Lares Dominguez Nadia U2

Texto completo

(1)

Subdirección Académica.

Departamento de Sistemas y

Computación.

Ing. Tecnologías de la Información y Comunicaciones.

Semestre Agosto - Diciembre 2013

Álgebra Lineal 6TI3A

Profesor: Bermúdez Jiménez María Eugenia.

Unidad 2 “Matrices y Determinantes”

Alumno: Lares Domínguez Nadia Lizeth 12211497

17/Septiembre/2013

                 

(2)

Índice.  

Unidad  2.-­‐  Matrices  y  Determinantes.  

2.1  Definición  de  matriz.  ...  2  

2.2  Operaciones  con  Matrices.  ...  3  

Propiedades  de  las  operaciones:  ...  3  

Suma  de  matrices:  ...  4  

Resta  de  matrices:  ...  5  

Multiplicación  de  Matrices.  ...  6  

Multiplicación  por  una  escalar:  ...  6  

Multiplicación  de  una  matriz  fila  por  una  matriz  columna:  ...  6  

Producto  de  una  matriz  m  x  n  con  una  matriz  n  x  p:  ...  7  

Potencias  de  matrices:  ...  8  

Transpuesta  de  una  matriz:  ...  9  

2.3  Clasificación  de  matrices.  ...  9  

2.4  Transformaciones  elementales  por  renglón.  ...  10  

Operaciones  elementales  de  renglón  para  matrices  ...  10  

2.5  Calculo  de  matriz  inversa.  ...  11  

Método  de  Gauss-­‐Jordan  para  encontrar  la  inversa  de  una  matriz  ...  11  

Propiedades  de  la  matriz  inversa:  ...  12  

2.6  Definición  de  determinantes  de  una  matriz.  ...  12  

Interpretación  geométrica  de  un  determinante  de  2x2  ...  12  

Calculo  de  un  determinante  3x3  ...  13  

Determinante  de  una  matriz  triangular  inferior.  ...  14  

2.7  Propiedades  de  los  determinantes.  ...  14  

2.8  Inversa  de  una  matriz  cuadrada  a  través  de  la  adjunta.  ...  15  

2.9  Aplicación  de  matrices  y  determinantes.  ...  16  

Bibliografía:  ...  18    

(3)

Matrices  y  Determinantes

.

 

2.1  Definición  de  matriz.  

 

  “Una  matriz  es  un  arreglo  rectangular  de  números  llamados  entradas,  o   elementos,  de  la  matriz”[2].  

 

“El  tamaño  de  una  matriz  es  una  descripción  de  los  números  de  renglones  y   columnas   que   tiene.   Una   matriz   se   llama   de   m   x   n   (dígase   “m   por   n”)   si   tiene   m   renglones   y   n   columnas.   Una   matriz   de   1   x   n   se   llama   matriz   renglón   (o   vector   renglón),  y  una  matriz  de  n  x  1  se  llama  matriz  columna  (o  vector  columna)”[2].  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4)

Se  usa  la  notación  de  doble  subíndice  para  referirse  a  las  entradas  de  una  matriz  A.   La  entrada  de  A  en  el  renglón  i  y  la  columna  j  se  denota  mediante  aij.  Por  tanto:    

 

A  es  una  matriz  de  2  ×  3  con  a12  =  2,  a13  =  3,  a22  =  0  y  a23  =  1;    

B  es  una  matriz  de  2  ×  2,  con  b11  =  1,  b12  =  4,  b21  =  2  y  b22  =  −3;    

C  es  una  matriz  de  3  ×  1,  con  c11  =1,c21  =−1  y  c31  =2;    

D  es  una  matriz  de  3×3;    E  es  una  matriz  de1×1  F  es  una  matriz  de  1  ×  3.    

• En  D,  los  elementos  d11  =  1,  d22  =  0  y  d33  =  2  forman  la  diagonal  principal”[1].  

2.2  Operaciones  con  Matrices.  

Propiedades  de  las  operaciones:    

“Sean  A,  B  y  C  matrices  del  mismo  tamaño,  y  sean  c  y  d  escalares.  Entonces   a. A  +  B  =  B  +  A  

b. (A  +  B)  +  C  =  A  +  (B  +  C)   c. A  +  0  =  A  

d. A  +  (-­‐A)  =  0   e. c(A  +  B)  =  cA  +  cB   f. (c  +  d)  A  =  cA  +  dA   g. c(dA)  =  (cd)A   h. 1A  =  A”[2].    

(5)

Suma  de  matrices:    

“Para   generalizar   la   suma   de   vectores,   se   define   la   suma   de   matrices  por   componentes.  Si  A=  [aij]  y  B  =[bij]  son  matrices  de  m  x  n,  su  suma  A  +  B  es  la  matriz   de  m  x  n  que  se  obtiene  al  sumar  las  entradas  correspondientes.  Por  tanto,  

A  +  B  =  [aij  +  bij]”[2].  

“La  suma  de  dos  matrices  sólo  se  puede  realizar  cuando  estas  tienen  el  mismo   tamaño  y  el  resultado  es  también  una  matriz  m×n[3]”.  

 

Ejemplo:  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6)

Resta  de  matrices:    

Para  realizar  la  resta  de  matices  se  necesita  lo  mismo  que  para  la  suma,  solo   que  ahora  se  restaran  los  vectores.  Por  lo  tanto,  “Si  A=  [aij]  y  B  =[bij]  son  matrices  de   m  x  n,   su  resta   A   -­‐  B  es   la   matriz   de  m  x  n  que   se   obtiene   al   restar   las   entradas   correspondientes.    

A  -­‐  B  =  [aij  -­‐  bij]”  [2].  

  Ejemplo:  

 

                                               

         

A  –  B  =  

 

     

(7)

Multiplicación  de  Matrices.  

Multiplicación  por  una  escalar:    

   

 “Si  A=[aij]  es  una  matriz  de  m×n  y  r  es  un  número  real,  el  múltiplo  escalar  de   A  por  r,  rA,  es  la  matriz  B  =  [bij]  de  m  ×  n,  donde  

bij  =  raij  (i  ≤  i  ≤  m,  1  ≤  j  ≤  n).  Es  decir,  B  se  obtiene  multiplicando  cada  elemento  de  A   por  r.  

”[1].    

Multiplicación  de  una  matriz  fila  por  una  matriz  columna:  

 

“El  producto  de  una  matriz  fila  con  una  matriz  columna  sólo  se  puede  llevar  a   cabo   cuando   la   primera   tiene   tamaño   1   ×  n  y   la   segunda  n  ×   1   (las   dos   tienen   el   mismo  número  de  componentes)  y  el  resultado  de  la  operación  será    una  matriz  1×1   (un  número  real).  

 

”  [3].    

(8)

Producto  de  una  matriz  m  x  n  con  una  matriz  n  x  p:  

   

“Si  A  =  [aij]  ∈  M  m×n  y  B  =  [bij]  ∈  Mn×p,  el  producto  de  A  con  B  se  define  como   AB  =  [cij]  donde  

                 

para  i  =   1,2,...,m  y  j  =   1,2,...,p.   Es   decir,   la   componente  cij  del   producto  AB  es   el   resultado  de  multiplicar  la  i-­‐e  ́sima  fila  de  A  con  la  j-­‐ésima  columna  de  B.  Además,   para  poder  efectuar  el  producto,  la  primera  matriz  debe  tener  el  mismo  número  de   columnas   que   de   filas   la   segunda   y   la   matriz  AB  tiene   entonces   tamaño  m×  p.   En   forma  equivalente,  si  Fi,  i  =  1,...,m,  son  las  filas  de  A  y  Cj,  j  =  1,...,  p,  son  las  columnas  de  

B”[3].  

         

Ejemplo:  

 

La   primera   fila   de   AB:   Los   elementos   de   la   primera   fila   de   AB   se   obtienen   multiplicando,  sucesivamente,  la  primera  fila  de  A  con  la  primera,  segunda,  tercera  y   cuarta  columnas  de  B:    

           

 

 

 

(9)

La   segunda   fila   de   AB:   Los   elementos   de   la   segunda   fila   de   AB   se   obtienen   multiplicando,  sucesivamente,  la  segunda  fila  de  A  con  la  primera,  segunda,  tercera  y   cuarta  columnas  de  B:  

 

 

Entonces,  el  resultado  es:  

”[3].  

 

Potencias  de  matrices:    

“Cuando  A  y  B  son  dos  matrices  de  n  x  n,  su  producto  AB  también  será  una   matriz  de  n  x  n.  Un  caso  especial  ocurre  cuando  A  =  B.  Tiene  sentido  definir  A2  =  AA   y,  en  gene-­‐  ral,  definir  Ak  como..  

      AK  =  AA…A  

si  k  es  un  entero  positivo.  Por  ende,  A1  =  A  y  es  conveniente  definir  A0  =  In”[2].  

                     

(10)

Transpuesta  de  una  matriz:  

“La   transpuesta   de   una   matriz   A   de   m   x   n   es   la   matriz   AT   de  n  x  m  que  se   obtiene  al  intercambiar  las  renglones  y  columnas  de  A.  Esto  es:  la  i-­‐ésima  columna   de  AT  es  el  i-­‐ésimo  renglón  de  A  para  toda  i.  

               

Una  definición  alternativa  de  la  transpuesta  se  da  como:  

      (AT)ij  =  Aji  para  toda  i  y  j.  

La   transpuesta   también   se   usa   para   definir   un   tipo   muy   importante   de   matriz   cuadrada:  una  matriz  simétrica.  

Una   matriz   cuadrada   es   simétrica   si   AT=   a;   esto   es:   si   A   es   igual   a   su   propia  

transpuesta”[2].  

 

2.3  Clasificación  de  matrices.  

 

 

• Matriz  cero:  La  matriz  cero  es  de  tamaño  mxn  se  define  como  aquella  que  

tiene  las  mxn  componentes  nulas.  

 

• Matriz  identidad  nxn:  Son  cuadradas  y  la  diagonal  principal  son  1s.  

 

• Matriz  Cuadrada:  Matrices  de  tamaño  nxn.  

• Matriz  triangular  superior:  Si  los  componentes  que  están  por  debajo  de  la  

(11)

• Matriz  triangular  inferior:  Si  los  componentes  que  están  por  arriba  de  la  

diagonal  principal  son  todos  ceros.  

 

• Matriz  diagonal:  Si  todos  los  componentes  fuera  de  la  diagonal  son  ceros.  

 

• Matriz  Transpuesta:  Si  A  =  [aij]  ∈  Mm×n  se  define  la  matriz  transpuesta  de  A  

como  At  =  [bij],  donde  bij  =  aji  para  i  =  1,2,...,n  y  j  =  1,2,...,m.  

 

• Matriz  simétrica:  At  =  A.  

 

2.4  Transformaciones  elementales  por  renglón.  

Operaciones  elementales  de  renglón  para  matrices  

             

1.  Intercambio  de  filas:  Ri  ←→  R  j  .   2.  Cambio  de  escala:  Ri  ←→  αRi  (α  ̸=  0).     3.  Suma  de  filas:  Ri  ←→  αRi  +βRj  (α  ̸=  0).  

             

Las  cuales  significan,  respectivamente:  

             

•  La  fila  i  se  intercambia  con  la  fila  j.  

•  La  fila  i  se  cambia  por  la  misma  fila  multiplicada  por  α.  

(12)

2.5  Calculo  de  matriz  inversa.  

 

Método  de  Gauss-­‐Jordan  para  encontrar  la  inversa  de  una  matriz  

 

“Para  determinar  si  una  matriz  A  es  invertible  y  hallar  su  inversa,  en  tal  caso,  se   procede  de  la  siguiente  manera:  

1. Formamos  la  matriz  aumentada  [A|I].  Donde  I  es  la  identidad  del  mismo   tamaño  de  A.  

2. Se  lleva  A  mediante  el  método  de  Gauss-­‐Jordan  a  la  identidad,  aplicando   simultáneamente    las  mismas  operaciones  de  renglón  en  el  lado  derecho  de   la  partición.  

3. Al  llegar  a  [I|B],B=A−1.  

(13)

Propiedades  de  la  matriz  inversa:  

• “Si  A  es  una  matriz  no  singular,  entonces  A−1  es  no  singular  y  (A−1)−1  =  A.   • Si  A  y  B  son  matrices  no  singulares,  entonces  AB  es  no  singular  y  (AB)−1  =  

B−1A−1.  

• Si  A  es  una  matriz  no  singular,  entonces  (AT)−1  =  (A−1)T”[1].  

2.6  Definición  de  determinantes  de  una  matriz.  

 

  “Sea   una  matriz  2  x  2  se  define  al  determinante  de  A  como:   Det  A  =  a11a22  –  a12a21  

 

Con  frecuencia  se  detona  det  A  por:  

  Ejemplo:  

A  =   2 5

4 3  

 

|A|  =  2(3)  –  5(4)  =  6  –  20  =  -­‐14  

Interpretación  geométrica  de  un  determinante  de  2x2   Sea  𝐴 =   𝑎 𝑏

𝑐 𝑑 .  En  la  figura    se  graficaron  los  puntos  (a,  c)  y  (b,  d)  en  el  

plano  xy  y  se  dibujaron  los  segmentos  de  recta  de  (0,  0)  a  cada  uno  de  estos  puntos.   Se  supone  que  estas  dos  rectas  no  son  colineales.  Esto  equivale  a  suponer  que  (b,  d)   no  es  un  múltiplo  de  (a,  c).  

(14)

 

 

Calculo  de  un  determinante  3x3    

Sea  𝐴 =  

𝑎!! 𝑎!" 𝑎!"

𝑎!" 𝑎!! 𝑎!"

𝑎!" 𝑎!" 𝑎𝑎!!

 entonces  

 

Det  A  =  |A|  =  a11 𝑎𝑎!! 𝑎!"

!" 𝑎!!  -­‐  a12  

𝑎!" 𝑎!"

𝑎!" 𝑎!!  +  a13   𝑎𝑎!" 𝑎!!

!" 𝑎!"  

 

Ejemplo:  

Existe  otro  método  para  el  calculo  de  determinantes  3  x  3.  Se  escribe  A  y  se  le   adjuntan  sus  primeras  dos  columnas:  

   

(15)

Determinante  de  una  matriz  triangular  inferior.  

  La  matriz   es  triangular  inferior.  Calcule  |A|  

 

”[4].

2.7  Propiedades  de  los  determinantes.  

 

1. “|AB|  =  |A||B|.   2. |AT|  =  |A|.  

3. Si  A  es  una  matriz  invertible  |A-­‐1|  =  !

!  

4. Si  A  es  triangula  superior  o  inferior,  el  determinante  de  A  es  el  producto  de   los  elementos  de  la  diagonal.  

5. Supongamos  que  B  es  equivalente  a  la  matriz  A  al  aplicarle  una  operación  de   renglón:  

a. Si  B  se  obtiene  de  A  mediante  la  operación  de  renglón  𝑅!  ↔𝑅!,  entonces   |A|=-­‐|B|  

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c. Si  B  se  obtiene  con  la  operación  𝑅!  ↔ ∝𝑅!,∝≠0,  entonces                                         |A|  =  (1/∝)|B|”[3].  

 

2.8  Inversa  de  una  matriz  cuadrada  a  través  de  la  adjunta.  

  “Sea  A  una  matriz  de  n  x  n  invertible.  Entonces  𝐴!! =   !

!"#!  𝑎𝑑𝑗  𝐴”  [2].    

Calcular  la  inversa  de:  

A=   12 22 −14 1 3 −3  

 

Calcule  det  A  =  -­‐2  y  los  nueve  cofactores.    

  La  adjunta  es  la  transpuesta  de  la  matriz  de  cofactores.  

Adj  A  =     −183 −210 −41 10 −6 −2

!

=   −1018 −32 −106

4 −1 −2

 

 

Entonces:  

   

       

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2.9  Aplicación  de  matrices  y  determinantes.  

 

“Las  matrices  se  utilizan  en  el  contexto  de  las  ciencias  como  elementos  que   sirven  para  clasificar  valores  numéricos  atendiendo  a  dos  criterios  o  variables.    

 

Ejemplo:  Un  importador  de  globos  los  importa  de  dos  colores,  naranja  (N)  y   fresa  (F).  Todos  ellos  se  envasan  en  paquetes  de  2,  5  y  10  unidades,  que  se  venden  al  

precio   (en   euros)   indicado   por   la   tabla   siguiente:

   

 

Sabiendo   que   en   un   año   se   venden   el   siguiente   número   de   paquetes:

   

 

Resumir  la  información  anterior  en  2  matrices  A  y  B,  de  tamaño  respectivo  2x3  y   3x2  que  recojan  las  ventas  en  un  año  (A)  y  los  precios  (B).  

   

Nos  piden  que  organicemos  la  información  anterior  en  dos  matrices  de  tamaño   concreto.   Si   nos   fijamos   en   las   tablas,   es   sencillo   obtener   las   matrices:

   

 

Estas   matrices   se   denominan   matrices   de   información,   y   simplemente   recogen   los  datos  numéricos  del  problema  en  cuestión.  

(18)

Otras   matrices   son   las   llamadas   matrices   de   relación,   que   indican   si   ciertos   elementos  están  o  no  relacionados  entre  sí.  En  general,  la  existencia  de  relación  se   expresa  con  un  1  en  la  matriz  y  la  ausencia  de  dicha  relación  de  expresa  con  un  0.    

 

Estas  matrices  se  utilizan  cuando  queremos  trasladar  la  información  dada  por  un   grafo  y  expresar  numéricamente.  

   

En  Matemáticas,  un  grafo  es  una  colección  cualquiera  de  puntos  conectados  por   líneas.  Existen  muchos  tipos  de  grafos.  Entre  ellos,  podemos  destacar:  

• Grafo  simple:  Es  el  grafo  que  no  contiene  ciclos,  es  decir,  líneas  que  unen  un   punto   consigo   mismo,   ni   líneas   paralelas,   es   decir,   líneas   que   conectan   el   mismo  par  de  puntos.  

• Grafo  dirigido:  Es  el  grafo  que  indica  un  sentido  de  recorrido  de  cada  línea,   mediante  una  flecha.  

     

Relacionadas   con   los   grafos   se   pueden   definir   algunas   matrices.   Entre   todas   ellas,   nosotros   nos   fijaremos   en   la   llamada   matriz   de   adyacencia,   que   es   aquella   formada  por  ceros  y  unos  exclusivamente,  de  tal  forma  que:  

• un   1   en   el   lugar   (i,j)   expresa   la   posibilidad   de   ir   desde   el   punto   de   la   fila   i   hasta  el  punto  de  la  columna  j  mediante  una  línea  que  los  une  directamente.  

• un  0  en  el  lugar  (i,j)  expresa  la  imposibilidad  de  ir  al  primer  punto  al  segundo   mediante  una  línea  que  los  une  directamente”[5].  

           

(19)

 

Bibliografía:  

[1]  Álgebra  Lineal,  8va  edición,  Bernard  Kolman  &  David  R.  Hill.  

[2]  Álgebra  Lineal,  una  introducción  moderna,  3ra  edición,  David  Poole.   [3]  Álgebra  Lineal  para  estudiantes  de  Ingenieria  y  Ciencias.  

[4]  Álgebra  Lineal,  Stanley  I.  Grossman.   [5]  Blogspot.  

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