Transformada de Laplace:
L(f) =F(s) =
Z 1
0
f (t)e stdt
L(f) = lim
N!+1
Z N
0
De…niciones y propiedades
Ejemplo 1: f (t) =sen(bt)L(sen(bt)) =
Z 1
0
e stsen(bt)dt = b
b2+s2, si s >0
Ejemplo 2: f (t) =ect
Z 1
0
ecte stdt =
Z 1
0
e(c s)tdt = 1
s c, si s >c
Ejemplo 3: f (t) =tk
L(t) =
Z 1
0
te stdt = 1
s2
L t2 =
Z 1
0
t2e stdt = 2 1
s3
L t3 =
Z 1
0
t3e stdt = 3 2 1
s4
L tk =
Z 1
0
tke stdt = k!
De…niciones y propiedades
Ejemplo 1: f (t) =sen(bt)L(sen(bt)) =
Z 1
0
e stsen(bt)dt = b
b2+s2, si s >0 Ejemplo 2: f (t) =ect
Z 1
0
ecte stdt =
Z 1
0
e(c s)tdt = 1
s c, si s >c
L(t) = 0
te stdt = 1
s2
L t2 =
Z 1
0
t2e stdt = 2 1
s3
L t3 =
Z 1
0
t3e stdt = 3 2 1
s4
L tk =
Z 1
0
tke stdt = k!
De…niciones y propiedades
Ejemplo 1: f (t) =sen(bt)L(sen(bt)) =
Z 1
0
e stsen(bt)dt = b
b2+s2, si s >0 Ejemplo 2: f (t) =ect
Z 1
0
ecte stdt =
Z 1
0
e(c s)tdt = 1
s c, si s >c
Ejemplo 3: f (t) =tk
L(t) =
Z 1
0
te stdt = 1
s2
L t2 =
Z 1
0
t2e stdt = 2 1
s3
L t3 =
Z 1
0
t3e stdt = 3 2 1
s4
L tk =
Z 1
0
tke stdt = k!
Ejemplo 1: f (t) =sen(bt)
L(sen(bt)) =
Z 1
0
e stsen(bt)dt = b
b2+s2, si s >0 Ejemplo 2: f (t) =ect
Z 1
0
ecte stdt =
Z 1
0
e(c s)tdt = 1
s c, si s >c
Ejemplo 3: f (t) =tk
L(t) =
Z 1
0
te stdt = 1
s2
L t2 =
Z 1
0
t2e stdt = 2 1
s3
L t3 =
Z 1
0
t3e stdt = 3 2 1
s4
L tk =
Z 1
0
tke stdt = k!
De…niciones y propiedades
Crecimiento subexponencial: existen M;a;K tales que
jf (t)j Keat, para t M
Teorema
Supongamos que:
1 f es continua a trozos en[0;+1) ; 2 f tiene crecimiento subexponencial.
Crecimiento subexponencial: existen M;a;K tales que
jf (t)j Keat, para t M
Ejemplo 1: f (t) =sen(bt)
jsen(bt)j 1=e0t F (s) existe para s >0
Ejemplo 2: f (t) =ect
ect ect
De…niciones y propiedades
Linealidad: f = 1f1+ 2f2,L(fj) existen si s >a
L(f) =
Z 1
0
( 1f1+ 2f2)e stdt
= 1
Z 1
0
f1e stdt+ 2
Z 1
0
Traslación: transformada deg(t) =eatf (t)
L eatf (t) =
Z 1
0
f (t)e(a s)tdt
=
Z 1
0
f (t)e (s a)tdt
=F (s a)
De…niciones y propiedades
Ejemplo 1: f (t) =Pnk=0bktk
L
n X
k=0
bktk !
=
n X
k=1
bkL tk = n X
k=1
bk k!
sk+1
Ejemplo 2: f (t) =cosh(at) = eat+2e at
L(cosh(at)) = 1 2L e
at + 1
2L e
at = 1
2 1
s a+
1
s +a =
s s2 a2 Ejemplo 3: f (t) =e tsen(2t)
L(sen(2t)) = 2 4+s2
L e tsen(2t) = 2
Transformada de la primera derivada Teorema
Sea f continua con f0 continua a trozos, y tal que
jf (t)j Keat; para t M EntoncesL(f0)existe para s >a y
De…niciones y propiedades
Transformada de las derivadas de órdenes superiores Por inducción:
L f00 =sL f0 f0(0) =s(sL(f) f (0)) f0(0) =s2L(f) sf (0) f0(0)
L f000 =sL f00 f00(0) =s s2L(f) sf (0) f0(0) f00(0) =s3L(f) s2f (0) sf0(0) f00(0)
L f(n) =snL(f) sn 1f (0) sn 2f0(0) ::: f(n 1)(0)
Condiciones: f;f0; :::;f(n 1) son continuas,f(n) es continua a trozos y
f(k)(t) Keat, para t M yk n 1
Transformada de las derivadas de órdenes superiores Por inducción:
L f00 =sL f0 f0(0) =s(sL(f) f (0)) f0(0) =s2L(f) sf (0) f0(0)
L f000 =sL f00 f00(0) =s s2L(f) sf (0) f0(0) f00(0) =s3L(f) s2f (0) sf0(0) f00(0)
L f(n) =snL(f) sn 1f (0) sn 2f0(0) ::: f(n 1)(0)
Condiciones: f;f0; :::;f(n 1) son continuas,f(n) es continua a trozos y
f(k)(t) Keat, para t M yk n 1
De…niciones y propiedades
Ejemplo:
y00 =et;y(0) =0;y0(0) =1
L(f00) =s2
L(f) sf (0) f0(0))
s2F(s) s 0 1=L et = 1
s 1
L(f) =F(s) = 1
s2(s 1) + 1
f (t) F(s) f (t) F(s)
1 1
s; s >0 senh(at)
a
s2 a2,s >jaj
t 1
s2; s >0 cosh(at)
s
s2 a2,s >jaj
tn n!
sn+1,s >0 e
atsen(bt) b
(s a)2+b2,s >a
eat 1
s a;s >a e
atcos(bt) s a
(s a)2+b2,s >a
sen(at) a
s2+a2,s >0 tsen(at)
2as
(a2+s2)2;s >0
cos(at) s
s2+a2,s >0 tcos(at)
s2 a2
(a2+s2)2; s >0
tneat n!
Resolución de ecuaciones diferenciales
Propiedades de la transformada inversa Unicidad: si la inversa existe es única Linealidad:
L 1(aF1+bF2) =af1+bf2
f1 =L 1(F1);f2 =L 1(F2)
Traslación:
Ejemplo: Resolver
y000 y=0
y(0) =0;y0(0) =1;y00(0) =0
L f(n) =sn
L(f) sn 1f (0) sn 2f0(0) ::: f(n 1)(0)
)
s3F(s) s20 s 0 F(s) =0
F(s) = s
Resolución de ecuaciones diferenciales
y000 y=0
y(0) =0;y0(0) =1;y00(0) =0
F(s) = s
s3 1
s s3 1 =
1 3(s 1)+
1 3
1 s s2+s+1
y(t) =L 1 1
3(s 1) +L 1 1
3
Resolución de ecuaciones diferenciales
L 1 3(s11) :
L(eat) = 1
s a )
L 1 3(s1 1) = 1 3e
t
Buscamos
L(eatcos(bt)) = s a
(s a)2+b2;L(e
atsen(bt)) = b
(s a)2+b2;a=
1 2;b =
p 3 2 1 3 1 s s2+s +1 =
1 3
1 s 12 s+12 2+ 34
= 1 3
3 2
s +12 2+34 1 3
s+12
Resolución de ecuaciones diferenciales
L 1 3(s11) :
L(eat) = 1
s a )
L 1 3(s1 1) = 1 3e
t
L 1 1 3
1 s s2+s+1 :
Buscamos
L(eatcos(bt)) = s a
(s a)2+b2;L(e
atsen(bt)) = b
(s a)2+b2;a=
1 2;b =
p 3 2 1 3 1 s s2+s +1 =
1 3
1 s 12 s+12 2+ 34
= 1 3
3 2
s +12 2+34 1 3
s+12
L 1 13 1 s s2+s+1 :
1 3
1 s
s2+s+1 =
1 3
3 2
s+12 2+34
1 3
s +12
s+12 2+34
L(eatcos(bt)) = s a
(s a)2+b2;a=
1 2;b =
p 3 2 )
L 1 13 s +
1 2
s+12 2+34
!
= 1 3e
1 2tcos
p
3 2
!
L(eatsen(bt)) = b
(s a)2+b2;a=
1 2;b =
p 3 2 )
L 1 13
3 2
s +12 2+34
!
=L 1
p 3 3 p 3 2
s+12 2+34
! = p 3 3 e 1 2tsen
p
3 2
Resolución de ecuaciones diferenciales
y(t) =L 1 1
3(s 1) +L 1 1
3
1 s s2+s+1
L 1 3(s1 1) = 1 3e
t
L 1 13s21+ss+1 =
p
3 3 e
1 2tsen
p 3 2 ! 1 3e 1 2tcos
p
3 2
!
y(t) = 1 3e t + p 3 3 e 1 2tsen
p 3 2 ! 1 3e 1 2tcos
p
3 2
Convolución: H(s) =G(s)F(s), s >a
L 1(H(s)) =h(t) =
Z t
0
f (t )g( )d
=
Z t
0
f ( )g(t )d
Resolución de ecuaciones diferenciales
Ejemplo: Resolver
y0+ay =g(t);y(0) =y0
sF(s) y0+aF(s) =G(s)
F(s) = G(s) +y0
s+a y(t) =y0L 1
1
s+a +L
1 G(s)
y(t) =y0L 1
1
s+a +L
1 G(s)
s+a
y0L 1 1
s+a =y0e at
Convolución:
L 1 Gs+(sa) =
Z t
0
e a(t )g( )d
y(t) =e aty0+
Z t
0
Resolución de ecuaciones diferenciales
Transformada inversa de las derivadas:
L(tnf (t)) = ( 1)n d
n
dsnF(s),L(f (t)) =F(s) Si F(s) existe para s
n =1: ( 1) d
dsF(s) = ( 1) d ds
Z 1
0
f (t)e stdt = ( 1)
Z 1
0
f (t) d
dse stdt
=
Z 1
0
tf (t)e stdt =L(tf (t))
n =2:
( 1)2 d 2
d2sF (s) =
Z 1
0
f (t) d 2
d2se
stdt =Z 1
0
Resolución de ecuaciones diferenciales
Ejemplo 1: f (t) =tsen(at)
L(sen(at)) = a2+as2;s >0)
L(tsen(at)) = d
ds a a2+s2 =
2as
(a2+s2)2
L s a j j )
L t2senh(at) = d 2
d2s
a s2 a2 =
6as2+2a3
Resolución de ecuaciones diferenciales
Ejemplo 1: f (t) =tsen(at)
L(sen(at)) = a2+as2;s >0)
L(tsen(at)) = d
ds a a2+s2 =
2as
(a2+s2)2 Ejemplo 2: f (t) =t2senh(at)
L(senh(at)) = s2aa2;sis >jaj )
L t2senh(at) = d 2
d2s
a s2 a2 =
6as2+2a3
Resolución de ecuaciones diferenciales
Ecuaciones lineales con coe…cientes variablesan(t)y(n)+:::+a1(t)y0+a0(t)y =g(t)
y(0) =y0;y0(0) =y1; :::;y(n 1)(0) =y
n 1
ai(t) =tki
ty y =t ;y(0) =0;y (0) =0
L(tnf (t)) = ( 1)n d
n
dsnF(s)) d
ds s
2F(s) s 0 0 (sF(s) s 0) = 2
s3
s2F0 3sF(s) = 2
s3
F0+3
sF =
2
Resolución de ecuaciones diferenciales
Ecuaciones lineales con coe…cientes variablesan(t)y(n)+:::+a1(t)y0+a0(t)y =g(t)
y(0) =y0;y0(0) =y1; :::;y(n 1)(0) =y
n 1
ai(t) =tki Ejemplo: Resolver
ty00 y0=t2;y(0) =0;y0(0) =0
L(tnf (t)) = ( 1)n d
n
dsnF(s)) d
ds s
2F(s) s 0 0 (sF(s) s 0) = 2
s3
s2F0 3sF(s) = 2
s3
F0+3
sF =
2
Ejemplo: Resolver
ty00 y0=t2;y(0) =0;y0(0) =0
F0+3
sF =
2
s5
F(s) = 2
s4 +
C s3
L(tn) = n!
tn+1 )
y(t) = 1 3t
3+ C 2t
2 Condiciones iniciales:
y(0) =0
Aplicaciones a circuitos
Circuito RLC en paralelo:A
B
I
RI
LAplicaciones a circuitos
Primera ley de Kirchho¤: en cada bloque cerrado (o malla) la suma de las caídas de tensión en cada uno de los elementos es cero
VC;VR;VL caídas de tensión en cada elemento
A
B
IR IL
IC
VC =VR
VR =VL
Aplicaciones a circuitos
Primera ley de Kirchho¤: en cada bloque cerrado (o malla) la suma de las caídas de tensión en cada uno de los elementos es cero
VC;VR;VL caídas de tensión en cada elemento
A
B
IR IL
IC
VC =VR
VR =VL
+
VC =VR =VL
Segunda ley de Kirchho¤: en cada punto del circuito la suma de las corrientes que ‡uyen hacia él es igual a la suma de las corrientes que salen
A
B
IR IL
IC VC =VR =VL
=V
IC +IR +IL =0
Aplicaciones a circuitos
Ley de Couloumb VC = Q
C )
d
dtVC =
1
CIC Ley de Ohm VR =RIR
Ley de Faraday VL =Ld dtIL
VL =VC =VL =V; IC +IR+IL =0)
d dtIC +
d dtIR+
d
dtIL =C d2V
d2t + 1
R dV
dt +
1
Ley de Couloumb VC = Q
C )
d
dtVC =
1
CIC Ley de Ohm VR =RIR
Ley de Faraday VL =Ld dtIL
VL =VC =VL =V; IC +IR+IL =0)
d dtIC+
d dtIR+
d
dtIL =C d2V
d2t + 1
R dV
dt +
1
Aplicaciones a circuitos
R =1 ohmio, L=1 henry, C = 12 faradios
Condiciones iniciales: QC(0) =1; IC(0) =0)V(0) =2; V0(0) =0
V00+2V0+2V =0
V(0) =2; V0(0) =0
L f(n) =snL(f) sn 1f (0) sn 2f0(0) ::: f(n 1)(0))
s2F (s) 2s 0+2(sF(s) 2) +2F(s) =0;
F(s) =2 s+2 (s+1)2+1 Buscamos
L(e tsen(t)) = 1
(s+1)2+b2; L(e
tcos(t)) = s +1
(s+1)2+b2 :
F(s) =2 s+1
R =1 ohmio, L=1 henry, C = 12 faradios
Condiciones iniciales: QC(0) =1; IC(0) =0)V(0) =2; V0(0) =0
V00+2V0+2V =0
V(0) =2; V0(0) =0
L f(n) =snL(f) sn 1f (0) sn 2f0(0) ::: f(n 1)(0))
s2F (s) 2s 0+2(sF(s) 2) +2F(s) =0;
F(s) =2 s+2 (s+1)2+1 Buscamos
L(e tsen(t)) = 1
(s+1)2+b2; L(e
tcos(t)) = s +1
(s+1)2+b2 :
F (s) =2 s+1
Aplicaciones a circuitos
R =1 ohmio, L=1 henry, C = 12 faradios
Condiciones iniciales: QC(0) =1; IC(0) =0)V(0) =2; V0(0) =0 V00+2V0+2V =0
V(0) =2; V0(0) =0
F (s) =2 s+1
(s+1)2+1 +2 1 (s+1)2+1
L(e tsen(t)) = 1
(s+1)2+b2; L(e
tcos(t)) = s +1
(s+1)2+b2 Aplicamos la transformada inversa:
