Universidad de Antioquia
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Instituto de Matem´aticas
Curso Introducci´on al c´alculo Taller 3 - Funciones
´
Ultima actualizaci´on: 12 de junio de 2012
Nota: Los ejercicios a continuaci´on propuestos cubren el tema de relaciones y funciones. El taller est´a propuesto como preparaci´on a los temas a evaluar en el tercer parcial. Los ejercicios son tomados de los textos citados al final en la secci´on de referencias y recomendamos consultarlos directamente.
1. SeanA={a, b, c}yB={1,2,3}. Determine cu´ales de los siguientes conjuntos son funciones deA
enB:
a) {(b,1),(c,2),(a,3)} b) {(a,3),(c,2),(a,1)}
c) {(c,1),(b,1),(a,2)} d) {(a,1),(b,3)}
e) {(c,1),(a,2),(b,3),(c,2)} f) {(a,3),(c,3),(b,3)}
2. Denotemos por X al conjunto de todos los seres humanos. De las siguientes relaciones determine cu´ales son funcionesX →X.
a) f(a) es la madre de a. b) g(a) es hermano dea. c) h(a) es amante dea.
d) k(a) es el primog´enito deasiaes padre y es la madre deaen otro caso.
3. Considere los conjuntos X = {1,2,3} e Y = {♠,♣,♥}. Indique cu´ales de las correspondencias ilustradas en los siguientes diagramas son funciones deX enY y determine su rango.
1
2
3
♠ ♣ ♥
X f Y
(a)
1
2
3
♠ ♣ ♥
X f Y
(b)
1
2
3
♠ ♣ ♥
X f Y
(c)
1
2
3
♠ ♣ ♥
X f Y
(d)
1
2
3
♠ ♣ ♥
X f Y
(e)
1
2
3
♠ ♣ ♥
X f Y
4. Determine cu´ales de las siguientes f´ormulas definen funcionesR→R.
a) f(x) =x 2−1
x+ 3 para todox∈R. b) g(x) =px2−2x+ 3 para todox∈R.
c) h(x) =
(
x2 six≥1,
x−1 six≤0.
d) p(x) =
( x5
−2 six≥1,
|x| six≤1.
e) q(x) =
(
x2−2x+ 3 si x≥0,
x+ 3 si x≤0.
5. Para cada una de las siguientes f´ormulas “f(x) =· · ·”, encuentre el subconjunto m´as grandeX⊆R que hace quef :X →Rsea funci´on.
a) f(x) = 1
x4−16 b) f(x) =√1−x2. c) f(x) =p1−√1−x2.
d) f(x) =√1−x2+√x2−1.
e) f(x) =
(√
x six∈X yx≥0, x+ 1 six∈X yx≤0,
6. Sea
f(x) =
0 six es irracional,
1
q six= p
q conpyqtales que mcd(p, q) = 1.
a) Demuestre quef :R→Res funci´on.
b) Eval´uef enx= 0, x= 24, x= 0.121212· · · yx=π.
7. Considere las funciones f, g :R→ Rdefinidas por f(x) =⌈x⌉ yg(x) =⌊x⌋donde ⌈x⌉ denota al menor entero que es mayor o igual que x (por ejemplo ⌈3.1⌉= 4,⌈1.99⌉ = 2, mientras que ⌊x⌋ denota almayor entero que es menor o igual quex(por ejemplo⌊3.1⌋= 3,⌊1.99⌋= 1, Demuestre quef yg son funciones y halle sus rangos.
8. Sea X 6=∅ y S⊆X subconjunto. Lafunci´on caracter´ıstica para S en X, denotada porCS, es la funci´onCS :X → {0,1}definida por
CS(x) =
(
1 si x∈S,
0 si x∈X−S.
a) ConsidereS = [0,1). Eval´ueCS(−3), CS(0), CS(0.5) yCS(1).
b) SeanA, B⊆X. ExpreseCA∩B, CA∪B yCX−A en t´erminos deCA yCB.
c) SeanA, B⊆X. Demuestre queCA=CB si y solo siA=B.
d) Seaf la funci´on constante f(x) = 1 para todox∈X. Demuestre que existe un subconjunto
A⊆X tal quef =CA.
e) Sea f una funci´on con valores en R. Demuestre que f =f2 si y solo sif =CA para alg´un
A⊆R.
9. Encuentre el rango de las siguientes funciones.
a) f :R→Rdefinida porf(x) =x2 −4. b) g:R→Rdefinida porg(x) =x3
−x2. c) h:R→R+ definida porh(x) =ex−1+ 3.
d) p:R→Rdefinida porp(x) =√x2+ 5. e) q : R → R definida por q(x) = cos2x+
10. Para cada una de las funcionesf :R→Ry los subconjuntosT ⊆Rdados a continuaci´on, determine
f(T) y f−1(T).
a) f :R→Rdefinida porf(x) = (x+ 1)2 yT= [ −1,1]. b) f :R→Rdefinida porf(x) = (x+ 1)2 yT= [
−5,2].
c) f :R→Rdefinida porf(x) =⌈x⌉(ver ejercicio (7)) yT = (1,3). d) f :R→Rdefinida porf(x) =⌊x⌋(ver ejercicio (7)) yT = [0,2]∪(5,7).
11. Seag:R2→Rla funci´ong(x, y) =xy para todox, y ∈R. Realice un bosquejo en el plano de los siguientes subconjuntos deR2:
a) g−1
({3}) b) g−1
([−1,1])
12. Para las funcionesf ygdescritas a continuaci´on, halle:
a) (g◦f)(a) b) (g◦f)(b) c) (g◦f)(c) d) (g◦f)(d)
X
a b
c d
Y
1 2
3 4
Z
♣ ♠ ♥
g f
13. Para cada una de las funcionesf yg dadas a continuaci´on, hallef◦g yg◦f.
a) f :R→Rdefinida porf(x) =exyg:R→Rdefinida porg(x) = senx.
b) f :R+ →R+ definida porf(x) =x7 yg:R→Rdefinida porg(x) =x−3. c) f :R→[0,∞) definida porf(x) =x6yg: [0,
∞)→Rdefinida porg(x) =√6x.
d) f :R→Rdefinida porf(x) =⌊x⌋yg:R→Rdefinida porg(x) =⌈x⌉(ver ejercicio (7)).
14. Para cada una de las funcionesf :R→Rdadas a continuaci´on, encuentre funcionesg, h:R→R (ambas distintas a la funci´on identidad) tales quef =h◦g.
a) f(x) =√3
x+ 7 para todox∈R. b) f(x) =√3
x+ 7 para todox∈R.
e) h(x) =
(
x6 six ≥0,
x4 six <0. f) h(x) =
(
x3 six ≥0, x six <0.
15. Seanf, g:R→Rdefinidas por
h(x) =
(
1−2x six≥0,
|x| six <0. y h(x) = (
3x six≥0, x−1 six <0.
16. SeanA, B yC conjuntos yf :A→B yg:B→C funciones. Suponga quef y gtienen inversas. Demuestre queg◦f tiene una inversa y que (g◦f)−1=f−1
◦g−1.
17. Encuentre dos inversas a derecha para la funci´onf(x) =|x|para todox∈R.
18. Encuentre dos inversas a izquierda para la funci´ong(x) =x3+ 4 para todox ≥0.
19. Seanf, g:R→Rdefinidas por
f(x) =
(
4x+ 1 six≥0,
x six <0. y g(x) = (
3x six≥0, x+ 3 six <0.
Halle una inversa para g◦f.
20. Determine si cada una de las funciones dadas a continuaci´on es inyectiva y/o sobreyectiva.
a) s:R→Rdefinida pors(x) =x4
−5 para todox∈R.
b) g: [0,∞)→[0,1) definida porg(x) =1+xx para todox∈[0,∞). c) k:R2→Rdefinida pork((x, y)) =x2+y2 para todox, y∈R. d) Q:N→P(N) definida porQ(n) ={1,2, ..., n}para todon∈N.
21. En cada uno de los siguientes casos determine sif(x) = 3x+ 5 para cadaxen el dominio respectivo es una funci´on inyectivo y/o sobreyectiva.
a) f :Z→Z b) f :Q→Q c) f :Q→R d) f :R→R
22. Demuestre que la funci´onf :R→(−1,1) definida por
f(x) =
x2
1 +x2 six≥0, −x2
1 +x2 six <0. es biyectiva.
23. SeanAyS conjuntos no vac´ıos tales queS⊆A.
a) Demuestre que la funci´on identidad
I: A −→ A a 7−→ a
es biyectiva.
b) Demuestre que la funci´on inclusi´on
J : S −→ A s 7−→ s
es inyectiva.
24. Sean A yB conjuntos no vac´ıos y S ⊆A. Demuestre o refute con un contrajemplo los siguientes enunciados:
b) Sig:A→B es sobreyectiva, entonces la restricci´ong|S es sobreyectiva.
c) Seah:S→B una funci´on yH :A→B una extensi´on deh. Sihes inyectiva, entoncesH es inyectiva.
25. Determine si la funci´ong◦f del ejercicio (12) es inyectiva
26. SeanA, ByCconjuntos yf :A→B yg:B→Cfunciones. Demuestre los siguientes enunciados:
a) Sig◦f es inyectiva, entonces f es inyectiva. b) Sig◦f es sobreyectiva, entonces ges sobreyectiva.
c) Sig◦f es biyectiva, entoncesf es inyectiva yges sobreyectiva.
27. Seaf(x) = 1/(1 +x). Eval´ue:
a) f(f(x)) b) f 1
x
c) f(cx) d) f(x+y) e) f(x) +f(y)
d) ¿Para qu´e valores dec existe un n´umeroxtal quef(cx) =f(x)?
e) ¿Para qu´e valores dec se cumple quef(cx) =f(x) para dos valores distintos dex?
28. Seang(x) =x2 y
h(x) =
(
0 si x es racional,
1 si x es irracional.
a) ¿Para qu´e valores dey esh(y)≤y? b) ¿Para qu´e valores dey esh(y)≤g(y)? c) ¿Qu´e esg(h(z))−h(z)?
d) ¿Para qu´e valores dewesg(w)≤w?
e) ¿Para qu´e valores deεesg(g(ε)) =g(ε)?
29. Sean S(x) = x2, P(x) = 2x y s(x) = sinx. Determinar los siguientes valores. En cada caso la
soluci´on debe ser unn´umero.
a) (S◦P)(y) b) (S◦s)(y)
c) (S◦P◦s)(t) + (s◦P)(t) d) s(t3)
30. Exprese cada una de las funciones dadas a continuaci´on, en t´erminos de las funcionesS, P ysdel ejercicio anterior (29), usando solamente +,·y◦ (por ejemplo, la soluci´on dea) esf =P◦s).
a) f(x) = 2senx. b) f(x) = sen 2x.
c) f(x) = senx2. d) f(x) = sen2x.
e) f(t) = 22t.
f) f(u) = sen(2u+ 2u2 ).
g) f(y) = sen(sen(sen(22seny
))).
h) f(a) = 2sen2
a+ sen(a2) + 2sen(a2 +sena).
31. a) Six1, . . . , xn son n´umeros distintos, encuentre una funci´on polin´omialfi de gradon−1 que tome el valor 1 en xi y 0 enxj paraj 6=i.
b) Encuentre ahora una funci´on polin´omial de gradon−1 tal que f(xi) =ai, dondea1, . . . , an son n´umeros dados.
b) Demuestre que sif(a) = 0, entoncesf(x) = (x−a)g(x) para alguna funci´on polin´omicag
c) Demuestre que sif es una funci´on polin´omica de gradon, entoncesf tiene a lo sumonra´ıces, es decir, existen a lo sumonn´umerosatales quef(a) = 0.
d) Demuestre que para todo n∈Nexiste una funci´on polin´omial de gradonconn ra´ıces. Sin
es par, encuentre una funci´on polin´omica de gradonsin ra´ıces, y sines impar, encuentre una con una sola ra´ız.
33. Demuestre que la funci´onf(x) = 1 +x2n/2
no es un polinomio paranimpar.
34. Seaf(x) una funci´on polinomial con coeficientes reales tal quef(x)≥0 para todox∈R. Demuestre que existen polinomios q1(x) yq2(x) con coeficientes reales tales que f(x) =q1(x)2+q2(x)2 para todo x∈R.
35. ¿Para qu´e n´umerosa, b, cydla funci´on
f(x) = ax+d
cx+b
satisfacef(f(x)) =xpara todox?
36. Una funci´on de valor real esparsif(x) =f(−x) eimparsif(x) =−f(−x). Ejemplos de funciones pares son f(x) = x2, f(x) = |x| y f(x) = cosx; ejemplos de funciones impares son f(x) = x y
f(x) = senx.
a) Determinar sif+ges par, impar o no necesariamente ninguna de las dos cosas, en los cuatros casos obtenidos al tomar f par o impar ygpar o impar.
b) H´agase lo mismo paraf·g. c) H´agase lo mismo paraf◦g.
d) Demostrar que para toda funci´on parf existen infinidad de funcionesgtales quef(x) =g(|x|).
37. a) Demostrar que cualquier funci´onf con dominio R se puede expresar en la formaf =g+h, congpar yhimpar.
b) Demu´estrese que esta manera de expresarf es ´unica.
38. Seaf una funci´on de valor real que satisfacef(x+y) =f(x) +f(y) para todoxyy.
a) Demuestre quef(x1+. . .+xn) =f(x1) +f(x2) +. . . f(xn).
b) Demostrar que existe un n´umero realctal quef(x) =cxpara todosx∈Q.
39. Seaf una funci´on de valor real que satisface
f(x+y) =f(x) +f(y) y f(x·y) =f(x)·f(y)
para todo x ey. Demuestre que si f(x) 6= 0 para alg´unx, entonces f(x) =xpara todo x, como sigue:
a) Demostrar quef(1) = 1.
b) Demostrar quef(x) =xsixes racional. c) Demostrar quef(x)>0 six >0. d) Demostrar quef(x)> f(y) six > y.
40. ¿Qu´e condiciones precisas deben satisfacerf, g, hykpara quef(x)g(y) =h(x)k(y) para todoxe
y.
41. a) Demostrar que no existen funcionesf yg con alguna de las propiedades siguientes: 1) f(x) +g(y) =xypara todoxey.
2) f(x+y) =g(x)−y para todo xey.
b) Hallar funcionesf ygtales quef(x+y) =f(xy) para todo xey.
42. a) Hallar una funci´onf que no sea constante y tal que|f(y)−f(x)≤ |y−x|.
b) Sup´ongase quef(x)−f(y)≤(y−x)2 para todoxey. Demostrar quef es una constante.
43. a) Sup´ongase que g es una funci´on con la propiedad de ser g(x)=6 g(y) six6=y. Demu´estrese que existe una funci´onf tal quef◦g=I. (I es la funci´on identidad).
b) Sup´ongase quef es una funci´on tal que todo n´umerobpuede escribirse en la forma b=f(a) para alg´un n´umeroa. Demostrar que existe una funci´ongtal quef ◦g=I.
44. Hallar una funci´onf tal queg◦f =Ipara alguna funci´ong, pero tal que no exista ninguna funci´on
hconf ◦h=I.
45. Demuestre o refute con un contraejemplo las siguientes afirmaciones:
a) f ◦(g+h) =f ◦g+f ◦h
b) (g+h)◦f =g◦f+g◦f
c) 1
f◦g =
1
f ◦g
d) 1
f◦g =f◦
1
g
Referencias
[1] E. D. Bloch,Proofs and fundamentals, Springer Science + Business Media LLC, 2011.