Examen 6Ing MB 16 XII 2011

(1)

Ejercicio I – Matrices

Sean A

 _

 _

 _ _

 _

 

1 1 2 1 1 3 3 2 4

y B

  _{ }

 _

 _ _

 _



 

1 1 2

1 1 3 3 2 4

(a) Halle la matriz inversa de A.

(b) Halle la matriz X que verifica la igualdad AXB.

(c) Explique, aplicando propiedades de los determinantes, por qué detAdetB. Deduzca de lo anterior el valor del determinante de la matriz X hallada. (No debe calcular directamente ningún determinante)

Solución

Parte (a) A

 _

 _

_   __

 _



 

1 2 0 1

5 2 1

1 1 0

Parte (b) AX B X A B; X

A

 

 



 _ _ _



    

 _ _



 __ ___ __

1 1

5 4 8 10 9 20

2 2 5

Parte (c) Se observa que la matriz B se obtiene de A multiplicando la fila 1 y la columna 1 por el factor  1 . En cada uno de estas transformaciones el determinante de A queda multiplicado por el factor  1 . Como esto se efectúa dos veces, detAdetB. Es decir:

B A

  

       

 

1 1 2 1 1 2 1 1 2

1 1 3 1 1 3 1 1 3

3 2 4 3 2 4 3 2 4

Primero véase que se tiene la siguiente relación

AX B AX  B  A X B

Además, A1  A0.

Combinando las relaciones anteriores se obtiene

A X B B

X

A X

A

B A 

 

 _ _



 

 _

  

 _ 

   _

(2)

Ejercicio II – Coordenadas en un eje

Cuatro puntos A, B, C y D, distintos dos a dos, sobre un eje satisfacen las relaciones siguientes ABCD

 

, ABC  BCD y xCxB1 1. Halle xB,xC,xD en función de xA.

2. Tomando xA 1, halle xE de forma que E sea el conjugado armónico de C respecto del par de puntos A D, .

Solución

Parte (a) Sean axA,bxB,cx dC, xD

Las condiciones del problema se expresan en función de las abscisas de los puntos así

  

    

  

por lo que no puede tomarse b a d c

c a d b c b d c c b

c b

b a d b d b a

b a b a b

b b b a b

b a b a

b a b a b a b a b a b a b a b a b a

b a b a

c b b c b

    

  

 _

  

    

 

   

  

    



     

    



     

      

    

    

     

1 1

1

2 1

1 2 1

1 2 1 1

1 1

1 1 0

1 1

1 1 a pues en tal caso sería a c.

b a

c b a

d b a a a a

 

     

        

1

1 2

2 1 2 2 1 3

Parte (b)

Para a1 resulta c1 y d2

ADE ADC

e a c a e d c d e

e e e

e e

e

 

 

 

 

 

 

 

  



1 1 1 2 1 2 1

2 2 1 2 4

(3)

Ejercicio III

Sea P,42 un punto variable. C es la circunferencia de centro P que pasa por el origen de

coordenadas. C corta al eje OX en O y A, y al eje OY en O y B. (a) Halle la ecuación de C y las coordenadas de A y B en función de .

(b) Halle la ecuación de la recta r que pasa por A y B, y determine si las rectas r pasan por un punto fijo al variar el parámetro .

(c) Sea Q tal que QB4AQ. Halle las coordenadas de Q y la ecuación de la recta s que pasa por Q y es perpendicular a r. Muestre que las rectas s pasan por un punto fijo al variar . Solución

Parte (a)

 

:x2y22x 48 y0

C

 

   

 

     

:

, ,

:

; ,

y OX

x y x y

x x x x x x A

x OY

x y x y

y y y y y y B

 

   

 

   

  

 _{  }

  



        

  

 _{  }

  



            

2 2

2

2 2

2

0

2 4 8 0

2 0 2 0 0 2 2 0

0

2 4 8 0

4 8 0 4 8 0 0 8 4 0 8 4

C

Parte (b)

 

Recta

Ordenando respecto de AB

x y

x y x

    



 

      



     

2

1

2 0 1 0 4 8 2 8 16 0

0 8 4 1

8 4 2 16 8 0

Es evidente que la última ecuación no admite soluciones independientes de , por lo tanto la familia de rectas  r no tiene un punto fijo.

Parte (c)

















A B Q

B Q Q A B Q Q A

A B

B B Q A B B Q A

Q

x x x

x x x x x x x x

QB AQ

y y

y y x x y y x x _y

 

 

 

        

  

  _  _  _



     

   _

 

  _

4

4 4 ₅

4

4 4

5  

,

Q Q

x 8 y 84

5 5

 

     

:

: ,

: :

r x y

s y x

s r Q s

s y x s y x

   

 

  

   



    _{ }

   

 

        

  _ _ _ _ _ _

    

  __ __ _ 



        

2

2 2 2

4 8 2 8 16 0

8 4 8

4 8 2 0

8 8 4 ₅ ₅

5 5

4 8 16 16

4 8 2 0 4 8 2

5 5 5

 

64 6416 2

5 5 5

 

   

 

:

, Las rectas pasan por ,

s x y

x y y

x y

y x s

y 

  





    

    

     

 _ _ _ _ _  _

 _ _

    



0 10 20 40 64 64 0

10 20 64 64 40 0

10 20 64 0 64 8 32 16 16 8

(4)

Ejercicio IV

(a) Sean dados C :x2y28x2y 7 0 y r y: x.

1. Considere un punto P variable sobre la recta r. Halle la ecuación de la recta q polar de

P respecto a C y la ecuación de la recta s que pasa por P y es perpendicular a q. 2. Determine la ecuación del lugar geométrico del punto de corte de las rectas s y q.

Compruebe que es una circunferencia, halle centro y radio. (b) Sea C:x2y2 5 2x 2 4y6 9 0.

1. Compruebe que las circunferencias de la familia  C_{ }_ forman un haz de circunferencias

y halle su eje radical y puntos base.

2. Halle la ecuación de la circunferencia del haz  C ortogonal a la circunferencia de ecuación x2y26x2y 2 0.

Solución Parte (a1)

 

   

     

   

, ; :

: :

y : : :

P r P x y x y

q x y x y

q x y

P s s q

s x y

 

   

  

   

     

  

       

      

     

 

     

       

    

2 2

8 2 7 0

4 7 0

4 1 3 7 0

1 4 0

1 4 4 0

1 4 5 0

C

Parte (a2)

   

 

:

, ,

:

circunferencia, centro , , radio

x y

q s

x y

x y x y y x

x y x x y x y

y x x y x y

x y x y x

D E F

  



      



 _{   }

 



   

 _

  _{ }   

           



 _    

 _

  _

   

     

2 2

4 1 3 7 0

1 4 5 0

4 7

3 4 7 4

6 7 0 5 0 3 0

4 3 5

5

6 7 0

4 36 28 8 0 3 0 2

L

Parte (b1)





 

: x y x y x y

 2 25 2  9 2  2  3 0

C

Ecuación del haz de circunferencias cuyo eje radical es la recta de ecuación x2y 3 0 yal que pertenece la circunferencia de ecuación x2y25x2y 9 0.

Puntos base





 

   

:

, ,

x y x y x y

x y

y

x y x y

x y

          

   

    

 _

 _{ } _

 

      

 

 _{   } _



2 2

5 2 9 2 2 3 0

1 1

2 3 0

1 1 3 3 5 2 9 0

3 3

(5)

Parte (b2)

   

     

: ; :

; ;

: :

x y x y x y x y

x y x y

x y y

   

  

    



            

      

         

 _  _

 

  __ __  __ __   

   

2 2 2 2

2 2

5 2 2 4 6 9 0 6 2 2 0

6 5 2 2 2 4 2 2 6 9

20 5 30 12 4 8 14 12 8 20

8 2

5 5 5

5 2 2 4 6 9 0

2 2 2

8 6 0

C C

C

Ejercicio V

(a) Halle la ecuación de la familia de parábolas tangentes a la recta de ecuación x  y 1 0 en el punto T1 2,  cuyo eje de simetría es vertical.

(b) Halle la ecuación del lugar geométrico del foco de las parábolas de la familia hallada. Solución

Parte (a)

 P :yax2bxc a, 0

La tangente a P en T coincide con la polar de T.

 

x y

ax b c

y ax bx b c a b x y b c

 

  

    

     

1 2

2 2

2 2 2

2 2 2 0

Identificando la polar con la recta dada

 

:

: ,

a b b c

b a a b

b c b

c

b b

y x bx

b x bx y b b

   

 

  

      

 

 _ 

 

       

 

 _

   _   

_ __  

       

2

2 1 2 2

1 1 1

1

2 1 ₂

2 2 1 3

2

1 3

2 2

1 2 2 3 0 1

P

Parte (b) Foco

 

   

,

: ,

;

,

: sin el punto ,

V V

V V V V

V V b ac b

a a

x x

y

x y

x y x y

x y

F x y 

  



  



_ _ _{ }

 _

 

 

   

   

  

  

   

 

          

 

   

2

4 1

2 4

1 2 3

1 2

4 3

1 1 2 2

2 3

2 3 0 1 0 2 4 0

1 2 4

2 3 0 1 2

P