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Taller funciones (Intro. Cálculo)

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Academic year: 2018

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(1)

Universidad de Antioquia

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Instituto de Matem´aticas

Curso Introducci´on al c´alculo Taller 3 - Funciones

´

Ultima actualizaci´on: 12 de junio de 2012

Nota: Los ejercicios a continuaci´on propuestos cubren el tema de relaciones y funciones. El taller est´a propuesto como preparaci´on a los temas a evaluar en el tercer parcial. Los ejercicios son tomados de los textos citados al final en la secci´on de referencias y recomendamos consultarlos directamente.

1. SeanA={a, b, c}yB={1,2,3}. Determine cu´ales de los siguientes conjuntos son funciones deA

enB:

a) {(b,1),(c,2),(a,3)} b) {(a,3),(c,2),(a,1)}

c) {(c,1),(b,1),(a,2)} d) {(a,1),(b,3)}

e) {(c,1),(a,2),(b,3),(c,2)} f) {(a,3),(c,3),(b,3)}

2. Denotemos por X al conjunto de todos los seres humanos. De las siguientes relaciones determine cu´ales son funcionesX X.

a) f(a) es la madre de a. b) g(a) es hermano dea. c) h(a) es amante dea.

d) k(a) es el primog´enito deasiaes padre y es la madre deaen otro caso.

3. Considere los conjuntos X = {1,2,3} e Y = {♠,,♥}. Indique cu´ales de las correspondencias ilustradas en los siguientes diagramas son funciones deX enY y determine su rango.

1

2

3

♠ ♣ ♥

X f Y

(a)

1

2

3

♠ ♣ ♥

X f Y

(b)

1

2

3

♠ ♣ ♥

X f Y

(c)

1

2

3

♠ ♣ ♥

X f Y

(d)

1

2

3

♠ ♣ ♥

X f Y

(e)

1

2

3

♠ ♣ ♥

X f Y

(2)

4. Determine cu´ales de las siguientes f´ormulas definen funcionesRR.

a) f(x) =x 21

x+ 3 para todox∈R. b) g(x) =px22x+ 3 para todoxR.

c) h(x) =

(

x2 six1,

x1 six0.

d) p(x) =

( x5

−2 six1,

|x| six1.

e) q(x) =

(

x22x+ 3 si x0,

x+ 3 si x0.

5. Para cada una de las siguientes f´ormulas “f(x) =· · ·”, encuentre el subconjunto m´as grandeXR que hace quef :X Rsea funci´on.

a) f(x) = 1

x416 b) f(x) =√1−x2. c) f(x) =p1−√1−x2.

d) f(x) =√1−x2+x21.

e) f(x) =

(√

x sixX yx0, x+ 1 six∈X yx≤0,

6. Sea

f(x) =

 

0 six es irracional,

1

q six= p

q conpyqtales que mcd(p, q) = 1.

a) Demuestre quef :RRes funci´on.

b) Eval´uef enx= 0, x= 24, x= 0.121212· · · yx=π.

7. Considere las funciones f, g :R Rdefinidas por f(x) =⌈x⌉ yg(x) =⌊x⌋donde ⌈x⌉ denota al menor entero que es mayor o igual que x (por ejemplo ⌈3.1⌉= 4,⌈1.99⌉ = 2, mientras que ⌊x⌋ denota almayor entero que es menor o igual quex(por ejemplo⌊3.1⌋= 3,⌊1.99⌋= 1, Demuestre quef yg son funciones y halle sus rangos.

8. Sea X 6= y SX subconjunto. Lafunci´on caracter´ıstica para S en X, denotada porCS, es la funci´onCS :X → {0,1}definida por

CS(x) =

(

1 si x∈S,

0 si xXS.

a) ConsidereS = [0,1). Eval´ueCS(3), CS(0), CS(0.5) yCS(1).

b) SeanA, BX. ExpreseCA∩B, CA∪B yCX−A en t´erminos deCA yCB.

c) SeanA, B⊆X. Demuestre queCA=CB si y solo siA=B.

d) Seaf la funci´on constante f(x) = 1 para todox∈X. Demuestre que existe un subconjunto

A⊆X tal quef =CA.

e) Sea f una funci´on con valores en R. Demuestre que f =f2 si y solo sif =CA para alg´un

AR.

9. Encuentre el rango de las siguientes funciones.

a) f :RRdefinida porf(x) =x2 −4. b) g:RRdefinida porg(x) =x3

−x2. c) h:RR+ definida porh(x) =ex−1+ 3.

d) p:RRdefinida porp(x) =√x2+ 5. e) q : R R definida por q(x) = cos2x+

(3)

10. Para cada una de las funcionesf :RRy los subconjuntosT Rdados a continuaci´on, determine

f(T) y f−1(T).

a) f :RRdefinida porf(x) = (x+ 1)2 yT= [ −1,1]. b) f :RRdefinida porf(x) = (x+ 1)2 yT= [

−5,2].

c) f :RRdefinida porf(x) =x(ver ejercicio (7)) yT = (1,3). d) f :RRdefinida porf(x) =x(ver ejercicio (7)) yT = [0,2](5,7).

11. Seag:R2Rla funci´ong(x, y) =xy para todox, y R. Realice un bosquejo en el plano de los siguientes subconjuntos deR2:

a) g−1

({3}) b) g−1

([1,1])

12. Para las funcionesf ygdescritas a continuaci´on, halle:

a) (gf)(a) b) (gf)(b) c) (gf)(c) d) (gf)(d)

X

a b

c d

Y

1 2

3 4

Z

♣ ♠ ♥

g f

13. Para cada una de las funcionesf yg dadas a continuaci´on, hallef◦g yg◦f.

a) f :RRdefinida porf(x) =exyg:RRdefinida porg(x) = senx.

b) f :R+ R+ definida porf(x) =x7 yg:RRdefinida porg(x) =x−3. c) f :R[0,) definida porf(x) =x6yg: [0,

∞)Rdefinida porg(x) =√6x.

d) f :RRdefinida porf(x) =xyg:RRdefinida porg(x) =x(ver ejercicio (7)).

14. Para cada una de las funcionesf :RRdadas a continuaci´on, encuentre funcionesg, h:RR (ambas distintas a la funci´on identidad) tales quef =hg.

a) f(x) =√3

x+ 7 para todoxR. b) f(x) =√3

x+ 7 para todoxR.

e) h(x) =

(

x6 six ≥0,

x4 six <0. f) h(x) =

(

x3 six ≥0, x six <0.

15. Seanf, g:RRdefinidas por

h(x) =

(

1−2x six≥0,

|x| six <0. y h(x) = (

3x six≥0, x1 six <0.

(4)

16. SeanA, B yC conjuntos yf :AB yg:BC funciones. Suponga quef y gtienen inversas. Demuestre quegf tiene una inversa y que (gf)−1=f−1

◦g−1.

17. Encuentre dos inversas a derecha para la funci´onf(x) =|x|para todoxR.

18. Encuentre dos inversas a izquierda para la funci´ong(x) =x3+ 4 para todox ≥0.

19. Seanf, g:RRdefinidas por

f(x) =

(

4x+ 1 six0,

x six <0. y g(x) = (

3x six0, x+ 3 six <0.

Halle una inversa para g◦f.

20. Determine si cada una de las funciones dadas a continuaci´on es inyectiva y/o sobreyectiva.

a) s:RRdefinida pors(x) =x4

−5 para todoxR.

b) g: [0,)[0,1) definida porg(x) =1+xx para todox[0,). c) k:R2Rdefinida pork((x, y)) =x2+y2 para todox, yR. d) Q:NP(N) definida porQ(n) ={1,2, ..., n}para todonN.

21. En cada uno de los siguientes casos determine sif(x) = 3x+ 5 para cadaxen el dominio respectivo es una funci´on inyectivo y/o sobreyectiva.

a) f :ZZ b) f :QQ c) f :QR d) f :RR

22. Demuestre que la funci´onf :R(1,1) definida por

f(x) =

   

  

x2

1 +x2 six≥0, −x2

1 +x2 six <0. es biyectiva.

23. SeanAyS conjuntos no vac´ıos tales queSA.

a) Demuestre que la funci´on identidad

I: A −→ A a 7−→ a

es biyectiva.

b) Demuestre que la funci´on inclusi´on

J : S −→ A s 7−→ s

es inyectiva.

24. Sean A yB conjuntos no vac´ıos y S A. Demuestre o refute con un contrajemplo los siguientes enunciados:

(5)

b) Sig:AB es sobreyectiva, entonces la restricci´ong|S es sobreyectiva.

c) Seah:SB una funci´on yH :AB una extensi´on deh. Sihes inyectiva, entoncesH es inyectiva.

25. Determine si la funci´ongf del ejercicio (12) es inyectiva

26. SeanA, ByCconjuntos yf :AB yg:BCfunciones. Demuestre los siguientes enunciados:

a) Sig◦f es inyectiva, entonces f es inyectiva. b) Sigf es sobreyectiva, entonces ges sobreyectiva.

c) Sigf es biyectiva, entoncesf es inyectiva yges sobreyectiva.

27. Seaf(x) = 1/(1 +x). Eval´ue:

a) f(f(x)) b) f 1

x

c) f(cx) d) f(x+y) e) f(x) +f(y)

d) ¿Para qu´e valores dec existe un n´umeroxtal quef(cx) =f(x)?

e) ¿Para qu´e valores dec se cumple quef(cx) =f(x) para dos valores distintos dex?

28. Seang(x) =x2 y

h(x) =

(

0 si x es racional,

1 si x es irracional.

a) ¿Para qu´e valores dey esh(y)y? b) ¿Para qu´e valores dey esh(y)≤g(y)? c) ¿Qu´e esg(h(z))−h(z)?

d) ¿Para qu´e valores dewesg(w)w?

e) ¿Para qu´e valores deεesg(g(ε)) =g(ε)?

29. Sean S(x) = x2, P(x) = 2x y s(x) = sinx. Determinar los siguientes valores. En cada caso la

soluci´on debe ser unn´umero.

a) (SP)(y) b) (Ss)(y)

c) (SPs)(t) + (sP)(t) d) s(t3)

30. Exprese cada una de las funciones dadas a continuaci´on, en t´erminos de las funcionesS, P ysdel ejercicio anterior (29), usando solamente +,·y (por ejemplo, la soluci´on dea) esf =Ps).

a) f(x) = 2senx. b) f(x) = sen 2x.

c) f(x) = senx2. d) f(x) = sen2x.

e) f(t) = 22t.

f) f(u) = sen(2u+ 2u2 ).

g) f(y) = sen(sen(sen(22seny

))).

h) f(a) = 2sen2

a+ sen(a2) + 2sen(a2 +sena).

31. a) Six1, . . . , xn son n´umeros distintos, encuentre una funci´on polin´omialfi de gradon−1 que tome el valor 1 en xi y 0 enxj paraj 6=i.

b) Encuentre ahora una funci´on polin´omial de gradon−1 tal que f(xi) =ai, dondea1, . . . , an son n´umeros dados.

(6)

b) Demuestre que sif(a) = 0, entoncesf(x) = (xa)g(x) para alguna funci´on polin´omicag

c) Demuestre que sif es una funci´on polin´omica de gradon, entoncesf tiene a lo sumonra´ıces, es decir, existen a lo sumonn´umerosatales quef(a) = 0.

d) Demuestre que para todo nNexiste una funci´on polin´omial de gradonconn ra´ıces. Sin

es par, encuentre una funci´on polin´omica de gradonsin ra´ıces, y sines impar, encuentre una con una sola ra´ız.

33. Demuestre que la funci´onf(x) = 1 +x2n/2

no es un polinomio paranimpar.

34. Seaf(x) una funci´on polinomial con coeficientes reales tal quef(x)0 para todoxR. Demuestre que existen polinomios q1(x) yq2(x) con coeficientes reales tales que f(x) =q1(x)2+q2(x)2 para todo xR.

35. ¿Para qu´e n´umerosa, b, cydla funci´on

f(x) = ax+d

cx+b

satisfacef(f(x)) =xpara todox?

36. Una funci´on de valor real esparsif(x) =f(−x) eimparsif(x) =−f(−x). Ejemplos de funciones pares son f(x) = x2, f(x) = |x| y f(x) = cosx; ejemplos de funciones impares son f(x) = x y

f(x) = senx.

a) Determinar sif+ges par, impar o no necesariamente ninguna de las dos cosas, en los cuatros casos obtenidos al tomar f par o impar ygpar o impar.

b) H´agase lo mismo paraf·g. c) H´agase lo mismo parafg.

d) Demostrar que para toda funci´on parf existen infinidad de funcionesgtales quef(x) =g(|x|).

37. a) Demostrar que cualquier funci´onf con dominio R se puede expresar en la formaf =g+h, congpar yhimpar.

b) Demu´estrese que esta manera de expresarf es ´unica.

38. Seaf una funci´on de valor real que satisfacef(x+y) =f(x) +f(y) para todoxyy.

a) Demuestre quef(x1+. . .+xn) =f(x1) +f(x2) +. . . f(xn).

b) Demostrar que existe un n´umero realctal quef(x) =cxpara todosx∈Q.

39. Seaf una funci´on de valor real que satisface

f(x+y) =f(x) +f(y) y f(x·y) =f(x)·f(y)

para todo x ey. Demuestre que si f(x) 6= 0 para alg´unx, entonces f(x) =xpara todo x, como sigue:

a) Demostrar quef(1) = 1.

b) Demostrar quef(x) =xsixes racional. c) Demostrar quef(x)>0 six >0. d) Demostrar quef(x)> f(y) six > y.

(7)

40. ¿Qu´e condiciones precisas deben satisfacerf, g, hykpara quef(x)g(y) =h(x)k(y) para todoxe

y.

41. a) Demostrar que no existen funcionesf yg con alguna de las propiedades siguientes: 1) f(x) +g(y) =xypara todoxey.

2) f(x+y) =g(x)y para todo xey.

b) Hallar funcionesf ygtales quef(x+y) =f(xy) para todo xey.

42. a) Hallar una funci´onf que no sea constante y tal que|f(y)f(x)≤ |yx|.

b) Sup´ongase quef(x)f(y)(yx)2 para todoxey. Demostrar quef es una constante.

43. a) Sup´ongase que g es una funci´on con la propiedad de ser g(x)=6 g(y) six6=y. Demu´estrese que existe una funci´onf tal quefg=I. (I es la funci´on identidad).

b) Sup´ongase quef es una funci´on tal que todo n´umerobpuede escribirse en la forma b=f(a) para alg´un n´umeroa. Demostrar que existe una funci´ongtal quef ◦g=I.

44. Hallar una funci´onf tal quegf =Ipara alguna funci´ong, pero tal que no exista ninguna funci´on

hconf h=I.

45. Demuestre o refute con un contraejemplo las siguientes afirmaciones:

a) f (g+h) =f g+f h

b) (g+h)f =gf+gf

c) 1

fg =

1

f ◦g

d) 1

f◦g =f◦

1

g

Referencias

[1] E. D. Bloch,Proofs and fundamentals, Springer Science + Business Media LLC, 2011.

Referencias

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