Lares Dominguez Nadia U2

(1)

Subdirección Académica.

Departamento de Sistemas y

Computación.

Ing. Tecnologías de la Información y Comunicaciones.

Semestre Agosto - Diciembre 2013

Álgebra Lineal 6TI3A

Profesor: Bermúdez Jiménez María Eugenia.

Unidad 2 “Matrices y Determinantes”

Alumno: Lares Domínguez Nadia Lizeth 12211497

17/Septiembre/2013

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Índice.

Unidad 2.-‐ Matrices y Determinantes.

2.1 Definición de matriz. ... 2

2.2 Operaciones con Matrices. ... 3

Propiedades de las operaciones: ... 3

Suma de matrices: ... 4

Resta de matrices: ... 5

Multiplicación de Matrices. ... 6

Multiplicación por una escalar: ... 6

Multiplicación de una matriz fila por una matriz columna: ... 6

Producto de una matriz m x n con una matriz n x p: ... 7

Potencias de matrices: ... 8

Transpuesta de una matriz: ... 9

2.3 Clasificación de matrices. ... 9

2.4 Transformaciones elementales por renglón. ... 10

Operaciones elementales de renglón para matrices ... 10

2.5 Calculo de matriz inversa. ... 11

Método de Gauss-‐Jordan para encontrar la inversa de una matriz ... 11

Propiedades de la matriz inversa: ... 12

2.6 Definición de determinantes de una matriz. ... 12

Interpretación geométrica de un determinante de 2x2 ... 12

Calculo de un determinante 3x3 ... 13

Determinante de una matriz triangular inferior. ... 14

2.7 Propiedades de los determinantes. ... 14

2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta. ... 15

2.9 Aplicación de matrices y determinantes. ... 16

Bibliografía: ... 18

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Matrices y Determinantes

.

2.1 Definición de matriz.

“Una matriz es un arreglo rectangular de números llamados entradas, o elementos, de la matriz”[2].

“El tamaño de una matriz es una descripción de los números de renglones y columnas que tiene. Una matriz se llama de m x n (dígase “m por n”) si tiene m renglones y n columnas. Una matriz de 1 x n se llama matriz renglón (o vector renglón), y una matriz de n x 1 se llama matriz columna (o vector columna)”[2].

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Se usa la notación de doble subíndice para referirse a las entradas de una matriz A. La entrada de A en el renglón i y la columna j se denota mediante aij. Por tanto:

• “A es una matriz de 2 × 3 con a12 = 2, a13 = 3, a22 = 0 y a23 = 1;

• B es una matriz de 2 × 2, con b11 = 1, b12 = 4, b21 = 2 y b22 = −3;

• C es una matriz de 3 × 1, con c11 =1,c21 =−1 y c31 =2;

• D es una matriz de 3×3; • E es una matriz de1×1 • F es una matriz de 1 × 3.

• En D, los elementos d11 = 1, d22 = 0 y d33 = 2 forman la diagonal principal”[1].

2.2 Operaciones con Matrices.

Propiedades de las operaciones:

“Sean A, B y C matrices del mismo tamaño, y sean c y d escalares. Entonces a. A + B = B + A

b. (A + B) + C = A + (B + C) c. A + 0 = A

d. A + (-‐A) = 0 e. c(A + B) = cA + cB f. (c + d) A = cA + dA g. c(dA) = (cd)A h. 1A = A”[2].

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Suma de matrices:

“Para generalizar la suma de vectores, se define la suma de matrices por componentes. Si A= [_aij] y B =[_bij] son matrices de m x n, su suma A + B es la matriz de m x n que se obtiene al sumar las entradas correspondientes. Por tanto,

A + B = [aij + bij]”[2].

“La suma de dos matrices sólo se puede realizar cuando estas tienen el mismo tamaño y el resultado es también una matriz m×n[3]”.

Ejemplo:

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Resta de matrices:

Para realizar la resta de matices se necesita lo mismo que para la suma, solo que ahora se restaran los vectores. Por lo tanto, “Si A= [_aij] y B =[_bij] son matrices de m x n, su resta A -‐ B es la matriz de m x n que se obtiene al restar las entradas correspondientes.

A -‐ B = [aij -‐ bij]” [2].

Ejemplo:

A – B =

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Multiplicación de Matrices.

Multiplicación por una escalar:

“Si A=[aij] es una matriz de m×n y r es un número real, el múltiplo escalar de A por r, rA, es la matriz B = [bij] de m × n, donde

bij = raij (i ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n). Es decir, B se obtiene multiplicando cada elemento de A por r.

”[1].

Multiplicación de una matriz fila por una matriz columna:

“El producto de una matriz fila con una matriz columna sólo se puede llevar a cabo cuando la primera tiene tamaño 1 × n y la segunda n × 1 (las dos tienen el mismo número de componentes) y el resultado de la operación será una matriz 1×1 (un número real).

” [3].

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Producto de una matriz m x n con una matriz n x p:

“Si A = [aij] ∈ M m×n y B = [bij] ∈ Mn×p, el producto de A con B se define como AB = [cij] donde

para i = 1,2,...,m y j = 1,2,...,p. Es decir, la componente cij del producto AB es el resultado de multiplicar la i-‐e ́sima fila de A con la j-‐ésima columna de B. Además, para poder efectuar el producto, la primera matriz debe tener el mismo número de columnas que de filas la segunda y la matriz AB tiene entonces tamaño m× p. En forma equivalente, si Fi, i = 1,...,m, son las filas de A y Cj, j = 1,..., p, son las columnas de

B”[3].

Ejemplo:

La primera fila de AB: Los elementos de la primera fila de AB se obtienen multiplicando, sucesivamente, la primera fila de A con la primera, segunda, tercera y cuarta columnas de B:

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La segunda fila de AB: Los elementos de la segunda fila de AB se obtienen multiplicando, sucesivamente, la segunda fila de A con la primera, segunda, tercera y cuarta columnas de B:

Entonces, el resultado es:

”[3].

Potencias de matrices:

“Cuando A y B son dos matrices de n x n, su producto AB también será una matriz de n x n. Un caso especial ocurre cuando A = B. Tiene sentido definir A2 = AA y, en gene-‐ ral, definir Ak como..

AK _{= AA…A}

si k es un entero positivo. Por ende, A1 = A y es conveniente definir A0 = _In”[2].

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Transpuesta de una matriz:

“La transpuesta de una matriz A de m x n es la matriz AT de n x m que se obtiene al intercambiar las renglones y columnas de A. Esto es: la i-‐ésima columna de AT es el i-‐ésimo renglón de A para toda i.

Una definición alternativa de la transpuesta se da como:

(AT₎_ij_{= A}_ji_{para toda i y j.}

La transpuesta también se usa para definir un tipo muy importante de matriz cuadrada: una matriz simétrica.

Una matriz cuadrada es simétrica si AT_{= a; esto es: si A es igual a su propia}

transpuesta”[2].

2.3 Clasificación de matrices.

• Matriz cero: La matriz cero es de tamaño mxn se define como aquella que

tiene las mxn componentes nulas.

• Matriz identidad nxn: Son cuadradas y la diagonal principal son 1s.

• Matriz Cuadrada: Matrices de tamaño nxn.

• Matriz triangular superior: Si los componentes que están por debajo de la

(11)

• Matriz triangular inferior: Si los componentes que están por arriba de la

diagonal principal son todos ceros.

• Matriz diagonal: Si todos los componentes fuera de la diagonal son ceros.

• Matriz Transpuesta: Si A = [aij] ∈ Mm×n se define la matriz transpuesta de A

como At = [bij], donde bij = aji para i = 1,2,...,n y j = 1,2,...,m.

• Matriz simétrica: At = A.

2.4 Transformaciones elementales por renglón.

Operaciones elementales de renglón para matrices

1. Intercambio de filas: Ri ←→ R j . 2. Cambio de escala: Ri ←→ αRi (α ̸= 0). 3. Suma de filas: Ri ←→ αRi +βRj (α ̸= 0).

Las cuales significan, respectivamente:

• La fila i se intercambia con la fila j.

• La fila i se cambia por la misma fila multiplicada por α.

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2.5 Calculo de matriz inversa.

Método de Gauss-‐Jordan para encontrar la inversa de una matriz

“Para determinar si una matriz A es invertible y hallar su inversa, en tal caso, se procede de la siguiente manera:

1. Formamos la matriz aumentada [A|I]. Donde I es la identidad del mismo tamaño de A.

2. Se lleva A mediante el método de Gauss-‐Jordan a la identidad, aplicando simultáneamente las mismas operaciones de renglón en el lado derecho de la partición.

3. Al llegar a [I|B],B=A−1.

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Propiedades de la matriz inversa:

• “Si A es una matriz no singular, entonces A−1 es no singular y (A−1)−1 = A. • Si A y B son matrices no singulares, entonces AB es no singular y (AB)−1 =

B−1A−1.

• Si A es una matriz no singular, entonces (AT)−1 = (A−1)T”[1].

2.6 Definición de determinantes de una matriz.

“Sea una matriz 2 x 2 se define al determinante de A como: Det A = a11a22 – a12a21

Con frecuencia se detona det A por:

Ejemplo:

A = 2 5

4 3

|A| = 2(3) – 5(4) = 6 – 20 = -‐14

Interpretación geométrica de un determinante de 2x2 Sea 𝐴 = 𝑎 𝑏

𝑐 𝑑 . En la figura se graficaron los puntos (a, c) y (b, d) en el

plano xy y se dibujaron los segmentos de recta de (0, 0) a cada uno de estos puntos. Se supone que estas dos rectas no son colineales. Esto equivale a suponer que (b, d) no es un múltiplo de (a, c).

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Calculo de un determinante 3x3

Sea 𝐴 =

𝑎!! 𝑎!" 𝑎!"

𝑎_!" 𝑎_!! 𝑎_!"

𝑎!" 𝑎!" 𝑎𝑎!!

entonces

Det A = |A| = a11 𝑎_𝑎!! 𝑎!"

!" 𝑎!! -‐ a12

𝑎_!" 𝑎_!"

𝑎_!" 𝑎_!! + a13 𝑎_𝑎!" 𝑎!!

!" 𝑎!"

Ejemplo:

Existe otro método para el calculo de determinantes 3 x 3. Se escribe A y se le adjuntan sus primeras dos columnas:

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Determinante de una matriz triangular inferior.

La matriz es triangular inferior. Calcule |A|

”[4].

2.7 Propiedades de los determinantes.

1. “|AB| = |A||B|. 2. |AT_{| = |A|.}

3. Si A es una matriz invertible |A-‐1_{| =}!

!

4. Si A es triangula superior o inferior, el determinante de A es el producto de los elementos de la diagonal.

5. Supongamos que B es equivalente a la matriz A al aplicarle una operación de renglón:

a. Si B se obtiene de A mediante la operación de renglón 𝑅_{! ↔}𝑅_!, entonces |A|=-‐|B|

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c. Si B se obtiene con la operación 𝑅! ↔ ∝𝑅!,∝≠0, entonces |A| = (1/∝)|B|”[3].

2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta.

“Sea A una matriz de n x n invertible. Entonces 𝐴!! ₌ !

!"#! 𝑎𝑑𝑗 𝐴” [2].

Calcular la inversa de:

A= 12 22 −14 1 3 −3

Calcule det A = -‐2 y los nueve cofactores.

La adjunta es la transpuesta de la matriz de cofactores.

Adj A = −183 −210 −41 10 −6 −2

!

= −1018 −32 −106

4 −1 −2

Entonces:

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2.9 Aplicación de matrices y determinantes.

“Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirven para clasiﬁcar valores numéricos atendiendo a dos criterios o variables.

Ejemplo: Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y fresa (F). Todos ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al

precio (en euros) indicado por la tabla siguiente:

Sabiendo que en un año se venden el siguiente número de paquetes:

Resumir la información anterior en 2 matrices A y B, de tamaño respectivo 2x3 y 3x2 que recojan las ventas en un año (A) y los precios (B).

Nos piden que organicemos la información anterior en dos matrices de tamaño concreto. Si nos ﬁjamos en las tablas, es sencillo obtener las matrices:

Estas matrices se denominan matrices de información, y simplemente recogen los datos numéricos del problema en cuestión.

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Otras matrices son las llamadas matrices de relación, que indican si ciertos elementos están o no relacionados entre sí. En general, la existencia de relación se expresa con un 1 en la matriz y la ausencia de dicha relación de expresa con un 0.

Estas matrices se utilizan cuando queremos trasladar la información dada por un grafo y expresar numéricamente.

En Matemáticas, un grafo es una colección cualquiera de puntos conectados por líneas. Existen muchos tipos de grafos. Entre ellos, podemos destacar:

• Grafo simple: Es el grafo que no contiene ciclos, es decir, líneas que unen un punto consigo mismo, ni líneas paralelas, es decir, líneas que conectan el mismo par de puntos.

• Grafo dirigido: Es el grafo que indica un sentido de recorrido de cada línea, mediante una ﬂecha.

Relacionadas con los grafos se pueden deﬁnir algunas matrices. Entre todas ellas, nosotros nos ﬁjaremos en la llamada matriz de adyacencia, que es aquella formada por ceros y unos exclusivamente, de tal forma que:

• un 1 en el lugar (i,j) expresa la posibilidad de ir desde el punto de la ﬁla i hasta el punto de la columna j mediante una línea que los une directamente.

• un 0 en el lugar (i,j) expresa la imposibilidad de ir al primer punto al segundo mediante una línea que los une directamente”[5].

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