9SESOR R E S P O N S A B L R ~ b e ~ o

Texto completo

(1)

CONTESTAR CON MAOUINA DE ESCRIBIR

RLUMNO:

Morales

Contreras

Rafael

APELLIDO PATERNO APELLIDO MATERNO NOMBRE

- -

MATR~CULA:- TELEFDNO

''a'

75

','

LICENCIATURA: F f w ~ ~ ~

dREA DE CONCENTRAC16N:

-

rip0 DE SERVICIO SOCIAL: (

XI

0 ( 1

INTERNO EXTERNO A

IA

FEDERACION

YOMBRE DEL

PROYECTO^'^^?^^

9SESOR R E S P O N S A B L R ~ b e ~ o

Aau

iro

h . h

a.Elizabeth

i&

S e i

Qe

Hsi

c a

:ARCO:

Profesor

C.

Deoto.

HGf&ONO:

57-24-4647

Profeaora

Titular 6.

Dento.

1.P.K

.LIGAR DE REALIZACIÓN:

>OMICILIO: ha-

'"cm

v

'I p17"fs7a8-

v7c-

(2)

I

PROBLEMARIO

DE

FISICA MODERNA

< . .,.,

.

.. .

..

. . . . I . . . .

(3)

PREFACIO

Este problemario surgio como resultado de mi Sewicio SoLial, con la intención de que pueda serle de utilidad a todos aquellos estudiantes que cursan la materia de Introduccion a la Fisica Moderna en la UAM-lztapalapa, y que buscan un apoyo que les guie en la solución de problemas tipicos de la materia.

Conjuntamente con mis asesores, el Dr. Norbert0 Aquino Aquino y la Dra. Elizabeth M. Salinas Barrios, hemos procurado que la solucion de los problemas sea lo más clara posible Para ello. en todos los problemas se han incluido muchos de los pasos intermedios que en la mayoría de los libros de texto se omiten por motivos de espacio y por darle continuidad al tema en cuestión. Sin embargo, esta omisión de pasos suele ocasionar dificultades a una gran cantidad de estudiantes. Ademds, cuando se ha creido pertinente, se ha incluido alguna figura o esquema que ayude a visualizar lo que el enunciado del problema pide o la respuesta al problema.

AI final de cada capitulo, el estudiante encontrará una sección de problemas propuestos. Esta sección, tiene la doble finalidad de (a) reforzar las ideas que se manejaron en los problemas resueltos del capitulo y (b) cubrir aquellos temas que no se hayan analizado, pero que forman parte importante de la teoria.

Deliberadamente, no presentamos las respuestas de los problemas propuestos. Esto lo hacemos asi porque muchos de ellos ya están resueltos o son muy parecidos a problemas resueltos en los libros de texto que se mencionan en la bibliografía. Así que, con la guia que proporciona este problemario. se espera que el estudiante sea capaz de resolverlos. Los que si hemos resuelto aqui. son una coleccidn de problemas que se recomiendan en estos mismos libros de texto.

(4)

Capítulo

1

Capítulo

2

Capítulo

3

Capítulo

4

Capítulo

5

Capítulo

6

CONTENIDO

Transformaciones de Galileo

Problemas Propuestos.

1

6

Transformaciones de Lorentz

Problemas Propuestos

8 14

Medidas Relativistas de Longitud

y

Tiempo.

Problemas' Propuestos.

15 19

Masa, Energía e ímpetu en la Relatividad Especial.

(5)

CAPITULO

I

TRANSFORMACIONES DE GALILEO

1 .- Una particula en un sistema de referencia inercia1 Si tiene una posición dada por:

donde t esta en segundos y x i está en metros. Encuentre expresiones para la posición, velocidad y

aceleración medidas por un observador que se mueve en la dirección positiva del eje

x

con una velocidad de 10 mls. Suponga que t = O cuando los sistemas S i y S2 coinciden.

... (1)

Solución: Véase la siguiente figura:

Y1

si

S2

y2kia-

De las ecuaciones de transformación galileanas. sabemos que:

.Y2 = x,

-

11: ... (2)

Sustituyendo la ecuacion.(l) en (2):

.r> = (30 m/s)t + ( I

o

% * ) f . - ( I O

m/s)f

[x- = (20%) c ( I 0 z t ) f ’ l donde x2 representa la posición de la partícula medida en el sistema S2

Para encontrar v2 (velocidad en el sistema Sz). derivamos respecto a

.

t:

-

dt dt

..

-1

Velocidad medida por el ObSeNadOr en s2.

(6)

-1

Aceleración medida por el observador en SZ.

2.-Un elevador se mueve verticalmente hacia arriba con una velocidad constante de 5 rnls. Cuando el elevador está a 10 m por encima del suelo, una persona que está en el suelo lanza una pelota verticalmente hacia arriba a 20 mls. Escriba las expresiones que representan la posición, velocidad y aceleración de la pelota relativas a la persona que está en el suelo'y a una persona que va en el elevador. '

Solución:

vi=2omlr

bra

;;j,,

/

/

/

,

,

Denotaremos por yi;vi, ai,

tr,

a las cantidades medidas desde el sistema de referencia fijo en el suelo; y llamaremos yz, vz, az.

U.

a las cantidades medidas desde el sistema de referencia montado en

el elevador.

En mecánica clásica, el tiempo corre de igual manera para todos los observadores, sin importar su estado de movimiento; así que t i =

t2=

t. Por lo tanto t representa el tiempo para ambos observadores

Las expresiones para la posición, velocidad y aceleración para el observador en el suelo están dadas por:

-

1-1

_.. .,._._ (1)

La velocidad

v?

viene dada por:

donde y1 esta en rn y t está en s.

Y = - = - ( 2 0 t - 4 . 9 t a ) = 2 0 - 9 . 8 t dY1 d

'

dt

dt

(7)

‘il = -9,s

y:

. . . (3)

L L I

La ecuación de transformación galileana para la posición

sera:

. _

v.

= y ,

-

111

-

IOm

El termino (-lorn) se debe a que en el tiempo t=O. el elevador está a 10m por encima de suelo. (Véase la figura).

y 2

= yi

-

51 .- 1

O

... (4) donde y2 está en

m.

Las expresiones de la posición. velocidad y aceleración para el observador

en

el elevador serán:

Sustituyendo la ecuaci6n (1) en la (4):

Y 2 = l S t - 4 . 9 t ’ - l O ( donde yz está en m. y t esta en s.

v. =-=b(15t- 4.91’

-io)=

15- 9.8f

-

dr dt

-1

donde

vz

está m/s.

--2=-(1-

dv,

d

J

-

9.81) = -9.8 : - dt

dr

1-1

donde az está en rnl S’

Observe que al=az, como era de esperarse

.

3.- En t=O, una pelota es lanzada desde 01 en un sistema estacionario SI con una rapidez vo=30m!s formando un ángulo de 60 como se muestra en ia figura. Los sistemas SI y

SZ

coinciden al tiempo t=O, y el Sistema Sz se mueve en la direccion positiva XI con una.;rapidez de 10rnls. Escriba las

expresiones para la posición y para las componentes rectangulares de la velocidad y de la aceleracion de la pelota scgrin se observan desde los sistemas

Sr

y S2.

(8)

Solution:

Desde el sistema SI, la pelota se movere en una trayectoria parab6lica descrita por las ecuaciones del tiro paraboiico:

xI

= (v,cosóO")t

=

30(0.5)t

=

15t

y, =(v0sen60")t --gt2 2 I

...

(1) donde XI y yi están en m, y t está en S.

dr,

d dt dt

y , , = - = - ( 1 5 t ) = 1 5

v , I =

-

dyl =

-

( i 5 f i t - 4 . 9 t 2 ) = 15fi-9.81 . dt dt

...

(2)

donde vXi y vy9 estan en mis. y t esta

en

S.

.i

...

donde ax1 y ay1 estan en mls' .

O , , = -9.8

(9)

.Y, = .Si - 111

;..

= ;.,

Sustituyendo la ecuacion (1) en (4a) y (4b): . . . . . . . .

iW

donde u=lOrnls.

. . , . , . , . (4b) porque los sistemas de referencia sólo tienen movimiento relativo en la

. . . <

direction x.

1.S: = 51

I

donde x2 y y2 están en m. y t está en s

donde VXZ, vy2 están en mls, y t está en s.

I

V<' = 5

v,, =l5&-9.Si

dv,, d

u,, =

-

= -(5) =

o

di dt

di dt

u , , = - = - ( 1 5 f i - 9 . 8 1 ) = - 9 . 8

dVy, d

donde a s , ay2 están en mls'

4.-Un hombre que puede remar un bote a una velocidad de Skmlh en agua tranquila desea cruzar un

rio

de I k m de anchura y

que

fluye a una velocidad de 3kmlh.

(a) ¿A que ángulo con respecto a la orilla del rio debe dirigir su bote para alcanzar la otra orilla en el (c) 'üue punto directamente opuesto a él? (b) Calcule la rapidez del bote relativa a la orilla.

tiempo se requiere para cruzar el

rio?.

punto de llegada

e .. 1 - I Vagua

-

.

d = l K m Vresultanie

$

e

I

Vbote

i

.~.

__

I

-.

(10)

Ssiuiion.

Para que el bote alcance el punto directamente opuesto al punto de partida, 1; veloc~dad resuitante de! hole debe estar dirigida a ese punto, es decir, la suma vectorial de las velocidades del bote en agua tranquila y del agua

cOsr,.

debe ser igual a la velocidad resultante del bote en el rio <r<3,,,,c,,,:d

como se muestra en la figura.

-

a)

De la figura se puede observar que:

-1

Anguio respecto a la orilla.

c)

El tiempo requerido para cruzar el rio sera:

iKm

6Omin

d

0.25h = 0.254

Ih)

= I Smifi

,ti",lii"<t 4

/h

-

PROBLEMAS PROPUESTOS

-

1-1.- El ímpetu se conserva en una colisibn de dos objetos. segun lo mide un observador situado en un tren en movimiento uniforme; demuestre que también se conserva segun

lo

mide un observador en

(11)

3

3

3

3

3

P

1-2.-

Po:

,?ti;nición, la energia cinetica ss conse-ma en una iolislon éiastica usé las tcuacicrej ,:e iransformacion galileana para demostrar que. si una colision es elastica en un ststerna inercia¡ serlo en todos los sistemas inerciales.

1-3.-

Un atsmo radiactivo emite una particula a con una rapidez de 5 x

ioo%

relativa al atomo. Si el

átomo se mueve en la dirección opuesta con una rapidez de 3 x

io’%

relativa al sistema de laboratorio, determine la energia cinktica y el impetu de la particula a segun se observa desde (a) el átomo en movimiento, y (b) el sistema de laboratorio.

14.- Una bomba es lanzada desde un avión que vuela a una altitud de h

=

2000 m y con una velocidad horizontal y constante de v = 150 mls. AI tiempo t

=

O, los sistemas del avión y de un

observador en tierra coinciden. Obtenga las expresiones para la (a) posici6n, (b) velocidad, y (c) aceleración de la bomba segdn la observa un espectador en tierra (sistema S) y el piloto en el avión (sistema S). .

1-5

-

Escriba las ecuaciones de transformaci6n galileana para el caso de velocidad relativa arbitraria entre los Sistemas Sugerencia Utilice componentes cartesianas (VX,V~.VL) para la velocidad

V

(12)

CAPITULO

2

i !

o

3

TRANSFORMACIONES DE LORENTZ

-

o

3

5.- respectivamente, Dos particulas se acercan en direcciones opuestas y paralelas con velocidades de 0 . 8 ~ a un observador en reposo que se encuentra sobre la linea de acción. Calcule la y 0 . 7 ~ ,

velocidad relativa de los dos vehiculos (a) segun la mecánica clasica. y (b) según la mecanica relativista y compare los resultados.

Solución:

3

b

b

P

B

a

b

a

a

a

B

8

8

8

8

P

rn

8

rn

D

observador

w

:

~- ---_i

v, = O.& O v, = 0 . 7 ~

a) Según la mecánica clásica:

u

=

Y ,

-

v 2

=

0 . 8 ~

-

(-

0.7~)

=

0 . 8 ~

+

0 . 7 ~

=

1.5,

El signo menos (-) de v2 indica la dirección del movimiento

1

x

1

Velocidad relativa.

b)

Según la mecánica relativista:

.

vI

-

v2

0 . 8 ~

-

(-

0.7~)

0.8~

+

0 . 7 ~

1.5~

I--

1-

-

-

0 . 9 6 ~

-

-

24 =

-

VI V?

(0.8cN-

0.7~)

-

1

+

056

1.56

C2 C2

1-1

Velocidad relativa.

El resultado de la mecánka clásica (inciso (a)) contradice los postulados de la relatividad especial y

resultados experimentales de que ningiin objeto malerial puede tener una rapidez igual o mayor que la velocidad de la

luz,

c.

(13)

6.- Vn elcc:rbn es lanzado a un angulo de 37 " con respecto al eje x i con uria velocidad de ,%-IC

Determine la magnitud y dirección de la velocidad de este electron segun se mide desde un sistema d s referencia inercia1 que se mueve cornc se muestra en la figura, con una velocidad de (%)c.

Y1 Y2

VI = (1/2)C

v = (1/2)C

c.... . .

K

K

V l Y -

.. e, = 37-

~~~

-_

-

V l X X l x2

Solución:

Las ecuaciones de transformación de Lorenh para la velocidad son:

Nótese que aunque la velocidad v del sistema K esta dirigida sobre el eje x. vzx y vzy dependen de V l X .

1

2

1 2

vlr = vi cos4 = vI ~ 0 4 3 7 " ) = -4cos(37')] = 0 . 3 9 9 ~

vly = vlsen4 = vi sen(37") = -c[sen(37")] = I O . ~ O I L

Sustituyendo

los

valores nurn4ricos en las ecuaciones de transformación (l), tenernos:

-0.101c

1

-

(

Osc)(0.399c)

-

-

1-0.1995 = -0.126~

0 . 3 9 9 ~ - 0 . 5 ~

v2= =

C2

= 0.326~

-

0.30lcil -(?)I

-

-

0 . 3 0 i c G

I

-

0.1995

vzy

-

(14)

v]

Rapidez del electrón medida desde !I sistema K Para calcular el ángulo:

IV:,] 0.326~

Ivlr/

-

0.126~ - 2.5873

=

-

-

--

-

Y2

e

v2x x2

I

Pero como vzx c O y vzy 5 O, esto significa que estamos en el segundo cuadrante

8, = 180"-69" = 111"

le2

z

11 I O 1 Anguio medido a partir del eje x2

~

7.- A partir de las ecuaciones de transformación de Lorenh. resolver algebraicamente para x i . y i . zi y ti. y mostrar que las ecuaciones de transformación inversa de Lorentr pueden ser obtenidas intercambiando los subindices 1 por

2

de las coordenadas y.reemplazando v por -v.

Solución: Las ecuaciones de transformación de Corenh

son

(para el caso en que el sistema K se mueve con una velocidad w

a

lo largo del eje x respecto a un sistema

K):

XI

-

"4

...

(1 )

=.$=j7J

.

(15)

Para encontrar las ecuaciones de transformaciori inversa de Lorentz. hacemos lo siguiente

De la ecuacion (4), despejamos t l :

tI = l2

/qJ+($).yl

... (4)

Sustituyendo (4) en (1) :

Obteniendose:

ml

.

...

(5)

1-

-

(16)

ce

13 ecua¿lon (2) : ... (1;)

De la ecuación (3) :

. . .

(7)

Sustituyendo

(5)

en (4), se obtiene:

...

(8)

I ' =

d

Las ecuaciones (5), (6), (7) y (8) son las ecuaciones de transformación inversa de Lorenh.

Observe que estas ecuaciones se pueden obtener intercambiando los subindices 1 por 2, y sustituyendo v por -v en las ecuaciones (1). (2), (3) y (4). Esto es así porque si un observador en el sistema K (donde

se

miden las coordenadas xi. yi, zi y ti) ve que el sistema K' (donde se miden las coordenadas xz.

yz,

zz

y

tz)

se

mueve con una velocidad v respecto de él. un observador en el sistema K vera que el sistema K se mueve con velocidad -v respecto de él. Recuérdese que el movimiento de cualquier partícula es relativo a un sistema de referencia.

8.- Use las ecuaciones de transformación de velocidades de Lorenh para mostrar que SI

v ; ~ + v ; ~ +v: = c2 en otro sistema de referencia inercial Sz. (Esto muestra que la rapidez de la luz es la misma para todos los sistemas de referencia inerciales, de acuerdo con las ecuaciones de transformación de Lorentz).

en un sistema de referencia inercial Si. entonces +vi, +vi.

__

= C!

Solución: Si empezamos con:

2

Vli

+

v:,

+

v:,

= c2

c

(17)

Por lo tanto:

(18)

6

0

3

8

PROBLEMAS

PROPUZSTOS

2-1.- Suponga que un evento ocurre en S en

el

punto x = 100 Km, y = 10 Km. z = 1 Km en

I = 5, I0-'ss. Sea que S' se mueva a 0 . 9 2 ~ a lo largo del eje común x-x'. con respecto a S, los origenes coinciden en

t'

=

t

=

O. 'Cuáles son las coordenadas x', y', z', t' de este evento en S 7

Compruebe la respuesta utilizando la transformaci6n inversa para obtener los datos originales.

2-2.- A ciertas velocidades

v,

el valor de x. obtenido de la ecuaci6n galileana difiere en 0.1%. 1% y 10% del valor que proporciona la ecuación de Lorentz. 'Cuáles son esas velocidades?.

2-3.-

Dos

eventos, uno en la posición XI,

yi! 2 1 .

y el otro en la posición x2. y2. 22. ocurren en el mismo tiempo t, segiin el observador S. (a) ¿Le parecerán simultdneos estos eventos al observador S' que se mueve a velocidad v con respecto a S?. (b) Si no, ¿cu4 es el intervalo de tiempo que c' mide entre las ocurrencias de dichos eventos?.

2-4.- Un hombre en un automóvil que se mueve a una velocidad de 60 Kmlh lanza una bola en la misma dirección del movimiento del auto. Si la velocidad de la bola en relación al auto es de EO Kmlh, calcule la velocidad de la bola en relación al suelo, usando

los

puntos de vista de la mecanica (a) relativista, y

(b)

galileana,

y

compare los resultados.

2-5.-

Un electrón que se mueve hacia la derecha con una velocidad de

2 . 5 ~

IO'% pasa junto a un

electrón que se mueve hacia la izquierda con una velocidad de 2.8

]o'%.

Encuentre la velocidad de un electrón relativa al otro electrón.

2-6.- Una particula se mueve con una rapidez v. formando un dngulo

6

con el eje

x

en el sistema S Encuentre su rapidez y su dirección relativa al eje x del sistema S'.

2-7.- Deduzca la transformación de la aceleración relativista

-

. * '

1.':

LL!

1

( I , ' I !

. I

(I *=-

! , , Y I

I - . ~

.- I

- 2

dux du, dt

-

-

-

--

.I

dt'

dt di'

(19)

CAPITULO

3

MEDIDAS RELATIVISTAS DE LONGITUD

Y

TIEMPO

9.- U n observador esta en reposo respecto a un sistema de referencia S' que se mueve a una velocidad de 0 . 6 ~ con respecto a otro sistema de referencia inercia1 S. Si un observador en el sistema S deja caer una pelota y el observador en S' observa que la pelota tarda 1.5 s en caer, ¿en cuanto tiempo cayó la pelota para el observador en S?.

Solución: Sea t el tiempo medido por el observador en el sistema

S,

y t' el tiempo medido por el observador en

S'.

El problema nos pide encontrar el tiempo t si t'=1.5 s. Según la mecanica relativista:

donde v e s la velocidad relativa entre los sistemas de referencia S y

S'

I

-

10.- La vida media de un mu6n en reposo es de alrededor de 2 x 10-6s. Si los muones en los rayos cósmicos tienen una velocidad promedio de O 998c. encuentre la vida media de estos muones y la distancia aproximada que viajan antes de decaer.

Soluci6n: Sean t el tiempo de vida media en reposo y t' el tiempo de vida media a la velocidad v.

t ' = - @ I - -

(20)

-1

Para calcular la distancia que viajan los muones antes de decaer:

d

=

-

T

donde v es la velocidad promedio, d es la distancia recorrida y T es el tiempo

Si hacemos

T

=

t' .

d

I'

y = -

11.-La vida media observada de los piones

en

reposo es de 1.8 x IO-'s. Un haz de piones tiene una velocidad de 0 . 9 5 ~ . En

el.

sistema del laboratorio, Len cuanto tiempo decaerdn lo piones'. LQub

distancia viajardn los piones

en

ese tiempo?.

Soluci6n:

t

1-

-

f =

(21)

12.-Una barra de longitud LO esta en reposo en S, formando un ángulo0 con el eje

x.

Muestre que

un

observador en un sistema de referencia inercia1 S' que se mueve a velocidad v respecto a S. encuentra

que la longitud de la barra es

cos?

e

L'

= L"

y que el ángulo

0

' con el eje x está dado por

tg8'

=

y tge

Soluci6n:

o /

X

Y'

->

S'

V

X'

O'

Las contracciones de longitud debidas a

los

efectos relativistas s610 se presentan en la direcci6n del movimiento relativo.

El observador en

S'

que se desplaza con una velocidad v respecto a S verá lo siguiente:

(22)

en el sis:?Tra S la longitud de la barra es

-

Por lo tanto:

Pero:

L ” ~ =

L,,

cose

L~~ =

Lo

sen8

As¡ que:

Sea

1

Por lo tanto:

.

(23)

L

,, t g t , =

-

L".

tambien en S

Por lo tanto:

r 1

I t g e f = Y

tee1

PROBLEMAS PROPUESTOS

3-1.- Un aeroplano de 40 m de longitud en su sistema de reposo se mueve a velocidad uniforme de 630 mls, con iespecto a la,Tierra. (a) ¿Qué fracci6n de su longitud de reposo parece& acortarse. con respecto a un observador sobre la Tierra. (b) ¿Cuánto tiempo tardará seglin los relojes en Tierra, para que el reloj del aeroplano se retrase un microsegundo?. (Suponga que linicamente es válida la relatividad .especial).

3-2.- Se mide

la

longitud de una nave espacial y se encuentra un valor igual a la mitad de su longitud propia. (a) 'Cuál es la velocidad de la nave con respecto al sistema del observador?. (b) 'Cuál es la dilatación del tiempo de 1s medido en la nave'.

3-3.- Si la vida (propia) promedio de un m e s h $1 es 2.3 :< IO"5, ¿que distancia promedio vialaria este en el vacio antes de morir, de acuerdo con mediciones en diferentes sistemas de referencia, donde sus velocidad es de O c, O.&, 0 . 9 ~ . y O 3% :espectivamente?. Compare cada una de estas distancias con la distancie que el mismo meson "veria' que está viajando.

(24)

3-5

-

IJna t a x a rigida forma un ángulo 6: := 40'' con respecto

al

eje x2. ¿A que velocidad paralela al eje x i debe moverse la barra para que esta parezca estar a un ángulo 0, = 45'' ?. .

3

3-6.- ¿Qué tan grande debe ser la velocidad relativa entre dos observadores para que sus medidas de

intervalos de tiempo difieran en 1%?.

i

-a

a

3-7.- Un observador tiene un amigo de su misma edad que viaja

a

la estrella Alfa Centauri, a cuatro anos

luz

de la Tierra, y regresa inmediatamente. Insiste en que el viaje entero dur6 6 aiios exactamente. ¿Con que velocidad realizó el viaje?.

-

4

!

(25)

CAPITULO

4

MASA,ENERGíA

E íMPETU EN LA RELATIVIDAD ESPECIAL

13.- Un electrón se mueve con una velocidad de 1.8

Ioxm/s

masa en reposo. ‘Cuál es su energía total ?.

Encuentre la razón entre su masa y su

Solución:

Su masa estadada por:

donde rno es la masa en reposo de electrón.

1

(26)

Corno l e v = 1.6 x IO'"J :

La energia total está dada por:

E = m c 2 =

--

3 x IO'%

IE =

1.02 x

lO-"J

z

0.640MeV

I

14.-Un protón es acelerado en un sincrotrbn hasta que su energia cinetica es igual a su masa en reposo (938MeV). Encuentre la razón para este protón.

Soluci6n:

La

energla cinética esta dada por:

r

(27)

Como

K =

938MeY

= 938x

106eV

=

1.5.

lO-''J, tenemosque:

( 1 . 6 7 ~ 10-27Kg)(3x 1 0 8 ~ ~ ) 2

1.5

x lO-''J+ (1.67 x IO-l7Kg)(3 x 10'

!g)

C

-

=

0.866

E

l

15.- LA través de qu6 diferencia de potencial se debe acelerar un prot6n para que alcance una velocidad de 0 . 6 ~ ?. ¿Cuál es el ímpetu de este protón?.

cuál

es su energía total?.

Soluci6n.

La energía cinética que adquiere cualquier partícula cargada que parte del reposo cuando se somete a una diferencia de potencial esta dada por'

&K=w=qv

donde q es la carga de la partícula y V es la diferencia de potencial

As¡ que:

K

4

v = -

..

<...

(1)

Ahora, debemos determinar

la

energía cinética K de la partícula con velocidad de 0 . 6 ~ .

r 1

(28)

i

para calcular el irnpetu:

Sustituyendo valores:

=

3.76

1 0 - l ~

7

E 3

E = m c 2 = m

m,c2

1-

-

(29)

-. 'i

,

(1.67~ I O "Kg)(3x

IOJry$

E =

= 1 . 8 8 ~ 1 O ~ ' ~ J ~ 1 l 7 1 . 2 ~ IO'rV

16.- Una fuerza constante F actúa sobre un cuerpo, que se encuentra inicialmente en reposo, durante un tiempo t. Muestre que su velocidad v(t) está dada por

C

[I

+

(nl"c:Fr)']x

Además muestre que si Ft <<mot. v(t)

z

Ftlmo. mientras que si Ft >>mot. v(t)

z

c.

Soluci6n:

En mecánica relativista se sigue cumpliendo que.

F = -

dP

dt

donde F es la fuerza neta, p e s el lmpetu. y t es el tiempo

Además:

(30)

Integrando el lado izquierdo de la eCuaCiÓn i lado derecho desde una velocidad Va = 0

ha

son constantes:

desde L

3 una vel1

tiempo inicial to =

O

hasta un tiempo t y el dad v , y considerando que tanto F como rno

Ft Y

(31)

Por lo

tanto'

Si Ft<<rnoc:

",C

-

>> 1

Ft

Sustituyendo esta aproximaci6n en la ecuaci6n (2) :

c

c

FI

v(i)

E

Por lo tanto:

v(t) 3

-

Para Ft-moc.

Si Ftmnoc:

m c a

<<

1

Ft

Desarrollando el denominador de la ecuaci6n (2) con ayuda del teorema del binomio:

Pero como:

3

m c

L < < l

(32)

:u

B ’

D

3

3

. .

.

.I:

. L. . .

, .

1

As¡ que en este limite:

D

b

3

3

3

[,

+(?E)>

j”

Sl

Sustituyendo esta aproximación en la ecuación (2) :

17.- Estime la pérdida diana de masa del Sol asociada con la emisi6n isotrópica de radiacion electromagnética si la constante solar promedio en fa tierra es de 1400 Wlm’ y el radio promedio de la 6rbita de la Tierra es 1.5

x

10”m.

Solución.

La energia proveniente del Sol en forma de radiaci6n electromagnética se debe a reacciones nucleares. Esta energla liberada en estos procesos nucleares se traduce en una disminuci6n de la masa del Sol, dada por la ecuaci6n de Einstein

E

= mc’ ~ donde E es la energía, m es la masa y c

es la velocidad de la

luz.

De esta forma, si logramos determinar la energia liberada diariamente por el Sol, podremos, con ayuda de esta ecuaci6n. calcular la perdida de masa del Sol por dia

Sea

í

la constante solar promedio en la Tierra, es decir, la intensidad de la radiaci6n electromagn&tica proveniente del Sol, a una distancia igual al radio de la 6rbita terrestre, medida desde el Sol. La intensidad se define como potencia radiada por unidad de area. es decir:

Por lo tanto, conociendo

el

área sobre la cual se hace la estimaci6n de la intensidad

1,

calcularemos la potencia promedio de la radiaci6n electromagnetica proveniente del Sol.

Si pensamos en la 6rbita de la Tierra como una 6rbita circular. podemos asociar una esfera de radio igual al de la 6rbita terrotre con centro en el Sol Vease la siguiente figura:

M i t a terrestre

I

..

(33)

,ki;rra. ca!tL;aenos al irea de esta esfera:

.4 = 4xr' . . . (2)

donde r e s el radio de la orbita terrestre.

De la ecuación (1)

P

=

L1

. . . (1')

.

,

,

Sustituyendo (2) en (1') :

...

P =

f ( 4 m 2 ) = i2írrr'

(3)

La potencia promedio se define como la energia por unidad de tiempo, es decir:

E

p

=

-

t ... ...(

4)

E

=

Pt

... (4)

Sustituyendo (3) en (4') :

E

=

4

far

* t ... (5)

Como el problema nos pide encontrar la perdida diaria de masa del Sol, entonces, t

=

ldia

=

86400 s.

De la ecuacion de Einstein:

E

=

m c 2

... ( 6 )

E

ni

=

7

...

( 6 ) Esta es la cantidad de masa q ~ e se transforma en energia.

C

Sustituyendo (5) en (6'):

.

... (7)

4 i l r r 2 r

C 2

m =

(34)

PROBLEMAS

PROPUESTOS

4-1.- Un electrón es acelerado hasta alcanzar una energia cinética de 1 x

109eY.

Encuentre para este

electrón. las razones

mfm,

y

./c.

4-2.- Encuentre el trabajo que se debe realizar sobre un electrón para incrementar su velocidad de

0 . 5 ~ a 0.9~.

4-3.-

'CuBntos eV de energia debe ganar un electrón para que su masa sea (a) 1.05 mo

(b)

2 mo ?.

En cada caso, ¿cuBI es la velocidad del electrón?.

4 4 . -

Un muón tiene una energia en reposo de 105.7 MeV.

Kilogramos. Calcular su masa en reposo en

4-5.- Un protón con energia en reposo de 938 MeV tiene una energia total de 1400 MeV. (a) ¿Cual es

su velocidad?. (b) ¿Cuál es su impetu?.

4-6.- Una particula tiene una energia en reposo tn,,c' y una energia total E. Muestre que la velocidad

de esta particula es

c,/i-(m,c*/E)z

4-7.- Una partlcula tiene un impetu p, energia cinética K. velocidad v y masa en reposo mo. Muestre

que:

*

p v

( K

»r,c?)+2

K

-

( K

ttJ,,?)+ I

__

-

Muestre que esta ecuación proporciona la energia cinética clásica

K

= +my2 cuando

K

<e

mot'

y

(35)

I

I

1,

4

'i

1 .

4.8

-

Un eic¿:r$n de 0.5 MeV se desplaza icr;~.nr;~cb,amen:$ a iir. c a ~ y s :-'::-L. ~. . - - . 2 - . .. ' : .

factor excede !a masa efectiva del electron su masa en reposo?

[

I

!

-

1 trayectoria cuyo radio de cumatura es de 2 c m ! a l LCual es la ir.d'uzr;cn mag-e:,:a 6 1 z _ c - '

i

4-9.- Un electron que se mueve perpendicular a u n ca-po io-r&!!co

B

sz;iLira >na :~zJs:::~ 3

la energia cinética K en MeV.

1

i circular. Muestre que

Br

= J m / 3 O C i si B ei:á dzdo

en

Tzslas II '1' J n I '

e-

~-.;''-- I

1

1

(36)

CAPITULO

5

EFECTO FOTOELgCTRICO

18.- Utilizando fotones ultravioleta (con

A

=

2 0 0 m

), se emiten de una superficie fotoelectrones con una energía cinética maxima de 2.3 eV. Calcule la energia de los fotones incidentes en Joules y en eV. 'Cuál es la mínima energia que puede liberar un electron de la superficie?. 'Cual es la longitud de onda de un fotón con esta energia?.

Solución:

Sabemos que:

K,,

= h v - E ,

...

(1)

donde

K,,

es la energía cinetica máxima de los fotoelectrones, h es la constante de Planck. v es la frecuencia de los fotones incidentes, y

E,

es la función trabajo del metal (es decir, la energia necesaria para liberar un electrón de la superficie del metal).

La energia

E

de los fotones incidentes está dada por:

E

=

h v

...

(2)

Pero sabemos que:

c =

R

v ... (3)

c

v =

-

... ...( 3') /z

Sustituyendo ( 3 ) en (2):

hc

A

E = -

...

(4)

*

Sustituyendo valores numéricos en (4) :

( 6 . 6 3 ~

i0-34J.s)(3x

lo8%)

E =

=

9.9

x 1 P J

2oox

(37)

I

La energia

E

en

eV sera:

Para calcular la función trabajo, de la ecuación ( i ) , tenemos:

E,

= h v

-

K,,,

=

E

-

K,,

=

6.2eV

-

2.3eV

=

3.9eV

Ahora calculamos la longitud de onda de un fotón con energia Eo:

=

6.2

x IO-”J

E,

=

3.9eV

i.6;:FiqJ)

(

Sabemos que:

E,,

=

h

V , =

-

.

hc

De donde despejaremos

4,

4

( 6 . 6 3 ~

lO-’.‘J.s)(3x

IO8%)

= 320x 10-’rn = 320nrn

hc

2

= - =

Eo

6.2

1 0 - 1 ~ ~

1

-1

Los fotones emitidos tendran esta longitud de onda.

.

(38)
(39)

E ,

3.36 .,

lO~'',J

ii

6 . 6 3 ~ 10-"J..c

1' = - - - - - = 5.07 x 1

0"

Hr

~ i ' , =

5.07

x 10''II:I Frecuencia umbral

La frecuencia y, y la longitud de onda

A,,

estan relacionadas por c =

L,,v".

De donde:

20.- La fotocorriente de una celda puede hacerse cero con un potencial de frenado minimo de 2V. cuando una radiación monocromdtica de

E.

= ZjOum incide sobre la celda. Encuentre la función trabajo, el potencial de frenado para

A

= 200t1m y la longitud de onda umbral.

Solución:

K,,,,

=

hv-E,

= e v o

... (1)

donde

K,,,

es la energia cinetica mdxima de los fotoeiectrones. h es la constante de Planck,

v

es la frecuencia de los fotones incidentes,

E,

es la funcion trabajo. e es la carga del electrón y

y,

es el

potencial de frenado.

De la ecuación (1)

he

E,

= h v - e V o = - - e V o

A

*

Sustituyendo valores:

( 6 . 6 3 ~ 10-'4J.s)(3x IO8%) 250x 10-9m

(40)

Funcion trabajo.

Para calcular la longitud de onda umbral usar.ios:

-1

Longitud de onda umbral.

Por otra parte, de

la

ecuación (1) :

h v

E,

hc

E,

v

=---=---

e

e

e

A

e

Y

a.

Si

t

= 200nm:

Potencial de frenado para

A

=

2Oüiiiti

21.- Un experimento sobre el efecto foioelectrico can Cesio da los resultados de que los potenciales 3- frenado para

A.

=

4385Angsnoms y

A

= 546I.l11.~\/1'<i!fi.s son 0.95V y 0.38V. respectivarnen!e A partir de estos datos, encuentre h, la frecuencia umbral y la función trabajo del Cesio.

(41)

S3ir7 r,7

Para 12s dos par.jas de datos se cumple que:

)It,, -€,, = e [ ; ...( I )

hi,, -€,, = r i : . . . (2)

Restando miembro a miembro las ecuaciones ( 1 ) y (2) :

/,(

",

- v2) = e(?

-

v:)

--

(1.6 x 10-19C)(0.95V- 0.38V)

I = 6 . 6 ~ IO-"J.S

-

1

h =

( 3 x 1 0 8 ~ i ( 4 3 5 8 x i O Y m 5 4 6 1 ~

De la ecuación (1) :

IIC ( 6 . 6 ~ 10-"J.s)(3x IOst;!,.:)

E,,

= hvl-eV, = - - e V = -(16x i0-19C)(0.95V)=3x 10-'9Jz 1.9rV

4358x 10-'on~ I

4

(42)

PROBLEJlAS

PROPUESTOS

!

5-1

-

Demostrar que la energía E de un fotón (en eV) esta relacionada con la longitud de onda

i

.

(en nrn) mediante

E

=

i.24

,

IO' i i.

5-2.- Un átomo absorbe un fotón que tiene una longitud de onda de 375 nm e inmediatarnenL 0 emi:t

otro fotón que tiene una longitud de onda de 580 nm. 'Cuánta energia absorbe el átomo durante este proceso?. El cálculo se facilita usando el resuitado del problema 5-1

5-3.- ¿Cuales son (a) la frecuencia, (b) la longitud de onda y (c) el impetu de un fotón cuya energia es igual a la energia en reposo del electron?.

5-4.- La energia necesaria para extraer a un electron del sodio es 2.3 eV. ¿Exhibirá el sodio un efecto

fotoeléctrico con luz anaranjada cuya

A

= 680 nm?.

5-5.- Determinar la energia cinética maxima de los fotoelectrones si la función de trabajo del material es de 2 x

lO-I9J

y la frecuencia de la radiaci6n es 3 x 10i'H;.

5-6.-

La función trabajo de una superficie de tungsteno es 5.4 eV. Cuando la superficie es iluminada con luz de longitud de onda de 115 nm, la energia cinética máxima de los fotoelectrones es de 1.7 eV. Encuentre la constante de Planck de estos datos.

5-7.- Una superficie metálica iluminada con luz de frecuencia igual a 8.5 x 10"Hr emite electrones cuya energia cinética maxima es de 0.52 eV. La misma superficie iluminada con luz de frecuencia igual a 12 x

1O"Hr

emite electrones cuya energia cinetica máxima es de 1.97 eV. A partir de estos datos, encuentre la constante de Planck y la función trabajo de la superficie.

5-8.- AI realizar un experimento sobre el efecto fotoelectrico, se obtienen los siguientes resultados ..

Vl

(v)

v

(1 O~HZ)

____

,

___-

O 1 4 O 741

O 50

o

822

o

98

o

958

1

iao

____

.

- _ _ ~ - 1 9 5

Hallar la constante de Planck a partir de estos da!os utilizando el método de minimos cuadrados es el potencial ae frenado en Volts y

v

es la frecuencia de la luz irradiaba en Hertz.

(43)

CAPITULO

6

ÁTOMOS

HlDROGENOiDES

22.-Calcule las longitudes de onda de las primeras dos lineas y de la linea limite de la serie de Balmer del helio ionizado.

Solución:

Según el modelo Bohr, la frecuencia de la radiación electromagnética emitida por un átomo durante una transicion desde un nivel de energia inicial ni hasta un nivel de energia final nr está dada por:

Para nuestro problema:

2=2, que es el número atómico del helio; m es la masa en reposo del electrón; e es la carga del electrón; E, es la permitividad del vacío; t, =

h/(iir),

donde h es la constante de Planck; y nt=2,

que es el nivel de energia final para la serie de Balmer.

Para calcular la frecuencia V de la primera linea de la serie de Balmer. hacemos nt=3 :

Como

c

=

A v

:

(44)

Corno c = 1.v :

Para la linea limite de la serie, hacemos que ni tienda a infinito

m

:

C o m o c = A v :

23.-Encuentre las energia3 de los fotones y las iorgitucies de onda de las tres primeras lineas de la serie de Paschen para el hidrógeno.

m . .: , ..

I . . . ~ <.

. . .

(45)

S: tmon

La frecuencia de los fotones esta dada por

Para el hidrdgeno. Z=1. que es el numero atomico del hidrógeno

Para la serie de Paschen. nr=3.

Para calcular la frecuencia V de la primera línea de la serie de Paschen, hacemos ni=4 :

La energia de estos fotones es:

E = h v = ( 6 . 6 3 x l O " . ' J ~ s ) ( 1 . 5 9 x I O " H z ) =

I . O j x I O - " J

le V

E

= 1.05~ i O - 1 9 ~

)

= 0.66eV

1.6 x 1 0 - 1 ~ ~

Además c =

AV

:

c

3 x 1 0 * %

A = - =

= 1.88 x 10-6rn = 1.88.p

v 159xiO"Hz

Para la segunda línea de la serie de Paschen. hacemos n1=5

(46)

La energia de estos fotones es:

E = h r ~ = ( 6 . 6 3 x 1 0 ~ " ' J . s ) ( 2 . 3 ? ~ 1 0 ' * H ~ ) =

1.54~

10'lyJ

ley

E

= 1.54 x

10-lyJ

(1.6

I O - l Y J ) =

Además c = A v :

c 3 x 108%

A = - =

=

1.29

x

lO-'m

= 129pn

v

2 . 3 2 ~ IO'"..

Para la tercera linea de la serie de Paschen, hacemos ni=6 :

La energia de estos fotones es: c

E = h ~ = ( 6 . 6 3 x l O ~ ~ ' J . s ) ( 2 . 7 2 x I O ' ~ H z ) . :

1 . 8 ~ 10 I 9 J

l e v

E

= 1.8 x i O - ' 9 ~ 1.6 x

J)

=

l.13eY

(47)

P

24.-¿Cuánta energi.3 en eV se requiere para quitar el último electrón de un átomo de calcio (Z=20), suponiendo que

los

otros 19 han sido removidos?.

Solución:

Si se han quitado 19 electrones de un Atom0 de calcio (con numero atómico Z=20). el último electrón queda en la primera 6rbita. es decir, ni=l El problema nos pide que encontremos la energia que debemos proporcionarle a este electrón para que pase a una órbita nf

+

C O I es decir, para que el electrón sea un electrón libre.

Sabemos que:

Sustituyendo valores numericos:

(48)

25.-Considere un electron girando alrededor de un núcleo de carga Ze en una trayectoria circular do radio 1 x

10-"m.

Clásicamente, este electrón radiaria energia al ritmo

donde a es la aceleración de la carga. Si esto fuera cierto, encuentre la frecuencia y longitud de onda emitidas iflicialmeflte. Muestre que este electrón caeria en espiral hacia un núcleo de radio 10-",11 en

un tiempo de aproximadamente 10'laZ-i~.

Solución:

Si asociamos la frecuencia emitida inicialmente con la frecuencia rotacional del electrón en la 6rbita de radio

R,

= 1 x 10-''m , obtendremos que:

Esta última ecuación se obtiene al combinar los resultados del movimiento circular uniforme, 2a Ley de Newton, y la Ley de Coulomb. Véase por ejemplo Resnick. FlSlCA (parte 2), 3' Ed, sección 49-8. si no está familiarizado con el tema.

Por lo tanto:

1

-1

Frecuencia emitida inicialmente

(49)

, -

'-1

Longitud de onda emitida inicialmente

Para encontrar el tiempo en el que el electron cae al núcleo:

dE

-e'a'

<ir

-

6z.s0c' donde el signo menos (-) nos indica que el atomo esta radiando energia.

3

-

6 7 ~ ~ ~

dr = e'a'

dE

Sea to el tiempo en el que el electrón cae al núcleo:

Notemos que a no es una constante, sino que es la aceleraci6n del electr6n (la cual va cambiando conforme el electr6n se acerca al núcleo).

De la segunda ley de Newton:

F = m a

F

m a = -

donde F es la fuerza electrica que siente el electrdn debido al núcleo de carga Ze

Por lo tanto:

donde r e s la distancia del electrón al núcleo. As¡ que

Sustituyendo a2 en la integral anterior:

. . . .. . .

. ..

(50)

Para poder realizar la integral, debernos poner a r en términos de E o a E en terminos de r C C ~ O

E es la energia del electron en este sistema, sabemos que

Ze

'

8m0r

dE

=- 2 dr

Sustituyendo este último resultado en la última integral:

3 3 2 3 2 1 ? I

$rzdr to =

Z2e6

gr4(

-

8mor

Z e Z 2 )

dr=-

Ze'

R.

- 9 6 ~

corn

c

-

I2z c,,m c

donde Ro es

el

radio para el cual la energia es EI (energia inicial). y R es el radio para el cual la

energía es Et (energla final).

Si invertimos los limites de integración. tenemos:

Inicialmente, el electr6n se encuentra a un radio R = I I I O ' O m ~ y al llegar al núcleo, el radio es

R

= I x 10+m ; ademds, m es la masa en reposo del electrón. c es la velocidad de la luz.

Sustituyendo valores numkricos: *

It, = I x 1 0 ~ i o Z - l s l Tiempo que tardaria el electrón en caer al núcleo.

,.. ...

. .

(51)

PROBLEPJAC

PROPUESTOS

6-1.- ‘Cuáles son la energia, el impetu y la longitud de onda de un fot5m emitido por un átomo de

hidrógeno que sufre una transición directa desde un estado excitado con n

-.

10 al estado base?. Encontrar la rapidez de retroceso del átomo de hidrógeno en este proceso.

6-2.- Calcular las longitudes de onda más cortas de la serie de Lyman, Paschen, y Pfund para el I hidrógeno. ‘En qué región del espectro electromagnético se encuentra cada una?.

6-3.- Se excita un átomo de hidrógeno desde un estado con n

=

1 a uno con n

=

4. (a) Calcular la energia que debe absorber el átomo. (b) Calcular y hacer un diagrama de niveles de energia de las

transición desde n

=

4 hasta n

=

1 en un

solo

salto cuántico.

64.-

Un átomo de hidrógeno en un estado con energia de enlace (energia necesaria para extraerle un electr6n) de 0.85 eV realiza una transición a un estado con energla de excitación (diferencia en energía entre el estado y el estado base) de 10.2 eV. (a) Encontrar la energia del fotón emitido. (b) Mostrar esta transición en un diagrama de niveles de energia para el hidrógeno, escribiendo los números cuánticos apropiados.

distintas energías para los fotones que emitiria el átomo si regresara a su estado n

=

1. (c) Calcular la rapidez de retroceso del átomo de hidrógeno, suponiéndolo inicialmente en reposo, cuando realiza la

~

i

j

6-5.-

‘Cuántas revoluciones por segundo efectua un electrón de un átomo de hidrógeno

en

la primera órbita de Bohr?. ¿A qué corriente corresponde esto?. Encuentre la inducción magnética en el protón debida al movimiento del electrón.

6-6.- Atomos de hidrógeno se encuentran inicialmente en el nivel de energía n

=

4. ¿Cuántas energias de fotón diferentes se emitirán si los átomos pasan a su estado base, tomando en cuenta todas las posibles transiciones?. Suponiendo que desde cualquier estado excitado todas las transiciones hacia abajo son igualmente probables ( i lo cual no es cierto ! ), ¿cual es el número total de fotones emitidos si se tienen 600 átomos inicialmente en el estado n

=

4 ?.

6-7.- La regla de cuantización de Wilson-Sommerfeld ( i no siempre válida ! ) establece que

Qpdq

=

n h

donde n es un entero. Si una pelota elástica que está rebotando sigue esta ley, muestre que las energias permitidas están cuantizadas con valores propios

9,>ig: J?tr

x

(52)

1

-

R Eisberg and R Resnick. Quantum Physm of Atoms, Molecuks, Solids. Nuclei. and Particles

Ed Wiley. New YGrk 1985

2.- F. K. Richtrnyer. E.

H.

Kennard. and J. N Cooper. Introduction to Modern Physics. Ed. McGraw-Hill. New York 1969.

3.- J. D. MacGeniey. Introduccibn a la Fisica Moderna.

Ed. Trillas, México 1975.

4.- R. B. Leighton, Principles of Modern Physics. Ed. McGraw-Hill, New York 1959.

5.- Rogers Stephens, Problemas de Flsica Moderna. Ed. Aguilar. Madrid 1967.

6.- R. Resnick. lntmduccibn a la Teoría Especial de /a Relatividad.

Ed.

Limusa. Mkxico 1977.

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...