NUMEROS INDICES Apuntes y ejercicios Por: HERNANDO SANCHEZ SANTIBAÑEZ Numero Índice: Es la relación Expresada en porcentaje entre el precio,

NUMEROS INDICES

Apuntes y ejercicios

Por: HERNANDO SANCHEZ SANTIBAÑEZ

Numero Índice: Es la relación Expresada en porcentaje entre el precio, valor o cantidad de un artículo o conjunto de artículos en un período de estudio (k) y el precio valor o cantidad del mismo artículo o conjunto de artículos en un período (o) tomado como base.

Así como la media aritmética o cualquier otro promedio resume un conjunto de valores, un número índice se utiliza para determinar la variación porcentual en una sola cifra, del precio, valor o cantidad de un artículo o conjunto de artículos de un período a otro o de un lugar a otro.

Clasificación: Se clasifican en Simples Relativos, cuando se calculan para una sola variable o artículo, por ejemplo la variación del precio del petróleo, o del café o del carbón. En agregados simples de precios, cuando se calculan con base en los precios de un conjunto de artículos y en ponderados, cuando los precios de cada uno de los artículos que componen el conjunto se ponderan por las cantidades consumidas.

Usos: Además de usarse como resumen de la variación de los precios de un período a otro, los índices son útiles como: a) Medidas que resumen información con fines de planeación. b) Indicadores de la marcha de los negocios. c) Indicadores de los cambios producidos en los diferentes sectores de la economía. d) Puntos de referencia para pactar salarios en la negociación de convenios laborales. e) Deflacionador para hacer ajustes respecto al cambio de la moneda y hacer comparaciones más o menos reales a lo largo del tiempo.

Factores que deben tenerse presentes al construir un número índice: -Selección de los datos: Si lo que se trata de medir es la variación en el costo de la educación, se debe tener presente sólo las variables que afectan directamente el costo de la educación, nada tendrá que ver (por lo menos, en forma substancial) el costo del mármol o el vinagre o la canela.

Se debe tener presente el peso o importancia relativa de cada variable y la comparabilidad entre los datos, no es lo mismo el costo de la alimentación en 1950 que el costo de la alimentación en el año 2002.

-Elección del período base: Al elegir el período base debe tenerse presente que haya una estabilidad relativa. Por ejemplo en Colombia los meses de enero y diciembre no deben utilizarse como base de comparación, ya que estos son los meses en que generalmente se producen los aumentos en los precios de variables como la gasolina, el transporte y los servicios públicos.

También debe tenerse presente, que el período tomado como base sea un período reciente, ya que si es muy distante, se dificulta la consecución de los datos y además no hay uniformidad en la comparación con los períodos recientes.

-Importancia relativa de las variables o artículos dentro del conjunto: Debe dársele a cada variable su importancia relativa real dentro del conjunto, ya que no tiene el mismo efecto en el precio total de un mercado, un alza o baja en el precio del vinagre que un alza o baja en el precio de la leche. Veamos un ejemplo: Supongamos los siguientes precios para el vinagre y la leche en los períodos 1990 y 1995.

1990 1995

Leche 100.0 150.0 Vinagre 80.0 30.0

io ik

P P I

∑ ∑

= = (100) 100.0%

180 180 ) 100 ( 80 100

30 150

= =

+ +

del todo cierto, ya que la leche es un artículo de más consumo que el vinagre. Cuando avance en la lectura del documento, tendrá suficientes elementos para la solución del problema de los pesos relativos de las variables en el valor del índice.

Índices relativos simples: Los índices relativos simples son los que se calculan para medir la variación del precio, valor o cantidad de un solo artículo o una sola variable, por ejemplo: Precio o cantidad de los sacos de café exportados por año en la última década, precio o cantidad de barriles de petróleo producidos por ECOPETROL por mes en este año etc.

Un índice relativo es la razón del precio, valor o cantidad de un de un artículo en un período (k) al precio, valor o cantidad del mismo artículo en un período (o) tomado como base. Esta razón se expresa en porcentaje.

I= (100) io ik

P

P _{Índice relativo simple de precios}

) 100 ( io ik

q q

I = Índice relativo simple de cantidad

) 100 ( io ik

V V

I = Índice relativo simple de valor

Ejemplo: Suponga que el precio de un artículo cualquiera (huevos por ejemplo) entre 1990 y 1995 fue como sigue:

0 . 100 ) 100 ( 0 . 40 0 . 40 ) 100 ( 90

90 _{= =}

= i i P P I 0 . 150 ) 100 ( 0 . 40 0 . 60 ) 100 ( 90 91

91= = =

i i P P I 5 . 137 ) 100 ( 0 . 40 0 . 55 ) 0 . 100 ( 90 92

92 = = =

i i P P I 8 . 68 ) 0 . 100 ( 0 . 40 5 . 27 ) 0 . 100 ( 90 93

93 = = =

i i P P I 5 . 87 ) 0 . 100 ( 0 . 40 0 . 35 ) 0 . 100 ( 90 94

94 = = =

i i P P I 5 . 175 ) 100 ( 0 . 40 0 . 70 ) 0 . 100 ( 90 95

95 = = =

i i P P I

Interpretación: El índice de precios para el período 1991 es de 150.0 significa que el precio del artículo en estudio en este periodo, es el 50% mayor que en el período 1990. El índice de precios para 1992 de 137.5 indica que el precio en este período es el 37.5% más alto que en el período 1990.Para los períodos 93 y 94 los índices son respectivamente 68.8 y 87.5 quiere decir que el precio del 93 fue el 31.2% menor que en el período base y que en el período 94 fue el 12.5% menor que en 1990.

Cuando se calcula un número índice la base puede permanecer fija, como en el caso del ejemplo, en éste, el precio de cada período de la serie se comparó con el precio del período 1990, que fue seleccionado como base; en este caso se dice que el índice fue calculado con base fija. Otra forma de calcular los índices consiste en variar la base de un período a otro, cuando este es el caso, se dice que los índices se calcularon con base variable.

Ejercicio No 1 – Calcular lo índice relativo simples de precios, con base variable, para todos los períodos de la serie del ejemplo anterior.

Índice agregado simple de precios: Es la relación expresada en porcentaje entre de la sumatoria de los precios de los artículos i en un período (k) y la sumatoria de los precios de los mismos artículos i en un período (o) tomado como base.

) 100 ( io ik P P I ∑ ∑ = Ejemplo:

Articulo 1990 P_io 1991 Pi 91 1992 Pi 92 1993 Pi 93

A(tonelada) 12.0 15.0 18.0 20.0 B(docena) 3.0 4.0 4.0 5.0 C(libra) 5.0 6.0 5.0 7.0

∑ (precios) 20.0 25.0 27.0 32.0

A continuación se calculan los índices agregados simples de precios para todos los períodos de la serie, tomando como base el periodo 1990.

% 0 . 100 ) 100 ( 0 . 20 0 . 20 ) 100 ( 90 90

90 _∑ = =

∑ = i i P P I % 0 . 125 ) 100 ( 0 . 20 0 . 25 ) 100 ( 90 91

91 _∑ = =

∑ = i i P P I % 0 . 135 ) 100 ( 0 . 20 0 . 27 ) 100 ( 90 92

92 _∑ = =

∑ = i i P P I % 0 . 160 ) 100 ( 0 . 20 0 . 32 ) 100 ( 90 93

93 _∑ = =

∑ = i i P P I

Interpretación: Uno de los tantos usos que se le pueden dar a los números índices, es medir la variación porcentual de los precios de un artículo o conjunto de artículos de un período a otro.

conjunto de artículos en 1990. Para 1992 el precio del conjunto de artículos fue el 35% más alto que en 1990 y en 1993 fue el 60% mayor que en 1990. Este índice presenta dos problemas: el primero es que el valor del índice se ve afectado por las unidades de medida en que se dan los precios de los artículos. Si el precio del artículo A se diera en libras seguramente el valor del índice sería muy diferente. Por esta razón el índice agregado simple no es recomendable utilizarlo, cuando las variables o artículos se dan en diferente unidad de medida. El segundo problema que presenta este índice, es que asume que todos los artículos que componen el conjunto, tienen el mismo peso relativo, lo cual no es cierto en todos los casos, ya que para una familia es más importante el precio de la leche que el precio de la canela.

Promedio simple de precios relativos: En este índice, los precios de los artículos i en el período (k), se expresan como porcentajes de los precios de los artículos i en el período (o) tomado como base. A estos precios expresados en porcentaje, se les denomina precios relativos, porque se calculan haciendo la relación entre los precios del período (k) y los precios del período (o) tomado como base, para cada uno de los artículos del conjunto.

El índice se calcula haciendo el promedio de los precios relativo con base en el número de variables o artículos que componen el conjunto, así:

N P P

I io

ik ₁₀₀       ∑

=

N: Número de artículos que componen el conjunto.

Ejemplo:

Precios Precio Relativos Artículo 1990Pi0 1991Pi1 1992Pi2 1993Pi3 ₍₁₀₀₎

io io

P P

) 100 (

0 1

i i

P P

) 100 (

0 2

i i

P P

) 100 (

0 3

i i

P P

A(tonelada) 12.0 15.0 18.0 20.0 100.0 125.0 150.0 166.7 B(docena) 3.0 4.0 4.0 5.0 100.0 133.3 133.3 166.7 C(libra) 5.0 6.0 5.0 7.0 100.0 120.0 100.0 140.0

100       ∑

io ik

P

P

300.0 378.3

383.3

473.4

P P

I io

ik ₁₀₀       ∑

Con este índice, se consigue más uniformidad en la comparación de los precios y del poder adquisitivo, porque al promediar los precios relativos, se anula el efecto que las distintas unidades de medida tienen en el valor del índice. Por esta razón este índice se puede utilizar para medir la variación del precio de un conjunto de artículos cuyos precios se dan en diferente unidad de medida.

Le queda todavía el problema de suponer igual importancia relativa dentro del conjunto, a todos los artículos que lo componen. Lo cual como ya se dijo no es cierto; en todo conjunto de artículos, hay uno o algunos que tienen mayor o menor importancia dentro del conjunto y tienen un mayor o menor efecto en el precio del conjunto.

En este ejemplo los precios relativos, suponen igual importancia dentro del conjunto para los artículos A, B y C y de nota claramente B, que tiene un precio muy bajo comparado con A, ejerce una gran influencia en el valor del índice.

Ejercicio No 2- Calcular el índice agregado simple y el promedio de precios relativos, para cada uno de los períodos de la serie del ejemplo tomando la base variable.

Índices Ponderados: Cuando se calculan los índices ponderados, se soluciona el problema de la importancia relativa que debe tener cada uno de los artículos que componen el conjunto, la cual se expresa en términos de la cantidad de dinero gastada durante el año, en cada uno de los artículos que componen el conjunto. La cantidad de dinero gastada en cada artículo se obtiene haciendo el producto del precio por las cantidades consumidas, en el período (k) y en el período (o) tomado como base.

Índice de precios ponderado por las cantidades consumidas: Es la relación expresada en porcentaje, entre la sumatoria del producto del precio de los artículos i por las cantidades consumidas en el período (k) y la sumatoria del producto del precio de los artículos i por las cantidades consumidas en el período (o) tomado como base. El índice se obtiene mediante la siguiente expresión:

) 100 ( io io

ik ik k

q P

q P I

∑ ∑

=

Ik: Índice para el período k

qio: Cantidades consumidas del artículo i en el período base

Pik: Precio de los artículos i en el período k

Pio: Precio de los artículos i en el período base.

Ejemplo:

Precio($) Cantidades(q) Artículo

1990 1991 1992 1990 1991 1992

P90q90 P91q91 P92q92

A(tonel) 200.0 250.0 175.0 10 12 14 2000.0 3000.0 2450.0 B(Libra) 10.0 12.0 9.0 20 22 18 200.0 264.0 162.0 C(Unid) 5.0 8.0 7.0 50 55 45 250.0 440.0 315.0 ∑ 2450.0 3704.0 2927.0

En la tabla anterior se muestra el procedimiento para calcular el índice de precios ponderado por las cantidades consumidas, tomando como base el período 1990.

% 0 . 100 ) 100 ( 0 . 2450

0 . 2450 )

100 (

90 90

90 90

90 _∑ = =

∑ =

i i

i i

q p

q p I

% 2 . 151 ) 100 ( 0 . 2450

0 . 3704 )

100 (

90 90

91 91

91 _∑ = =

∑ =

i i

i i

q p

q p I

% 5 . 119 ) 100 ( 0 . 2450

0 . 2927 )

100 (

90 90

92 92

92 _∑ = =

∑ =

i i

i i

q p

q p I

Interpretación: Este índice se interpreta de la misma forma que los índices anteriores, es decir, como un aumento o una disminución porcentual en el precio del conjunto de artículos en el período (k), respecto del período (o) tomado como base.

Ejercicio No 3- Calcular el índice ponderado de precios, para cada uno de los períodos de la serie tomando base variable.

Este índice presenta dos problemas, el primero la falta de uniformidad en la comparación de los precios, debido al cambio periodo a período, de los precios y las cantidades y el segundo, dificultad en la construcción del índice, ya que cada período se necesita información diferente, para las cantidades y para los precios.

Índice de Laspeyres: Este es otro índice ponderado de precios por las cantidades consumidas, en el cual los precios de los artículos i en el período (k) se ponderan por las cantidades consumidas en el período tomado como base de comparación.

) 100 ( io io io ik k q p q p L ∑ ∑ =

Ejemplo: La siguiente tabla indica el procedimiento para calcular el índice de Laspeyres, para todos los períodos de la serie, tomando como base el período 1990.

Precio($) Cantidades(q) Articulo

1990 1991 1992 1990 1991 1992 p90q90 p91q90 p92q90

A(tonel) _{200.0 250.0 175.0 10 12 14 2000.0 2500.0 1750.0} B(libra) _{10.0 12.0 9.0 20 22 18 200.0 240.0 180.0} C(unid) _{5.0 8.0 7.0 50 55 45 250.0 400.0 350.0} ∑ 2450.0 3140.0 2280.0 % 0 . 100 ) 100 ( 0 . 2450 0 . 2450 ) 100 ( 90 90 90 90

90 = =

∑ ∑ = q p q p L % 2 . 128 ) 100 ( 0 . 2450 0 . 3140 ) 100 ( 90 90 90 91

91 _∑ = =

∑ = q p q p L % 1 . 93 ) 100 ( 0 . 2450 0 . 2280 ) 100 ( 90 90 90 92

92 _∑ = =

La interpretación es la misma de los índices anteriores, es decir, en el período 91 el precio del conjunto de artículos es mayor en el 28.2% que en el período 90. En el período 92 el precio del conjunto es menor en 6.9% que en el período 90.

Este índice presenta más uniformidad en la comparación de los precios, porque las cantidades permanecen constantes de un período a otro, lo que permite observar sólo el cambio en los precios. Además es más fácil de construir que el anterior, ya que no hay necesidad de conseguir información de cantidades consumidas en todos los períodos de la serie.

Una consideración importante que debe tenerse presente, en este índice es que: al ponderar los precios de los artículos i en el período (k) por las cantidades consumidas en el período base, se tiende a darle más importancia relativa dentro del conjunto, a los artículos que han subido de precio, ya que las cantidades consumidas están sujetas a la ley de la oferta y la demanda, que dice que cuando loa precios suben las cantidades consumidas tienden a bajar.

Ejercicio No 4- Calcular el índice de Laspeyres para todos los períodos de la serie tomando base variable.

Índice de Paasche: Este es otro índice ponderado, en el cual los precios de los artículos i en el período (o) tomado como base, se ponderan por las cantidades consumidas en el período (k).

) 100 ( ik io

ik ik k

q p

q p P

∑ ∑ =

Ejemplo: La siguiente tabla indica el procedimiento, para calcular el índice de Paasche par cada uno de los períodos de la serie, tomando como base el período 90.

Precio($) Cantidad(q)

Articulo _{1990 1991 1992 1990 1991 1992}

90 90q

p p₉₀q₉₁ p₉₀q₉₂ p₉₁q₉₁ p₉₂q₉₂

% 0 . 100 ) 100 ( 0 . 2450

0 . 2450 )

100 (

90 09

90 90

90 _∑ = =

∑ =

i i

i i

q p

q p P

% 0 . 121 ) 100 ( 0 . 3060

0 . 3704 )

100 (

91 90

91 91

91 _∑ = =

∑ =

i i

i i

q p

q p P

% 3 . 91 ) 100 ( 0 . 3205

0 . 2927 )

100 (

92 90

92 92

92 = =

∑ =

i i

i i

q p

q p P

El índice 121.0% para el 91 indica que en este período, el precio del conjunto de artículos es mayor en el 21.0% que en el período base y el índice 91.3% para el período 92 indica que el precio del conjunto de artículos en este período es menor en 8.7% que el precio del conjunto en el período base.

Este índice es particularmente útil, porque mide en forma combinada los cambios en los precios y en los patrones de consumo. Sin embargo no presenta mucha uniformidad en la comparación de los precios, porque las cantidades son diferentes de un período a otro y resulta imposible atribuir diferencias entre dos períodos sólo al cambio de los precios.

A diferencia del índice de Laspayres, que tiende a darle mas importancia relativa a los artículos que han subido de precio, el índice de Paasche tiende a restarle importancia relativa, a los artículos cuyos precios han aumentado, porque como ya se anotó antes las cantidades consumidas están sujetas a la ley de la oferta y la demanda.

Ejercicio No 5- Calcular el índice de Paasche para todos los períodos de la serie tomando la base variable.

) 100 (

Q p

Q p I

io ik k _∑

∑ =

Ejemplo: la siguiente tabla indica el procedimiento para calcular el índice ponderado por cantidades fijas tomando como base el período 1990

Precio($)

Artículo 1990 1991 1992

Cantidad

( Q ) p₉₀Q p₉₁Q p₉₂Q

A(Tonel) 200.0 250.0 175.0 12 2400.0 3000.0 2100.0 B(Libra) 10.0 12.0 9.0 20 200.0 240.0 180.0 C(Unid) 5.0 8.0 7.0 50 250.0 400.0 350.0 ∑ 2850.0 3640.0 2630.0

Las cantidades fijas Q utilizadas en el ejercicio corresponden al promedio de las cantidades consumidas en los períodos 1990, 1991 y 1992.

% 0 . 100 ) 100 ( 0 . 2850

0 . 2850 )

100 (

90 90

90 _∑ = =

∑ =

Q p

Q p I

i

i

% 7 . 127 ) 100 ( 0 . 2850

0 . 3640 )

100 (

90 91

91 _∑ = =

∑ =

Q p

Q p I

i i

% 3 . 92 ) 100 ( 0 . 2850

0 . 2630 )

100 (

90 92

92 _∑ = =

∑ =

Q p

Q p I

i i

El índice de 127.7% para el periodo 91, indica que el precio del conjunto de artículos en este período, fue mayor en el 27.7% que en el período base y 92.3% para el período 92 indica que el precio en este período fue menor que en el período 90 en el 7.7%.

período normal, por tanto el valor del índice está muy afectado por la opinión del investigador.

Ejercicio No 6- Calcular el índice de precios ponderado por cantidades fijas para todos los períodos de la serie tomando la base variable.

Índice de Fisher: Como ya se dijo anteriormente el índice de Laspeyres, tiende a darle mayor importancia relativa dentro del conjunto, a los artículos que han subido de precio; de manera diferente el índice de Paasche, tiende a restarle importancia relativa dentro del conjunto a loa artículos que han subido de precio. Puede pensarse que el índice de precios debe estar en medio de estos dos índices, y esta fue la lógica que utilizo Fisher para diseñar su índice ideal

El índice de Fisher se obtiene, calculando la media cuadrática de los índices de Laspeyres y Paasche asi:

( )( )

io ik ik io

io io ik

k L P

q p

q p q

p q p

F _ =

  

 

å å ÷ ÷ ø ö ç

ç è æ

å å

= (100 )

A continuación se indica el cálculo del índice de Fisher para todos los períodos de la serie, tomando como base el período 1990.

( )( )

90 L P

F = =

(

)(

)

( )( )

91 L P

F = =

(

)(

)

( )( )

92 L P

F = =

(

)(

)

razón permite concluir que el índice de Fisher no presenta uniformidad para la comparación de los precios en una serie de mas de dos períodos.

Ejercicio No 7- Calcular el índice de Fisher para todos los períodos de la serie tomando la base variable.

Uso de un índice como deflacionador: Uno de los tantos usos que tienen los índices, es como deflacionador para determinar el verdadero incremento en el ingreso de un trabajador o de las utilidades de una compañía.

El procedimiento consiste en eliminar los efectos de las variaciones de los precios sobre los valores de las ventas, producción, salarios etc. Para la deflación estadística se utiliza un índice de precios determinado llamado deflactor. Por ejemplo, si se desea eliminar el efecto de las variaciones de los precios sobre el producto nacional bruto PNB en un periodo dado, se divide el monto del PNB del periodo dado entre el deflactor, que puede ser el índice de precios calculado por el DANE de esta forma se obtiene el valor real del PNB que queda expresado en pesos constantes, los cuales tienen el mismo poder adquisitivo que en el periodo base.

El procedimiento viene expresado por la siguiente relación:

Valor real de los bienes y servicios

íado eciosaprop Indicedepr

servicios ldebienesy

Valoractua

=

Ejemplo: Suponga que el PNB para el año 2002 fue de 5500 miles de millones y que se tiene un índice de precios de 125.0 (la base es 1995), Calcular el valor de el PNB en pesos constantes de 1995.

V/r en pesos constantes de 1995 milesdemillones(100) 4400milesdemillones

0 . 125 5500

= =

DANE o por cualquier otro investigador. Los salarios reales se pueden expresar así:

Salario real (100)

sumidor eciosalcon

Indicedepr

ual salarioact

=

Si su salario aumento en términos absolutos de $1.500.000.oo en el año 2002 a $2.000.000.oo en año 2003 y el índice de precios al consumidor calculado por el DANE para el 2002 fue de 106.99. Calcular a) El porcentaje de aumento nominal de su salario. b) El valor real en pesos de su salario, de acuerdo al índice de precios al consumidor c) El porcentaje de aumento real de su salario de acuerdo al índice de precios al consumidor.

a) % de aumento nominal (100) 133.33 000

. 500 . 1

000 . 000 . 2

=

= %

Este resultado indica que el aumento nominal de su salario fue del 33.3%

b) Salario real (100) 1.869.333.6 99

. 106

000 . 000 .

2 ₌

=

Este resultado indica el salario real en el año 2003.

c) % de aumento real (100) 124.62% 000

. 500 . 1

6 . 333 . 869 .

1 ₌

=

Este resultado indica que su salario realmente aumento en un 24.62%

Ejercicio No 8- Defina los siguientes términos a) Período base (o)

b) Período (k)

c) Índices simples y compuestos

d) Índices ponderados y no ponderados e) Inflación

f) Delación

Ejercicio No 9- La siguiente información corresponde al salario promedio mensual de un conjunto de trabajadores y el índice de precios al consumidor en la ciudad XYZ.

AÑO Salario en pesos Índice de precio 1984 20.000 100.0

1985 30.000 110.0 1986 40.000 115.0 1987 50.000 130.0 1988 68.000 140.0 1989 90.000 160.0 1990 120.000 185.0 1991 160.000 205.0

a) Utilice como deflactor el índice de precios al consumidor y calcule el salario mensual promedio en pesos de 1984 para cada año de la serie. b) Compare el porcentaje de variación real de los salarios en cada periodo

con el porcentaje de variación nominal.