Geodesias y Curvatura: una introduion
elemental
Santiago R. Simana
InstituteforMathematial Sienes
StonyBrook
NY 11794, USA
santiagomath.sunysb.edu
1 Geodesias en superies
Aunque nos pareza un hehotrivial,uando onsideramosuna
super-ie S dentro de R 3
,ellaadquiere unaestrutura metria induidapor
lametriaEulideanaenelespaioambiente. Esto estautologiamente
obvio: dadosvetoresX;Y tangentes aS en unpuntop,podemos
pen-sarlos omo vetores en R 3
basados en el mismo punto, y denir su
produto interno por
hX;Yi
p
=hX;Yi
R 3
:
En partiular, podemos denir lanorma de X en p por laexpresion
kXk
p
=hX;Xi 1
2
R 3
:
Conesto en mente, podemosahoraplantearnoselproblema de
me-dir longitudes de urvas (t) = (x(t);y(t);z(t)) que yaen en S, es
deir, urvaspara lasuales(t)2S para todot. Lasoluionde diho
problema esrelativamentesenilla. Sionsideramosun segmento de la
urva innitesimalmentepeque~no, entre t y t+dt, lalongitud dl de
este segmento,alaualllamaremoselelementodiferenialdelongitud,
El presentetrabajo fue realizado bajo losauspiios dela FundaionGabriella
estaradadapordl =kk_
(t)
dt. Lalongituddelaurvaentrelospuntos
(t
0
)y (t
1
)es lasumade estas ontribuiones innitesimalesdesdet
0
and t
1
, es deir,la integral
L()= Z
t
1
t
0 dl =
Z
t
1
t
0 kk_
(t)
dt: (1)
Observe que diha expresion tiene sentido siempre que sepamos medir
lalongitud del vetor veloidad de la urva, independientemente de si
lasuperie esta inmersaen elespaio Eulideano o no.
Ejemplo1. Lasurvas
1
(t)=(ost;sent;t)and
2
(t)=(os2t;sen2t;t)
yaen ambas en el ilindro f(x;y;z) : x 2
+y 2
= 1g. Comienzan en
p= (1;0;0) uando t =0, y pasan por el punto q =(1;0;2) uando
t=2. Sus longitudes entre estos dos puntos son
L(
1 )=2
p
2 y L(
2 )=2
p
5;
respetivamente. >Por que esL(
1
) menor queL(
2 )?
Sabiendo entonesmedirlaslongitudes de urvasen una superie,
podemos plantearnos problemas un tanto mas exigentes. Entre otros,
sinosdamospuntos pyqenS,podemospreguntarnossiexistenurvas
en la superie que unan a los puntos en uestion, y de ser as, entre
todas tales urvas, quisieramos enontrar aquella que tenga la menor
longitud.
La primera parte del problema anterior es relativamente banal. A
vees lospuntosp yq dadosnopueden onetarsepormediode urvas
ontnuasenlasuperie,omoenelasodelasuperieenR 3
denida
por laeuaion x 2
y 2
z 2
=1, la ual posee dos hojas, y puntos en
unade ellasnopueden serunidosonpuntosenlaotra. Portalmotivo,
nos apartaremos de trivialidades inneesarias onsiderando solamente
superiesqueseanonexas,oenelpeorde losasos,onsiderandotan
solouna omponenteonexa de lasuperie dada. Pues sip y q yaen
en la misma omponente, siempre existiranurvas (ontnuas) que los
unan.
Bajo esta suposiion, la segunda parte del problema adquiere
sen-tido: puesto que existen urvas que unen a dos puntos dados p y q,
podemos preguntarnos si existe una urva on talpropiedad uya
lon-gitud sea lo mas peque~na posible. Tal urva sera, por deniion, una
urva geodesia que une a p y a q. De manera un poo mas general,
estos puntos y que sea un punto rtio del funionallongitud desrito
en (1).
Previo al estudio de ejemplos, observemos que la soluion al
pro-blema de omo medirlongitudes deurvasnos abre ungran aminode
posibilidades para el estudio de la superie S. En efeto, puesto que
dados puntos p y q en S existen urvas que los unen uyas longitudes
sabemos omo medir, podemos denir lafunion
d
S
(p;q)=inf
L();
tomando elnmo sobre todas las urvas en S que unen a los puntos
dados. Dihafunionlaramentesatisfae las siguientes propiedades:
a) d
S
(p;q)0, y esero si p=q;
b) d
S
(p;q)=d
S (q;p);
) d
S
(p;q)d
S
(p;r)+d
S (r;q).
Exeptoporunapropiedadquehaefaltaveriar,d
S
deneunanoion
de distania en la superie S. Tal propiedad tiene que ver on el
reproode la propiedad indiada en (a): d
S
(p;q) solo puede ser ero
uando p=q.
Esto leonere ala superie S una estrutura de espaiometrio.
Podemos entones preguntarnos sidiha estrutura metriadetermina
de alguna formauales son lasurvasgeodesias en S. Larespuesta es
s, y esta odiadaen ladesigualdad triangular(). Pues sidenimos
una noionde triangulo en lasuperie uyos lados tengan longitudes
que satisfaganesta desigualdad,lossegmentos de urvasquedelimitan
a tal triangulo son neesariamente segmentos de urvas geodesias en
el espaio metrio (S;d
S
). Veamos.
Ejemplo 2. >Cuales son lasgeodesias en el planoon la metria
Eu-lideana?
Primeroquetodo, podemosambiardeoordenadassiesneesario,
para queen elnuevosistemaelplanodadosea elplanoxy. Yen loque
respeta aeste problema, nos referiremosadihoplano omoa R 2
on
sumetriausual,olvidandonos queestainluidoen R 3
. Noometemos
ningun error alhaerlo pues las metrias de R 2
y R 3
son ompatibles.
La noion de distaniaentre los puntos p =(p
1 ;p
2
) y q = (q
1 ;q
2 ) esta
dada pord(p;q)= p
(p
1 q
1 )
2
+(p
2 q
2 )
2
.
Ladistaniadhasido usadadesdehae muhos siglos en elestudio
longitud de un lado en un triangulo ualquiera es la distania entre
losverties que lo denen, y laslongitudes de los tres lados satisfaen
ladesigualdad triangular. Esto es todolo que neesitamos para poder
onluirquelossegmentosderetassonlasurvasgeodesiasdelplano.
En efeto, dados los puntos p y q, existe una urva que los une, y
puestoquelaslongitudesestanaotadasinferiormente,podemosdenir
d(p;q) = inf
L(). Supongamos que diho nmo es realizado por
algunaurva(t). Sidihaurvanoesun segmentode reta,tomemos
una porion suientemente peque~na de ella, digamos entre t = a y
t = b donde esto se manieste. Consideremos los puntos p
0
= (a) y
q
0
=(b), y un punto intermedio r =(t) para iertot 2(a;b). Como
no es un segmento de reta en diho intervalo,los puntos p
0 , q
0 y r
denen un triangulo. Si el intervalo [a;b℄ tiene medida muy peque~na,
el segmento de reta entre p
0
y r tiene longitud l
1
aproximadamente
igual a la longitud de entre dihos puntos. De manera similar, el
segmentodereta entre r yq
0
tienelongitudl
2
aproximadamenteigual
alalongitudde entre dihos puntos. Enonseuenia, lalongitudde
entre p
0 y q
0
es aproximadamente igual a l
1 +l
2
, y la aproximaion
es ada vez mas exata en la medida en que el intervalo [a;b℄ se haga
adavez maspeque~no. Peroahorabien,sil eslalongituddelsegmento
de reta entre p
0 y q
0
, por ladesigualdad triangular podemos onluir
quel <l
1 +l
2
. Luego,obtendremos una urva entre p y q de longitud
estritamentemaspeque~naqueL()sireemplazamosalaurva enel
intervalo[a;b℄ porelsegmentode retaqueune lospuntos (a)y (b).
Pero esto ontradira el heho de que realiza la distania entre p y
q, y porende nopuede haberuna urva entre tales puntos de longitud
menora lalongitud de .
Ejemplo 3. Podramos ataar el problema planteado en el ejemplo
anterior usandotenias de Calulo Diferenial. Nos damos la funion
longitudde,L(),paraunaurvaqueuneapyq,ynosproponemos
hayar su mnimo. Haemos esto hayando los puntos rtios de L, es
deir, aquellos puntos donde su derivada se hae ero. >Que quiere
deir eso? Puesto que L es una funionde , la interpretaion de este
metodo hay quehaerla on ierta deliadeza.
Comenemos por alarar un tanto el dominio de la funion L, el
ualhemos ignoradohastaelpresente. Se trata delonjuntode urvas
que unen a p y q. No perdemos ninguna generalidad si suponemos
que tales urvas unen a dihos puntos en tiempo 1, omenzando en
t = 0 en p y terminando en t = 1 en q. Y puesto que queremos
alular sus longitudes, supondremos adiionalmente que tales urvas
vetor veloidad en ada punto. Tambien neesitaremos que posean
vetor aelaraion, para lo ual se requiere la existenia de segundas
derivadas. Terminamos asonsiderando alonjunto
C
pq
=f:[0;1℄7!R 2
C 2
difereniable; (0) =p; (1) =qg
omo el dominiode lafunionL,
L:C
pq 7!R;
demaneraquesiesribimosaenoordenadasomo(t)=(
1 (t);
2 (t)),
tendremos que
L()= Z
1
0 s
d
1
dt
2
+
d
2
dt
2
dt:
>Como podemos alular la derivada de L? Reduiendo diho
al-ulo al de la derivada de una funion de variable real, omo aquellas
sobre las uales aprendemosen ursos elementales. Veamos.
Seah:[0;1℄7!R 2
una funionualquieraquealmenossea
diferen-iabledosvees,y talqueh(0)=h(1)=(0;0). Paraunparametroreal
yunaurva enC
pq
,lafunion
=+htambienseraunelemento
de C
pq
, esdeir, una urvaC 2
difereniableque une alos puntos py q.
Nopareeelquehayamosganadomuho,peroelargumentoaunno
termina. Supongamosque esun puntortiode L,ymas
espeia-menteaun,supongamosque esun mnimode L. Luego,L()L(~)
para toda urva ~ 2C
p;q
. En partiular, para ualquier h omo la del
parrafoanterior,tendremos queL()L(
),y lafunionL(
)tiene
un mnimo loalen =0. Por lotanto, su derivada on respeto a
debe ser nula uando =0.
Como funion de , L(
) es una funion omo las estudiadas en
ursos de Calulo Diferenial. Determinaremos su derivada, y
usare-mos el resultado para deduir la onlusion apropiada on respeto al
problema de minimizaionque originalmentenos propusimos.
Usemos la notaion _ para referirnos a derivadas on respeto a t,
el argumento de la urva (o de h). Usando la regla de la adena,
obtenemos que:
d
d
L(+h)j
=0 =
d
d Z
1
0 s
d(
1 +h
1 )
dt
2
+
d(
2 +h
2 )
dt
2
dtj
=0
= Z
1
1
kk_ (_
1 _
h
1 +_
2 _
h
Ahora podemos integrar por partes. Puesto que h(0)=h(1)=(0;0),
losterminosde borde se anulan,y obtenemos porresultado
d
d L(
)j
=0 =
Z
1
0
h
1 d
dt
_
1
kk_
dt+h
2 d
dt
_
2
kk_
dt:
Para que =
0
sea un mnimo de L, la expresion anterior debe
seridentiamentenulaparaualquierh=(h
1 ;h
2
)deltipoonsiderado.
Esojamosa h de la forma
h=(t) d
dt
_
kk_
;
donde (t) es una funionno negativaen [0;1℄ que se anula en 0 y en
1, y que es identiamente igual a 1 en asi todo el resto del intervalo.
Conluimos,por positividad del integrando, que
d
dt
_
k_k
=0: (2)
Podemos re-esribir el resultado anterior on respeto a un par
a-metro mas onveniente que el parametro t. Despues de todo, t fue
seleionadoarbitrariamentey,poronvenienia,podemosambiarloa
nuestro antojo. Enefeto, onsideremosel parametrolongitud de aro
s, relaionadoon t porla euaiondiferenial
ds
dt
=k(t)k_ :
Notemos que omo funionde s, el vetor veloidad de tiene norma
1. De heho,
d
ds =
_
kk_ ;
lo ual hae maniestamente obvio lo armado. La euaion (2) es
equivalente a
d 2
ds 2
=0:
En otras palabras, omo funion de la longitud de aro, (s) tiene
aeleraionnula,yporlotanto,debeserunafunionlinealens. Puesto
queune alospuntos p y q,si l esla longitudde entre dihos puntos,
tendremos que
(s)= l s
p+ s
Noteseomo(s)_ =(q p)=lesun vetordenorma1puesl =kq pk.
Y observe que en este aso, la uniidaddel punto rtio del funional
L en (1) es suiente para onluir que la urva es en realidad su
mnimo.
Las geodesias en el plano que pasan a traves de un punto dado
jamasvuelven atoarse. Porotrolado, dadaunageodesiayun punto
exterior aella,existe una uniageodesiaqueontiene adihopuntoy
que nointerseta a lageodesia iniial. ut
Ejemplo4. >Cualessonlasgeodesiasdelaesferaderadioa?
Respon-deremosaestapreguntademaneramuysenilla,utilizandonuevamente
el argumentodel Ejemplo 2.
Elradioaaraterizaalaesferadaunamaneraesenial. Yporestar
inluidaenR 3
,laesfera heredauna noiondedistaniainduidaporla
noionde distaniaen dihoespaio. De heho, aprendemos sobreesta
noion muy rapidamente, en ursos de Geometra Eulideana. Pues
dado puntos p y q en la esfera de radio a, la distania entre ellos es
igual a a, donde es el angulo que sustenta el aro de p a q sobre
el meridiano denido por dihos puntos. Llamamos meridiano de una
esfera a ualquier irunferenia que tenga el mismo radio y entro de
la esfera en uestion. Ellosson elresultado de intersetar laesfera on
planos que ontienen a su entro. Dos puntos distintos de la esfera
determinan un meridiano de manera unia, pues ellos, junto on el
entro, determinande maneraunia un plano.
De esta manera, ya sabemos medir las distanias entre puntos de
una esfera dada. Ahorapodemosdenirun trianguloesferio.
Comen-zaremospordeirquetres puntos delaesfera p,q yr noson olineales
si los tres noyaen simultaneamente sobre el mismo meridiano. Dado
tales puntos, el triangulo esferio que ellos denen es el onjunto de
puntos de la esfera aotadoporlos aros de los meridianos
determina-dos porp y q,q y r, y r y p, respetivamente.
Las longitudes de los lados de triangulos esferios satisfaen la
de-sigualdad triangular. En onseuenia, repitiendo el argumento del
Ejemplo 2, podemos onluir que las geodesias de la esfera son sus
segmentos de meridianos.
Lasgeodesias esferias(en otraspalabras, losmeridianos)que
pa-san a traves de un punto vuelven a enontrarse en elpunto antipodal.
Porotro lado, dadauna geodesia y un punto exteriora ella, noexiste
ningunaotra geodesiaqueontenga adihopunto yque nointersete
Ejeriio 5. Convenzase de que los triangulos esferios satisfaen la
desigualdadtriangular (relaioneeste hehoon propiedadesde los
o-nos solidos sustentados por triangulosesferios).
Ejeriio 6. De una demostraionde que las geodesias esferias son
segmentosdemeridianosmayoresusandounprinipiovariaional,omo
elutilizadoen elEjemplo3. >Que sistemade oordenadas sera
onve-niente utilizar? >Como debe ser elvetor aeleraionde una geodesia
esferia en relaion on laesfera misma?
Ejemplo7. Finalmenteonsideramosunaso muyinteresante, elual
nos servira de muho. Porahora nos ilustrara la dependenia estreha
que hay entre la noion de geodesia y la metria subyaente sobre la
superieen uestion.
Porrazoneshistorias,imitaremosla notaionusada en Fsia.
Mi-raremos el onjunto de puntos (x;y;t) 2 R 3
= R 2+1
que satisfaen la
relaionx 2
+y 2
t 2
= a 2
para ierto numeroreal a >0:
H
a
=f(x;y;t): x 2
+y 2
t 2
= a 2
g:
Sinembargo,ledaremosaeste onjuntounaestrutura metriaqueno
esla induidapor lametria Eulideana en R 3
. Veamos.
Dar una metria en una superie es darse una manera de medir
el produto interno de vetores tangentes a la superie en ualquier
punto de ella. Si U = u
1
x +v
1
y +w
1
t
y V = u
2
x +v
2
y +w
2
t
son vetores tangentes a R 3
, deniremos la forma bilineal Q por la
expresion
Q(U;V)=u
1 u
2 +v
1 v
2 w
1 w
2 :
AR 3
provistoon estaestrutura lellamaremosespaio-tiempo,
termi-nologa usada por los Fsios, y analoga al onepto de espaio
Euli-deano,terminousado porlos Matematiospara referirse aR 3
provisto
on su estrutura metria habitual. Usando esta forma uadratia, el
onjunto H
a
setorna en la Q-esfera de radio p
a 2
.
QnoesunprodutointernoporqueengeneralQ(U;U)noesmayor
o igual que ero. De heho, podemos lasiar los vetores tangentes
en trestipos: deimosqueU esun vetorespaialsiQ(U;U)>0;U es
un vetor temporal si Q(U;U)<0; y U es un vetor nulo o en el ono
de luz si Q(U;U)=0.
Le daremos a H
a
la metria que la forma bilineal Q indue sobre
la superie. Es deir, deniremos el produto interno en H
a
por la
expresion
hU;Vi def
<Un momento! >Por que es esto un produto interno sobre H
a
? Para
ello todos los vetores no triviales tangentes a H
a
tendran que ser
espaiales, y eso noparee obvio, >verdad?
Enefeto, noesobvio,pero lopodemos veriar. Consideremos un
vetor tangente aH
a
en elpunto (x;y;t):
U =u
x +v
y +w
t :
Puesto que U estangente aH
a
en (x;y;t),tenemos que
xu+yv tw=0;
y porende,
hU;Ui = uu+vv ww
= u 2
+v 2
(xu+yv) 2
t 2
t
2
(u 2
+v 2
) (u 2
+v 2
)(x 2
+y 2
)
t 2
= a
2
t 2
(u 2
+v 2
):
Enlaobtenionde esteresultado, hemosapeladoaluso de la
desigual-dad de Cauhy-Shwarz.
La ota inferior en la expresion anterior solopuede ser ero si u =
v =0,y en talaso, w esero tambien. En otraspalabras, hU;Ui0,
y puede ser igual a 0 solamente uando U es el vetor nulo. <Eureka!
Sobre la superie H
a
, (3) dene un produto interno en el espaio
tangente en adapunto.
Ahora sabemos omo medir la longitud del vetor tangente a una
urva en ada uno de sus puntos, y usando (1), podemos alular su
longitud. >Cualesson entoneslasurvasqueminimizaneste funional
en H
a
? La respuesta es bastante senilla, y la daremos usando un
metodovariaional.
Puesto que H
a
no es onexo, onsideraremos su omponente H +
a
onsistentede puntos (x;y;t) en esteonjuntopara losualest>0. Y
llamaremos sal parametrode laurva(s)=(x(s);y(s);t(s)) queune
adospuntosdadospyqen H +
a
. Laexpresion _
f indiaraladerivadade
lafunionf onrespetoas,yporahora,tomaremoselparametrosde
manera talque (0)=p y (1) =q. Luego, si h=(h
1 (s);h
2 (s);h
3 (s))
es ualquierfunion talque
x(s)h
1
(s)+y(s)h
2
(s) t(s)h
3
y tal que h(0) = h(1) = (0;0;0), entones
= +h dene una
familia de urvas en H
a
que oneta a p on q, y que oinide on
uando =0. Detalmaneraque si esun puntortio de (1), luego
de una integraionporpartes, obtenemos que
0= d
d j
=0 =
Z
1
0 (h
1 d
ds
_ x
k_k
+h
2 d
ds
_ y
kk_
h
3 d
ds
_
t
kk_
)ds;
donde kk_ es medida usando (3). Reparametriemos ahora la urva
omohiimosen elEjemplo3,yusemoslalongituddearo, parametro
al ual llamaremos s tambien para evitar ambios inneesarias. En
tal aso, kk_ = 1, y en vista del multipliador de Lagrange (4), la
euaion anterior, que se debe satisfaer para todo un tal h, implia
que = d_
ds
= . En otras palabras, el vetor aeleraion de una
urva rtia debe ser proporional al vetor posiion. Ahora bien,
puesto que h;i = a 2
, tenemos que h;_ i = 0, y por lo tanto,
h;i+h;_ i_ = 0 = a 2
+1. De tal manera que = 1=a 2
. Luego,
la euaion geodesia, esrita on respeto a la longitud de aro, esta
dada por
=
d_
ds =
1
a 2
;
y susoluionesla urva
(s)=posh
s
a
+avsenh
s
a
;
donde el vetor veloidad iniial v, el ual satisfae hv;vi = 1, se
es-oge de tal manera que (l) =q para ierto numero real positivo l, la
longitudde entre py q. Vemos entones que
v = a
2
q+hp;qip
a p
hp;qi 2
a 4
;
y quela longitudde entre lospuntos py q es
l=alog
hp;qi+ p
hp;qi 2
a 4
a 2
!
:
En estas expresiones, hp;qi = Q(p;q) uando vemos a p y a q omo
vetores tangentes en el espaio-tiempo.
Reordemos que las geodesias esferias se pueden obtener omo
interseiones de la esfera on planos que pasan por su entro. Las
geodesiasde lapseudo-esferaH
a
intersetando on planos. Sean p y q puntos distintos en H +
a
. Ellos
junto on (0;0;0) denen de manera unia un plano. La geodesia
en H
a
que une a p y q es un segmento de la urva que se obtiene
intersetandodihoplanoonH
a
. Talarmaionsepuededemostrar a
partirde laexpresionparalageodesia (s)enontradaanteriormente,
la ual, paraada valorde s, esuna ombinaionlinealde losvetores
p y q que yae en H
a .
LapseudoesferaH
a
tieneunarealizaionvisualmenteaotada.
Con-sideremos larama H +
a
,y miremos almapa
(x;y;t)7!(u;v)= x t ; y t :
Este es un difeomorsmo entre H +
a
y el diso D
a
= f(u;v) 2 R 2 : u 2 +v 2 <a 2
g, provistoon lametria 1 ds 2 = (1 1 a 2 (u 2
+v) 2 )(du 2 +dv 2 )+ 1 a 2
(udu+vdv) 2 (1 1 a 2 (u 2 +v) 2 ) 2 ; (5)
y las geodesias vistas en D
a
son segmentos de retas. Sin embargo,
desde el punto de vistametrio, eldiso D
a
noesaotado. Su metria
(5) diere notablemente de du 2
+dv 2
, la estrutura induida por la
metriahabitualdelplano,y bajoella, elbordeD
a
estaauna
distan-ia innitade ualquierade sus puntos interiores.
Lasgeodesiasen H
a
seomportande unamanerainteresante.
Da-da una geodesia y un punto exterior a ella, existe un numero innito
de geodesiasatraves dedihopuntoquenointersetan alageodesia
original. ut
Los ejemplos disutidos anteriormente tienen un omportamiento
radialmentedistinto. Esto se debea una propiedad que estudiaremos
en la proxima seion, y que ya se maniesta en las osas que hemos
heho hastaahora.
1
La expresion ds 2
es una manera lasia de referirse al produto interno de
vetores,detalformaquesiU =(u;v)
u
+(u;v)
v
yV =(u;~ v)
u +
~
(u;v)
v
son vetores tangentes aD
a
en elpunto (u;v),su produto internoen lametria
(5)eslafunion
(1 1 a 2 (u 2 +v) 2
)(e+ e
)+ 1
a 2
(u+v)(ue+v e ) (1 1 a 2 (u 2 +v) 2 ) 2 :
CuandoU =V eselvetortangenteaunaurva,laraizuadradadediha
En efeto, a manera de ejemplo ilustrativo, onsideremos la esfera
S 2
deradio1,elplanoEulideanoR 2
,ylapseudo-esferaH de(pseudo)
radio p
1. En ada uno de estos asos, miremos irunferenias en
estos espaios, y alulemos sus longitudes. Por deniion, las
irun-ferenias se desriben dando un punto en el espaio, su entro, y un
numero real positivo r, su radio, y onsisten en el onjunto de puntos
en la superie que distan r unidades de su entro. Para los ejemplos
esogidos,laslongitudesdetalesirunfereniasnodependendelpunto
esogidoomo entro, y resultanser igualesa2senr,2ry 2senhr,
respetivamente.
En el aso de S 2
, el radio puede variar en el intervalo (0;), y la
longitud de la irunferenia de radio r es una funion aotada que
alanza su maximo uando r ==2, es deir, uando se trata del
me-ridianoeuatorial, visto onsiderando suentro omo uno de los polos
esferios.
Para el plano, las irunferenias de radio r tienen longitudes que
varan linealmente on r, y puesto que este vara en (0;1), dihas
longitudes noestan aotadas.
Paralapseudo-esferaH,elradiopuedevariaren (0;1)ylafunion
longitudde una irunfereniade radio r noestaaotadatampoo, as
omo ourre en el aso del plano. Sin embargo, esta vez tal longitud
ree exponenialmenteon elradio.
Por ejemplo, si esojemos al metro omo unidad de longitud, las
irunferenias de radio =2 en ada uno de estos tres asos tendran
longitudes 6;283 m, 9;870 m, y 14;459 m, respetivamente. Si
eso-jemos un radio de 20 metros, la irunferenia orrespondiente en H
tendraunalongituddelordende 10 9
m,esdeir,delordendeunmillon
de kilometros. En el plano, talirunferenia tendra una longituddel
orden de 125 m. En S 2
, un tal radio es exesivamente grande, y no
podemos hablar de una irunferenia on estas araterstias. De
ualquiermanera, ya sabemos que ah la mayorlongitud posible es de
6;283 m.
Losresultadosanterioresnodependendelpuntoesogidoomo
en-tro porque las superies estudiadas poseen una gran antidad de
si-metras. Cera de ualquier punto, dihas superies luen m
etria-mente de la misma manera omo luiran si ambiasemos el punto en
2 Curvatura.
En las tres superies distintas analizadas en la seion anterior, las
geodesias exhiben un omportamiento ompletamente distinto.
Pa-ra la esfera, las geodesias a traves de un punto iniialmente se
se-paran para luego enfoarse nuevamente en el punto antipodal. Para
el plano, las geodesias a traves de un punto nuna vuelven a
enon-trarse, y la longitud de la irunferenia on entro en diho punto
ree proporionalmente on la distania a el. En el hiperboloide o
pseudo-esfera, las geodesias a traves de un punto omun tampoo
vuelven a enontrarse, pero esta vez la longitud de la irunferenia
entrada en diho punto ree exponenialmente on la distania al
punto en uestion. >Que propiedad de lasuperie es responsable por
este omportamiento tan distinto de las geodesias que pasan por un
punto omun?
Lapropiedad en uestionesloal,es deir,loque ontribuye aeste
omportamiento es algo intrnseo a la superie uyo efeto en un
puntodado solodepende de loque pasametriamenteeradel punto.
El efeto netoque produeenfoamientoodispersionde las geodesias
es la \suma de estas ontribuiones loales" uando nos movemos a
lo largo de la urva. Por ahora nos onentraremos en la deniion y
estudio de esta propiedad loal, o urvatura.
El termino es apropiado. Analiemos el onepto primeramente a
travesdelestudiodeunasuperieS dentrodelespaioEulideanoR 3
,
dadaporlaeuaionz =f(x;y). Queremosveromosedeformadiha
superie en elpunto(0;0;f(0;0)).
Por simpliidad, redenimos las oordenadas, si es neesario, para
ponernos en la situaion donde f(0;0) = 0. Luego, el plano tangente
en el punto (0;0;0), uya euaion es xf
x
(0;0) +yf
y
(0;0) z = 0,
nos permite aproximar linealmente la superie. En otras palabras,
si intentamos enontrar puntos (x;y;z) en S on x y y muy eranos
a ero, la mejor aproximaion lineal es la dada por z = xf
x
(0;0)+
yf
y
(0;0) donde (x;y) vara en el entorno de (0;0) donde haemos la
aproximaion. Eso esta muybien, pero dihaaproximaionsoloreeja
la estrutura lineal de la superieS en el punto (0;0;0). Y queremos
ver ladeformaionde S en (0;0;f(0;0)) que nos indique suurvatura.
Pareeentonesrazonableestudiarladifereniaz=f(x;y) xf
x (0;0)
yf
y
(0;0),yverelomportamientodelasuperieresultanteerade
(0;0;0). Puesto que hemos removido los terminos que aproximan
nos permitiraentender ladeformaionde S erade (0;0;0)que noes
lineal, y por ende, envuelve la ontorsion loal que la superie
expe-rimenta. Tal ontorsion dependera de los terminos uadratios de la
funion que denela superie S en (0;0;0),y resultara inexistente si
estos seanulan en elpunto. El onepto es uno de orden al menos2.
As pues, supongamosque
z =f(x;y); (6)
donde
f(0;0)=0; (f
x
(0;0);f
y
(0;0)) =(0;0): (7)
>En que sentido es esta superie S urva en (0;0;0)?
Envistade lasondiionesen (7),elplanotangenteaS en elpunto
(0;0;0)eshorizontal(y oinideon el planoxy). Laonvexidad de S
mide su urvatura en (0;0;0), siendo positiva, omo la de una esfera,
uandotodos los puntos de S era de (0;0;0)yaen en el mismolado
del plano tangente, o negativa si en ualquier entorno de (0;0;0) hay
puntos que yaen en distintos lados de diho plano. Esta expliaion
heurstiaadquierepreisionsidenimoslaurvaturaK en(0;0;0)por
K =det
x
x
f(0;0)
y
x
f(0;0)
x
y
f(0;0)
y
y
f(0;0)
; (8)
eldeterminantedel Hessiano de lafunionf en elorigen.
PuestoqueelHessiano esuna matrizsimetria,sepuede
diagonali-zar. Si
1 y
2
son sus autovalores, K =
1
2
. Luego, K >0si ambos
autovaloresson nonulos del mismosigno, K <0silos autovaloresson
nonulos designosdistintos,y K =0sialmenosuno delosautovalores
es nulo. La expliaion heurstia del onepto de urvatura dada en
el parrafo anterior queda perfetamente lara si esojemos las
oorde-nadas (x;y;z) de talforma que f(x;y)= 1
2
1 x
2
+ 1
2
2 y
2
+o(x 2
+y 2
),
y estudiamos el grao de z = f(x;y) en un entorno suientemente
peque~nodel origen.
Usemos (8) para alular la urvatura del plano. Esto es
relati-vamente elemental. Dado ualquier punto p en el plano xy, pensado
omoun plano inmersoen R 3
, podemos esogerlasoordenadas de tal
forma que p orresponda a (0;0;0) y que z este dada por la funion
f(x;y)0. El Hessiano de talfunion esero. Luego, K(p) =0para
ualquierp, lo ual era de esperarse pues el plano es exatamente eso,
plano.
Ahorausemos(8)paraalularlaurvaturadellaesferade radioa.
PodemoshaerlopueslaesferatambienestasumergidaenR 3
metriaquedihoespaioindue. Elentro delaesferaesirrelevante,y
dado unpuntopualquieraen ella,esogemos lasoordenadas(x;y;z)
de tal forma que p se orresponda on (0;0;0) y la esfera este dada
loalmentepor z = a+ p
a 2
x 2
y 2
. Luego,
K(p) =det
x
x
f(0;0)
y
x
f(0;0)
x
y
f(0;0)
y
y
f(0;0)
=det 0
B
1
a 0
0 1
a 1
C
A =
1
a 2
:
Este resultado muestra que la urvatura de la esfera es positiva y no
depende del punto donde se alule. Su valor a 2
disminuye uadr
a-tiamente on el radio, lo ual es bastante razonable. Una esfera de
radio ada vez mas y mas grande lue ada vez mas y mas plana. La
Tierra, una (asi) esfera on un radio de aproximadamente 6378;15
km, se rea plana hasta hae relativamente poo tiempo. Esto no es
sorprendente. Su urvatura (en km 2
) esdel ordende 3;4610 8
.
Ejeriio8. ConsiderelassuperiesenR 3
denidasporlaseuaiones
z = 1
2 x
2
+ 1
2 y
2
and z = 1
2 x
2 1
2 y
2
:
Por la deniion anterior, sabemos que sus urvaturas en el punto
(0;0;0) son 1 y 1, respetivamente. Calule la urvatura de ada
una de estassuperiesen ualquierade sus puntos. >Quesigno tienen
los resultados?
Ejeriio 9. Demuestre que laurvatura de un ilindroen ualquiera
de sus puntos es ero. >Por que tiene el ilindro la misma urvatura
que el plano?
A pesar del avane que hemos heho en el estudio del onepto de
urvatura, ladeniionse ha dado tan solopara superies dentro del
espaio Eulideano, hehono apliableala pseudo-esferaH
a
disutida
en el Ejemplo 7. >Como podremos dar una deniion intrnsea, es
deir, una denion que solo dependa de S y no del espaio ambiente
donde S pueda estar inluida? Podemos responder diha pregunta de
variasformas, yporsupuesto, todasinvoluranalaestrutura metria
de lasuperie.
Una primera forma onsiste en denir la urvatura en un punto p
porla expresion
Aqu, esel Laplaianode la metria en S, y r=r(q)es ladistania
geodesia de q al punto p. El Laplaianoes apliadoa la funionlogr
omofunion de q.
Veamosloque(9)nosdaenelasodelplano. Ladistaniageodesia
deq aunpuntojopeslalongitudEulideanadel vetor q p. T
ome-mos oordenadas que identiquen a p on elorigen. Luego, r=kqk es
ladistaniageodesia entre p y q. Ahora bien, en oordenadaspolares
(r;), elLaplaiano es eloperador dado por
=
2
r +
1
r
r +
1
r 2
2
:
Parafunionesquesolodependendelradio,elLaplaianosoloinvolura
elalulo de dos de sus derivadas on respeto a r. De talformaque
3(logr)= 3
2
r +
1
r
r
logr= 3
1
r 2
+ 1
r 2
=0;
y porende, K(p)=0,omo yasabamos.
Miremos ahora lo que (9) nos da en el aso de la esfera de radio
a. Sea p un punto dado, y esojamos oordenadas polares (r;) en la
esfera: r es la distania geodesia al punto p, el ual tomamos omo
uno de los polos de la esfera, y es el angulo longitudinal del punto,
medido modulo 2 desde un meridiano jo. En estas oordenadas, el
Laplaianode la esfera esel operador
=
2
r +
os r
a
asen r
a
r +
1
asen r
a
!
2
2
:
Para alular(logr)podemosignorarnuevamenteelterminoque
en-vuelve alas derivadason respeto a. Obtenemos
(logr)= 2
r +
os r
a
asen r
a
r !
logr= 1
r 2
+ os
r
a
arsen r
a
= 1
3a 2
+O(r 2
);
donde la ultima igualdad se obtiene usando una expansion de Taylor
en torno ar =0. Luego,
K(p)= 3lim
r!0
(logr)= 1
a 2
;
reproduiendo el resultado para la urvatura de la esfera de radio a
Ejemplo 10. Puesto que (9) paree funionar bien para alular la
urvatura del plano y la esfera, usemos diha deniion para alular
la urvaturade H
a
en un punto p.
Enoordenadas polares entradas en p, lametria de H
a
se esribe
omo
ds 2
=dr 2
+a 2
senh 2
r
a
d 2
:
Implitamente hemos visto tal osa al alular la longitud de la
ir-unferenia de radio geodesio igual ar para esta superie. En vista
de ello, elLaplaianode H
a
esta dado por
=
2
r +
osh r
a
asenh r
a
r +
1
asenh r
a
!
2
2
;
analogo al Laplaiano de la esfera on el rol de las funiones
trigo-nometrias jugado esta vez por las funiones trigonometriashiperb
o-lias. Luego,
(logr)= 2
r +
osh r
a
asenh r
a
r !
logr= 1
r 2
+ osh
r
a
arsenh r
a
= 1
3a 2
+O(r 2
);
y porende,
K(p)= 3lim
r!0
(logr)= 1
a 2
:
As pues, la urvatura de la pseudo-esfera H
a
no depende del punto
donde se lealula, y esigual a laonstante negativa 1=a 2
.
Ejeriio 11. >Que pasa on losLaplaianos de la esfera de radio a y
de H
a
uandoa!1? >Porque ourreesto?
Ejeriio 12. El ejeriio anterior sugiere el que podemos ver al
pla-no omo un ierto lmite de superies de urvatura positiva, y omo
un ierto lmite de superies de urvatura negativa. >Que propiedad
topologia permitiradifereniardihos lmites?
Losresultados anterioresindian que las expresiones (8) y (9)
pro-duenresultadosoherentes. >Comopodremosjustiarlaequivalenia
entre ambosoneptos? Responderemos aestapreguntausandoun
ar-gumento elemental, justiando nuestra respuesta a traves del uso de
dos sistemasde oordenadas muy utiles.
Observemos que el plano tangente a la superie S en el punto
(0;0;0)oinideon elplanoxy,y lasdireiones alo largode losejes
de oordenadasson perpendiulares. Tomemoselvetoru
u +v
punto(u;v;0),yportraslaionpensemosloomoun vetoren (0;0;0).
Queremos hallarla geodesia (s)=(x(s);y(s);f(x(s);y(s))que en el
origentiene a dihovetor omo suvetor veloidad.
PuestoqueS esunasuperiedentrode R 3
,tieneompletosentido
el alular , y podemos denir tal expresion omo el vetor
aelera-ion de la urva . Un argumento senillo demuestra que la urva es
una geodesia si y solo si su aeleraion es perpendiular a la
super-ie, y omo los vetores
x +f x z y y +f y z
son tangentes a S en
(x;y;f(x;y)),onluimosquelaseuaionesparalasomponentes x(s)
y y(s) de una geodesia estan dadas por
x+ f x (f xx _ x 2 +2f xy _ xy_+f
yy _ y 2
)
1+f 2
x +f
2
y
=0;
y+ f y (f xx _ x 2 +2f xy _ xy_+f
yy _ y 2
)
1+f 2
x +f
2
y
=0:
Usamos diho resultado para hallar el desarrolloen serie de Taylor de
_
x(s) y y(s)_ de orden 2, y tomando el valor de orrespondiente al
parametros =1, obtenemos un punto de la superie S uyas
oorde-nadas xy ytienen expansiones dadas por
x=x(u;v)=u (f xx u 2 +2f xy uv+f
yy v
2
)(f
xx u+f
xy v) 6 +o((u 2 +v 2 ) 3 2 );
y=y(u;v) =v (f xx u 2 +2f xy uv+f
yy v
2
)(f
xy u+f
yy v) 6 +o((u 2 +v 2 ) 3 2 ); (10)
donde las derivadas de f son todas evaluadas en (0;0).
Loque elresultadoanterior nos diees quesitomamoselpuntode
oordenadas (u;v) en el plano tangente en el origen y nos movemos a
lolargode lageodesia (s)uyovetor veloidad iniialesu
u +v
v ,
uando s = 1 obtenemos el punto p de la superie S uyas
oorde-nadas x y y poseen las expansiones dadas por (10). Deimos entones
quep tiene oordenadas normales (u;v),y las expansiones nos dan las
aproximaiones ubias en u y v de las oordenadas x(p) y y(p) de p
omoun punto en R 3
.
Podemosahoraproederde dosmanerasdistintas. Enoordenadas
normales,elLaplaianoen (0;0)esta dadoporeloperador 2 u + 2 v . De
tal manera que para alular (9) y demostrar su equivalenia on (8),
podramos esribir a la distania geodesia r omo funion de (u;v)
y usar (10) para hallar su expansion en serie de Taylor de orden 3, a
partir de la ual sera senillo el obtener lim
r!0
(logr). En lugar de
argumento que involura las oordenadas polares, justiando de paso
la maneraomo fueron presentados losalulosen dondeutilizamosla
noion dadapor(9).
En efeto, deimos que el punto p, al ual le hiimos orresponder
sus oordenadasnormales(u;v),tieneoordenadaspolares(r;)siu=
rosandv =rsen. Lafunionqueenvaa(u;v)enelvalorens=1
de la geodesia que posee dihovetor omo veloidad iniial, enva a
los vetores
r y
en vetores tangentes a S que son perpendiulares
el uno on el otro. Abusando de la notaion, llamaremos
r y
a
estos ultimos vetores tambien. Es evidente que k
r
k = 1, y por la
perpendiularidad de
r y
,la metriase expresa omo
ds 2
=dr 2
+g(r;) 2
d 2
; (11)
para iertafunionnonegativag(r;). Claramente, dihafunionnoes
otra osa sino lanorma de
.
>Comopodremoshallarlaexpresionenoordenadasde
? Enotras
palabras, >omo podremos hallarlos oeientes que nos produzan la
igualdad
=A
x +B
y +C
z
en el punto on oordenadas polares (r;)? Para ello, onsideremos
la urva (s) = (x(u;v);y(u;v);f(x(u;v);y(u;v)))donde u = u(s) =
ros(+s) y v = v(s) = rsen(+s). Los oeientes en uestion
estandados por
A = d
ds
x(u(s);v(s))j
s=0 ;
B = d
ds
y(u(s);v(s))j
s=0 ;
C = d
ds
f(x(u(s);v(s));y(u(s);v(s))j
s=0 ;
y sus expansiones de Taylor son
A = v
I(u;v)( f
xx v+f
xy u)
6
Æ
I
(u;v)(f
xx u+f
xy v)
3
;
B = u
I(u;v)( f
xy v+f
yy u)
6
Æ
I
(u;v)(f
xy u+f
yy v)
3
;
C = (f
xx
x(u;v)+f
xy
y(u;v))A+(f
xy
x(u;v)+f
yy
y(u;v))B;
donde x(u;v) y y(u;v)estandados por lasexpansiones (10), y
I(u;v)=f
xx u
2
+2f
xy
uv+f
yy v
y
Æ
I
(u;v)=(f
yy f
xx
)uv+f
xy (u
2
v 2
);
respetivamente.
La funion g(r;) = k
k se obtiene alulando p
A 2
+B 2
+C 2
.
Puestoque r 2
=u 2
+v 2
, es senilloverque
g(r;)= r
r 2
(f
xx f
yy f
2
xy )
3
r 4
+o(r 4
)=r(1 (f
xx f
yy f
2
xy )
6
r 2
+o(r 2
)):
Luego,
(logr)= 1
r 2
+
r g
rg =
f
xx f
yy f
2
xy
3
+o(1);
y laequivalenia entre (8) y (9) queda as laramenteestableida.
Enrealidad,lademostraionabalde laequivaleniarequiereel
es-tudiarlos residuos en la expansiones de Taylor que usamos en nuestro
argumento,demostrandoqueellos noontribuyen altomarellmiteen
uestion. Esto se puede formalizar ompletamente si asumimosque la
funionf tienealmenostodassusderivadasdehastaorden3ontnuas,
pues en tal aso, la metria es lo suientemente regularpara
garanti-zar que tales residuos son despreiables. De heho, podemos haer la
demostraionexigiendo un poquito menosde lafunionf,pero
omiti-remostales detalles teniosaqu.
Ladeniionde urvatura dadapor(9) esintrnsea y nos permite
alulardihafunionparalostresmodelosquehemosanalizadohasta
ahora. Sin embargo, envuelve un operador diferenial asoiado a la
metria de la superie. Quisieramos ver si podemos redenir diho
onepto apoyandonos en la noion de area, en lugar del Laplaiano
mismo.
La idea es sugerida por los argumentos utilizados para llegar a la
deniion que dimos en el aso en que la superie estaba sumergida
en el espaio Eulideano. La urvatura K(p) mide la distorsion loal
de un diso de radio r en el plano tangente a la superie en el punto
p,uandoloqueremosompararon eldisode radior en lasuperie
misma. Tal distorsiones apturada en lasareas de dihos disos.
Enefeto, dada la superieS y un puntop en ella, trabajemosen
oordenadaspolares (r;)entradas en p,dondelametrialuza omo
en (11) para ierta funionnonegativag(r;). Sea D
r
el diso en S de
entro p y radio geodesio r. Sea D 0
r
el diso en el tangente a S en el
punto p, de radio r. El tangente es un plano, y lo proveeremos de la
metriausual. Luego,elareaA
0
(r)deD 0
esigualar 2
el area A(r) del diso D
r
en S sepuede alularporla integral doble
A(r)= ZZ
Dr
g(s;)dsd: (12)
Denimos entones a K(p) de auerdo a laexpresion
K(p)=12lim
r!0 A
0
(r) A(r)
r 2
A
0 (r)
; (13)
y la usaremos para realular lasurvaturas de los tres modelos hasta
ahora onsiderados.
Paraelplano,g(r;)=r,y(12)eneseasonosdiequeA(r)=r 2
,
oinidiendo on A
0
(r). Esto es bien natural: los disos D
r y D
0
r son
ongruentes uno on elotro, ynohay distorsionalguna. Calulando el
lmite (13), obtenemos que K(p)=0.
Para la esfera de radio a, g(r;)= asen r
a
. Una integraion
sen-illanos die que
A(r)=2a 2
1 os
r
a :
Una expansion de Taylor nos dira entones que
A
0
(r) A(r)= 1
12 r
4
a 2
+O(r 6
);
y usando (13), obtenemos que K(p)=1=a 2
.
Finalmente, paraH
a
,tenemosqueg(r;)=asenh r
a
. Entalaso,
A(r)= 2a 2
1 osh
r
a ;
y onluimos que
A
0
(r) A(r)= 1
12 r
4
a 2
+O(r 6
):
El lmite denido por (13) produe K(p)= 1=a 2
.
Ejeriio 13. Sea S una superie en R 3
denida por z = f(x;y).
Demuestreque la funion K denida en (13) satisfaela relaion
(1+f 2
x +f
2
y )
2
K =f
xx f
yy f
2
xy :
3 Breve perspetiva historia.
Elonepto de urvatura de superiessedebea CarlF. Gauss
(1777-1855)[4℄, quien pareehaberse tomadounos 15a~nos en eldesarrolloy
depuraionde sus ideas. Suontribuionfueseminalen elsubseuente
desarrollode la Geometra Diferenial.
Para una superie S en R 3
, Gauss introdujo el mapa :S 7! S 2
,
la normal de S en ada punto (hoy da, nos referimos a este omo el
mapa de Gauss). Denio entones el valor absoluto de la urvatura
omparando las areas de (D
r
) y de D
r en S
2
y S, respetivamente,
para D
r
un diso de radio r en S. De manera mas preisa, tomo
a jK(p)j omo el lmite uando r ! 0 del oiente de las areas de
(D
r ) y D
r
, respetivamente, y denio el signo de K(p) onsiderando
la orientabilidad del diferenial de en p, pensado omo un mapa de
T
p
S en s mismo.
Gauss estudio diho onepto en gran detalle, onsiderando a S
desde varios puntos de vista, omo superie de nivel, omo laimagen
de una inmersion,o omoel grao de una funion. Enelultimo aso,
demostro la identidad ontenida en el Ejeriio 13. Sin embargo, su
resultadofundamentalonrespeto aK fuelademostraionde quetal
onepto es independiente de la manera omo S este inluida en R 3
,
y de que es invariante bajo la aion de isometras, es deir, bajo la
aion de transformaiones de la superie que preservan la distania
entredospuntos ualesquiera. Gausslograonelloeldemostrarquesu
onepto de urvatura era una propiedad intrnsea de la superie, y
node lamaneraomoestaestabainmersadentrodel espaioambiente.
Gauss paree haber onoido de laexistenia de superies de
ur-vaturanegativa,dondehayunnumeroinnitodegeodesiasquepasan
por un punto omun y que no intersetan a una otra geodesia dada.
Sinembargo,seabstuvodepubliarsuresultado. NikolayLobahevsky
(1792-1856)omenzo elestudio de geometrasno-Eulideanas en 1829.
En1868, EugenioBeltrami (1835-1900) [1℄demostro quetalproblema
no era otra osa sino el estudio de superies de urvatura onstante
negativa,eintrodujounmodelodelasoanalizadoenelEjemplo7. F
e-lix Klein (1849-1925) reinterpreto diho modelo en 1871, y popularizo
su version projetiva, es deir, la dada por el diso D
a
on la metria
(5). Klein introdujoel termino hiperbolia, quehoy da es muhomas
popular al referirse a este tipo de geometra. Dos a~nos despues de la
muertede BernhardRiemann(1826-1866)en 1866,sepubliosu
famo-sa lase inaugural de 1854, onteniendo los fundamentos generales de
aso partiular. Beltramiseentera de ello, yen 1868 mismogeneralizo
el ejemplo de la pseudo-esfera adimensiones mayores.
Gauss estudio el onepto de geodesia para superies en R 3
, y
su omportamientouandolasuperieen uestiontenaurvatura de
iertosigno. Demostroquesiseusalalongituddearoomoparametro
de la urva, el vetor aeleraion de una geodesia debe ser siempre
perpendiular alasuperie. Este resultadohabasidodesubiertopor
LeonhardEuler(1707-1783)en1744[3℄. EulerfueestudiantedeJohann
Bernoulli(1667-1748),elual,juntoonsushijosyenpartiular,Daniel
Bernoulli (1700-1782), haba resuelto algunos problemas variaionales
de importaniaen la primeramitad del sigloXVIII.
Gaussonsiderolaurvaturatotal detriangulosgeodesios,la
inte-gral de la urvatura sobre una tal region, y demostro que talantidad
mide la diferenia entre la suma de sus angulos internos y . De esta
manera, los triangulos esferios tienen angulos que suman a un valor
mayorque ,mientras que lostrianguloshiperbolios haen lo
ontra-rioysusangulossumanaun valormenorque. Gaussdesubrioasla
inuenia de la urvatura sobre la topologa de la superie, abriendo
de esta manera una novedosa lnea de investigaion que aun ontinua
on vigor.
La literatura existente sobre los temas aqu estudiados es
inmen-sa. Como punto de partida para investigaiones adiionales, el letor
puede referirse a [2℄, y analizar algunos de los artulos itados en su
bibliografa. Estapubliaionapareioenoasiondelaonmemoraion
de los 200 a~nos del naimiento de Gauss, e inluye una traduion al
inglesdesutrabajoseminal[4℄, uyaleturasiguesiendohoyaltamente
plaentera.
Referenias
[1℄ E. Beltrami, Saggio di interpretazione della geometra
non-eulidea,Gior. Mat. 6,pp. 248-312.
[2℄ P. Dombrowski, 150 years after Gauss' Disquisitiones gener
a-les ira superies urvas, with the original text of Gauss,
Asterisque 62, Soiete Mathmatique de Frane, 1979.
[3℄ L. Euler, Methodus inveniendi lineas urvas maximi minimive
[4℄ C.F. Gauss, Disquisitiones generales ira superies urvas,
