INTEGRALES DEFINIDAS: CÁLCULO DE ÁREAS
Matemáticas 2º de Bachillerato Ciencias y Tecnología
TEMA 7.- INTEGRALES INDEFINIDAS
1.- FUNCIÓN PRIMITIVA
Hasta ahora hemos estudiado el proceso de cómo calcular la función derivada de otra. Ahora vamos a dedicarnos al proceso inverso, es decir, dada una función, encontrar otra cuya derivada sea dicha función.
A este proceso se le llama integración, y es, en cierta medida, el proceso recíproco al de derivación.
Sean f(x) y F(x) dos funciones definidas en un mismo dominio D.
Se dice que F(x) es una primitiva de f(x) F x'( ) f x( ) , x D
Por ejemplo, una primitiva de la función f x( )2x será la función 2 ( )
F x x
Ahora bien. Las funciones
2 2 2 2
( ) 1 ; ( ) 2 ; ( ) 5 ; ( ) 2009
F x x F x x F x x F x x …..
también son primitivas de f x( )2x.
Teorema
Sean F(x) y G(x) dos primitivas de la función f(x) F(x) = G(x) + C
Es decir, todas las primitivas de una función (que son infinitas) son iguales salvo una constante.
Se llama integral indefinida de una función f(x) al conjunto de todas sus primitivas:
( ) ( ) / '( ) ( )
f x dx F x C F x f x
El término dx, llamado diferencial de x, indica que la derivada de la función F(x) se ha hecho respecto a la variable x. (En nuestro caso es lo normal, aunque si la variable tuviese otro nombre, se cambiaría también el término del diferencial)
Así, por ejemplo:
2
5 5
6 3
cos
dx x C
xdx x C
xdx senx C
Ejemplo: Calcular la primitiva de la función f(x) = 4x que pasa por el punto (1,5)
Como
4xdx2x2C, todas sus gráficas serán de la forma:De todas ellas buscamos la que pasa por (1,5), es decir,
(1) 5 2 1 5 3
F C C
Luego la primitiva que buscábamos es F x( )2x23
Ejercicio: Calcular la primitiva de la función f x( ) 1
x
que pase por el punto (e,3)
2.- PROPIEDADES LINEALES DE INTEGRACIÓN
Las propiedades que enunciamos a continuación son consecuencia directa de las propiedades de derivación.
1.
f g
( )x dx
f x dx( )
f x dx( ) 2.
k f x dx ( ) k
f x dx( )De la obtención conjunta de estas propiedades se obtiene:
3.
a f b g
( )x dx a
f x dx b( )
f x dx( )3.- INTEGRALES INMEDIATAS
Integrales Inmediatas
1.
0dxC2.
1dx x C3.
1
, 1
1
n
n x
x dx C n
n
4. 1dx Ln x C
x
5.
e dxx exC6.
x
x a
a dx C
Lna
7.
senxdx cosx C8.
cos xdxsenx C9.
1 2
12 sec2cos
tg x dx dx xdx tgx C
x
10.
1 cotg x dx2
12 dx cosec2xdx cotgx C sen x
11.
2 1
arccos 1
dx arcsenx C x C x
12. 1 2
1x dxarctgx C
Aplicando estas reglas y la propiedad 3 de integración (llamado método de
Ejemplos:
3 2
3
x x dx C
8 4 8 4
7 3 7 3 7 3
2 2 2 2
8 4 8 2
x x x x
x x dx x dx x dx x dx x dx C
5ex3senx dx
5e dxx
3senxdx5
e dxx 3
senxdx5ex3cosx C 3 2 3
1 2 2
3 2 3
x x
xdx x dx C
1 2
2
1 1
1
x
dx x dx C
x x
Ejercicio:
Calcular las siguientes integrales:
a)
2x dx5 b)
3x35x2
dx c)
x dx3d)
2 cosx5 cosx dx
e) 1 dxx
f)
5 x dx3 2g) 34 dx
x
h)
3x 1
dx
i)3
2 3
5
x dx
j) 2 sec2 3 2
1
x dx
x
k)
3 3tg x dx 2
l)
senx2x5 x dx
m) 23
x dx x
n) 42
5
5 3 1
x dx x
A partir de estas reglas se puede aplicar, al revés, la regla de la cadena para derivadas, y obtenemos las reglas de integración en forma compuesta, llamadas integrales
Integrales Inmediatas (Forma Compuesta)
1.
1
' , 1
1
n
n f
f f dx C n
n
2. f 'dx Ln f C
f
3.
ef f dx' ef C4. '
f
f a
a f dx C
Lna
5.
senf f dx' cos f C6.
cos f f dx' senf C7.
2
22 '
1 ' sec '
cos
f
tg f f dx dx f f dx tgf C f
8.
1 cotg f2
f dx' f2' dx cosec2 fdx cotgf C sen f
9.
2 '
arccos 1
f
dx arcsenf C f C f
10. '2
1
f
dx arctgf C
f
Ejemplos:
2 1 2 1
2xexdxex C
(Regla 3: f x( )x21)
3cos 3
x2
dxsen x(3 2) C (Regla 6: f x( )3x2) 22 1 2 1
5
x
dx Ln x C x x
(Regla 2: f x( )x2 x 5)
2
24 2
2 2
1 1
x x
dx dx arctg x C
x x
(Regla 10: f x( )x2)
5 2 4
2 2
2 2
5
x
x x dx C
A veces hay que “preparar” las integrales para poder aplicar las reglas introduciendo o
sacando números (propiedad lineal de integración 2). Así:
sen 3x1 dx
(falta un 3 multiplicando para poder aplicar la regla 5, así queintroducimos un 3 y sacamos otro dividiendo) =
1 1
3s 3 1 cos 3 1
3 en x dx 3 x C
Ejercicio:
Calcular las siguientes integrales:
a)
x
3x27
3dx b)2 3 2 6 1 x dx x x
c) 2 cos21 x dx sen x
d) 2 1
3 x
e dx
e) 5cos
sen x xdx
f) 221 x dx x
g) 4 2 1 x dx x
h)
2
x1
3dx i)1 x x e dx e
j)
x sen
3x25
dx k)x e dx x
l) 2 Ln x dx x
m)
2 11 1
dx x
n) 3 xe dx
ñ) 2 cos3 x dx
o) cos cos senx x dx senx x
p)
x 1x dx2 q) cos Lnx
dxx
r) 2 1 x x e dx e
s)
21 2x1 dx
t)
senxcosxdxu) Lnxdx
x
v) 3 8 1 x dx x
w) (2 )cos sen tgx dx x
x) 4 4 4 x dx x
y)
1 3 x
43xdx z) 44.- MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Además del método de descomposición ya visto y de las reglas de integración inmediatas y compuestas, existen otros métodos de integración según el tipo de función que haya en el integrando:
4.1 Método de Integración Por Partes
Este método sirve para calcular la primitiva de un producto de funciones. Supongamos dos funciones derivables u y v.
Usando la derivada de un producto, tenemos que:
d u v u dv v du
Si integramos en los dos miembros de la ecuación:
d u v u dv v du u v u dv v du
Y despejando obtenemos la fórmula de integración por partes:
u dv u v v du
Esta el popularmente conocida como Regla de la Vaca:
Un Día Vi Una Vaca Vestida De Uniforme
Ejemplo: Vamos a calcular
x senxdxLlamamos ux dudx
Llamamos dvsenxdx Integrando
dv
senxdx v cosxY aplicando la fórmula:
cos
cos cosx senxdx x x xdx x xsenx C
Es importante elegir bien a que parte del producto llamamos u y a qué parte llamamos
dv, lo cual exige un poco de intuición y otro poco de entrenamiento. Puede que al
Ejercicio:
Calcular las siguientes integrales:
a)
xe dxx b)
xLnxdx c)
x senxdx2d)
Lnxdx e)
x e dx2 x f)
arctgxdxg) (3 )
2
x
sen x dx
h)
xe dxx i)
xcosxxex2
dxj)
excosxdx k)
x22x1
e dx2x l)
x 1xdxm)
e senxdxax n) 2cos 2x x dx
4.2.- Método de Sustitución o Cambio de Variable
Consiste en sustituir una función o parte de ella por otra variable y expresar todo el integrando en función de esa nueva variable, de manera que la integral que resulte sea inmediata o la podamos resolver por otro método. Al terminar el proceso, hay que expresar de nuevo el resultado en función de la variable original.
Si la integral resultante es más complicada que la original, es obvio que el cambio elegido no es el adecuado y habrá que buscar, por tanto, otro camino.
Veamos un ejemplo: 1
1dx
x x
Hacemos el cambio t x1
Tenemos que poner todo el integrando en función de la nueva variable t.
En primer lugar diferenciamos y despejamos dx: 1
1 2 1 2
2 1
t x dt dx dx x dt tdt
x
Todavía nos queda despejar x: t x 1 t2 x 1 x t2 1
Y haciendo el cambio:
2
2
1 1 1
2 2 2
1 1
1dx t t tdt t dt arctgt
x x
deshaciendo el cambioEn ocasiones puede que haya más de un cambio válido. Es sólo cuestión de probar. También es posible que la integral sea inmediata aunque sea difícil de ver y por sustitución sea más sencillo.
Es posible también que al aplicar sustitución salga una integral por partes o por cualquier otro método, o viceversa.
Ejercicio:
Calcular las siguientes integrales:
a)
3
2 1
x dx x
b)
cos 2
2
x dx x
c)
2
1
1 dx
x Ln x
d)
x x1dx e) cos(Lnx)dxx
f)
3
1 dx
x x
g)
Lnxdx h) ( 2)2
Ln x
dx x
i)
sen Lnx dx( )4.3.- Integración de Funciones Racionales
Son del tipo ( )
( )
P x dx Q x
, siendo P(x) y Q(x) polinomios..Distinguiremos dos casos, según el grado de dichos polinomios:
a) Grado P(x) < Grado Q(x)
En primer lugar hay que descomponer el polinomio Q(x) (por ejemplo por Ruffini) del tipo: Q x( )
xx1
x x2
x x3
x xn
A continuación descomponemos la fracción ( )
( )
P x
Q x en fracciones simples, de modo que
cada uno de los denominadores de dichas fracciones serán los factores calculados antes, es decir:
3
1 2
1 2 3
( )
... ( )
n n
A A
A A
P x
Q x xx xx xx xx
Una vez calculados los valores de A A A1, 2, 3,...An (veremos cómo se hace con un
ejemplo), la integral se puede descomponer en integrales sencillas, todas ellas inmediatas de tipo logarítmico:
3
1 2
1 2 3
( )
... ( )
n n
A A
A A
P x
Q x xx xx xx xx
Ejemplo1 : Vamos a calcular 22 1
3 2
x
dx x x
Descomponiendo el denominador: x23x 2
x 1
x 2
Luego el cociente quedará descompuesto como : 22 1
3 2 1 2
x A B
x x x x
Veamos cómo calcular los números A y B:
Sumamos las dos fracciones simples: ( 2) ( 1)
1 2 ( 1)( 2)
A B A x B x
x x x x
Igualamos a la fracción original: 22 1 ( 2) ( 1)
3 2 ( 1)( 2)
x A x B x
x x x x
Y como los denominadores son iguales, igualamos los numeradores, obteniendo la ecuación:
2x 1 A x( 2) B x( 1)
Si le damos dos valores cualesquiera a la x, obtendremos un sistema de donde sacar los valores de A y B. Los mejores valores para x son justamente los que se han obtenido al descomponer el polinomio Q(x):
1 3 3
2 5
Si x A A
Si x B
Luego: 22 1 3 5
3 2 1 2
x
x x x x
Y por tanto la integral quedará:
2
2 1 3 5
3 1 5 2
3 2 1 2
x
dx dx dx Ln x Ln x C
x x x x
Importante: la fracción debe descomponerse en tantas fracciones simples como grado tenga el denominador Q(x)
Si el denominador tiene alguna raíz múltiple (por ejemplo, el 1 se repite dos veces), el polinomio Q(x) se descompondría como Q x( )(x1)2, y el factor (x-1) tendrá que aparecer como denominador en dos fracciones simples: en una como (x-1) y en otra
como 2
(x1) .
Ejemplo 2 : Vamos a calcular 3 2 1
5 8 4
x
dx
x x x
Si descomponemos el denominador: x35x28x 4
x 1
x 2
2Aparece el 2 como solución doble, luego la fracción debemos descomponerla como:
23 2
1
5 8 4 1 2 2
x A B C
x x x x x x
Si sumamos e igualamos queda: x 1 A x
2
2B x
1
x 2
C x
1
Dado tres valores a x:
1 2
2 3
0 1 4 2 1 8 2 3 2
Si x A
Si x C
Si x A B C B B
Y por tanto:
23 2
1 2 2 3
5 8 4 1 2 2
x
x x x x x x
De donde:
23 2
1 2 2 3
5 8 4 1 2 2
x
dx dx dx dx
x x x x x x
Aquí hay que tener cuidado porque la última integral que aparece no es logarítmica, sino que es una potencia
x2
2, con lo que resolviendo la integral se obtiene:3 2
1 3
2 1 2 2
5 8 4 2
x
dx Ln x Ln x C
x x x x
b) Grado P(x) Grado Q(x)
En este caso se puede realizar la división (repasar división de polinomios) y utilizar el algoritmo de la división:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
P x Q x P x Q x C x R x R x
P x Q x C x R x C x
Q x Q x Q x
R x C x
Y por tanto:
( ) ( )
( )
( ) ( )
P x R x
dx C x dx dx
Q x Q x
Ejercicio propuesto: Calcular 3 2 1 x dx x
Ejercicio:Calcular las siguientes integrales:
a) 2 1
5 6dx
x x
b) 3 2 212
x
dx
x x x
c) 4 3 2 2 6 2 x x dxx x x
d) 2 6 7 ( 1)( 2)( 3)x x
dx
x x x
e)3 2
3
4 10 7
7 6
x x x
dx x x
f)
2 33 5 1
2 x x dx x
g) 3x 12dx x x
h) 1 21x dx
i) 11 x x e dx e
4.4.- Integración de Funciones Trigonométricas
En realidad para resolver estas integrales no se usa ningún método nuevo, sino que el método utilizado es el de sustitución. No obstante, los cambios de variable a realizar no suelen ser muy intuitivos, por lo que conviene conocer los más usuales dependiendo del tipo de función trigonométrica que haya en el integrando:
a) El integrando es una función producto o cociente de potencia impar en el coseno
En este caso el cambio a realizar es t = senx
Ejemplo:
4 3
2 2 2 2 2
4 3 4 2 4 2 4 6
5 7 5 7
cos
cos cos
cos 1 cos 1 1
cos cos 1
cos
5 7 5 7
dt senx t x dx dt dx
sen x x dx x
Como sen x x x sen x t
dt
t x t x dt t t dt t t dt
x
b) El integrando es una función producto o cociente de potencia impar en el seno
En este caso el cambio a realizar es t = cosx
Hacer como ejercicio
3 2 cos sen x dx x
c) El integrando es una función producto o cociente de potencia par tanto en el seno como en el coseno
En este caso el cambio a realizar es t = tgx
Hay que tener en cuenta las fórmulas de trigonometría que relacionan la tangente con el seno o con el coseno:
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2
2
1 1 1
1 cos
cos 1 1
1 1
1 cot s
1
s 1 1
1
tg x x
x tg x t
tg x t
g x en x
en x tg x t
tg x Ejemplo:
2 4 2 2 2 4 3 6 2 36 2 2
3 2 4 2 4 2 2 2 3
4 2 5 5
4 2 2 2 1 1 1 1 cos cos 1
cos 1 1
1 s s
1
1
1 5 5
1
dt
tgx t tg x dx dt dx t
t
t
sen x dt
dx x x
x t t
t t
en x en x
t
t t dt t tg x
t dt C
d) El cambio
2
x tg t
Es un cambio habitual cuando aparecen cocientes de polinomios con senos y cosenos.
Al realizar este cambio hay que tener en cuenta que, por trigonometría:
2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 ; cos 1 1 1 1 2 2 x x tg tg t t senx x
x t x t
tg tg Ejemplo: 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 1
2 2 2
cos 2 2 1 cos 1 1 2
2 1 2 1
2 2 2 1
1 1 1
2
1 1 1 1
1
1 1
x x
t tg dt tg dx
senx x
dx dt dt
x dx
x t
tg
t t t t
dt dt t t
t t t dt
t t t t
t t
Ahora se ha convertido en una integral racional cuyo numerador y denominador tienen el mismo grado. Dividiendo:
2
2 2 2
2 2
2 2 2 2
1 1 1 2
1 1 1
1 2 1 2
2 2 2 2 2
t t
dt dt dt dt t Ln t arctgt
t t t
x x x x x
tg Ln tg arctg tg tg Ln tg x C
e) Otros cambios
2 2 2 2
2 2
1 cos(2 ) 1 cos(2 )
cos 1 ; ; cos
2 2
2 2 cos ; cos(2 ) cos
x x
sen x x sen x x
sen x senx x x x sen x
Ejemplo:
2 1 cos(2 ) 1 cos(2 ) 1 1
2 cos(2 )
2 2 2 2 4
1 1
(2 )
2 4
x x
sen xdx dx dx dx dx x dx
x sen x C
Ejercicio:
Calcular las siguientes integrales:
a)
sen x3 cos4x dx b) 1 cosxdx
c)
sen x5 cos3x dxd)
2 4 cos
sen x dx x
e)
sen x2 cos2xdx f) 5cos
senx dx x
EJERCICIOS
1.- Calcular una primitiva de la función f x( ) 13 x x
cuya gráfica pase por el
punto (3,1)
2.- Calcula una función G(x) de la que se sabe que:
G’’(x) = 6x+1; G(0) = 1 ; G(1) = 0
3.- Calcula una función G(x) de la que se sabe que:
G’’’(x) = 2x ; G(0) = 0 ; G(1) = -1/4 ; G(2) = 2/3
4.- Calcula una función G(x) de la que se sabe que:
G’’’(x) = x+1 ; G(0) = 0 ; G’(0) =5 ; G’’(0) = 1
5.- Calcula la función f : sabiendo que f ''( )x x22x2 y que su gráfica tiene tangente horizontal en el punto P(1,2)
6.- Calcula la función f :
1,
sabiendo que f(0) = 1 y que
2 3 '( )1
f x x
7.- Halla F(x) sabiendo que F(0) = -5, que tiene un mínimo relativo en el punto de
abscisa x = 2 y queF’’(x)=12x+3
8.- De todas las primitivas de la función f x( )x x21, calcula la que pasa por el punto (2,0)
9.- Teniendo en cuenta que
2 ( )1
a
dx arctg ax b
ax b
, calcula:
22 2 2
1 1 1 1
; ; ;
1 4 x dx 9x dx 4 x3 dx x 4x5dx
10.- Gloria afirma que la solución de
2 cos x senx dx es 2( )
11.- Resuelve las siguientes integrales:
1.x3 dx 2. dx
3 x3
3. dx
6 x4
4.(x3 + 3) dx
5. ) dx
x 1 -2x + x ( 2
6. dx
x 1 + x -x3 2 7. x dx 2 8. x dx 5
9. dx
3 x 4 3 10. 4 x dx
11. x + 3 x dx
3
8 3
12.(x2 - 2 senx + 8 cosx) dx
13. dx
x 1 + ex
14. x x dx
15. ( 2x + cosx + x) dx
sec 16. dx x 1 + x
17. dx
x x sen x sen -x 2 2 2 2 cos cos
18.5x 3x dx
19. dx x + 1 3 -x -1 1 2 2
20. x x sen dx 2 2 cos 21. dx
x sen x sen -2 2 3 22.
2 + 3x dx 23. x -3 dx 24.
x + 2 dx x 2 25. ) 1 + (x dx 2 3 26. x + 1 dx x 3 2 27. 1 + 6x -x dx 3) -(x 2
28.ex 2 + ex dx
29. dx
x x
ln
30.x2 x3 + 1 dx
31.sen 5x dx 32. 6x x2 dx
cos 33. x sen + 1 dx x 2 cos
34.x4 ex5 dx 35.
x + 1 dx ) x (4 8 3
36.2x dx
37. 9 + x dx 2
38.e7x dx 39.(ex + e-x) dx
40.
x e x
41. dx
e x x sen cos 42. x -25 dx 2
43.(2x + 5)9 dx 44.
x + 1 dx ) (arctgx 2 3
45.sen5x cos x dx
46. dx x sen x 3 2 cos 47. x x dx ln
48. dx
x x
cos
49. cosx senx dx 50.ex cosex dx 51. 1 + ) 1 + (x dx 2 52. x dx senlnx
53. dx
x -1 x dx 2 ln
54. x3 e-x4 dx
55. dx 1 + e 2 -e e x 2x x
56.
x -1 dx x 4
57.x 1 + x2 dx
58. dx x e 2 x tg 2 cos
59. dx
x senx
2
cos
60. dx
e x x sen cos
61. x cos3x dx 62. x2 ln x dx 63. x ln x dx
64. sen( lnx) dx 65. x3 ex2 dx
66. x dx x 2 cos
67. x2 senx dx 68.
dx x x 1 2 3 69.
2) 2(x x
dx 70. dx x x 2 3 2 71. 4 -x dx 2
72. dx
6 -x + x 1 -x 2 73. 6 + 5x + x dx 2 2
74. dx
) 1 -(x x 1 + x 2
75.
2x + x dx 2 1 76. dx 6 -x + x 1 + x 2 2
77. dx
x + x 1 -x 2 3
78. dx
1 -x 1 + x 2 2 2 79. 1) + (x x dx 2 80. 9 -x dx 2
81.
1) + (x ) 1 -(x dx x 2 3 82. 2) + (x 1) -(x x dx 6
83. dx
x + x 2 -x 1 + x -x 2 3 2
84. dx
1 + x 1 -2x + x 2 2 4 85. 4 + x 3 -x dx 7x) -x (2 2 3 2 86. ) x + x ( dx 1) + (2x 3 2
87. sen3x cos3x dx
88.
2x2senxdx 89.
dx x x 2 1 1 90.
dx e e x x 1 2 91.
dx e e e x x x 1 3 292.
2 x 1
x xdx
93
Ln
25x2
dx94.
e dx
e e x x x 2 3
2 95.
2 2
1 ( )
1
Ln x Ln x dx x Lnx
96. 23
x x
dx dx e e
97.
2
2 1 1 dx x
98. 4 4 ( ) 1 xdx t x
x
12.- Al aplicar integración por partes para calcular
f x senxdx( ) , donde f(x) es una cierta función derivable, se obtiene que:2
( ) ( ) cos 3 cos
f x senxdx f x x x xdx
Sabiendo que f(1) = 2, calcular la expresión de f(x)
13.- Calcular
2 2 1
x dx x
a) Mediante integración de funciones racionales
b) Haciendo el cambio t = x-1
14.- Calcula la función f : sabiendo que f ''( )x xLnx y que
'(1) 0 , ( )
4
e f f e
15.- Haciendo el cambio de variable1 x t6, calcular la integral:
3
1 1
dx
x x
16.- Encuentra la función derivable f :
1,1
que cumple f(1) = -1 y que 22 1 0 '( )
1 0 1
x
x x x
f x
e x
17.- De una función derivable se sabe que pasa por el punto A(-1,-4) y que su derivada es:
2 1
'( ) 1
1
x x f x
x x
a) Halla la expresión de f(x)
TEMA 8.- INTEGRALES DEFINIDAS. CÁLCULO DE ÁREAS
1.- INTRODUCCIÓN
El origen del cálculo integral se remonta a la época de matemático griego
Arquímedes (siglo III a. C.), que obtuvo el área encerrada por algunos recintos curvos
(círculo, segmento de parábola,…). De forma similar, Kepler (siglo XVII) obtuvo
longitudes de curvas y volúmenes de cuerpos de revolución. Otros muchos matemáticos resolvieron problemas similares, pero cada uno de ellos necesitó un procedimiento específico de resolución.
Las derivadas aparecieron veinte siglos después de Arquímedes y para resolver problemas que en principio nada tenían en común con el cálculo integral.
El descubrimiento más importante (Newton y Leibniz) fue establecer la relación existente entre la derivada y la integral definida (Teorema Fundamental del Cálculo Integral) y su correspondiente aplicación práctica (Regla de Barrow), a pesar de haber seguido caminos completamente diferentes durante veinte siglos.
La idea a tener en cuenta para llegar al concepto de integral definida es la misma que en esencia utilizó Arquímedes: dado una región del plano, su área puede calcularse por medio de regiones poligonales inscritas o circunscritas a la misma, tales que al aumentar el número de lados, el área de esos rectángulos tiende a aproximarse al área buscada. La integral definida es la generalización práctica y sutil de este proceso.
2.- ÁREA BAJO UNA CURVA. INTEGRAL DEFINIDA
Sea f :
a b, una función continua en el intervalo [a,b].Dividimos el intervalo [a,b] en n trozos, no necesariamente iguales, formando lo que se llama una partición del intervalo:
0 1 2 3 ... n
ax x x x x b
Teorema de Weierstrass
Si una función es continua en un intervalo, existen dos puntos de dicho intervalo donde la función alcanza el máximo y el mínimo
Usando este teorema, llamamos mi al mínimo de la función en el intervalo
xi1,xi
ytomando como base cada uno de estos intervalos formamos rectángulos cuya altura es ese valor mínimo:
El área de la región rayada será por tanto la suma de las áreas de todos esos rectángulos:
1 1 0 2 2 1 3 3 2 ... n n n 1
m x x m x x m x x m x x
Esta suma se llama suma inferior y se expresa como:
1
1
n
n i i i
i
s m x x
, queobviamente es menor que el área buscada.
El área de la región rayada será ahora:
1 1 0 2 2 1 3 3 2 ... n n n 1
M x x M x x M x x M x x
Esta suma se llama suma superior y se expresa como:
1
1
n
n i i i
i
S m x x
, queobviamente es mayor que el área buscada.
Si llamamos A al área que queremos calcular, hasta ahora tenemos la relación:
n n
s A S
Evidentemente, si ahora tomamos rectángulos cada vez más finos, es decir, si los puntos
i
x los tomamos cada uno más cerca del siguiente, ambas sumas superior e inferior se irán aproximando cada vez más entre sí y al área que queremos calcular.
Es decir, si n se hace cada vez más grande
n
, tenemos que:lim n lim n
ns nS A
Definición
Dada una función f(x) continua en [a,b], llamaremos integral definida de f(x) en
[a,b] al límite común de las sumas superiores e inferiores:
( ) lim lim
b
n n
n n
a
f x dx s S
Llamaremos a = límite inferior, b = límite superior
Nota: la integral definida de una función es un número, y no tiene nada que ver con a integral indefinida, que era un conjunto de funciones
Ejercicio: Comprobar que
4
0
2xdx16
3.- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Todas las propiedades que vemos a continuación son muy intuitivas y fáciles de entender teniendo en cuenta el concepto de integral definida que acabamos de ver:
1. ( ) 0
a a
f x dx
2. ( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
3.
( ) ( )
( ) ( )b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
4. ( ) ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx
(Estas dos últimas propiedades coinciden con las ya vistas para integrales indefinidas)
5. Si f es continua en [a,b] y a < c < b , entonces
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
6. Si ( ) ( )
, ( ) ( )b b
a a
f x g x x a b
f x dx
g x dx7. ( ) ( )
b b
a a
f x dx f x dx
8. Si f es continua en [a,b] y ( ) 0 ( ) 0
b a
f x
f x dxSi f es continua en [a,b] y ( ) 0 ( ) 0
b a
f x
f x dxPrestamos especial atención a esta última propiedad. Si hemos asociado la integral definida al cálculo de áreas, esta propiedad nos dice que si la gráfica de f está por debajo del eje OX (f(x)<0), entonces la integral definida correspondiente es negativa.
Pero, ¡El área no puede ser negativa!
Es decir, para la función
El área será A 7 4 1 7 4 1 12u2
Pero si no estuviésemos interesados en el área sino sólo en la integral definida sería:
( ) 7 4 1 4
b a
f x dx
Teorema de la Media
Si f es continua en [a,b] , entonces
, / ( ) ( )
b a
c a b f x dx f c b a
Gráficamente:
El área del rectángulo de base b– a y altura f(c) es
igual al área bajo la curva.
4.- LA INTEGRAL Y SU RELACIÓN CON LA DERIVADA
Supongamos una función f(x) continua en [a,b].
A partir de ella podemos definir una nueva función llamada función integral de f como:
( ) ( ) , ,
x a
F x
f t dt x a bTeorema Fundamental del Cálculo Integral
Si f es una función continua en [a,b] , entonces la función
( ) ( ) , ,
x a
F x
f t dt x a bes derivable y se verifica que F x'( ) f x( )
Este teorema relaciona el cálculo de áreas (integrales) con la derivación. De hecho, lo que acabamos de ver es que la función área bajo la gráfica de f es una primitiva de la propia función f.
Ejemplos:
1.- Calcula la derivada de la función
1 ( )
x
F x
t LntdtComo la función f t( ) t Lnt es continua en el intervalo
1,
, aplicando elTeorema Fundamental se obtiene que: F x'( ) x Lnx
2.- Calcula la derivada de la función
0
( ) 2
x
F x
tdtComo, por las propiedades,
0
0
( ) 2 2
x x
F x
tdt
tdt, aplicando el TeoremaFundamental se obtiene que: F x'( ) 2x
3.- Calcula la derivada de la función
2
1
( ) 3
x
F x
t dtEn este caso aplicamos el Teorema Fundamental y la regla de la cadena:
2
'( ) 3 2
F x x x
Ejercicios:
1. Calcula las derivadas de:
a)
5
( ) 1
x t
F x
e dt b)
1 2
( ) log 1
x
F x t dt
c)2
0
( ) cos
x
F x
tdt2.- Indica dónde se alcanzan los extremos relativos de la función F: 0,
definida por
0
( ) ( 1)( 1)
x
5.- REGLA DE BARROW
Si f es una función continua en [a,b] y G(x) es una primitiva de f, entonces:
( ) ( ) ( )
b a
f x dxG b G a
Este teorema relaciona las integrales definidas con las integrales indefinidas y permite calcularlas usando el cálculo de primitivas.
Ejemplos:
1.-
2
1
2x1 dx
Calculamos una primitiva haciendo la integral indefinida:
2( ) 2 1
G x
x dxx xSi sustituimos: G(2) = 6, G(1) = 2, y por tanto:
2
1
2x1 dx 6 2 4
Normalmente estos cálculos se expresan así:
2
2 2
1 1
2x1 dxx x 4 2 (1 1) 4
2.-
0 0
cos cos ( cos 0) ( 1) ( 1) 2
senxdx x
Ejercicio:
Calcular las siguientes integrales:
a)
4
2
3 2x dx
b)1 1
e
dx x
c)
1 2
1
1
x x dx
d) sen x dx(3 )
e) cos
0
x
senx e dx
f)
3
2
2 3
x dx
g)1
0
x
xe dx
h)1 2
2 01
6.- CÁLCULO DE ÁREAS
La integral definida tiene múltiples aplicaciones, no sólo en el cálculo, sino también en Física, Química, Estadística, Astronomía,…
Dentro del cálculo se puede aplicar al cálculo de áreas, de volúmenes, de longitudes de curvas, etc.
En este curso sólo veremos su aplicación al cálculo de áreas, y distinguiremos en el proceso varios casos:
I. Área comprendida entre la gráfica de una función (que no corta al eje OX entre a y b), el eje OX y las abscisas x = a y x = b
En este caso:
( )
b a
A
f x dxEl valor absoluto es por si la función estuviese por debajo del eje OX en lugar de por encima.
II. Área comprendida entre la gráfica de una función (que corta al eje OX entre a y b en uno o más puntos), el eje OX y las abscisas x = a y x = b
En este caso:
( ) ( )
c b
a c
A
f x dx
f x dxIII. Área comprendida entre la gráfica de dos funciones entre a y b
En este caso:
( ) ( )
( ) ( )
c b
a c
A
f x g x dx
f x g x dxSin tener el dibujo no sabemos en cada trozo cuál de las dos funciones está por encima y cuál por debajo. De ahí los valores absolutos
En todos los casos lo primero será calcular los puntos de corte (entre la función y el eje OX o entre las dos funciones) para descomponer el área en trozos.
Si tenemos que calcular un área que no corresponda a ninguno de estos casos, lo primero será hacer el dibujo y después dividir el área total en áreas más pequeñas que si se puedan calcular según los casos anteriores.
Ejemplo 1:
Hallar el área comprendida entre la curva yx3x, el eje X y las abscisas
x = 0 y x = 2
En primer lugar calculamos los puntos de corte de la curva con el eje OX:
3 2
0 1 0 0 , 1 , 1
x x x x x x x
De esos puntos de corte nos interesan los que estén dentro del intervalo [0,2], es decir, sólo el 1, y por tanto el área será:
1 2
3 3
0 1
A
x x dx
x x dxCalculamos cada trozo:
1
1 4 2
3
0 0
2
2 4 2
3
1 1
1 1 1
0
4 2 4 2 4
1 1 1 1 9
4 2 2 2
4 2 4 2 4 4 4
x x x x dx
x x x x dx
Y por tanto el área pedida será:
2
1 9 1 9 5
4 4 4 4 2
A u
Gráficamente (aunque no hace falta para resolver el ejercicio):
Ejemplo 2:
Halla el área limitada por las gráficas de las funciones
2 ( )
2
x
f x y
( ) 2
g x x
Como no hay intervalo, el área se calcula entre los puntos de corte más alejados entre sí. Calculamos los puntos de corte entre las dos funciones igualándolas:
2 4
4 3
2 2 8 0 8 0 0 , 2
2 4
x x
x x x x x x x x
Luego el área será:
2 2 2
0 0
( ) ( ) 2
2
x
A f x g x dx x dx
Calculamos la integral indefinida:
2
1 1
2 2 2 2
3 3
3 2 3
1 1 1
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 1
3
2 3 2 6 3
2
x
x dx x dx x dx x dx x dx
x x
x x
3 22 2 3
0
0
2 8 8 8 4 2
2 6 3 6 3 6 3
x
x x
x dx
(El que haya salido negativa nos dice de paso que la función f está por debajo de la función g en ese intervalo.
El área será entonces: 4 4 2
3 3
A u
Ejemplo 3:
Halla el área del recinto comprendido entre la parábola yx21, la recta 5
y x y el eje de abscisas
Como no corresponde a ninguno de los casos habituales, dibujamos el recinto:
Lo primero es calcular los puntos de corte entre las gráficas:
2 2
1 5 6 0 2 , 3
x x x x x x
En el trozo que nos ocupa sólo nos importa el 2.
Tenemos que calcular también los puntos de corte de cada función con el eje X, aunque en este caso es fácil ver que los puntos que nos interesan son el 1 y el 5.
Por tanto el área será:
2 5
2
1 2
1 5
A
x dx
x dxCalculamos cada trozo por separado:
2
2 3
2
1 1
5
5 2
2 2
8 1 4
1 2 1
3 3 3 3
25 9
5 5 25 10 2
2 2 2
x
x dx x
x x dx x
Y tenemos entonces:
2
4 9 35
3 2 6
A u
Ejercicios:
1.- Calcula el área que determina la curva yx2 x 2 con el eje X entre las abscisas -1 y 4
2.- Halla el área limitada por las gráficas de las funciones: 3
( ) 2
f x x x ; g x( ) x2 x 2
3.- Halla el área de la región del plano encerrada por la curva yLnx entre su punto de corte con el eje X y la abscisa x = e
4.- Halla el área del recinto limitado por las rectas yx , y2x y la parábola 2
EJERCICIOS
1.- Calcula las siguientes integrales:
a) 2 2 0 1 x dx x
b) 3 1 1 x dx x
c) 4 0 cossenx x dx
d)
2 2 2 0 2 1 1 x dx x x
e) 2 2 1 2 dx x x
f)1
0 1 1 2 exdx
2.- Dada la función:
2
2 0
( ) 2 0 2
10 3 2 4
x x
f x x x
x x Calcula 1 1 ( )
f x dx
y 4
2 ( )
f x dx
Represéntala gráficamente e indica si alguna de las integrales calculadas anteriormente representa un área.
3. Calcula la derivada de la función
2
0
( ) cos
x
F x
tdt de dos formas:a) Obteniendo primero de forma explícita F(x) y después derivando
b) Usando el Teorema Fundamental del Cálculo
4.- Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
a) 2
3 ( )
x
F x
t dt b)3 2 1 ( ) ( 1) x
F x dt
Ln t
c)
1
( ) 2 1
senx
F x
dtd) 3 2 ( ) 1 x
F x dx
x
e)
2 2
0 ( )
x
F x
t t dt5.- De una función f continua se sabe que 2
0
( ) 1
x
f t dtx x
. Calcularazonadamente f(2)
6.- Calcula los extremos relativos de la función 2
0 ; 0 1 ( ) 1 x x t
f x dt
t
7.- Calcula el área encerrada ente ( ) 26 1
x f x
x
y el eje de abscisas para x
1,1
8.- Calcula el área comprendida entre las funciones yx2 e y x 2
9.- Halla el área limitada por las gráficas de las funciones
3 2
( ) 2 , ( ) 2
f x x x g x x x
10.- Calcular m para que el área comprendida entre ymx e yx2 sea 36 u2
11.- Calcular el área comprendida entre la gráfica de la función 2
4
y xx y las rectas tangentes a dicha curva en los puntos de corte con el eje OX
12.- Dibuja el recinto limitado por las funciones ycosx e y 1 cosx y las
rectas
2
x y 2
x . Calcula su área
13.- Considérese la región acotada que determinan las curvas yex e ye2 x y la recta x = 1. Halla su área
14.- Determinar razonadamente y sin calcularlas cuál de las siguientes integrales tiene mayor valor:
a) 2 3
2 2
1 1
x x
e dx y e dx
b) 2 3
1 1
0 0
x x
e dx y e dx
15.- Estudia la monotonía y halla las abscisas de los máximos y mínimos relativos de
la función:
2
20
( ) 1
x
t
F x
t e dt.16.- a) Calcula los extremos absolutos de la función f :
7,1
definida por3 2
( ) 6 49
f x x x
b) Sea el punto en el que f alcanza su máximo absoluto. Calcular
7
( )
f x dx
17.- Siendo f x( ) x24, calcular 3
0
2 ( )f x dx
18.- Halla el área del recinto comprendido entre las gráficas de las funciones yex,
x
19.- Calcula el área de la región limitada por las curvas de ecuaciones: y2 x e
2
y x
20.- De la función f x( )ax3bx2cxd se sabe que tiene un máximo relativo en
x = 1, un punto de inflexión en (0,0) y que
1
0
5 ( )
4
f x dx
. Calcula a, b, c y d21.- Calcula el área de la región limitada por las curvas y x , yx21 y las rectas x = -1 y x = 1
22.- Dada la función
2
0 2
( ) ; 1,
1
x
t
F x dt x
t
:a) Calcular F(1)
b) Estudiar su monotonía
c) Calcular la ecuación de la recta tangente a F(x) en el punto de abscisa 0
23.- Representar el recinto limitado por las parábolas yx22x3 e 2
2 4 3
y x x y calcular su área
24.- Dada la función f : definida por:
2
2
0
( )0 0 3
6 3
x x
f x x x
x x
Calcular 3
3
3 ( )f x dx
25.- a) Halla el punto de inflexión de la función f x( ) x ex
b) Dibuja la región limitada por la gráfica de f(x), el eje OX y la recta x
, donde
es la abscisa del punto de inflexión calculado anteriormentec) Calcula el área de dicha región
26.- Haz el cambio x = sent para calcular la integral 1
2
0
1 x dx
(Ten en cuenta que cos2 1 cos 2
2
x x )
27.- Calcular 2
1
e