto, est´a caracterizada por cumplir

ln(ex) = x cualquiera que sea xR y

eln x = x cualquiera que sea x(0,+∞) .

Sus propiedades son consecuencia de las de la funci´on exponencial. Propiedades del logaritmo real.

(2.1) La funci´on logar´ıtmica real es derivable indefinidamente, y su derivada es la funci´on 1/x.

(2.2) ln 1 = 0, ln e =1.

(2.3) Para cada x(0,+∞),

ln 1

x = −ln x .

(2.4) Dados x, y(0,+∞),

ln(x y) =ln x +ln y .

(2.5) Dados nNy x(0,+∞),

ln(xn) =n ln x .

(2.6) El conjunto imagen de la funci´on logar´ıtmica real es R.

(2.7) La funci´on logar´ıtmica real es estrictamente creciente y c´oncava. En particular, es inyectiva.

(2.8) Se tiene

lim

x→+∞ln x = +∞, xlim→0+ln x = −∞.

Demostraci´on. Recordar las propiedades de la funci´on inversa estudiadas para

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3.3 FUNCIONES SENO Y COSENO

Funciones complejas seno y coseno

Definici´on 3.3. La funci´on seno est´a definida por

sen : zCsen z = ∞

n=0

(−1)nz2n+1

(2n +1)! ∈C ,

y la funci´on coseno por

cos : zCcos z = ∞

n=0

(−1)nz2n

(2n)! ∈C .

Estas funciones est´an bien definidas, pues las series de potencias que figuran en las f´ormulas tienen radio de convergencia+∞. Recordando la definici´on de la funci´on exponencial, las relaciones siguientes son inmediatas:

sen z = e

i z ei z

2i , cos z =

ei z +ei z

2

para cada zC, con lo que la funci´on exponencial aparece como “m´as elemental” que el seno y el coseno, en el sentido de que ´estas son combinaciones lineales de exponenciales.

Propiedades del seno y coseno complejos.

(3.1) El seno y el coseno son funciones derivables indefinidamente y se cumple para todo zC

sen(z) =cos z, cos(z) = −sen z.

(3.2) El seno es una funci´on impar, mientras que el coseno es una funci´on par: es decir, cualquiera que sea zCse tiene

sen(z) = −sen z, cos(z) = cos z .

(3.3) Para todos z, wC,

(6)

(3.4) Para cada zCes

sen2z +cos2z =1 .

Demostraci´on. (3.1), (3.2), (3.3)

Se siguen directamente de la definici´on mediante series de potencias o a partir de la expresi´on en t´erminos de exponenciales.

(3.4)

Se deduce de(3.2) y(3.3), tomando w = −z.

Es instructivo ver c´omo tambi´en puede probarse esta identidad usando derivaci´on: definiendo f : zCf(z) = sen2z +cos2zC, a partir de(3.1) obtenemos

f(z) = 2 sen z cos z2 cos z sen z =0 para todo z de C, luego f toma constantemente el valor f(0) = 1.

De las f´ormulas anteriores se deducen mediante los c´alculos de costumbre otras muchas frecuentemente utilizadas; por ejemplo, las que se recogen en el siguiente ejercicio.

Ejercicio. Dados z, wC, comprobar que

sen(zw) =sen z coswcos z senw; cos(zw) =cos z cosw+sen z senw; sen z cosw = 1

2[sen(z +w) +sen(zw)]; sen z senw = −1

2[cos(z +w)−cos(zw)]; cos z cosw = 1

2[cos(z +w) +cos(zw)]; sen 2z =2 sen z cos z;

cos 2z =cos2z −sen2z = 2 cos2z −1; sen 3z =3 sen z −4 sen3z;

cos 3z =4 cos3z3 cos z

y cualquier otra de las relaciones conocidas sobre las funciones seno y coseno. Funciones seno y coseno reales

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Propiedades del seno y coseno reales.

(4.1) La funci´on seno tiene ceros reales positivos, es decir,

{x >0 : sen x = 0} = ∅ .

Este conjunto posee un elemento m´ınimo, que denotaremos porπ:

π def

= min{x > 0 : sen x =0} .

En el intervalo (0, π), el seno toma valores estrictamente positivos.

(4.2) cosπ = −1; cos π

2 = 0; sen

π

2 = 1.

(4.3) Para conocer la funci´on seno en R es suficiente conocerla en el intervalo 0, π

2

. En concreto,

(4.3.1) para cada xRes

senx) = sen x = −sen(x +π);

(4.3.2) para cualesquiera xRy kZ,

sen(x +2kπ) = sen x,

es decir, el seno real es una funci´on peri´odica de periodo 2π.

(4.4) Para conocer la funci´on coseno en R es suficiente conocerla en el intervalo 0, π

2

. En concreto,

(4.4.1) para cada xRes

cosx) = −cos x = cos(x +π);

(4.4.2) para cualesquiera xRy kZ,

cos(x +2kπ) = cos x,

es decir, el coseno real es una funci´on peri´odica de periodo 2π.

(4.5) La restricci´on de la funci´on seno al intervalo

π

2,

π

2

es una aplicaci´on estrictamente creciente (en particular, inyectiva) sobre el intervalo [−1,1].

(4.6) La restricci´on de la funci´on coseno al intervalo [0, π] es una aplicaci´on es-trictamente decreciente (en particular, inyectiva) sobre el intervalo [−1,1].

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(4.8) Dado xR, se verifica cos x = 0si y s´olo si para alg´un kZes x = π

2 +.

Demostraci´on. (4.1) Agrupando sumandos convenientemente, es claro que

sen x > xx

3

3! > 0 siempre que 0< x ≤ 1 y que

sen 4 <4− 4 3 3! + 45 5! − 47 7! + 49 9! <0,

de donde se deduce que el seno no se anula en(0,1] pero que, seg´un el teorema de Bolzano, debe anularse al menos en un punto comprendido entre 1 y 4. Por tanto, est´a perfectamente determinado el n´umero real

π =inf{x > 0 : sen x = 0}

y es mayor o igual que 1 (luego> 0). Para asegurar queπ es el m´ınimo del conjunto, o sea, que pertenece a ´el, basta tener en cuenta que es punto adherente del conjunto y emplear la continuidad del seno.

As´ı sen x = 0 para todo x(0, π) y por continuidad el seno debe mantener el signo en todo este intervalo. De acuerdo con la primera desigualdad que hemos escrito, debe ser estrictamente positivo en ´el.

(4.2) Como sen2π + cos2π = 1, se deduce que cos2π = 1 y por tanto cosπ = 1 o cosπ = −1. Pero si cosπ = 1, como cos 0 = 1, el teorema de Rolle dar´ıa la existencia de alg´un punto t(0, π) en el que se anular´ıa la derivada del coseno, con lo cual ser´ıa sen t =0 contra lo que acabamos de probar.

Puesto que cosπ = 2 cos2 π

2 −1, debe ser cos

π

2 = 0, lo que obliga a que sen2 π

2 = 1. Como 0 <

π

2 < π, sen

π

2 debe ser positivo y por tanto igual a 1.

(4.3)Las igualdades de(4.3.1)son consecuencia de las f´ormulas de adici´on y de los valores previamente calculados. La de (4.3.2)se comprueba por inducci´on.

Con esto, conociendo los valores del seno en el intervalo

0, π 2

, podemos obtener los valores en el intervalo

π

2, π

usando que sen x = senx); por ser el seno impar, pasamos entonces a todo el intervalo [−π, π] y ya por periodicidad a todo R.

(4.4)Similar al apartado anterior.

(4.5)Para cada xR la igualdad sen2x+cos2x = 1 asegura que|sen x| ≤ 1,

|cos x| ≤ 1. Como sen π

2 = 1 y por tanto sen

π

2

= −1, la continuidad del seno y la propiedad de Darboux dan como conjunto imagen de

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Para demostrar que el seno (que es continua) es estrictamente creciente en −π 2, π 2

, usamos que es estrictamente positiva en (0, π). En consecuencia, el coseno (que en cada punto x tiene por derivadasen x) ser´a estrictamente decre-ciente en [0, π], lo que permite afirmar que los valores que alcanza en el intervalo

0, π 2

son estrictamente mayores que cos π

2 = 0; como el coseno es par, lo mismo vale en −π 2, π 2

; y finalmente, como el coseno es la derivada del seno, vemos que ´este ´ultimo es estrictamente creciente en

π 2, π 2 .

(4.6)Repasar la demostraci´on anterior.

(4.7) Es inmediato que si para alg´un kZ es x = , se verifica que sen x = 0.

Rec´ıprocamente, sea xR tal que sen x =0. Para un kZ ser´a

x

k− 1

2

π,

k + 1

2

π

. Entonces t = x ∈ −π 2, π 2

y sen t = sen x cos kπcos x sen kπ =0, luego forzosamente t = 0 y x = .

(4.8)Similar a la anterior.

Funciones trigonom´etricas y Trigonometr´ıa

Tenemos ahora dos versiones de las funciones seno y coseno: la ‘versi´on anal´ıtica’ que venimos explorando y la ‘versi´on geom´etrica’ de la Trigonometr´ıa (=medida de

´angulos). La coherencia entre ambas versiones la prueba la siguiente proposici´on,

que a su vez justifica las afirmaciones que hicimos al definir los argumentos de un n´umero complejo no nulo.

Proposici´on. Dados x, yR tales que x2 + y2 = 1, existe un αR de modo que

cosα = x, senα = y .

Adem´as, para que unβRcumpla igualmente que cosβ = x, senβ = y,

es necesario y suficiente que exista un kZ tal queβ =α +2kπ.

Demostraci´on. Como x ∈ [−1,1], existe al menos un tR tal que cos t = x.

Entonces sen2t = y2, de donde o bien sen t = y, y tomar´ıamos α = t, o bien

sen t = −y, y bastar´ıa tomar α = −t .

Por periodicidad, igualmente cos+2kπ) = x, sen(α+2kπ) = y para todo kZ.

Supongamos ahora que encontramosβR para el que cosβ = x, senβ = y.

Entonces

(10)

luego por (4.7) existir´a un mZ tal que βα = mπ. Si m fuese de la forma 2k +1, kZ, resultar´ıa cosα) = −1, mientras que

cosα) = x x + y y = x2 + y2 = 1,

por lo que debe ser m = 2k para alg´un kZ y finalmenteβ = α +2kπ.

Gr´aficamente, esta proposici´on significa que para cada punto sobre la circun-ferencia T de centro el origen y radio unidad, hay un n´umero real que mide el ´angulo que forma el radio correspondiente al punto con el eje de abscisas, y que dicho n´umero est´a un´ıvocamente determinado salvo m´ultiplos enteros de 2π. Una interpretaci´on algebraica nos dir´ıa que la aplicaci´on tRei tT (que es un homomorfismo entre el grupo aditivo R y el grupo multiplicativo T) es suprayectiva y tiene por n´ucleo el semigrupo 2πZ, de modo que T es isomorfo al grupo cociente R/2πZ (para este enfoque, ver Cartan, H.: Th´eorie ´el´ementaire des fonctions

analytiques d’une ou plusieurs variables complexes. Hermann, Paris (1961).)

3.4 DETERMINACIONES DEL ARGUMENTO Y DEL LOGARITMO.

Querr´ıamos definir la funci´on logaritmo como la inversa de la funci´on exponencial. Pero nos encontramos con el problema, a diferencia de R, de que la funci´on expo-nencial no es inyectiva en C. Puesto que el logaritmo es una potente herramienta en la teor´ıa de funciones de variable compleja, vamos a estudiarlo en todo detalle. Valores de la exponencial compleja

Proposici´on.

(5.1) Dado zC, sea x = e z, y = m z. Entonces

ez =ex+i y =ex(cos y +i sen y)

(5.2) Para cada zC

e ez =e e z cos(m z), m ez= e e z sen(m z),

ez = e e z, m zarg ez.

(5.3) La exponencial compleja no es inyectiva: es peri´odica de periodo 2πi. Con mayor precisi´on, dados z,wC, se tiene ez = ew si y s´olo si z =w+2kπi

para alg´un kZ.

(5.4) El conjunto imagen de C mediante la exponencial es C\ {0}. Adem´as, para cada wC\ {0}, ez =w si y s´olo si

(11)

Demostraci´on. (5.1) Seg´un la f´ormula de adici´on

ez = exei y,

y las f´ormulas que ligan seno y coseno con exponenciales dan cos y +i sen y =ei y.

(5.2)Aplicar lo anterior.

(5.3)Si z = w+2kπi para alg´un kZ, ez = ewe2kπi =ew. Rec´ıprocamente, sea ez = ew. Tomando m´odulos,

e e z =ez = |ew| = e ew,

luego por la inyectividad de la exponencial real e z = ew. Pero entonces

cos(m z)+i sen(m z) = cos(mw)+i sen(mw), o sea

cos(m z) =cos(mw), sen(m z) = sen(mw),

lo que, seg´un hemos visto en la proposici´on anterior, s´olo es posible si m z =

mw+2kπ para alg´un kZ.

(5.4)DadowC\ {0}, sea φargw y

z = ln|w| +iφ.

Obviamente ez = w, y cualquier otro complejo cuya exponencial coincida con w ser´a de la forma z +2kπi para alg´un kZ por lo que acabamos de probar en

(5.3).

Esta informaci´on engloba asimismo informaci´on sobre el comportamiento de otras funciones. Por ejemplo:

Corolario. Los ´unicos ceros del seno y el coseno son sus ceros reales. Expresado de otro modo, si zC,

sen z = 0 ⇐⇒ z =kπ, kZ, cos z =0 ⇐⇒ z = π

2 +kπ, kZ.

Demostraci´on. N´otese que

sen z = 0 ⇐⇒ ei z = ei z ⇐⇒ e2i z =1 = e0,

cos z = 0 ⇐⇒ ei z = −ei z ⇐⇒ e2i z = −1 =eiπ.

Determinaciones del argumento y del logaritmo.

(12)

Definici´on. Dado 0 = zC, diremos quewes un logaritmo de z si expw = z. Por tanto, un n´umero complejo tiene infinitos logaritmos, pero sabemos a qu´e f´ormula responden: misma parte real (el logaritmo real de |z|) y como parte imaginaria un argumento de z,

expw = z ⇐⇒ w = ln|z| +i(φ +2kπ), kZ, φarg z.

Podr´ıamos definir el conjunto

log z = {w : expw = z}

y se tendr´a la igualdad entre conjuntos,

log z = ln|z| +i arg z

Cuando queramos tener una funci´on logaritmo, bastar´a fijar una ‘funci´on argu-mento’. Por ejemplo, si tomamos el argumento principal, tendr´ıamos la funci´on logaritmo principal. Sin embargo, necesitamos conceptos m´as flexibles.

Definici´on. Sea ∅ = regi´on, tal que 0∈/ .

1. Diremos queφ : −→ Res una determinaci´on del argumento ensi: i) φ es continua en.

ii) φ(z)arg z,z, (i.e., eiφ(z) = z

|z|).

2. Diremos que f : −→ Ces una determinaci´on del logaritmo ensi: i) f es continua en.

ii) f(z)log z,z, (i.e., ef(z) = z).

Estos dos conceptos est´an muy relacionados. En efecto, Proposici´on 1. Sea∅ = regi´on, tal que 0∈/ . Entonces,

φ es una determinaci´on del argumento ⇐⇒ f(z) = ln|z| +iφ(z)es una determi-naci´on del logaritmo.

Demostraci´on.

⇒) Si φ es continua, es claro que f(z) =ln|z| +iφ(z) es continua, y

(13)

) Si f es una determinaci´on del logaritmo, en cada z, su parte real debe ser ln|z| y su parte imaginaria φ(z) = f(z)−ln|z|

i es una determinaci´on del

argumento, pues es continua y

eiφ(z) = ef(z)e−ln|z| = z/|z|.

Proposici´on 2. Sea∅ = regi´on, tal que 0∈/ .

i) Siφ1, φ2 son dos determinaciones del argumento, entonces

kZ, φ1(z) =φ2(z)+2kπ,z.

ii) Si f1, f2 son dos determinaciones del logaritmo, entonces

kZ, f1(z) = f2(z)+2kπi,z.

Demostraci´on. i) Si φ1(z), φ2(z)arg z entonces, para cada z, φ1(z)

φ2(z) = 2k(z)π, con k(z)entero. La funci´on k : −→ Z es continua, y como es regi´on, su rango debe ser conexo y subconjunto de Z, luego solo puede ser un punto. Es decir, k(z)k es constante.

ii) Consecuencia de i), o directamente de forma similar.

Ejemplos.

1. El ejemplo m´as aparente es Arg z, que es una determinaci´on del argumento en la regi´on C\(−∞,0].

La correspondiente determinaci´on del logaritmo en C\(−∞,0] Log z = ln|z| +i Arg z

se llama funci´on logaritmo principal.

N´otese que el dominio de definici´on de esta funci´on es C \ {0}, pero s´olo es continua en C\(−∞,0]. Su restricci´on a(0,+∞) es el logaritmo real. 2. An´alogamente, fijadoαR, la funci´on Arg[α,α+2π) es una determinaci´on del

argumento en C \ {r eiα : r ≥ 0}. Y, la correspondiente determinaci´on del logaritmo es Log[α,α+2π)z =ln|z| +i Arg[α,α+2π).

(14)

=

Α∪Β

Α

Β

γ

Β

Α

Β

La funci´on φ : −→ R, definida por

φ(z) =Arg z, si zA,

φ(z) =Arg z +2π, si zB,

(el segmento de R− lo debemos incluir en A), es continua eny, en cada punto,

φ(z)arg z. Por tanto, es una determi-naci´on del argumento en .

4.

Sea = C\γ, (γ une continuamente 0 e∞).

La funci´on φ : −→ R, definida por

φ(z) =Arg z, si zA,

φ(z) =Arg z +2π, si zB,

es una determinaci´on del argumento en

. 5.

Sea = D(0;2) \ D(0;1). En no existe determinaci´on continua del argu-mento. Supongamos que φ : −→ R lo es. En la regi´on ∗ = \ R−, φ y Arg z son dos determinaciones del ar-gumento y, por tanto, para alg´un kZ

φ(z) =Arg z +2kπ, z∗.

Pero entonces,φno puede ser continua enporque si z0(−2,−1), los l´ımites de

φ(z)para zz0 a trav´es de{z : m z > 0}o a trav´es de{z : m z <0} difieren en 2π.

Proposici´on. Si f es una determinaci´on del logaritmo en entonces f es holo-morfa en. Adem´as,

f(z) = 1

z,z.

Demostraci´on. Fijemos un punto z0. Como la derivada de la funci´on expo-nencial es 1 en el punto 0, se tiene

lim

w→0

ew −1

(15)

A partir de aqu´ı, deducimos,

ε > 0,δ > 0 |w| < δw

ew −1 −1

< ε|z0|.

Por otro lado, como f es continua en z0, se tiene,

δ1 >0 |h| < δ1 ⇒ |f(z0+h)f(z0)| < δ.

Juntando estos dos hechos, y usando que ef(z) = z, si|h| < δ1,

f(z0+h)f(z0)

h

1

z0

= f(z0 +h)f(z0)

ef(z0+h)ef(z0)

1

ef(z0)

= 1

|z0|

f(z0+h)f(z0)

ef(z0+h)f(z0)−1 −1

< ε.

Luego, f es derivable en z0 con derivada 1/z0. Todav´ıa tenemos mucho m´as.

Proposici´on. Si f es una determinaci´on del logaritmo enentonces f es anal´ıtica en .

Demostraci´on. Sea z0 ∈ . Se verifica 1

z =

1

z0

1 1+ zz0

z0

= ∞ n=0

(−1)n(zz0)

n

zn0+1 , |zz0| < |z0|.

Por tanto, la serie de potencias “primitiva t´ermino a t´ermino” de la anterior ∞

n=0

(−1)n (zz0)

n+1

(n +1)zn0+1

es derivable en D(z0; |z0|)y su derivada es 1/z. Como ´este tambi´en es el caso de f en un entorno (conexo) de z0, tendremos

f(z) = C +

n=0

(−1)n (zz0)

n+1

(n +1)zn0+1

(16)

Observaci´on.

La funci´on Log(1 + z) es holomorfa (y anal´ıtica) en C \ (−∞,−1], por composici´on. Por cambios de variable, o bien, repitiendo la demostraci´on anterior, obtenemos que el desarrollo en un entorno de 0 es:

Log(1+z) =C +

n=0

(−1)n z

n+1

n+1, |z| < 1

Evaluando la igualdad en z = 0, vemos que el valor de la constante es C = Log 1 = 0.

Finalmente, cambiando el par´ametro de sumaci´on,

Log(1+z) =

n=1

(−1)n+1z

n

n , |z| < 1.

El criterio de Dirichlet garantiza la convergencia de la serie tambi´en para

|z| = 1, z = −1. La suma en tales puntos sigue siendo Log(1+z) (¿por qu´e?). Observaci´on.

En la pr´actica, convendr´a tener cuidado con el siguiente aspecto. Es claro que si φarg z, ψargw, entonces φ +ψarg(zw), pero al particularizar a determinaciones concretas del argumento no siempre se traduce ´esto en una igualdad. As´ı, en general,

Arg z +Argw = Arg(zw).

De forma an´aloga, en general,

Log z +Logw = Log(zw),

por ejemplo Log(−1)+Log(−1) = 2πi = 0= Log (−1)(−1), aunque siempre ocurre que

Log z +Logwlog(zw).

3.5 EXPONENCIALES Y POTENCIAS ARBITRARIAS

(17)

Definici´on. Dados u, vC, con u = 0, se define el conjunto

uv = {exp(vα) : αlog u}

Podr´ıamos poner brevemente (igualdad entre conjuntos),

uv =exp(vlog u) Los elementos del conjunto uv son, por tanto,

exp{v(ln|u| +i Arg u +2kπi)}, kZ.

Este conjunto consta, en general, de infinitos elementos. Pero, debido a la periodici-dad de la funci´on exponencial, estos elementos podr´ıan repetirse y dar un conjunto finito. De hecho, es muy f´acil probar que:

i) Si nN, un consta de un solo elemento. Precisamente, u.u. . . .n)u.

ii) u0 =1.

iii) Si nZ, un = 1

un.

iv) Si nN, u1/n consta de n elementos, justamente las n ra´ıces n-´esimas de u. Ahora, bastar´a precisar la elecci´on de logaritmos para tener funciones expo-nenciales y potenciales

1. Dado a =0, la funci´on

f(z) = az = exp(z Log a)

es la funci´on exponencial de base a. Es decir, a no ser que se indique lo contrario, la expresi´on azindicar´a que estamos tomando el logaritmo principal. Es claro que es una funci´on entera (de hecho, anal´ıtica en C), pues s´olo se diferencia de la exponencial por el factor constante Log a.

2. Dado αC, tambi´en usaremos la notaci´on zα para indicar la elecci´on del logaritmo principal.

f(z) = =exp(αLog z), zC\ {0}.

(18)

Cuando el par´ametro α es entero, es claro que, de hecho zα es holomorfa en C\ {0}. Y si es natural, es holomorfa en C (defini´endola como 0 en 0). En cualquier otro caso, no puede ser holomorfa m´as all´a de C\R−, pues es f´acil ver que en los puntos de R− no es cont´ınua.

Desarrollo de (1+z)α en serie de potencias centrada en 0.

Por razones obvias, se considera(1+z)α(y no zα) para desarrollar en potencias de z. En todo caso, es claro que simples cambios de variable llevan la informaci´on de una funci´on a otra.

Denotemos

f(z) = (1+z)α = expLog(1+z)),z = −1.

Esta funci´on es anal´ıtica en C\(−∞,−1] (por composici´on de anal´ıticas) y, por tanto, es anal´ıtica en 0. Esto, te´oricamente, nos dice que existe una serie de potencias centrada en 0 con radio R > 0, tal que

f(z) =

n=0

anzn

en un entorno de 0. Si derivamos por la regla de la cadena,

f(z) = αf(z)

1+z

y, as´ı, se debe cumplir la ecuaci´on

(1+z)f(z)αf(z) = 0. (1)

Por otra parte, la derivada de f es

f(z) =

n=1

annzn−1

Entonces, la ecuaci´on (1) queda ∞

n=1

annzn−1 +

n=1

annznα

n=0

anzn

= (a1 −αa0)+ ∞

n=1

(19)

en un entorno del origen. Luego todos los coeficientes deben ser 0, o sea,

(n+1)an+1 = n)an, n = 0,1,2, . . .

Empezando con a0 = f(0) =1, es f´acil comprobar por inducci´on que

an = α(α −1) . . . (αn+1) n!

Llamaremos a esta ´ultima cantidad n ´umero combinatorio generalizado y deno-taremos (paraαC)

α

n

= α(α −1) . . . (αn+1)

n! , nN;

α

0

= 1.

Por tanto, hemos obtenido

(1+z)α =

n=0

α

n

zn, (2)

en un entorno del origen.

Por ´ultimo, observemos que siα es un n´umero natural, αn= 0 si n > α y la ecuaci´on (2) no es otra cosa que la f´ormula del binomio de Newton.

En otro caso, es f´acil ver que la serie en (2) tiene radio R = 1. Tanto f como la serie son anal´ıticas en D(0;1) y coinciden en un entorno del origen. Entonces, por el P.P.A. tendremos

(1+z)α =

n=0

α

n

zn, |z| < 1.

Ra´ız cuadrada principal.

Cuando se particulariza lo anterior para el exponente α = 1/2, obtenemos el conjunto de las ra´ıces cuadradas y la ra´ız cuadrada principal. Nos encontramos ahora con un buen l´ıo de notaci´on: ¿qu´e significa z1/2? ¿qu´e significa √z? Los

(20)

En todo lo que sigue, salvo que se diga expresamente otra cosa, pondremos: (i) ±√z para el conjunto de las ra´ıces cuadradas de z, es decir,

±√z def= {wC : w2 = z}.

(Ojo: no es una notaci´on est´andar). Tiene sentido para todo zC, incluido

z = 0.

(ii) √z o z12 para la ra´ız cuadrada principal de z, es decir,

z def= z12 def= e(1/2)Log z.

Tiene sentido para todo zC\ {0}, aunque por comodidad puede ser conve-niente a veces escribir tambi´en√0= 012 = 0.

(ii.1) Seg´un este convenio, para todo zC es

±√z = {√z,−√z} = {z12,z 1 2}.

(ii.2) Cuando z sea un n´umero real no negativo, z ∈ [0,+∞), como z = 0 o Arg z = 0 se obtiene como ra´ız cuadrada principal de z justamente su ra´ız cuadrada real no negativa, con lo cual las notaciones introducidas son consistentes con las que empleamos para n´umeros reales.

Por lo que a desarrollos en serie de potencias respecta, bien repitiendo el proceso visto anteriormente o bien calculando

1/2

n

=(−1)n−11·3·5· · ·(2n−3)

2·4·6· · ·(2n) , n ≥ 2, que suele abreviarse mediante factoriales dobles en

1/2

n

=(−1)n−1(2n −3)!!

(2n)!! ,

queda, incluso si|z| = 1 (los coeficientes son del tama˜no de n−3/2),

1+z = 1+ 1 2 z +

n=2

(−1)n−1(2n−3)!!

(2n)!! z

n

= 1+ 1 2z

1 8z

2 + 1 16z

3 5 128z

(21)

Otro desarrollo importante, correspondiente aα = −1 2, es 1

1+z = 1+

n=1

(−1)n(2n−1)!!

(2n)!! z

n

= 1− 1 2z +

3 8z

2 5 16z

3 +. . . , |z| <1.

Del criterio de Dirichlet y el teorema del l´ımite de Abel se sigue que el desarrollo es v´alido siempre que|z| ≤ 1, z = −1.

3.6 OTRAS FUNCIONES ELEMENTALES

Funciones trigonom´etricas e hiperb ´olicas complejas.

Funciones trigonom´etricas como la tangente, cotangente, secante y cosecante, as´ı como las funciones hiperb´olicas, se pueden definir en C usando las f´ormulas que las definen en R. Las funciones obtenidas son las ´unicas extensiones anal´ıticas al dominio correspondiente de las funciones reales del mismo nombre. De entre las muchas relaciones y propiedades que podemos deducir f´acilmente, nos limitamos a se˜nalar un par de ellas que ligan funciones de distinto ‘grupo’.

Proposici´on. Dado zC,

Sh z = −i sen(i z), Ch z = cos(i z).

Otras funciones inversas

La funci´on arco tangente compleja.

Para su definici´on, de nuevo tendremos que tomar precauciones, porque la funci´on tangente en C no es inyectiva. Tendremos que empezar por resolver la ecuaci´on

tanw = z

para zC fijado. Aplicando la definici´on

tanw = z ⇐⇒   

eiw +eiw = 0

eiweiw eiw +eiw = i z

⇐⇒   

e2iw = −1

e2iw −1

e2iw +1 = i z

⇐⇒ (1−i z)e2iw=∗ 1+i z ⇐⇒

z =i,i

e2iw = 1+i z

(22)

Observamos en ∗ que si z = i ´o z = −i no puede haber soluci´on. Si z no es uno

de estos valores, las solucionesw son tales que

2iwlog

1+i z

1−i z

w ∈ 1

2i log

1+i z

1−i z

Hemos demostrado con ´esto que la funci´on tangente

tan : C\ {π

2 + : kZ} −→ C\ {i,i} es suprayectiva, y dado zC\ {i,i},

tanw = zw ∈ 1

2i log

1+i z

1−i z

As´ı, podr´ıamos escribir, para zC\ {i,i}, el conjunto

arctan z = 1 2i log

1+i z

1−i z

y, para tener una funci´on, elegimos alg´un logaritmo. Por supuesto, lo m´as l´ogico es trabajar (casi siempre) con el principal. As´ı, la funci´on arco tangente principal, que escribiremos Arctan z, ser´a

Arctan z = 1 2i Log

1+i z

1−i z

, z = i,i.

El dominio de definici´on es C\{i,i}. Veamos d´onde es anal´ıtica. Por composici´on de anal´ıticas lo ser´a en todos los puntos, salvo a lo m´as en aqu´ellos en que

1+i z

1−i zR

.

Hallemos estos z’s:

1+i z

1−i z = λ⇐⇒ z = i

1−λ 1+λ.

Cuandoλrecorre los n´umeros reales negativos, z recorre el conjunto

I = {i x : x(−∞,−1)∪[1,+∞)}.

Por tanto, la funci´on Arctan z es anal´ıtica en el abierto = C\ I . (Que no lo es

(23)

I i -i O

.

.

Notemos que, en particular, es anal´ıtica en el disco unidad. Vamos a hallar su desarrollo en serie de potencias de z. Por la regla de la cadena, es f´acil llegar a que

Arctan(z) = 1

1+z2, z. Si tenemos en cuenta que

1 1+z2 =

n=0

(−1)nz2n, |z| < 1, por igualdad de derivadas en D(0;1)(conexo),

Arctan z = ∞

n=0

(−1)n z 2n+1

2n+1, |z| < 1, salvo la adici´on de una constante C, de valor C =Arctan 0 = 0.

La funci´on Arctan es una extensi´on anal´ıtica (la ´unica posible en ) de la funci´on arco tangente real arc tg, inversa de la restricci´on de la tangente al intervalo

(π/2, π/2). (¿Por qu´e?)

Argumento principal y arco tangente real.

Para ciertos c´alculos que efectuaremos posteriormente conviene disponer de expresiones del argumento principal m´as manejables que su definici´on. Para cada

z = 0 se tiene

x = e z = |z| cos(Arg z), y = m z = |z| sen(Arg z),

luego tg(Arg z) = y/x si x = 0. Examinando los rangos de Arg y Arctan, se sigue

Arg(x +i y) =              Arctan y

x si x > 0;

Arctan y

x +π si x < 0, y ≥ 0;

Arctan y

xπ si x < 0, y < 0;

en esquema, repartido por cuadrantes,

Arg(x +i y) = Arg(x +i y) =

Arctan y

x + π Arctan y x

Arg(x +i y) = Arg(x +i y) =

Arctan y

(24)

La funci´on arco seno compleja.

Fijado zC, tenemos que resolver la ecuaci´on senw = z. Con nuestra

notaci´on

senw = zeiweiw = 2i z(eiw)2−2i zeiw −1= 0

eiwi z ±1−z2. (1)

N´otese que ±√1−z2 representa dos valores (los dos que elevados al cuadrado nos dan 1−z2).

Sea cual sea zC, ninguno de los dos valores de i z ±√1−z2 es 0, ya que

i z ∈ ±1−z2 ⇐⇒ −z2 = 1z2.

Por tanto, la ecuaci´on (1) siempre tiene soluci´on, a saber, aquellosw tales que

w ∈ 1

i log(i z±

1−z2).

Hemos demostrado entonces que

sen : C −→ C

es suprayectiva, y adem´as, para cada zC, podemos definir el conjunto

arcsen z = 1

i log(i z ±

1−z2)

donde, insistimos, por cada uno de los valores de z hay dos de√1−z2.

Si queremos una funci´on Arcsen z, elegiremos las ramas principales, tanto en el logaritmo, como en la raiz interior.

Arcsen z = 1

i Log(i z +

1−z2), zC.

El dominio de esta funci´on es todo C (si z = ±1, entendemos √0 = 0).

Veamos d´onde es anal´ıtica. Empezamos por la ra´ız interior. Ser´a anal´ıtica, excepto a lo m´as en los z’s tales que

(25)

Por tanto, la determinaci´on principal de 1−z2 es anal´ıtica en C\ ([1,+∞)

(−∞,−1]).

Ahora, en lo que respecta al logaritmo exterior, debemos quitar los z’s tales que i z +√1−z2 ∈ R. Pero,

i z+1−z2 = λR− ⇔ 1z2 = λi z (2) De aqu´ı, tiene que ser

1−z2 = i z)2 ⇒ z =i

1−λ2 2λ

. (3)

Al elevar al cuadrado, se pueden a˜nadir soluciones. Entonces, tenemos que llevar la expresi´on (3) a (2) y tenemos

1+ (1−λ 2)2

4λ2 = λ+

1−λ2 2λ

(1+λ2)2 4λ2 =

1+λ2 2λ .

Pero, comprobamos que la raiz principal de este n´umero es el n´umero positivo

(1+λ2)/2|λ|, de donde

(1+λ2) 2|λ| =

1+λ2

2λλ = |λ| = −λ.

Este argumento ha demostrado que nunca sucede i z +√1−z2 ∈ R. Por tanto, la ´unica limitaci´on es la del principio, y concluimos que:

La funci´on Arcsen es anal´ıtica en C\([1,+∞)(−∞,−1]).

En particular, lo es en D(0;1). Para hallar el correspondiente desarrollo en serie, primero, comprobamos por la regla de la cadena que

Arcsen(z) = √ 1

1−z2, zC\([1,+∞)(−∞,−1]). Por otro lado,

1

1−z2 = (1−z

2)−1/2 =

n=0

−1/2

n

(−1)nz2n, |z| < 1.

Integrando, (de nuevo la constante es C =Arcsen 0 =0),

Arcsen z = ∞

n=0

−1/2

n

(−1)n z 2n+1

Figure

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