complejos 2

Cap´ıtulo

3

N ´umeros complejos. Exponencial compleja

El camino más corto entre dos verdades del análisis real pasa con frecuencia por el análisis complejo. Jaques Hadamard

3.1.

Un poco de historia

Los números que hoy llamamos “complejos” fueron durante muchos años motivo de po-lémicas y controversias entre la comunidad científica. Poco a poco, por la creciente evidencia de su utilidad, acabaron por ser comúnmente aceptados, aunque no fueron bien comprendidos hasta épocas recientes. Nada hay de extraño en ello si pensamos que los números negativos no fueron plenamente aceptados hasta finales del siglo XVII.

Los números complejos hacen sus primeras tímidas apariciones en los trabajos de Cardano (1501-1576) y Bombelli (1526-1672) relacionados con el cálculo de las raíces de la cúbica o ecuación de tercer grado. Fue René Descartes (1596-1650) quien afirmó que “ciertas ecuacio-nes algebraicas sólo tienen solución en nuestra imaginación” y acuñó el calificativo “imagi-narias” para referirse a ellas. Desde el siglo XVI hasta finales del siglo XVIII los números complejos o imaginarios son usados con recelo, con desconfianza. Con frecuencia, cuando la solución de un problema resulta ser un número complejo se interpreta esto como que el pro-blema no tiene solución. Para Leibniz “el número imaginario es un recurso sutil y maravilloso del espíritu divino, casi un anfibio entre el ser y el no ser.”

Las razones de todo esto son claras. Así como los números reales responden al problema bien cotidiano de la medida de magnitudes, no ocurre nada similar con los números complejos. Mientras los matemáticos necesitaron interpretar en términos físicos sus objetos de estudio, no se avanzó mucho en la comprensión de los números complejos.

Operaciones básicas con números complejos 65

preocuparon de la “naturaleza” de los mismos; no se preguntaron “¿qué es un número com-plejo?”, sino que se dijeron “a ver, para qué sirven, qué puede hacerse con ellos”. Es Gauss quien definitivamente concede a los números complejos un lugar privilegiado dentro de las ma-temáticas al probar en 1799 el resultado conocido como Teorema Fundamental del álgebra que afirma que toda ecuación polinómica de gradoncon coeficientes complejos tiene, si cada raíz se cuenta tantas veces como su orden,nraíces que también son números complejos. Merece la pena que entiendas bien lo que afirma este resultado. Fíjate en cada una de las ecuaciones:

x_C3_D0; 2x_C3_D0; x2 2_D0; x2_C2x_C2_D0

Cuyas soluciones

x_D 3; x_D 3=2; x_{D ˙}p2; x_D 1_˙i

tienen sentido cuandoxes, respectivamente, un número entero, racional, real o complejo. Po-dría ocurrir que este proceso de ampliación del campo numérico continuara. ¿Qué ocurrirá si ahora consideramos ecuaciones polinómicas con coeficientes complejos? Por ejemplo:

x5_C.1 i/x4_C.1=5 ip2/x2 8x_C3 i=p3_D0

¿Cómo serán sus soluciones? ¿Aparecerán también nuevos tipos de números? El Teorema Fun-damental del álgebra nos dice que esa ecuación tiene soluciones que también son números complejos y, por tanto, que no aparecerán ya por este procedimiento nuevos tipos de números. El término, hoy usado de “números complejos” se debe a Gauss, quien también hizo popu-lar la letra “i” que Euler (1707-1783) había usado esporádicamente. En 1806 Argand interpreta los números complejos como vectores en el plano. La fecha de 1825 es considerada como el nacimiento de la teoría de funciones de variable compleja, pues se publica en dicho año la Memoria sobre la Integración Compleja que Cauchy había escrito ya en 1814.

Los números complejos son una herramienta básica de cálculo. Son especialmente útiles para trabajar con funciones sinusoidales, y por eso se hace uso constante de ellos siempre que representamos una señal por medio de dichas funciones, y no hay que olvidar que ése es el propósito básico de los “métodos de Fourier”. La Transformada de Fourier Discreta, una herramienta fundamental en el tratamiento digital de señales, toma valores complejos. Las transformadas de Fourier y de Laplace son funciones complejas. La transformada z, al igual que otras transformadas de uso frecuente, se define como una serie de números complejos. La función exponencial compleja desempeña un papel fundamental en el estudio de los siste-mas LTI (sistesiste-mas lineales invariantes en el tiempo) y también en la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales.

3.2.

Operaciones básicas con números complejos

3.1 Definición. Consideremos en el conjuntoR2_{las operaciones de adición y producto} defini-das por

Comentarios a la definición de número complejo 66

Es muy fácil comprobar las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva de las operacio-nes así definidas. El elemento neutro de la suma es.0;0/y .1;0/ es la unidad del producto. Además,. x; y/es el opuesto de.x;y/, y todo.x;y/¤.0;0/tiene inverso

.x;y/ _x

x2_Cy2;

y x2_Cy2

D.1;0/

Todas estas propiedades se resumen diciendo que .R2_{;C;/ (léase “el conjunto} R2 _{con las} operaciones de adición y producto”) es un cuerpo. Dicho cuerpo se representa simbólicamente porC_{y sus elementos se llaman números complejos.}

3.2.1.

Comentarios a la definición de número complejo

No debes olvidar que cada concepto matemático tiene sentido dentro de una determinada estructura. Con frecuencia, cuando sobre un mismo conjunto hay definidas varias estructuras, la terminología que se usa indica la estructura a la que nos referimos. Eso pasa enR2_donde con-viven varias estructuras cada una con su terminología propia. Usualmente enR2_{se consideran} las siguientes estructuras.

Ninguna. Es decir, solamente consideramos queR2_{es un conjunto. En tal caso llamamos} a sus elementos pares ordenados de números reales.

La estructura de espacio vectorial. Esto es, vemosR2_{como un espacio vectorial real. En} tal caso a sus elementos los llamamos vectores.

La estructura de espacio euclídeo que se obtiene añadiendo a la estructura de espacio vectorial la distancia euclídea definida por el producto escalar usual. Esto es, vemos R2 _{como el plano euclídeo de la geometría elemental. En este caso a sus elementos} los llamamos puntos. La misma terminología se emplea cuando se considera enR2 _la estructura de espacio afín o de espacio topológico.

La estructura de cuerpo definida por las operaciones (3.1) y (3.2). En tal caso, a los elementos deR2_{se les llama números complejos.}

Ocurre que estos términos se usan a veces en un mismo párrafo lo que puede resultar confuso. La regla que debes tener siempre presente es que todo concepto matemático tiene sentido propio dentro de una determinada estructura matemática. Por ello, a un elemento deR2 _{se le llama} número complejo cuando se va a usar el producto definido en (3.2) que es lo que en realidad distingue a los números complejos de los vectores deR2_.

3.2.2.

Forma cartesiana de un número complejo

El símbolo usual.x;y/para representar pares ordenados no es conveniente para represen-tar el número complejo.x;y/. Para convencerte calcula, usando la definición (3.2),.1; 1/4. Representaremos los números complejos con un simbolismo más apropiado en el que va a intervenir el producto complejo. Para ello, observa que:

Comentarios a la definición usual i_Dp 1 67

Esto indica que los números complejos de la forma .x;0/ se comportan respecto a la suma y la multiplicación de números complejos exactamente de la misma forma que lo hacen los números reales respecto a la suma y multiplicación propias. En términos más precisos,R _f0g es un subcuerpo deC_{isomorfo a}R_{. Por esta razón, en las operaciones con números complejos} podemos sustituir los complejos del tipo .x;0/por el número real x. Es decir, hacemos la identificación.x;0/_Dx.

Fíjate que con dicha identificación el producto x.u; v/ tiene dos posibles interpretaciones: producto del escalar real x por el vector .u; v/ (estructura vectorial de R2_{) y producto del} complejo .x;0/ por el complejo .u; v/. Pero ambos coinciden y son iguales a.xu;xv/.

El número complejo.0;1/lo representaremos pori y lo llamaremos unidad imaginaria. Con ello tenemos que

i2_D.0;1/.0;1/_D. 1;0/_D 1

Ahora podemos escribir

.x;y/_D.x;0/_C.0;y/_D.x;0/_C.0;1/.y;0/_Dx_Ciy

Se dice quex _Ciy es la expresión cartesiana (también se le llama expresión binómica) del número complejo.x;y/. El producto ahora es muy fácil de recordar pues

.x_Ciy/.u_Civ/_Dxu_Ci2yv_Ci.xv_Cyu/_Dxu yv_Ci.xv_Cyu/

3.2 Definición. Se dice que x es la parte real e y es la parte imaginaria del número complejo x_Ciy.

Naturalmente, dos números complejos son iguales cuando tienen igual parte real e igual parte imaginaria.

Notación. Es costumbre representar los números complejos con las letras zy wy reservar las letras x, y,u,vpara representar números reales. Una expresión de la formaz _Dx _Ciy se interpreta como quezes el número complejo cuya parte real esxy cuya parte imaginaria esy. Se escribe Re.z/e Im.z/para representar las partes real e imaginaria dez.

3.2.3.

Comentarios a la definición usual

i

_D

p

1

Acabamos de ver quei2D 1pero eso no nos permite escribir así, sin más ni más, que i_Dp 1. Fíjate lo que ocurre si ponemosi_Dp 1y manejamos ese símbolo con las reglas a las que estamos acostumbrados:

1_Di2_Di i_Dp 1p 1_Dp. 1/. 1/_Dp1_D1

Luego1D 1. Por tanto, las matemáticas son contradictorias y aquí hemos acabado.

No hay un orden enC_{compatible con la estructura algebraica 68}

Antes de escribir p 1hay que definir qué significapz paraz₂C_{. Cuando lo hagamos} veremos ¡sorpresa! que la igualdadpzpw_Dpzw, válida cuandoz; w₂RC

, no es cierta en general cuandoz; w2C_.

Todavía más disparatado es definiri_Dp 1sin ni siquiera haber definido antes los números complejos. Sin embargo, y aunque parezca mentira, en muchos textos se define (porque sí, sin más explicaciones) i_Dp 1y a continuación se dice que los números de la formaa_Ci bson los números complejos. No es de extrañar que luego resulte que1D 1. Todavía pueden hacerse peor las cosas. Recientemente he encontrado en un texto de una institución de educación a distancia escrito por varios profesores la siguiente asombrosa definición: i_{D C}p 1.

3.2.4.

No hay un orden en

C

_{compatible con la estructura algebraica}

Al ampliarR_aC_{ganamos mucho pero también perdemos algo. Te recuerdo que} R_tiene dos estructuras: la algebraica y la de orden. Ambas estructuras están armoniosamente relacio-nadas. Pues bien, enC_{no hay nada parecido. Podemos definir relaciones de orden en}C_{, pero} no hay ninguna de ellas que sea compatible con la estructura algebraica. Es decir, es imposible definir un concepto de número complejo positivo de forma que la suma y el producto de com-plejos positivos sea positivo. Por ello no se define enC_{ningún orden. Así que ya sabes: ¡nunca} escribas desigualdades entre números complejos! Naturalmente, puedes escribir desigualdades entre las partes reales o imaginarias de números complejos, porque tanto la parte real como la parte imaginaria de un número complejo son números reales.

3.3.

Representación gráfica. Complejo conjugado y módulo

Es usual representar el número complejozDxCiycomo el vector del plano.x;y/y, en ese sentido, se habla del plano complejo. El eje horizontal recibe el nombre de eje real, y el eje vertical recibe el nombre de eje imaginario.

X Y

x

y z_Dx_Ciy

zDx iy

jz_j

Figura 3.1. Representación de un número complejo

Siz_Dx_Ciy es un número complejo (conx ey reales), entonces el conjugado dez se define como:

Representación gráfica. Complejo conjugado y módulo 69

y el módulo o valor absoluto dez, se define como: jzj D

q

x2_Cy2

Observa quepx2_Cy2_{está definido sin ambigüedad; es la raíz cuadrada del número real no}

negativox2Cy2.

Geométricamente,zes la reflexión dezrespecto al eje real, mientras que_jz_jes la distancia euclídea del punto .x;y/a.0;0/o, también, la longitud o norma euclídea del vector.x;y/ (ver figura3.1). La distancia entre dos números complejoszywse define como_jz wjy es la distancia euclídea entre los respectivos puntos del plano.

La representación gráfica de la suma es la usual para la suma de vectores. Dos números complejosz_Dx_Ciy yw_Du_Civdeterminan un paralelogramo cuya diagonal (ver figura

3.2) esz_Cw(la otra diagonal esz w).

X Y

w

u

z_Cw

x x_Cu

z

Figura 3.2. Suma de números complejos

Las siguientes propiedades de la conjugación compleja son de comprobación muy sencilla.

3.3 Proposición. Cualesquiera sean los números complejoszywse verifica que:

z_Dz; z_Cw_Dz_Cw; zw_Dzw: (3.3) El siguiente resultado establece las principales propiedades del módulo de un número com-plejo. Como verás son muy parecidas a las propiedades del valor absoluto y su demostración es prácticamente la misma.

3.4 Teorema. Cualesquiera sean los números complejosz; w₂C_{se verifica que:} a)

m_Kax_fjRez_j;_jImz_jg6_jz_j6_jRez_{j C j}Imz_j (3.4) En particular, RezD jzjsi, y sólo si,z2RC

Forma polar y argumentos de un número complejo 70

b) El módulo de un producto es igual al producto de los módulos.

jzw_{j D j}z_jjw_j (3.5)

c) El módulo de una suma es menor o igual que la suma de los módulos.

jz_Cw_j6_jz_{j C j}w_j (desigualdad triangular) (3.6) La desigualdad triangular es una igualdad si, y solamente si, alguno de los números es cero o uno de ellos es un múltiplo positivo del otro; equivalentemente, están en una misma semirrecta a partir del origen.

Demostración. La demostración de a) es inmediata. Para demostrar b) y c) usaremos la

igual-dad _jzj2Dzz que se deduce directamente de la definición de módulo de un número complejo, y la estrategia (1.8) que ya usamos para probar las propiedades análogas del valor absoluto.

b) Basta observar que_jzw_jy_jz_jjw_json números positivos cuyos cuadrados coinciden, pues jzw_j2_Dzwzw_Dzwzw_Dzzww_{D j}z_j2_jw_j2_D._jz_jjw_j/2

c) Es suficiente probar que_jzCwj26.jzj C jwj/2. En efecto:

jzCwj2D.zCw/.zCw/D.zCw/.zCw/DzzCwwCzwCzwD D jz_j2_{C j}w_j2_C2Re.zw/6_jz_j2_{C j}w_j2_C2_jRe.zw/_j6

6_jz_j2_{C j}w_j2_C2_jzw_{j D j}z_j2_{C j}w_j2_C2_jz_jjw_{j D j}z_j2_{C j}w_j2_C2_jz_jjw_jD

D._jz_{j C j}w_j/2

Evidentemente, siz_D0o siw_D0, se verifica la igualdad. Supongamos quez_¤0yw_¤0. De lo anterior deducimos que se verifica la igualdad_jzCwj D jzj C jwjsi, y sólo si, RezwD jzwj, esto es, si zw 2 RC

, o lo que es lo mismozw D donde 2RC

. Esta igualdad, puede escribirse de forma equivalente, multiplicando porw, comoz_jw_j2_Dw; y dividiendo ahora por_jw_j2, obtenemosz_Dwpara algún₂ RC

, lo que quiere decir quezywestán en una misma semirrecta a partir del origen. ₂

Observación. Para expresar un cociente de complejos en forma cartesiana se multiplica

nume-rador y denominador por el conjugado del denominador: uCiv

x_Ciy D

.uCiv/.x iy/

x2Cy2 D

uxCvy x2Cy2 Ci

vx uy

x2Cy2:

3.3.1.

Forma polar y argumentos de un número complejo

El uso de coordenadas polares en el plano facilita mucho los cálculos con productos de números complejos. Para cualquier número complejozDxCiy¤0podemos escribir

z_{D j}z_{j x}

jz_jCi y

Forma polar y argumentos de un número complejo 71

Como _x

jz_j; y

jz_j

es un punto de la circunferencia unidad, puede escribirse en la forma

x

jz_j; y

jz_j

D.cos#;sen#/ para algún número#₂R_{. Resulta así que}

zD jzj.cos# Cisen#/

Esta forma de expresar un número complejo recibe el nombre de forma polar, cuya interpre-tación gráfica vemos en la figura (3.3).

X Y

# jzj

Figura 3.3. Forma polar de un número complejo

Dadoz2C_{,z¤0, hay infinitos númerost2}R_{que verifican la igualdadzD jzj.cost;sent/} cualquiera de ellos recibe el nombre de argumento dez. El conjunto de todos los argumentos de un número complejo no nulo se representa por Arg.z/.

Arg.z/_{D f}t₂R_{WzD jzj.costCisent/g} Observa que

s; t2Arg.z/” (

cos.t/_Dcos.s/ sin.t/Dsin.s/ )

”sDtC2k para algún k2Z

Por tanto, conocido un argumentot02Arg.z/cualquier otro es de la format0C2kpara algún

k₂Z_{, es decir, Arg.z/Dt0C2}Z_.

Observaciones a la definición de argumento principal 72

wDxCiv

zDxCiy

2

2

arg.z/Darc tg.y=x/

arg.z/Darc tg.y=x/C

arg.z/Darc tg.y=x/

Figura 3.4. Argumento principal

viene dado por:

arg.z/_D 8 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ <

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ :

arc tg.y=x/ siy <0,x<0

=2 siy<0,xD0 arc tg.y=x/ six >0

=2 siy>0,x_D0

arc tg.y=x/C siy>₀,x<0

Igualdad de dos números complejos en forma polar

Para que dos números complejos escritos en forma polar z D jzj.cos# C isen#/ y w_{D j}w_j.cos' _Cisen'/, sean iguales es condición necesaria y suficiente que los módulos sean iguales _jz_{j D j}w_j, y los argumentos sean iguales, Arg.z/_D Arg.w/, y ésta condición equivale a que# 'sea un múltiplo entero de2.

jz_j.cos# _Cisen#/_{D j}w_j.cos'_Cisen'/_”

jzj D jwj

# ' _D 2m .m₂Z_/

3.3.2.

Observaciones a la definición de argumento principal

Puede parecer un poco extraña la forma de elegir el argumento principal de un número complejo. La elección que hemos hecho supone que medimos ángulos en el semiplano superior de0ay en el semiplano inferior de0a .

Observaciones a la definición de argumento principal 73

Peor todavía dirás. Hasta cierto punto. Primero, la discontinuidad es inevitable. Si quere-mos elegir argumentos en un intervalo de longitud2, digamosŒ˛; ˛_C2Œ, entonces dichos argumentos saltan de˛a˛C2 cuando atravesamos la semirrecta.x;y/D.cos˛;sen˛/, . > 0/. En particular, si tomamos argumentos en el intervalo Œ0;2Œ (cosa que, a primera vista, parece lo razonable) nos encontramos con que entonces se produce una discontinuidad de dichos argumentos en el eje real positivo. Bien, sucede que la extensión a C_{de algunas} funciones definidas en RC

(el logaritmo, las raíces) hace intervenir el argumento principal. Naturalmente, queremos que dichas extensiones sigan siendo continuas enRC

y ello justifica que tengamos que tomar argumentos principales de la forma en que lo hemos hecho: porque preferimos introducir una discontinuidad enR _{a perder la continuidad en}RC

.

3.3.2.1. Fórmula de De Moivre

Veamos cómo la forma polar permite hacer fácilmente productos de números complejos.

3.5 Proposición. Seanz,wconplejos no nulos,# ₂Arg.z/y'₂Arg.w/. Entonces se verifica que#_C' ₂Arg.zw/.

Demostración. Tenemos que

z_{D j}z_j.cos# _Cisen#/ wD jwj.cos'Cisen'/ Usando ahora las igualdades (2.4) y (2.5), obtenemos:

zwD jzjjwj.cos#Cisen#/.cos'Cisen'/D

D jzwjŒ.cos#cos' sen#sen'/Ci.sen#cos'Ccos#sen'/D D jzwj.cos.# C'/Cisen.#C'//

Lo que nos dice que# _C' ₂Arg.zw/. ₂

Hemos probado que para multiplicar dos números complejos se multiplican sus módulos y se suman sus argumentos.

Así pues, el producto de dos números complejos es geométricamente un giro (pues se suman los argumentos de los números que estamos multiplicando) seguido de una homotecia (el producto de los módulos de ambos números).

Observa que, como consecuencia de la proposición (3.5), tenemos que argz _Cargw ₂ Arg.zw/; es decir, argz _Cargwes un argumento dezw, pero lo que no podemos afirmar es que argzCargwsea igual al argumento principal dezw. Naturalmente, esto ocurrirá cuando

<argz_Cargw6.

argz_Cargw_Darg.zw/_” <argz_Cargw6 (3.7)

Raíces de un número complejo 74

3.6 Proposición (Fórmula de De Moivre). Sizes un complejo no nulo, # es un argumento dezynes un número entero, se verifica que n#₂Arg.zn/, es decir:

znD jzj.cos#Ci sen#/n

D jzjn.cosn#Cisenn#/; #2Arg.z/; n2Z _(3.8)

3.3.3.

Raíces de un número complejo

Se trata ahora de resolver la ecuación wn_Dzdondenes un número natural,n>2, yz_¤0 es un número complejo conocido. Escribamoswen forma polar:

w_{D j}w_j.cos'_Cisen'/

Ahora, usando la fórmula de De Moivre, podemos escribir la ecuación wnDz en la forma equivalente:

wn_{D j}w_jn.cosn'_Cisenn'/_{D j}z_j.cos# _Cisen#/

Donde # _Dargz. Esta igualdad se da cuando _jw_jn _{D j}z_jy n' _D# _C 2k donde k ₂ Z_. Deducimos que _jw_{j D} pn

jz_j(ojo: se trata de la raízn–ésima de un número positivo, cosa ya conocida). Ahora bien, para cualquier número'kde la forma'kD.#C2k/=ntenemos un

número complejo

wkD

n

p

jz_j.cos'kCisen'k/

tal que.wk/nDz. Como una ecuación polinómica de gradonno puede tener más den

solu-ciones, se sigue que distintos valores dekdeben dar lugar al mismo númerowk. Veamos:

wkDwq,'k 'qD2m ,k qDnm

Es decir, sik yqdan el mismo resto al dividirlos pornentonces wk Dwq. Deducimos que

parak_D0;1;2; : : : ;n 1obtenemoswkdistintos y cualquier otrowqes igual a uno de ellos.

Por tanto haynraíces n–ésimas distintas dez.

Hemos obtenido que lasnraíces n–ésimas dezvienen dadas por

zkD jzj1=n

cosargzC2k

n Cisen

argz_C2k

n

k_D0;1;2; : : : ;n 1 (3.9)

Observa que definiendou_Dcos.2=n/_Cisen.2=n/, los númerosu0D1; u; u2; : : : ;un 1

son las raíces n–ésimas de la unidad. Podemos escribir las raíces n–ésimas dez en la forma zk Dz0uk. Como multiplicar porues un giro de amplitud2=n, deducimos que lasn

raí-ces de z se obtienen girando la raíz n–ésima principal, z0, con giros sucesivos de amplitud

2=n. Es decir, si representamos todas las raíces n–ésimas dezobtenemosnpuntos sobre una circunferencia de centro.0;0/y radio pn

jz_jque forman un polígono regular denlados. De entre todas las raíces n–ésimas de z vamos a designar con el símbolo pn

z a la raíz

n-ésima principal, que está definida por

n p

z_{D j}z_j1=ncosargz

n Cisen argz

n

Raíces de un número complejo 75

Figura 3.5. Raíces novenas de la unidad

Observa que arg pn

z

Darg_nz y, en consecuencia:

n <arg

n p

z

6

n (3.11)

Además, la raíz n-ésima principal dezes la única de las raíces n-ésimas dezcuyo argumento principal está en el intervalo =n; =n. Dicho de otra forma, la raíz n-ésima principal de un número complejo está situada en una región angular, simétrica con respecto al eje real y de amplitud2=n, que incluye a su borde superior pero no incluye a su borde inferior.

3.3.3.1. Notación de las raíces complejas

Observa que en el caso particular de quez sea un número real positivo, entonces la raíz principal de z (considerado como número complejo) coincide con la raíz de z (considerado como número real positivo). Es decir, acabamos de extender la función raíz n-ésima deRC

a todoC_{conservando el significado que esa función tenía en}RC

. Observa, sin embargo, que si x 2R _{ynes impar, la raíz real de ordenndexno coincide con el valor principal de la raíz} de ordenndexconsiderado como número complejo. Este pequeño inconveniente no es tal si tenemos claro dónde estamos trabajando si enR_{o en}C_{; esto es, si cuandones impar estamos} considerando funciones raíces n-ésimas definidas enR_{, o si estamos considerando dichas} fun-ciones definidas enC_{. Observa que paranpar no hay confusión alguna, solamente cuandones} impar yxes un número real negativo hay que tener cuidado. Por ejemplo, p3 1_D 1cuando consideramos a la raíz cúbica como una función real, y p3 1_Dcos.=3/_Cisen.=3/cuando consideramos a la raíz cúbica como función compleja. Programas de cálculo simbólico, como Mathematica, siguen precisamente este convenio y usan la notación pn

zpara el valor principal de la raíz n-ésima del número complejoz.

Mucho peor es lo que ocurre cuando se usan notaciones disparatadas como suele hacerse en muchos libros de texto. Como es posible que te las encuentres, conviene que sepas a qué ate-nerte. El hecho es que en muchos textos se representa con el símbolo pn_z

Raíces de un número complejo 76

entender que 27p1ya no vale1sino que es un conjunto formado por27números complejos. Y las reglas que conocemos para las raíces reales ya ni siquiera pueden formularse. ¿Qué sentido tiene ahora escribir que p52p51Dp5

2? ¿Es una igualdad entre conjuntos? ¿Debemos multipli-car cada elemento del conjunto p52por cada elemento del conjunto p51y comprobar que de esa forma obtenemos todos los elementos de p52? ¿Cómo hay que sumar ahora p3 2_C p73? Porque p32debe entenderse como un conjunto de 3 elementos y p73como un conjunto de 7 elementos.

Estos ejemplos te habrán convencido de lo disparatado de esta forma de proceder. Pero hay más disparates. Alguien puede argumentar que todo esto se arregla interpretando que cuandoz es real, pn

z, representa siempre la raíz n-ésima real del númeroz. Bueno, pero esto no arregla el disparate de quepn

zno es una función, porque todavía persiste el hecho de que parazcomplejo no real, pn

zno es un número sino un conjunto dennúmeros complejos. Lo peor de todo esto es que los autores que cometen estos disparates ni siquiera son conscientes de ellos, y usan el símbolo pn

zen sucesiones, límites o integrales como si de una función usual se tratara. Habría que decirles ¡oiga! si para usted pn

zsonnnúmeros, ¿qué significado tiene una expresión como l_Kımn!1 n pnz 1/? Pues eso, ni se dan cuenta.

Finalmente, observa que en la definición (3.10) de pn

z interviene el argumento principal, arg.z/. Por la definición dada de argumento principal, tenemos que < argz6y, como ya hemos visto anteriormente, se produce una discontinuidad del argumento principal en el eje real negativo y, en consecuencia, la funciónz _7! pn _z

es discontinua en el eje real negativo. Te informo que no hay que preocuparse mucho por esta discontinuidad, de hecho es muy útil y, entre otras cosas, sirve para contar ceros de funciones. Lo que quiero es llamarte la atención sobre lo que ocurre cuando se elige el argumento principal en en el intervaloŒ0;2Œ. Cuando se hace así, la función z 7! pn

zresulta ser discontinua en el eje real positivo. Mala cosa; con esa elección para el argumento principal, una función que era continua enRC_{, al extenderla a} C_{ya no es continua en}RC

.

3.3.3.2. La igualdadpn

zpn wD pn

zw

En general, no es cierto que, dados dos números complejos z y w, el producto de las raíces n-ésimas principales de z y de w sea igual a la raíz n-ésima principal de zw. Lo que, evidentemente, sí es cierto es que el producto de dos raíces n-ésimas cualesquiera de z y de w es una raíz n-ésima de zw. Por tanto, pn _zpn_w

, es una raíz n-ésima de zw pero no tiene por qué ser la principal. Vamos a ver qué condiciones deben cumplirse para que

n p

zpn

w sea la raíz n-ésima principal de zw. Para ello, bastará con exigir que el argumento principal de pn

zpn

w esté en el intervalo  =n; =n. Como suponemos que nes un nú-mero natural n>₂, tenemos que < argz

n C

argw

n 6 y, por (3.7), deducimos que arg pn

zpn w

D argz

n C

argw

n D

argzCargw

n . Tenemos que: arg pn zpn

w

DargzCargw

n 2 i n; n i

” <argz_Cargw6 Hemos probado que

n p

zpn w_D pn

Ejercicios propuestos 77

Por ejemplo, si los númerosz yw están en el semiplano de la derecha, es decir, Rez > 0, Rew >0, entonces =2< arg.z/ < =2y =2 <arg.w/ < =2; por tanto en este caso arg.z/Carg.w/Darg.zw/por lo que pn

zpn wD pn

zw. En particular, esto es cierto cuando z; w ₂RC_{. Por tanto, no perdemos ninguna de las propiedades de las raíces reales positivas} al extender las raíces aC_.

En el caso en que n_D2,z _Dw_D 1, tenemos que arg. 1/_Carg. 1/_D2, y no se cumple la condición anterior. En este caso

p

1p 1_D 1_¤1_Dp1_Dp. 1/. 1/

es decir p 1p 1_D 1 es una raíz cuadrada de1_D. 1/. 1/pero no es la raíz cuadrada principal de1. Ahora ya sabes dónde está el error en lo que sigue:

1Di2Di iDp 1p 1Dp. 1/. 1/Dp1D1

3.3.4.

Ejercicios propuestos

73. Realiza las operaciones indicadas y expresa el resultado en la formaa_Ci b.

i) .7 2i/.5_C3i/ ii) .i 1/3 iii) .1_Ci/.2_Ci/.3_Ci/ iv) 3Ci 2_Ci v) .4 i/.1 3i/

1_C2i vi) .1Ci/

2 _vii) 1C2i

2 i viii) i

2_.1

Ci/3

74. Calcula la parte real e imaginaria de las funciones:

a)f1.z/Dz2 b)f2.z/Dz3 c)f3.z/D

1

z d)f .z/D 1

1_Cz2 e)f4.z/D

z_Ci z i

75. Calcula las siguientes cantidades.

a)_j.1Ci/.2 i/j b) ˇ ˇ ˇ ˇ

4 3i 2 ip5

ˇ ˇ ˇ ˇ

c)_j.1Ci/20j d)_jp2Ci.p2C1/j

76. Calcula los números complejos ztales que 1Cz 1 z es: a) Un número real; b) Un número imaginario puro.

77. Expresa en forma polar los siguientes números complejos.

a) p3 i b) p3_Ci c) _p 3

3_Ci d)

1_Cip3

.1_Ci/2

78. Expresa los siguientes números en la formaa_Ci b:

a). 1_Cip3/11 b) ₁

Ci 1 i

5

c) 1Ci p

3 1 i

!6

Ejercicios propuestos 78

79. Prueba que paraz₂C_nR

o el argumento principal viene dado por

argz_D2arc tg Imz Rez_{C j}z_j Sugerencia. Ver el ejercicio resuelto (22).

80. Calcula arg.zw/ y arg z

w

supuestos conocidos argzy argw.

81. Supuesto que_jz_{j D}1, prueba que

arg

z 1 z_C1

D

(

=2 si Imz>0

=2 si Imz<0

82. Seaz_Dx_Ci y. Supuesto que_jz_{j D}1,z_¤1,z_¤ i, prueba que

arg _{z 1}

zCi

D (

=4 si 1 x_Cy>0 3=4 si 1 x_Cy <0

83. Resuelve la ecuación cuadrática az2_Cbz_Cc_D0 dondea;b;c, son números complejos conocidos ya_¤0.

84. Calcula todas las soluciones de las siguientes ecuaciones:

a)z3_D1_Ci b)z4_Di c)z3_D 1_Cip3 d)z8_D1 e)z2_C2i z p3i_D0

85. Prueba que si una ecuación polinómica con coeficientes reales admite una raíz compleja,

z, entonces también admite como raíz az. Da un ejemplo de una ecuación polinómica de grado mayor que 1 que tenga como raíz compleja1_Ci pero no admita como raíz a 1 i.

86. Calcula las soluciones de las ecuaciones:

a)z4_C2z3_C7z2 18z_C26_D0_I b)z4_C.5_C4i/z2_C10i _D0 Sugerencia. El número1Cies raíz de la ecuación del apartado a).

87. Demuestra la llamada “igualdad del paralelogramo”:

jz_Cw_j2_{C j}z w_j2_D2._jz_j2_{C j}w_j2/ .z; w₂C_/

y explica su significado geométrico.

88. Dados dos números complejos˛yˇ, calcula el mínimo valor para z₂C_{de la cantidad} jz ˛_j2_{C j}z ˇ_j2:

Sugerencia: La igualdad del paralelogramo puede ser útil.

89. Prueba que

ˇ ˇ ˇ

z a 1 a z

ˇ ˇ

ˇ<1 sijzj<1yjaj<1y también sijzj>1yjaj>1.

Ejercicios propuestos 79

90. Seawun número complejo de módulo 1. Expresa los númerosw 1yw_C1en forma polar.

91. Seaxun número real que no es múltiplo entero de2. Prueba las igualdades

a) 1_Ccosx_Ccos2x_{C C}cosnx _D cosn 2x

sen

n_C1 2 x

senx 2

b) senxCsen2xC Csennx D senn 2x

sen

nC1 2 x

senx 2

Sugerencia: Si llamamos A a la primera suma y B a la segunda, calculaACiB ha-ciendo uso de la fórmula de De Moivre.

92. Calcula una fórmula para la suma

N

X

kD N

cos.2kt/_Cisen.2kt/ (tu respuesta debería de ser un cociente de senos).

93. Sean₂N_,n>2y w_Dcos2

n Ci sen 2

n . Dado un número enterom2Z, calcula el valor de las expresiones:

1. 1_Cwm_Cw2m_{C C}w.n 1/m;

2. 1 wmCw2m C. 1/n 1w.n 1/m.

96. Haciendo uso de la fórmula de De Moivre prueba que:

1. sen3'_D3 sen' 4sen3'. 2. cos4'_D8cos4' 8 cos2'_C1.

3. sen5'_D5 sen' 20sen3'_C16sen5'.

97. Representa gráficamente los conjuntos de números complejoszque verifican: jz 3_j63_I 2<_jz i_j63_{I j}argz_j< =6_{I j}z i_{j C j}z_Ci_{j D}4

jz 1j D jz 2ijI ˇ ˇ ˇ ˇ

z i z_C2i

ˇ ˇ ˇ ˇD

2I Im.z2/ >6I jz ij DImzC1

98. Encuentra los vértices de un polígono regular denlados si su centro se encuentra en el puntoz_D0y uno de sus vérticesz1es conocido.

99. Resuelve la ecuación .z 1/nD.zC1/n, dondez2C_yn2N_,n>2.

100. Sea_jz1j D jz2j D jz3j D1. Prueba quez1,z2,z3son vértices de un triángulo equilátero

si, y sólo si,z1Cz2Cz3D0.

Ejercicios resueltos 80

3.3.5.

Ejercicios resueltos

¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo!

Ejercicio resuelto 24 Calcula la parte real e imaginaria de z

1_Cz2 donde z2Cn fi; ig.

Solución. Todo lo que hay que hacer es realizar las operaciones indicadas. Pongamos

para ello z_Dx_Ciy conx;y₂R_{. Tenemos que} z

1_Cz2D

x iy 1_C.x_Ciy/2D

x iy

1_Cx2 _y2_C2xyiD

.x iy/.1_Cx2 y2 2xyi/ .1_Cx2 _y2_/2_C4x2_y2 D

DxCx

3 _3xy2

Ci. y 3x2y_Cy3/ .1_Cx2 _y2_/2_C4x2_y2 D

D xCx

3 _3xy2

.1Cx2 _y2_/2_C4x2_y2 Ci

y 3x2yCy3

.1Cx2 _y2_/2_C4x2_y2

Luego Re

_z

1_Cz2

D xCx

3 _3xy2

.1_Cx2 _y2_/2_C4x2_y2; Im

_z

1_Cz2

D y 3x

2_y

Cy3

.1_Cx2 _y2_/2_C4x2_y2

©

Ejercicio resuelto 25 Calcula

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

.2_Cip5/.1_Cip3/3 p

5_Cip3 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ .

Solución. Como lo que nos piden es el módulo no es preciso realizar las operaciones

indi-cadas. Basta tener en cuenta que el módulo de un producto es el producto de los módulos y, por tanto, el módulo de un cociente es el cociente de los módulos. En consecuencia:

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

.2_Cip5/.1_Cip3/3 p

5_Cip3 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ D ˇ ˇ2Ci

p

5ˇˇ ˇ ˇ1Ci

p

3ˇˇ

3

ˇ ˇ

p

5_Cip3ˇˇ

D6p2

©

Ejercicio resuelto 26 Calcula los números complejos ztales que wD 2z i

2_Ci z es a) Un número real;

b) Un número imaginario puro.

Solución. Pongamos z_Dx_Ciy conx;y₂R_{. Tenemos que} wD2xCi.2y 1/

2 y_Ci x D

.2xCi.2y 1//.2 y i x/

.2 y/2_Cx2 D

3xCi. 2x2 2y2C5y 2/ .2 y/2_Cx2

Por tanto,wes real si, y sólo si

2x2 2y2C5y 2D0 ” x2C.y 5=4/2D9=16

Es decir,zestá en la circunferencia de centro.0;5=4/y radio3=4.

Análogamente,wes imaginario puro si, y sólo si,x_D0, es decir,zestá en el eje

Ejercicios resueltos 81

Ejercicio resuelto 27 Calcula los números complejos ztales que w_D z 1 i

zC1Ci a) Es un número real;

b) Tiene módulo 1.

Solución. Pongamos z_Dx_Ciy conx;y₂R_{. Tenemos que}

w_D z 1 i

z_C1_Ci D

x 1_Ci.y 1/

x_C1_Ci.y_C1/D

x 1_Ci.y 1/

x_C1 i.y_C1/ .x_C1/2_C.yC1/2 D

Dx

2

Cy2 2Ci.2y 2x/ .x_C1/2_C.yC1/2

Por tanto, w es real si, y sólo si, y_Dx _¤ 1, es decir, z está en la bisectriz de los cuadrantes primero y tercero yz_¤ .1_Ci/.

Es claro que_jw_{j D}1si, y sólo si

jz 1 i_jDjz_C1_Ci_{j ”}.x 1/2_C.y 1/2_D.x_C1/2_C.y_C1/2 _”x_Cy_D0

Es decir,zestá en la bisectriz de los cuadrantes segundo y cuarto.

©

Ejercicio resuelto 28 Comprueba que el argumento principal dezDxCiy¤0viene dado por

#D

8 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ <

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ :

arc tg.y=x/ siy<0,x<0

=2 siy<0,xD0 arc tg.y=x/ six>0

=2 siy >0,x_D0

arc tg.y=x/_C siy>0,x <0

Solución. Teniendo en cuenta que para t < 0es =2 < arc tgt < 0 y para 06_t

es06arc tgt < =2, se sigue que el número# definido por las igualdades anteriores verifica que < #6. Por tanto, para probar que#_Darg.z/bastará que comprobemos la igualdadz_{D j}z_j.cos#_Cisen#/, es decir, las igualdadesx_{D j}z_jcos#,y_{D j}z_jsen#. Para#_D,#_D=2y#_D =2dichas igualdades son evidentes.

Seax>0en cuyo caso#_Darc tg.y=x/. En este caso, como =2< # < =2, tenemos que tg#_Dy=x y deducimos

1

cos2# D1Ctg

2_#

D1_Cy

2

x2 D

x2_Cy2 x2 ÷x

2

D.x2_Cy2/cos2#_÷x_{D j}z_jcos# donde, en la última implicación, hemos tenido en cuenta quex >0y cos# >0. Dedu-cimos también que

y_Dx tg#_D x

cos# sen#D jzjsen#

Ejercicios resueltos 82

Consideremosx < 0ey < 0. Tenemos que < #_Darc tg.y=x/ < =2, por lo que0< #_C < =2, y deducimos tg# _Dtg.# _C/_Dy=x. Razonando como en el caso anterior volvemos a obtener las igualdadesxD jzjcos#,yD jzjsen#.

©

Ejercicio resuelto 29 Expresa en forma polar los siguientes números complejos.

a) 1_Ci b) p

3_Ci 1Ci c)

1

1_Cip3

Solución. a) Tenemos que arg. 1_Ci/_Darc tg. 1/_CD3=4, por lo que 1_Ci_Dp2 cos.3=4/_Cisen.3=4/

b) Tenemos que

arg. p3_Ci/_Darc tg. 1=p3/_CD arc tg.1=p3/_CD =6_CD5=6 arg.1_Ci/_Darc tg.1/_D=4_÷arg

₁

1_Ci

D =4

deducimos que 5 6

4 D 7

12 2Arg

p

3_Ci 1Ci

!

. Por tanto p

3Ci 1_Ci D

p

2 cos.7=12/_Cisen.7=12/

c) arg. 1Cip3/Darc tg. p3/CD arc tg.p3/CD =3CD2=3, por lo que arg

₁

1_Cip3

D 2=3. Por tanto 1

1_Cip3D 1

2 cos. 2=3/Cisen. 2=3/

©

Ejercicio resuelto 30 Calcula arg.zw/ y argz

w

supuestos conocidos argzy argw.

Solución. Sabemos que argz_Cargw₂Arg.zw/; además 2 <argz_Cargw62. Tenemos las siguientes posibilidades:

2 <argzCargw6 _÷0<argzCargwC26_÷ ÷arg.zw/_Dargz_Cargw_C2 <argz_Cargw6_÷arg.zw/_Dargz_Cargw

<argz_Cargw62_÷ <argz_Cargw 260_÷

÷arg.zw/_Dargz_Cargw 2 Para calcular arg

z w

se procede de forma análoga teniendo en cuenta ahora que argz argw₂Arg

z w

Ejercicios resueltos 83

Ejercicio resuelto 31 Calcula los números complejos ztales que w_D2z 1

z 2 a) Tiene argumento principal igual a=2;

b) Tiene argumento principal igual a =2.

Solución. Pongamos zDxCiy con x;y2R_{. Como} 2z 1

z 2 D

2x 1C2yi x 2_Ciy D

.2x 1C2yi/.x 2 iy/

.x 2/2_Cy2 D

2x2C2y2 5xC2 3yi

.x 2/2_Cy2

deducimos que argwD=2si, y sólo si,2x2C2y2 5xC2D0 e y<0. Como 2x2C2y2 5xC2D0 ” .x 5=4/2Cy2D9=16

deducimos que argw_D=2cuandozestá en la semicircunferencia de centro.5=4;0/y radio3=4que está contenida en el semiplano inferior. También También deducimos que argwD =2cuandozestá en la semicircunferencia de centro.5=4;0/y radio3=4que está contenida en el semiplano superior.

©

Ejercicio resuelto 32 Resuelve la ecuación cuadrática az2_Cbz_Cc_D0 dondea;b;c, son números complejos conocidos ya_¤0.

Solución. Tenemos que

az2CbzCcD0 ” z2C b

azC c

a D0 ”

zC b

2a 2

C c

a b2 4a2 D0

”

zC b

2a 2

b2 4ac 4a2 D0

” "

z_C b

2a

p_b2 _4ac

2a

# "

z_C b 2a

C

p

b2 _4ac

2a # D0 ” 8 ˆ ˆ < ˆ ˆ :

z_D bC

p

b2 _4ac

2a

zD b p

b2 _4ac

2a

Las dos soluciones obtenidas suelen expresarse en la forma

az2CbzCcD0 ” zD b˙ p

b2 _4ac

2a

Observa que hemos seguido el mismo procedimiento que en el caso real1. Debes entender bien la igualdad

z_D b˙

p

b2 _4ac

2a (3.12)

Aquíb2 4aces un número complejo (en particular, puede ser real),pb2 _{4ac es su}

Ejercicios resueltos 84

tiene dos raíces cuadradas: la principal y su opuesta). Aquí no hay positivos ni negativos, ~

ni nada parecido ¡estamos trabajando con números complejos! Comento esto para volver a insistir en que los símbolos_Cy tienen un carácter puramente algebraico: no indican positivo y negativo.

En general, para resolver ecuaciones con números complejos no es buena estrategia se-parar la ecuación en su parte real y su parte imaginaria y resolver éstas por separado, sino que debes trabajar con la variable compleja z. No olvides que con los números comple-jos puedes hacer las mismas operaciones que con los números reales y algunas más que no siempre puedes hacer con los números reales, como extraer raíces y otras que pronto

estudiaremos.

©

Ejercicio resuelto 33 Calcula las soluciones de la ecuación z4_C.1_Ci/z2_C5i_D0.

Solución. PoniendowDz2, la ecuación quedaw2C.1Ci/wC5iD0, cuyas soluciones son

.1_Ci/_˙p.1_Ci/2 _20i

2 D

.1_Ci/_˙p 18i

2 D

D .1Ci/˙ p

18.cos. =4/Cisen. =4//

2 D

D .1Ci/˙ p

18.1=p2 i=p2/

2 D

.1_Ci/_˙3.1 i/

2 D

1 2i

2Ci

Las soluciones de la ecuación dada son las raíces_˙p1 2i y_˙p 2_Ci. Tenemos que arg.1 2i/_D arc tg2y arg. 2_Ci/_D arc tg.1=2/. Usando que cos.x_C=2/_D senx y sen.xC=2/Dcosx, obtenemos:

˙p1 2i D ˙p45 cos

arc tg2 2

isen

arc tg2

2

˙p 2CiD ˙p45

sen

arc tg.1=2/

2

Cicos

arc tg.1=2/

2

Observa que las soluciones son números complejos pero no son complejos conjugados. La ecuación dada tiene coeficientes complejos.

©

Ejercicio resuelto 34 Calcula las soluciones de las ecuaciones:

a)z4_C2z3_C7z2 18z_C26_D0_I b)z4_C.5_C4i/z2_C10i _D0 Sugerencia. El número1_Cies raíz de la ecuación del apartado a).

Solución. Haremos el apartado a). Para ello usaremos un resultado, que se supone que

debes conocer, según el cual si un polinomioP.x/se anula para un valor˛,P.˛/_D0, entonces es divisible porx ˛, es decirP.x/_D.x ˛/Q.x/dondeQ.x/es un polinomio de un grado menor queP.x/.

Ejercicios resueltos 85

Como la ecuación dada es polinómica con coeficientes reales y nos dicen que 1_C i es raíz, también es raíz 1 i. Por tanto, el polinomio dado debe de ser divisible por .z .1Ci//.z .1 i//Dz2 2zC2. Haciendo la división, obtenemos que

z4_C2z3_C7z2 18z_C26_D.z2_C4z_C13/.z2 2z_C2/

Lo que queda ya es inmediato.

©

Ejercicio resuelto 35 Demuestra la llamada “igualdad del paralelogramo”:

jz_Cw_j2_{C j}z w_j2_D2._jz_j2_{C j}w_j2/ .z; w₂C_{/ (3.13)} y explica su significado geométrico.

Demostración. Basta realizar las operaciones indicadas. Tenemos que:

jzCwj2D.zCw/.zCw/DzzCwwCzwCzwD jzj2C jwj2C2Re.zw/ (3.14) jz w_j2_D.z w/.z w/_Dzz_Cww zw zw_{D j}z_j2_{C j}w_j2 2Re.zw/

(3.15) Sumando estas igualdades se obtiene la igualdad del enunciado. Su significado geomé-trico es que la suma de los cuadrados de las longitudes de las diagonales de un paralelo-gramo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus lados.

©

z

w

zC w

z w

Figura 3.6. Igualdad del paralelogramo

Ejercicio resuelto 36 Dados dos números complejos ˛ y ˇ, calcula el mínimo valor para z₂C_{de la cantidad jz ˛j}2_{C jz ˇj}2_:

Sugerencia: La igualdad del paralelogramo puede ser útil.

Solución. La sugerencia y un poco de intuición deben ser suficientes para hacer este

ejercicio. La intuición lo que dice es que el punto que buscamos debe ser la el punto medio del segmento de extremos˛ yˇ, es decir el puntouD ˛Cˇ

2 . Ahora debemos relacionar la cantidad que nos dan con_jz uj. Usando la igualdad del paralelogramo (3.13) conz sustituido porz ˛ ywpor z ˇy escribiéndola de derecha izquierda, tenemos que

2 _jz ˛_j2_{C j}z ˇ_j2

Ejercicios resueltos 86

de donde

jz ˛_j2_{C j}z ˇ_j2_D2 ˇ ˇ ˇ ˇ

z ˛Cˇ 2 ˇ ˇ ˇ ˇ 2

C 1₂jˇ ˛_j2

Deducimos que_jz ˛_j2_{C j}z ˇ_j2>1

2jˇ ˛j

2_{para todoz}

2C_{y la igualdad se da si,} y sólo si,z_D ˛Cˇ

2 .

Ejercicio resuelto 37 Prueba las desigualdades:

a) _jjz_{j j}w_jj6_jz w_j b) _jzCwj>1

2.jzj C jwj/ ˇ ˇ ˇ ˇ

z

jz_jC

w jw_j

ˇ ˇ ˇ ˇ

donde z; w son números complejos no nulos. Estudia también cuándo se da la igualdad en cada una de dichas desigualdades.

Sugerencia. Una estrategia básica para probar desigualdades entre módulos de números complejos consiste en elevar al cuadrado ambos miembros de la desigualdad.

Solución. Siguiendo la sugerencia, es muy fácil hacer el apartado a). Haremos el apartado

b). Siguiendo la sugerencia, elevamos al cuadrado y comprobamos que la diferencia es positiva.

jz_Cw_j2 1

4.jzj C jwj/

2 ˇ ˇ ˇ ˇ z

jzjC w jwj

ˇ ˇ ˇ ˇ 2 D

D jz_j2_{C j}w_j2_C2Re.zw/ 1

4.jzj

2

C jw_j2_C2_jz_jjw_j/

2_C2Re.zw/

jzjjwj

D

Djzj2Cjwj2C2Re.zw/ 1

2jzj

2 1

2jwj

2

jzjjwj 1

2 jzj

2

Cjwj2C2jzjjwjRe.zw/ jz_jjw_j D

D1₂._jz_j2_{C j}w_j2 2_jz_jjw_j/_C2Re.zw/

jz_jjw_j jzjjwj

1 2 jzj

2

C jw_j2_C2_jz_jjw_jRe.zw/ jz_jjw_j D

D1₂._jz_{j j}w_j/2 1

2 jzj

2

C jw_j2 2_jz_jjw_jRe.zw/ jz_jjw_j D

D 1

2.jzj jwj/

2₁ Re.zw/

jzjjwj

>0

Porque Re.zw/6_jzw_jDjz_jjw_j. La igualdad se da si, y sólo si,_jz_jDjw_jo Re.zw/_Djzw_jlo que equivale a quezw_D2RC

que equivale a quezywestén en una misma semirrecta a partir del origen, o sea, que tengan los mismos argumentos.

Ejercicio resuelto 38 Expresa en forma binómica los números

.1_Ci/25; .p3_Ci/37; 1Ci p

3 1Ci

!24

Solución. Naturalmente, se trata de aplicar la fórmula de De Moivre y para ello todo lo

Ejercicios resueltos 87

z_D1Ci

p

3

1Ci . Tenemos quejzj D

p

2(cociente de los módulos) y un argumento dezes

arg.1_Cip3/ arg. 1_Ci/_Darc tg.p3/ .arc tg. 1/_C/_D

3 3

4 D 5

12

Por tanto 1_Cip3

1_Ci !24

D.p2/24

cos

245 12

Cisen

245 12

D212_D4096

Ejercicio resuelto 39 Haciendo uso de la fórmula de De Moivre prueba que:

a) sen3'_D3 sen' 4sen3'. b) cos4'D8cos4' 8 cos2'C1.

c) sen5'_D5 sen' 20sen3'_C16sen5'.

Solución. La fórmula de De Moivre es una herramienta excelente para obtener

identida-des trigonométricas. Lo único que hay que hacer es usar la igualdad .cosxCisenx/nDcos.nx/Cisen.nx/ .n2N_{;x 2}R_/

Desarrollando la potencia del lado izquierdo por medio del binomio de Newton y agrupar la parte real, que será igual a cos.nx/y la parte imaginaria, que será igual a sen.nx/. Por ejemplo, para nD2se obtiene inmediatamente que cos.2x/Dcos2x sen2x y sen.2x/D2senxcosx. HaciendonD3obtenemos

cos3x_C3icos2xsenx 3cosxsen2x isen3x_Dcos.3x/_Cisen.3x/ Igualando partes imaginarias, resulta:

sen.3x/D3cos2xsenx sen3xD3.1 sen2x/senx sen3xD3senx 4sen3x Esta es la igualdad a). Las otras dos igualdades b) y c) se obtiene de forma parecida.

Ejercicio resuelto 40 Seann2N_,n>₂, y wDcos2

n Ci sen 2

n . Dado un número entero, m₂Z_{, calcula el valor de las expresiones:}

a) 1_Cwm_Cw2m_{C C}w.n 1/m.

b) 1 wmCw2m C. 1/n 1w.n 1/m.

Solución. Necesitamos la expresión de la suma de una progresión geométrica. Seanzun número complejo distinto de 1 yn₂N_{. Pongamos SD1CzCz}2_Cz3_{C Cz}n_. Tenemos que

S _D 1_Cz_Cz2_Cz3_{C C} zn

S z D zCz2Cz3C C znCznC1

Ejercicios resueltos 88

Y deducimos que

1_Cz_Cz2_Cz3_{C C}zn_D z

nC1 ₁

z 1 (3.16)

La suma en a) es una progresión geométrica de razónwm. Debemos distinguir el caso en quewm_D1, lo que ocurre cuandomes un múltiplo den, en cuyo caso la suma en a) es igual an. En los demás casos, tenemos que

1_Cwm_Cw2m_{C C}w.n 1/m_Dw

nm ₁

wm ₁ D0

En particular, haciendom_D1, deducimos que la suma de las raíces n-ésimas de la unidad es igual a 0. El apartado b) se hace de forma parecida.

©

Ejercicio resuelto 41 Seawun número complejo de módulo 1. Expresa los númerosw 1 yw_C1en forma polar.

Solución. Seaw_Dcost_Cisent cont_Darg.w/. Pongamosu_Dcos.t=2/_Cisen.t=2/. Con lo queu2_Dwyuu_D1. Tenemos que

w 1Du2 uuDu.u u/D2isen.t=2/u (3.17) Deducimos que_jw 1_{j D}2_jsen.t=2/_j. Supondremos en lo que sigue quew_¤1. Observa quew 1 es producto de 3 números: el númeroi, cuyo argumento principal es =2, el númerou, cuyo argumento principal est=2y el número2sen.t=2/cuyo argumento principal es0cuando sen.t=2/ >0, ycuando sen.t=2/ <0. Un argumento dew 1 será=2_Ct=2_Carg.sen.t=2//. Observa que <t6yt_¤0. Distinguiremos dos casos:

0<t 6_÷sen.t=2/ >0_÷arg.w 1/_D

2 C t 2D

t_C

2 ÷

÷w 1_D2sen.t=2/ sen.t=2/_Cicos.t=2/ <t <0_÷sen.t=2/ <0_÷arg.w 1/_D

2 C t

2 D

t

2 ÷

÷w 1_D 2sen.t=2/ sen.t=2/ icos.t=2/

Fíjate en que si en (3.17) hacemos el productoi uy distinguimos los casos sen.t=2/ >0 y sen.t=2/ <0, obtenemos las mismas expresiones paraw 1.

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Ejercicio resuelto 42 Sea x un número real que no es múltiplo entero de 2. Prueba las igualdades

a) 1_Ccosx_Ccos2x_{C C}cosnx _D cosn 2x

sen _n

C1 2 x

senx 2

b) senxCsen2xC Csennx D senn 2x

sen

n_C1 2 x

Ejercicios resueltos 89

Solución. Si llamamos A a la primera suma y B a la segunda, podemos calcularA_CiB haciendo uso de la fórmula de De Moivre.

Solución. Pongamos w_Dcosx _Cisenx;u_Dcos.x=2/_Cisen.x=2/. Tenemos que w¤1porquex∉2Z_.

A_CiB_D1_Cw_Cw2_Cw3_{C C}wn_Dw

nC1 ₁

w 1 D(por (3.17))D

wnC1 ₁

2isen.x=2/u Teniendo en cuenta quewnC1

Dcos .n_C1/x

Cisen .n_C1/x

es un número complejo de módulo 1 y queunC1

Dcos .n_C1/x=2

Cisen .n_C1/x=2

, podemos usar la igualdad (3.17) para obtener que:

wnC1 ₁

D2isen .n_C1/x=2 unC1

Deducimos que

A_CiB_DunC1 sen _n C1 2 x sen x 2 D cos _n C1 2 x Cisen

_n C1 2 x sen _n C1 2 x sen x 2

Igualando partes real e imaginaria, se obtienen las dos igualdades del enunciado.

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Ejercicio resuelto 43 Dados dos números complejos distintos a; b₂C_{, justifica que para} z_¤bel número z a

z b es real si, y sólo si,zestá en la recta que pasa poray porb; y es real negativo si, y sólo si,zestá en el segmento que uneaconb.

Solución. Seat ₂R_{,t ¤1. Tenemos que} z a

z b Dt ”zD a bt

1 t DaC t

1 t.a b/

La recta que pasa poraybtiene la ecuación paramétricaz_Da_C.a b/, con₂R_, por lo que la igualdad anterior nos dice que z a

z b es real si, y sólo si,z está en dicha recta.

Sit <0, la igualdad anterior puede escribirse, cambiandot por s, en la forma z a

z b D s”zD a_Cbs

1_Cs D s 1_CsbC

1 1_Csa

Lo que nos dice quezes de la formabC.1 /acon0< D s

1_Cs <1pero esos son justamente los puntos del segmento que uneaconb(excluidos los extremos).

Ejercicio resuelto 44 a) Sea_jz1j D jz2j D jz3j D1. Prueba quez1,z2,z3son vértices de

un triángulo equilátero si, y sólo si,z1Cz2Cz3D0.

b) Deduce de lo anterior que si el baricentro y el circuncentro de un triángulo coinci-den, dicho triángulo debe ser equilátero.

Solución. a) Si z1, z2, z3 son vértices de un triángulo equilátero, entonces cada uno

Ejercicios resueltos 90

por un complejo,u, de módulo 1 es un giro de amplitud igual a arg.u/. Definamosu_D cos.=3/_Cisen.=3/. Los tres vértices los podemos escribir comoz1,z1u,z2u2y, por

tanto:

z1Cz2Cz3Dz.1CuCu2/Dz

u3 1 u 1 D0

Supongamos ahora que_jz1jDjz2jDjz3jD1, y quez1Cz2Cz3D0. Para probar que dichos

números son vértices de un triángulo equilátero, lo que vamos a hacer es comprobar que son las raíces cúbicas de un número complejo. Es decir, se trata de probar que hay un número˛tal quez1,z2yz3son las raíces de la ecuación polinómicaz3 ˛D0. Para

esto es necesario y suficiente que el producto.z z1/.z z2/.z z3/puede escribirse

en la formaz3 ˛. Tenemos:

.z z1/.z z2/.z z3/Dz3 .z1Cz2Cz3/z2C.z1z2Cz1z3Cz2z3/z z1z2z3D

Dz3C.z1z2Cz1z3Cz2z3/z z1z2z3

Poniendo˛_Dz1z2z3, lo que hay que probar es quez1z2Cz1z3Cz2z3D0. Todavía

no hemos usado la hipótesis de que _jz1j D jz2j D jz3j D1. Vamos a usarla ahora para

intentar sacar factor común en la sumaz1z2Cz1z3Cz2z3D0la expresiónz1Cz2Cz3.

Tenemos que:

z1z2Cz1z3Cz2z3Dz3z3z1z2Cz2z2z1z3Cz1z1z2z3D.z1Cz2Cz3/z1z2z3D0

Puesz1Cz2Cz3Dz1Cz2Cz3D0:

El apartado b) se deduce fácilmente de a) siempre que sepas lo que es el baricentro y el

circuncentro de un triángulo.

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Ejercicio resuelto 45 Si06argw argz< , prueba que el área del triángulo de vértices 0,zywviene dada por 1₂Im.zw/.

Solución. El área de todo triángulo es la mitad de la base por la altura. En la figura

(3.7) se ha tomado como base el vectorz con longitud_jzjy la altura esh. Observa que sen.' #/_D h

jwj. Por tanto área_D1

2jzjhD 1

2jzjjwjsen.' #/

Esto ya deberías saberlo: el área de cualquier triángulo es igual a la mitad del producto de las longitudes de dos lados por el seno del ángulo que forman. Pongamosz_Dx_Ciy, wDuCiv. Como#Darg.z/y'Darg.w/, tenemos que

área_D 1

2jzjjwjsen.' #/D 1

2jzjjwj sen.'/cos.#/ cos.'/sen.#/

D

D1

2jzjjwj

v jw_j

x

jz_j u

jw_j

y

jz_j

D 1

2.vx uy/D 1

2Im.zw/

Funciones elementales complejas 91

z

w

# '

h

Figura 3.7. Área de un triángulo

3.4.

Funciones elementales complejas

Las funciones complejas no son más que las funciones definidas en subconjuntos de R2 con valores en R2_{, cuando en} R2 _{consideramos su estructura compleja. Dado un conjunto} A C_{, a toda función compleja f WA !} C _{se le asocian dos funciones reales: la función} u_DRef “parte real def” y la funciónv_DImf “parte imaginaria def” definidas para todo .x;y/DxCiy2Apor:

u.x;y/_DRef .x_Ciy/; v.x;y/_DImf .x_Ciy/ Naturalmente,f .x_Ciy/_Du.x;y/_Civ.x;y/.

3.4.1.

La función exponencial

Definimos2la exponencial compleja de un númerozDxCi ycomo exCi y_Dexp.x_Ci y/_Dex cosy_Ciseny

(3.18) Observa que

jez_{j D}eRez; Imz₂Arg.ez/ (3.19) En particular, obtenemos la llamada fórmula de Euler:

ei t_Dcost_Cisent .para todot ₂R_{/ (3.20)} que establece una relación entre la exponencial compleja y las funciones trigonométricas. De la fórmula de Euler se deducen fácilmente las llamadas ecuaciones de Euler:

cost De

i t

Ce i t

2 ; sentD

ei t e i t

2i .t2R/ (3.21)

Logaritmos complejos 92

La exponencial compleja tiene la propiedad fundamental de transformar sumas en produc-tos. Se prueba fácilmente, haciendo uso de la definición (3.18y de las igualdades (2.4) y (2.5) que

ezCw_Dezew para todosz; w₂C _(3.22) Esta propiedad, junto con las ecuaciones de Euler (3.21), hacen que la exponencial compleja sea la herramienta más usada para trabajar con las funciones seno y coseno. Por ejemplo, de la fórmula de Euler (3.20) y de la igualdad anterior, se deduce enseguida la fórmula de De Moivre.

cos.nt/_Cisen.nt/_Dei t n_D ei tn_D cost _Cisent/n .n₂Z_;t2R_{/ (3.23)} Igualmente, de las igualdades

cos.a_Cb/_Cisen.a_Cb/_De.aCb/i_Deiaeib_D.cosa_Cisena/.cosb_Cisenb/ se deducen en seguida, haciendo el producto indicado e igualando partes real e imaginaria, las igualdades (2.4) y (2.5).

Otras identidades trigonométricas se obtienen también muy fácilmente. Por ejemplo, para expresar un producto de senos o cosenos como una suma de senos o de cosenos se puede hacer lo que sigue.

eia_Ceib_Dei.aCb/=2 ei.a b/=2_Cei.b a/=2_D2ei.aCb/=2cos..a b/=2/ (3.24) Igualando partes real e imaginaria, deducimos que:

cosa_Ccosb _D 2cos..a b/=2/cos..a_Cb/=2/ (3.25) sena_Csenb _D 2cos..a b/=2/sen..a_Cb/=2/ (3.26) De la igualdad (3.22), se deduce que para todoz₂C_{y todok2}Z_es

ez_DezC2ki

Lo que, en particular, nos dice que exp.z/_Dexp.z_C2i/, o sea, la exponencial compleja es una función periódica con período2i. Naturalmente, esto supone una gran diferencia con la exponencial real que es una función inyectiva.

La función exponencial es particularmente útil para representar los números complejos de módulo 1, es decir los números complejos de la forma cost _Cisent (t ₂R_{). Recuerda} que multiplicar por un número complejo de módulo 1 representa un giro cuya amplitud es el argumento de dicho número. Fíjate que el complejo conjugado de ei t es e i t.

Una exponencial real es siempre positiva. Para la exponencial compleja no tiene sentido hablar de positiva, todo lo que podemos decir es que la exponencial compleja no se anula nunca pues _jez_{j D}eRez>0.

3.4.2.

Logaritmos complejos

El comportamiento periódico de la exponencial compleja se va a traducir, como vamos a ver enseguida, en que la ecuación ew_Dz, dondez es un número complejo no cero, va a tener infinitas solucionesw₂C_{. Como}

Logaritmos complejos 93

Para que ew_Dzes necesario y suficiente que:

1. _jew_{j D j}z_j, esto es, eRew_Djz_j, es decir, Rew_Dlog_jz_j(logaritmo natural del número real positivo_jz_j).

2. Arg.ew/DArg.z/. Como Imw 2 Arg.ew/, esta igualdad equivale a Imw2Argz; y esto se cumple si, y sólo si Imw_Darg.z/_C2k, conk₂Z_.

Hemos probado que

fw₂C_Wew_{Dzg D flogjzj Ci.arg.z/C2k/;k2}Z_g

Por tanto, existen infinitos números complejoswque satisfacen la ecuación ew_Dz. Cualquiera de ellos se llama un logaritmo dez. El conjunto de todos ellos lo representaremos por Logz.

Logz_{D f}log_jz_{j C}i.arg.z/_C2k/;k₂Z_g

Todos los logaritmos de z están situados en una misma recta vertical de abscisa log_jzj, y a partir de uno cualquiera de ellos podemos situar todos los demás, desplazándolo hacia arriba o hacia abajo una distancia igual a un múltiplo entero de2. De entre todos los logaritmos dez elegimos uno, llamado logaritmo principal, definido por

logz_Dlog_jz_{j C}iarg.z/ para todoz ₂C Cuandozes un número real positivo,z 2RC

, el logaritmo principal que acabamos de definir coincide con el logaritmo real dez. Es decir, acabamos de extender la función logaritmo real deRC

aC

. Observa que cualquier otro logaritmo dezes de la forma logz_Ci 2kpara algún entero k. Además, de todos los logaritmos dez, el logaritmo principal es el único cuya parte imaginaria está en el intervalo ; .

Es importante que observes que la igualdad

logzwDlogzClogw

que es válida para los logaritmos de los números reales positivos, no es siempre cierta para números complejos. Por ejemplo:

log ei 2=3 Di2

3 ; log e

i 3=4 Di3

4 Y

log ei 2=3ei 3=4

Dlog ei 17=12

Dlog e i7=12

D i7 12 ¤i

2

3 Ci 3

4

Lo que está claro es que el número logz Clogw 2 Log.zw/, es decir, logz Clogw es un logaritmo dezwpero no tiene por qué ser el logaritmo principal dezw.