Mª Dolores González Peña
1. Considera las matrices A=(
0 1 1
1 0 0
0 0 1
) ; 𝐵 = (
1 −1 1
1 −1 0
−1 2 3
).
Determina si existe, la matriz X que verifica𝐴. 𝑋 + 𝐵 = 𝐴2.SOL. 𝑿 = (
−𝟏 𝟐 𝟏
−𝟏 𝟑 𝟐
𝟏 −𝟐 −𝟐
)
2. Se sabe que |𝐴| = −3 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐴 = (
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33
) .Calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes:
a) |−2𝐴| 𝑏) |
𝑎21 𝑎22 𝑎23 7𝑎11 7𝑎12 7𝑎13
2𝑎31 2𝑎32 2𝑎33
| 𝑐) |
𝑎11 𝑎21+ 2𝑎31 5𝑎31
𝑎12 𝑎22+ 2𝑎32 5𝑎32
𝑎13 𝑎23+ 2𝑎33 5𝑎33
| SOL. a) 24 b) 42
c)-15
3. Considera las matrices A=(
1 0 2
1 1 1
2 3 0
) , 𝐵 = (
2 0 −3
3 −1 −3
−1 −2 −1 )
a) Calcula 𝐴−1
b) Hallar X que verifica 𝐴𝑡.. 𝑋 + 𝐵 = 𝐼, siendo I la matriz identidad y 𝐴𝑡la matriz
traspuesta de A. SOL. a) 𝑨−𝟏= (
𝟑 −𝟔 𝟐
−𝟐 𝟒 −𝟏
−𝟏 𝟑 −𝟏
) b) X=(
𝟐 −𝟔 𝟏
−𝟑 𝟏𝟒 𝟎
𝟎 −𝟒 𝟏
)
4. Considera las matrices 𝐴 = (1 + 𝑚 1
1 1 − 𝑚) 𝐵 = (
1 −1
1 0 )
a) ¿Para qué valores de m e verifica que 𝐴2 = 2𝐴 + 𝐼
b) Para m=1, calcula 𝐴−1 y la matriz X que satisface A.X-B=A.B
SOL. a) m=1,-1 b)𝑨−𝟏= (𝟎 𝟏
𝟏 −𝟐) c)𝑿 = (
𝟐 −𝟏
𝟎 −𝟏)
5. Considera las matrices 𝐴 = (
1 0 0
0 −2 1
0 −5 3
) 𝑦 𝐵 = (
0 0 1
−1 1 1
1 0 0
). Halla la matriz X
que verifica:𝐴−1. 𝑋. 𝐴 = 𝐵 − 𝐴 .SOL. X=(
−𝟏 −𝟓 𝟐
𝟑 𝟏𝟖 −𝟕
−𝟐 𝟒𝟓 𝟖
)
6. Se sabe que el det(A)=3, siendo A=(
𝑎 𝑏 𝑐
𝑏 𝑑 𝑒
𝑐 𝑒 𝑓
), calcula los siguientes determinantes, indicando, en cada caso, las propiedades que utilices:
Mª Dolores González Peña b) |
𝑎 𝑏 𝑐
𝑐 𝑒 𝑓
2𝑏 2𝑑 2𝑒
| c)|
𝑎 𝑏 4𝑎 − 𝑐 𝑏 𝑑 4𝑏 − 𝑒 𝑐 𝑒 4𝑐 − 𝑓
| SOL. a) 27 𝟏𝟑 6 b)-6 c)-3
7. Sabiendo que |𝐴| = 2, 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐴 = (
𝑥 𝑦 𝑧
1 0 1
1 2 3
) calcula los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilices:
a) det(3A) b) det(𝐴−1)
c)|
3 0 1
3𝑥 2𝑦 𝑧
3 4 3
|
d) |
1 2 3
𝑥 + 2 𝑦 + 4 𝑧 + 6
−1 0 −1
| SOL. a) 54 b)𝟏𝟐 c) -12 d) -2
8. Sea M=(
1 0 −1
0 𝑚 + 1 0
1 1 𝑚 − 1
)
a) Determina los valores de m para que los vectores fila de M sean linealmente independientes.
b) Estudia el rango de M según los valores de m. c) Para m=1, calcula 𝑀−1.
SOL; a) m≠ 𝟎 𝒚 𝒎 ≠ −𝟏 b) Si m=0 ó m=-1 rango M=2, en cualquier otro caso rango
M=3 c)𝑴−𝟏 =
(
𝟎 −𝟏
𝟐 𝟏
𝟎 𝟏
𝟐 𝟎
−𝟏 −𝟏
𝟐 𝟏)
9. Sea A=(1 1
1 −1). Comprueba que 𝐴
2 = 2𝐼 y calcula 𝐴−1 ; 𝐴2013 𝑦 𝑠𝑢 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎.
SOL.𝑨−𝟏=(
𝟏 𝟐
𝟏 𝟐 𝟏 𝟐
−𝟏 𝟐
) 𝑨𝟐𝟎𝟏𝟑= 𝟐𝟏𝟎𝟎𝟔(𝟏 𝟏
𝟏 −𝟏) ( 𝑨
𝟐𝟎𝟏𝟑)−𝟏 = 𝟏 𝟐𝟏𝟎𝟎𝟕(
𝟏 𝟏
𝟏 −𝟏)
10. Considera las matrices A=(
−1 1 0
2 0 0
1 0 1
) ; 𝐵 = (0 2 1
1 2 0) 𝑦 𝐶 = (
1 2
Mª Dolores González Peña a) Hallar 𝐴−1
b) Calcula la matriz X que satisface AX=𝐵𝑡𝐶
c) |𝐴2013. 𝐵𝑡. 𝐵. (𝐴−1)2013|
SOL. a) 𝑨−𝟏 =𝟏
𝟐(
𝟎 𝟏 𝟎
𝟐 𝟏 𝟎
𝟎 −𝟏 𝟐
) b) 𝑿 = (
𝟎 𝟖
−𝟏 𝟏𝟒
𝟏 −𝟔
) c) 0
11. Sabiendo que |𝐴| = 4 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐴 = (
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑝 𝑞 𝑟
) Calcula:
a) det(-2A) det(𝐴−1)
b)|
𝑎 −𝑏 𝑐
2𝑑 −2𝑒 2𝑓
𝑝 −𝑞 𝑟
| SOL. a) -32; 𝟏𝟒 b) -12
12. Considera las matrices A=(−1 2
0 1) 𝑦 𝐵 = (
1 −1
1 0 )
a) Calcula X e Y tales que X-Y=𝐴𝑡 y 2X-Y =B
b) Calcula Z tal que AZ=BZ+A
SOLC: X=( 𝟐 −𝟏
−𝟏 −𝟏) 𝒀 = (
𝟑 −𝟏
−𝟑 −𝟐) 𝒁 = (
−𝟏 −𝟏
−𝟏 𝟎 )
13. Sean A y B las matrices A=( 2 −3
−3 5 ) 𝑦 𝐵 = (
1 −4
−9 5 ) a) Calcula las matrices X e Y para las que 2X-Y=A y X-3Y=B b) Hallar la matriz Z que verifica 𝐵2+ 𝑍𝐴 + 𝐵𝑡 = 3𝐼 SOL. X=(𝟏 −𝟏
𝟎 𝟐 ) 𝒀 = (
𝟎 𝟏
𝟑 −𝟏) Z=(
−𝟕𝟔 −𝟑𝟗 𝟏𝟎𝟏 𝟒𝟖 )
14. Sea M una matriz cuadrada de orden 3 tal que su determinante es 2. Calcula: a) El rango de 𝑀3
b) |2𝑀𝑡|
c) |(𝑀−1)2|
d) El determinante de N, done N es la matriz resultante de intercambiar la primera y segunda filas de M.
SOL. a) 3 b) 16 c)𝟏𝟒 d) -2
15. Considera A=(
1 0 1 1 1 0 0 0 2
) 𝑦 𝐵 = (
−1 1 1
1 −1 1
0 0 −1
Mª Dolores González Peña a) Halla, si es posible 𝐴−1 𝑦 𝐵−1 b) |𝐴𝐵2013𝐴𝑡|
c) Calcula la matriz X que satisface AX-B=AB
SOL. a)𝑨−𝟏 =𝟏
𝟐(
𝟐 𝟎 −𝟏
−𝟐 𝟐 𝟏
𝟎 𝟎 𝟏
) ∄𝑩−𝟏 b) 0 c) X=𝟏 𝟐(
−𝟒 𝟒 𝟓
𝟔 −𝟔 𝟕
𝟎 𝟎 −𝟑
)
16. Sea la matriz A=(
0 0 1
2 1 2
1 𝐾 1
)
a) ¿Para qué valores del parámetro K no existe la inversa de la matriz A? Justifica la respuesta.
b) Para K=0, resuelve la ecuación matricial (X+I).A=𝐴𝑡
SOL. a) K=𝟏
𝟐 𝒃) 𝑿 = (
𝟎 𝟐 −𝟒
𝟎 𝟎 −𝟐
𝟎 𝟐 −𝟒
)
17. Considera las matrices: 𝐴 = (
1 2 0
0 1 2
1 2 1
) 𝐵 = (0 1
1 0) 𝐶 = (
−1 2 0
1 1 2). Determina, si existe, la matriz X que verifica: A.X.B=𝐶𝑡
SOL. X=(
𝟑 −𝟏
−𝟏 𝟎
𝟏 𝟏
)
18. Encuentra la matriz X que satisface XA+𝐴3𝐵 = 𝐴 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐴 = (
0 0 1 0 1 0 1 0 0
) 𝑦 𝐵 =
(
2 −1 0
0 2 −1
−1 0 2
) SOL. X=(
−𝟏 𝟎 𝟏
𝟎 −𝟏 𝟎
𝟎 𝟏 −𝟏
)
19. Dada la matriz A=(3 −2
5 1 ), sea B la matriz que verifica AB=(
−2 1 7 3) a) Comprueba que las matrices A y B poseen inversas.
b) Resuelve la ecuación matricial 𝐴−1𝑋 − 𝐵 = 𝐵𝐴
SOL. X=(−𝟑 𝟔 𝟒𝟑 −𝟖)
20. Dada la matriz A=(𝛼 + 1 0
1 −1)
Mª Dolores González Peña
SOL. a)-1;-4 b) X=(𝟏 𝟎 𝟐 −𝟑)
21. Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son |𝐴| =
1
2 𝑦 |𝐵| = −2. Halla:
a)|𝐴3|
b) |𝐴−1|
c)|−2𝐴| d)|𝐴𝐵𝑡|
e) El rango de B
SOL. a)𝟏𝟖 b) 2 c) -4 d) -1 e) 3
22. Dada la matriz A=(
0 3 4
1 −4 −5
−1 3 4
)
a) Demuestra que se verifica la igualdad 𝐴3 = −𝐼, siendo 𝐼 la matriz identidad de orden 3.
b) Justifica que A es invertible y halla su inversa. c) Calcula, razonadamente 𝐴100
SOL. b) 𝑨−𝟏 = (
𝟏 𝟎 −𝟏
−𝟏 −𝟒 −𝟒
𝟏 𝟑 𝟑
) c) –A
23. Sea la matriz A=(
3 0 𝛼
−5 𝛼 −5
𝛼 0 3
)
a) Determina los valores de 𝛼 para los que la matriz A-2I tiene inversa, siendo I la matriz identidad de orden 3.
b) Para 𝛼 = −2, resuelve la ecuación matricial AX=2X+I
SOL. a) 𝜶 ≠ 𝟐; 𝟏; −𝟏 b)X=𝟏𝟐𝟏 (
−𝟒 𝟎 −𝟖
𝟏𝟓 −𝟑 𝟏𝟓
−𝟖 𝟎 −𝟒
)
24. Dadas las matrices A=(
𝑎 1 −1
1 𝑎 −1
−1 −1 𝑎
) 𝑦 𝐵 = ( 0 1 1 )
Mª Dolores González Peña
SOL. a) Si a=1, el rango de A =1; Si a=-2, el rango de A=2 y si a≠ 𝟏; −𝟐, el rango de
A=3 b) X=( 𝟎 𝟏 𝟏 )
25. Sean las matrices A=( 𝛼 1
−𝛼 3) 𝑦 𝐵 = (
1 3 1
−1 4 2)
a) Calcula los valores de 𝛼 para los que la matriz inversa de A es 1
12𝐴.
b) Para 𝛼 = −3, determina la matriz X que verifica la ecuación 𝐴𝑡. 𝑋 = 𝐵
SOL. a) 𝜶 = −𝟑 𝒃) 𝑿 = 𝟏
𝟏𝟐(
−𝟔 𝟑 𝟑
−𝟐 𝟏𝟓 𝟕)
26. Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales x+2y-3z=3
2x+3y+z=5
1. Calcula 𝛼 de manera que al añadir una tercera ecuación de la forma 𝛼𝑥 + 𝑦 − 7𝑧 = 1 el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el original. 2. Calcula las soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de las
incógnitas sea 4.
SOL. a)𝜶 = 𝟎 𝒃) 𝒙 =𝟐𝟓
𝟑 𝒚 = −𝟏𝟏
𝟑 𝒛 = −𝟐
𝟑
27. Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales
{
𝑥 + (𝑚 + 1)𝑦 + 2𝑧 = −1 𝑚𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑚
(1 − 𝑚)𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = −𝑚 − 1
a) Discute el sistema según los valores del parámetro m.
b) Resuélvelo para m=2. Para dicho valor de m, calcula, si es posible, una solución en la que z=2
SOL. a) Si 𝒎 ≠ 𝟐;𝟏
𝟐 𝑺. 𝑪. 𝑫 . 𝑺𝒊 𝒎 = 𝟏
𝟐 𝑺. 𝑰. 𝑺𝒊 𝒎 = 𝟐 𝑺. 𝑪. 𝑰 𝒃) (𝟏, −𝟐, 𝟐)
28. Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales: {
𝛽𝑦 + (𝛽 + 1)𝑧 = 𝛽 𝛽𝑥 + 𝑧 = 𝛽 𝑥 + 𝛽𝑧 = 𝛽
a) Discute el sistema según 𝛽 b) Resuélvelo para 𝛽 = 1
c) Para 𝛽 = 0, si es posible, da tres soluciones distintas.
Mª Dolores González Peña
1. (1-z,1-2z,z) c) (0,1,0) (0,2,0) (0,3,0)
29. Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales:{
𝑚𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 1 𝑥 − 2𝑚𝑦 + 𝑧 = −2
𝑥 − 2𝑦 + 𝑚𝑧 = 1
b) Si es posible, resuelve el sistema para m=-2
SOL. a) Si m≠ 𝟏; −𝟐 𝑺. 𝑪. 𝑫 Si m=1 S Si m=-2 S.C.I b) (z,−(𝟏+𝒛) 𝟐 , 𝒛)
30. Considera el siguiente sistema de ecuaciones:{
𝑥 − 𝑦 + 𝑚𝑧 = 0 𝑚𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 0 −𝑥 + 𝑦 + 2𝑚𝑧 = 0
a) Halla los valores del parámetro m para los que el sistema tiene una única solución. b) Halla los valores del parámetro m para los que el sistema tiene alguna solución distinta de la solución nula.
c) Resuelve el sistema par m=-2.
SOL. a)m≠0;-2 b) m=0;-2 c)(x,x,0)
31. Considera el siguiente sistema de ecuaciones:{ 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 3
a) Determina el valor de m para que en el caso de añadir la ecuación x+my+4z=-3 al sistema anterior se obtenga un sistema con las mismas soluciones.
b) Calcula la solución del sistema de tal forma que la suma de los valores de las incógnitas sea 6. SOL. a)m=-6 b) (-1,3,4)
32. Sea A=(
−2 1 −3
−1 𝑚 𝑚 − 2
𝑚 0 2
), B=( 1 1 0
) 𝑦 𝑋 = ( 𝑥 𝑦 𝑧 )
a) Determina el rango de A según los valores de m. b) Discute el sistema AX=B según los valores de m. c) Resuelve el sistema para m=1
SOL. a) Si m≠ 𝟏;𝟏
𝟐 el rango de A=3 .Si m=1; 𝟏
𝟐 el rango de A=2
b)Si m≠ 𝟏;𝟏
𝟐 𝑺. 𝑪. 𝑫. 𝑺𝒊 𝒎 = 𝟏 𝑺. 𝑪. 𝑰. 𝑺𝒊 𝒎 = 𝟏
𝟐 𝑺. 𝑰 c) (-2z,1-z,z)
33. Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales:{
2𝑥 − 4𝑦 + 6𝑧 = 6 𝑚𝑦 + 2𝑧 = 𝑚 + 1 −3𝑥 + 6𝑦 − 3𝑚𝑧 = −9
Mª Dolores González Peña
b) Resuélvelo para m=3. Para dicho valor de m, calcula, si es posible, una solución en la que y=0
SOL. a) Si m≠ 𝟎; 𝟑 𝑺. 𝑪. 𝑫. 𝑺𝒊 𝒎 = 𝟎 𝑺. 𝑰. 𝑺𝒊 𝒎 = 𝟑 𝑺. 𝑪. 𝑰 𝒃) (−𝟑, 𝟎, 𝟐)
