Geodésicas y curvatura: una introducción elemental

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(1)

Geodesias y Curvatura: una introduion

elemental

Santiago R. Simana

InstituteforMathematial Sienes

StonyBrook

NY 11794, USA

santiagomath.sunysb.edu

1 Geodesias en superies

Aunque nos pareza un hehotrivial,uando onsideramosuna

super-ie S dentro de R 3

,ellaadquiere unaestrutura metria induidapor

lametriaEulideanaenelespaioambiente. Esto estautologiamente

obvio: dadosvetoresX;Y tangentes aS en unpuntop,podemos

pen-sarlos omo vetores en R 3

basados en el mismo punto, y denir su

produto interno por

hX;Yi

p

=hX;Yi

R 3

:

En partiular, podemos denir lanorma de X en p por laexpresion

kXk

p

=hX;Xi 1

2

R 3

:

Conesto en mente, podemosahoraplantearnoselproblema de

me-dir longitudes de urvas (t) = (x(t);y(t);z(t)) que yaen en S, es

deir, urvaspara lasuales(t)2S para todot. Lasoluionde diho

problema esrelativamentesenilla. Sionsideramosun segmento de la

urva innitesimalmentepeque~no, entre t y t+dt, lalongitud dl de

este segmento,alaualllamaremoselelementodiferenialdelongitud,

El presentetrabajo fue realizado bajo losauspiios dela FundaionGabriella

(2)

estaradadapordl =kk_

(t)

dt. Lalongituddelaurvaentrelospuntos

(t

0

)y (t

1

)es lasumade estas ontribuiones innitesimalesdesdet

0

and t

1

, es deir,la integral

L()= Z

t

1

t

0 dl =

Z

t

1

t

0 kk_

(t)

dt: (1)

Observe que diha expresion tiene sentido siempre que sepamos medir

lalongitud del vetor veloidad de la urva, independientemente de si

lasuperie esta inmersaen elespaio Eulideano o no.

Ejemplo1. Lasurvas

1

(t)=(ost;sent;t)and

2

(t)=(os2t;sen2t;t)

yaen ambas en el ilindro f(x;y;z) : x 2

+y 2

= 1g. Comienzan en

p= (1;0;0) uando t =0, y pasan por el punto q =(1;0;2) uando

t=2. Sus longitudes entre estos dos puntos son

L(

1 )=2

p

2 y L(

2 )=2

p

5;

respetivamente. >Por que esL(

1

) menor queL(

2 )?

Sabiendo entonesmedirlaslongitudes de urvasen una superie,

podemos plantearnos problemas un tanto mas exigentes. Entre otros,

sinosdamospuntos pyqenS,podemospreguntarnossiexistenurvas

en la superie que unan a los puntos en uestion, y de ser as, entre

todas tales urvas, quisieramos enontrar aquella que tenga la menor

longitud.

La primera parte del problema anterior es relativamente banal. A

vees lospuntosp yq dadosnopueden onetarsepormediode urvas

ontnuasenlasuperie,omoenelasodelasuperieenR 3

denida

por laeuaion x 2

y 2

z 2

=1, la ual posee dos hojas, y puntos en

unade ellasnopueden serunidosonpuntosenlaotra. Portalmotivo,

nos apartaremos de trivialidades inneesarias onsiderando solamente

superiesqueseanonexas,oenelpeorde losasos,onsiderandotan

solouna omponenteonexa de lasuperie dada. Pues sip y q yaen

en la misma omponente, siempre existiranurvas (ontnuas) que los

unan.

Bajo esta suposiion, la segunda parte del problema adquiere

sen-tido: puesto que existen urvas que unen a dos puntos dados p y q,

podemos preguntarnos si existe una urva on talpropiedad uya

lon-gitud sea lo mas peque~na posible. Tal urva sera, por deniion, una

urva geodesia que une a p y a q. De manera un poo mas general,

(3)

estos puntos y que sea un punto rtio del funionallongitud desrito

en (1).

Previo al estudio de ejemplos, observemos que la soluion al

pro-blema de omo medirlongitudes deurvasnos abre ungran aminode

posibilidades para el estudio de la superie S. En efeto, puesto que

dados puntos p y q en S existen urvas que los unen uyas longitudes

sabemos omo medir, podemos denir lafunion

d

S

(p;q)=inf

L();

tomando elnmo sobre todas las urvas en S que unen a los puntos

dados. Dihafunionlaramentesatisfae las siguientes propiedades:

a) d

S

(p;q)0, y esero si p=q;

b) d

S

(p;q)=d

S (q;p);

) d

S

(p;q)d

S

(p;r)+d

S (r;q).

Exeptoporunapropiedadquehaefaltaveriar,d

S

deneunanoion

de distania en la superie S. Tal propiedad tiene que ver on el

reproode la propiedad indiada en (a): d

S

(p;q) solo puede ser ero

uando p=q.

Esto leonere ala superie S una estrutura de espaiometrio.

Podemos entones preguntarnos sidiha estrutura metriadetermina

de alguna formauales son lasurvasgeodesias en S. Larespuesta es

s, y esta odiadaen ladesigualdad triangular(). Pues sidenimos

una noionde triangulo en lasuperie uyos lados tengan longitudes

que satisfaganesta desigualdad,lossegmentos de urvasquedelimitan

a tal triangulo son neesariamente segmentos de urvas geodesias en

el espaio metrio (S;d

S

). Veamos.

Ejemplo 2. >Cuales son lasgeodesias en el planoon la metria

Eu-lideana?

Primeroquetodo, podemosambiardeoordenadassiesneesario,

para queen elnuevosistemaelplanodadosea elplanoxy. Yen loque

respeta aeste problema, nos referiremosadihoplano omoa R 2

on

sumetriausual,olvidandonos queestainluidoen R 3

. Noometemos

ningun error alhaerlo pues las metrias de R 2

y R 3

son ompatibles.

La noion de distaniaentre los puntos p =(p

1 ;p

2

) y q = (q

1 ;q

2 ) esta

dada pord(p;q)= p

(p

1 q

1 )

2

+(p

2 q

2 )

2

.

Ladistaniadhasido usadadesdehae muhos siglos en elestudio

(4)

longitud de un lado en un triangulo ualquiera es la distania entre

losverties que lo denen, y laslongitudes de los tres lados satisfaen

ladesigualdad triangular. Esto es todolo que neesitamos para poder

onluirquelossegmentosderetassonlasurvasgeodesiasdelplano.

En efeto, dados los puntos p y q, existe una urva que los une, y

puestoquelaslongitudesestanaotadasinferiormente,podemosdenir

d(p;q) = inf

L(). Supongamos que diho nmo es realizado por

algunaurva(t). Sidihaurvanoesun segmentode reta,tomemos

una porion suientemente peque~na de ella, digamos entre t = a y

t = b donde esto se manieste. Consideremos los puntos p

0

= (a) y

q

0

=(b), y un punto intermedio r =(t) para iertot 2(a;b). Como

no es un segmento de reta en diho intervalo,los puntos p

0 , q

0 y r

denen un triangulo. Si el intervalo [a;b℄ tiene medida muy peque~na,

el segmento de reta entre p

0

y r tiene longitud l

1

aproximadamente

igual a la longitud de entre dihos puntos. De manera similar, el

segmentodereta entre r yq

0

tienelongitudl

2

aproximadamenteigual

alalongitudde entre dihos puntos. Enonseuenia, lalongitudde

entre p

0 y q

0

es aproximadamente igual a l

1 +l

2

, y la aproximaion

es ada vez mas exata en la medida en que el intervalo [a;b℄ se haga

adavez maspeque~no. Peroahorabien,sil eslalongituddelsegmento

de reta entre p

0 y q

0

, por ladesigualdad triangular podemos onluir

quel <l

1 +l

2

. Luego,obtendremos una urva entre p y q de longitud

estritamentemaspeque~naqueL()sireemplazamosalaurva enel

intervalo[a;b℄ porelsegmentode retaqueune lospuntos (a)y (b).

Pero esto ontradira el heho de que realiza la distania entre p y

q, y porende nopuede haberuna urva entre tales puntos de longitud

menora lalongitud de .

Ejemplo 3. Podramos ataar el problema planteado en el ejemplo

anterior usandotenias de Calulo Diferenial. Nos damos la funion

longitudde,L(),paraunaurvaqueuneapyq,ynosproponemos

hayar su mnimo. Haemos esto hayando los puntos rtios de L, es

deir, aquellos puntos donde su derivada se hae ero. >Que quiere

deir eso? Puesto que L es una funionde , la interpretaion de este

metodo hay quehaerla on ierta deliadeza.

Comenemos por alarar un tanto el dominio de la funion L, el

ualhemos ignoradohastaelpresente. Se trata delonjuntode urvas

que unen a p y q. No perdemos ninguna generalidad si suponemos

que tales urvas unen a dihos puntos en tiempo 1, omenzando en

t = 0 en p y terminando en t = 1 en q. Y puesto que queremos

alular sus longitudes, supondremos adiionalmente que tales urvas

(5)

vetor veloidad en ada punto. Tambien neesitaremos que posean

vetor aelaraion, para lo ual se requiere la existenia de segundas

derivadas. Terminamos asonsiderando alonjunto

C

pq

=f:[0;1℄7!R 2

C 2

difereniable; (0) =p; (1) =qg

omo el dominiode lafunionL,

L:C

pq 7!R;

demaneraquesiesribimosaenoordenadasomo(t)=(

1 (t);

2 (t)),

tendremos que

L()= Z

1

0 s

d

1

dt

2

+

d

2

dt

2

dt:

>Como podemos alular la derivada de L? Reduiendo diho

al-ulo al de la derivada de una funion de variable real, omo aquellas

sobre las uales aprendemosen ursos elementales. Veamos.

Seah:[0;1℄7!R 2

una funionualquieraquealmenossea

diferen-iabledosvees,y talqueh(0)=h(1)=(0;0). Paraunparametroreal

yunaurva enC

pq

,lafunion

=+htambienseraunelemento

de C

pq

, esdeir, una urvaC 2

difereniableque une alos puntos py q.

Nopareeelquehayamosganadomuho,peroelargumentoaunno

termina. Supongamosque esun puntortiode L,ymas

espeia-menteaun,supongamosque esun mnimode L. Luego,L()L(~)

para toda urva ~ 2C

p;q

. En partiular, para ualquier h omo la del

parrafoanterior,tendremos queL()L(

),y lafunionL(

)tiene

un mnimo loalen =0. Por lotanto, su derivada on respeto a

debe ser nula uando =0.

Como funion de , L(

) es una funion omo las estudiadas en

ursos de Calulo Diferenial. Determinaremos su derivada, y

usare-mos el resultado para deduir la onlusion apropiada on respeto al

problema de minimizaionque originalmentenos propusimos.

Usemos la notaion _ para referirnos a derivadas on respeto a t,

el argumento de la urva (o de h). Usando la regla de la adena,

obtenemos que:

d

d

L(+h)j

=0 =

d

d Z

1

0 s

d(

1 +h

1 )

dt

2

+

d(

2 +h

2 )

dt

2

dtj

=0

= Z

1

1

kk_ (_

1 _

h

1 +_

2 _

h

(6)

Ahora podemos integrar por partes. Puesto que h(0)=h(1)=(0;0),

losterminosde borde se anulan,y obtenemos porresultado

d

d L(

)j

=0 =

Z

1

0

h

1 d

dt

_

1

kk_

dt+h

2 d

dt

_

2

kk_

dt:

Para que =

0

sea un mnimo de L, la expresion anterior debe

seridentiamentenulaparaualquierh=(h

1 ;h

2

)deltipoonsiderado.

Esojamosa h de la forma

h=(t) d

dt

_

kk_

;

donde (t) es una funionno negativaen [0;1℄ que se anula en 0 y en

1, y que es identiamente igual a 1 en asi todo el resto del intervalo.

Conluimos,por positividad del integrando, que

d

dt

_

k_k

=0: (2)

Podemos re-esribir el resultado anterior on respeto a un par

a-metro mas onveniente que el parametro t. Despues de todo, t fue

seleionadoarbitrariamentey,poronvenienia,podemosambiarloa

nuestro antojo. Enefeto, onsideremosel parametrolongitud de aro

s, relaionadoon t porla euaiondiferenial

ds

dt

=k(t)k_ :

Notemos que omo funionde s, el vetor veloidad de tiene norma

1. De heho,

d

ds =

_

kk_ ;

lo ual hae maniestamente obvio lo armado. La euaion (2) es

equivalente a

d 2

ds 2

=0:

En otras palabras, omo funion de la longitud de aro, (s) tiene

aeleraionnula,yporlotanto,debeserunafunionlinealens. Puesto

queune alospuntos p y q,si l esla longitudde entre dihos puntos,

tendremos que

(s)= l s

p+ s

(7)

Noteseomo(s)_ =(q p)=lesun vetordenorma1puesl =kq pk.

Y observe que en este aso, la uniidaddel punto rtio del funional

L en (1) es suiente para onluir que la urva es en realidad su

mnimo.

Las geodesias en el plano que pasan a traves de un punto dado

jamasvuelven atoarse. Porotrolado, dadaunageodesiayun punto

exterior aella,existe una uniageodesiaqueontiene adihopuntoy

que nointerseta a lageodesia iniial. ut

Ejemplo4. >Cualessonlasgeodesiasdelaesferaderadioa?

Respon-deremosaestapreguntademaneramuysenilla,utilizandonuevamente

el argumentodel Ejemplo 2.

Elradioaaraterizaalaesferadaunamaneraesenial. Yporestar

inluidaenR 3

,laesfera heredauna noiondedistaniainduidaporla

noionde distaniaen dihoespaio. De heho, aprendemos sobreesta

noion muy rapidamente, en ursos de Geometra Eulideana. Pues

dado puntos p y q en la esfera de radio a, la distania entre ellos es

igual a a, donde es el angulo que sustenta el aro de p a q sobre

el meridiano denido por dihos puntos. Llamamos meridiano de una

esfera a ualquier irunferenia que tenga el mismo radio y entro de

la esfera en uestion. Ellosson elresultado de intersetar laesfera on

planos que ontienen a su entro. Dos puntos distintos de la esfera

determinan un meridiano de manera unia, pues ellos, junto on el

entro, determinande maneraunia un plano.

De esta manera, ya sabemos medir las distanias entre puntos de

una esfera dada. Ahorapodemosdenirun trianguloesferio.

Comen-zaremospordeirquetres puntos delaesfera p,q yr noson olineales

si los tres noyaen simultaneamente sobre el mismo meridiano. Dado

tales puntos, el triangulo esferio que ellos denen es el onjunto de

puntos de la esfera aotadoporlos aros de los meridianos

determina-dos porp y q,q y r, y r y p, respetivamente.

Las longitudes de los lados de triangulos esferios satisfaen la

de-sigualdad triangular. En onseuenia, repitiendo el argumento del

Ejemplo 2, podemos onluir que las geodesias de la esfera son sus

segmentos de meridianos.

Lasgeodesias esferias(en otraspalabras, losmeridianos)que

pa-san a traves de un punto vuelven a enontrarse en elpunto antipodal.

Porotro lado, dadauna geodesia y un punto exteriora ella, noexiste

ningunaotra geodesiaqueontenga adihopunto yque nointersete

(8)

Ejeriio 5. Convenzase de que los triangulos esferios satisfaen la

desigualdadtriangular (relaioneeste hehoon propiedadesde los

o-nos solidos sustentados por triangulosesferios).

Ejeriio 6. De una demostraionde que las geodesias esferias son

segmentosdemeridianosmayoresusandounprinipiovariaional,omo

elutilizadoen elEjemplo3. >Que sistemade oordenadas sera

onve-niente utilizar? >Como debe ser elvetor aeleraionde una geodesia

esferia en relaion on laesfera misma?

Ejemplo7. Finalmenteonsideramosunaso muyinteresante, elual

nos servira de muho. Porahora nos ilustrara la dependenia estreha

que hay entre la noion de geodesia y la metria subyaente sobre la

superieen uestion.

Porrazoneshistorias,imitaremosla notaionusada en Fsia.

Mi-raremos el onjunto de puntos (x;y;t) 2 R 3

= R 2+1

que satisfaen la

relaionx 2

+y 2

t 2

= a 2

para ierto numeroreal a >0:

H

a

=f(x;y;t): x 2

+y 2

t 2

= a 2

g:

Sinembargo,ledaremosaeste onjuntounaestrutura metriaqueno

esla induidapor lametria Eulideana en R 3

. Veamos.

Dar una metria en una superie es darse una manera de medir

el produto interno de vetores tangentes a la superie en ualquier

punto de ella. Si U = u

1

x +v

1

y +w

1

t

y V = u

2

x +v

2

y +w

2

t

son vetores tangentes a R 3

, deniremos la forma bilineal Q por la

expresion

Q(U;V)=u

1 u

2 +v

1 v

2 w

1 w

2 :

AR 3

provistoon estaestrutura lellamaremosespaio-tiempo,

termi-nologa usada por los Fsios, y analoga al onepto de espaio

Euli-deano,terminousado porlos Matematiospara referirse aR 3

provisto

on su estrutura metria habitual. Usando esta forma uadratia, el

onjunto H

a

setorna en la Q-esfera de radio p

a 2

.

QnoesunprodutointernoporqueengeneralQ(U;U)noesmayor

o igual que ero. De heho, podemos lasiar los vetores tangentes

en trestipos: deimosqueU esun vetorespaialsiQ(U;U)>0;U es

un vetor temporal si Q(U;U)<0; y U es un vetor nulo o en el ono

de luz si Q(U;U)=0.

Le daremos a H

a

la metria que la forma bilineal Q indue sobre

la superie. Es deir, deniremos el produto interno en H

a

por la

expresion

hU;Vi def

(9)

<Un momento! >Por que es esto un produto interno sobre H

a

? Para

ello todos los vetores no triviales tangentes a H

a

tendran que ser

espaiales, y eso noparee obvio, >verdad?

Enefeto, noesobvio,pero lopodemos veriar. Consideremos un

vetor tangente aH

a

en elpunto (x;y;t):

U =u

x +v

y +w

t :

Puesto que U estangente aH

a

en (x;y;t),tenemos que

xu+yv tw=0;

y porende,

hU;Ui = uu+vv ww

= u 2

+v 2

(xu+yv) 2

t 2

t

2

(u 2

+v 2

) (u 2

+v 2

)(x 2

+y 2

)

t 2

= a

2

t 2

(u 2

+v 2

):

Enlaobtenionde esteresultado, hemosapeladoaluso de la

desigual-dad de Cauhy-Shwarz.

La ota inferior en la expresion anterior solopuede ser ero si u =

v =0,y en talaso, w esero tambien. En otraspalabras, hU;Ui0,

y puede ser igual a 0 solamente uando U es el vetor nulo. <Eureka!

Sobre la superie H

a

, (3) dene un produto interno en el espaio

tangente en adapunto.

Ahora sabemos omo medir la longitud del vetor tangente a una

urva en ada uno de sus puntos, y usando (1), podemos alular su

longitud. >Cualesson entoneslasurvasqueminimizaneste funional

en H

a

? La respuesta es bastante senilla, y la daremos usando un

metodovariaional.

Puesto que H

a

no es onexo, onsideraremos su omponente H +

a

onsistentede puntos (x;y;t) en esteonjuntopara losualest>0. Y

llamaremos sal parametrode laurva(s)=(x(s);y(s);t(s)) queune

adospuntosdadospyqen H +

a

. Laexpresion _

f indiaraladerivadade

lafunionf onrespetoas,yporahora,tomaremoselparametrosde

manera talque (0)=p y (1) =q. Luego, si h=(h

1 (s);h

2 (s);h

3 (s))

es ualquierfunion talque

x(s)h

1

(s)+y(s)h

2

(s) t(s)h

3

(10)

y tal que h(0) = h(1) = (0;0;0), entones

= +h dene una

familia de urvas en H

a

que oneta a p on q, y que oinide on

uando =0. Detalmaneraque si esun puntortio de (1), luego

de una integraionporpartes, obtenemos que

0= d

d j

=0 =

Z

1

0 (h

1 d

ds

_ x

k_k

+h

2 d

ds

_ y

kk_

h

3 d

ds

_

t

kk_

)ds;

donde kk_ es medida usando (3). Reparametriemos ahora la urva

omohiimosen elEjemplo3,yusemoslalongituddearo, parametro

al ual llamaremos s tambien para evitar ambios inneesarias. En

tal aso, kk_ = 1, y en vista del multipliador de Lagrange (4), la

euaion anterior, que se debe satisfaer para todo un tal h, implia

que  = d_

ds

= . En otras palabras, el vetor aeleraion de una

urva rtia debe ser proporional al vetor posiion. Ahora bien,

puesto que h;i = a 2

, tenemos que h;_ i = 0, y por lo tanto,

h;i+h;_ i_ = 0 = a 2

+1. De tal manera que = 1=a 2

. Luego,

la euaion geodesia, esrita on respeto a la longitud de aro, esta

dada por

 =

d_

ds =

1

a 2

;

y susoluionesla urva

(s)=posh

s

a

+avsenh

s

a

;

donde el vetor veloidad iniial v, el ual satisfae hv;vi = 1, se

es-oge de tal manera que (l) =q para ierto numero real positivo l, la

longitudde entre py q. Vemos entones que

v = a

2

q+hp;qip

a p

hp;qi 2

a 4

;

y quela longitudde entre lospuntos py q es

l=alog

hp;qi+ p

hp;qi 2

a 4

a 2

!

:

En estas expresiones, hp;qi = Q(p;q) uando vemos a p y a q omo

vetores tangentes en el espaio-tiempo.

Reordemos que las geodesias esferias se pueden obtener omo

interseiones de la esfera on planos que pasan por su entro. Las

geodesiasde lapseudo-esferaH

a

(11)

intersetando on planos. Sean p y q puntos distintos en H +

a

. Ellos

junto on (0;0;0) denen de manera unia un plano. La geodesia

en H

a

que une a p y q es un segmento de la urva que se obtiene

intersetandodihoplanoonH

a

. Talarmaionsepuededemostrar a

partirde laexpresionparalageodesia (s)enontradaanteriormente,

la ual, paraada valorde s, esuna ombinaionlinealde losvetores

p y q que yae en H

a .

LapseudoesferaH

a

tieneunarealizaionvisualmenteaotada.

Con-sideremos larama H +

a

,y miremos almapa

(x;y;t)7!(u;v)= x t ; y t :

Este es un difeomorsmo entre H +

a

y el diso D

a

= f(u;v) 2 R 2 : u 2 +v 2 <a 2

g, provistoon lametria 1 ds 2 = (1 1 a 2 (u 2

+v) 2 )(du 2 +dv 2 )+ 1 a 2

(udu+vdv) 2 (1 1 a 2 (u 2 +v) 2 ) 2 ; (5)

y las geodesias vistas en D

a

son segmentos de retas. Sin embargo,

desde el punto de vistametrio, eldiso D

a

noesaotado. Su metria

(5) diere notablemente de du 2

+dv 2

, la estrutura induida por la

metriahabitualdelplano,y bajoella, elbordeD

a

estaauna

distan-ia innitade ualquierade sus puntos interiores.

Lasgeodesiasen H

a

seomportande unamanerainteresante.

Da-da una geodesia y un punto exterior a ella, existe un numero innito

de geodesiasatraves dedihopuntoquenointersetan alageodesia

original. ut

Los ejemplos disutidos anteriormente tienen un omportamiento

radialmentedistinto. Esto se debea una propiedad que estudiaremos

en la proxima seion, y que ya se maniesta en las osas que hemos

heho hastaahora.

1

La expresion ds 2

es una manera lasia de referirse al produto interno de

vetores,detalformaquesiU =(u;v)

u

+(u;v)

v

yV =(u;~ v)

u +

~

(u;v)

v

son vetores tangentes aD

a

en elpunto (u;v),su produto internoen lametria

(5)eslafunion

(1 1 a 2 (u 2 +v) 2

)(e+ e

)+ 1

a 2

(u+v)(ue+v e ) (1 1 a 2 (u 2 +v) 2 ) 2 :

CuandoU =V eselvetortangenteaunaurva,laraizuadradadediha

(12)

En efeto, a manera de ejemplo ilustrativo, onsideremos la esfera

S 2

deradio1,elplanoEulideanoR 2

,ylapseudo-esferaH de(pseudo)

radio p

1. En ada uno de estos asos, miremos irunferenias en

estos espaios, y alulemos sus longitudes. Por deniion, las

irun-ferenias se desriben dando un punto en el espaio, su entro, y un

numero real positivo r, su radio, y onsisten en el onjunto de puntos

en la superie que distan r unidades de su entro. Para los ejemplos

esogidos,laslongitudesdetalesirunfereniasnodependendelpunto

esogidoomo entro, y resultanser igualesa2senr,2ry 2senhr,

respetivamente.

En el aso de S 2

, el radio puede variar en el intervalo (0;), y la

longitud de la irunferenia de radio r es una funion aotada que

alanza su maximo uando r ==2, es deir, uando se trata del

me-ridianoeuatorial, visto onsiderando suentro omo uno de los polos

esferios.

Para el plano, las irunferenias de radio r tienen longitudes que

varan linealmente on r, y puesto que este vara en (0;1), dihas

longitudes noestan aotadas.

Paralapseudo-esferaH,elradiopuedevariaren (0;1)ylafunion

longitudde una irunfereniade radio r noestaaotadatampoo, as

omo ourre en el aso del plano. Sin embargo, esta vez tal longitud

ree exponenialmenteon elradio.

Por ejemplo, si esojemos al metro omo unidad de longitud, las

irunferenias de radio =2 en ada uno de estos tres asos tendran

longitudes 6;283 m, 9;870 m, y 14;459 m, respetivamente. Si

eso-jemos un radio de 20 metros, la irunferenia orrespondiente en H

tendraunalongituddelordende 10 9

m,esdeir,delordendeunmillon

de kilometros. En el plano, talirunferenia tendra una longituddel

orden de 125 m. En S 2

, un tal radio es exesivamente grande, y no

podemos hablar de una irunferenia on estas araterstias. De

ualquiermanera, ya sabemos que ah la mayorlongitud posible es de

6;283 m.

Losresultadosanterioresnodependendelpuntoesogidoomo

en-tro porque las superies estudiadas poseen una gran antidad de

si-metras. Cera de ualquier punto, dihas superies luen m

etria-mente de la misma manera omo luiran si ambiasemos el punto en

(13)

2 Curvatura.

En las tres superies distintas analizadas en la seion anterior, las

geodesias exhiben un omportamiento ompletamente distinto.

Pa-ra la esfera, las geodesias a traves de un punto iniialmente se

se-paran para luego enfoarse nuevamente en el punto antipodal. Para

el plano, las geodesias a traves de un punto nuna vuelven a

enon-trarse, y la longitud de la irunferenia on entro en diho punto

ree proporionalmente on la distania a el. En el hiperboloide o

pseudo-esfera, las geodesias a traves de un punto omun tampoo

vuelven a enontrarse, pero esta vez la longitud de la irunferenia

entrada en diho punto ree exponenialmente on la distania al

punto en uestion. >Que propiedad de lasuperie es responsable por

este omportamiento tan distinto de las geodesias que pasan por un

punto omun?

Lapropiedad en uestionesloal,es deir,loque ontribuye aeste

omportamiento es algo intrnseo a la superie uyo efeto en un

puntodado solodepende de loque pasametriamenteeradel punto.

El efeto netoque produeenfoamientoodispersionde las geodesias

es la \suma de estas ontribuiones loales" uando nos movemos a

lo largo de la urva. Por ahora nos onentraremos en la deniion y

estudio de esta propiedad loal, o urvatura.

El termino es apropiado. Analiemos el onepto primeramente a

travesdelestudiodeunasuperieS dentrodelespaioEulideanoR 3

,

dadaporlaeuaionz =f(x;y). Queremosveromosedeformadiha

superie en elpunto(0;0;f(0;0)).

Por simpliidad, redenimos las oordenadas, si es neesario, para

ponernos en la situaion donde f(0;0) = 0. Luego, el plano tangente

en el punto (0;0;0), uya euaion es xf

x

(0;0) +yf

y

(0;0) z = 0,

nos permite aproximar linealmente la superie. En otras palabras,

si intentamos enontrar puntos (x;y;z) en S on x y y muy eranos

a ero, la mejor aproximaion lineal es la dada por z = xf

x

(0;0)+

yf

y

(0;0) donde (x;y) vara en el entorno de (0;0) donde haemos la

aproximaion. Eso esta muybien, pero dihaaproximaionsoloreeja

la estrutura lineal de la superieS en el punto (0;0;0). Y queremos

ver ladeformaionde S en (0;0;f(0;0)) que nos indique suurvatura.

Pareeentonesrazonableestudiarladifereniaz=f(x;y) xf

x (0;0)

yf

y

(0;0),yverelomportamientodelasuperieresultanteerade

(0;0;0). Puesto que hemos removido los terminos que aproximan

(14)

nos permitiraentender ladeformaionde S erade (0;0;0)que noes

lineal, y por ende, envuelve la ontorsion loal que la superie

expe-rimenta. Tal ontorsion dependera de los terminos uadratios de la

funion que denela superie S en (0;0;0),y resultara inexistente si

estos seanulan en elpunto. El onepto es uno de orden al menos2.

As pues, supongamosque

z =f(x;y); (6)

donde

f(0;0)=0; (f

x

(0;0);f

y

(0;0)) =(0;0): (7)

>En que sentido es esta superie S urva en (0;0;0)?

Envistade lasondiionesen (7),elplanotangenteaS en elpunto

(0;0;0)eshorizontal(y oinideon el planoxy). Laonvexidad de S

mide su urvatura en (0;0;0), siendo positiva, omo la de una esfera,

uandotodos los puntos de S era de (0;0;0)yaen en el mismolado

del plano tangente, o negativa si en ualquier entorno de (0;0;0) hay

puntos que yaen en distintos lados de diho plano. Esta expliaion

heurstiaadquierepreisionsidenimoslaurvaturaK en(0;0;0)por

K =det

x

x

f(0;0)

y

x

f(0;0)

x

y

f(0;0)

y

y

f(0;0)

; (8)

eldeterminantedel Hessiano de lafunionf en elorigen.

PuestoqueelHessiano esuna matrizsimetria,sepuede

diagonali-zar. Si

1 y

2

son sus autovalores, K =

1

2

. Luego, K >0si ambos

autovaloresson nonulos del mismosigno, K <0silos autovaloresson

nonulos designosdistintos,y K =0sialmenosuno delosautovalores

es nulo. La expliaion heurstia del onepto de urvatura dada en

el parrafo anterior queda perfetamente lara si esojemos las

oorde-nadas (x;y;z) de talforma que f(x;y)= 1

2

1 x

2

+ 1

2

2 y

2

+o(x 2

+y 2

),

y estudiamos el grao de z = f(x;y) en un entorno suientemente

peque~nodel origen.

Usemos (8) para alular la urvatura del plano. Esto es

relati-vamente elemental. Dado ualquier punto p en el plano xy, pensado

omoun plano inmersoen R 3

, podemos esogerlasoordenadas de tal

forma que p orresponda a (0;0;0) y que z este dada por la funion

f(x;y)0. El Hessiano de talfunion esero. Luego, K(p) =0para

ualquierp, lo ual era de esperarse pues el plano es exatamente eso,

plano.

Ahorausemos(8)paraalularlaurvaturadellaesferade radioa.

PodemoshaerlopueslaesferatambienestasumergidaenR 3

(15)

metriaquedihoespaioindue. Elentro delaesferaesirrelevante,y

dado unpuntopualquieraen ella,esogemos lasoordenadas(x;y;z)

de tal forma que p se orresponda on (0;0;0) y la esfera este dada

loalmentepor z = a+ p

a 2

x 2

y 2

. Luego,

K(p) =det

x

x

f(0;0)

y

x

f(0;0)

x

y

f(0;0)

y

y

f(0;0)

=det 0

B

1

a 0

0 1

a 1

C

A =

1

a 2

:

Este resultado muestra que la urvatura de la esfera es positiva y no

depende del punto donde se alule. Su valor a 2

disminuye uadr

a-tiamente on el radio, lo ual es bastante razonable. Una esfera de

radio ada vez mas y mas grande lue ada vez mas y mas plana. La

Tierra, una (asi) esfera on un radio de aproximadamente 6378;15

km, se rea plana hasta hae relativamente poo tiempo. Esto no es

sorprendente. Su urvatura (en km 2

) esdel ordende 3;4610 8

.

Ejeriio8. ConsiderelassuperiesenR 3

denidasporlaseuaiones

z = 1

2 x

2

+ 1

2 y

2

and z = 1

2 x

2 1

2 y

2

:

Por la deniion anterior, sabemos que sus urvaturas en el punto

(0;0;0) son 1 y 1, respetivamente. Calule la urvatura de ada

una de estassuperiesen ualquierade sus puntos. >Quesigno tienen

los resultados?

Ejeriio 9. Demuestre que laurvatura de un ilindroen ualquiera

de sus puntos es ero. >Por que tiene el ilindro la misma urvatura

que el plano?

A pesar del avane que hemos heho en el estudio del onepto de

urvatura, ladeniionse ha dado tan solopara superies dentro del

espaio Eulideano, hehono apliableala pseudo-esferaH

a

disutida

en el Ejemplo 7. >Como podremos dar una deniion intrnsea, es

deir, una denion que solo dependa de S y no del espaio ambiente

donde S pueda estar inluida? Podemos responder diha pregunta de

variasformas, yporsupuesto, todasinvoluranalaestrutura metria

de lasuperie.

Una primera forma onsiste en denir la urvatura en un punto p

porla expresion

(16)

Aqu, esel Laplaianode la metria en S, y r=r(q)es ladistania

geodesia de q al punto p. El Laplaianoes apliadoa la funionlogr

omofunion de q.

Veamosloque(9)nosdaenelasodelplano. Ladistaniageodesia

deq aunpuntojopeslalongitudEulideanadel vetor q p. T

ome-mos oordenadas que identiquen a p on elorigen. Luego, r=kqk es

ladistaniageodesia entre p y q. Ahora bien, en oordenadaspolares

(r;), elLaplaiano es eloperador dado por

=

2

r +

1

r

r +

1

r 2

2

:

Parafunionesquesolodependendelradio,elLaplaianosoloinvolura

elalulo de dos de sus derivadas on respeto a r. De talformaque

3(logr)= 3

2

r +

1

r

r

logr= 3

1

r 2

+ 1

r 2

=0;

y porende, K(p)=0,omo yasabamos.

Miremos ahora lo que (9) nos da en el aso de la esfera de radio

a. Sea p un punto dado, y esojamos oordenadas polares (r;) en la

esfera: r es la distania geodesia al punto p, el ual tomamos omo

uno de los polos de la esfera, y es el angulo longitudinal del punto,

medido modulo 2 desde un meridiano jo. En estas oordenadas, el

Laplaianode la esfera esel operador

=

2

r +

os r

a

asen r

a

r +

1

asen r

a

!

2

2

:

Para alular(logr)podemosignorarnuevamenteelterminoque

en-vuelve alas derivadason respeto a. Obtenemos

(logr)= 2

r +

os r

a

asen r

a

r !

logr= 1

r 2

+ os

r

a

arsen r

a

= 1

3a 2

+O(r 2

);

donde la ultima igualdad se obtiene usando una expansion de Taylor

en torno ar =0. Luego,

K(p)= 3lim

r!0

(logr)= 1

a 2

;

reproduiendo el resultado para la urvatura de la esfera de radio a

(17)

Ejemplo 10. Puesto que (9) paree funionar bien para alular la

urvatura del plano y la esfera, usemos diha deniion para alular

la urvaturade H

a

en un punto p.

Enoordenadas polares entradas en p, lametria de H

a

se esribe

omo

ds 2

=dr 2

+a 2

senh 2

r

a

d 2

:

Implitamente hemos visto tal osa al alular la longitud de la

ir-unferenia de radio geodesio igual ar para esta superie. En vista

de ello, elLaplaianode H

a

esta dado por

=

2

r +

osh r

a

asenh r

a

r +

1

asenh r

a

!

2

2

;

analogo al Laplaiano de la esfera on el rol de las funiones

trigo-nometrias jugado esta vez por las funiones trigonometriashiperb

o-lias. Luego,

(logr)= 2

r +

osh r

a

asenh r

a

r !

logr= 1

r 2

+ osh

r

a

arsenh r

a

= 1

3a 2

+O(r 2

);

y porende,

K(p)= 3lim

r!0

(logr)= 1

a 2

:

As pues, la urvatura de la pseudo-esfera H

a

no depende del punto

donde se lealula, y esigual a laonstante negativa 1=a 2

.

Ejeriio 11. >Que pasa on losLaplaianos de la esfera de radio a y

de H

a

uandoa!1? >Porque ourreesto?

Ejeriio 12. El ejeriio anterior sugiere el que podemos ver al

pla-no omo un ierto lmite de superies de urvatura positiva, y omo

un ierto lmite de superies de urvatura negativa. >Que propiedad

topologia permitiradifereniardihos lmites?

Losresultados anterioresindian que las expresiones (8) y (9)

pro-duenresultadosoherentes. >Comopodremosjustiarlaequivalenia

entre ambosoneptos? Responderemos aestapreguntausandoun

ar-gumento elemental, justiando nuestra respuesta a traves del uso de

dos sistemasde oordenadas muy utiles.

Observemos que el plano tangente a la superie S en el punto

(0;0;0)oinideon elplanoxy,y lasdireiones alo largode losejes

de oordenadasson perpendiulares. Tomemoselvetoru

u +v

(18)

punto(u;v;0),yportraslaionpensemosloomoun vetoren (0;0;0).

Queremos hallarla geodesia (s)=(x(s);y(s);f(x(s);y(s))que en el

origentiene a dihovetor omo suvetor veloidad.

PuestoqueS esunasuperiedentrode R 3

,tieneompletosentido

el alular , y podemos denir tal expresion omo el vetor

aelera-ion de la urva . Un argumento senillo demuestra que la urva es

una geodesia si y solo si su aeleraion es perpendiular a la

super-ie, y omo los vetores

x +f x z y y +f y z

son tangentes a S en

(x;y;f(x;y)),onluimosquelaseuaionesparalasomponentes x(s)

y y(s) de una geodesia estan dadas por

 x+ f x (f xx _ x 2 +2f xy _ xy_+f

yy _ y 2

)

1+f 2

x +f

2

y

=0;

 y+ f y (f xx _ x 2 +2f xy _ xy_+f

yy _ y 2

)

1+f 2

x +f

2

y

=0:

Usamos diho resultado para hallar el desarrolloen serie de Taylor de

_

x(s) y y(s)_ de orden 2, y tomando el valor de orrespondiente al

parametros =1, obtenemos un punto de la superie S uyas

oorde-nadas xy ytienen expansiones dadas por

x=x(u;v)=u (f xx u 2 +2f xy uv+f

yy v

2

)(f

xx u+f

xy v) 6 +o((u 2 +v 2 ) 3 2 );

y=y(u;v) =v (f xx u 2 +2f xy uv+f

yy v

2

)(f

xy u+f

yy v) 6 +o((u 2 +v 2 ) 3 2 ); (10)

donde las derivadas de f son todas evaluadas en (0;0).

Loque elresultadoanterior nos diees quesitomamoselpuntode

oordenadas (u;v) en el plano tangente en el origen y nos movemos a

lolargode lageodesia (s)uyovetor veloidad iniialesu

u +v

v ,

uando s = 1 obtenemos el punto p de la superie S uyas

oorde-nadas x y y poseen las expansiones dadas por (10). Deimos entones

quep tiene oordenadas normales (u;v),y las expansiones nos dan las

aproximaiones ubias en u y v de las oordenadas x(p) y y(p) de p

omoun punto en R 3

.

Podemosahoraproederde dosmanerasdistintas. Enoordenadas

normales,elLaplaianoen (0;0)esta dadoporeloperador 2 u + 2 v . De

tal manera que para alular (9) y demostrar su equivalenia on (8),

podramos esribir a la distania geodesia r omo funion de (u;v)

y usar (10) para hallar su expansion en serie de Taylor de orden 3, a

partir de la ual sera senillo el obtener lim

r!0

(logr). En lugar de

(19)

argumento que involura las oordenadas polares, justiando de paso

la maneraomo fueron presentados losalulosen dondeutilizamosla

noion dadapor(9).

En efeto, deimos que el punto p, al ual le hiimos orresponder

sus oordenadasnormales(u;v),tieneoordenadaspolares(r;)siu=

rosandv =rsen. Lafunionqueenvaa(u;v)enelvalorens=1

de la geodesia que posee dihovetor omo veloidad iniial, enva a

los vetores

r y

en vetores tangentes a S que son perpendiulares

el uno on el otro. Abusando de la notaion, llamaremos

r y

a

estos ultimos vetores tambien. Es evidente que k

r

k = 1, y por la

perpendiularidad de

r y

,la metriase expresa omo

ds 2

=dr 2

+g(r;) 2

d 2

; (11)

para iertafunionnonegativag(r;). Claramente, dihafunionnoes

otra osa sino lanorma de

.

>Comopodremoshallarlaexpresionenoordenadasde

? Enotras

palabras, >omo podremos hallarlos oeientes que nos produzan la

igualdad

=A

x +B

y +C

z

en el punto on oordenadas polares (r;)? Para ello, onsideremos

la urva (s) = (x(u;v);y(u;v);f(x(u;v);y(u;v)))donde u = u(s) =

ros(+s) y v = v(s) = rsen(+s). Los oeientes en uestion

estandados por

A = d

ds

x(u(s);v(s))j

s=0 ;

B = d

ds

y(u(s);v(s))j

s=0 ;

C = d

ds

f(x(u(s);v(s));y(u(s);v(s))j

s=0 ;

y sus expansiones de Taylor son

A = v

I(u;v)( f

xx v+f

xy u)

6

Æ

I

(u;v)(f

xx u+f

xy v)

3

;

B = u

I(u;v)( f

xy v+f

yy u)

6

Æ

I

(u;v)(f

xy u+f

yy v)

3

;

C = (f

xx

x(u;v)+f

xy

y(u;v))A+(f

xy

x(u;v)+f

yy

y(u;v))B;

donde x(u;v) y y(u;v)estandados por lasexpansiones (10), y

I(u;v)=f

xx u

2

+2f

xy

uv+f

yy v

(20)

y

Æ

I

(u;v)=(f

yy f

xx

)uv+f

xy (u

2

v 2

);

respetivamente.

La funion g(r;) = k

k se obtiene alulando p

A 2

+B 2

+C 2

.

Puestoque r 2

=u 2

+v 2

, es senilloverque

g(r;)= r

r 2

(f

xx f

yy f

2

xy )

3

r 4

+o(r 4

)=r(1 (f

xx f

yy f

2

xy )

6

r 2

+o(r 2

)):

Luego,

(logr)= 1

r 2

+

r g

rg =

f

xx f

yy f

2

xy

3

+o(1);

y laequivalenia entre (8) y (9) queda as laramenteestableida.

Enrealidad,lademostraionabalde laequivaleniarequiereel

es-tudiarlos residuos en la expansiones de Taylor que usamos en nuestro

argumento,demostrandoqueellos noontribuyen altomarellmiteen

uestion. Esto se puede formalizar ompletamente si asumimosque la

funionf tienealmenostodassusderivadasdehastaorden3ontnuas,

pues en tal aso, la metria es lo suientemente regularpara

garanti-zar que tales residuos son despreiables. De heho, podemos haer la

demostraionexigiendo un poquito menosde lafunionf,pero

omiti-remostales detalles teniosaqu.

Ladeniionde urvatura dadapor(9) esintrnsea y nos permite

alulardihafunionparalostresmodelosquehemosanalizadohasta

ahora. Sin embargo, envuelve un operador diferenial asoiado a la

metria de la superie. Quisieramos ver si podemos redenir diho

onepto apoyandonos en la noion de area, en lugar del Laplaiano

mismo.

La idea es sugerida por los argumentos utilizados para llegar a la

deniion que dimos en el aso en que la superie estaba sumergida

en el espaio Eulideano. La urvatura K(p) mide la distorsion loal

de un diso de radio r en el plano tangente a la superie en el punto

p,uandoloqueremosompararon eldisode radior en lasuperie

misma. Tal distorsiones apturada en lasareas de dihos disos.

Enefeto, dada la superieS y un puntop en ella, trabajemosen

oordenadaspolares (r;)entradas en p,dondelametrialuza omo

en (11) para ierta funionnonegativag(r;). Sea D

r

el diso en S de

entro p y radio geodesio r. Sea D 0

r

el diso en el tangente a S en el

punto p, de radio r. El tangente es un plano, y lo proveeremos de la

metriausual. Luego,elareaA

0

(r)deD 0

esigualar 2

(21)

el area A(r) del diso D

r

en S sepuede alularporla integral doble

A(r)= ZZ

Dr

g(s;)dsd: (12)

Denimos entones a K(p) de auerdo a laexpresion

K(p)=12lim

r!0 A

0

(r) A(r)

r 2

A

0 (r)

; (13)

y la usaremos para realular lasurvaturas de los tres modelos hasta

ahora onsiderados.

Paraelplano,g(r;)=r,y(12)eneseasonosdiequeA(r)=r 2

,

oinidiendo on A

0

(r). Esto es bien natural: los disos D

r y D

0

r son

ongruentes uno on elotro, ynohay distorsionalguna. Calulando el

lmite (13), obtenemos que K(p)=0.

Para la esfera de radio a, g(r;)= asen r

a

. Una integraion

sen-illanos die que

A(r)=2a 2

1 os

r

a :

Una expansion de Taylor nos dira entones que

A

0

(r) A(r)= 1

12 r

4

a 2

+O(r 6

);

y usando (13), obtenemos que K(p)=1=a 2

.

Finalmente, paraH

a

,tenemosqueg(r;)=asenh r

a

. Entalaso,

A(r)= 2a 2

1 osh

r

a ;

y onluimos que

A

0

(r) A(r)= 1

12 r

4

a 2

+O(r 6

):

El lmite denido por (13) produe K(p)= 1=a 2

.

Ejeriio 13. Sea S una superie en R 3

denida por z = f(x;y).

Demuestreque la funion K denida en (13) satisfaela relaion

(1+f 2

x +f

2

y )

2

K =f

xx f

yy f

2

xy :

(22)

3 Breve perspetiva historia.

Elonepto de urvatura de superiessedebea CarlF. Gauss

(1777-1855)[4℄, quien pareehaberse tomadounos 15a~nos en eldesarrolloy

depuraionde sus ideas. Suontribuionfueseminalen elsubseuente

desarrollode la Geometra Diferenial.

Para una superie S en R 3

, Gauss introdujo el mapa :S 7! S 2

,

la normal de S en ada punto (hoy da, nos referimos a este omo el

mapa de Gauss). Denio entones el valor absoluto de la urvatura

omparando las areas de (D

r

) y de D

r en S

2

y S, respetivamente,

para D

r

un diso de radio r en S. De manera mas preisa, tomo

a jK(p)j omo el lmite uando r ! 0 del oiente de las areas de

(D

r ) y D

r

, respetivamente, y denio el signo de K(p) onsiderando

la orientabilidad del diferenial de en p, pensado omo un mapa de

T

p

S en s mismo.

Gauss estudio diho onepto en gran detalle, onsiderando a S

desde varios puntos de vista, omo superie de nivel, omo laimagen

de una inmersion,o omoel grao de una funion. Enelultimo aso,

demostro la identidad ontenida en el Ejeriio 13. Sin embargo, su

resultadofundamentalonrespeto aK fuelademostraionde quetal

onepto es independiente de la manera omo S este inluida en R 3

,

y de que es invariante bajo la aion de isometras, es deir, bajo la

aion de transformaiones de la superie que preservan la distania

entredospuntos ualesquiera. Gausslograonelloeldemostrarquesu

onepto de urvatura era una propiedad intrnsea de la superie, y

node lamaneraomoestaestabainmersadentrodel espaioambiente.

Gauss paree haber onoido de laexistenia de superies de

ur-vaturanegativa,dondehayunnumeroinnitodegeodesiasquepasan

por un punto omun y que no intersetan a una otra geodesia dada.

Sinembargo,seabstuvodepubliarsuresultado. NikolayLobahevsky

(1792-1856)omenzo elestudio de geometrasno-Eulideanas en 1829.

En1868, EugenioBeltrami (1835-1900) [1℄demostro quetalproblema

no era otra osa sino el estudio de superies de urvatura onstante

negativa,eintrodujounmodelodelasoanalizadoenelEjemplo7. F

e-lix Klein (1849-1925) reinterpreto diho modelo en 1871, y popularizo

su version projetiva, es deir, la dada por el diso D

a

on la metria

(5). Klein introdujoel termino hiperbolia, quehoy da es muhomas

popular al referirse a este tipo de geometra. Dos a~nos despues de la

muertede BernhardRiemann(1826-1866)en 1866,sepubliosu

famo-sa lase inaugural de 1854, onteniendo los fundamentos generales de

(23)

aso partiular. Beltramiseentera de ello, yen 1868 mismogeneralizo

el ejemplo de la pseudo-esfera adimensiones mayores.

Gauss estudio el onepto de geodesia para superies en R 3

, y

su omportamientouandolasuperieen uestiontenaurvatura de

iertosigno. Demostroquesiseusalalongituddearoomoparametro

de la urva, el vetor aeleraion de una geodesia debe ser siempre

perpendiular alasuperie. Este resultadohabasidodesubiertopor

LeonhardEuler(1707-1783)en1744[3℄. EulerfueestudiantedeJohann

Bernoulli(1667-1748),elual,juntoonsushijosyenpartiular,Daniel

Bernoulli (1700-1782), haba resuelto algunos problemas variaionales

de importaniaen la primeramitad del sigloXVIII.

Gaussonsiderolaurvaturatotal detriangulosgeodesios,la

inte-gral de la urvatura sobre una tal region, y demostro que talantidad

mide la diferenia entre la suma de sus angulos internos y . De esta

manera, los triangulos esferios tienen angulos que suman a un valor

mayorque ,mientras que lostrianguloshiperbolios haen lo

ontra-rioysusangulossumanaun valormenorque. Gaussdesubrioasla

inuenia de la urvatura sobre la topologa de la superie, abriendo

de esta manera una novedosa lnea de investigaion que aun ontinua

on vigor.

La literatura existente sobre los temas aqu estudiados es

inmen-sa. Como punto de partida para investigaiones adiionales, el letor

puede referirse a [2℄, y analizar algunos de los artulos itados en su

bibliografa. Estapubliaionapareioenoasiondelaonmemoraion

de los 200 a~nos del naimiento de Gauss, e inluye una traduion al

inglesdesutrabajoseminal[4℄, uyaleturasiguesiendohoyaltamente

plaentera.

Referenias

[1℄ E. Beltrami, Saggio di interpretazione della geometra

non-eulidea,Gior. Mat. 6,pp. 248-312.

[2℄ P. Dombrowski, 150 years after Gauss' Disquisitiones gener

a-les ira superies urvas, with the original text of Gauss,

Asterisque 62, Soiete Mathmatique de Frane, 1979.

[3℄ L. Euler, Methodus inveniendi lineas urvas maximi minimive

(24)

[4℄ C.F. Gauss, Disquisitiones generales ira superies urvas,

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