Números racionales e irracionales

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(1)Colegio Vizcaya. 1º Bachiller. UNIDAD 1:. NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES. 1. 1.

(2) Colegio Vizcaya. 1º Bachiller. NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES 1. INTRODUCCIÓN Los conjuntos de números van ampliándose históricamente a medida que surgen actividades que hacen necesario su uso. Desde la más rudimentaria, contar, que da lugar a los números naturales N = ⎨1, 2, 3, 4, ... ⎬, pasando por repartir, que hace necesario el nacimiento de los números racionales Q = {a/b, b ≠ 0} , comerciar con saldos negativos, que origina el conjunto de los números enteros Z = ⎨...,-2,-1,0,1, 2, ...⎬ y construir, comparar, edificar, medir… que requiere que el conjunto de números se amplíe de nuevo. Actividad: 1. Construye un triángulo rectángulo de catetos 1 y 1, ¿cuánto mide su hipotenusa?. Los números no son un invento de la humanidad, siempre han estado ahí, en el entorno y las actividades que nos rodean, haciéndose notar, a pesar del rechazo que ha generado la existencia de algunos de ellos, como el 0 y - 1 . Son sus grafías las que han experimentado una evolución asombrosa a lo largo de la historia, para responder a las necesidades crecientes en su uso hasta alcanzar la forma que tienen en la actualidad. 2. CLASIFICACIÓN DE NÚMEROS. Æ Números NATURALES: Æ Números ENTEROS:. N = ⎨1, 2, 3, 4, ...⎬ Son los números naturales, sus opuestos y 0. Z = ⎨..., - 2, - 1, 0, 1, 2, ...⎬. Æ Números RACIONALES: Se llama número racional al que puede expresarse como fracción de números enteros. ⎧a ⎫ Q = ⎨ / a, b ∈ Z; b ≠ 0⎬ b ⎩ ⎭ Su expresión decimal es exacta o periódica (pura o mixta).. Actividad: 2. Define, con los apuntes de cursos anteriores, qué se entiende por decimal exacto o periódico, y escribe cómo se realiza el paso de nº decimal a fracción y viceversa. 3. ¿Cuál sería el resultado de estas operaciones?. 3 0 0 , , 0 3 0. 3. 2.

(3) EJERCICIOS DE REPASO 1) Mentalmente decide cuáles de las siguientes fracciones tienen una expresión decimal exacta y cuáles la tienen periódica y comprueba si tu deducción es correcta a). 1 9. b). 26 130. c). 3 22. 9 50. d). 2) ¿Cuántas cifras puede tener como máximo el periodo de. e). 82 13. 1 ? 47. 3) Escribe en forma de fracción las siguientes expresiones decimales exactas y redúcelas, después comprueba con la calculadora si está bien: a) 8’35 b) 791’297835 c) 0’47 4) Escribe en forma de fracción las siguientes expresiones decimales periódicas, redúcelas y comprueba que está bien: a) 9’464646….. b) 91’02545454…. c) 0’9999….. d) 3’267123123123….. 5) ¿Puedes demostrar que 4,99999… es igual a 5? ¿Calcula cuánto vale 2,5999…? 6) Realiza las siguientes operaciones: 3 4 3 a) 2   : 5 3 4 b) 9 . 1. 1 7 2   4 3 5. f) 2. 6  2 c)    1   5  5 5 4 d)    6 5. 2. 1. 2 1      3 2. 2. 1. 5 2 7 4 e)    :      2 5 3 3. 2. 1 3  4 5 7 3  10 4. 5 3 g)    2 4. 2. 1.   3  17       2  5  8 . 2. 7) Expresa cada decimal en forma de fracción y calcula   a) 12 ,6  7,3   b) 3,76  4,8  c) 1,25 : 2,25. 3.

(4) Colegio Vizcaya. 1º Bachiller. Æ Números IRRACIONALES: Los números irracionales, al contrario que los racionales, no pueden expresarse como cociente de números enteros, luego no pueden ser ni decimales exactos ni periódicos. Por tanto, los definimos como: “El conjunto de números cuya expresión decimal tiene infinitas cifras decimales no periódicas”. Dicho conjunto se designa con la letra I. Son ejemplos de números irracionales: 2 , π, e... Dado que no se puede conocer su valor exacto (por eso se designan con letras o símbolos), se suelen utilizar e aproximaciones mediante números racionales cercanos. Por ejemplo π ≅ 3’1416, ≅ 2'7183 .. Æ Números REALES: Es el conjunto formado por todos los números racionales e irracionales. Se designa con la letra R. R=Q ∪ I Se representan en la recta real asignando a cada punto un número. Entre cada dos números reales hay infinitos números reales.. Actividad: 4. ¿Cuál es el número real siguiente a 1? ¿y el anterior a 2? ¿Son consecutivos los números reales?. R. Q 3 5. Z. N. -7. I. -4. 8 3 ….. …. 2 7. ….. π. e…. Actividad: 5. Clasifica los siguientes números indicando cuál es el conjunto (N, Z, Q, R) más pequeño al que pertenecen: 18 −π 5, - 7, 0’23, 5/4, , 4'7 , −4 , − 3, 3 −5, 2 2 6. Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales: a) 3’222.... b). c)-0’1010010001.... d) -3’28888.... e) 0’4353535.... g) 120’143143.... h). 7. f). 11. 121. 4. 4.

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(6) Colegio Vizcaya. 1º Bachiller. 3. INTERVALOS Y ENTORNOS. Los números reales pueden representarse en la recta real agrupados en intervalos y entornos: -. Intervalo abierto: (a, b) = {x ∈ R / a < x < b} a. -. b. Intervalo cerrado: [a, b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b} a. -. b. Intervalo semiabierto o semicerrado:. [a, b) = {x ∈ R / a ≤ x < b} a. b. a. b. (a, b] = {x ∈ R / a < x ≤ b} -. Intervalos infinitos: (a, ∞ ) = {x ∈ R / x > a} a. [a, ∞ ) = {x ∈ R / x ≥ a} a. (− ∞, a) = {x ∈ R / x < a} a. (− ∞, a] = {x ∈ R / x ≤ a} a. -. Entorno simétrico de centro a y radio r: E(a, r) = (a − r, a + r ) a–r. -. a. a+r. Entorno lateral por la izquierda de centro a y radio r: E − (a, r) = (a − r, a) a–r. -. a. Entorno lateral por la derecha de centro a y radio r: E + (a, r) = (a, a + r ) a. a+r. 5. 6.

(7) Colegio Vizcaya. 1º Bachiller. Entorno reducido de centro a y radio r:. -. E* (a, r) = (a − r, a + r ) − {a} a–r. a. a+r. Ejemplo: [-2,3]. ---------2. ----3. E(2,4) = (-2,6) -2. 6. E * (-1,3)= (-4,2)- {- 1} -4. -1. 2. Unión : Se define la unión de dos conjuntos A y B como el conjunto formado por todos los elementos de ambos conjuntos. Se escribe A ∪ B. Intersección: Se define la intersección de dos conjuntos A y B como el conjunto formado por los elementos comunes de ambos conjuntos. Se escribe A ∩ B.. Ejemplos: 1). A = ⎨2, 4, 6⎬ B = ⎨1, 2, 3⎬ A ∪ B = ⎨1, 2, 3, 4, 6⎬ A ∩ B = ⎨2⎬. 2) [-3,5) ∪ (2,9) = [-3,9) [-3,5] ∩ (2,9) = (2,5] (2,4] ∩ [6,8] = φ (φ significa conjunto vacío: que no contiene ningún elemento). 6. 7.

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(9) 15 . Números reales y complejos.  . 1.7. Aproximaciones y errores  Recuerda que:  En muchas ocasiones es necesario hacer aproximaciones por motivos prácticos o trabajar con números  aproximados por entre otros motivos no conocer los valores exactos. Así por ejemplo, si nos pesamos  es  una  báscula  y  marca  54’4  Kg,  ¿cuánto  pesamos  exactamente?  No  se  puede  saber,  lo  máximo  que  podemos decir es que nuestro peso está entre 54’3 y 54’5 Kg si el error máximo es de 100 g. . Error Absoluto  Se define el Error Absoluto (EA) como EA =  valor real  valor aproximado .    Ejemplo:  Si aproximamos    3’1416 tendremos que el  EA =     3’1416 =  00000073   0’0000073 unas 7  millonésimas.  Observa  que  si  no  se  conoce  el  valor  real,  no  podemos  calcular  exactamente  el  error  absoluto, pero si aproximarlo calculando una cota del error.   . Cota del Error Absoluto:   Podemos  conocer  una  cota  del  error  absoluto  teniendo  en  cuenta  el  orden  de  aproximación,  así,  si  hemos redondeado en las diezmilésimas (como en el ejemplo) siempre podemos afirmar que el EA     0’00005, es decir, menor o igual que media unidad del valor de la cifra de redondeo o 5 unidades de la  siguiente (5 cienmilésimas), que es lo mismo. . Actividades resueltas  Calcula la cota del error absoluto de N   3’7    EA   0’05. Y la cota de error de N   300 es   EA  50 si suponemos que hemos redondeado en las centenas.   . Error Relativo.  Para comparar errores de distintas magnitudes o números se define el Error Relativo (ER) como:  ER = . EA   Valor real. que suele multiplicarse por 100 para hablar de % de error relativo.   Si  no  se  conoce  el  valor  real  se  sustituye  por  el  valor  aproximado  (la  diferencia  normalmente  es  pequeña). . Actividades resueltas  Si aproximamos raíz de 3 por 1’73, el error relativo cometido es: . 3  1’73  EA  0’0021   ER =  0 '0021  0 '0021 = 0’00121387  0’12 %  3. Matemáticas I. Bachillerato de Ciencias. Capítulo 1: Números reales y complejos  LibrosMareaVerde.tk  www.apuntesmareaverde.org.es . 1'73. Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya  Revisora: Rosa María Herrera  Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF . 9.

(10) 16 . Números reales y complejos.  . En las aproximaciones A = 7’4 con EA  0’05 y B = 970 con EA  5, ¿en cuál estamos cometiendo  proporcionalmente menor error?  Calculamos los errores relativos:  A  ER  . 0'05  0’00675  ER  0’68 %  7 '4. B  ER  . 5  0’00515  ER  0’52 %  970. Es mejor aproximación la de B.   . Control del error cometido  Recuerda que:  En cada suma o resta el error absoluto es la suma de los errores absolutos. Por tanto puede aumentar  peligrosamente si hacemos varias sumas y restas.  Los errores relativos se suman al multiplicar dos números. . Actividades resueltas  Medimos el radio de una circunferencia con una regla milimetrada y marca 7’0 cm. Queremos  calcular el área del círculo. El error máximo en el radio es de 0’05 cm luego puede estar entre  6’95 y 7’05. Si aplicamos la fórmula r2 para estos valores obtenemos 151’7 y 156’1, que son los  valores mínimo y máximo. La diferencia es 4’4 y su mitad es 2’2 que es la cota de error absoluto.  Decimos que A = 153’9    2’2 cm2.  A  ER  . 2'2  0’0143  ER  1’43 %  153'9. r  ER  . 0'05  0’00714  ER  0’71 %  7. El radio tenía una cota de 0’71 %, luego hemos perdido precisión.   Si operamos con números aproximados, y peor aún, si lo hacemos en repetidas ocasiones, los errores se  van acumulando hasta el punto de poder hacerse intolerables.  . Actividades propuestas  28. Redondea . 1 5  hasta las décimas y halla los errores absoluto y relativo cometidos.  2. 29. Halla una cota del error absoluto en las siguientes aproximaciones:  a) 5’8     b) 417    c) 417’00  30. Una balanza tiene un error inferior o igual a 50 g en sus medidas. Usamos esa balanza para elaborar  5  paquetes  de  café  de  medio  kilogramo  cada  uno  que  son  un  lote.  Determina  el  peso  mínimo  y  máximo del lote. ¿Cuál es la cota del error absoluto para el lote?    Matemáticas I. Bachillerato de Ciencias. Capítulo 1: Números reales y complejos  LibrosMareaVerde.tk  www.apuntesmareaverde.org.es . Autor: Jorge Muñoz y Paco Moya  Revisora: Rosa María Herrera  Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF . 10.

(11) Números reales. 26   . 5. NOTACION CIENTÍFICA  5.1. Definición  La notación científica se utiliza para escribir números muy grandes o muy pequeños.  La ventaja que tiene sobre la notación decimal es que las cifras se nos dan contadas, con lo que el orden  de magnitud del número es evidente.    Un número puesto en notación científica consta de:                 Una  parte  entera  formada  por  una  sola  cifra  que  no  es  el  cero  (la  de  las  unidades).   El resto de las cifras significativas puestas como parte decimal.     Una potencia de base 10 que da el orden de magnitud del número.                           N = a’bcd...·10n   siendo: a su parte entera (solo una cifra)    b c d… su parte decimal         10n La potencia entera de base 10    Si n es positivo, el número N es “grande”    Y si n es negativo, entonces N es “pequeño”     . Ejemplos:  32’48 ∙ 1014 (= 348000000000000): Número grande.  8’561 ∙ 10‐18 (= 0,000000000000000008561): Número pequeño. . 5.2. Operaciones con notación científica  Para operar con números dados en notación científica se procede de forma natural, teniendo en cuenta  que cada número está formado por dos factores: la expresión decimal y la potencia de base 10.  El producto y el cociente son inmediatos, mientras que la suma y la resta exigen preparar los sumandos  de modo que tengan la misma potencia de base 10 y, así poder sacar factor común.  Ejemplos:  (5’24 ∙106) ∙ (6’3 ∙ 108) = (5’24 ∙ 6’3) ∙ 106+8 = 33’012 ∙ 1014 = 3’3012 ∙ 1015  b)         .  . 5'24·106  (5'24 : 6'3) · 106(8)  0'8317 · 1014  8'317 1013   8 6'3·10 RECUERDA:   Para multiplicar números en notación científica, se multiplican las partes  decimales y se suman los exponentes de la potencia de base 10.   Para dividir números en notación científica, se dividen las partes decimales  y se restan los exponentes de la potencia de base 10.   Si  hace  falta  se  multiplica  o  se  divide  el  número  resultante  por  una  potencia de 10 para dejar con una sola cifra en la parte entera. . Mat. Aplicadas a las Ciencias Sociales I. 1º Bachillerato. Capítulo 1: Números reales  LibrosMareaVerde.tk    www.apuntesmareaverde.org.es   . Autor: José Antonio Encabo de Lucas y Paco Moya   Revisora: Nieves Zuasti  Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF . 11.

(12) Números reales. 27   . 5’83 ∙ 109 + 6’932 ∙ 1012  7’5 ∙ 1010 = 5’83 ∙ 109 + 6932 ∙ 109   75 ∙ 109 = (5’83 + 6932  75) ∙ 109  =  = 6862’83 ∙ 109 = 6’86283 ∙ 1012 .        .  . RECUERDA:   Para  sumar  o  restar  números  en  notación  científica,  hay  que  poner  los  números  con  la  misma potencia de base 10, multiplicando o dividiendo por potencias de base 10.   Se saca factor común la potencia de base 10 y después se suman o restan los números  decimales quedando un número decimal multiplicado por la potencia de 10.   Por último si hace falta se multiplica o se divide el número resultante por una potencia de  10 para dejar en la parte entera una sola cifra. .   Actividades propuestas  44. Calcula:  b) (5’2 ∙ 10‐4) : (3’2 ∙ 10‐6)  a) (7’83 ∙10‐5) ∙ (1’84 ∙1013)     45. Efectúa y expresa el resultado en notación científica:  5 4 a)  3  10 6  7  105      .  . b)  7 '35  10  3'2  10 7 3. a)  (4’3 ∙ 103  7’2 ∙ 105)2  .  .  .  .  . 4. 5  10 10  5  10   46. Realiza las siguientes operaciones y efectúa el resultado en notación científica: . b) (7’8 ∙ 10‐7)3 . Mat. Aplicadas a las Ciencias Sociales I. 1º Bachillerato. Capítulo 1: Números reales  LibrosMareaVerde.tk    www.apuntesmareaverde.org.es   . Autor: José Antonio Encabo de Lucas y Paco Moya   Revisora: Nieves Zuasti  Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF . 12.

(13) Números reales. 20   . 3. POTENCIAS DE EXPONENTE RACIONAL. RADICALES  3.1. Potencias de exponente racional  Se define la potencia de exponente fraccionario r/s y base a como:    ar/s= s a r.  .  . Ejemplo:  Exponentes fraccionarios:  (16) 3 / 4  4 16 3   Las  propiedades  citadas  para  las  potencias  de  exponente  entero  son  válidas  para  las  potencias  de  exponentes fraccionarios  Ejemplo:  8 2 / 3  3 8 2  3 64  4  . 3.2. Radicales  Se  define  raíz  n‐sima  de  un  número  a,  como  el  número  b  que verifica la igualdad bn = a.  n. a  b  bn = a. Siendo:  n  el  índice,  a  la  cantidad  subradical o radicando y b es la raíz  n‐sima de a                   Importante: n siempre es positivo. No existe la raíz 5 de un número.    La radicación de índice  n es la operación inversa de la potenciación de exponente n.    Por la definición de raíz  n‐ésima de un número a se verifica que si b es raíz, entonces:      . n. a  b  bn = a.   Observa que se puede definir: a1/n =  n a  ya que: (a1/n)n = a(1/n) · n = a1 = a.  Como a1/n satisface la misma propiedad que b deben ser considerados como el mismo número.  Ejemplos:  (81) 3 / 4 . 125. 2. 3. 4. 813 . 4. (3 4 ) 3 .  .  3 1252  3 53. 2. 4. 312  ( 3)12 / 4  33  27  .  3 56  5. 6. 3.  52  25  . Mat. Aplicadas a las Ciencias Sociales I. 1º Bachillerato. Capítulo 1: Números reales  LibrosMareaVerde.tk    www.apuntesmareaverde.org.es   . Autor: José Antonio Encabo de Lucas y Paco Moya   Revisora: Nieves Zuasti  Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF . 13.

(14) Números reales. 21   . 3.3. Propiedades de los radicales  Las propiedades de las potencias enunciadas anteriormente para el caso de exponentes fraccionarios,  también se pueden aplicar a las raíces:  a) Si multiplicamos el índice de una raíz  n por un número  p, y a la vez elevamos el radicando a ese  número p el valor de la raíz no varía.  Se verifica p  0 que:  n. a. n. p. a p . . Demostración:   n. p. a. p. a. p p.n. 1.  an . a . n. Ejemplo:  3. 5  6 25 . Se verifica puesto que según acabamos de ver: 3 5  3.2 52  6 25  . b) Para multiplicar raíces del mismo índice, se multiplican los radicandos y se halla la raíz de índice  común:  n. a.n b  n a.b .  . Demostración:   Según las propiedades de las potencias de exponentes enteros se verifica que:  1 n. 1. 1. a  b  (a  b) n  a n  b n . n. a n b  . c) Para dividir raíces del mismo índice se dividen los radicandos y se halla la raíz del índice común.  Suponemos que b ≠ 0 para que tenga sentido el cociente.  n n. a n a  b .  b. Demostración:   Si escribimos:  n. 1 n. 1 n. n a a a a  ( )  1  n .  b b b bn. Ejemplo:  3 3. a7 a. 4. . 3. a7  a4. 3. a 74 . 3. a3  a.   d) Para elevar un radical a una potencia basta con elevar el radicando a dicha potencia:  (n a )m . n. am  . Demostración:   Mat. Aplicadas a las Ciencias Sociales I. 1º Bachillerato. Capítulo 1: Números reales  LibrosMareaVerde.tk    www.apuntesmareaverde.org.es   . Autor: José Antonio Encabo de Lucas y Paco Moya   Revisora: Nieves Zuasti  Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF . 14.

(15) Números reales. 22   . Esta propiedad la podemos demostrar como sigue:  m.  a n. m. m  1 n    a  a n  am    .  . 1 n.  n am  . e) La raíz de una raíz es igual a la raíz cuyo índice es el producto  de los índices:  m n. a . m.n. a . Demostración:   Se verifica que:  1. m n. 1  1 m a   a n   a nm  mn a    . Ejemplo:  3 5. 1. 1. 1. x15  y 30  15 x15  y 30  ( x15  y 30 ) 15  ( x15 ) 15  ( y 30 ) 15  x  y 2  . Actividades resueltas:  Reduce a índice común (6) los siguientes radicales:  3 536; 2 70   3. 536 . 3. 2 3  67 . 6. ( 2 3  67 ) 2 ;  . 70  2 2  5  7  6 2 3  5 3  7 3 . . Saca factores fuera de la raíz:    108  2 2 2  33  2 2 2  3 2  3  2  3  2 3  6  2 3   Escribe los siguientes radicales como una sola raíz:  2. 3 .3 4  6 24. 6. 3 3 .6 4 2 6. 3. . 6. 2 .3. 33.2 4  2 3.3. 6. 2.32  6 18  . Actividades propuestas  34. Calcula:  a)  ( 3 a 6 .b 9 ) 2   .  .  . b)  3. 23 3 .      3 4. 3x    y2.  . b) . 5 2 :   3 3. c)  (12 ( x  1) 3 ) 2  . 35. Halla:  a). 2 4. x : 5y. 4. 36. Realiza las siguientes operaciones con radicales:  a)  4. x 3x : 4 2     5y y.  . b) ( 5 ( x  3) 2 ) 3  . Mat. Aplicadas a las Ciencias Sociales I. 1º Bachillerato. Capítulo 1: Números reales  LibrosMareaVerde.tk    www.apuntesmareaverde.org.es   .  . Autor: José Antonio Encabo de Lucas y Paco Moya   Revisora: Nieves Zuasti  Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF . 15.

(16) Números reales. 23   . 4. OPERACIONES CON RADICALES: RACIONALIZACION  4.1. Operaciones  Suma y resta de radicales:   . RECUERDA: .  .  . Para sumar y restar radicales estos deben de ser idénticos: .  .   4. 9 235. 13  . Para sumar estos radicales hay que sumar sus expresiones aproximadas.  Sin embargo la expresión: . 7 5  11 5  5  17 5   sí se puede sumar y restar puesto que sus radicales son idénticos   . Para poder sumar o restar radicales es necesario que tengan el  mismo índice y el mismo radicando. .    . Solo  cuando  esto  sucede  podemos  sumar  o  restar  los  coeficientes o parte numérica dejando el mismo radical .   Ejemplo: . 18  8  1250  2  32  23  2  54 .    . Por las propiedades de los radicales podemos sacar factores del radical dejando que todos los radicales  sean idénticos:  2  3 2  2 2  2  2  5 2  5 2  3  2  2  2  5  5  2  3 2  2 2  25 2  (3  2  25 ) 2  30 2  . Producto de radicales  Para multiplicar radicales debemos convertirlos en radicales de igual índice y multiplicar los radicandos:   . 1.‐ Calculamos el m.c.m.de los índices .  . 2.‐  Dividimos  el  m.c.m  entre  cada  índice  y  lo  multiplicamos  por  el  exponente  del  radicando  y    simplificamos    Ejemplo:  5. 8  3 7  15 8 3  7 5  15 ( 2 3 ) 3  7 5  15 2 9  7 5  . División de radicales  Para dividir radicales debemos conseguir que tengan igual índice, como en el caso anterior y después  dividir los radicales. . Mat. Aplicadas a las Ciencias Sociales I. 1º Bachillerato. Capítulo 1: Números reales  LibrosMareaVerde.tk    www.apuntesmareaverde.org.es   . Autor: José Antonio Encabo de Lucas y Paco Moya   Revisora: Nieves Zuasti  Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF . 16.

(17) Números reales. 24   . Ejemplo:  3 .3 4  6 24. 6. 33.4 2  24. 6. 33.( 2 2 ) 2  2 3.3. 6. 33.2 4 6 2 1 6  3 .2  18   2 3.3. Raíz de una raíz  Es la raíz cuyo índice es el producto de los índices (según se demostró en la propiedad e), y después  simplificamos extrayendo factores fuera el radical si se puede.  Ejemplo:  3. x 7  y 5 =  6 x 7  y 5 =  6 x 6  x 1  y 5  x  6 x  y 5  .  . RECUERDA: .    . Para  extraer  factores  del  radical  se  debe  cumplir  que  el  exponente  del  radicando  sea  mayor que el índice de la raíz. .  . 2 opciones:   Se  divide  el  exponente  del  radicando  entre  el  índice  de  la  raíz,  el  cociente  indica el número de factores que extraigo y el resto los que se quedan dentro.   Se descomponen los factores del radicando elevándolos al mismo índice de la  raíz,  cada  exponente  que  coincida  con  el  índice,  saldrá  el  factor  y  los  que  sobren se quedan dentro .         Ejemplo: . Extrae factores del radical:   28 x 5  75 y 3. 2. 227  x5  3  52 y 3. 2 2  7  x 2  x 2  x  =   3  52  y 2  y. Los  factores  que  podríamos  extraer  serían  el  2,  x,  y  y  el  5,  de  la  siguiente manera:    Dividimos el exponente de la x, 5, entre 2, ya que el índice de la raíz es 2, y tenemos de cociente 2 y de  resto 1, por lo que saldrán dos x y queda 1 dentro.  De igual forma para la y, dividimos 3 entre 2 y obtenemos 1 de cociente y uno de resto, por lo que sale  1 y y se queda otra dentro.  Veamos:  . 2 2  7  x 2.  x 2  x 2x2  5y 3  5 2  y 2  y1. 7x   3y. Actividades propuestas  2. 37. Escribe bajo un solo radical y simplifica:    4. 38. Calcula y simplifica:  . x 3 . y 3 .3 x 4 . y 5 6. x5 . y4. 2. 2. 3.2 4.2 5.2 62 8    .  . Mat. Aplicadas a las Ciencias Sociales I. 1º Bachillerato. Capítulo 1: Números reales  LibrosMareaVerde.tk    www.apuntesmareaverde.org.es   . Autor: José Antonio Encabo de Lucas y Paco Moya   Revisora: Nieves Zuasti  Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF . 17.

(18) Números reales. 25   . 39. Realiza la siguiente operación:   40. Calcula y simplifica:  . 2. x 3  16 x 7  x.  . 3 3 x2 4 9 · ·   x 8 5. 4.2. Racionalización  Racionalizar una fracción algebraica consiste en encontrar otra equivalente que no tenga radicales en el  denominador.  Para ello, hay que multiplicar numerador y denominador por la expresión adecuada.  Cuando en la fracción solo hay monomios, se multiplica y divide la fracción por un mismo número para  conseguir completar en el denominador una potencia del mismo exponente que el índice de la raíz.  Ejemplo:  4. 6 .  x3. Multiplicamos  y  dividimos  por 4 x para  obtener  en  el  denominador  una  cuarta  potencia  y  quitar  el  radical.  4. 6  x3. 4 4. 6 x. 3. . 4 4. x 46   x 4 x3. 4. 6x. 4. 4. x. . 4. 6x   x. Cuando en la fracción aparecen en el denominador binomios con raíces cuadradas, se multiplica y se  divide por un factor que proporcione una diferencia de cuadrados, este factor es el factor conjugado del  denominador. . a  b , su conjugado es:  a  b .  Otro ejemplo:  ( a  b)  su conjugado es:  ( a  b)   Ejemplo:  3 2   3 5. Multiplicamos por el conjugado del denominador que en este caso es:  3  5   3 2 3 2( 3  5) 3 2( 3  5) 3 2( 3  5)      35 2 3  5 ( 3  5 )( 3  5 ). Actividades propuestas  41. Racionaliza la expresión:  42. Racionaliza: . 3 32 2   3 2. 43. Racionaliza: . 5 5 2 2   5 2. x  3y x  2y.  .   Mat. Aplicadas a las Ciencias Sociales I. 1º Bachillerato. Capítulo 1: Números reales  LibrosMareaVerde.tk    www.apuntesmareaverde.org.es   . Autor: José Antonio Encabo de Lucas y Paco Moya   Revisora: Nieves Zuasti  Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF . 18.

(19) Colegio Vizcaya. 6.-. 1º Bachiller. LOGARITMO DE UN NÚMERO. PROPIEDADES. Seguramente, serías capaz de resolver la ecuación: 2 x · 2= 64, aunque la incógnita (x) esté en el exponente. Para ello, bastaría con expresar toda la igualdad en base 2: 2 x + 1 = 2 6 ⇒ x+1 =6 ⇒ x=5. Sin embargo, resultaría más difícil despejar con precisión la incógnita en esta ecuación: 2 x ·2 = 40 ya que, siguiendo la estrategia anterior: 2 x + 1 = 40, sólo podríamos dar un valor aproximado a x, pues 40 no es potencia de 2. Deducimos que x+1 debe ser 5’??.. pues 2 5 =32 y 2 6 =64. Por tanto, x= 4’??? . Podríamos buscar con la calculadora una buena aproximación, probando con distintos valores. No obstante, parece conveniente definir alguna herramienta matemática útil cuando se trata de manejar exponentes. Sabemos que en toda potencia aparecen tres elementos: base, exponente y. 23 = 8. potencia o resultado.. Necesitamos conocer dos de los tres elementos para calcular el tercero:. a) Si conocemos la base y el exponente: 23 = F y debemos calcular el resultado, la operación se llama POTENCIA y te resulta conocida. b) Si disponemos del exponente y la potencia: F 3 = 8 y tenemos que calcular la base, la operación se llama RADICACIÓN y, aunque la has estudiado anteriormente, se escribe con otro formato:. 3. 8= F. c) La tercera posibilidad es que conozcamos la base y el resultado de la potencia: □ 2 =8 Es entonces cuando debemos calcular el exponente. Esto es lo que conocemos con el nombre de LOGARITMO. Logaritmo es un sinónimo de exponente. LOGARITMO ≡ EXPONENTE También se escribe con otro formato:. log 2 8 =. Se lee “logaritmo en base 2 de 8 “. Ejemplos: a) log 2 16 =4. porque. 2 4 = 16. c) log 5 1 = 0. porque. b) log 2. 1 = -1 2. porque. 2 −1 =. 1 2. 50 = 1. 12. 19.

(20) Colegio Vizcaya. 1º Bachiller. Actividad: 15. Completa los siguientes logaritmos: log 3 9 =. log 3 3 =. log 1 4 =. log 7 1 =. 2. 1 = 9 3. log 1. log. 5. 5 =. log 4. 1 = 64. log 2. 1 = 4. Si no consigues hacerlo con cálculo mental, puedes llamarle x formato potencia, es decir: 3 1 3 log 3 27 =x ⇒ 3 x = 27 ⇒ 3 x = 3 3 2 ⇒ 3 x =3 2 ⇒ x = 2 3 luego log 3 27 = 2. y pasar al. ( ). Ahora que comprendes el concepto, vamos a escribir una definición precisa del concepto de logaritmo:. Definición: Se define el logaritmo en base a de b, como el exponente x al que hay que elevar a para obtener b, es decir log a b = x ⇔ a x = b. Cuando se manejan números muy grandes o muy pequeños, es más cómodo utilizar sólo los exponentes. ¿Sabías que los números de la escala de Richter que mide la fuerza de los terremotos, son logaritmos?. Actividad: 16. Calcula ahora los siguientes logaritmos: log 2 −4 = log 1 3 =. log 2 0 =. log −2 4=. Si has encontrado dificultades para resolverlos, igual has llegado a alguna de las siguientes conclusiones:. Características: 1) La base a tiene que ser un nº positivo y distinto de 0 y 1, ya que una base 3. negativa puede dar lugar a potencias no reales:. (-1) 2 = (−1)3 =. − 1 ?????. (en la unidad 5 veremos los números complejos, que surgen de las raíces de números negativos).. 13. 20.

(21) Colegio Vizcaya. 1º Bachiller. Además, no tiene sentido hablar de. log 1 3. ó. log 0 5 , pues cualquier potencia. de 1 es igual a 1 (nunca podría ser 3), y cualquier potencia de 0 sería 0, es decir, sólo existirían log 1 1 y log 0 0 y serían igual a todos los números reales.. 2) Por otra parte, la potencia b no puede ser negativa ni 0, Potencia b>0. log ab = c. Exponente c cualquier nº real. Base a>0 a≠ 1. 3) Los logaritmos más utilizados son los de base 10, llamados logaritmos decimales, en los que no es necesario precisar la base, ( log10 b = log b ) y los logaritmos neperianos, de base el nº e ≅ 2’7182… cuya notación es Lna= log e a .. Ejemplos: log100=2,. log0’1= -1. Lne=1. Actividad: 17. Calcula los siguientes logaritmos: log a 1 = log a a = log a a3 = Lne x =. Propiedades de los logaritmos: Recuerda siempre que un logaritmo es un exponente y, por tanto, debe cumplir las mismas propiedades. Sabemos que al multiplicar dos potencias de la misma base, se suman los exponentes ya que:. a 3 ⋅a2 = a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a = a 5. ⇒ a m ⋅ an = a. m +n. Si el exponente del producto es la suma de los exponentes, el logaritmo del producto, debe ser la suma de los logaritmos, es decir:. 1). log a (b ⋅ c) = loga b + loga c. 14. 21.

(22) Colegio Vizcaya. 1º Bachiller. Por la misma razón, y dado que el exponente del cociente de dos potencias, am es la resta de los exponentes: = am−n , se cumplirá que el logaritmo del cociente es n a la resta de los logaritmos:. 2). log a. b = log a b − loga c c. Por último, al elevar una potencia a otra potencia, se multiplican los ya que (2 3 ) 2 = 2 3 ⋅2 3 = 2·2·2 · 2·2·2 = 2 6 , exponentes: (a m )n = a m⋅n Luego debe cumplirse que:. 3). loga b n = n ⋅ loga b. (recuerda que tanto n como el log a b. son los exponentes). Esta última propiedad puede razonarse de otra manera, utilizando la propiedad 1:. log a b n = log a (b ⋅ b ⋅ b.... ⋅ b) = log a b + log a b +…+ log a b = n· log a b n veces. n veces. Ejemplos: a) Conocido el log 2=0’301 , calcula log20 y log0’08 log20 = log(2·10) = log2+log10 = 0’301+1 = 1´301 8 log0’08=log = log8 - log100 = log2 3 - log100 = 3·log2 – 2 = 3·0’301-2 100. b) Sabiendo que logx+log3 = log12, log(x·3) = log12 ⇒. halla x 3x = 12 ⇒ x=4. Como has podido observar, estas propiedades nos permitirán obtener otros logaritmos a partir de uno o varios conocidos, o despejar incógnitas afectadas por logaritmos. También es cierto que la mayoría de los logaritmos son números irracionales difíciles de precisar. Además, la infinidad de bases posibles hace más difícil la tarea. Por eso, tan sólo se manejan con asiduidad las bases 10 y e, que son las que puedes encontrar en cualquier calculadora. Pero entonces, ¿cómo calcular log 3 5 ? Muy sencillo, se ha encontrado una fórmula que permite el paso de una base a otra.. 15. 22.

(23) Colegio Vizcaya. 1º Bachiller. Fórmula del cambio de base Para pasar de base a a base b. loga x =. logb x logb a. Sería entonces cierto que pasando a base 10 y utilizando la calculadora: log 3 5 =. log 5 = log 3. 0'698 = 1'465 0'477. Vamos a demostrar esta fórmula utilizando el formato de potencia que resulta más familiar.. Demostración Para ello, nombramos con una letra a cada logaritmo: loga x = p ,. logb x = q. Se cumple que:. y logb a = s .. Queremos demostrar que p =. si log a x = p ⇒ ap = x ⎫ ⎪⎪ si logb x = q ⇒ b q = x ⎬ ⇒ ap = b q ⎪ si logb a = s ⇒ b s = a ⎭⎪. ⇒ (b s )p = b q. Sustituyendo a por b. (b ). s p. Luego,. = b q ⇒ b sp = b q ⇒ sp = q ⇒ p =. q s. q s. s. como queríamos demostrar. c.q.d. Por último, vamos ahora a resolver la ecuación que habíamos planteado al principio de este punto: 2 x ·2 = 40 ⇒ x+1=. 1'602 0'301. 2 x +1 =40. log 2 40 = x+1. ⇒. ⇒. log 40 = x+1 ⇒ log 2. ⇒ x+1 = 5’322 ⇒ x= 4’32. Actividad: 18. Calcula, utilizando la definición de logaritmo: 1 a) log2 64 + log2 − log3 9 − log2 2 = 4 1 1 b) log2 + log3 − log2 1 = 32 27. 16. 23.

(24) Colegio Vizcaya. 1º Bachiller. 19. Calcula la base de estos logaritmos: 1 =2 4 1 e) log x 2 = 2. a) logx 125 = 3 d) log x. b) log x. 1 = −2 9. c) logx 0'04 = −2. 20.Sabiendo que log 3 = 0’477, calcula el logaritmo decimal de 30, 300, 3000, 0’3, 0’03, 0’003. 21. Sabiendo que log k = 14’4 calcula: a) log. k 100. (. b) log 0'1 ⋅ k 2. ). c) log 3. 1 k. 1. d) (log k ) 2. 22. Si log k = x, escribe en función de x: a) log k2. b) log. log. 23. Comprueba que. k 100. c) log 10k. 1 + log a −1 a = 3 6 log a. 24. Siendo log 2 = 0’301 y log 3 = 0’477 calcula: a) log 5. b) log 24. c) log 18. d) log. 8 3. 17. 24.

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