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Cuerpos Geométricos

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Academic year: 2020

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TEMA 12: CUERPOS GEOMÉTRICOS

ESQUEMA GENERAL DE LA CLASIFICACIÓN DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS:

GENERALIDADES SOBRE LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO:

El punto, la recta y el plano en el espacio:Al igual que en la geometría del plano, en la geometría del espacio el punto, la recta y el plano son conceptos intuitivos: El puntoes como un círculo que no tiene dimensiones:

La rectasólo tiene una dimensión, la longitud, que es infinita, pero no tiene ni ancho ni alto:

El planosólo tiene dos dimensiones, largo y ancho, que son infinitas, pero no tiene alto:

El punto se representa con letras mayúsculas. La recta se representa con letras minúsculas: generalmente desde la r en adelante. El plano se representa con un romboide y una letra griega, generalmente la π.

Posiciones relativas de dos rectas en el espacio:

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b) Secantes: Cuando están en el mismo plano y tienen un punto en común.

c) Se cruzan: Cuando no están en el mismo plano y no tienen ningún punto en común.

Posiciones relativas de una recta y un plano en el espacio:

a) Recta contenida en el plano: Todos los puntos de la recta están en el plano.

b) Paralelos: No tienen ningún punto en común.

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Posiciones relativas de dos planos en el espacio: a) Paralelos: No tienen ningún punto en común.

b) Secantes: Se cortan y, por lo tanto, tienen una recta en común.

Distancia de un punto a un plano:Lo que mide el segmentoperpendicular(d) desde el punto (P) al plano (Π).

GENERALIDADES SOBRE POLIEDROS:

Poliedro:Cuerpo geométrico limitado por polígonos.

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Arista:Intersección de dos caras.

Vértice:Intersección de tres o más aristas.

Orden de un vértice:Número de caras que concurren en un vértice.

Ángulo diedro:Cada una de las cuatro partes que se forman en el espacio al cortarse dos planos (

Π y Π’)

. La recta en común de los planos es laaristade cada ángulo diedro. Lamedidade un ángulo diedro es la medida de su ángulo rectilíneo. Ejemplo: la pared de una habitación forma un ángulo diedro con el suelo.

Ángulo rectilíneo de un diedro:Es un ángulo cuyos lados están contenidos en los semiplanos del diedro y son perpendiculares a la arista del mismo.

Ángulo poliedro:Es la parte del espacio que está comprendida entre más de dos planos que concurren en un punto. Ejemplo: en la esquina de una habitación se forma un ángulo poliedro entre las dos paredes que la forman y el suelo.

Poliedro regular:Aquél en el que todas sus caras son polígonos regulares iguales y sus vértices son del mismo orden.

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Poliedro convexo:Aquél en el que sus ángulos diedros son menores de 180º.

Poliedro cóncavo:Aquél que tiene algún ángulo diedro mayor de 180º. (También: si al prolongar alguna cara se atraviesa el poliedro) (También: Si para trazar algún

segmento hay que salirse del poliedro).

Teorema de Euler:En un poliedro, el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más 2.

C + V = A + 2

(Ejemplo: El cubo tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas. Si sumamos las caras (6) y los vértices (8) nos da 14, el mismo resultado que si a las aristas (12) les sumamos 2. Por lo tanto, se cumple el teorema de Euler: 6 + 8 = 12 + 2).

POLIEDROS REGULARES

Poliedros regulares son aquéllos en el quetodas sus caras son polígonos regulares igualesysus vértices son del mismo orden(concurren en ellos el mismo números de caras).

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De ahí que sólo haya5 poliedros regulares: porque la suma de los ángulos de las caras que concurren en un vértice es menor de 360º. (También son llamados cuerpos platónicos, sólidos pitagóricos, etc.).

NOMBR

E ORDEN CARAS VÉRTICES ARISTAS GRADOSEN UN VÉRTICE

DUAL

Tetraedro

3 Triángulo4

s eq. 4 6

3x60º=180

º Tetraedro

Hexaedro o Cubo

3 Cuadrado6

s 8 12

3x90º=270

º Octaedro

Octaedro

4 Triángulo8

s eq. 6 12

4x60º=240 º Hexaedro o Cubo 3 12 Pentágon os regulares

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Dodecaedr o

Icosaedro

5 Triángulo20

s eq. 12 30

5x60º=300

º Dodecaedro

[NOTA: Se llamanpoliedros regulares dualesaquellos que se pueden inscribir uno dentro de otro, de tal forma que los vértices de uno han de coincidir con el centro de las caras del otro y, por lo tanto, el número de caras de uno ha de ser el mismo que el número de vértices del otro].

PRISMAS:

Un prisma es un poliedro con dos bases iguales paralelas y las caras laterales, paralelogramos.

- Laalturaes la distancia entre las bases (medida del segmento perpendicular entre ellas).

- Los prismas seclasificansegún el polígono de las bases en triangulares (triángulos), cuadrangulares (cuadriláteros), etc.

- Prismarecto: Sus caras laterales son rectángulos (También: sus caras laterales son perpendiculares a las bases).

- Prismaoblicuo: No todas sus caras son rectángulos.

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-Ortoedro: Paralelepípedo en el que las 6 caras son rectángulos.

-Diagonal: Segmento que une dos vértices situados en distintas caras. (Para su cálculo, la mayoría de las veces será imprescindible utilizar el teorema de Pitágoras).

-Prismas regulares: Los que son rectos y sus bases son polígonos regulares. PIRÁMIDES

Una pirámide es un poliedro cuya base es un polígono y sus caras laterales son triángulos que concurren en el vértice de la pirámide.

[Nota: Al vértice de la pirámide también se le llamacúspide(Punto donde concurren los vértices de todos los triángulos que forman las caras de la pirámide, o las generatrices del cono, según el DRAE) oápice(extremo superior o punta de algo, según el DRAE), quizás para distinguir el vértice con los otros vértices formados por las caras y la base].

-Altura: distancia desde el vértice a la base.

- Pirámiderecta: es aquélla cuyas caras laterales son triángulos isósceles (También: La altura de la pirámide va al centro de la base).

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- Pirámideregular: es aquélla que es recta y su base es un polígono regular. -Apotemade una pirámide regular: altura de cualquiera de sus caras. - Las pirámides seclasificansegún el polígono de la base en triangulares (triángulos), cuadrangulares (cuadriláteros), etc.

CUERPOS DE REVOLUCIÓN

Los cuerpos redondos o cuerpos de revolución se generan al girar una figura plana alrededor de uno de sus lados. Por lo tanto, sólo tienen una cara lateral, que es curva.

CILINDRO RECTO: es el cuerpo geométrico que se genera al rotar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

-Eje de rotación: lado sobre el que ha girado el rectángulo.

-Generatriz: lado del rectángulo opuesto al eje de rotación. Es el que genera el cilindro.

-Altura: distancia (perpendicular) entre las bases. Es igual al eje de rotación. - Sus bases son círculos.

- Losradiosdel círculo son los lados del rectángulo perpendiculares al eje de rotación.

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CONO RECTO: es el cuerpo geométrico que se genera al rotar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.

- Consta de unabase(un círculo) y unvértice.

-Eje de rotación: cateto sobre el que gira el triángulo rectángulo.

-Generatriz: hipotenusa del triángulo rectángulo. Es la que genera el cono. -Altura: segmento perpendicular desde el vértice a la base. Es igual al eje de rotación.

- Elradiode la base es el cateto del triángulo rectángulo que no es el eje de rotación.

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Referencias

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