INTEGRALES INDEFINIDAS INTEGRALES DEFINIDAS: CÁLCULO DE ÁREAS

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INTEGRALES DEFINIDAS: CÁLCULO DE ÁREAS

Matemáticas 2º de Bachillerato Ciencias y Tecnología

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TEMA 7.- INTEGRALES INDEFINIDAS

1.- FUNCIÓN PRIMITIVA

Hasta ahora hemos estudiado el proceso de cómo calcular la función derivada de otra. Ahora vamos a dedicarnos al proceso inverso, es decir, dada una función, encontrar otra cuya derivada sea dicha función.

A este proceso se le llama integración, y es, en cierta medida, el proceso recíproco al de derivación.

Sean f(x) y F(x) dos funciones definidas en un mismo dominio D.

Se dice que F(x) es una primitiva de f(x)F x'( ) f x( ) ,  x D

Por ejemplo, una primitiva de la función f x( )2x será la función 2 ( )

F xx

Ahora bien. Las funciones

2 2 2 2

( ) 1 ; ( ) 2 ; ( ) 5 ; ( ) 2009

F xxF xxF xxF xx  …..

también son primitivas de f x( )2x.

Teorema

Sean F(x) y G(x) dos primitivas de la función f(x) F(x) = G(x) + C

Es decir, todas las primitivas de una función (que son infinitas) son iguales salvo una constante.

Se llama integral indefinida de una función f(x) al conjunto de todas sus primitivas:

( ) ( ) / '( ) ( )

f x dxF xC F xf x

El término dx, llamado diferencial de x, indica que la derivada de la función F(x) se ha hecho respecto a la variable x. (En nuestro caso es lo normal, aunque si la variable tuviese otro nombre, se cambiaría también el término del diferencial)

Así, por ejemplo:

2

5 5

6 3

cos

dx x C

xdx x C

xdx senx C

 

 

 

(4)

Ejemplo: Calcular la primitiva de la función f(x) = 4x que pasa por el punto (1,5)

Como

4xdx2x2C, todas sus gráficas serán de la forma:

De todas ellas buscamos la que pasa por (1,5), es decir,

(1) 5 2 1 5 3

F      C C

Luego la primitiva que buscábamos es F x( )2x23

Ejercicio: Calcular la primitiva de la función f x( ) 1

x

que pase por el punto (e,3)

2.- PROPIEDADES LINEALES DE INTEGRACIÓN

Las propiedades que enunciamos a continuación son consecuencia directa de las propiedades de derivación.

1.

fg

( )x dx

f x dx( ) 

f x dx( ) 2.

k f x dx ( )  k

f x dx( )

De la obtención conjunta de estas propiedades se obtiene:

3.

a f  b g

( )x dx a

f x dx b( )  

f x dx( )

3.- INTEGRALES INMEDIATAS

(5)

Integrales Inmediatas

1.

0dxC

2.

1dx x C

3.

1

, 1

1

n

n x

x dx C n

n

   

4. 1dx Ln x C

x  

5.

e dxxexC

6.

x

x a

a dx C

Lna

 

7.

senxdx cosx C

8.

cos xdxsenx C

9.

1 2

12 sec2

cos

tg x dx dx xdx tgx C

x

    

10.

1 cotg x dx2

12 dx cosec2xdx cotgx C sen x

     

11.

2 1

arccos 1

dx arcsenx C x C x

    

12. 1 2

1x dxarctgx C

Aplicando estas reglas y la propiedad 3 de integración (llamado método de

(6)

Ejemplos:

3 2

3

x x dx C

8 4 8 4

7 3 7 3 7 3

2 2 2 2

8 4 8 2

x x x x

xx dxx dxx dxx dxx dx    C

5ex3senx dx

5e dxx

3senxdx5

e dxx 3

senxdx5ex3cosx C 

3 2 3

1 2 2

3 2 3

x x

xdxx dx  C

1 2

2

1 1

1

x

dx x dx C

x x

 

    

Ejercicio:

Calcular las siguientes integrales:

a)

2x dx5 b)

3x35x2

dx c)

x dx3

d)

2 cosx5 cosx dx

e) 1 dx

x

f)

5 x dx3 2

g) 34 dx

x

h)

3x 1

dx

i)

3

2 3

5

x dx

j) 2 sec2 3 2

1

x dx

x

 

k)

3 3tg x dx 2

l)

senx2x5 x dx

m) 2

3

x dx x

n) 4

2

5

5 3 1

x dx x

 

 

 

A partir de estas reglas se puede aplicar, al revés, la regla de la cadena para derivadas, y obtenemos las reglas de integración en forma compuesta, llamadas integrales

(7)

Integrales Inmediatas (Forma Compuesta)

1.

1

' , 1

1

n

n f

f f dx C n

n

    

2. f 'dx Ln f C

f  

3.

eff dx' efC

4. '

f

f a

a f dx C

Lna

  

5.

senff dx'  cos fC

6.

cos ff dx' senfC

7.

2

2

2 '

1 ' sec '

cos

f

tg f f dx dx f f dx tgf C f

      

8.

1 cotg f2

f dx' f2' dx cosec2 fdx cotgf C sen f

      

9.

2 '

arccos 1

f

dx arcsenf C f C f

    

10. '2

1

f

dx arctgf C

f  

Ejemplos:

 2 1 2 1

2xexdxex C

(Regla 3: f x( )x21)

3cos 3

x2

dxsen x(3  2) C (Regla 6: f x( )3x2)

22 1 2 1

5

x

dx Ln x C x x

  

 

(Regla 2: f x( )x2 x 5)

 

2

 

2

4 2

2 2

1 1

x x

dx dx arctg x C

xx  

(Regla 10: f x( )x2)

5 2 4

2 2

2 2

5

x

x xdx  C

(8)

A veces hay que “preparar” las integrales para poder aplicar las reglas introduciendo o

sacando números (propiedad lineal de integración 2). Así:

sen 3x1 dx

(falta un 3 multiplicando para poder aplicar la regla 5, así que

introducimos un 3 y sacamos otro dividiendo) =

1 1

3s 3 1 cos 3 1

3 en x dx 3 x C

    

Ejercicio:

Calcular las siguientes integrales:

a)

x

3x27

3dx b)

2 3 2 6 1 x dx x x   

c) 2 cos2

1 x dx sen x

d) 2 1

3 x

edx

e) 5

cos

sen xxdx

f) 22

1 x dx x

g) 4 2 1 x dx x

h)

2

x1

3dx i)

1 x x e dx e

j)

x sen

3x25

dx k)

x e dx x

l) 2 Ln x dx x

m)

2 1

1 1

dx x  

n) 3 x

e dx

ñ) 2 cos

3 x dx      

o) cos cos senx x dx senx x  

p)

x 1x dx2 q) cos Lnx

dx

x

r) 2 1 x x e dx e

s)

2

1 2x1 dx

t)

senxcosxdx

u) Lnxdx

x

v) 3 8 1 x dx x

w) (2 )

cos sen tgx dx x

x) 4 4 4 x dx x

y)

1 3 x

43xdx z) 4

(9)

4.- MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

Además del método de descomposición ya visto y de las reglas de integración inmediatas y compuestas, existen otros métodos de integración según el tipo de función que haya en el integrando:

4.1 Método de Integración Por Partes

Este método sirve para calcular la primitiva de un producto de funciones. Supongamos dos funciones derivables u y v.

Usando la derivada de un producto, tenemos que:

 

d u v  u dv v du 

Si integramos en los dos miembros de la ecuación:

 

d u v  u dv  v du  u v  u dv  v du

Y despejando obtenemos la fórmula de integración por partes:

u dv   u v v du

Esta el popularmente conocida como Regla de la Vaca:

Un Día Vi Una Vaca Vestida De Uniforme

Ejemplo: Vamos a calcular

x senxdx

Llamamos uxdudx

Llamamos dvsenxdx  Integrando 

dv

senxdx   v cosx

Y aplicando la fórmula:

cos

cos cos

x senxdx   x x   xdx x xsenx C

Es importante elegir bien a que parte del producto llamamos u y a qué parte llamamos

dv, lo cual exige un poco de intuición y otro poco de entrenamiento. Puede que al

(10)

Ejercicio:

Calcular las siguientes integrales:

a)

xe dxx b)

xLnxdx c)

x senxdx2

d)

Lnxdx e)

x e dx2 x f)

arctgxdx

g) (3 )

2

x

sen x dx

h)

xe dxx i)

xcosxxex2

dx

j)

excosxdx k)

x22x1

e dx2x l)

x 1xdx

m)

e senxdxax n) 2cos 2

x x   dx

 

4.2.- Método de Sustitución o Cambio de Variable

Consiste en sustituir una función o parte de ella por otra variable y expresar todo el integrando en función de esa nueva variable, de manera que la integral que resulte sea inmediata o la podamos resolver por otro método. Al terminar el proceso, hay que expresar de nuevo el resultado en función de la variable original.

Si la integral resultante es más complicada que la original, es obvio que el cambio elegido no es el adecuado y habrá que buscar, por tanto, otro camino.

Veamos un ejemplo: 1

1dx

x x

Hacemos el cambio tx1

Tenemos que poner todo el integrando en función de la nueva variable t.

En primer lugar diferenciamos y despejamos dx: 1

1 2 1 2

2 1

t x dt dx dx x dt tdt

x

       

Todavía nos queda despejar x: tx 1 t2   x 1 x t2 1

Y haciendo el cambio:

2

2

1 1 1

2 2 2

1 1

1dx t t tdt t dt arctgt

x x      

deshaciendo el cambio

(11)

En ocasiones puede que haya más de un cambio válido. Es sólo cuestión de probar. También es posible que la integral sea inmediata aunque sea difícil de ver y por sustitución sea más sencillo.

Es posible también que al aplicar sustitución salga una integral por partes o por cualquier otro método, o viceversa.

Ejercicio:

Calcular las siguientes integrales:

a)

3

2 1

x dx x

b)

 

cos 2

2

x dx x

c)

2

1

1 dx

xLn x

d)

x x1dx e) cos(Lnx)dx

x

f)

3

1 dx

xx

g)

Lnxdx h) ( 2)

2

Ln x

dx x

 

i)

sen Lnx dx( )

4.3.- Integración de Funciones Racionales

Son del tipo ( )

( )

P x dx Q x

, siendo P(x) y Q(x) polinomios..

Distinguiremos dos casos, según el grado de dichos polinomios:

a) Grado P(x) < Grado Q(x)

En primer lugar hay que descomponer el polinomio Q(x) (por ejemplo por Ruffini) del tipo: Q x( )

xx1

 

 x x2

 

 x x3

 

x xn

A continuación descomponemos la fracción ( )

( )

P x

Q x en fracciones simples, de modo que

cada uno de los denominadores de dichas fracciones serán los factores calculados antes, es decir:

3

1 2

1 2 3

( )

... ( )

n n

A A

A A

P x

Q xxxxxxx   xx

Una vez calculados los valores de A A A1, 2, 3,...An (veremos cómo se hace con un

ejemplo), la integral se puede descomponer en integrales sencillas, todas ellas inmediatas de tipo logarítmico:

3

1 2

1 2 3

( )

... ( )

n n

A A

A A

P x

Q xxxxxxx   xx

(12)

Ejemplo1 : Vamos a calcular 22 1

3 2

x

dx x x

 

Descomponiendo el denominador: x23x 2

x  1

 

x 2

Luego el cociente quedará descompuesto como : 22 1

3 2 1 2

x A B

x x x x

   

Veamos cómo calcular los números A y B:

Sumamos las dos fracciones simples: ( 2) ( 1)

1 2 ( 1)( 2)

A B A x B x

x x x x

  

 

   

Igualamos a la fracción original: 22 1 ( 2) ( 1)

3 2 ( 1)( 2)

x A x B x

x x x x

   

   

Y como los denominadores son iguales, igualamos los numeradores, obteniendo la ecuación:

2x 1 A x(  2) B x( 1)

Si le damos dos valores cualesquiera a la x, obtendremos un sistema de donde sacar los valores de A y B. Los mejores valores para x son justamente los que se han obtenido al descomponer el polinomio Q(x):

1 3 3

2 5

Si x A A

Si x B

         

Luego: 22 1 3 5

3 2 1 2

x

x x x x

 

 

   

Y por tanto la integral quedará:

2

2 1 3 5

3 1 5 2

3 2 1 2

x

dx dx dx Ln x Ln x C

x x x x

     

   

Importante: la fracción debe descomponerse en tantas fracciones simples como grado tenga el denominador Q(x)

Si el denominador tiene alguna raíz múltiple (por ejemplo, el 1 se repite dos veces), el polinomio Q(x) se descompondría como Q x( )(x1)2, y el factor (x-1) tendrá que aparecer como denominador en dos fracciones simples: en una como (x-1) y en otra

como 2

(x1) .

(13)

Ejemplo 2 : Vamos a calcular 3 2 1

5 8 4

x

dx

x x x

  

Si descomponemos el denominador: x35x28x 4

x  1

 

x 2

2

Aparece el 2 como solución doble, luego la fracción debemos descomponerla como:

2

3 2

1

5 8 4 1 2 2

x A B C

x x x x x x

    

Si sumamos e igualamos queda: x 1 A x

2

2B x

1



x 2

C x

1

Dado tres valores a x:

1 2

2 3

0 1 4 2 1 8 2 3 2

Si x A

Si x C

Si x A B C B B

  

  

           

Y por tanto:

2

3 2

1 2 2 3

5 8 4 1 2 2

x

x x x x x x

     

De donde:

2

3 2

1 2 2 3

5 8 4 1 2 2

x

dx dx dx dx

x x x x x x

   

     

Aquí hay que tener cuidado porque la última integral que aparece no es logarítmica, sino que es una potencia

x2

2, con lo que resolviendo la integral se obtiene:

3 2

1 3

2 1 2 2

5 8 4 2

x

dx Ln x Ln x C

x x x x

   

   

b) Grado P(x) Grado Q(x)

En este caso se puede realizar la división (repasar división de polinomios) y utilizar el algoritmo de la división:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

P x Q x P x Q x C x R x R x

P x Q x C x R x C x

Q x Q x Q x

R x C x

 

       

Y por tanto:

( ) ( )

( )

( ) ( )

P x R x

dx C x dx dx

Q x   Q x

(14)

Ejercicio propuesto: Calcular 3 2 1 x dx x

Ejercicio:

Calcular las siguientes integrales:

a) 2 1

5 6dx

xx

b) 3 2 21

2

x

dx

x x x

  

c) 4 3 2 2 6 2 x x dx

x x x

   

d) 2 6 7 ( 1)( 2)( 3)

x x

dx

x x x

 

  

e)

3 2

3

4 10 7

7 6

x x x

dx x x     

f)

2 3

3 5 1

2 x x dx x   

g) 3x 12dx x x

 

h) 1 2

1x dx

i) 1

1 x x e dx e  

4.4.- Integración de Funciones Trigonométricas

En realidad para resolver estas integrales no se usa ningún método nuevo, sino que el método utilizado es el de sustitución. No obstante, los cambios de variable a realizar no suelen ser muy intuitivos, por lo que conviene conocer los más usuales dependiendo del tipo de función trigonométrica que haya en el integrando:

a) El integrando es una función producto o cociente de potencia impar en el coseno

En este caso el cambio a realizar es t = senx

Ejemplo:

4 3

2 2 2 2 2

4 3 4 2 4 2 4 6

5 7 5 7

cos

cos cos

cos 1 cos 1 1

cos cos 1

cos

5 7 5 7

dt senx t x dx dt dx

sen x x dx x

Como sen x x x sen x t

dt

t x t x dt t t dt t t dt

x

(15)

b) El integrando es una función producto o cociente de potencia impar en el seno

En este caso el cambio a realizar es t = cosx

Hacer como ejercicio

3 2 cos sen x dx x

c) El integrando es una función producto o cociente de potencia par tanto en el seno como en el coseno

En este caso el cambio a realizar es t = tgx

Hay que tener en cuenta las fórmulas de trigonometría que relacionan la tangente con el seno o con el coseno:

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2 2

2

1 1 1

1 cos

cos 1 1

1 1

1 cot s

1

s 1 1

1

tg x x

x tg x t

tg x t

g x en x

en x tg x t

tg x                   Ejemplo:

2 4 2 2 2 4 3 6 2 3

6 2 2

3 2 4 2 4 2 2 2 3

4 2 5 5

4 2 2 2 1 1 1 1 cos cos 1

cos 1 1

1 s s

1

1

1 5 5

1

dt

tgx t tg x dx dt dx t

t

t

sen x dt

dx x x

x t t

t t

en x en x

t

t t dt t tg x

t dt C

(16)

d) El cambio

2

x tg    t

 

Es un cambio habitual cuando aparecen cocientes de polinomios con senos y cosenos.

Al realizar este cambio hay que tener en cuenta que, por trigonometría:

2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 ; cos 1 1 1 1 2 2 x x tg tg t t senx x

x t x t

tg tg                               Ejemplo: 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2

1 1

2 2 2

cos 2 2 1 cos 1 1 2

2 1 2 1

2 2 2 1

1 1 1

2

1 1 1 1

1

1 1

x x

t tg dt tg dx

senx x

dx dt dt

x dx

x t

tg

t t t t

dt dt t t

t t t dt

t t t t

t t                                                        

Ahora se ha convertido en una integral racional cuyo numerador y denominador tienen el mismo grado. Dividiendo:

2

2 2 2

2 2

2 2 2 2

1 1 1 2

1 1 1

1 2 1 2

2 2 2 2 2

t t

dt dt dt dt t Ln t arctgt

t t t

x x x x x

tg Ln tg arctg tg tg Ln tg x C

                                           

e) Otros cambios

(17)

 

2 2 2 2

2 2

1 cos(2 ) 1 cos(2 )

cos 1 ; ; cos

2 2

2 2 cos ; cos(2 ) cos

x x

sen x x sen x x

sen x senx x x x sen x

 

   

  

Ejemplo:

2 1 cos(2 ) 1 cos(2 ) 1 1

2 cos(2 )

2 2 2 2 4

1 1

(2 )

2 4

x x

sen xdx dx dx dx dx x dx

x sen x C

     

  

Ejercicio:

Calcular las siguientes integrales:

a)

sen x3 cos4x dx b) 1 cosxdx

c)

sen x5 cos3x dx

d)

2 4 cos

sen x dx x

e)

sen x2 cos2xdx f) 5

cos

senx dx x

(18)

EJERCICIOS

1.- Calcular una primitiva de la función f x( ) 13 x x

  cuya gráfica pase por el

punto (3,1)

2.- Calcula una función G(x) de la que se sabe que:

G’’(x) = 6x+1; G(0) = 1 ; G(1) = 0

3.- Calcula una función G(x) de la que se sabe que:

G’’’(x) = 2x ; G(0) = 0 ; G(1) = -1/4 ; G(2) = 2/3

4.- Calcula una función G(x) de la que se sabe que:

G’’’(x) = x+1 ; G(0) = 0 ; G’(0) =5 ; G’’(0) = 1

5.- Calcula la función f : sabiendo que f ''( )xx22x2 y que su gráfica tiene tangente horizontal en el punto P(1,2)

6.- Calcula la función f :

  1,

sabiendo que f(0) = 1 y que

2 3 '( )

1

f x x

7.- Halla F(x) sabiendo que F(0) = -5, que tiene un mínimo relativo en el punto de

abscisa x = 2 y queF’’(x)=12x+3

8.- De todas las primitivas de la función f x( )x x21, calcula la que pasa por el punto (2,0)

9.- Teniendo en cuenta que

2 ( )

1

a

dx arctg ax b

ax b  

 

, calcula:

2

2 2 2

1 1 1 1

; ; ;

1 4 x dx 9x dx 4x3 dx x 4x5dx

10.- Gloria afirma que la solución de

2 cos x senx dx  es 2

( )

(19)

11.- Resuelve las siguientes integrales:

1.x3 dx 2. dx

3 x3

 3. dx

6 x4

4.(x3 + 3) dx

5. ) dx

x 1 -2x + x ( 2

 6. dx

x 1 + x -x3 2  7. x dx 2  8. x dx 5

 9. dx

3 x 4 3  10. 4 x dx

 11. x + 3 x dx

3

8 3

     

12.(x2 - 2 senx + 8 cosx) dx

13. dx

x 1 + ex

      14. x x dx

 15. ( 2x + cosx + x) dx

sec  16. dx x 1 + x      

 17. dx

x x sen x sen -x 2 2 2 2 cos cos

 18.5x 3x dx

19. dx x + 1 3 -x -1 1 2 2

       20. x x sen dx 2 2 cos

 21. dx

x sen x sen -2 2 3  22.

2 + 3x dx 23. x -3 dx

 24.

x + 2 dx x 2  25. ) 1 + (x dx 2 3  26. x + 1 dx x 3 2  27. 1 + 6x -x dx 3) -(x 2

28.ex 2 + ex dx

29. dx

x x

ln

 30.x2 x3 + 1 dx

31.sen 5x dx 32. 6x x2 dx

cos  33. x sen + 1 dx x 2 cos 

34.x4 ex5 dx 35.

x + 1 dx ) x (4 8 3

 36.2x dx

37. 9 + x dx 2

 38.e7x dx 39.(ex + e-x) dx

40.

x e x

 41. dx

e x x sen cos  42. x -25 dx 2

43.(2x + 5)9 dx 44.

x + 1 dx ) (arctgx 2 3

 45.sen5x cos x dx

46. dx x sen x 3 2 cos  47. x x dx ln

 48. dx

x x

cos

(20)

49. cosx senx dx 50.ex cosex dx 51. 1 + ) 1 + (x dx 2  52. x dx senlnx

 53. dx

x -1 x dx 2 ln

 54. x3 e-x4 dx

 55. dx 1 + e 2 -e e x 2x x

 56.

x -1 dx x 4

 57.x 1 + x2 dx

58. dx x e 2 x tg 2 cos

 59. dx

x senx

2

cos

 60. dx

e x x sen cos 

61. x cos3x dx 62. x2 ln x dx 63.  x ln x dx

64. sen( lnx) dx 65. x3 ex2 dx

 66. x dx x 2 cos 

67. x2 senx dx 68.

dx x x 1 2 3 69.

 2) 2

(x x

dx 70. dx x x 2 3 2    71. 4 -x dx 2

 72. dx

6 -x + x 1 -x 2  73. 6 + 5x + x dx 2 2

 74. dx

) 1 -(x x 1 + x 2

 75.

2x + x dx 2  1 76. dx 6 -x + x 1 + x 2 2

 77. dx

x + x 1 -x 2 3

 78. dx

1 -x 1 + x 2 2  2 79. 1) + (x x dx 2  80. 9 -x dx 2

 81.

1) + (x ) 1 -(x dx x 2  3 82. 2) + (x 1) -(x x dx 6

 83. dx

x + x 2 -x 1 + x -x 2 3 2

 84. dx

1 + x 1 -2x + x 2 2  4 85. 4 + x 3 -x dx 7x) -x (2 2 3 2  86. ) x + x ( dx 1) + (2x 3 2

 87. sen3x cos3x dx

88.

2x2senxdx 89.

dx x x 2 1 1 90.

dx e e x x 1 2 91.

  dx e e e x x x 1 3 2

92.



 2 x 1

x xdx

93

Ln

25x2

dx

94.

e dx

e e x x x 2 3

2 95.

2 2

1 ( )

1

Ln x Ln x dx x Lnx

 

96. 2

3

x x

dx dx ee

97.

2

2 1 1 dx x

98. 4 4 ( ) 1 x

dx t x

x

(21)

12.- Al aplicar integración por partes para calcular

f x senxdx( ) , donde f(x) es una cierta función derivable, se obtiene que:

2

( ) ( ) cos 3 cos

f x senxdx f x xx xdx

Sabiendo que f(1) = 2, calcular la expresión de f(x)

13.- Calcular

2 2 1

x dx x

a) Mediante integración de funciones racionales

b) Haciendo el cambio t = x-1

14.- Calcula la función f :  sabiendo que f ''( )xxLnx y que

'(1) 0 , ( )

4

e ff e

15.- Haciendo el cambio de variable1 x t6, calcular la integral:

3

1 1

dx

x x

  

16.- Encuentra la función derivable f :

1,1

 que cumple f(1) = -1 y que 2

2 1 0 '( )

1 0 1

x

x x x

f x

e x

    

 

  

17.- De una función derivable se sabe que pasa por el punto A(-1,-4) y que su derivada es:

2 1

'( ) 1

1

x x f x

x x

 

   

 

a) Halla la expresión de f(x)

(22)
(23)

TEMA 8.- INTEGRALES DEFINIDAS. CÁLCULO DE ÁREAS

1.- INTRODUCCIÓN

El origen del cálculo integral se remonta a la época de matemático griego

Arquímedes (siglo III a. C.), que obtuvo el área encerrada por algunos recintos curvos

(círculo, segmento de parábola,…). De forma similar, Kepler (siglo XVII) obtuvo

longitudes de curvas y volúmenes de cuerpos de revolución. Otros muchos matemáticos resolvieron problemas similares, pero cada uno de ellos necesitó un procedimiento específico de resolución.

Las derivadas aparecieron veinte siglos después de Arquímedes y para resolver problemas que en principio nada tenían en común con el cálculo integral.

El descubrimiento más importante (Newton y Leibniz) fue establecer la relación existente entre la derivada y la integral definida (Teorema Fundamental del Cálculo Integral) y su correspondiente aplicación práctica (Regla de Barrow), a pesar de haber seguido caminos completamente diferentes durante veinte siglos.

La idea a tener en cuenta para llegar al concepto de integral definida es la misma que en esencia utilizó Arquímedes: dado una región del plano, su área puede calcularse por medio de regiones poligonales inscritas o circunscritas a la misma, tales que al aumentar el número de lados, el área de esos rectángulos tiende a aproximarse al área buscada. La integral definida es la generalización práctica y sutil de este proceso.

2.- ÁREA BAJO UNA CURVA. INTEGRAL DEFINIDA

Sea f :

 

a b,  una función continua en el intervalo [a,b].

(24)

Dividimos el intervalo [a,b] en n trozos, no necesariamente iguales, formando lo que se llama una partición del intervalo:

0 1 2 3 ... n

ax  x xx  xb

Teorema de Weierstrass

Si una función es continua en un intervalo, existen dos puntos de dicho intervalo donde la función alcanza el máximo y el mínimo

Usando este teorema, llamamos mi al mínimo de la función en el intervalo

xi1,xi

y

tomando como base cada uno de estos intervalos formamos rectángulos cuya altura es ese valor mínimo:

El área de la región rayada será por tanto la suma de las áreas de todos esos rectángulos:

1 1 0 2 2 1 3 3 2 ... n n n 1

m xxm xxm xx  m xx

Esta suma se llama suma inferior y se expresa como:

1

1

n

n i i i

i

s m x x

 , que

obviamente es menor que el área buscada.

(25)

El área de la región rayada será ahora:

1 1 0 2 2 1 3 3 2 ... n n n 1

M xxM xxM xx  M xx

Esta suma se llama suma superior y se expresa como:

1

1

n

n i i i

i

S m x x

 , que

obviamente es mayor que el área buscada.

Si llamamos A al área que queremos calcular, hasta ahora tenemos la relación:

n n

s  A S

Evidentemente, si ahora tomamos rectángulos cada vez más finos, es decir, si los puntos

i

x los tomamos cada uno más cerca del siguiente, ambas sumas superior e inferior se irán aproximando cada vez más entre sí y al área que queremos calcular.

Es decir, si n se hace cada vez más grande

n 

, tenemos que:

lim n lim n

nsnSA

Definición

Dada una función f(x) continua en [a,b], llamaremos integral definida de f(x) en

[a,b] al límite común de las sumas superiores e inferiores:

( ) lim lim

b

n n

n n

a

f x dx s S

 

 

Llamaremos a = límite inferior, b = límite superior

Nota: la integral definida de una función es un número, y no tiene nada que ver con a integral indefinida, que era un conjunto de funciones

Ejercicio: Comprobar que

4

0

2xdx16

(26)

3.- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Todas las propiedades que vemos a continuación son muy intuitivas y fáciles de entender teniendo en cuenta el concepto de integral definida que acabamos de ver:

1. ( ) 0

a a

f x dx

2. ( ) ( )

b a

a b

f x dx  f x dx

3.

( ) ( )

( ) ( )

b b b

a a a

f xg x dxf x dxg x dx

4. ( ) ( )

b b

a a

k f x dx  k f x dx

(Estas dos últimas propiedades coinciden con las ya vistas para integrales indefinidas)

5. Si f es continua en [a,b] y a < c < b , entonces

( ) ( ) ( )

b c b

a a c

f x dxf x dxf x dx

6. Si ( ) ( )

 

, ( ) ( )

b b

a a

f xg x  x a b

f x dx

g x dx

7. ( ) ( )

b b

a a

f x dxf x dx

8. Si f es continua en [a,b] y ( ) 0 ( ) 0

b a

f x  

f x dx

Si f es continua en [a,b] y ( ) 0 ( ) 0

b a

f x  

f x dx

Prestamos especial atención a esta última propiedad. Si hemos asociado la integral definida al cálculo de áreas, esta propiedad nos dice que si la gráfica de f está por debajo del eje OX (f(x)<0), entonces la integral definida correspondiente es negativa.

Pero, ¡El área no puede ser negativa!

(27)

Es decir, para la función

El área será A       7 4 1 7 4 1 12u2

Pero si no estuviésemos interesados en el área sino sólo en la integral definida sería:

( ) 7 4 1 4

b a

f x dx   

Teorema de la Media

Si f es continua en [a,b] , entonces

 

, / ( ) ( )

b a

c a b f x dx f c b a

 

  

Gráficamente:

El área del rectángulo de base b– a y altura f(c) es

igual al área bajo la curva.

4.- LA INTEGRAL Y SU RELACIÓN CON LA DERIVADA

Supongamos una función f(x) continua en [a,b].

A partir de ella podemos definir una nueva función llamada función integral de f como:

 

( ) ( ) , ,

x a

F x

f t dt xa b

(28)

Teorema Fundamental del Cálculo Integral

Si f es una función continua en [a,b] , entonces la función

 

( ) ( ) , ,

x a

F x

f t dt xa b

es derivable y se verifica que F x'( ) f x( )

Este teorema relaciona el cálculo de áreas (integrales) con la derivación. De hecho, lo que acabamos de ver es que la función área bajo la gráfica de f es una primitiva de la propia función f.

Ejemplos:

1.- Calcula la derivada de la función

1 ( )

x

F x

t Lntdt

Como la función f t( ) t Lnt es continua en el intervalo

1,

, aplicando el

Teorema Fundamental se obtiene que: F x'( ) x Lnx

2.- Calcula la derivada de la función

0

( ) 2

x

F x

tdt

Como, por las propiedades,

0

0

( ) 2 2

x x

F x

tdt 

tdt, aplicando el Teorema

Fundamental se obtiene que: F x'( ) 2x

3.- Calcula la derivada de la función

2

1

( ) 3

x

F x

t dt

En este caso aplicamos el Teorema Fundamental y la regla de la cadena:

2

'( ) 3 2

F x  xx

Ejercicios:

1. Calcula las derivadas de:

a)

5

( ) 1

x t

F x

edt b)

1 2

( ) log 1

x

F x t dt

 c)

2

0

( ) cos

x

F x

tdt

2.- Indica dónde se alcanzan los extremos relativos de la función F: 0,

 

definida por

0

( ) ( 1)( 1)

x

(29)

5.- REGLA DE BARROW

Si f es una función continua en [a,b] y G(x) es una primitiva de f, entonces:

( ) ( ) ( )

b a

f x dxG bG a

Este teorema relaciona las integrales definidas con las integrales indefinidas y permite calcularlas usando el cálculo de primitivas.

Ejemplos:

1.-

2

1

2x1 dx

Calculamos una primitiva haciendo la integral indefinida:

2

( ) 2 1

G x

xdxxx

Si sustituimos: G(2) = 6, G(1) = 2, y por tanto:

2

1

2x1 dx  6 2 4

Normalmente estos cálculos se expresan así:

2

2 2

1 1

2x1 dxxx  4 2   (1 1) 4

2.-

0 0

cos cos ( cos 0) ( 1) ( 1) 2

senxdx x

           

Ejercicio:

Calcular las siguientes integrales:

a)

4

2

3 2x dx

b)

1 1

e

dx x

c)

1 2

1

1

x x dx

 

d) sen x dx(3 )

e) cos

0

x

senx e dx

f)

3

2

2 3

xdx

g)

1

0

x

xe dx

h)

1 2

2 01

(30)

6.- CÁLCULO DE ÁREAS

La integral definida tiene múltiples aplicaciones, no sólo en el cálculo, sino también en Física, Química, Estadística, Astronomía,…

Dentro del cálculo se puede aplicar al cálculo de áreas, de volúmenes, de longitudes de curvas, etc.

En este curso sólo veremos su aplicación al cálculo de áreas, y distinguiremos en el proceso varios casos:

I. Área comprendida entre la gráfica de una función (que no corta al eje OX entre a y b), el eje OX y las abscisas x = a y x = b

En este caso:

( )

b a

A

f x dx

El valor absoluto es por si la función estuviese por debajo del eje OX en lugar de por encima.

II. Área comprendida entre la gráfica de una función (que corta al eje OX entre a y b en uno o más puntos), el eje OX y las abscisas x = a y x = b

En este caso:

( ) ( )

c b

a c

A

f x dx

f x dx

(31)

III. Área comprendida entre la gráfica de dos funciones entre a y b

En este caso:

( ) ( )

( ) ( )

c b

a c

A

f xg x dx

f xg x dx

Sin tener el dibujo no sabemos en cada trozo cuál de las dos funciones está por encima y cuál por debajo. De ahí los valores absolutos

En todos los casos lo primero será calcular los puntos de corte (entre la función y el eje OX o entre las dos funciones) para descomponer el área en trozos.

Si tenemos que calcular un área que no corresponda a ninguno de estos casos, lo primero será hacer el dibujo y después dividir el área total en áreas más pequeñas que si se puedan calcular según los casos anteriores.

Ejemplo 1:

Hallar el área comprendida entre la curva yx3x, el eje X y las abscisas

x = 0 y x = 2

En primer lugar calculamos los puntos de corte de la curva con el eje OX:

3 2

0 1 0 0 , 1 , 1

x   x x x    x xx 

De esos puntos de corte nos interesan los que estén dentro del intervalo [0,2], es decir, sólo el 1, y por tanto el área será:

1 2

3 3

0 1

A

xx dx

xx dx

Calculamos cada trozo:

 

1

1 4 2

3

0 0

2

2 4 2

3

1 1

1 1 1

0

4 2 4 2 4

1 1 1 1 9

4 2 2 2

4 2 4 2 4 4 4

x x x x dx

x x x x dx

     

 

          

   

(32)

Y por tanto el área pedida será:

2

1 9 1 9 5

4 4 4 4 2

A      u

Gráficamente (aunque no hace falta para resolver el ejercicio):

Ejemplo 2:

Halla el área limitada por las gráficas de las funciones

2 ( )

2

x

f x  y

( ) 2

g xx

Como no hay intervalo, el área se calcula entre los puntos de corte más alejados entre sí. Calculamos los puntos de corte entre las dos funciones igualándolas:

2 4

4 3

2 2 8 0 8 0 0 , 2

2 4

x x

x x x x x x x x

           

Luego el área será:

2 2 2

0 0

( ) ( ) 2

2

x

Af xg x dx  x dx

 

Calculamos la integral indefinida:

 

 

 

 

2

1 1

2 2 2 2

3 3

3 2 3

1 1 1

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

1 1

3

2 3 2 6 3

2

x

x dx x dx x dx x dx x dx

x x

x x

 

     

 

 

   

(33)

 

3 2

2 2 3

0

0

2 8 8 8 4 2

2 6 3 6 3 6 3

x

x x

x dx

 

        

 

 

(El que haya salido negativa nos dice de paso que la función f está por debajo de la función g en ese intervalo.

El área será entonces: 4 4 2

3 3

A   u

Ejemplo 3:

Halla el área del recinto comprendido entre la parábola yx21, la recta 5

y x y el eje de abscisas

Como no corresponde a ninguno de los casos habituales, dibujamos el recinto:

(34)

Lo primero es calcular los puntos de corte entre las gráficas:

2 2

1 5 6 0 2 , 3

x    x x    x xx 

En el trozo que nos ocupa sólo nos importa el 2.

Tenemos que calcular también los puntos de corte de cada función con el eje X, aunque en este caso es fácil ver que los puntos que nos interesan son el 1 y el 5.

Por tanto el área será:

2 5

2

1 2

1 5

A

xdx

x dx

Calculamos cada trozo por separado:

2

2 3

2

1 1

5

5 2

2 2

8 1 4

1 2 1

3 3 3 3

25 9

5 5 25 10 2

2 2 2

x

x dx x

x x dx x

    

      

   

  

     

 

Y tenemos entonces:

2

4 9 35

3 2 6

A   u

Ejercicios:

1.- Calcula el área que determina la curva yx2 x 2 con el eje X entre las abscisas -1 y 4

2.- Halla el área limitada por las gráficas de las funciones: 3

( ) 2

f xx  x ; g x( )   x2 x 2

3.- Halla el área de la región del plano encerrada por la curva yLnx entre su punto de corte con el eje X y la abscisa x = e

4.- Halla el área del recinto limitado por las rectas yx , y2x y la parábola 2

(35)

EJERCICIOS

1.- Calcula las siguientes integrales:

a) 2 2 0 1 x dx x

b) 3 1 1 x dx x

c) 4 0 cos

senx x dx  

d)

2 2 2 0 2 1 1 x dx x x   

e) 2 2 1 2 dx xx

f)

1

0 1 1 2 exdx

2.- Dada la función:

2

2 0

( ) 2 0 2

10 3 2 4

x x

f x x x

x x             Calcula 1 1 ( )

f x dx

y 4

2 ( )

f x dx

Represéntala gráficamente e indica si alguna de las integrales calculadas anteriormente representa un área.

3. Calcula la derivada de la función

2

0

( ) cos

x

F x

tdt de dos formas:

a) Obteniendo primero de forma explícita F(x) y después derivando

b) Usando el Teorema Fundamental del Cálculo

4.- Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

a) 2

3 ( )

x

F x

t dt b)

3 2 1 ( ) ( 1) x

F x dt

Ln t

c)

1

( ) 2 1

senx

F x

dt

d) 3 2 ( ) 1 x

F x dx

x

e)

2 2

0 ( )

x

F x

tt dt

5.- De una función f continua se sabe que 2

0

( ) 1

x

f t dtxx

. Calcula

razonadamente f(2)

6.- Calcula los extremos relativos de la función 2

0 ; 0 1 ( ) 1 x x t

f x dt

t

 

(36)

7.- Calcula el área encerrada ente ( ) 26 1

x f x

x

 y el eje de abscisas para x 

1,1

8.- Calcula el área comprendida entre las funciones yx2 e y  x 2

9.- Halla el área limitada por las gráficas de las funciones

3 2

( ) 2 , ( ) 2

f xx  x g x    x x

10.- Calcular m para que el área comprendida entre ymx e yx2 sea 36 u2

11.- Calcular el área comprendida entre la gráfica de la función 2

4

yxx y las rectas tangentes a dicha curva en los puntos de corte con el eje OX

12.- Dibuja el recinto limitado por las funciones ycosx e y 1 cosx y las

rectas

2

x  y 2

x . Calcula su área

13.- Considérese la región acotada que determinan las curvas yex e ye2 x y la recta x = 1. Halla su área

14.- Determinar razonadamente y sin calcularlas cuál de las siguientes integrales tiene mayor valor:

a) 2 3

2 2

1 1

x x

edx y edx

b) 2 3

1 1

0 0

x x

edx y edx

15.- Estudia la monotonía y halla las abscisas de los máximos y mínimos relativos de

la función:

2

2

0

( ) 1

x

t

F x

tedt.

16.- a) Calcula los extremos absolutos de la función f :

7,1

 definida por

3 2

( ) 6 49

f xxx

b) Sea  el punto en el que f alcanza su máximo absoluto. Calcular

7

( )

f x dx

17.- Siendo f x( ) x24, calcular 3

0

2 ( )f x dx

18.- Halla el área del recinto comprendido entre las gráficas de las funciones yex,

x

(37)

19.- Calcula el área de la región limitada por las curvas de ecuaciones: y2 x e

2

y x

20.- De la función f x( )ax3bx2cxd se sabe que tiene un máximo relativo en

x = 1, un punto de inflexión en (0,0) y que

1

0

5 ( )

4

f x dx

. Calcula a, b, c y d

21.- Calcula el área de la región limitada por las curvas yx , yx21 y las rectas x = -1 y x = 1

22.- Dada la función

2

0 2

( ) ; 1,

1

x

t

F x dt x

t

   

:

a) Calcular F(1)

b) Estudiar su monotonía

c) Calcular la ecuación de la recta tangente a F(x) en el punto de abscisa 0

23.- Representar el recinto limitado por las parábolas yx22x3 e 2

2 4 3

yxx y calcular su área

24.- Dada la función f : definida por:

2

2

0

( )0 0 3

6 3

x x

f x x x

x x

  

 

Calcular 3

3

3 ( )f x dx

25.- a) Halla el punto de inflexión de la función f x( ) x ex

b) Dibuja la región limitada por la gráfica de f(x), el eje OX y la recta x

, donde

es la abscisa del punto de inflexión calculado anteriormente

c) Calcula el área de dicha región

26.- Haz el cambio x = sent para calcular la integral 1

2

0

1 x dx

(Ten en cuenta que cos2 1 cos 2

2

x x  )

27.- Calcular 2

1

e

Figure

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