Tema7 CONICAS alumnos pdf

TEMA 7 CONICAS

TEMA 7– CONICAS

Curso 2011-12

Toni Rama

1. SECCIONES CÓNICAS

Una superficie CÓNICAes aquella que se obtiene al girar una recta g (Generatriz), alrededor de otra e (eje), cuando estas son secantes. El punto de corte de las dos rectas es el vérticeV.

g

V

Una superficie CÓNICAes aquella que se obtiene al girar una recta g (Generatriz), alrededor de otra e (eje), cuando estas son secantes. El punto de corte de las dos rectas es el vérticeV.

g

V

e

1. SECCIONES CÓNICAS

Al cortar la superficie CÓNICAcon un Plano se obtienen las denominadas secciones CÓNICAS. Existen 2 tipos:

•CÓNICAS DEGENERADAS Plano contiene el punto V

g

•CÓNICAS NO DEGENERADAS Plano NO contiene el punto V

1. SECCIONES CÓNICAS

CÓNICAS degeneradas se clasifican según la relación que hay entre los ángulos α(ángulo entre la generatriz y el eje) y β(ángulo entre el eje y el plano):

p )

g

V β

α

g

V β

α

g

V β

α

e e e

1. SECCIONES CÓNICAS

CÓNICAS NO degeneradas se clasifican también según la relación que hay entre los ángulos α(ángulo entre la generatriz y el eje) y β(ángulo entre el eje y el plano): j y p )

g

V β

g

V β

α

CÓNICAS NO degeneradas se clasifican también según la relación que hay entre los ángulos α(ángulo entre la generatriz y el eje) y β(ángulo entre el eje y el plano): j y p )

PARÁBOLA _HIPERBOLA

α = β HIPERBOLA_{α > β}

1. SECCIONES CÓNICAS

1. SECCIONES CÓNICAS

CÓNICAS NO degeneradas se clasifican también según la relación que hay entre los ángulos α(ángulo entre la generatriz y el eje) y β(ángulo entre el eje y el plano): j y p )

2. CIRCUNFERENCIA

CIRCUNFERENCIA: Lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo, llamado centro Ces constante. A dicha constante se le denomina Radio. El doble de dicha constante se denomina diámetro(d). ( )

P(x,y)

r

d

r

C

P

d

(

,

)

=

r

c

y

c

x

C

P

d

(

,

)

=

(

−

₁

)

2

+

(

−

₂

)

2

=

C(c₁,c₂)

2

2

2

2

1

)

(

)

(

x

−

c

+

y

−

c

=

r

CIRCUNFERENCIA: Lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo, llamado centro Ces constante. A dicha constante se le denomina Radio. El doble de dicha constante se denomina diámetro(d). ( )

P(x,y)

r

d

0

2

2

+

+

+

+

=

F

Ey

Dx

y

x

ECUACIÓN DESARROLLADA DE LA CIRCUNFERENCIA

C(c₁,c₂)

2

2

2 1

E

c

D

c

−

=

−

=

F

E

D

r

=

+

−

4

4

2 2

2. CIRCUNFERENCIA

POSICIONES RELATIVAS: Punto y Circunferencia

C(c₁,c₂)

r x P EXTERIOR

C(c1,c2)

r

x P INTERIOR

C(c1,c2)

r

2. CIRCUNFERENCIA

POSICIONES RELATIVAS: Recta y Circunferencia

C(c₁,c₂) r

s EXTERIOR

C(c1,c2)

r

x P SECANTE

C(c1,c2)

r

x P TANGENTE

s _s

2. CIRCUNFERENCIA

POSICIONES RELATIVAS: 2 Circunferencias

EXTERIOR TANGENTE SECANTE

C

r₁

C₂ r₂

C

r1

EXTERIOR

C2

r2

C

r1

C₂ r2

POSICIONES RELATIVAS: 2 Circunferencias

TANGENTE

INTERIORES CONCENTRICAS

C₁

r₁ INTERIOR

C2

r2

INTERIORES CONCENTRICAS

C₁

r₁

C₂r2

C₁

r₁

C₂r2

2. CIRCUNFERENCIA

POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA

Definición:Dados un puntoP una circunferencia con centreCi una rectas Definición: Dados un punto P, una circunferencia con centre Ci una recta s

que pasa por Pi que corta la circunferencia anterior. Se define potencia de P

respecto a la circunferencia anterior como:

s

_Pot

c

₍

_P

₎

=

_d

₍

_P

_,

_A

₎

⋅

_d

₍

_P

_,

_B

₎

A B

P

PB

PA

P

P

(

)

2. CIRCUNFERENCIA

POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA

Lema:La potencia de un punto respecto una circunferencia no depende de la

Lema: La potencia de un punto respecto una circunferencia no depende de la recta que seleccionamos para el cálculo.

A

B

P

A’

Demostración: Los triángulos PA’B y PAB’ son semejantes.

Teorema de Thales: A

B’

(

,

)

)

'

,

(

)

'

,

(

)

,

(

B

P

d

A

P

d

B

P

d

A

P

d

₌

)

(

)

'

,

(

)

'

,

(

)

,

(

)

,

(

P

A

d

P

B

d

P

A

d

P

B

Pot

P

d

⋅

=

⋅

=

c

2. CIRCUNFERENCIA

POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA

Lema:La potencia de un punto respecto una circunferencia no depende de la

Lema: La potencia de un punto respecto una circunferencia no depende de la recta que seleccionamos para el cálculo.

B r

Cálculo:.

d

C(c₁,c₂) A

P(p₁,p₂)

x r 2 2 2 2 2 1

1

)

(

)

(

)

(

P

p

c

p

c

r

Pot

c

=

−

+

−

−

2 2

)

(

P

d

r

POSICIONES RELATIVAS: Punto y Circunferencia

C(c₁,c₂)

r x P EXTERIOR

C(c1,c2)

r

x P INTERIOR

C(c1,c2)

r

x P PERTENECIENTE

r

C

P

d

(

,

)

>

d

(

P

,

C

)

<

r

d

(

P

,

C

)

=

r

2. CIRCUNFERENCIA

EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS: Lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto de dos circunferencias.

0

2 2

F

E

D

C

0

)

'

(

)

'

(

)

'

2. CIRCUNFERENCIA

EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS: Lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto de dos circunferencias.

0

2 2

F

E

D

C

0

)

'

(

)

'

(

)

'

(

D

−

D

x

+

E

−

E

y

+

F

−

F

=

0

'

'

'

:

'

0

:

2 2 2 2

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

F

y

E

x

D

y

x

C

F

Ey

Dx

y

x

C

C y C’ CONCENTRICAS

NO EXISTE EJE RADICAL

2. CIRCUNFERENCIA

CENTRO RADICAL DE TRES CIRCUNFERENCIAS: punto del plano que tiene la misma potencia respecto de tres circunferencias.

CENTRO RADICAL

PROBLEMA LIBRO PÁGINA 144: EJERCICIO RESUELTO

Tierra Æe= 0.0167 Órbita casi circular

3. ELIPSE

ELIPSE: Lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias (radio vectores) a dos puntos fijos, llamados FOCOS, es constante.

F P(x,y) a F’ b c B A A’ O

a

F

P

d

F

P

d

(

,

)

+

(

,

'

)

=

2

http://es.wikipedia.org/wiki/Elipse

Semieje mayor: a

Semieje menor: b

Focos: F y F’

Distancia Focal: FF’ = 2c

Centro: O(0,0)

Radio vectores: PF y PF’

Vértices: A, A’, B y B’

a c

B’

3. ELIPSE

ELIPSE: Lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias (radio vectores) a dos puntos fijos, llamados FOCOS, es constante.

F a F’ b c B A A’ O a 2 2 2

_b

_c

a

=

+

Relación fundamental de la elipse

a c

B’

1

0

<

<

=

e

a

c

e

ELIPSE: Lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias (radio vectores) a dos puntos fijos, llamados FOCOS, es constante.

E t i id d d l li

1

0

<

<

=

e

a

c

e

Excentricidad de la elipse

e =0

e =0.5 _{e =0.99}

F

a F’

O

F

a

F’

O c

3. ELIPSE

ELIPSE: Lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias (radio vectores) a dos puntos fijos, llamados FOCOS, es constante.

E ió d id d l Eli

F

a F’

b

c B

A

A’ O

a 2

1

2

2 2

=

+

b

y

a

x

Ecuación reducida de la Elipse (centrada en el Origen O(0,0)

a c

B’

3. ELIPSE

ELIPSE: Lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias (radio vectores) a dos puntos fijos, llamados FOCOS, es constante.

A’

F

a

b

B’

B O

(

)

(

)

1

2 2 2 2

2

1

+

−

=

−

y

c

b

c

x

Ecuación reducida de la Elipse (centrada en O(c₁,c₂) y con los focos en el eje de ordenadas

F’ c A a 2 2

a

b

3. ELIPSE

a

f

y

f

x

f

y

f

x

)

(

)

(

)

(

)

2

(

−

₁ 2

+

−

₂ 2

+

−

₃ 2

+

−

₄ 2

=

ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE

F’ (f3,f4)

f

y

f

f

y

f

)

(

)

(

)

(

)

(

_{1 2 3 4}

0

2

2

+

+

+

+

+

=

N

My

Lx

Kxy

Hy

Gx

F(f1,f2)

4. LA PARÁBOLA

PARÁBOLA: Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado FOCO(F) y de una recta directriz(r_d).

Eje de simetría: OY

Parámetro: p distancia entre el Foco ya directriz

Directriz rd : y= -p/2

Foco: F (0, p/2)

Centro-Vértice: O(0,0)

Radio vector: PF.

Excentricidade=1

Excentricidade 1

4. LA PARÁBOLA

PARÁBOLA: Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado FOCO(F) y de una recta directriz(r_d).

)

,

(

)

,

(

P

F

d

P

r

_d

d

=

py

x

2

=

2

Ecuación reducida de la Parábola (centrada en el Origen O(0,0)

rd

O

p/2 p/2

F

py

x

2

1

)

,

(

)

,

(

_⇒

₌

=

e

F

P

d

r

P

d

e

d

Excentricidad de la parábola

4. LA PARÁBOLA

PARÁBOLA: Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado FOCO(F) y de una recta directriz(r_d).

rd

O p/2 p/2 F

Ecuación reducida de la Parábola (centrada en el Origen O(0,0)

PARÁBOLA: Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado FOCO(F) y de una recta directriz(r_d).

Y

r_d

O p/2

F

Ecuación reducida de la Parábola (centrada en el Origen O(0,0)

F p/2 Y

O

px

y

2

=

2

4. LA PARÁBOLA

PARÁBOLA: Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado FOCO(F) y de una recta directriz(r_d).

O

)

,

(

)

,

(

P

F

d

P

r

_d

d

=

Ecuación reducida de la Parábola (centrada en el Origen O(0,0)

x₀

)

(

2

)

5. LA HIPÉRBOLA

HIPÉRBOLA: Lugar geométrico de los puntos del plano tales la diferencia de sus distancias (radio vectores) a dos puntos fijos llamados FOCOS(F, F’) es constante.

Semieje real: a

Semieje imaginario: b

Focos: F y F’

Di i F l FF’ 2

a

F

P

d

F

P

d

(

,

)

−

(

,

'

)

=

2

Distancia Focal: FF’ = 2c

Centro: O(0,0)

Radio vectores: PF y PF’

Vértices: A, A’, B y B’

5. LA HIPÉRBOLA

HIPÉRBOLA: Lugar geométrico de los puntos del plano tales la diferencia de sus distancias (radio vectores) a dos puntos fijos llamados FOCOS(F, F’) es constante.

2 2 2

_a

_b

c

=

+

Relación fundamental de la hipérbola

1

>

⇒

>

=

c

a

e

a

c

e

sus distancias (radio vectores) a dos puntos fijos llamados FOCOS(F, F’) es constante.

2 2 2

_a

_b

c

=

+

Relación fundamental de la hipérbola

1

>

⇒

>

=

c

a

e

a

c

e