Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia, Depto. de Matem´atica y C.C. Departamento de Matem´atica y C.C.
Asignatura: C´alculo Anual Ingenier´ıa Civil PEP 2, A˜no 2011
Problema 1.(20 pts.) Considere la funci´on f(x) = 1 3√2π exp
(
−1
2 (
x−2 3
)2)
, x∈R.
(1.1) Verifique que f′(x) =−1
9(x−2)f(x) y f
′′(x) =−1
9 (
1−1
9(x−2) 2
) f(x).
(1.2) Determine m´aximos y/o m´ınimos y puntos de inflecci´on.
(1.3) Encuentre intervalos de crecimiento y de concavidad.
(1.4) Determine as´ıntotas y grafique la funci´on f.
Problema 2. (10 pts.) Usando L’Hˆopital, calcule:
(2.1) l´ım
x→0
x x+ ln(x+ 1)
(2.2) l´ım
x→0
2x senx
(2.3) l´ım
x→0
( 2x senx
) x x+ln(x+1)
Problema 3. (15 pts.) La relaci´on (1−x)y2 −1 = ln (
1 8x
2y3 )
−x4 (∗) define a y como funci´on impl´ıcita dex.
(2.1) Calcule el valor dey cuando x= 1.
(2.2) Encuentre dy dx.
(2.3) Determine la ecuaci´on de la recta normal a la curva dada por la relaci´on (∗), cuandox= 1.
Problema 4. (15 pts.) Por la parte superior de un taz´on semiesf´erico de radio R = 10[m], entra agua a raz´on constante de 2Q[minm3 ]. Adem´as, en la parte inferior el taz´on tiene un orificio que permite la salida del agua a raz´on constante de Q[minm3] . Ver figura
vista lateral
Se puede demostrar que en cualquier instante el volu-men de agua en el taz´on es V =Rπh2−π
3h
3, dondehes la
profundidad del agua en el taz´on Calcule el valor de la raz´on Qen [minm3 ], si la raz´on de cambio de la profundidad del agua cuando el taz´on est´a lleno a la mitad de su capacidad es de
1 225π[
m
Una soluci´
on PEP 2
Problema 1.(20 pts.) Considere la funci´on f(x) = 1 3√2π exp
(
−1
2 (
x−2 3
)2)
, x∈R.
(1.1) Dada f(x) = 1 3√2π exp
(
−1
2 (
x−2 3
)2) .
Calculo de la 1a Derivada
f′(x) = d dx
[ 1 3√2π exp
(
−1
2 (
x−2 3
)2)]
= 1 3√2π exp
(
−1
2 (
x−2 3
)2)
·
(
−1
2 )
2 (
x−2 3
)
·1
3
= 1 3√2π exp
(
−1
2 (
x−2 3
)2)
·
(
−1
9(x−2) )
= f(x)· (
−1
9(x−2) )
= −1
9(x−2)f(x)
Calculo de la 2a Derivada. Usando el resultado anterior se tiene:
f′′(x) = d dx
[
−1
9(x−2)f(x) ]
= −1 9
d
dx[(x−2)f(x)]
= −1 9 [
f(x) + (x−2)f′(x)]
= −1 9
{
f(x) + (x−2) [
−1
9(x−2)f(x) ]}
= −1 9
( 1− 1
9(x−2) 2
) f(x)
(1.2) Determine m´aximos y/o m´ınimos y puntos de inflecci´on.
Comentario previo: Ya que la funci´on exponencial verifica que expx > 0, ∀ x ∈ R, claramente, f(x)>0, ∀ x∈R. Por lo tanto
f′(x) = 0 ⇔ −1
9(x−2)f(x) = 0
⇔ x−2 = 0
⇔ x= 2
Entonces, x = 2, es un posible m´aximo o m´ınimo para f. Si utilizamos el criterio de la 2a derivada
para m´aximos y/o m´ınimos, se tiene
f′′(2) =−1 9
( 1− 1
9(2−2) 2
)
f(2) =−1 9 <0.
Los candidatos a puntos de inflexi´on son los x tales que f′′(x) = 0 o f′′(x) no existe. Como f′′(x) existe, para todox∈R, entonces estudiamos la ecuaci´on f′′(x) = 0.
f′′(x) = 0 ⇔ −1 9
( 1−1
9(x−2) 2
)
f(x) = 0
⇔ 1−1
9(x−2) 2 = 0
⇔ (x−2)2 = 9
⇔ x−2 =±3
⇔ x=−1 ∨ x= 5
En consecuencia, x=−1 y x= 5 son candidatos a punto de inflecci´on.
(1.3) Encuentre intervalos de crecimiento y de concavidad.
Crecimiento def. Determinemos el signo def′(x)
f′(x)>0 ⇔ −1
9(x−2)f(x)>0
⇔ x−2<0
⇔ x <2
f′(x)<0 ⇔ −1
9(x−2)f(x)<0
⇔ x−2>0
⇔ x >2
Por lo tanto f es estrictamente creciente en el intervalo ]− ∞,2[ y estrictamente decreciente en el intervalo ]2,∞[.
Concavidad de f. Determinemos el signo def′′(x).
f′′(x)>0 ⇔ −1 9
( 1−1
9(x−2) 2
)
f(x)>0
⇔ −1
9 (
1−1
9(x−2) 2
) >0
⇔
( 1−1
9(x−2) 2
) <0
⇔ 9−(x−2)2<0
⇔ x∈]− ∞,−1[ ∪]5,+∞[
f′′(x)<0 ⇔ −1 9
( 1−1
9(x−2) 2
)
f(x)<0
⇔ −1
9 (
1−1
9(x−2) 2
) <0
⇔
( 1−1
9(x−2) 2
) >0
⇔ 9−(x−2)2>0
Por lo tanto f es convexa en ]− ∞,−1[∪]5,+∞[ y concava en ]−1,5[. Adem´as,
conculimos que x=−1 y x= 5 son puntos de inflecci´on.
(1.4) Determine as´ıntotas y grafique la funci´on f.
As´ıntotas Verticales: No tiene, ya que la funci´onf(x) es continua en todo R.
As´ıntotas Horizontales: Calculemos los limites.
l´ım
x→±∞f(x) = l´ımx→±∞
1 3√2π exp
(
−1
2 (
x−2 3
)2) = 0
En consecuencia, la rectay = 0 es As´ıntota Horizontal.
Gr´afico def(x)
5 0
-5 -10
0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0
x
15 10
Problema 2. (10 pts.) Usando L’Hˆopital, calcule:
(2.1) La evaluaci´on directa del limite, muestra que ´este tiene forma indeterminada 00. Usando L’Hˆopital se
tiene
l´ım
x→0
x
x+ ln(x+ 1) = l´ımx→0 1 1 +x+11 =
1 2
(2.2) La evaluaci´on directa del limite, muestra que ´este tiene forma indeterminada 00. Usando L’Hˆopital se tiene
l´ım
x→0
2x
senx = l´ımx→0 2 cosx = 2
(2.3) En virtud a los items anteriores y del hecho que(sen2xx)
x
x+ln(x+1) = exp
(
x
x+ln(x+1) ·ln
( 2x senx
))
l´ım
x→0
( 2x senx
) x x+ln(x+1)
= exp (
1 2 ·ln 2
) =√2 .
Problema 3. (15 pts.) La relaci´on (1−x)y2−1 = ln (
1 8x
2y3 )
−x4 (∗) define a ycomo funci´on impl´ıcita de x.
(2.1) Si x= 1, entonces
(1−1)y2−1 = ln (
1 81
2y3 )
−14 ⇒ −1 = ln (
1 8y
3 )
−1
⇒ ln
( 1 8y
3 )
= 0
⇒ 1
8y
3=e0 = 1
⇒ y3= 8
(2.2) Encuentre dy dx.
La relaci´on (∗) se pede escribir como ln (
1 8x
2y3 )
−(1−x)y2 =x4−1. Derivamos impl´ıcitamente (1
8x 2y3)′
1 8x2y3
−(−y2+ (1−x)·2y y′ )
= 4x3
1 8 (
2xy3+x2·3y2 y′) 1
8x2y3
−(−y2+ (1−x)·2y y′ )
= 4x3
2 x +
3 y y
′+y2−(1−x)2y y′= 4x3
( 3
y −(1−x)2y )
y′= 4x3− 2 x −y
2
y′ = 4x 3−2
x −y
2 (
3
y −(1−x)2y
)
(2.3) Determine la ecuaci´on de la recta normal a la curva dada por la relaci´on (∗), cuandox= 1.
Como vimos en el item (2.1), six= 1 entoncesy= 2, por lo tanto, se debe determinar la ecuaci´on de la recta normal, que pasa por el punto de coordenadas (x0, y0) = (1,2).
La pendiente de la recta tangente en el punto (x0, y0), se obtiene al calculary′(x0, y0), usando el item (2,2) se tiene
y′(x0, y0) =y′(1,2) =
4·13− 21−22 (3
2 −(1−1)2·2
) =−4 3
La relaci´on entre la pendiente de la recta tangente y normal esmt·mn=−1, conmtpendiente de la
recta tangente y mn pendiente de la recta normal. En consecuencia
−4
3 ·mn=−1 ⇒ mn= 3 4
La ecuaci´on de la recta normal es dada por: y−y0 = mn(x−x0), luego la ecuaci´on pedida es
y−2 = 34(x−1), es decir, y= 34x+54.
Problema 4. (15 pts.) Dado que el valor del radio del taz´on esR= 10[m], el volumen de agua en ´el (para cualquier instante) ser´a V = 10πh2−π3h3, donde el volumen de agua V y la profundidadh son funciones dependientes del tiempot, entonces, la variaci´on del volumen en el tiempo es
dV dt =
(
20πh−πh2)dh
dt (sin considerar unidades)
Adem´as se tiene que
dV
dt = 2Q−Q=Q Entonces
Q=(20πh−πh2)dh dt Comoh= 5 y dhdt = 2251π, se obtiene que
Q= 75π· 1 225π =
