Tema2.2 FuncionesPol.gdo 3 2018.pdf

(1)

Liceo Bauzá 2018 Prof. Andrea Lujambio-Prof. Mónica Vivas

1) Sean A(x)=6x3-11x2+3 , B (x)=2x2-3x+4 , C(x)=-x2+2x y D(x) = x+4 . Efectúa: i) B(x) + D(x) ii) A(x) +C(x) iii) A(x) – C(x) iv) B(x)- C(x) v) B(x) . C(x) vi) C(x) . D(x) = vii) [D(x)]2 viii) [C(x)]2

División entera de polinomios:

Dados dos polinomios P(x) y D(x), con D(x) no nulo, el cociente Q(x) y el resto R(x) de la división P(x) por D(x) verifican:

a. P(x) = D(x).Q(x) + R(x). b. Gr R(x) < Gr D(x) o R(x) = 0.

2) Sean A(x)=6x3-11x2+3 , B (x)=2x2-3x+4 , C(x)=-x2+2x y D(x) = x+4 .Efectuar: i) A(x) : B(x) ii) A(x) : C(x) iii) B(x) : D(x) iv) C(x) : D(x)

3) Efectúa la división de P(x) entre D(x) en cada uno de los siguientes casos:

i) P(x) = x3 + 2x2 –x +1 D(x) = x-3

ii) P(x)= 2x4 + x2 – 1 D(x) = x+3 iii) P(x) = 4x2 – 6x +2 D(x) = x – 1

División entre (x). Observamos:

 Sea un polinomio A(x) dividido por (x - ). Es decir

 





 

Por definición Gr.R Si R no es el polinomio nulo, el grado del resto es cero.

Este es el motivo por el cual simbolizaremos a R con r, r real.

x gr x x

x 

  

 El grado del polinomio cociente es la diferencia entre los grados de los polinomios dividendo y divisor. Llamando n al grado del polinomio dividendo tenemos queGr Q x.

 

 n 1.

 El coeficiente principal de Q(x) es igual al coeficiente principal de A(x) pues surge de dividir este último por 1, ya que, en esta división, 1 es el coeficiente principal del divisor.

A(x) x 

r Q(x)

(2)

Esquema de Ruffini.

Divide

 

4 3 2

5 7 21 6

A x  x  x  x  por B(x) = x-2

Ahora hallaremos el cociente y resto de dividir

 

4 3 2 5 7 21 6

A x  x  x  x  por B(x) = x-2, utilizando el esquema de Ruffini

5 7 -21 0 6

2 10 34 26 52

5 17 13 26 58

.

El cociente es Q(x) = 5x3 +17x2 +13x +26 y el resto es R(x) = 58

4) Efectúa la división de P(x) entre D(x) aplicando esquema de Ruffini en cada uno de los siguientes casos. Compara con los cocientes y restos obtenidos en el ejercicio anterior.

i) P(x) = x3_{+ 2x}2_{–x +1 D(x) = x-3}

ii) P(x)= 2x4_{+ x}2_{– 1 D(x) = x+3}

iii) P(x) = 4x2_{– 6x +2 D(x) = x – 1}

5) Completa los siguientes esquemas de Ruffini que corresponden a divisores de la forma (x-α). En cada caso escribe la expresión analítica de dividendo, divisor, cociente y resto:

-23 -4

5 110

2

3 0 5

-6

27

0 5

2 2 -2

-1 -9

SUMAR

(3)

Ley del resto El resto de dividir un polinomio A(x) por x- es el número A().

Hipótesis: Tesis: A(α) = r

Demostración:

Por H, A(x) = (x-).Q(x) + r Calculemos A():

A() = (-). Q() + r = 0. Q() + r = 0 + r = r  A() = R

6) Dada f:f(x) = 3x3 + 2x2 + tx – 5 .

Halla el valor de t para que f(x) dividido por (x+2) tenga resto 1.

Definiciones:

 Diremos que P(x) es divisible entre D(x) si y solo si el resto de la división de P(x) entre D(x) es el polinomio nulo

7) Dada p: p(x) = 2x2 + 4x + m. Halla m para que p(x) sea divisible entre (x-2)

8) Dada h: h(x) = 2x3 + bx2 + cx – 3 . Halla b y c para que h(x) dividido por (x-3) tenga resto54 y dividido por (x+2) tenga resto -11

Dados los polinomiosA(x) = 2x3 -14x +12 y D(x) = x2 -3x +2

Realiza la división de A x( ) y ( )D x e investiga qué relación existe entre las raíces de A(x), D(x) y el cociente Q(x).

Teorema

Si A(x) es divisible entre D(x), entonces:

 Las raíces de D(x) y de Q(x) (cociente de la división) son raíces de A(x)  Las raíces de A(x) son raíces de D(x) o de Q(x).

A(x) x 

r Q( x)

(4)

9) Sea m: m(x) = 2x3 + (a -3)x2 - 13x + 2a - b.

i) Hallar a y b sabiendo que m(x) dividido entre (x - 3) da resto 30 y que es divisible entre (x-2)

ii) Resolver m(x) =0

_____________________________________________________________________________

Teorema de Descartes

La condición necesaria y suficiente para que A(x) sea divisible por x -  es que,  sea raíz de A(x).

 

es divisible por





es raíz de

 

.

A x x  A x

Directo:

Hipótesis: A(x) es divisible entre (x – α) Tesis: α es raíz de A(x)

Demostración:

A(x) es divisible por (x-) _{𝑑𝑒𝑓.}

𝑝𝑜𝑙 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒

⇒ El resto de dividir A(x) por (x-) es 0

𝐿𝑒𝑦 𝑑𝑒𝑙 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑜

⇒ A() = 0

𝐷𝑒𝑓.𝑅𝑎𝑖𝑧

⇒  es raíz de A(X)

Recíproco:

Hipótesis: α es raíz de A(x)

Tesis: A(x) es divisible entre (x – α). (si r es el resto que resulta de dividir A(x) entre (x – α), entonces r = 0)

Demostración: Por hip: ( ) 0

0 ( ) es divisible por ( ) Por la ley del resto : ( ) Definición

A

r A x x

A r



 

 

   

  

10) Sea h: h(x) = 3x3+8x2 + jx + k .

(5)

Liceo Bauzá 2018 Prof. Andrea Lujambio-Prof. Mónica Vivas __________________________________________________________________________________ Descomposición factorial de una función polinómica de 3er grado.



2 3 2 2 0 2 2 3 2 ( ) ( )( ) : ( ) 4.1. ( ) ( )( )( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 ( ) ( )

0 ( ) ( )( )

a

f x a x x mx p

f f x ax bx cx d

m p

f x a x x x

o

f x a x x

o

f x a x

f x a x x mx p

                     _{ }            _{ }       _ _ _ _   _ _ _ _   _{   }    _ _ _           

11) Sea f: f(x) = 2x3 + ax2 – 11x + b tal que f(3) = 0 y f(x) x+1 . Hallar a y b 12 q(x)

Hallar las raíces reales de f y bosquejar su gráfico.

12) En cada uno de los siguientes casos hallar k  R para que se cumpla la condición indicada. Con el

valor de k hallado, escribe la descomposición factorial, el signo y realiza un bosquejo del gráfico de cada una de las funciones polinómicas.

i) a:a(x) = 4x3 + (k+10) x2 – 26x +k admita raíz –2

ii) b:b(x) = 3x3 +(k+2)x2 – 35x - 6k sea divisible entre c:c(x) = 2x-6 iii) d:d(x) = kx3 - (k+8)x2 +(3k-1)x + 4 sea divisible entre e:e(x) = -2x+4 iv) f:f(x) = kx3 -6x2 + 12kx + (k-9) sea divisible entre g:g(x) =x2 – 4x+4 v) h:h(x) = (k+1)x3 – 3kx2 + (k-2)x -7k-1 admita raíz 3

13) Hallar las raíces reales, estudiar el signo, efectuar la descomposición factorial y bosquejar el gráfico de las siguientes funciones:

h:h(x) = 2x3 + 3x2 – 8x + 3 i:i(x) = -x3 + 5x2 – 3x – 9 j:j(x) = x3 + 4x2 + 4x

(6)

14) a) Halla la expresión analítica de las funciones polinómicas de grado 3 graficadas:

Gráfico de j Gráfico de k Gráfico de b

b) Resolver en R:

1) j(x) <0 2) k(x) ≤0 3) j(x). (-x2+4) >0 4) b(x). (2x2-6x) ≥ 0

5) 𝑏(𝑥)_𝑥+4 < 0 6) _(𝑥−2)𝑘(𝑥)₃_.(𝑥−3)₂≥ 0 7) 𝑥3−𝑥_𝑗(𝑥)2−4𝑥+4> 0

15)a) Hallar f(x) siendo f una función polinómica de grado 3 y coeficiente principal –3 sabiendo que f(x) es divisible entre (x2-3x-10) y que f(1) = 24

b) Resolver en R f(x) =0 y bosquejar el gráfico de f c) Resolver en R: f(x) > 0

x +5x+6<0

) x ( f

2

16) Sea g una función polinómica de grado tres.

a) Halla g(x) sabiendo que es divisible entre (3x2 –x – 10) , g(1) = -8 y el término independiente de g(x) es 10.

b) Bosqueja el gráfico de g y resuelve g(x)  0

2 3 -1 -2 -3 -4 -5 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 0 1 1 x j(x)

(7)

17) Sea f la función polinómica de grado tres graficada. a) Hallar f(x) sabiendo que:

b) Resolver en ℝ : _−𝑥3_+𝑥𝑓(𝑥)2_+4𝑥−4≤ 0

18)a) Hallar la expresión analítica de una función polinómica h de grado 3 sabiendo que h(x) es divisible entre (x2-2x+1) ,que su ordenada en el origen es 2 y la preimagen de -16 es 3.

b) Hallar las raíces de h, escribir descomposición factorial y realizar un bosquejo del gráfico de h.

c) Resolver en R:

3 2 2 0 ( )

x x x

h x

  _

0 2

1

x f(x)

*f(x) es divisible entre (2x-6) * f(-1)=0