63.- a) Algunos átomos de nitrógeno (N - Ejercicios RESUELTOS del tema 7 (Física moderna)

TEMA 7.- Física moderna

CUESTIONES

63.- a) Algunos átomos de nitrógeno ( 14₇N _{) atmosférico chocan con un neutrón y se transforman en}

carbono ( 14₆C _{) que, por emisión β, se convierte de nuevo en nitrógeno. Escriba las}

correspondien-tes reacciones nucleares.

b) Los restos de animales recientes contienen mayor proporción de 14₆C _{que los restos de animales}

an-tiguos. ¿A qué se debe este hecho y qué aplicación tiene?

a) Cuando se bombardea el nitrógeno con un neutrón tiene lugar la siguiente reacción nuclear:

N

7

14 _{+ n}

0

1 _{→ C}

6

14 _{+ p}

1 1

Observar que, como deben conservarse los números atómico y másico, se forma un protón.

Por último, cuando se desintegra el carbono por emisión β, tendremos la siguiente reacción nuclear:

C

6

14 _{→ e}

−1

0 _{+ N}

7 14

b) Mientras un ser vivo permanece con vida, la cantidad de 14_{C que entra y sale de su cuerpo (gracias, sobre}

todo, a los alimentos que consume) permanece constante; sin embargo, cuando muere ya no puede incorporar dicho elemento a su organismo, por lo que comienza a desintegrarse poco a poco, ya que es inestable, hasta transformarse en un elemento de mayor estabilidad. Es por ello por lo que, sabiendo que la actividad de una sustancia radiactiva que queda sin desintegrar se calcula de la manera siguiente:

N = N0·e-λt ⇒ A = A0·e-λt

podemos calcular la antigüedad de un resto de materia orgánica conociendo la relación entre la actividad ac-tual de dicho resto (A) y la actividad de una muestra viva de dicho animal (A0); esto es, podemos calcular la

antigüedad de un resto biológico de un animal a partir del cambio en la actividad del carbono-14 de dicha muestra.

64.- a) De entre las siguientes opciones, elija la que crea correcta y explique por qué: La energía cinéti-ca máxima de los fotoelectrones emitidos por un metal depende de: i) la intensidad de la luz incidente; ii) la frecuencia de la luz incidente; iii) la velocidad de la luz.

b) Razone si es cierta o falsa la siguiente afirmación: “En un experimento sobre el efecto fotoeléctrico los fotones con frecuencia menor que la frecuencia umbral no pueden arrancar electrones del metal”.

a) La ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico establece que la energía de cada fotón de la radiación inci dente sobre un metal se utiliza para arrancar un electrón de la superficie de dicho metal (trabajo de extrac -ción o fun-ción de trabajo, W0) y para proporcionarle una determinada energía cinética:

hf = W0 + Ec

intensi-dad, mayor número de electrones serán “arrancados”. Por último, diremos que la energía cinética de los fotoelectrones no depende de la velocidad de la luz; además, sabemos que ésta es una de las constantes fundamentales de la Naturaleza.

b) Es cierta. La frecuencia umbral (f0) se define como la frecuencia mínima que debe tener la radiación

inci-dente para conseguir arrancar un electrón del metal:

W0 = hf0

Si la frecuencia de la radiación es menor que la frecuencia umbral, entonces no podrán arrancarse electrones de la superficie del metal, por lo que no podrá producirse efecto fotoeléctrico.

65.- a) Comente la siguiente frase: “Sería posible medir simultáneamente la posición de un electrón y su cantidad de movimiento, con tanta exactitud como quisiéramos, si dispusiéramos de instrumentos suficientemente precisos”.

b) Explique en qué se basa el funcionamiento de un microscopio electrónico.

a) El principio de incertidumbre de Heisenberg establece que las incertidumbres o indeterminaciones de la posición y de la cantidad de movimiento de una partícula están relacionadas de la manera siguiente:

Δx · Δp ≥ h/4π

El significado de dicho principio es que es totalmente imposible conocer, simultáneamente y con exactitud, la posición y la cantidad de movimiento (o velocidad, pues p = mv) de una partícula: si sabemos exactamente la posición de una partícula, es imposible conocer con exactitud su velocidad, y viceversa. No se trata de que no tengamos instrumentos lo suficientemente precisos, sino que es una limitación fundamental de la Natura-leza. Debido al pequeño valor de la constante de Planck, este principio carece de importancia en el ámbito macroscópico, aunque resulta ser fundamental en el microscópico. Así, una de sus consecuencias es la exis-tencia de orbitales dentro del átomo como zonas donde es muy alta la probabilidad de encontrar a un electrón dentro de él.

b) El microscopio electrónico es una de las muchas aplicaciones de la dualidad onda-corpúsculo propuesta por De Broglie. Su funcionamiento se basa en que cuanto más corta es la longitud de onda de la radiación utilizada para observar la estructura interna de una sustancia, mayor será el aumento conseguido. Como la longitud de onda de los electrones (de acuerdo con la hipótesis de De Broglie) es miles de veces menor que la de la luz visible, se pensó en utilizar un chorro de electrones como fuente luminosa en un microscopio. Di-cha idea se llevó a cabo por primera vez en 1933, y hoy en día el microscopio electrónico se utiliza en inves-tigación, en medicina,... por su gran poder de resolución (con él pueden observarse objetos de hasta 0´001 μm).

66.- a) Un átomo que absorbe un fotón se encuentra en un estado excitado. Explique qué cambios han ocurrido en el átomo. ¿Es estable ese estado excitado del átomo?

b) Dibuje aproximadamente la gráfica que relaciona la energía de enlace por nucleón con el número másico y, a partir de ella, justifique por qué en una reacción de fisión se desprende energía.

b) La energía de enlace es la energía que se desprende cuando se forma un núcleo a partir de los nucleones que lo constituyen (o bien, la energía necesaria para separar un núcleo en los nu-cleones que lo formaban). La energía de enlace por nucleón es una medida numérica de la estabilidad de un núcleo: cuanto mayor sea, más estable será el núcleo (pues más energía se re-querirá para disgregarlo en las partículas que lo forman). En función del número másico, la energía de enlace por nucleón obedece a la gráfica de la derecha. Observar que se alcanza un pico de máxima estabilidad para el hierro.

Por otra parte, cuando se produce la fisión de un núcleo (pesa-do) éste se bombardea con partículas ligeras (habitualmente, neutrones), obteniéndose dos núcleos con menor número

mási-co y mási-con mayor estabilidad que el inicial (tal y mási-como nos indica la gráfica). De acuerdo mási-con la equivalencia masa-energía de Einstein (ΔE = Δm·c2_{), a la diferencia de masa entre el núcleo inicial y los núcleos finales le}

corresponde una energía, que es la que finalmente se libera cuando tiene lugar la reacción.

67.- Dos muestras A y B del mismo elemento radiactivo se preparan de manera que la muestra A tiene doble actividad que la B.

a) Razone si ambas muestras tienen el mismo o distinto periodo de desintegración.

b) ¿Cuál es la razón entre las actividades de las muestras después de haber transcurrido cinco pe-riodos?

a) La actividad de una muestra radiactiva es el número de núcleos que se desintegran en la unidad de tiempo:

A = λN

Como las dos muestras son del mismo elemento, entonces en ambos casos el periodo de desintegración debe -rá ser el mismo. Así pues, deducimos que la muestra A contend-rá un número de núcleos igual al doble de los de la sustancia B.

b) La actividad de la muestra A cuando han transcurrido 5 periodos será:

AA = λN = A0A·e-λT = 2 A0B· e-λ·5T

La actividad de la muestra B cuando han trancurrido 5 periodos será:

AB = λN = A0B·e-λ·5T

La relación entre ambas actividades será:

A_A AB

=2

PROBLEMAS

68.- El isótopo del hidrógeno denominado tritio ( ₁3H

) es inestable (T1/2 = 12´5 años) y se desintegra

con emisión de una partícula beta. Del análisis de una muestra tomada de una botella de agua mineral se obtiene que la actividad debida al tritio es el 92 % de la que presenta el agua en el manantial de ori-gen.

b) Determine el tiempo que lleva embotellada el agua de la muestra.

a) Sabiendo que el tritio se desintegra emitiendo una partícula β, la reacción nuclear que tiene lugar será:

H

1 3

→ ₋₁0e

+ ₂3He

donde hemos tenido en cuenta que, al conservarse los números atómico y másico, deberá formarse un núcleo de He-3.

b) Nos dicen que la actividad del tritio presente en el agua embotellada es el 92 % de la actividad del tritio que hay en el agua del manantial de origen; así pues:

A = 0´92 A0

La ecuación fundamental de la radiactividad establece que el número de núcleos que no se han desintegrado disminuye exponencialmente conforme pasa el tiempo:

N = N0 e-λt

La actividad o velocidad de desintegración, A, de una muestra radiactiva es el número de desintegraciones que se producen por unidad de tiempo:

A= ∣dN

dt∣ = N

Así pues, las actividades inicial y final del tritio estarán relacionadas de la siguiente manera:

A = A0 e-λt

La constante de desintegración del tritio se calcula a partir del periodo de semidesintegración:

T_1/2= ln 2

λ ⇒ λ =

ln 2 T_1/2 =

ln 2

12 ´5=0´055 años

−1

Sustituyendo, nos queda:

0´92 A0 = A0 · e-0´055t ⇒t=

ln 0 ´92

−0 ´ 055=1 ´5 años

69.- Se acelera un protón mediante una diferencia de potencial de 3000 V. a) Calcule la velocidad del protón y su longitud de onda de De Broglie.

b) Si en lugar de un protón fuera un electrón el que se acelera con la misma diferencia de poten -cial, ¿tendría la misma energía cinética? ¿Y la misma longitud de onda asociada? Razone sus respuestas.

me = 9´1·10-31 kg; mp = 1´7·10-27 kg; h = 6´63·10-34 J·s; e = 1´6·10-19 C

a) Si el protón se acelera mediante una diferencia de potencial, entonces es acelerado dentro de un campo eléctrico, por lo que su energía mecánica permanecerá constante al tratarse de un campo conservativo; si 1 y 2 son las posiciones inicial y final del protón, tendremos:

Despejando la velocidad que alcanza el protón, tendremos:

v=

√

m =

√

2· 1´ 6 ·10−19· 3000

1´ 7· 10−27 =7´51·10

5 _{m· s}−1

La longitud de onda de la onda asociada al protón será, de acuerdo con la hipótesis de De Broglie:

λ = h

m v=

6 ´ 63·10−34

1´ 7·10−27

·7´51· 105=5´19· 10 −13

m

b) De acuerdo con lo calculado en el apartado anterior, la energía cinética de un electrón que es acelerado con la misma diferencia de potencial será:

Ec = q·ΔV = 1´6·10-19 · 3000 = 4´8·10-16 J

la cual coincide con la del protón, pues ambas partículas tienen la misma carga. Sin embargo, al tener menor masa, el electrón adquirirá mayor velocidad. En efecto:

v=

√

m =

√

2· 1´ 6 ·10−19· 3000

9´ 1·10−31 =3 ´25· 10

7 _{m ·s}−1

La longitud de onda de la onda asociada al electrón será, de acuerdo con la hipótesis de De Broglie:

λ = h

m v=

6´ 63·10−34

9´1 ·10−31

· 3´25· 107 =2 ´24 ·10 −11

m

70.- El periodo de semidesintegración del 226_{Ra es de 1620 años.}

a) Explique qué es la actividad y determine su valor para 1 g de 226_Ra.

b) Calcule el tiempo necesario para que la actividad de una muestra de 226_{Ra quede reducida a un}

dieciseisavo de su valor original.

NA = 6´02·1023 mol-1

a) La actividad o velocidad de desintegración, A, de una muestra radiactiva es el número de desintegraciones que se producen por unidad de tiempo, mientras una cierta cantidad de núcleos de un elemento radiactivo (o inestable) se transforma en núcleos de un elemento de mayor estabilidad, emitiendo radiación α, β o γ durante dicho proceso:

A=∣dN

dt∣= λN

Para calcular la actividad de 1 g de radio debemos conocer la constante de desintegración y el número de nú -cleos que hay en dicha masa; calculamos la constante de desintegración a partir del periodo de semidesinte-gración:

T_1/2= ln 2

λ ⇒ λ =

ln 2 T_1/2 =

ln 2

5´11· 1010=1 ´36· 10 −11 _s−1

donde hemos tenido en cuenta que 1620 años = 5´11·1010 _{s. Observar que la constante de desintegración es}

muy pequeña, lo que nos indica que el radio es una sustancia que se desintegra muy lentamente.

Avogadro:

226 g Ra

1 g =

6´ 02·1023 _núcleos

x ⇒x=2´ 66·10

21

núcleos de Ra

Finalmente, la actividad será:

A = λN = 1´36·10-11 _{· 2´66·10}21 _{= 3´62·10}10 _{Bq (ó des/s)}

b) Las actividades inicial y final del Ra están relacionadas de la siguiente manera:

A = λN0 e-λt = A0 e-λt

Teniendo en cuenta que la actividad final es un dieciseisavo de la actividad inicial, tendremos:

A0/16 = A0 · e-1´36·10-11t ⇒t=

ln(1/16)

−1´ 36 ·10−11=2 ´039· 10 11 _s

=6464 ´57 años

71. Se trata de medir el trabajo de extracción de un nuevo material. Para ello se provoca el efecto fo -toeléctrico haciendo incidir una radiación monocromática sobre una muestra A de ese material y, al

mismo tiempo, sobre otra muestra B de otro material cuyo trabajo de extracción es ΦB = 5 eV. Los

po-tenciales de frenado son VA = 8 V y VB = 12 V, respectivamente. Calcule:

a) La frecuencia de la radiación utilizada.

b) El trabajo de extracción ΦA.

h = 6´63·10-34 _{J·s; e = 1´6·10}-19 _C

a) La ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico establece que la energía de cada fotón de la radiación incidente sobre un metal se utiliza para arrancar un electrón de la superficie de dicho metal (trabajo de extracción o función de tra-bajo, Φ) y para proporcionarle una determinada energía cinética:

hf = Φ + Ec ⇒f =

Φ +E_C h

Utilizamos los datos proporcionados para el material B para hallar la frecuencia de la radiación utilizada; para ello, calculamos la energía cinética de los electrones emitidos a partir de su potencial de frenado, teniendo en cuenta que si el electrón se acelera mediante una diferencia de potencial, entonces es acelerado dentro de un campo eléctrico, por lo que su energía mecánica permanecerá constante al tratarse de un campo conservativo; si 1 y 2 son las posiciones inicial y final del electrón, tendremos:

ΔE = 0

⇒

⇒

⇒

Sustituyendo, la frecuencia de la radiación incidente será:

f = ΦB+EC

h =

8 ·10−19_{+1´92· 10}−18

6 ´ 63·10−34 =4 ´1 ·10

15

Hz

donde hemos tenido en cuenta que el trabajo de extracción del material B es de 5 eV = 8·10-19 _J.

b) Para calcular el trabajo de extracción del material A, ΦA, volvemos a aplicar la ecuación de Einstein del

efecto fotoeléctrico:

Calculamos la energía cinética de los electrones emitidos a partir de su potencial de frenado, teniendo en cuenta que si el electrón se acelera mediante una diferencia de potencial, entonces es acelerado dentro de un campo eléctrico, por lo que su energía mecánica permanecerá constante al tratarse de un campo conservativo; si 1 y 2 son las posiciones inicial y final del electrón, tendremos:

ΔE = 0 ⇒ (Ec2 + Ep2) – (Ec1 + Ep1) = 0 ⇒ Ec + qV2 – qV1 = 0 ⇒ Ec = q·ΔV = 1´6·10-19 ·8 = 1´28·10-18 J

Sustituyendo, obtenemos el siguiente valor para el trabajo de extracción del material A:

ΦA = hf – EC = 6´63·10-34·4´1·1015 – 1´28·10-18 = 1´44·10-18 J = 9 eV

72.- El 226₈₈Ra _{emite partículas alfa dando lugar a Rn.}

a) Escriba la ecuación de la reacción nuclear y determine la energía liberada en el proceso. b) Calcule la energía de enlace por nucleón del Ra y del Rn y discuta cuál de ellos es más estable.

1 u = 1´67·10-27 _{kg; c = 3·10}8 _m·s-1_{; m}

p = 1´007276 u; mn = 1´008665 u; mRa = 226´025406 u; mRn =

222,017574 u; mα = 4´002603 u

a) El Ra se desintegra emitiendo radiación α (núcleos de He); la correspondiente reacción nuclear será:

Ra

88

226 _{→ Rn}

86

222 _{+ He}

2 4

La masa del núcleo inicial es menor que la suma de las masas de los núcleos finales; de acuerdo con la equi -valencia masa-energía de Einstein, a dicha diferencia de masa le corresponde una energía, que es la que se li-bera cuando tiene lugar la reacción indicada:

ΔE = Δm·c2 _{= [m( Ra}

88 226

) - m( 84Rn

222

) - m( 2He

4

)] · c2 ₌

= (226´025406 – 222´017574 – 4´002603) · 1´67·10-27 _{· (3·10}8₎2 _{= 7´86·10}-13 _{J = 4´91 MeV}

b) La masa real de un átomo (M) es menor que la suma de las masas de las partículas que lo constituyen; a la diferencia entre ambas se le llama defecto de masa. De acuerdo con la equivalencia masa-energía de Eins-tein, a dicha diferencia de masa le corresponde una energía, que es la que se libera cuando se forma el núcleo a partir de sus nucleones constituyentes. Así, para el Ra tendremos:

ΔE = Δm·c2 _{= [Zm}

p + (A – Z)mn – M] · c2 =

= (88·1´007276 + 138·1´008665 - 226´025406) · 1´67·10-27 _{· (3·10}8₎2 _{= 2´72·10}-10 _J

La energía de enlace por nucleón del Ra será:

ΔE/A = 2´72·10-10_{/226 = 1´2·10}-12 _{J = 7´5 MeV}

La energía de enlace del Rn será:

ΔE = Δm·c2 _{= [Zm}

p + (A – Z)mn – M] · c2 =

= (84·1´007276 + 138·1´008665 - 222´017574) · 1´67·10-27 _{· (3·10}8₎2 _{= 2´74·10}-10 _J

La energía de enlace por nucleón del Rn será:

ΔE/A = 2´74·10-10_{/222 = 1´23·10}-12 _{J = 7´71 MeV}