FOTOGRAFÍA
MATEMÁTICA
Como dice Ian Stewart en sus muy recomendables
Cartas a una joven matemática
, si cada cosa
que tiene matemáticas en su interior
llevara una etiqueta roja, todo el
mundo se vería colorado.
La vida está llena de Mates ¡que estén las Mates llenas de vida!
Cada mirada una foto,
cada foto un concepto,
cada concepto un mundo:
DISFRUTA
Con una MIRADA ENAMORADA
Hay muchas
FORMAS
MATEMÁTICAS
de mirar las
cosas.
Como la de esta
espiral doble, que
lleva geometría,
funciones,
VIENDO más allá de los tópicos
La idea de que las matemáticas
son cuadriculadas nace de una
realidad, la capacidad de las
maths para clasificar, organizar,
codificar y localizar realidades,
pero se convierte en caricatura
y tópico por ignorancia o temor.
Las Mats son imaginación,
creatividad, fantasía, libertad. Sin
eso no se habrían conseguido los
grandes logros de la historia.
Foto del montaje
Family
/ Origin
of the Beginning
del artista
RECONOCIENDO al ver
Círculos construidos sobre sus radios,
que se apoyan en el centro para llegar
hasta la circunferencia, en una
explosión de color en Tailandia.
Foto
Chiang Mai.
Nos ha
salido
redondo,
hagamos
un c
írculo,
las
matemáticas
unen y la
vida s
e
expresa e
n
términos
matemáticos.
CREANDO los conceptos
El
radio de una
circunferencia
es la mitad
del d
iámetro.
Por eso para
calcular la
longitud de la
circunferencia
en vez de
l = 2 π r
algunos
CONSTRUYENDO la realidad
¿Cómo se
forman las
rectas, los
puntos, las
figuras, los
planos?
¿Están ahí o
son una
construcción
La RELATIVIDAD de la mirada
Una circunferencia puede estar respecto a otra en posición exterior, tangente o interior como nos muestran (casi) estas llantas de rueda de carro de la hermosa foto de Pam Jones.
Aunque también podrían cortarse en dos puntos, ser
Una mirada GEOMETRIZANTE
Juega a BuscaMates, encontrando en esta foto un ángulo agudo, un cono, un
cuadrado, 2 curvas paralelas, 3 coronas circulares, 5 círculos tangentes dos a
dos, un gran rombo, un plano y su vector asociado, una curva polinómica y su
simétrica respecto al eje de abscisas,
La belleza de las
formas y la
fascinación de
la geometría,
tanto en los
poliedros
n
aturales,
como en
los ar
tesanales.
Equiláteros, isósceles y COJOS
Tiene tres lados
iguales y tres
ángulos iguales,
por eso es
equilátero
y
e
quiángulo.
Los lados
pueden medir
cualquier cosa,
pero los
ángulos siempre
60º.
Por eso todos
ellos son
SEMEJANTES
entre sí.
LOS NÚMEROS: construcciones mentales
Todo el mundo sabe lo que es
cinco.
Se
dice de muchas maneras, cinco, cinq,
fünf, חמש, pięć,
પાં
ચ
, y se expresa con
muchos símbolos 5, V, 101, ••••• ,
✫
,
pero ¿qué es cinco?
Para los matemáticos es
lo que tienen en
común todos los conjuntos con ese
número de elementos
.
Como los de cada
una de estas
fotografías y otras muchas real
izadas
por Sara
h Hyndman que
durante los 366
días de 2012 fotografió un logo
olímpico
al día. ¿Qu
é es cinco?
Diez CIFRAS, infinitos NÚMEROS
Representamos todos los números con
unas pocas cifras, exactamente 10
cuando es en base 10.
Con los ojos llenos de mates uno ve
un 5 donde alguien hizo un hermoso
diseño de azulejos al pie de una escalera.
Números para CONTAR y ORDENAR
Hasta el infinito y más allá.
Los n
úmeros naturales t
ienen un
comienzo, el 1 (el 0 no es ningún
principio), y cada uno tiene su
siguiente, como se definen con
Un SISTEMA decimal y posicional
Un 1 seguido de
un 3 dan 13, en
n
umeración
posicional (
en
b
ase 10).
¿Quién da
?
El universalmente
conocido signo más para la adición o suma. La idea de añadir es simple y a lo largo de la historia se han usado muchos símbolos o
abreviaturas. En el siglo XV se usaban en Europa la P de plus = más en latín (y la M de minus = menos para restar Los signos + y − actuales se cree que provienen del libro de Aritmética
Mercantil Behende und hüpscheenung auff allen Kauffmanschafft, obra de Johannes Widmann
Mats: en busca de VERDADES
No importa
cuantos pájaros
haya sobre el
hielo. El total de
imágenes será
siempre par.
De
mostración
vi
sual de una
propiedad
matemática.
Así cuando
queremos
escribir un
número par
genérico o
desconocido
ponemos 2n,
siendo n un
Postulados, axiomas y TEOREMAS
Teorema de Pick:
Es un curioso y sorprendente resultado con el que se
puede conocer el área de una región poligonal cuyos vértices están en una cuadrícula contando
simplemente el nº de vértices y el de puntos de la
cuadrícula que están dentro del polígono. Lo tiene todo para que mires, pruebes y veas las maravillas de las
PRINCIPIOS: algunos hereditarios
Los
números naturales
incluyen en su
definición el
principio de inducción,
algo
así como que si cada uno empuja al
siguiente, todos quedarán empujados.
Siempre que empiece alguien, claro. Esa
es la idea básica para
formalizar los
números naturales
y una de las
bases de
FRACCIONANDO la realidad
1
cuerno de 2, la mitad de loscuernos, 1/2, ¿tiene medio cuerno? No, tiene la mitad de los cuernos, en
decimales 0’5 del total de cuernos que debía. Son números
racionales,
de razón = a/b (de donde vienen
las proporciones),
fracciones y
decimales que sirven para conocer y
calcular con partes no
Particiones (¿se puede?) de la UNIDAD
Dos y media
(¡de lo mismo, claro!),
que es igual que
2½ ó 2’5 , en
europa, y 2.5 en
notación americana.
Matemáticas
refrescantes que
¿EXPRESIONES decimales o naturales?
Siguiendo con
números
racionales,
después de
una fracción
un decimal.
En la foto
de Jo
élisa ve
m
os a uno (o
una) con tres,
que no es lo
mismo que 1’3
o 1.3.
Las FORMAS de los números
Insiste
Ian
Stewart e
n
que
multiplicar
no
es sumar muchas
veces y que no
debe enseñarse
así. Porque un
producto puede
ser un cuadro
cartesiano y
suponer un
cambio de
Los NÚMEROS de las formas
La espiral áurea es una espiral
logarítmica cuyo
factor de crecimiento es φ, el número de oro. Está relacionada con la sucesión de Fibonacci y puede encontrarse exacta o aproximadamente en
En 1970 se decía en la Facultad de Ciencias de Zaragoza que el área de Matemáticas
contaba con una calculadora mecánica que hacía sumas, restas, productos y hasta divisiones,
a golpe de palanca.
En el 71 un alumno lucía en clase de Astronomía una
calculadora de bolsillo, casi de mochila, con luminosos
números, que hacía también las 4 reglas, lo que no le libraba de trabajar con las tablas de logaritmos y trigonométricas, como los demás.
Ya en 1979 tuve la suerte de adquirir mi primera Texas Instrument, con senos y logaritmos, con luces más pequeñas, batería y cargador. Un lujo que me acompañó muchos años. Nostalgias que aparecen al mirar la preciosa foto de Daniel Secches.
Una calculadora de madera que suma, resta, multiplica y
divide introduciendo los números con golpes y dando los resultados con sonidos. Una interesante experiencia para pasar un buen rato y refrescar la idea de estas operaciones, separando el cálculo de las tablas de
resultados. Volviendo luego a los resultados de memoria o con calculadoras y
ordenadores. Porque ¿cómo toctoreará esto 5 − 7? ¿O 5 ÷ 7 ó 3.457 * 45.793?
Es obra del diseñador
A hombros de GIGANTES
El estudio de las mates es una
función
creciente:
Cuanto más haces, más
aprendes. El equipo del
Apollo 11
empezó
el viaje a la luna con escaleras y tuvieron
que pasarse a las ecuaciones para poder
llegar. Y cada vez hay
más matemáticos
THALES, el padre de la geometría
El teorema de Thales de Mileto dice que trazando paralelas a los lados de un
triángulo se obtienen triángulos
semejantes, lo que dicho de otro modo es que las paralelas,
como los estantes de la imagen, producen segmentos
proporcionales. Es el 1º Teorema
(llamado de intersección en inglés),
porque Thales tiene otro muy bonito para dibujar triángulos
PITÁGORAS el padre de la aritmética
¿Como harian
Pitágoras y los
suyos los
triángulos
rectangulos y las
hipotenusas?
¿Serian ASI SUS
Herramientas?.
Foto de la serie
Forjado de
El hombre que MIDIÓ LA TIERRA
Para seleccionar los números primos en
la criba de
Eratóstenes se van tachando los números de 2 en 2, de 3 en 3, de 5 en 5…
con lo que se quitan todos los
compuestos, los múltiplos, y quedan
Hay una tradición de aprender a los pies del maestro, escuchando con respeto sus
enseñanzas.
Leonhard Euler fue el más prolífico matemático, tocó todas las ramas de las Mats, hizo
descubrimientos revolucionarios, nos dejó más de 80 tomos de escritos y tuvo gusto y acierto
inventando y simplificando notaciones. Aprendamos de él
En la foto de Ndeur un zapato de papel formado por poliedros.
¿Cumplirá la fórmula de Euler para los
poliedros convexos caras + vértices = aristas + 2 ?
¡SÓLO CINCO!, sólidos y platónicos
La cosa estaba ahí, pero costó siglos verlo: la cantidad de caras, vértices y aristas se
relacionan con una fórmula
sencilla. Vale para los poliedros
convexos, sin entrantes, no para los poliedros
cóncavos, como los estrellados y otros. Y no es necesario que sean regulares, como sí lo son los sólidos
Somos REALIZADORES =
Hacedores de Realidad
Muchas veces losmatemáticos van por
delante. Ideas que parecen un divertimento pasan a un estudio matemático, quizás muchos años después
alguien le encuentra un sentido físico y tras otro montón de tiempo un ingeniero le da utilidad práctica, hasta que se fabrica y llega a todo el mundo. Así ocurrió con el movimiento de vibración de una cuerda,que pudo ser puesto en ecuaciones,
que se usaron luego para inventar la radio. O con el Álgebra de ceros y unos de Boole, primera base teórica de los
¿AUTOLIMITARSE o ponerse límites?
Contemplando esta
magnífica
foto de la
luna
descansamos
un poco de los puros
conceptos y nos
adentramos en
la m
agia de las
matemáticas,
la
fascinación
por c
omprender el
cosmos q
ue llevó
a G
alileo,
Kepler, N
ewton y
tantos otros a
acercarse más y más
al conocimiento de
las leyes que rigen
Unir dos
conjuntos
es
añadir los
elementos de
ambos.
No es sumar
cantidades, sí
juntar
elementos.
¿INCOMPATIBLES o independientes?
Cuando
dos
conjuntos
n
o tienen nada
en común se
dicen d
isjuntos.
Así parece que
ocurre aquí
entre los
marrones y los
colorines en
esta
extraordinaria
foto del Son
y
World
El RIGOR está al final del proceso
También en
matemáticas cerrado
es lo que contiene
todo dentro y
la
clausura o cierre de
un conjunto
es
ampliarlo
mínimamente para que
todo quede en casa, es
decir, para que se
cumpla la propiedad
de que se trata.
Hay
clausura
topológica,
que
define
puntos frontera,
pero también hay
la algebraica, de
relaciones y de
El ARTE de la decoración se llama Mats
Nos gustan las regularidades, las formas repetidas, los patrones, lo que se
estudia en matemáticas como movimientos, transformaciones y teselaciones. Por la armonía de las formas, la lógica del desarrollo y la belleza del resultado son una práctica ideal para hacer con hijos y alumnos diseñando los patrones sobre un papel cuadriculado.
MODELIZANDO la realidad
Si una pelota flota sobre la cascada ¿cual es la probabilidad de que aparezca en cada una de las ramificaciones?
Algo más sencilla es la máquina con la que el polímata, antropólogo, geógrafo, explorador, inventor, metereólogo, estadístico y psicólogo británico Francis Galton estudió
probabilidades, dejando caer bolas por una tabla con clavos que iban separando
caminos.
Se utiliza para estudiar la distribución binomial y su relación con la distribución normal demostrando el teorema del límite central.
La VIDA también se diseña con Mats
De lo más grande a lo más pequeño la naturaleza está llena de mates, a veces aún difíciles de describir y
analizar, a veces en formas que requieren teorías
avanzadas, como
los espacios hiperbólicos o los fractales y a veces en formas básicas, como
los cristales o este grano de polen seleccionado entre las magníficas fotografías
microscópicas de Rob Kesseler. Su forma, un dodecaedro, 12 caras, pentágonos regulares.
Cuando más conocemos más grande es el asombro ante la belleza, regularidad y
Una sola CARA, un solo BORDE
La
cinta de
Moebius
causa
asombro y
fascinación porque
muestra
claramente una
figura en el
espacio que tiene
una sola cara.
Y no sólo en
geometría sino
también en el arte
como muestra la
foto de esta
escultura
El precio de la CONTINUIDAD
El concepto de
velocidad media es sencillo, basta dividir lo que andas entre lo que tardas, pero para afinar más y trabajar con velocidad
instantánea hubo que inventar las
derivadas y todo el cálculo
infinitesimal de Newton y Leibnitz,
con sus épsilons, infinitésimos, ímites y funciones
continuas, basado todo en los números reales,
Geometría Analítica: adiós a Euclides
La geometría analítica expresa rectas con ecuaciones, con lo que se desarrollan de otra manera ideas y teoremas, se facilitan los cálculos y se
obtienen precisos
resultados. No importa la dimensión, con
ecuaciones todo funciona de manera similar, con 2
variables en 2D o 3 variables en 3D . Es tanta la potencia del método que nos olvidamos de
JUGANDO con las Matemáticas
Suceso imposible es
el que no puede
ocurrir, como
encontrar un número
negativo entre
los
naturales,
meter una
canasta en un partido
de fútbol o sacar un 7
en un dado del 1 al 6.
No hay ninguna
probabilidad: P(
∅
)=0
Tam
bién es
Las Mats TAMBIÉN CUENTAN
Todas las ordenaciones
posibles de 2 esferas y 2 cubos en las 6 primeras filas y
2 de las 8 permutaciones
de 1 figura de un tipo y 3 del
otro.
Combinatoria, lógica y azar
en la obra 6 Boules, 16 Cubes sur 8 Rangées
del artista belga Paul
Ideas que CAMBIAN mundos
Sí/no, punto/raya, on/off, 0/1.
Con dos signos se puede hacer
un lenguaje. Con un interruptor
se puede gestionar si pasa la
corriente (on, 1, si) o no
pasa (off, 0, no).
Así que la electricidad puede
hablar, y escribir con un sist
ema
0/1 en base 2 y ac
túar en
circuitos electrónicos off/on.
Ideas simples, en búsqueda se
cómo son las
cosas, desarrolladas en
investigación básica que de dos
dígitos sacó todo un mundo
digital.
INTEGRANDO y diferenciando
La integral definida junta
Un paciente ACERCAMIENTO
Una impresionante recta vertical a la
que una curva se acerca, se acerca, se
acerca, sin llegar a tocarla nunca. Es
una
asíntota vertical.
Una atracción
La GESTACIÓN de nuevas ideas
Una matriz es un cuadro de datos
organizados en filas, 9 en este caso, y
columnas, 13 aquí. Permite la ordenación y manejo de datos por categorías, una idea simple y enormemente útil cuando las cosas no caben ya en tu cabeza. Su invención y uso fue
determinante en
economía, funciones y espacios
n-dimensionales y el álgebra de
En busca de la NORMALIDAD
La estatura de la población, la longitud de los granos de maíz, las notas de una clase y otras
muchas cosas más se distribuyen de una forma que se llama normal. Hay pocos en los extremos y muchos en el centro, como ilustra
la campana de Gauss. La realidad nunca es exacta y perfecta, pero cuanto más casos se
observen más se acerca a este modelo y se pueden predecir resultados con porcentajes y tablas de valores. Aunque lo normal es preferir
También llamado de Pascal, el triángulo de Tartaglia recoge de una forma asombrosa y
simple los números combinatorios, los coefcientes de las potencias de un binomio, la
serie de Fibonacci, números triángulares, poligonales y otras regularidades como su conexión con el fractal de Sierpinski que se
explican en Pascal’s triangle web.
Giro, dilatación…y AUTOSEMEJANZA
Diseñ
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LENGUAJES: verbal, gráfico y simbólico
Entre los gráficos estadísticos e infogr afícos más usados están el diagrama de barras, el de sectores llamado popularmente de quesitos,
el pictograma y el polígono de frecuencias, como el de la foto
donde Jim Van Raemdonck y el equipo de Phoebe De Corte crean infografías fisicamente a
tamaño real para un Informe Anual. Hay histogramas,
polígonos y
“Para todos los pueblos,
para todos los tiempos”
Después de muchossiglos en que cada uno iba por su lado, la
implantación del sistema métrico decimal en la
primera Conferencia General de Pesos y Medidas en París, 1889,
supuso un gran
impulso a la ciencia, la técnica y el comercio. A partir de tres
magnitudes básicas (longitud, masa y
tiempo) y sus unidades (metro, kilogramo,
segundo), se
racionalizaron las
medidas, se unificaron los prefijos, se facilitó los intercambios y todo el mundo fue
La RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Una mañana, exactamente al amanecer, un monje budista emprendió la ascensión de una elevada montaña. El sendero que utilizó, de no más de un metro de ancho, daba vueltas y revueltas en torno a la
montaña, hasta un resplandeciente cerro en la cima. El monje fue subiendo con
velocidad variable, deteniéndose muchas veces a descansar y a comer frutos secos que llevaba consigo. Alcanzó el templo poco antes de la puesta del sol. Tras varios días de ayuno y meditación, emprendió el viaje de regreso a lo largo del mismo
sendero, partiendo al amanecer, caminando igualmente con velocidad variable y
haciendo muchas pausas a lo largo del
Sin COMPLEJOS, aunque sean imaginarios
En una
situación
cada vez más
compleja no
está de más
Las FUNCIONES de las matemáticas
Cuando uno se
acerca a
dividir por
cero l
as cosas se
complican. Hay
que
buscar el
límite
en el cero.
La
gráfica
ayuda,
pero no es
definitiva. La curva
oscila infinitas
veces entre -1 y 1.
El
Dr. Conroys lo
ilustra muy bien,
usando el
Teorema
del Sandwich.
Foto
del puente de
¿Dónde está la in-FORMACIÓN?
Como las abejas, que emplean el
Cálculo Diferencial para determinar la
forma de la celdilla que permite su
construcción con un MÍNIMO de cera,
para formar un hogar hay que saber
cómo hacerlo. Y aquí el talento, como
FILOTAXIA: las leyes del crecimiento
Los girasoles están llenos de mates, la estructura de sus semillas sigue la sucesión de Fibonacci
0, 1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 … como puede apreciarse en la extraordinaria animación
Nature by numbers de
Cristobal Vila y muy bien
documentado en su web eterea
De lo DISCRETO a lo continuo
La
sucesión de Fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 8,
13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, … no
sólo está presente en los
girasoles o en
la pauta de reproducción de conejos,
sino que su encanto resuena en obras
humanas como
espirales
y
logotipos
o
Otros MUNDOS, otras DIMENSIONES
Una
escalera
imposible, que
recuerda l
a
obra d
e M
aurits
Cornelis Escher e
l
artista
holandés c
uyos
mundos h
an
in
spirado tantas
La MÚSICA DE LAS ESFERAS
El
astrolabio
esférico o esfera
armilar,
del
latín
armilla
=
círculo
,
estaba formado por
el ecuador,
meridianos y
paralelos y servía
para observar el
movimiento de las
estrellas en relación
Vivimos en un universo VIBRATORIO
El cielo está lleno
de mates y hoy las
nubes toman
forma de dos
curvas, las
gráficas
del
seno
y
del coseno,
que son
iguales,
aunque
CURVAS: agua, luz y armonía
En el espacio de
3 dimensiones se
estudian y dibujan
hermosas
cu
rvas y
superficies en
coordenadas
car
tesianas,
IRRACIONALES, pero necesarios
Una selección de números
irracionales situados en un reloj que, naturalmente no marca las horas ‘exactas’ sino otras muy especiales, con infinitos
decimales.
Por ejemplo el nº e está un poco antes del 3 y el nº π un poco después. Por cierto que no se llaman números
irracionales porque no sean
razonables, se razonan muy bien, sino porque no se pueden poner como una razón (n/m)
Lospitagóricos les llamaron incomensurables, porque rompían sus ideas sobre la medida de los números, pero desde hace siglos son números bien definidos y controlados, aunque siguen siendo
REDES: una estructura enriquecedora
La distribución de alimentos, el tráfico, Internet usan la teoría matemática de redes.
¿Se ha desarrollado todo esto porque ya habían esas mates o son las mates las que avanzan viendo lo que hace falta?
Las dos cosas. La realidad y la
abstracción matemática se retroalimentan, a veces empuja una, a veces la otra. Porque también la naturaleza se organiza en redes, como en esta
La RELATIVIDAD de la geometría
El matemático ruso Nikolái Ivánovich Lobacheski
desarrolló hacia 1830
una geometría hyperbólica en la que el quinto postulado de Euclides no es cierto,
haciendo que por un punto exterior a una recta pasaran al menos 2 paralelas. Algo que parecería sólo un juego de elucubraciones matemáticas, al romper con la geometría intuitiva del espacio
tridimensional en que nos movemos, tuvo aplicaciones inesperadas, como tantas veces ocurre con las
Un problema para usar bolíGRAFOS
Leonard Euler resolvió el problema de si se podía recorrer los 7 puentes de la ciudad rusa de Kaliningrado sin pasar dos veces por el mismo puente. Lo
consiguió abstrayendo la situación a regiones y conexiones, puntos y líneas, iniciando con ello la teoría de grafos, que tiene grandes
aplicaciones en informática, mapas conceptuales, biología, ciencias de la
computación y
telecomunicaciones. Foto de la ciudad suiza de Berna, donde
