Escuela Politécnica Superior de Elche Ecuaciones Diferenciales Problemas Tema 1: Ecuaciones de primer orden

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Escuela Politécnica Superior de Elche

Ecuaciones Diferenciales

Problemas

Tema 1: Ecuaciones de primer orden

1. Sea la ecuacióny0 = P (t; y)

Q(t; y); y(t0) =y0. Probar que siQ; P son funciones continuas

tales que @P @y;

@Q

@y son continuas, y Q(t0; y0) 6= 0, entonces la ecuación tiene una única solución.

2. Encuentra en las siguientes ecuaciones la región en la que el teorema de Picard garantiza la existencia y unicidad de la solución.

a)y0 =x2 +y2, b)y0 = x

y, c)y0 =

p

jx yj, d)y0 =pj1 y2j

3. En los siguientes problemas obtener un intervalo en el cual la solución existe y es única:

a) y0 =y2+ cos (t); y(0) = 0

b) y0 = 1 +y+y2cos (t); y(2) = 0

c) y0 =t+y2; y(1) = 0

d) y0 =e t2 +y2; y(0) = 0

4. Comprobar en qué puntos de la ecuación y0 = y1=3 se cumplen las condiciones del

teorema de Picard . Hallar dos soluciones del problema de Cauchy

y0 =y1=3; y(0) = 0:

5. Resolver las siguientes ecuaciones separables:

a)y0 = x2

1 y2; b)(1 +e

x)yy0 =ex; y(0) = 1, c) y0 =sen(x)yln (y); y

2 =e

d)xy4dx+ (y2+ 2)e 3xdy= 0, e)(1 +y2)dx+ (1 +x2)dy = 0, f)e y(1 +y0) = 1

(Sol: a)y3+x3 3y = 0, b)y=q1 + ln 1+ex

2 2

, c)y =ee cos(x)

, d)23y13 +

1

y x

3e 3x+

1 9e

3x = C, y y

1(t) 0, e)y = tg( arctg(x) +C), f)y ln (ey 1) +x = C, y

(2)

6. Resolver las siguientes ecuaciones lineales y reducibles a lineales (Bernoulli). En el caso de la ecuación f) hallar in…nitas soluciones distintas para la condición inicial y(0) = 0 :

a)(x2+ 1)y0+ 3xy = 6x, b)xy0 +y= 2; y(1) = 0, c)y0 x

9 x2y=

1

9 x2; y(0) = 0 d)x0 =x+y2, e)xy0+y=xy2ln (x), f)y0 = 3ty+t4y1=3, g)y3y0+xy4 =xe x2 (Sol: a)y = 2 + C(x2+ 1) 32, b)y = 2 x 1

x , c)y = 2(9 x2)12

arc cos(x3) (9 x2)12 , d)x

=

y2 2y 2 +Cey, e)y = 1

Cx xln2(jxj)=2, yy1(t) 0, f)y2 = Ct2+ 29t5 3,y1(t) 0

y y2

C(t) = Ct2+

2 9t

5 3,

8C, son soluciones con y(0) = 0, g)y4 =Ce 2x2

+ 2e x2 )

7. Resolver las siguientes ecuaciones homogéneas:

a)xy0 =px2 y2+y, b)ty0 =y t

c)dy dt =

t2+ty+y2

t2 ; y(1) = 1

En el caso c) mostrar, usando el teorema de Picard, que el problema de Cauchy tiene una única solución local y hallar el intervalo de existencia de la solución.

(Sol: a)y(x) =xsen(ln (jxj) +C), yy1(x) =x; y2(x) = x, b)y(t) = t( ln (jtj) +C),

c)y(t) =t tg lnjtj+ 4 ,t 2 e 34 ; e4 )

8. Resolver las siguientes ecuaciones:

a)y0 =y2 4; y(0) = 1 o y(0) = 2, b) y0 =y y3, c)y0 =sen2(y), d)y0 =et+y

e)y0+y=ex, f)x0 xcos (y) = cos (y); g)(x+ 2)sen(y)dx+xcos (y)dy= 0,

h)y0 = x2+y2

xy x2, i)xyy0 y

2 =x4, j)y0 = 2xy+y6, k)y0 = y2+yx

x2 ,y(1) = 0,y(1) = 1 y y(0) = 1:

En el caso de los apartados a) y k) determinar el intervalo de existencia de las soluciones. En k) mostrar que en los dos primeros puntos se cumplen las condiciones del Teorema de Picard y en el tercero no.

(Sol: a)y = 2(1 3e

4x)

1+3e4x ; y 2, x 2 ( 1;+1) (en ambos casos) b)y2 = Ce2x

1+Ce2x; y

y1(x) = 1; y2(x) = 1, c)y(t) = arccotg( t+C) y yj(t) = 0 j;8j = 0;1;2:::,

d)y = ln et1+C , e)y =

1 2e

x +Ce x, f)x = 1 +Cesen(y), g)y = arcsen Ce x

x2 y

yk(t) = k , 8k 2 Z, h) e y

x x

(y+x)2 = C y y(x) = x, i)y

2 = x4 +Cx2, j) y(x) =

5

q 1

1 2+Ce5x

2 yy(x) = 0, k)y(x) = 0; x2( 1;+1); y(x) =

2x

3x2 1; x2

1

p

3;+1 ;y

no hay solución siy(0) = 1)

9. La ecuación que modeliza la velocidad de caída de un paracaidista es

mdv

dt =mg kv

2:

(3)

(Sol: v(t) = pmgk 1+De2

pkg m t

1+De2

pkg m t

y v1 =

pmg

k )

10. Los átomos de ciertos elementos radioactivos se desintegran de manera espontánea y se transforman en átomos de un nuevo elemento. Rutheford mostró que la velocidad de desintegración es proporcional a al cantidad de átomos. Por tanto, siN(t) es la cantidad de átomos del elemento en el momentotesta variable satisface la ecuación diferencial

dN

dt = N; para cierta constante >0.

a) Resolver el problema de Cauchy N(t0) = N0:

b) La media vida TM V de una sustancia radioactiva es el tiempo transcurrido

hasta que desaparece la mitad de la misma. HallarTM V en función de :

c) El valor de para el carbono-14 es1:237 8 10 4 1/años. Hallar su tiempo de

media vida (Sol: 5600 años).

11. Sea y(t) la temperatura de un objeto en el momento del tiempo t, y sea T la temperatura ambiente. La ley de enfriamiento de Newton nos dice que

dy

dt =K(T y);

donde K > 0 es una constante. Supongamos que una taza de café tiene una tem-peratura de 95 oC cuando acaba de servirse y un minuto después se ha enfriado a

85oC en un recinto cuya temperatura es de 25 grados:

a) Hallar la constante K (Sol: K = ln(7=6)).

b) Determinar en cuantos minutos alcanza una temperatura de 65 grados. (Sol:

3;63 minutos)

12. Supongamos que la población de la Tierra cambia con una rapidez proporcional a la población. En el momento t = 0 (año 1650) la población era de 600 millones, mientras que en el instantet= 300(año 1950) era de 2.8 miles de millones. Estimar la población de la Tierra en el año 2055 (Sol:4800;76 millones).

13. Una batería con voltaje E(t) = t se conecta a un circuito en serie, con un con-densador de C = 1 faradio y una resistencia de R = 1 ohmio (ver la …gura 1). Determinar la carga Q(t) y corriente I(t) en cada momento del tiempo si en el momento inicial Q(0) = 0: ¿A qué converge la corriente cuandot!+1?

(Sol: Q(t) =t 1 +e t, I(t) = 1 e t)

14. Dado el circuito que se muestra en la …gura 1, en el que la caída de tensión en la resistencia viene descrita por la funciónVR(I) =I2,I >0;obtener que la ecuación

de primer orden que rige la corriente I siE(t) = t, C = 1 es la siguiente:

2IdI

(4)

E

Condensador

C

Resistencia

R

+

-Fuente

de voltaje

Condensador

C

Figura 1: Circuito RC en serie

Resolver la ecuación si I(0) = 0:

(Sol: eI(I 1) = e 2t)

15. Consideremos el circuito que se muestra en la …gura 2. En éste tenemos una fuente de corriente de 1 amperio, un condensador con capacitancia C = 1 faradio y una resistencia tal que R = 1 ohmio. Aplicando las leyes de Kirchho¤ mostrar que la corriente IR se describe mediante la ecuación diferencial

dIR

dt +IR = 1:

Resolver la ecuación para la condición inicialIR(0) = 0:

(Sol: IR(t) = 1 +e t)

16. Consideremos el circuito que se muestra en la …gura 3. En éste tenemos una fuente de corriente de 3 amperios, una bobina de 1henry y una resistencia no lineal cuya caída de tensión esVR(I) =IR3 4IR. Mostrar que el circuito se modeliza mediante

una ecuación diferencial de primer orden

d

dtIR= 4IR I

3

R (2)

y obtener su solución general. (Sol: I2

R=

1

1 4+Ce 8t

y IR(t) = 0)

(5)

I

A

B

I

R

I

C

Figura 2: Circuito RC en paralelo

a)y0 = k(y 1)2

; k >0, b)y0 =y2(y2 1).

Dibujar la grá…ca de las soluciones.

18. La dinámica de una población de peces en el océano se rige por la ecuación de Verhulst con un término añadido que nos describe la velocidad de desaparición debido a la pesca. Según un modelo creado por el biólogo Schaefer, la pesca sería proporcional a la cantidad de peces (a mayor cantidad, más fácil es capturarlos):

dN

dt =aN 1 N

K EN;

donde E; a >0. Analizar el comportamiento cualitativo si a)E < a, b)E a:

19. En otro modelo se supone que la pesca es constante (no depende de la cantidad de peces). Esta hipótesis parece razonable si la cantidad es grande. Tenemos el modelo:

dN

dt =aN 1 N

K E;

donde E; a > 0. Analizar el comportamiento cualitativo si a)E > ak4, b)E = ak4, c)E < ak4.

20. Dada la ecuación del paracaidista

mdv

dt =mg kv

(6)

I

A

B

I

R

I

L

Figura 3: Circuito RL en paralelo

analizar el comportamiento cualitativo de las soluciones. ¿Tiene sentido físico el resultado si la condición inicial es negativa?

21. Dada la ecuación (2), dibujar el diagrama de fases y analizar cualitativamente las trayectorias. Analizar la estabilidad de los puntos críticos.

22. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales

a) y0 =x2 y cony(0) = 1, y(x) = e x+x2 2x+ 2.

b) y0 = 3y+ 3x cony(0) = 1, y(x) = 4 3e

3x x 1 3

utilizando el método de Euler. Realizar los siguientes pasos:

a) Tomarh= 0;2y realizar dos pasos calculando los valores a mano. Luego tomar h= 0;1 y realizar cuatro pasos calculando los valores a mano.

b) Comparar la solución exacta y(0;4) con las dos aproximaciones calculadas en el apartado 22a

c) ¿Se comporta el error global …nal de las aproximaciones obtenidas en el aparta-do 22a como se espera cuando h se divide entre dos?

23. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de Heun:

y0 =x2 y cony(0) = 1, y(x) = e x+x2 2x+ 2.

(7)

b) Tomarh= 0;2y realizar dos pasos calculando los valores a mano. Luego tomar h= 0;1 y realizar cuatro pasos calculando los valores a mano.

c) Comparar la solución exacta y(0;4) con las dos aproximaciones calculadas en el apartado 23b

d) ¿Se comporta el error global …nal de las aproximaciones obtenidas en el aparta-do 23b como se espera cuando h se divide entre dos?

24. Resolver la siguiente ecuación diferencial

y0 =x2 y cony(0) = 1, y(x) = e x+x2 2x+ 2

utilizando el método de Runge-Kutta. Realizar los siguientes pasos:

a) Tomar h= 0;2 y realizar un paso calculando los valores a mano. Luego tomar h= 0;1y realizar dos pasos calculando los valores a mano (usar ocho decimales en los cálculos).

b) Comparar la solución exacta y(0;2) con las dos aproximaciones calculadas en el apartado 24a

Figure

Figura 1: Circuito RC en serie

Figura 1.

Circuito RC en serie. View in document p.4
Figura 2: Circuito RC en paralelo

Figura 2.

Circuito RC en paralelo. View in document p.5
Figura 3: Circuito RL en paralelo

Figura 3.

Circuito RL en paralelo. View in document p.6

Referencias

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