Aplicaciones de la regla de tres simple en situaciones reales

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(1)TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE EDUCACIÓN Y CIENCIAS DE LA COMUNICACIÓN ESCUELA PROFESIONAL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA. Aplicaciones de la regla de tres simple en situaciones reales. Trabajo De Suficiencia Profesional para optar el Título de Licenciada en Educación Secundaria Mención Ciencias Matemáticas. Autora: Bach. Correa Cerdan Blanca Elizabeth.. TRUJILLO – PERÚ 2019. i Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(2) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Dedicatoria. El presente Trabajo de Grado se lo dedico a Dios, a mis queridos en el cielo, por darme la vida, dos seres maravillosos que en momentos tanto de éxito como de pesares me han ayudado a salir adelante ante la adversidad de mi vida. Y quien conjuntamente con mis padres han hecho una persona de bien, con valores para servir a cuanta persona necesite y este a mi posibilidad poder ayudar.. A mis hijos: Elizabeth y Jhon, Ya que son mi mayor inspiración, motivo para salir adelante cada día más, su apoyo moral y comprensión constante. Para no desmayar, seguir y continuar en tal presente. labor. con. dedicación. y. tranquilidad.. ii Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(3) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(4) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Agradecimiento. Quiero dar las gracias a todas las personas que han contribuido de una manera u otra a la realización del presente trabajo académico para cumplir con uno de mis objetivos profesionales y personales en la búsqueda de mi autorrealización.. A mis padres por darme la vida, y por su apoyo incondicional en todo instante, desde el momento que inicié los estudios superiores. Mi agradecimiento también a mis hijos Elizabeth y Jhon por su amor incondicional. Mi gratitud por las palabras de aliento en los días compartidos, tanto en nuestro hogar, por las horas por teléfono y pequeños detalles conmigo.. A los maestros de la Facultad de Educación y Ciencias de la Comunicación, de la Universidad Nacional de Trujillo, por sus consejos y por compartir sus amplios conocimientos y experiencias de manera desinteresada.. Gracias a todas las personas que de una u otra forma estuvieron ayudándome a crecer como persona y como profesional, como madres, como esposa. Sobre todo, por aquel apoyo moral de mi familia.. iv Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(5) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Índice Dedicatoria............................................................................................................................. ii Jurado Dictaminador............................................................................................................. iii Agradecimiento .................................................................................................................... iv Índice ..................................................................................................................................... v Presentación .......................................................................................................................... vi Resumen .............................................................................................................................. vii Abstract ............................................................................................................................... viii Introducción ........................................................................................................................... 9 I.. Diseño de Sesión de Aprendizaje Implementada ......................................................... 10 1.1. Datos Informativos ............................................................................................... 10 1.2. Propósito de Aprendizaje y Evidencias de Aprendizaje ....................................... 10 1.3. Estrategias Metodológicas .................................................................................... 12 1.4. Evaluación ............................................................................................................ 16. II. Sustento Teórico ........................................................................................................... 17 2.1. Introducción .......................................................................................................... 17 2.2. Cuerpo Temático ................................................................................................... 18 2.2.1. Regla de Tres Simple Directa e Inversa ....................................................... 18 III. Sustento Pedagógico ..................................................................................................... 21 3.1. Introducción .......................................................................................................... 21 3.2. Cuerpo Temático ................................................................................................... 22 3.2.1. Teoría que fundamentan la sesión de aprendizaje y del aprendizaje de la Matemática ................................................................................................... 22 3.2.2. La enseñanza y el aprendizaje de la matemática ......................................... 26 3.2.3. La Sesión de Aprendizaje ............................................................................ 36 Conclusiones........................................................................................................................ 40 Referencias Bibliográficas ................................................................................................... 41 Anexos ................................................................................................................................. 42. v Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(6) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Presentación. Señores miembros del Jurado:. En cumplimiento a lo dispuesto por el Reglamento de Grados y Títulos de la Facultad de Educación y Ciencias de la Comunicación de la Universidad Nacional de Trujillo, para obtener el Título de Licenciado en Educación Secundaria con mención Ciencias Matemáticas, dejo a consideración la presente sesión de aprendizaje denominada “Aplicaciones de la regla de tres simple en situaciones reales” para el segundo grado de Educación Secundaria de Educación Básica Regular, con la finalidad de ser sustentada para la obtención de la Licenciatura.. Sesión de aprendizaje que ha sido elaborada con la finalidad de desarrollar capacidades en el área de Matemática y que será desarrollada tomando en cuenta los intereses y necesidades de los estudiantes y de la programación tanto anual como de unidad y del contexto donde se desenvuelven los estudiantes. Se ha cumplido con todos los requisitos exigidos por el esquema brindado por la Universidad Nacional de Trujillo y esta sea evaluada de acuerdo a parámetros establecidos por el Reglamento y por el Jurado Calificador.. Como herramienta curricular cuenta con las secuencias pedagógicas establecidas por el Ministerio de Educación del Perú tomando en cuenta las necesidades de aprendizaje identificadas en los y las estudiantes de la Institución Educativa donde se aplicará. Y la someto a la respectiva evaluación del Jurado Calificador para ser aprobada y desarrollada en la fecha estipulada por la Escuela Profesional de Educación Secundaria de la Facultad de Educación y Ciencias de la Comunicación y de la Universidad Nacional de Trujillo.. La autora. vi Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(7) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Resumen. El presente trabajo de Suficiencia Profesional, consistente en la sustentación de una sesión de aprendizaje denominada “Aplicaciones de la regla de tres simple en situaciones reales” ha sido elaborada para los estudiantes de segundo grado de Educación Secundaria de Educación Básica Regular de la institución educativa “San Nicolás” de Trujillo. Constituye una secuencia pedagógica para potenciar el trabajo de la docente. Como herramienta curricular esta expresada en aprendizajes esperados, los mismos que se traducen en capacidades y competencias propias del área de Matemática, y estos serán evaluados tomando en cuenta los parámetros de la Evaluación formativa haciendo uso de diversas técnicas e instrumentos. Se sustenta en diversas fuentes bibliográficas, en teorías constructivistas y humanistas (Teoría del aprendizaje de Piaget, Teoría sociocultural de Vygotsky, Teoría del aprendizaje significativo de Ausubel), los cuatro pilares de la Educación, El Currículo Nacional de la Educación Básica, la Programación Curricular de Educación Secundaria y el contexto donde se desarrollan los estudiantes atendiendo a las necesidades de aprendizaje de los mismos. Y sobre todo se fundamenta en el Enfoque de Resolución de Problemas del área de Matemática, bajo las bases científicas de George Polya, Schoenfeld, Guzmán y otros con la finalidad de lograr aprendizajes significativos y efectivos en los estudiantes, mediante el fortalecimiento de destrezas en el razonamiento abstracto, lógico y matemático, cuyas aplicaciones no sólo se dan en las ciencias y tecnologías sino en toda la vida del individuo.. Palabras clave: Educación, Educación secundaria, Matemáticas.. vii Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(8) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Abstract. The present Professional Proficiency Work, that contains a learning session called "Applications of the rule of three simple in real situations" has been prepared for the students belongs to second grade at Secondary Level of Regular Basic Education from "San Nicolás” School of Trujillo. It is a pedagogical sequence in order to enhance the teacher job. As a curricular tool, it is expressed in expected learnings, that means in skill-based learning about Mathematics, and these will be evaluated considering Formative Evaluation parameters and using different techniques and instruments. This work is based on several bibliographical sources, on constructivist and humanist theories (Piaget's learning theory, Vygotsky's sociocultural theory, Ausubel's significant learning theory), the four Education pillars, The National Basic Education Curriculum, Secondary Education Curricular Programming and the context where students grow up according to their learning needs. And specially, it is based on the Problem Solving Approach in the Mathematics field, under the scientific bases of George Polya, Schoenfeld, Guzmán and others in order to achieve significant and effective learning in students, through the strengthening of skills on abstract, logical and mathematical reasoning, whose applications not only happens in science and technology but in the people entire life.. Key words: Education, Secondary Education, Mathematics.. viii Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(9) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Introducción La presente sesión de aprendizaje denominada “Aplicaciones de la regla de tres simple en situaciones reales”, considera como eje fundamental la competencia Resuelve problemas de cantidad del área de Matemática, está a la vez considera el desarrollo de las capacidades propias del área con la finalidad de lograr aprendizajes significativos en los estudiantes, mediante la adquisición de una serie de estrategias, de procedimientos, habilidades y otros aspectos para la resolución de problemas matemáticos bajo el sustento teórico de Polya para fortalecer el desarrollo del pensamiento matemático generando la capacidad del razonamiento lógico. Contiene los procesos pedagógicos con una serie de actividades que desarrolla la docente de manera intencional con el objetivo de mediar el aprendizaje del estudiante donde se hacen presente las estrategias de enseñanza propias de la docente y las estrategias de aprendizaje de los estudiantes. La fundamenta el sustento teórico-científico y un sustento pedagógico, donde se conjuga la teoría con la práctica pedagógica fundamentada en la planificación de una serie de actividades para alcanzar aprendizajes significativos y desarrollo de capacidades matemáticas.. 9 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(10) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. I.. Diseño de Sesión de Aprendizaje Implementada. 1.1. Datos Informativos 1.1.1. Institución educativa. : San Nicolás. 1.1.2. Nivel educativo. : Educación Secundaria. 1.1.3. Grado. : Segundo. 1.1.4. Área. : Matemática. 1.1.5. Denominación. : Aplicaciones de la regla de tres simple en situaciones reales.. 1.1.6. Duración. : 45 minutos.. 1.1.7. Docente responsable. : Blanca Elizabeth Correa Cerdán. 1.2. Propósito de Aprendizaje y Evidencias de Aprendizaje Competencia. Capacidades. Desempeño Establece relaciones entre datos. y. las. transforma expresiones. Traduce cantidades a expresiones Resuelve. en. numéricas que incluyen. las. operaciones. numéricas.. básicas en la. problemas de. resolución. cantidad.. de. problemas con regla. de. tres. simple. Comunica su comprensión sobre números. los y. Expresa. en. lenguaje numérico. su. comprensión sobre. las. Instrumento de evaluación. Evidencias de aprendizajes - Identifica. datos. en los problemas y. expresa. en. lenguaje matemático. - Identifica. la. incógnita. y. establece. la. Guía de observación.. diferenciación con los datos en un problema. - Determina. las. condiciones en un problema utilizando lenguaje matemático.. 10 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(11) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. las. operaciones. operaciones.. acciones. y de. - Aplica. las. operaciones. cálculo en la. necesarias para la. resolución. de. resolución. problemas con. problema.. regla. de. tres. simple. Emplea. - Aplica. los. algoritmos una. serie. de. apropiados. para. la resolución de un problema.. estrategias,. - Utiliza. diversos. Usa. procedimientos,. estrategias y. algoritmos. procedimien-. operaciones de. estrategias. tos de. cálculo. resolver. estimación y. resolver. cálculo.. problemas. y. para. procedimientos y para un. problema. - Sustenta. matemáticos. comunica. con regla de tres. resultados. simple.. lenguaje. y. con. Justifica. la. matemático. al. resolución. de. resolver. un. Argumenta. problemas. afirmaciones. matemáticos. sobre. con regla de tres. las. del. relaciones. simple. numéricas y. haciendo uso de. las. diversas. operaciones.. estrategias.. problema.. 11 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(12) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. 1.3. Estrategias Metodológicas Momentos. Medios /. Actividades/Estrategias. Materiales. Tiempo. - Recurso verbal.. Motivación. - La docente se presenta y da la - Pizarra. bienvenida a las y los estudiantes - Mota y pide que cada uno(a), en forma - Plumones oral, mencione los acuerdos de. acrílicos. - Técnica: Lluvia. convivencia en el aula. - Los y las estudiantes, expresan. de ideas.. cada acuerdo de convivencia - Hojas impresas. dentro del aula para el desarrollo - Papelotes. - Plumones.. de la clase de Matemática. - La docente presenta el artículo periodístico “Tres de cada cinco peruanos tienen sobrepeso u obesidad” (Anexo N° 01) y pide Inicio. a los estudiantes una lectura individual y silenciosa. Luego pide. a. los. estudiantes. 10'. que. comenten sobre el tema. - Los y las estudiantes participan dando su punto de vista sobre el tema y expresan matemáticamente los porcentajes que sufren de peso u obesidad. Así mismo expresan. en. lenguaje. matemático: uno de cada cuatro niños, entre 5 y 9 años, tiene este problema (24,4%), al igual que dos de cada cinco adultos jóvenes, entre 20 y 29 años (39,7%). Añade que una de cada. 12 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(13) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. dos. mujeres. reproductiva. en. edad. también. tiene. varios kilos de más (52,3%). Declaración del tema - La docente pregunta a los y las estudiantes el propósito de la sesión de aprendizaje y les brinda ciertas pautas para que deduzcan el tema, haciendo hincapié en la importancia del mismo. - Los y las estudiantes deducen el tema. a. desarrollarse. en. la. presente sesión. -. La docente escribe en la pizarra el nombre de la sesión de aprendizaje. y. propósito. de. manifiesta la. sesión. el de. aprendizaje. “Al finalizar la sesión el alumno estará en condiciones de resolver situaciones. problemáticas. contexto. real. de. empleando. correctamente la regla de tres simple”. Recogida de saberes previos - Lo docente, mediante una serie de ejercicios recoge los saberes previos de los y las estudiantes y los y las estudiantes participan del desarrollo de los mismos.. 13 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(14) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. - La docente presenta a los y las - Recurso verbal. estudiantes una hoja impresa con - Lluvia de ideas. información sobre la regla de tres - Material simple (Anexo N° 02) para el. impreso.. correspondiente análisis de la misma. - Los y las estudiantes analizan la información. presentada. y. mediante el uso de papelotes y plumones. sustentan. las. conclusiones encontradas en el documento de trabajo. - La docente evalúa a los y las estudiantes. mediante. un. instrumento de evaluación para el Desarrollo. respectivo. registro. de. 25'. las. calificaciones. - La docente presenta a los y las estudiantes una hoja impresa con 5 problemas sobre regla de tres directa e inversa (Anexo N° 03). - Los y las estudiantes sustentan los procedimientos seguidos para resolver. los. problemas. propuestos. La docente aclara dudas y refuerza conceptos y principios,. matemáticos. relacionados con regla de tres simple y directa. - La. docente. proporciona. los - Expresión oral.. ejercicios y/o problemas a ser - Hojas impresas. Salida. trabajados en casa para afianzar - Cuaderno los. conceptos,. postulados. y. de. trabajo.. 14 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(15) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. procedimientos de la resolución de problemas matemáticos con regla de tres simple y directa. Así mismo refuerza las ideas y obtienen conclusiones resaltando la importancia de la regla de tres en la vida diaria. - Los estudiantes, de manera oral, responden. las. 10'. interrogantes:. (Anexo 04) ¿Qué aprendí? ¿Cómo lo aprendí? ¿Por. qué. es. importante. aprenderlo? ¿Qué más necesito aprender para mejorar? ¿Por qué es importante aplicar la regla de tres en la vida diaria? ¿En qué situaciones cotidianas aplico lo aprendido con respecto a la vida cotidiana? Actividades de trasferencia - El estudiante redacta situaciones problemáticas en las que se evidencian la aplicación de las propiedades estudiadas.. 15 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(16) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. 1.4. Evaluación Evaluación del Producto Capacidades Identifica cantidades. a. problema y los expresa en lenguaje matemático.. numéricas. su. establece. la. diferenciación con los los. números y las. datos en un problema. - Determina condiciones. Usa estrategias. problema. y. lenguaje matemático.. procedimientos. de evaluación.. - Guía. de. observación. (Anexo. N°. 05) - Prueba. de. desarrollo. - Exposición.. en. un. utilizando. - Aplica las operaciones. de estimación y. necesarias. cálculo.. resolución del problema. - Aplica. para. los. la. algoritmos. apropiados. para. la. resolución. de. un. problema.. Argumenta. - Utiliza. afirmaciones las. diversos. procedimientos. y. relaciones. estrategias para resolver. numéricas y las. un problema.. operaciones.. - Pruebas escritas.. Instrumento. las. operaciones.. sobre. sistemática.. - Identifica la incógnita y - Situaciones orales. comprensión sobre. técnica. - Identifica los datos en un - Observación. expresiones. Comunica. indicador. - Sustenta. y. comunica. resultados con lenguaje matemático al resolver un problema.. 16 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(17) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. II. Sustento Teórico. 2.1. Introducción Según el Ministerio de Educación del Perú (2016) la matemática es una actividad humana y ocupa un lugar relevante en el desarrollo del conocimiento y de la cultura de nuestras sociedades. Se encuentra en constante desarrollo y reajuste, y, por ello, sustenta una creciente variedad de investigaciones en las ciencias y en las tecnologías modernas, las cuales son fundamentales para el desarrollo integral del país. El aprendizaje de la matemática contribuye a formar ciudadanos capaces de buscar, organizar, sistematizar y analizar información para entender e interpretar el mundo que los rodea, desenvolverse en él, tomar decisiones pertinentes, y resolver problemas en distintas situaciones usando, de manera flexible, estrategias y conocimientos matemáticos. El logro del Perfil de egreso de los estudiantes de la Educación Básica requiere el desarrollo de diversas competencias. A través del enfoque Centrado en la Resolución de Problemas, el área de Matemática promueve y facilita que los estudiantes desarrollen las siguientes competencias: Resuelve problemas de cantidad, competencia cuyas capacidades: - Traduce cantidades a expresiones numéricas. - Comunica su comprensión sobre los números y las operaciones. - Usa estrategias y procedimientos de estimación y cálculo. - Argumenta afirmaciones sobre las relaciones numéricas y las operaciones serán desarrolladas en la presente sesión de aprendizaje con la temática Regla de Tres Simple cuyo propósito es la resolución de problemas con el enfoque para desarrollar estrategias en la resolución de las mismas.. 17 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(18) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. 2.2. Cuerpo Temático 2.2.1. Regla de Tres Simple Directa e Inversa Rojas (2014), La regla de tres es una forma de resolver problemas de proporcionalidad entre tres valores conocidos y una incógnita. En ella se establece una relación de linealidad, proporcionalidad, entre los valores. Regla de tres es la operación de hallar el cuarto término de una proporción conociendo los otros tres.. Rojas (2014) en la regla de tres simple, se establece la relación de proporcionalidad entre dos valores conocidos A y B, y conociendo un tercer valor 'X', calculamos un cuarto valor Y A. B. X. Y. La relación de proporcionalidad puede ser directa o inversa. Será directa cuando a un mayor valor de A habrá un mayor valor de B, y será inversa cuando a un mayor valor de A corresponda un menor valor de B.. a) Regla de tres simple directa Se emplea cuando se comparan dos magnitudes directamente proporcionales. Ejemplo: Tres chompas se pueden tejer con 4 ovillos de lana. ¿Con cuántos ovillos de lana se podrán tejer 24 chompas? Resolvemos . Analizando las magnitudes: “A más chompas se necesitará más lana, luego: (chompas) DP (ovillos)”. Entonces:. DP Chompas. Ovillos. 3. 4. 24. X. 18 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(19) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. . Ahora por ser magnitudes DP tenemos: 𝑐ℎ𝑜𝑚𝑝𝑎𝑠 𝑜𝑣𝑖𝑙𝑙𝑜𝑠. 3. =4=. 24 𝑋. 3(X) = 24(4) X=. 24 (4) 3. X = 32 ovillos. Respuesta: La regla de tres simple directa se fundamenta en una relación de proporcionalidad, por lo que rápidamente se observa que: 𝐵 𝐴. 𝑋. =𝑌=k. Donde k es la constante de proporcionalidad. Para que esta proporcionalidad se cumpla se tiene que a un aumento de A le corresponde un aumento de B en la misma proporción. Se puede representar de la forma: A. B. X. Y. Y=. 𝐵𝑥𝑋 𝐴. Se dice entonces que A es a B directamente proporcional, como X es a Y, siendo Y igual al producto de B por X dividido entre A.. b) Regla de tres simple inversa Se emplea cuando se comparan dos magnitudes inversamente proporcionales.. Ejemplo: Sabiendo que tres personas pueden pintar todo un edificio en 15 días. ¿En cuánto tiempo podrán pintar el mismo edificio 5 personas? Resolvemos: . Analizando las magnitudes: “A más personas el tiempo de trabajo se deberá reducir, luego: (N° personas) IP (tiempo)”. 19 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(20) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Entonces: N° personas. . Tiempo (días). 3. 15. 5. X. Ahora por ser magnitudes IP, tenemos: (N° personas) (tiempo) = 3 (15) = 5 (X) X=. 3 (15) 5. X = 9 días. Respuesta: En la regla de tres simple inversa, en la relación entre los valores se cumple que: A (B) = X (Y) = e Donde e es un producto constante. Para que esta constante se conserve, un aumento de A necesitará una disminución de B, para que su producto permanezca constante. Esta relación puede representarse de la forma: A. B. X. Y. Y=. 𝐵𝑥𝑋 𝐴. Y se dice que A es a B inversamente proporcional, como X es a Y, siendo Y igual al producto de A por B dividido por X.. 20 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(21) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. III. Sustento Pedagógico. 3.1. Introducción La sesión de aprendizaje denominada “Aplicaciones de la regla de tres simple en situaciones reales” es un documento de planificación donde la docente ha diseñado, elaborado y/o organizado los aprendizajes de los estudiantes de segundo grado de Educación secundaria de Educación Básica Regular de la institución educativa “San Nicolás” en función a las necesidades e intereses de los y las estudiantes y a los propósitos del Diseño Curricular Nacional y la Programación Curricular de Educación Secundaria para desarrollar competencias y capacidades en el área curricular de Matemática en tomando como base los estándares de aprendizaje de la competencia Resuelve problemas de cantidad y de las capacidades: traduce cantidades a expresiones numéricas, comunica su comprensión sobre los números y las operaciones, usa estrategias y procedimientos de estimación y cálculo y argumenta afirmaciones sobre las relaciones numéricas y las operaciones, medidos mediante la evidencia de los desempeños. Asimismo, busca brindar y dotar a los y las estudiantes de un conjunto de acciones, procedimientos, algoritmos, estimaciones y cálculos y estrategias para resolver diversos problemas matemáticos en distintas situaciones, usando conceptos, definiciones, axiomas, postulados, principios y leyes propias de la matemática para desarrollar y fortalecer el pensamiento lógico y matemático bajo la lógica de los procesos pedagógicos, con secuencia lógica, para la construcción de los aprendizajes, la aplicación de lo aprendido y transferencia de los mismos a situaciones reales cotidianas con la finalidad de guiar los procesos cognitivos de los y las estudiantes para desarrollar procesos mentales, como: la observación, descripción, comparación, clasificación, análisis, síntesis, etc. para desarrollar el pensamiento lógico y matemático. Según MINEDU (2016) Asimismo se sustenta en teorías del aprendizaje. bajo el enfoque de las teorías. constructivistas, como son: la epistemología genética de Piaget, el aprendizaje sociocultural de Vygotsky. y el aprendizaje significativo de Ausubel, tomando como eje. fundamental los 4 pilares de la Educación: aprender a conocer, es decir, adquirir los instrumentos de la comprensión; aprender a hacer, para poder influir sobre el propio entorno; aprender a vivir juntos, para participar y cooperar con los demás en todas las. 21 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(22) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. actividades humanas; por último, aprender a ser, un proceso fundamental que recoge elementos de los tres anteriores.. 3.2. Cuerpo Temático 3.2.1. Teoría que fundamentan la sesión de aprendizaje y del aprendizaje de la Matemática  Piaget y su teoría del aprendizaje Servian (2019) conocido hoy en día como el padre de la Pedagogía Moderna. Piaget descubrió que los principios de nuestra lógica comienzan a instalarse antes de la adquisición del lenguaje, este a la vez se genera a través de la actividad sensorial y motriz en interacción con el medio, especialmente con el medio sociocultural. Siguiendo a Piaget, citado por Servian (2019), el desarrollo psíquico, que se inicia con el nacimiento y finaliza en la edad adulta, es comparable al crecimiento orgánico: al igual que este último, consiste esencialmente en una marcha hacia el equilibrio. De igual forma, en efecto, que el cuerpo evoluciona hasta un nivel relativamente estable, caracterizado por el final del crecimiento y por la madurez de los órganos, también la vida mental puede se concebida como si evolucionara en la dirección de una forma de equilibrio final, representado por la persona adulta. Su influencia en la psicología del aprendizaje parte de la consideración de que este se lleve a cabo a través del desarrollo mental, mediante el lenguaje, el juego y la comprensión. Para ello, la primera tarea del educador es la de generar un interés como instrumento con el que poder entender y actuar con el alumno. El objetivo principal de la educación en las escuelas debería ser la creación de hombres y mujeres que son capaces de hacer cosas nuevas, no simplemente repetir lo que otras generaciones han hecho; hombres y mujeres que son creativos, inventivos y descubridores, que pueden ser críticos, verificar y no aceptar, todo lo que se les ofrece. La idea de Piaget es que resulta fundamental comprender la formación de los mecanismos mentales del niño para captar su naturaleza y su funcionamiento en el adulto. Sus postulados se basaron en la Psicología, Lógica y Biología.. 22 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(23) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Así queda plasmado en su conceptualización de la acción de pensar, donde se parte de unos pilares condicionados por la genética y se construye a través de estímulos socioculturales. Es así como se modela la información que la persona va recibiendo. Estos conocimientos la aprendemos de modo activo por más inconsciente y pasivo que parezca el procesamiento de la información. Según la Teoría del Aprendizaje de Piaget, citado por Servian (2019), el aprendizaje es un proceso que solo tiene sentido ante situaciones de cambio. Por eso, aprender es saber adaptarse a esas novedades. Esta teoría brinda sus razones en la dinámica de la adaptación mediante los procesos de asimilación y acomodación. Servian (2019) entiende a la acomodación o ajuste es el proceso mediante el cual el sujeto modifica sus esquemas, estructuras cognitivas, para poder incorporar a esa estructura cognoscitiva nuevos objetos. Esto puede lograrse a partir de la creación de un nuevo esquema o la modificación de un esquema ya existente, de manera que el nuevo estímulo y su comportamiento natural y asociado puedan integrarse como parte del mismo. Asimilación y acomodación son dos procesos invariantes a través del desarrollo cognitivo. Para Piaget, citado por Servian (2019) asimilación y acomodación interactúan mutuamente en un proceso de equilibrio. Este puede considerarse como un proceso regulador, a un nivel más alto, que dirige la relación entre la asimilación y la acomodación.  Teoría sociocultural de Vygotsky Regader (s/f) afirma que la Teoría Sociocultural de Vygotsky pone el acento en la participación proactiva de los menores con el ambiente que les rodea, siendo el desarrollo cognoscitivo fruto de un proceso colaborativo. Vygotsky sostenía que los niños desarrollan su aprendizaje mediante la interacción social: van adquiriendo nuevas y mejores habilidades cognoscitivas como proceso lógico de su inmersión a un modo de vida. Aquellas actividades que se realizan de forma compartida permiten a los niños interiorizar las estructuras de pensamiento y comportamentales de la sociedad que les rodea, apropiándose de ellas.. 23 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(24) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Según Vygotsky, citado por Regader (s/f), el papel de los adultos o de los compañeros más avanzados es el de apoyo, dirección y organización del aprendizaje del menor, en el paso previo a que él pueda ser capaz de dominar esas facetas, habiendo interiorizado las estructuras conductuales y cognoscitivas que la actividad exige. Esta orientación resulta más efectiva para ofrecer una ayuda a los pequeños para que crucen la zona de desarrollo proximal (ZDP), que podríamos entender como la brecha entre lo que ya son capaces de hacer y lo que todavía no pueden conseguir por sí solos. Los niños que se encuentran en la ZDP para una tarea en concreto está cerca de lograr poder realizarla de forma autónoma, pero aún les falta integrar alguna clave de pensamiento. No obstante, con el soporte y la orientación adecuada, sí son capaces de realizar la tarea exitosamente. En la medida en que la colaboración, la supervisión y la responsabilidad del aprendizaje están cubiertas, el niño progresa adecuadamente en la formación y consolidación de sus nuevos conocimientos y aprendizajes. Siguiendo a los postulados de Vygotsky, en el aprendizaje se produce el andamiaje consiste en el apoyo temporal de los adultos (maestros, padres, tutores…) que proporcionan al pequeño con el objetivo de realizar una tarea hasta que el niño sea capaz de llevarla a cabo sin ayuda externa. Esta Teoría tiene implicaciones trascendentes para la educación y la evaluación del desarrollo cognoscitivo. Los tests basados en la ZDP, que subrayan el potencial del niño, representan una alternativa de incalculable valor a las pruebas estandarizadas de inteligencia, que suelen poner énfasis en los conocimientos y aprendizajes ya realizados por el niño. Así pues, muchos niños se ven beneficiados gracias a la orientación sociocultural y abierta que desarrolló Vygotsky. Otra de las aportaciones fundamentales de la perspectiva contextual ha sido el énfasis en el aspecto social del desarrollo. Esta teoría defiende que el desarrollo normal de los niños en una cultura o en un grupo perteneciente a una cultura puede no ser una norma adecuada (y por tanto no extrapolable) a niños de otras culturas o sociedades.. 24 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(25) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT.  Teoría del aprendizaje significativo de Ausubel Martínez (2017) define al aprendizaje significativo como un proceso cognitivo mediante el cual captamos información de nuestro entorno para después adaptarlo a nuestros conocimientos previos amoldándonos a estos y estableciendo un nuevo sistema de conocimiento interno. Lo que lo hace significativo es que captamos del entorno aquello que es importante e interesante para nosotros (significativo) por eso, el citado proceso de adaptación y acomodamiento a los conocimientos previos se producirá de forma más sencilla que si no existe ese interés y esa relación con conceptos previos. Por un lado, aprendemos mejor lo que nos interesa y por otro, ese aprendizaje será más fácil y firme a lo largo del tiempo si se ajusta a nuestros conocimientos previos. Muchas veces se obliga a los estudiantes a aprender lo que para el no es significativo y esto trae como consecuencias: - No solo se olvida lo aprendido, sino que se aprende mal. - Este malestar e inseguridad viene dado por que no comprende mucho la información que ha recepcionado. - Odiará estudiar, odiara el colegio, odiaremos aprender, en definitiva. - Matamos la creatividad y el interés por aprender. La educación es un hecho social interconectado con toda la sociedad y el docente es uno de los protagonistas fundamentales del proceso enseñanza aprendizaje, su práctica educativa mejorará si posee los conocimientos y la formación para abordar el hecho educativo desde una perspectiva más social y no como un proceso individual de enseñanza aprendizaje. El proceso de la adquisición del conocimiento no concluye nunca y puede nutrirse de todo tipo de experiencias. Puede considerarse que la enseñanza tiene éxito cuando ocurre un aprendizaje significativo que logren aporta el impulso y bases que permitirán seguir aprendiendo durante toda la vida, no sólo en el empleo sino también al margen de él. Al hablar del. aprendizaje significativo nos estamos refiriendo a esa. información que obtenemos del medio donde nos relacionamos y que logran calar tanto dentro de nosotros que genera una transformación o un cambio grande, pero para que se logre es necesario que la participación del aprendiz sea activa, es decir, que el mismo sujeto construya sus conocimientos en la 25 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(26) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. medida que va experimentando ciertas situaciones, es decir el niño, construye sus conceptos y desarrolla habilidades que mostrando un pensamiento lógico. Para que se logre todo este proceso es indispensable contar tanto con un escenario como al docente.. con. unos. actores,. comenzaremos. por referirnos. El rol de este sujeto debe variar de simple ejecutor de. conocimientos ya elaborados a intelectual transformador y esto es posible si la formación hace énfasis en la transformación y no en la reproducción. El docente deberá crear situaciones de aprendizaje donde los alumnos se encuentren en la necesidad de analizar problemas ajustados al desarrollo del joven y a su propia realidad, favorecer el despertar de la curiosidad ya que la misma desarrollará su capacidad para razonar y emitir juicios.. 3.2.2. La enseñanza y el aprendizaje de la matemática 3.2.2.1. Concepción constructivista Para muchos estudiosos sobre la enseñanza y el aprendizaje de la matemática y para los docentes de matemática consideran que debe haber una estrecha relación entre las matemáticas y sus aplicacio|nes a lo largo de todo el currículo. Godino, Batanero y Font (2003) piensan que es importante mostrar a los estudiantes la necesidad de cada parte de las matemáticas antes de que les sea presentada. Los estudiantes deberían ser capaces de ver cómo cada parte de las matemáticas satisfacen una cierta necesidad. Ejemplo: Poniendo a los niños en situaciones de intercambio les creamos la necesidad de comparar, contar y ordenar colecciones de objetos. Gradualmente se introducen los números naturales para atender esta necesidad En esta visión, las aplicaciones, tanto externas como internas, deberían preceder y seguir a la creación de las matemáticas; éstas deben aparecer como una respuesta natural y espontánea de la mente y el genio humano a los problemas que se presentan en el entorno físico, biológico y social en que el hombre vive. Los estudiantes deben ver, por sí mismos, que la 26 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(27) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. axiomatización, la generalización y la abstracción de las matemáticas son necesarias con el fin de comprender los problemas de la naturaleza y la sociedad. A las personas partidarias de esta visión de las matemáticas y su enseñanza les gustaría poder comenzar con algunos problemas de la naturaleza y la sociedad y construir las estructuras fundamentales de las matemáticas a partir de ellas. De este modo se presentaría a los estudiantes la estrecha relación entre las matemáticas y sus aplicaciones. Siguiendo las líneas de Godino, Batanero y Font (2003) cuando tenemos en cuenta el tipo de matemáticas que queremos enseñar y la forma de llevar a cabo esta enseñanza debemos reflexionar sobre dos fines importantes de esta enseñanza:  Que los estudiantes lleguen a comprender y a apreciar el papel de las matemáticas en la sociedad, incluyendo sus diferentes campos de aplicación y el modo en que las matemáticas han contribuido a su desarrollo.  Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar el método matemático, esto es, la clase de preguntas que un uso inteligente de las matemáticas permite responder, las formas básicas de razonamiento y del trabajo matemático, así como su potencia y limitaciones. Uno de los fines de la Educación es formar ciudadanos cultos, pero el concepto de cultura es cambiante y se amplía cada vez más en la sociedad moderna. Cada vez más se reconoce el papel cultural de las matemáticas y la Educación Matemática también tiene como fin proporcionar esta cultura. El objetivo principal no es convertir a los futuros ciudadanos en “matemáticos aficionados”, tampoco se trata de capacitarlos en cálculos complejos, puesto que los ordenadores hoy día resuelven este problema. Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentes interrelacionados:  Capacidad para interpretar y evaluar críticamente la información matemática y los argumentos apoyados en datos que las personas pueden encontrar en diversos contextos, incluyendo los medios de comunicación, o en su trabajo profesional.. 27 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(28) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT.  Capacidad para discutir o comunicar información matemática, cuando sea relevante, y competencia para resolver los problemas matemáticos que encuentre en la vida diaria o en el trabajo profesional. 3.2.2.2. Modelización y resolución de problemas Siguiendo las líneas de Godino, Batanero y Font (2003) el dar un papel primordial a la resolución de problemas y a la actividad de modelización tiene importantes repercusiones desde el punto de vista educativo. Sería cuanto menos contradictorio con la génesis histórica de las matemáticas, al igual que con sus aplicaciones actuales, presentar las matemáticas a los estudiantes como algo cerrado, completo y alejado de la realidad. Debe tenerse en cuenta, por una parte, que determinados conocimientos matemáticos permiten modelizar y resolver problemas de otros campos y por otra, que a menudo estos problemas no estrictamente matemáticos en su origen proporciona la base intuitiva sobre la que se elaboran nuevos conocimientos matemáticos. Desde el punto de vista de la enseñanza de las matemáticas, las reflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos de los alumnos. No podemos proponer los mismos problemas a un matemático, a un adulto, a un adolescente o a un niño, porque sus necesidades son diferentes. Hay que tener claro que la realidad de los alumnos incluye su propia percepción del entorno físico y social y componentes imaginadas y lúdicas que despiertan su interés en mayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales que interesan al adulto. En consecuencia, la activación del conocimiento matemático mediante la resolución de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecánica situaciones "reales", aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto, ya que éstas pueden no interesar a los alumnos. 3.2.2.3. Contenidos matemáticos: conceptos, procedimientos y actitudes Para Godino, Batanero y Font (2003) se entiende por contenido escolar tanto los que habitualmente se han considerado contenidos, los de tipo conceptual, como otros que han estado más ausentes de los planes de. 28 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(29) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. estudio y que no por ello son menos importantes: contenidos relativos a procedimientos, y a normas, valores y actitudes. En la escuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tipos de contenidos. Todo contenido que se aprende es también susceptible de ser enseñado, y se considera tan necesario planificar la intervención con respecto a los contenidos de tipo conceptual como planificarla con relación a los otros tipos de contenido. En contenido conceptual es el que presenta los conceptos, hechos y principios. Los hechos y conceptos han estado siempre presentes en los programas escolares, no tanto los principios. Por principios se entiende enunciados que describen cómo los cambios que se producen en un objeto o situación se relacionan con los cambios que se producen en otro objeto o situación. El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientos. Un procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas, orientadas a la consecución de una meta. Se puede hablar de procedimientos más o menos generales en función del número de acciones o pasos implicados en su realización, de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipo de meta al que van dirigidos. En los contenidos de procedimientos se indican contenidos que también caben bajo la denominación de "destrezas’’, técnicas’’ o “estrategias’’, ya que todos estos términos aluden a las características señaladas como definitorias de un procedimiento. Sin embargo, pueden diferenciarse en algunos casos en este apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezas más generales que exigen para su aprendizaje otras técnicas más específicas, relacionadas con contenidos concretos. El tercer contenido es el que se refiere a los valores, normas y actitudes. La pertinencia o no de incluir este tipo de contenido en el Diseño Curricular puede suscitar alguna duda. Hay personas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores y unas normas y actitudes para todos los alumnos. Desde esta propuesta curricular se pretende, en cambio, que los profesores programen y trabajen estos contenidos tanto como los demás ya que, de hecho, los alumnos aprenden valores, normas y actitudes en la escuela. La única diferencia, que se considera en esta propuesta una ventaja, es que ese aprendizaje no se producirá de una 29 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(30) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. manera no planificada, formando parte del currículo oculto, sino que la escuela intervendrá intencionalmente favoreciendo las situaciones de enseñanza que aseguraran el desarrollo de los valores, normas y actitudes que, a partir de las cuatro fuentes del currículo, pero especialmente de la fuente sociológica, se consideren oportunas. Godino, Batanero y Font (2003) afirman que la distinción entre contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales es, en primer lugar y sobre todo, de naturaleza pedagógica. Es decir, llama la atención sobre la conveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manera de trabajar los contenidos seleccionados. Esta es la razón por la cual, en ocasiones, un mismo contenido aparece repetido en las tres categorías: la repetición en este caso traduce la idea pedagógica de que el contenido en cuestión debe ser abordado convergentemente desde una perspectiva conceptual, procedimental y actitudinal. En otras ocasiones, sin embargo, un determinado contenido aparece únicamente en una u otra de las tres categorías, con ello se sugiere que dicho contenido, por su naturaleza y por la intención educativa propia de la etapa, debe ser abordado con un enfoque prioritariamente conceptual, procedimental o actitudinal. Estos tres tipos de contenido son igualmente importantes ya que todos ellos colaboran en igual medida a la adquisición de las capacidades señaladas en los objetivos generales del área. El orden de presentación de los apartados referidos a los tres tipos de contenido no supone ningún tipo de prioridad entre ellos. Los diferentes tipos de contenido no deben trabajarse por separado en las actividades de enseñanza y aprendizaje. No tiene sentido programar actividades de enseñanza y aprendizaje ni de evaluación distinta para cada uno de ellos, ya que será el trabajo conjunto lo que permitirá desarrollar las capacidades de los objetivos generales. Sólo en circunstancias excepcionales, cuando así lo aconsejen las características de los alumnos o alguno de los elementos que intervienen en la definición del Proyecto Curricular, puede ser aconsejable enfocar de manera específica el trabajo sobre uno u otro tipo de contenido.. 30 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(31) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. 3.2.2.4. Formas actuales de considerar el aprendizaje de las matemáticas Para Flores (s/f) la forma de concebir el aprendizaje matemático es de tipo estructuralista, especialmente cuando se refiere al aprendizaje de conceptos, donde se considera que aprender es alterar estructuras, y que estas alteraciones no se producen por medio de procesos simples, sino que se realizan de manera global. Para Dienes estos son los principios básicos para aprender Matemática:  El aprendizaje matemático se realiza a través de experiencias concretas Brunner propone que el aprendizaje de conceptos matemáticos se introduzca a partir de actividades simples que los estudiantes puedan manipular para descubrir principios y soluciones matemáticas. Con objeto de que esta estrategia repercuta en las estructuras, Bruner dice que hay que animar a los estudiantes a formar imágenes perceptivas de las ideas matemáticas, llegando a desarrollar una notación para describir la operación. El aprendizaje va de lo concreto a lo abstracto. Así, la enseñanza matemática actual promueve que se trabaje con objetos concretos antes de pasar a establecer las abstracciones. Cuando estas abstracciones se han consolidado, entonces estamos en condiciones de emplearlas como elementos concretos. Así, los números son una abstracción, pero llegado un momento del aprendizaje matemático, estas abstracciones pueden considerarse objetos concretos con los que realizar tareas matemáticas, como descomponer un número en operaciones con otros números, rellenar cuadrados mágicos, estudiar sus propiedades, etc.  El aprendizaje tiene que arrancar de una situación significativa para los estudiantes. Para que el aprendiz pueda llevar a cabo los procesos de equilibración, el aprendizaje tiene que partir de una situación significativa. Esto exige que se presente en forma de un problema del que el aprendiz pueda captar que encierra un interrogante, y del que puede comprender cuando este problema está resuelto. 31 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(32) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT.  La forma en que los aprendices puedan llegar a incorporar el concepto a su estructura mental es mediante un proceso de abstracción que requiere de modelos. Dado que los conceptos matemáticos son abstracciones complejas, los aprendices no pueden entrar en contacto con ellas si no es por medio de formas de representarlos. Llamamos modelo a la representación simplificada de un concepto matemático o de una operación, y está diseñada para comunicar la idea al aprendiz. Hay varias clases de modelos, los modelo físico son objetos que se pueden manipular para ilustrar algunos aspectos de las ideas matemáticas (como los ladrillos del muro de fracciones, o los modelos de poliedros en madera). Los modelos pictóricos son representaciones bidimensionales de las ideas matemáticas. Una de las formas de conseguir que el aprendizaje sea significativo para los alumnos es mediante el aprendizaje por descubrimiento. Propuesto por Ausubel, el aprendizaje por descubrimiento sucede cuando los aprendices llegan a hacer, por ellos mismos, generalizaciones sobre los conceptos o fenómenos. El descubrimiento al que se llega en clase es descubrimiento guiado.  No hay un único estilo de aprendizaje matemático para todos los alumnos. Cada alumno tiene su propia idiosincrasia. Si concebimos el aprendizaje como un cambio de estructuras mentales, tenemos que reconocer que estas estructuras son subjetivas, que se afectan por motivos diversos y que actúan siguiendo modelos distintos para esquematizar los problemas. Podemos distinguir diversos estilos de aprendizaje. Los alumnos que tienen mayor propensión al aprendizaje de carácter social, llegando más fácilmente a aprender por medio de conversaciones y acuerdos con sus compañeros, se dice que tienen un estilo orientado al grupo. Otros sujetos tienen que aprender partiendo de situaciones concretas, relacionadas estrechamente con el concepto (dependencia del campo), mientras que, por el contrario, otros son muy propensos a realizar aprendizajes genéricos (independencia del 32 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(33) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. campo). Otra variable que suele diferenciar el aprendizaje de los alumnos se refiere al tiempo que necesitan para tomar decisiones, se llama a esta variable tiempo cognitivo, y su valor indica otros estilos de aprendizaje. 3.2.2.5. Competencia y capacidades del área de Matemática que sustentan la sesión de aprendizaje a. Competencia: Resuelve problemas de cantidad. Cuando el estudiante resuelve problemas de cantidad, combina las siguientes capacidades: Traduce cantidades a expresiones numéricas; comunica su comprensión sobre los números y las operaciones; usa estrategias y procedimientos de estimación y cálculo; argumenta afirmaciones sobre las relaciones numéricas y las operaciones.  Descripción del nivel de la competencia esperado al fin del ciclo IV Resuelve problemas referidos a las relaciones entre cantidades o magnitudes, traduciéndolas a expresiones numéricas y operativas con números naturales, enteros y racionales, aumentos y descuentos porcentuales sucesivos, verificando si estas expresiones cumplen con las condiciones iniciales del problema. Expresa su comprensión de la relación entre los órdenes del sistema de numeración decimal con las potencias de base diez y entre las operaciones con números enteros y racionales; y las usa para interpretar enunciados o textos diversos de contenido matemático. Representa. relaciones. de. equivalencia. entre. expresiones. decimales, fraccionarias y porcentuales, entre unidades de masa, tiempo y monetarias; empleando lenguaje matemático. Selecciona, emplea y combina recursos, estrategias, procedimientos y propiedades de las operaciones y de los números para estimar o calcular con enteros y racionales; y realizar conversiones entre unidades verificando su eficacia. Plantea afirmaciones sobre los números enteros y racionales, sus propiedades y relaciones, y las justifica mediante ejemplos y sus conocimientos de las. 33 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(34) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. operaciones, e identifica errores o vacíos en las argumentaciones propias de otros y las corrige.  Desempeños segundo grado de Secundaria Cuando el estudiante resuelve problemas de cantidad y logra el nivel esperado del ciclo VI, realiza desempeños como los siguientes: - Establece relaciones entre datos y acciones de ganar, perder, comparar e igualar cantidades, o una combinación de acciones. Las transforma a expresiones numéricas (modelos) que incluyen operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división con números enteros, expresiones fraccionarias o decimales, y potencias con exponente entero, notación exponencial, así como aumentos y descuentos porcentuales sucesivos. En este grado, el estudiante expresa los datos en unidades de masa, de tiempo, de temperatura o monetarias. - Comprueba si la expresión numérica (modelo) planteada representó las condiciones del problema: datos, acciones y condiciones. - Expresa con diversas representaciones y lenguaje numérico su comprensión del valor posicional de las cifras de un números hasta los millones al ordenar, comparar, componer y descomponer números enteros y números racionales en su forma fraccionaria y decimal, así como la utilidad o sentido de expresar números naturales en su notación exponencial, para interpretar un problema según su contexto y estableciendo relaciones entre representaciones. Reconoce la diferencia entre una descomposición polinómica y una notación exponencial. 3.2.2.6. Los cuatro pilares de la Educación que se sustentan la sesión de aprendizaje El siglo XXI ofrece recursos sin precedentes, ya que estamos invadidos por las Tecnologías de Información y comunicación (TIC's), y plantea a la Educación una doble exigencia: la educación deberá transmitir, masiva 34 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(35) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. y eficazmente, un volumen cada vez mayor de conocimientos teóricos y técnicos evolutivos, adaptados a la civilización cognoscitiva, porque son las bases de las competencias del futuro. Simultáneamente, deberá hallar y definir orientaciones que permitan no dejarse sumergir por las corrientes de informaciones más o menos efímeras que invaden los espacios públicos y privados y conservar el rumbo en proyectos de desarrollo individuales y colectivos. En cierto sentido, la educación se ve obligada a proporcionar las cartas náuticas de un mundo complejo y en perpetua agitación y, al mismo tiempo, la brújula para poder navegar por él. Para Delors (1994) la Educación debe cumplir el conjunto de las misiones que les son propias, debe estructurarse en torno a cuatro aprendizajes fundamentales que en el transcurso de la vida serán para cada persona, en cierto sentido, los pilares del conocimiento: aprender a conocer, es decir, adquirir los instrumentos de la comprensión; aprender a hacer, para poder influir sobre el propio entorno; aprender a vivir juntos, para participar y cooperar con los demás en todas las actividades humanas; por último, aprender a ser, un proceso fundamental que recoge elementos de los tres anteriores. A continuación se describe cada uno de ellos:  Aprender a conocer Para Delors (1994), este tipo de aprendizaje, que tiende menos a la adquisición de conocimientos clasificados y codificados que al dominio de los instrumentos mismos del saber, puede considerarse a la vez medio y finalidad de la vida humana. En cuanto a medio, consiste para cada persona en aprender a comprender el mundo que la rodea, al menos suficientemente para vivir con dignidad, desarrollar sus capacidades profesionales y comunicarse con los demás. Como fin, su justificación es el placer de comprender, conocer, de descubrir.  Aprender a hacer Para Delors (1994), aprender a conocer y aprender a hacer, son en gran medida indisociables. Pero lo segundo está más estrechamente. 35 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(36) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. vinculado a la cuestión de la forma profesional: ¿cómo enseñar al alumno a poner en práctica sus conocimientos y, al mismo tiempo, como adaptar la enseñanza al futuro mercado del trabajo, cuya evolución no es totalmente previsible?  Aprender a vivir juntos, aprender a vivir con los demás Delors (1994), este aprendizaje constituye una de las principales empresas de la educación contemporánea. Demasiado a menudo, la violencia que impera en el mundo contradice la esperanza que algunos habían depositado en el progreso de la humanidad. La historia humana siempre ha sido conflictiva, pero hay elementos nuevos que acentúan el riesgo, en particular el extraordinario potencial de autodestrucción que la humanidad misma ha creado durante el siglo XX. La idea de enseñar la no-violencia en la escuela es loable, aunque solo sea un instrumento entre varios para combatir los prejuicios que llevan al enfrentamiento. Es una tarea ardua, ya que, como es natural, los seres humanos tienden a valorar en exceso sus cualidades y las del grupo al que pertenecen y a alimentar prejuicios desfavorables hacia los demás.  Aprender a ser Para Delors (1994), la educación debe contribuir al desarrollo global de cada persona: cuerpo y mente, inteligencia, sensibilidad, sentido estético, responsabilidad individual, espiritualidad. Todos los seres humanos deben estar en condiciones, en particular gracias a la educación recibida en su juventud, de dotarse de un pensamiento autónomo y crítico y de elaborar un juicio propio, para determinar por sí mismos qué deben hacer en las diferentes circunstancias de la vida.. 3.2.3. La Sesión de Aprendizaje La sesión de aprendizaje está constituida por un conjunto de situaciones significativas que cada docente diseña y organiza con secuencia lógica para lograr desarrollar un conjunto de aprendizajes significativos propuestos en una unidad didáctica y en la Programación Curricular Anual con la finalidad de desarrollar. 36 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(37) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. capacidades y competencias propias de una determinada área curricular. Así mismo desarrolla dos tipos de estrategias de acuerdo a los actores educativos:  Del docente: estrategias de enseñanza y procesos pedagógicos.  Del estudiante: Estrategias de aprendizaje y procesos cognitivos, afectivos y motores. La sesión de aprendizaje está constituida por momentos (Inicio, desarrollo o proceso y cierre) y procesos pedagógicos. Los procesos pedagógicos de una sesión de aprendizaje son los procesos y/o etapas que el docente utiliza para mediar el aprendizaje de los estudiantes; estos son recurrentes y no tienen una categoría de momentos fijos. Están diseñados mediante actividades de aprendizajes seleccionadas con la finalidad de cumplir con un propósito académico y/o pedagógico. a. Motivación Este proceso es permanente, mediante el cual el docente crea una serie de condiciones para mantener el interés del estudiante para cumplir propósitos planificados en la búsqueda del desarrollo de capacidades y competencias mediante la evaluación de los desempeños establecidos en una determinada área del saber. Así mismo permite en el estudiante desarrollar el interés por participar activamente de sus aprendizajes mediante el desarrollo de un conjunto de acciones, estrategias y procedimientos para alcanzar logros propuestos. b. Exploración Es la recuperación de saberes adquiridos por los estudiantes con anterioridad que ya trae consigo y que son necesarios activarlos ya que sirven de base para el procesamiento de la nueva información con la finalidad de organizarlo y darle sentido. Las estrategias y/o acciones para hacer la exploración pueden ser: Lluvia de ideas, uso de estrategias, diálogos, preguntas y respuestas, gráficos, dibujos, lecturas, entrevistas, evaluaciones orales o escritas, etc. c. Problematización En esta fase el docente debe lograr el conflicto cognitivo que es el desequilibrio de las estructuras mentales y se produce cuando el estudiante se enfrenta con algo que no puede comprender o explicar con sus propios saberes. Generar el 37 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.