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Guía teórico pràctica N º 4. Grupos

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Academic year: 2019

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INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE GRUPOS

Las tres áreas en las que surgió, de forma natural e implícitamente, el concepto de grupo son: en la geometría al comienzo del siglo XIX, en la teoría de números al final del siglo XVIII y en la teoría de ecuaciones algebraicas al final también del dieciocho. Dicho concepto es un ejemplo de como la abstracción de algunas ideas, comunes a muchas áreas de la matemática, que se iban desarrollando paralelamente, han necesitado de la distancia y del tiempo para poder asentarse, y dar lugar a una definición que satisfaciera formalmente y diera cabida a todos los ejemplos.

Esto no sucedió plenamente hasta el siglo XX. Pudiéndose decir que la teoría de grupos, aunque tuvo resultados importantes anteriores, es una teoría moderna en la historia de la matemática que en pleno siglo XXI, se puede decir que está plenamente consolidada como disciplina matemática y es una teoría que se aplica en distintos tópicos de la informática como por ejemplo en el estudio de máquinas de estado finito y de lenguajes formales.

No en vano las estructuras de datos mediante las cuales es posible representar los datos en un ordenador y manipularlos para resolver problemas, son estructuras algebraicas. Y con buenas estructuras algebraicas de datos es posible obtener buenas soluciones algorítmicas a problemas computacionales.

1- Operaciones, propiedades y estructuras algebraicas:

Sea A un conjunto no vacío, recordemos que se denomina producto cartesiano de A por A al conjunto de todos los pares formados por elementos de A, vale decir al conjunto

Si a cada par de se le asigna unívocamente un elemento del conjunto A (vale decir, si se define una función con dominio en y codominio en A) se tendrá lo que se llama una operación binaria sobre A.

Ejemplo 1:

Sea A=N, el conjunto de los números naturales.

a) Si a cada par de números naturales se le asigna el número natural que corresponde a su suma, se estará definiendo una operación binaria sobre N. En este caso se acostumbra indicar en lugar de (por ejemplo, indica que al par le corresponde el elemento 9).

(2)

En cambio, si a cada par de naturales se le asigna su cociente no se tendrá una operación binaria sobre N sino, simplemente, una función de en Q (los números racionales) ya que el número asignado no siempre pertenecerá a N (

pero , por ejemplo).

Tampoco se tendrá una operación binaria si se pretende asignar a cada para de naturales “un natural cualquiera mayor que ambos”: aquí, si bien el resultado será siempre natural, no estará unívocamente determinado (nada indica el modo de elegirlo). En este caso no se tendrá ni siquiera una función sobre .

En general, al definir una operación sobre un conjunto no suele utilizarse la notación funcional sino una notación más práctica, como la usada para la suma en N:

Si se define sobre A la operación y si al par (m, n) le hace corresponder el elemento p ésto se indica (en lugar de ).

Si el conjunto A es finito se pueden definir las operaciones a través de tablas de doble entrada:

Ejemplo 2:

Si en el conjunto se define

esto significa que la operación asigna al par (a,a) el elemento b, al par (a,b) el elemento a, al par (b,a) el elemento b y al par (b,b) el elemento a .

Por convención el primer elemento de cada par es el de la fila y el segundo, el de la columna.

El número de operaciones que es posible definir sobre un conjunto (esto es, el número de maneras distintas en que se puede completar la tabla) crece rápidamente con el número de elementos del conjunto:

Para la única operación posible es la que asigna al par el elemento a.

Para las operaciones posibles ya son 16: en hay cuatro pares y para cada uno de ellos hay dos posibles resultados para asignar, a ó b .

Para el número trepa a

Pero de todas las operaciones posibles sobre un conjunto sólo suelen ser de interés las que verifican determinadas propiedades que se enunciarán a continuación:

Definida la operación sobre A se dirá que:

 es conmutativa si, cualesquiera sean a y b en A, resulta  es asociativa si, cualesquiera sean a, b y c en A, resulta

(3)

cualquiera sea a en A.

Si tiene un elemento neutro e en A se dirá que un elemento a de A

tiene inverso si existe a’ en A tal que

Notemos que si una operación binaria es asociativa no hay ambigüedad al escribir pues, ya sea que operemos de la forma o de la forma , el resultado será idéntico. Tampoco habrá ambigüedad si se escribe

-Las operaciones conmutativas se denominan también abelianas (en honor al matemático noruego Abel).

-El elemento neutro se denomina también identidad; el inverso se denomina también simétrico u opuesto.

o Las operaciones de los Ejemplos 1a), 1b) son conmutativas y asociativas.

o La operación del Ejemplo 2 no es conmutativa ni asociativa pues, por ejemplo,

o Las operaciones de los Ejemplos 1a), y 2 no tienen neutro. La del ejemplo 1b) tiene como neutro el número 1.

o En la operación del ejemplo 1b) sólo el elemento 1 tiene inverso: el mismo 1. Observación: si la operación está definida mediante una tabla

o si la operación es conmutativa, la tabla resulta simétrica con respecto a la diagonal principal;

o si la operación tiene elemento neutro, existe una fila (la que corresponde al elemento neutro) en que aparecen todos los elementos en el mismo orden en que aparecen en el encabezamiento de las columnas;

o si hay un elemento neutro, el inverso de cada elemento se encuentra buscando el neutro en la fila correspondiente.

Ejemplo 3:

Sea la siguiente operación definida sobre : a b c

a b b a b b c b c a b c

La tabla es simétrica con respecto a la diagonal: la operación es conmutativa.

En la fila que corresponde a c aparecen todos los elementos en el mismo orden que en el encabezamiento de la tabla: c es elemento neutro.

En la fila de a no aparece el neutro: a no tiene inverso.

En la fila de b el neutro aparece en la columna de b: b es inverso de sí mismo.

La operación no es asociativa: si comenzamos a chequear uno por uno los 27 casos posibles hallamos que, por ejemplo, pero

.

(4)

Independientemente del conjunto A que se considere y de la operación definida sobre él, existen ciertos resultados generales que sólo dependen de las propiedades que verifique la operación (esto es: para demostrarlas no se necesita especificar ni A ni la operación en particular sino recurrir sólo a las propiedades que cumple la operación).

Los siguientes resultados son ejemplos de ello:

1) Si para una operación en A existe un elemento neutro, éste es único. En efecto:

Supongamos que hay dos neutros, Entonces: pues es neutro;

pero también pues es neutro. Luego .

2) Si para una operación asociativa en A existe un elemento neutro e y un elemento del conjunto, a, tiene inverso a’ entonces éste es único.

En efecto:

Supongamos que hay dos inversos de a: a’ y a’’. Entonces: pues es

inverso; luego resulta ,

(1) por ser e neutro, (2) porque , (3) por asociatividad, (4) porque a’’ es inverso de a y (5) porque e es neutro. Luego .

3) Si para una operación asociativa en A existe un elemento neutro e y todo elemento tiene su inverso, entonces vale en A la llamada propiedad cancelativa:

(de modo similar, En efecto:

(1) porque al ser único el resultado de la operación una igualdad se mantiene si se la opera miembro a miembro por un mismo elemento; (2) por asociatividad; (3) porque a’ es inverso de a; (4) porque e es neutro.

Estos tres resultados valen en cualquier conjunto A que verifique las hipótesis correspondientes, sin importar la naturaleza de los elementos de A ni la operación en cuestión sino solamente las propiedades que se cumplen.

Este hecho permite definir lo que se denomina estructura algebraica de un conjunto A dotado de una operación , y el nombre de la estructura indica qué propiedades verifica la operación y permite asegurar que se cumplirán ciertos resultados, sin importar los elementos o la operación en particular de que se trate.

(5)

Por lo dicho anteriormente es posible asegurar que en todo monoide y en todo grupo se cumplen las propiedades 1) y 2); también se puede asegurar que en todo grupo se verifica la propiedad 3), no importa la naturaleza de los elementos ni de la operación en cuestión. De este modo:

o Examinando los conjuntos y las operaciones del Ejemplo 1 se ve que los naturales con la suma tienen estructura de semigrupo conmutativo; los naturales con la operación del máximo constituyen un monoide conmutativo.

o Si se considera los números enteros con la suma, constituyen un grupo conmutativo, que se indica .

o Los enteros con la multiplicación constituyen un monoide conmutativo.

o Los números reales sin el cero con la multiplicación forman un grupo

conmutativo: .

o Los racionales positivos con la multiplicación: forman un grupo conmutativo.

o constituye un monoide conmutativo cuyo elemento neutro es C ¿Qué estructura tendrá ?

(Recordar que dado un conjunto cualquiera C se denomina a la familia de todos sus subconjuntos (comenzando por el vacío, siguiendo con los subconjuntos de un solo elemento, los de dos, etc., hasta llegar al mismo C)

2.-Grupo

Nos concentraremos ahora en el estudio de la estructura de grupo.

Se dirá que tiene estructura de grupoide si la operación es una operación binaria.

Se dirá que tiene estructura de semigrupo si es asociativa; si además es conmutativa se dirá un semigrupo conmutativo.

Se dirá que tiene estructura de monoide si es asociativa y existe en A elemento neutro para ; monoide conmutativo si es además conmutativa.

(6)

Consideraremos pues, un conjunto no vacío G, sobre el que se ha definido una operación binaria asociativa , para la cual existe un elemento neutro , y de modo tal que para cada elemento existe un elemento inverso .

2.1.- Notación

Es común que en lugar del signo se use simplemente un punto (sin que necesariamente signifique multiplicación convencional) y en ese caso el neutro se suele indicar 1 (sin que necesariamente signifique el número 1) y el inverso de a se indica (notación multiplicativa); también puede usarse una notación aditiva en cuyo caso la operación se indica con + , el neutro con 0 y el inverso de a con –a llamándoselo opuesto (aquí tampoco + y 0 significan necesariamente suma y el número 0).

También es útil tener en cuenta la siguiente cuestión de notación (multiplicativa):

cualquiera sea , se indicará con el resultado de operar ;

con , el resultado de operar .

A partir de aquí, es sencillo demostrar (hacerlo) que , que y que , cualesquiera sean los naturales n y m.

Además resulta, por definición, , por lo que se define . Queda así definido cualquiera sea el entero r.

En las demostraciones que siguen usaremos, por comodidad, notación multiplicativa, y el puntoterminará por omitirse escribiéndose, simplemente, ab en lugar de a.b. Para el neutro conservaremos la letra e .

A menudo se da por sobrentendida la operación y se dice, haciendo abuso de lenguaje, que G es grupo, en lugar de lo correcto que es decir que (G, . ) lo es.

2.2.- Propiedades:

Por lo demostrado en el Ejemplo 5 podemos asegurar que en un grupo

el elemento neutro es único,

cada tiene inverso único y

valen en G las propiedades cancelativas .

También se verifica en todo grupo que

Cualquiera sea , es En efecto:

pues es el inverso de pues es el inverso de a

(7)

Cualesquiera sean , es En efecto:

donde (1) es por asociatividad, (2) y (4) por definición de inversos, y (3) por ser e elemento neutro. Como se halló un elemento que operado con ab da como resultado el neutro y el inverso es único, necesariamente resulta .

Cualesquiera sean , las ecuaciones tienen solución única en G.

En efecto:

Si se busca basta con operar a izquierda con :

De modo similar se demuestra la existencia y unicidad de solución de operando a derecha.

Todas estas propiedades se verifican en todo grupo, cualquiera sea la naturaleza de sus elementos y de la operación definida.

2.3.- Grupos finitos:

Dado que la computadora no trabaja con conjuntos infinitos, es importante el estudio de algunos grupos finitos, debido a que una estrategia que la unidad aritmética de una computadora puede utilizar para sumar o multiplicar números de tamaño razonable, es realizar las operaciones en un semigrupo finito bastante grande en vez de en R ó en Z. Si el conjunto G sobre el que se ha definido una estructura de grupo es un conjunto finito, al número de elementos del conjunto se lo llama orden del grupo y se indica

(G).

Veamos cómo son los grupos más pequeños posibles:

 Si el orden es 1, y puesto que necesariamente el grupo contiene un elemento neutro, deberá ser y la tabla que define la operación no puede ser otra que

e

e e

(8)

 Si el orden es 2, deberá existir, además del elemento neutro, otro elemento en el conjunto, distinto de e (digamos a) y como ese elemento deberá tener su inverso en el conjunto y el neutro no puede ser su inverso (pues ) el inverso de a sólo podrá ser el mismo a. Así, la única tabla posible para un grupo de orden 2 es (salvo el nombre de los elementos y la naturaleza de la operación)

e a

e e a a a e

y nuevamente existe un único grupo posible, también abeliano.

Veamos dos ejemplos de distinta naturaleza que responden a esta misma estructura.

Ejemplo 4:

Consideremos los números enteros. Podemos distribuirlos en los siguientes dos conjuntos disjuntos: el de los números pares y el de los números impares; cada número entero pertenece a uno y sólo uno de estos conjuntos. Observemos que si a un número par se le suma otro par se obtiene uno par, y si a un número impar se le suma uno par se obtiene uno impar (vale decir: sumar un número par no altera la paridad); por otra parte, si se suman dos impares se obtiene un número par; además, la paridad del resultado no importa del orden en que se sume. Vale decir:

nº par + nº par = nº par

nº par + nº impar = nº im par + nº par = nº impar nº impar + nº impar = nº par

Si identificamos todos los pares entre sí, en una clase que designaremos (ya que 0 pertenece a esa clase) y todos los impares entre sí, en una clase que designaremos (ya que 1 pertenece a esa clase), lo que acabamos de decir se puede representar

+

Las dos clases conforman un conjunto de dos elementos que se designa

que, con la operación entre clases definida en la tabla, constituye un grupo de dos elementos.

 Si el orden es 3, deberán existir, además del elemento neutro, otros dos elementos en el conjunto, distintos de e y distintos entre sí (digamos a y b) y como cada elemento deberá tener su inverso en el conjunto y el neutro no puede ser inverso de elemento alguno diferente de él (pues y ) podría ocurrir

(9)

La primera posibilidad conduciría a la tabla

e a b

e e a b a a e

b b e

Para completarla faltaría definir los resultados de a.b y b.a.

El resultado de a.b no puede ser a (porque ya es a.e=a y la ecuación a.x=a tiene solución única en un grupo) ni e (porque supusimos que a es el inverso de a y el inverso es único) entonces debe ser a.b=b. Pero entonces la ecuación x.b=b tendría dos soluciones: a y e, en contradicción con la propiedad de unicidad.

Entonces esta tabla no puede completarse de modo que se cumplan todas las propiedades de un grupo y la posibilidad a) queda descartada.

Se tendrá, entonces, el neutro e y a y b cada uno inverso del otro:

e a b

e e a b

a a e

b b e

Para completar a.a no podemos usar e (pues el inverso de a es b y es único) ni a (porque ya es a.e=a y la ecuación a.x=a tiene solución única en un grupo) luegodebe ser a.a=b. De modo similar debe ser b.b=a y así la única tabla posible para un grupo de orden 3 es

e a b

e e a b a a b e b b e a

que resulta también abeliano (tabla simétrica con respecto a la diagonal principal). Veamos dos ejemplos distintos con esta misma estructura.

Ejemplo 5:

Consideremos nuevamente los números enteros. Analizando la divisibilidad por 3, un número entero puede ser o bien múltiplo de 3 (y en ese caso será de la forma 3k para algún entero k) o bien tener resto 1 al dividirlo por 3 (y en ese caso será de la forma 3t+1 para algún entero t) o bien tener resto 2 al dividirlo por 3 (y en ese caso será de la forma 3m+2 para algún entero m), y no existe otra posibilidad: cada entero pertenece a una y sólo una de estas clases de números.

Además notemos que

(10)

(3t+1)+(3t’+1) = 3(t+t’)+2 = 3m’+2

(3t+1)+(3m+2) = 3(t+m)+3 = 3(t+m+1) = 3k

(3m+2)+(3m’+2) = 3(m+m’)+4 = 3(m+m’+1) +1= 3t+1 Las tres primeras igualdades indican que si a un número entero de cualquiera de las tres clases se le suma un múltiplo de 3, se obtiene un número de la misma clase del dado. La cuarta igualdad indica que sumar dos números de resto 1 da un número de resto 2; la quinta, que sumar un número de resto 1 con uno de resto 2 da un múltiplo de 3; y la última, que la suma de dos números de resto 2 da un número de resto 1. Por otra parte, estos resultados son ciertos sin importar el orden en que se efectúen las sumas.

Si identificamos con el símbolo a todos los números múltiplos de 3 (puesto que 0 es un de ellos), con a todos los que tiene resto 1 y con a todos los que tienen resto 2, lo que acabamos de decir se puede representar

+

Las tres clases conforman un conjunto de tres elementos que se designa que, con la operación entre clases definida en la tabla, constituye un grupo de tres elementos.

 Si el orden es 4, deberán existir, además del elemento neutro, otros tres elementos en el conjunto, distintos de e y distintos entre sí (digamos a, b y c) y como cada elemento deberá tener su inverso en el conjunto y el neutro no puede ser inverso de elemento alguno diferente de él (pues , y

) podría ocurrir que:

a) cada elemento distinto del neutro sea inverso de sí mismo o bien que b) uno de los elementos distintos del neutro sea inverso de sí mismo y los otros

dos sean inverso uno del otro; esto puede ocurrir de tres modos distintos, según sea el elemento distinto del neutro que elijamos para que sea inverso de sí mismo

La primera posibilidad conduciría a la tabla

e a b c

e e a b c a a e

b b e

c c e

Para completarla observemos que el hecho de que todas las ecuaciones de la

forma ; etc., tengan soluciones

(11)

misma ecuación.

Vale decir que cada fila y cada columna es simplemente un reordenamiento particular de las letras eabc y así, la única posibilidad de completar la tabla anterior es

e a b c

e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e

La segunda posibilidad conduciría a alguna de las tres tablas

que se completan teniendo en cuenta que en cada fila y cada columna no debe haber elementos repetidos

y resultan simétricas. Estas tres tablas constituyen, en realidad, una única posibilidad en lo que se refiere a la estructura, puesto que sólo difieren en el nombre que se le ha dado a los elementos del conjunto, que ha sido arbitrario: sólo interesa que hay tres elementos distintos además del neutro, y que uno de ellos es inverso de sí mismo y los otros dos, inversos uno del otro.

De modo que existen sólo dos posibles tipos de grupos de orden 4, y ambos resultan abelianos:

De modo que un grupo de cuatro elementos es necesariamente conmutativo y tiene o bien la estructura definida por la tabla T1 (y se dice que es un grupo de

Klein) o bien la estructura dada por la tabla T2 , y no existe otra posibilidad.

Los siguientes son ejemplos de cada uno de estas estructuras.

eabceeabcaaebbe

cce

eabceeabcaaebbe

cceeabceeabcaaebbecce

eabceeabcaacebb

becaccbae

eabceeabcaaecbb

(12)

Id Id Id

Id Id

Id

y así es un grupo de orden 4 del tipo de Klein.

b) Con la misma idea del Ejemplo 5), considerando la divisibilidad por 4, es posible agrupar los números enteros en cuatro clases disjuntas que indicaremos (la clase de lso múltiplos de 4), (la de los números que tienen resto 1 al dividirlos por 4), (la de los números que tienen resto 2 al dividirlos por 4) y (la de los que tienen resto 3 al dividirlos por 4), y en el conjunto de clases

se define la operación

+

a partir del hecho de que

4k + 4k’ = 4(k+k’) = 4k’’ (4t+1)+4k = 4(t+k)+1 = 4t’+1 (4m+2)+4k = 4(m+k)+2 = 4m’+2 (4t+1)+(4t’+1) = 4(t+t’)+2 = 4m’+2 (4t+1)+(4m+2) = 4(t+m)+3 = 4q +3

(4m+2)+(4m’+2) =4(m+m’)+4 = 4(m+m’+1)= 4k , etc..

Así, resulta un grupo de orden 4 con la estructura correspondiente al de la tabla T2 (con como a y y como b y c).

 Se puede demostrar (no lo haremos aquí) que con orden 5 existe una única estructura de grupo posible, y lo mismo ocurre con cualquier orden finito que sea un número primo p. “El” ejemplo de grupo de orden p es , construido con la misma idea con que se construyó .

Con orden 6 existen dos estructuras posibles, una conmutativa y la otra no.

La estructura conmutativa se puede ejemplificar con , que se construye de modo similar a .

Con orden 8 hay 5 estructuras posibles, con orden 10 hay dos posibles, etc

(13)

que resulta no conmutativo si n>2 y tiene una singular importancia en la teoría de grupos1 . Se lo denomina grupo de permutaciones, o grupo simétrico S

n , y se lo define

del siguiente modo:

 Dado , se considera el conjunto .

 Se define ahora el conjunto Sn formado por todas las permutaciones

posibles de los elementos de A (es decir: el conjunto de todas las biyecciones de A en A). Como hay n! permutaciones distintas de n elementos este conjunto tendrá cardinal n! .

 Entre los elementos de este conjunto Sn se considera la operación

composición de funciones.

 Es sencillo demostrar que (Sn, ) es un grupo: la composición de

funciones es asociativa; la biyección identidad es el elemento neutro de la composición y cada biyección tiene una biyección que resulta inversa para la composición.

Ejemplo 6:

Construyamos S2 y S3 :

 Para hay sólo dos posibles permutaciones: la identidad y la que

asigna al 1 el 2 y al 2 el 1.

Se acostumbra indicarlas del siguiente modo: y

(en el renglón superior de cada paréntesis se colocan los elementos del dominio y en el inferior sus respectivas imágenes).

es la identidad y es neutro de la composición, y si se compone consigo misma se obtiene la identidad (si se permutan el 1 y el 2 y se los vuelve a permutar se obtiene el orden natural) de modo que es inversa de sí misma. En una tabla:

vale decir la estructura del grupo de orden 2 (que es abeliano).

 Para hay seis posibles permutaciones:

1 Con n! indicamos el número llamado factorial de n que se calcula multiplicando n.(n-1).(n-2)..2.1 y

(14)

 la identidad y , ,

, y .

Veamos qué se obtiene al componerlas. Es obvio que es neutro para la composición.

Para componer con , por ejemplo, observemos que

- asigna al 1 el 3 y asigna al 3 el 2, por lo tanto asigna al 1 el 2; - asigna al 2 el 2 y asigna al 2 el 3, por lo tanto asigna al 2 el 3; - asigna al 3 el 1 y asigna al 1 el 1, por lo tanto asigna al 3 el 1.

Luego, .

Del mismo modo se analiza el resto de las composiciones. Finalmente resulta

que es la tabla de un grupo de orden 6 no abeliano (comprobarlo).

2.5.- Morfismos entre grupos:

Se ha afirmado que todos los grupos de dos elementos tienen idéntica estructura, independientemente de la naturaleza de los elementos y de la operación involucrada. Lo mismo ocurre con los grupos de tres elementos: las tablas sólo se diferencian en el nombre dado a los elementos, y existe una manera natural de relacionarlos: y además la relación se mantiene al operar.

Es posible formalizar este tipo de coincidencias definiendo aplicaciones entre grupos. Dados dos grupos se dirá que un función es un morfismo de grupos si y sólo si “respeta” las operaciones, en la siguiente forma:

(esto es: cuando se opera en , las correspondientes imágenes resultan operadas en ).

Este “respeto” por las operaciones determina que se verifiquen las siguientes correspondencias entre elementos neutros e inversos:

Si es un morfismo de grupos entonces y, cualquiera sea

.

(15)

, vale decir que actúa como neutro en . Pero el neutro es único, luego debe ser .

Por otra parte, cualquiera sea es . Aplicando el morfismo f

resulta , vale decir que actúa

como inverso de en . Pero el inverso es único, luego debe ser .

Se denomina núcleo del morfismo f al conjunto

vale decir al subconjunto del dominio formado por todos los elementos cuya imagen es el neutro del codominio.

Es evidente, por lo ya demostrado, que cualquiera sea el morfismo f y cualesquiera sean los grupos involucrados, .

Un morfismo que es además inyectivo recibe el nombre de monomorfismo. La siguiente propiedad permite identificar rápidamente los monomorfismos:

Si es un morfismo de grupos entonces es monomorfismo si y sólo si .

En efecto:

Dado que , para probar la necesidad, restaría comprobar que

D/

(definición de núcleo / hipótesis)

Recíprocamente, si , supongamos que y veamos que,

necesariamente, a=b: D/

( : operación binaria / por definición de neutro y propiedad de morfismo/ propiedad de morfismo / hipótesis / unicidad de inversos).

Un morfismo sobreyectivo se denomina epimorfismo y si es biyectivo, isomorfismo (concepto que ya hemos definido intuitivamente).

Finalmente se llama endomorfismo a un morfismo de un grupo en sí mismo ( y son el mismo grupo) y automorfismo a un endomorfismo biyectivo.

(16)

a) Sean los grupos (los reales con la suma convencional y los reales no nulos con el producto convencional).

La función exponencial f (x) = 2xes un morfismo de grupos, ya que

El único elemento de cuya imagen es 1 es el 0, por lo tanto se trata de un monomorfismo.

Cualquiera sea : basta con tomar , por lo

tanto se trata también de un epimorfismo.

Luego, dicha función exponencial es un isomorfismo entre .

b) Sean los grupos (los reales con el

producto convencional y los reales positivos con el producto convencional). La aplicación valor absoluto es un morfismo de grupos ya que

pero noes un monomorfismo pues por ejemplo

Es un epimorfismo pues todo real positivo es el valor absoluto de algún real: .

Dado un morfismo de grupos , su núcleo y su imagen son subconjuntos importantes de respectivamente (recordemos que, dada , es

) .

En el siguiente punto se definen los conceptos necesarios para apreciarlo. 2.6.- Subgrupos:

Observemos en la tabla del Ejemplo 9 a). Si consideramos el subconjunto de G constituido por Id y y restringimos la operación a estos dos elementos se tiene la tabla

Id Id Id

Id

Vale decir que con la operación constituye un grupo de orden 2 incluido en el grupo de orden 4. De igual modo si se considera el subconjunto de :

+

En general, dado un grupo y dado , si constituye en sí mismo un grupo se dice que es un subgrupo de G.

Observemos que, para que H sea subgrupo, es necesario que:

(17)

 (cada elemento de H tiene su inverso en H) Estas condiciones resultan también suficientes pues

la asociatividad de en H está garantizada pues se cumple para todos los elementos de G , en particular se cumple para los de H ; y si es conmutativa en G , esa propiedad será heredada por H.

Se puede enunciar aún en forma más concisa la condición necesaria y suficiente para que un subconjunto de un grupo resulte un subgrupo del mismo:

Dado un grupo un subconjunto resultará un subgrupo de G sii

 (el elemento neutro de la operación pertenece a H) y  cualesquiera sean , el elemento .

En efecto:

Que las condiciones son necesarias es evidente: si es un grupo deberá pertenecer a H el único elemento neutro e de la operación ; además, para cualquier elemento , su inverso deberá estar en H y, dado , el resultado de operar estará en H pues es una operación en H.

Veamos que las condiciones son suficientes.

Como se dijo antes, la asociatividad se cumple en H por cumplirse en G. El neutro está en H por la primera condición de la hipótesis.

Restaría ver que

cada elemento de H tiene su inverso en H y que

operando elementos de H el resultado se obtiene en H ( es operación en

H) .

Dado , como usamos la segunda condición de la hipótesis y entonces

Dados ahora , por lo probado recién, y entonces

por lo que, usando la segunda condición de la hipótesis, . Luego, la operación es cerrada en H.

El siguiente es un resultado teórico importante (que no demostraremos):

Teorema de Cayley:

(18)

Ejemplo 12:

a) Todo grupo de orden 2 es isomorfo a S2 (subgrupo trivial de sí mismo).

b) Todo grupo de orden 3 (por ejemplo Z3 ), es isomorfo al subgrupo

de S3.

Observemos que, cualquiera sea el grupo , éste tiene siempre al menos dos subgrupos (llamados triviales o impropios): uno es el mismo G, y el otro es el subconjunto .

Otros posibles subgrupos de G no triviales se dirán propios. Un resultado para destacar es el siguiente:

Si es un morfismo de grupos entonces es son

subgrupos de respectivamente.

En efecto:

Sabemos que .

Falta demostrar que :

Como f es morfismo resulta

.

En cuanto a la : pues .

Falta demostrar que :

Como f es morfismo resulta

(19)

1) Investigar si las siguientes operaciones son operaciones binarias sobre A; y en caso afirmativo examinar sus propiedades.

a) A = N ; a * b = 3.a.b

b) A = N ; a * b =

c) A = R ; a * b = a + b – a.b

d) A = R ; z 1 * z 2 = z 1 . z 2 ( z 1 : valor absoluto de z 1 )

e) A = {f : R  R / f es función}, f * g = f o g

¿Qué ocurre si se toma el conjunto de funciones biyectivas?

2) Estudiar si las siguientes son Estructuras de Grupo:

a) (M, ) con M = {A  R n x n / A es regular }

b) (M, +) con M definido en a}

c) (F, o) con F = {f 1 , f 2 , f 3 , f 4 }

f1(x) = x ; f2(x) = - x ; f3(x) = ; f4(x) = - (funciones definidas sobre R – {0}

d) (R2 , *) con (x, y) * (z, t) = (x. z, y. z + t)

e) (D6, +) con x + y = [a, b]

f) (D8, .) con x . y = (a, b)

3) Probar que un Grupo : G es Abeliano si y sólo si en G:

x : y :

(recordar que se define , para todo natural m, )

(20)

5) Demostrar que en todo Grupo, la ecuación:

a) x.a.x = b.b.a – 1 tiene solución.

b) a.x.b.c.x = a.b.x tiene solución única.

6) Probar que en todo Grupo el único elemento idempotente es el neutro (x es idempotente sii x 2 = x).

7) Probar que en un grupo finito de orden par, existe al menos un elemento distinto del neutro que es su propio inverso.

8) Confeccionar las tablas de suma y producto en Z7 y Z10:

9)

a) Calcular en: Z2, Z3 y Z4:

1. 2. 3.

b) Calcular:

1. 2.

10) Resolver en Z n

a) con n = 21

b) con n = 13

c) con n = 7

Observación: si bien se definen en Z n: las operaciones binarias: ,

para no recargar la notación se usan los símbolos comunes de suma y producto Tener en cuenta:

(lo probamos en clase)

Consecuencia: si n es primo entonces es grupo abeliano con (n – 1)elementos

¿vale el recíproco?

11) Analizar si las siguientes funciones son homomorfismos entre las estructuras algebraicas indicadas y en caso afirmativo hallar núcleo e imagen y analizar si son monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos:

a) f : (Z, *)  (Z, o) / f (x) = - x con a * b = a + b + a. b

 

0

n n

Z

(21)

b) f : (R, + )  (R2, +) / f (x) = (x, x2)

c) f : (R, )  (R2, *) / f (x) = (x, x2)

con (x1 , y1) * (x2 , y2) = (x1 x2 , y1 y2)

d) f: (P(A), U)  (P (A), ) / f (X) =

e) f : (R3 , +) (R 2 x 2 , +) / f ((x, y, z)) =

12) Demostrar que cualquier Grupo que contiene:

a) Exactamente dos elementos es isomorfo a (Z2 , )

b) Exactamente tres elementos es isomorfo a (Z3 , )

13) Probar que los grupos indicados son isomorfos.

El de las matrices: con la

multiplicación matricial y { }  Z8 con la multiplicación en Z8 (Observe que

también son isomorfos al grupo considerado en el ejercicio 2c)

14) Probar que f es un isomorfismo entre los grupos indicados.

con

15) Sean A1 = { ) y A2 = { ) subconjuntos de Z 10

a) Probar que A1 y A2 son subgrupos de (Z 10, )

b) Probar que: x: (x  Z 10 x = a1 + a2 con a1 A1 y a2 A2)

16) Estudiar si son Subgrupos de los grupos indicados:

a) Los enteros pares de (Z, +)

b) de (S 4 , o)

(22)

d) H = de (R2 x 2, +)

e) H = {(a, 0)} de (D, *) con

D = {(a, b) / a  R – {0} ; b  R} y (a 1 , a 2)*(b1 , b2) = (a 1 b1 , a 1 b2 + a2)

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