UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA Y TEXTILCONTROLES ELÉCTRICOS y AUTOMATIZACIÓN
Ing. JORGE COSCO GRIMANEY
Planta: Cualquier objeto físico que ha de ser controlado.
Proceso: Operación o secuencia de operaciones, caracterizada por un
conjunto de cambios graduales que llevan a un resultado o estado final a partir de un estado inicial.
Sistema: Combinación de componentes que actúan conjuntamente y cumplen
un objetivo determinado.
Perturbación: Es una señal que tiende a afectar adversamente el valor de la salida de un sistema.
Servomecanismo: Sistema de control realimentado cuya salida es una
posición mecánica.
El modelado y control de sistemas basado en la transformada de Laplace, es un enfoque muy sencillo y de fácil aplicación. Permite analizar sistemas utilizando una serie de reglas algebraicas en lugar de trabajar con ecuaciones diferenciales. En este enfoque tiene más valor la simplicidad que la exactitud.
Control clásico
Salidas Entradas Sistema Características dinámicas No Linealidades Modelado y Función de Transferencia Características dinámicas Lineales Saturación Histéresis Variante enel tiempo Múltiples puntos de equilibrio
Fricción no lineal
) ( 3yy f t y
t y dt d
sen
2
5
5
2
s
s
s
1
k
m m
) (sMODELO MATEMATICO
Una planta o cada una de las partes que forman un sistema de control,
puede ser representada por un conjunto de ecuaciones
integro-diferenciales de n-ésimo orden con coeficientes lineales invariantes en
el tiempo que relacionan la variable de entrada con la variable de
salida.
E.D LINEAL
x(t) y(t)
El modelo matemático es una expresión que permite representar el
comportamiento de un proceso físico en función de las variables que
intervienen en dicho proceso.
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
Es la relación que existe entre la variable de salida y la variable de entrada de las transformadas de un Sistema Lineal, donde los valores iniciales son igual a cero.
Para realizar la transformación se utilizan las Transformadas de LAPLACE, con el propósito de simplificar los modelos matemáticos, convirtiendo las ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas.
Transformadas de LAPLACE: Sea f(t) una función continua en el tiempo t ≥ 0, la transformada de Laplace se define por:
L {f(t)} = F(s) donde L es el operador de Laplace y s es la variable de Laplace, siendo f(t) la función en el dominio del tiempo (t) y F(s) la función en el domino de Laplace (s).
Proceso para obtener la función de
transferencia
Conocer la ecuación diferencial que describe el
comportamiento del proceso a controlar.
A esta ecuación diferencial se le llama modelo
del proceso.
Una vez que se tiene el modelo, se puede
diseñar y probar la estabilidad del sistema.
Para probar la estabilidad se obtiene la función
de transferencia del sistema
La función de transferencia
• Nos indica como cambia la salida de un proceso
ante un cambio en la entrada
• Diagrama de bloques
forzante
Función
proceso
del
Respuesta
)
(
)
(
proceso
del
entrada
la
en
Cambio
proceso
del
salida
la
en
Cambio
)
(
)
(
s
X
s
Y
s
X
s
Y
Proceso Entrada del proceso(función forzante o
estímulo)
Salida del proceso
(respuesta al
PROPIEDADES Y FUNCIONES TIPICAS DE ESTIMULO EN
SISTEMAS DE CONTROL
PROCESO DE PRIMER ORDEN
Su G(s) presenta en el denominador una ecuación de 1er grado, ya que se origina de una Ecuación Diferencial de 1er orden.
G(s)
G(s) = K
TS + 1TS + 1
U(s) Y(s) Y(s) = K . U(s)
TS + 1
RESPUESTA AL ESCALÓN UNITARIO U(s) = 1/S:
K = Constante de Ganancia o Amplitud de U(s). Muesta el valor final de la respuesta.
T = Constante de tiempo (Seg, Min, Hrs). Tiempo en el que la respuesta adquiere el 63,2% del valor final
T t K y(t) 0,63K Régimen Estable Régimen Transitorio
Y(s) = K . U(s) TS + 1
y(t) = K . (1- e-t/T)
PROCESO DE SEGUNDO ORDEN
Su G(s) presenta en el denominador una ecuación de 2do grado, ya que se origina de una Ecuación Diferencial de 2do orden.
G(s)
G(s) = K
T2S2 + 2ζTS + 1
U(s) Y(s) ζ = Factor de Amortiguamiento
T = Constante de Tiempo (Seg, Min, Hrs)
K = Constante de Ganancia o Amplitud de U(s)
G(s)
G(s) = K1
TT11S + 1S + 1
U(s) Y(s)
G(s)
G(s) = K2
TT22S + 1S + 1
G(s)
G(s) = K
T1T2S2 + (T1+T2)S + 1
U(s) Y(s)
T1T2 = T2 T
1 +T2 = 2 ζ T K1 K2 = K
RESPUESTAS DEL PROCESO DE SEGUNDO ORDEN AL ESCALÓN UNITARIO U(s) = 1/S:
ζ = 0 (Oscilatoria)
ζ = 1 (Amortiguada) 0< ζ < 1 (Subamortiguada)
K
G(s) = KG(s)
TT22S2 + 1
ζ > 1 (Sobreamortiguada) G(s) = KG(s)
T2S2 + 2ζTS + 1
G(s)
G(s) = K
CARACTERISTICAS DE LAS RESPUESTAS DE LOS SISTEMAS DE 2DO ORDEN:
Subamortiguado:
Repuesta rápida con oscilaciones antes de estabilizar.
Amortiguado:
Repuesta menos rápida libre de oscilaciones antes de estabilizar.
Sobreamortiguado:
Repuesta lenta libre de
oscilaciones antes de estabilizar.
Oscilatorio:
Oscilaciones a una frecuencia natural wn
0< ζ < 1 (Subamortiguada)
ζ = 0 (Oscilatoria) ζ = 1 (Amortiguada)
Subamortiguado:
Repuesta rápida con oscilaciones antes de estabilizar.
Amortiguado:
Repuesta mas rápida libre de oscilaciones antes de estabilizar.
Sobreamortiguado: Repuesta lenta libre de
oscilaciones antes de estabilizar.
Oscilatorio:
Oscilaciones a una frecuencia natural wn
PROCESOS DE ORDEN SUPERIOR:
Su G(s) presenta en el denominador una ecuación de grado mayor a 2, ya que se origina de una Ecuación Diferencial de orden superior a 2. Puede presentar
polinomios de cualquier orden en el numerador y en el denominador. Se presentan en formas de raíces en le numerador llamadas Zeros y Raíces en el
denominador llamadas Polos.
Para evaluar la dinámica de estos proceso se recurre al software de análisis de procesos tal como el Simulink-Matlab.
Zeros: 1 Raíz en el Numerador Polos: 3 Raices en el Denominador
La descripción de sistemas mediante la función de transferencia tiene las siguientes limitaciones:
• No proporciona información sobre la estructura física del sistema.
• Solo es válida para sistemas lineales con una entrada y una salida e invariantes en el tiempo.
• No proporciona información de lo que pasa dentro del sistema. • Se necesita que las condiciones iniciales del sistema sean nulas.
Ningún sistema dinámico de interés cumple con estos requisitos, es decir: Los sistemas reales presentan no linealidades, pueden tener más de una entrada o salida, sus parámetros cambian en el tiempo y sus condiciones iniciales no siempre tienen un valor de cero. Para describir sistemas reales se utiliza la
Modelos matemáticos de los
sistemas
Introducción
Un sistema puede ser representado de varias maneras diferentes, y por lo tanto puede tener varios modelos matemáticos.
El modelo matemático de un sistema dinámico es un conjunto de ecuaciones que representan las características dinámicas del sistema.
En general, la dinámica de los sistemas se describe en términos de ecuaciones diferenciales, las cuales se obtienen aplicando leyes físicas.
Función de transferencia
La función de transferencia se usa en teoría de control para caracterizar las relaciones entrada-salida de sistemas lineales invariantes en el tiempo.
Considere un sistema lineal invariante en el tiempo, descrito por la siguiente ecuación diferencial
donde y(t) es la salida del sistema y u(t) es la entrada del sistema.
Para obtener la función de transferencia del sistema, se toma la
transformada de Laplace de ambos miembros de la ecuación anterior, considerando que las condiciones iniciales son iguales a cero
)
(
)
(
)
(
)
(
'
)
(
1 0 ( )0
y
t
a
y
t
a
y
t
b
u
t
b
u
t
a
n
n
n
m
m)
(
)
(
)
(
)
Entonces, la función de transferencia está dada por
Se definen los ceros de G(s) como las raíces del numerador de G(s) y los
polos de G(s) como las raíces del denominador.
Propiedades de la función de transferencia:
La función de transferencia de un sistema:
•Se usa extensivamente en el análisis y diseño de sistemas lineales invariantes en el tiempo.
• Es un modelo matemático del sistema, en el sentido de que expresa la ecuación diferencial que relaciona la variable de salida con respecto a la variable de entrada.
• Relaciona las variables de entrada y de salida, pero no proporciona información sobre la estructura física del sistema.
• Puede definirse también como la transformada de Laplace de la
respuesta al impulso del sistema.
• Si la función de transferencia de un sistema es conocida, puede
Diagramas de bloques
Características de los diagramas de bloques:
• Se puede obtener la representación del sistema completo,
conectando los bloques.
• La operación del sistema puede apreciarse más fácilmente
examinando el diagrama de bloques, que examinando las ecuaciones del sistema.
• El diagrama de bloques contiene información respecto al