Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Mediante Grupos de Lie

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(1)Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Mediante Grupos de Lie. Joan Sebastián Gaitán Rivera. Director Ms.C. Carlos Antonio Julio Arrieta. Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad de Ciencias y Educación Matemáticas 2015.

(2) Dedicatoria Quiero dedicar este trabajo a mis padres por todo su cariño y amor que me han brindado en estos años. A mi tı́a Marı́a Elsy, mi primo Daniel, mi hermano y mi abuela Marı́a Elsa, quienes han estado siempre a mi lado, su confianza y apoyo fueron determinantes para la realización de este trabajo. Gracias por creer en mı́.. 1.

(3) Agradecimientos Quiero agradecer a la Universidad Distrital Francisco José de Caldas por la formación académica que me ha otorgado. Estos años de estudio y grandes vivencias representaron en mı́ un enorme crecimiento en lo académico, personal, emocional y en los demás aspectos importantes de mi vida. Al Dr. Mikhail Malakhaltsev por sus observaciones y sugerencias, ya que estas permitieron mejorar enormemente este trabajo. Agradecer su comprensión, amabilidad y por sacar parte de su tiempo para resolver mis inquietudes. Al profesor Carlos Antonio Julio Arrieta primero por introducirme y motivarme en sus cursos a realizar mi trabajo de grado en esta área de las matemáticas y segundo por aceptar dirigir este trabajo. Gracias por su confianza, comprensión y apoyo en todo este proceso. Al coordinador de la carrera de matemáticas el profesor Milton Lesmes Acosta por hacerme notar algunos aspectos importantes que inicialmente no habı́a contemplado en el trabajo. Al profesor Carlos Orlando Ochoa Castillo por sus correcciones y recomendaciones, todas estas fueron importantes para la elaboración final del trabajo.. 2.

(4) Resumen El presente trabajo constituye una pequeña introducción a la extensa teorı́a de grupos de Lie aplicados a las ecuaciones diferenciales. Mostramos que toda Ecuación Diferencial Ordinaria de primer orden admite un grupo de transformaciones de Lie que la deja invariante y describimos como encontrar soluciones exactas para las EDO de primer orden mediante el generador del grupo que esta admite.. 3.

(5) Objetivos Objetivo General • Describir el método de las coordenadas canónicas y aplicarlo para encontrar soluciones de EDO de primer orden.. Objetivos Especı́ficos • Exponer la estrecha relación que existe entre la teorı́a de grupos y las ecuaciones diferenciales. • Demostrar que toda EDO de primer orden admite puntos de simetrı́a. • Reconstruir algunos de los principales resultados encontrados por Shopus Lie en el análisis y solución de EDO mediante simetrı́as. • Brindar las herramientas necesarias para que estudiantes y futuros investigadores de la Universidad Distrital y del paı́s, puedan estudiar y comprender la literatura existente en esta área.. 4.

(6) Justificación El estudio de las ecuaciones diferenciales, inicialmente tratadas por Newton para describir el movimiento planetario, ha ido progresando enormemente a medida que se avanzó en las ciencias naturales, especialmente en la fı́sica. En la actualidad las ecuaciones diferenciales se constituyen como el corazón del análisis matemático y el estudio de sus soluciones es una herramienta importante para comprender las ciencias fı́sicas y naturales. Es bien conocido el hecho que muchas de las leyes en biologı́a, quı́mica, fı́sica o astronomı́a, ası́ como abundantes aplicaciones en la ingenierı́a y economı́a, encuentran su expresión más natural en las ecuaciones diferenciales. Además, estas son fuente de grandes ideas y teorı́as que han contribuido al enriquecimiento de un sinfı́n de áreas en las matemáticas, como por ejemplo, en el análisis avanzado y la geometrı́a diferencial, de ahı́ que su estudio sea indispensable para la investigación en ciencias exactas y naturales. Ahora bien, aunque una buena parte de la investigación en los últimos dos siglos se ha dedicado a las ecuaciones diferenciales, nuestra actual comprensión de ellas está lejos de ser completa. La teorı́a de Sophus Lie muestra que es posible encontrar simetrı́as en una ecuación diferencial y usarlas sistemáticamente para encontrar soluciones exactas, es decir podemos encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales por medio de grupos de transformaciones que dejan invariante a la ecuación. Hoy en dı́a la mayorı́a de estas ideas siguen siendo la base de muchas investigaciones en matemática pura y aplicada. Por lo tanto esta monografı́a se justifica, dado el interés por comprender mejor la naturaleza de las soluciones de las ecuaciones diferenciales e introducirnos en el estudio de las simetrı́as en ecuaciones diferenciales, una de las áreas con mayor proyección investigativa en la actualidad.. 5.

(7) Introducción Cuando se estudian por primera vez las ecuaciones diferenciales ordinarias, usualmente son presentadas como una desconcertante variedad de técnicas especiales diseñadas para resolver ciertos tipos particulares de ecuaciones, aparentemente sin relación, como las ecuaciones de variables separables, homogéneas o exactas. Esta era la única manera en la que se entendı́an y estudiaban las ecuaciones diferenciales a mediados del siglo XIX. Poco tiempo después, en la mitad del mismo siglo XIX, el matemático noruego Sophus Lie inicia el estudio de las ecuaciones diferenciales mediante grupos de transformaciones, queriendo conseguir una teorı́a semejante a la desarrollada por Évariste Galois para ecuaciones algebraicas y polinomiales, pero aplicada a las ecuaciones diferenciales. Inicialmente Lie pensó en desarrollar una teorı́a geométrica que permitiera encontrar invariantes a partir de ciertas transformaciones que caracterizaran a estas ecuaciones. En este sentido a una ecuación diferencial le asoció una familia finita de transformaciones y ası́ logró hallar resultados que relacionan estrechamente la teorı́a de grupos con las ecuaciones diferenciales. Uno de los descubrimientos más profundos de Lie se basa en el hecho que las técnicas especiales elaboradas para resolver algunos tipos particulares de ecuaciones diferenciales ordinarias, son en realidad, los casos particulares de un procedimiento general de integración basados en la invarianza de la ecuación diferencial bajo un grupo continuo de simetrı́as. Esta observación unificó y amplió significativamente las técnicas de integración disponibles, lo cual inspiró a Lie a desarrollar y aplicar su teorı́a de grupos continuos de transformaciones, actualmente conocidos como grupos de Lie.. 6.

(8) Estado del Arte (1874) Sophus Lie. Begründung einer Invariantentheorie der Berührungstransformationen. Teubner, Leipzig. (1888) Sophus Lie. Theorie der Transformationsgruppen. Leipzig. (1891) Sophus Lie. Vorlesungen über Differentialgleichungen mit Bekannten Infinitesimalen Transformationen. B. G. Teubner, Leipzig. (1922) Elı́e Cartan. Lecons sur les Invariants Integraux. Parı́s. (1930) Elı́e Cartan. La Theorie des Groupes Finis et Continus et l’Analysis Situs. Gauthier-Villars, Paris. (1936) Elı́e Cartan. La Topologie des Groupes de Lie, Exp. de Géométric. Hermann, Paris. (1978) Lev Ovsyannikov. Group Analysis of differential equations. Academic Press, New York. (1983) Nail Ibragimov. Transformations groups applied to mathematical physics. Holland. (1989) Hans Stephani. Differential equations. Their solutions using symmetries. Cambridge University Press. (1993) Peter Olver. Applications of Lie groups to differential equations. Springer Verlag, New York. (1994) Nail Ibragimov. CRC Handbook of Lie group analysis of differential equations. Vol I Symmetries, exact solutions, and conservation laws. (2002) George Bluman. Symmetry and Integration Methods for Differential Equations. Springer, New York. (2012) Peter Olver. Lectures on Lie Groups and Differential Equations. (2014) Gianni Manno, Francesco Oliveri and Giuseppe Saccomandi. Ordinary differential equations described by their Lie symmetry algebra. (2015) Cheng Chen, Yao-Lin Jiang. Lie group analysis method for two classes of fractional partial differential equations. 7.

(9) Metodologı́a El trabajo inicia con la consulta de fuentes bibliográficas que profundicen las temáticas y con el desarrollo de ejemplos que permitan conceptualizar mejor las mismas. Para la elaboración del trabajo se lleva un registro de la actividad matemática (ejemplos, teoremas, demostraciones y en general de los avances que se obtengan) para ası́, ir cumpliendo con los objetivos planteados. Finalmente se elabora una sı́ntesis, en esta se presenta una versión finalizada y ordenada donde se encuentran las distintas conexiones, entre los conceptos y razonamientos que llevaron al desarrollo del trabajo.. 8.

(10) Índice general Resumen. 3. Objetivos. 4. Justificación. 5. Introducción. 6. Estado del Arte. 7. Metodologı́a. 8. 1. Preliminares 10 1.1. Aspectos generales sobre diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . 11 1.2. Ecuaciones Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2. Grupos de Lie 2.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Variedades Diferenciales . . . . . 2.3. Introducción a los Grupos de Lie 2.4. Acción de Grupos . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 18 20 23 28 30. 3. Grupos de Transformaciones de Lie 3.1. Grupos de Tranformaciones de Lie Uniparamétricos 3.2. Transformaciones y Generadores Infinitesimales . . . 3.3. Serie de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Funciones Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Coordenadas Canónicas . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 33 34 38 41 46 47. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 4. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Mediante Simetrı́as De Lie 4.1. Curvas Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Simetrı́as de EDO de Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Algoritmo para hallar la solución de una EDO . . . . . . . . . .. 53 54 57 67. Conclusiones y Recomendaciones. 74. 9.

(11) Capı́tulo 1. Preliminares } Es preciso detenerse en algún punto, y para que la ciencia sea posible, debemos detenernos cuando encontremos la simplicidad ~ Henri Poincaré.. 10.

(12) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 1.1.. 11. Aspectos generales sobre diferenciabilidad. En este capı́tulo se presentan los conceptos, definiciones y teoremas que son necesarios para el desarrollo de este Trabajo de Grado. Definición 1.1. Si para dos funcines f (x) y g(x) ocurre que lı́m. x→x0. |f (x)| = 0, |g(x)|. escribimos f (x) = o(g(x)),. cuando x → x0 .. El sı́mbolo o se conoce como notación o minúscula de landau. En el caso de que exista un > 0 tal que |f (x)| ≤ lı́m x→x0 |g(x)| escribimos f (x) = O(g(x)),. cuando x → x0 ,. y O se conoce como notación O minúscula de landau. Definición 1.2. Sea U un conjunto abierto de Rn y f una función de U en Rm . Si existe una transformación lineal A de Rn en Rm , tal que |f (x + h) − f (x) − Ah| = 0, h→0 |h| lı́m. (1.1). decimos que f es diferenciable en x y se escribe f 0 (x) = A. Si f es diferenciable en todo x ∈ U decimos que f es diferenciable en U . Observación 1.1. Naturalmente para que (1.1) tenga sentido, h ∈ Rn y si |h| es lo suficientemente pequeño, entonces x + h ∈ Rn , pues U es abierto. De manera que, f (x + h) ∈ Rm y Ah ∈ Rm . Por tanto, f (x + h) − f (x) − Ah ∈ Rm y la expresión en (1.1) está bien definida. Frecuentemente (1.1) se escribe en la forma f (x + h) − f (x) = f 0 (x)h + r(h) |r(h)| = 0 o equivalentemente h→0 |h|. donde r(h) es pequeño, en el sentido que lı́m r(h) = o(h) cuando h → 0.. Ejemplo 1.1. Sabemos del cálculo que la función f : R −→ R, dada por f (x) = sen(x), tiene derivada f 0 (x) = cos(x), para todo x ∈ R. Entonces podemos escribir sen(x + h) = h cos(x) + r(h), donde r(h) = o(h) cuando h → 0. Luego para valores muy pequeños de h podemos aproximar sen(x + h) ∼ sen(x) + h cos(x) con error igual a una fracción pequeña de h (r(h)). Utilizando la identidad trigonométrica: sen(x + h) = sen(x) cos(h) + cos(x) sen(h), obtenemos r(h) = sen(x)(cos(h) − 1) + cos(x)(sen(h) − 1) y ası́ concluı́mos que |r(h)| lı́m = 0. h→0 |h|.

(13) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 12. Teorema 1.1. [15, Pág. 213] Supongamos que U y f son como en la Definición 1.2., x ∈ U y se satisface (1.1) con A = A1 y con A = A2 , entonces A1 = A2 . Definición 1.3. Si f : U ⊆ Rn −→ R es una función de U en R definida por (x1 , x2 , · · · , xn ) 7−→ f (x1 , x2 , · · · , xn ), decimos que f es continuamente diferenciable en U o de clase C 1 (U ) y se escribe f ∈ C 1 (U ), cuando las derivadas parciales ∂f ∂f ∂f (x), (x), · · · , (x) ∂x1 ∂x2 ∂xn existen para todo x ∈ U y son continuas en U . Diremos que f es C k diferenciable sobre U o de clase C k (U ) si y sólo si las derivadas parciales de f (x1 , x2 , · · · , xn ) de todos los ordenes menores o iguales a k existen y son continuas sobre U . Podemos extender el concepto y considerar funciones infinitamente diferenciables, en estos casos f ∈ C ∞ (U ) o es de clase C ∞ (U ), si existen las derivadas parciales de todos los ordenes (para cada k ∈ N) y son continuas en U . En particular, f ∈ C 0 (U ) significa que f es continua en U . Por último decimos que f es analı́tica sobre U si existe una vecindad en cada punto (a1 , a2 , · · · , an ) de U en las cuales f (x1 , x2 , · · · , xn ) puede ser expresada como una serie de potencias convergente en xi − ai (i = 1, 2, · · · , n). Ejemplo 1.2. Todo polinomio definido en Rn es una función de clase C ∞ (Rn ). En R las funciones exponencial y logaritmo son funciones de clase C ∞ en los intervalos donde están definidas. Definición 1.4. Si f es una función real definida sobre un intervalo I de R, f ∈ C n (I), x0 ∈ I y notamos la n-ésima derivada de f en x0 por f (n) (x0 ). El polinomio de Taylor de orden n de f en x0 se expresa de la siguiente manera Pn (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +. f 00 (x0 ) f n (x0 ) (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n 2! n!. y tiene la propiedad de que él y sus derivadas hasta el orden n coinciden con la función y sus derivadas hasta el orden n en el punto x0 . Ejemplo 1.3. Sea f definida como en la Definición 1.4 con f ∈ C n (I) entonces si h es tal que x + h ∈ I, para todo x ∈ I, podemos expresar la fórmula de Taylor ası́ f (x + h) = f (x) + f 0 (x)h +. f 00 (x) 2 f n (x) n h + ··· + h + r(h) 2! n!. |r(h)| = 0. Además se puede demostrar que r(h) es un polinomio de h→0 |hn | grado ≤ n, cuyas derivadas, desde el orden 0 al n, se anulan en el punto 0. Véase [12, Pág. 221]. donde lı́m.

(14) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 13. Teorema 1.2. Sea n ∈ N, I = [a, b] y f : I −→ R tal que f ∈ C n (I) y además f (n+1) existe en (a, b). Si x0 ∈ I, entonces para cualquier x en I existe un punto c entre x y x0 tal que f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +. f 00 (x0 ) f (n) (x0 ) (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n 2! n! f (n+1) (c) (x − x0 )n+1 + (n + 1)!. Demostración. Definimos el intervalo J como un intervalo cerrado con puntos terminales x y x0 . Sea F una función definida sobre J por F (t) = f (x) − f (t) − (x − t)f 0 (t) − · · · −. (x − t)n (n) f (t) n!. para t ∈ J. Si derivamos F (t) tenemos que F 0 (t) = −. (x − t)n (n+1) f (t) n!. Ahora si definimos una nueva función G en J por (n+1) x−t G(t) = F (t) − F (x0 ) x − x0 para t ∈ J, entonces G(x0 ) = G(x) = 0. Si aplicamos el teorema de Rolle en G [1, Pág. 207] este nos garantiza la existencia de un punto c entre x y x0 tal que G0 (c) = F 0 (c) + (n + 1). (x − t)n F (x0 ) (x − x0 )n+1. esto es, 1 (x − x0 )n+1 0 F (c) n + 1 (x − t)n 1 (x − x0 )n+1 (x − c)n (n+1) = f (c) n + 1 (x − t)n n!. F (x0 ) = −. =. f (n+1) (c) n+1 (x − x0 ) (n + 1)!. Por lo tanto la conclusión se tiene a partir de la definición de F .. Q.E.D.. Algunas veces el Teorema de Taylor se presenta como f (x) = Pn (x) + Rn (x), donde Pn (x) es el polinomio de Taylor de f en x0 y Rn (x) está dado por Rn (x) =. f (n+1) (c) n+1 (x − x0 ) (n + 1)!. para algún c entre x y x0 . Rn (x) también se conoce como residuo o forma de Lagrange del residuo..

(15) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 1.2.. 14. Ecuaciones Diferenciales. Definición 1.5. Una Ecuación Diferencial (ED) es una ecuación que involucra derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. Decimos que una ecuación diferencial es ordinaria si en ella sólo existe una variable independiente (todas las derivadas que involucra son ordinarias) y una ecuación en la que intervienen una o más variables independientes (de modo que las derivadas que aparecen son derivadas parciales) es una ecuación diferencial parcial. Ejemplo 1.4. Las ecuaciones (1.2) y (1.3) son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias y las ecuaciones (1.4) y (1.5) son ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales. dy = −g dx d2 y dy −5 + 6y = 0 2 dx dx ∂2u ∂2u ∂2u + 2 + 2 =0 ∂x2 ∂y ∂z ∂u ∂u + =u ∂s ∂t. (1.2) (1.3) (1.4) (1.5). A menudo consideraremos la definición clásica de una ecuación diferencial ordinaria de orden n, es decir como una relación de la forma F (x, y, y 0 , y 00 , · · · , y n ) = 0. (1.6). siendo F una función F : U ⊆ Rn+2 −→ R con U un subconjunto abierto de Rn+2 . Definición 1.6. Una función f definida sobre un intervalo I de R, tal que f ∈ C n (I), F (x, f (x), f 0 (x), · · · , f n (x)) está definida para todo x ∈ I y además F (x, f (x), f 0 (x), · · · , f n (x)) = 0 para todo x ∈ I. Es una solución explı́cita de la ED (1.6). Definición 1.7. Una ecuación diferencial de primer orden es una relación F (x, y, y 0 ) = 0. (1.7). Una solución de (1.7) es una función y = f (x) que satisface la ecuación. Ejemplo 1.5. La función y = ex es solución de la ecuación y 0 − y = 0, pero también lo son y1 = ex + 1 y y2 = ex + 2. En general la función f definida para todo x ∈ R por f (x) = ex + c, donde c es un número real, el cual denota un parámetro y la función f una familia uniparamétrica de soluciones de la ED estudiada..

(16) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 15. Observación 1.2. Si f es una función real continua en un dominio abierto y conexo, las soluciones de la ecuación diferencial dy = f (x, y), dx. (1.8). tienen una interpretación geométrica interesante [16], como una familia uniparamétrica de curvas integrales en el plano. Al estudiar las ecuaciones diferenciales ordinarias vemos que la ecuación (1.8) no puede resolverse, en general, en el sentido que no existen fórmulas para obtener su solución en todos los casos. Pero hay ciertos tipos canónicos de EDO para las cuales sı́ se disponen de métodos rutinarios de resolución. El más simple de todos estos es aquel en el que las variables son separables dy = g(x)h(y) dx. (1.9). donde h(y) 6= 0 para todos los reales y donde esté definida. Una ED como (1.9) es una ecuación diferencial de variables separables. Para resolverla basta con escribir en forma separada, Z Z dy dy = g(x)dx, e integrar g(x) dx = dy. h(y) h(y) Definición 1.8. Sea F : U −→ R una función de un abierto U del plano en R. La derivada total dF de la función F es definida ası́ dF (x, y) =. ∂F (x, y) ∂F (x, y) dx + dy ∂x ∂y. para todo (x, y) ∈ U . Definición 1.9. La expresión M (x, y) dx + N (x, y) dy. (1.10). es llamada una diferencial exacta en un dominio D si existe una función F continuamente diferenciable de dos variables tal que esta expresión es igual a la diferencial total dF (x, y) para todo (x, y) ∈ D. Esto es, la expresión (1.10) es una diferencial exacta si existe una función F que satisface ∂F (x, y) ∂F (x, y) = M (x, y) y = N (x, y) ∂x ∂y para todo (x, y) ∈ D. Si (1.10) es una diferencial exacta entonces la ecuación diferencial M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 se llama ecuación diferencial exacta.. (1.11).

(17) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 16. Observación 1.3. Se puede comprobar fácilmente que una ED como (1.8) se puede escribir en una forma diferencial como (1.11)y recı́procamente. Ejemplo 1.6. La ED y 2 dx + 2xydy, es una ecuación diferencial exacta. En efecto, ya que esta expresión es igual a la diferencial total de la función f (x, y) = xy 2 . Teorema 1.3. [14]Una ecuación diferencial M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 donde M y N son continuamente diferenciables en un dominio rectangular D del plano. Es exacta si y sólo sı́ ∂N (x, y) ∂M (x, y) = . ∂y ∂x Definición 1.10. Si la ecuación diferencial M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 no es exacta en un dominio D, pero la ecuación diferencial µ(x, y)M (x, y) dx + µ(x, y)N (x, y) dy = 0 es exacta en D, entonces la función µ(x, y) es llamada factor integrante de la ecuación diferencial. Ejemplo 1.7. La ecuación diferencial (3y + 4xy 2 ) dx + (2x + 3x2 y) dy = 0 es de la forma (1.11), donde M (x, y) = 3y + 4xy 2 ,. N (x, y) = 2x + 3x2 y,. ∂M (x, y) = 3 + 8xy, ∂y. ∂N (x, y) = 2 + 6xy. ∂x. Luego ∂M (x, y) ∂N (x, y) 6= ∂y ∂x excepto para los (x, y) que satisfacen 2xy + 1 = 0, la ED no es exacta en ningún dominio rectangular. No obstante, si multiplicamos la ED por µ(x, y) = x2 y obtenemos (3x2 y 2 + 4x3 y 3 ) dx + (2x3 y + 3x4 y 2 ) dy una ecuación diferencial exacta en todo dominio rectangular, pues ∂[µ(x, y)N (x, y)] ∂[µ(x, y)M (x, y)] = 6x2 y + 12x3 y 2 = ∂y ∂x para todo (x, y) ∈ R2 . Por lo tanto µ(x, y) = x2 y es un factor integrante de la ED analizada..

(18) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 17. Definición 1.11. La ED de primer orden M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 se llama homogénea si, cuando la escribimos en la forma (1.8), existe una función g tal que f (x, y) puede ser expresada en la forma g(y/x). Teorema 1.4. Si M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 es una ecuación homogénea entonces el cambio de variable y = ux transforma esta ecuación en una ecuación separable en las variables u y x. Demostración. Como la ecuación diferencial M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 es homogénea, se puede escribir en la forma y dy =f dx x. (1.12). Ahora si hacemos la transformación y/x = u, entonces y = ux e. dy du =u+x dx dx. Reemplazando las expresiones anteriores en la ecuación (1.12) obtenemos la siguiente ED de variables separables x. du du + u = f (u) o bien x = f (u) − u dx dx. Separando variables, la ecuación previa toma la siguiente forma du dx = f (u) − u x Q.E.D. Observación 1.4. Existen transformaciones adecuadas que permiten reducir algunas ED a ecuaciones diferenciales homogéneas, como se expone en [18, Pág. 29]. Ası́ mismo, en las ecuaciones diferenciales de orden superior hay transformaciones que reducen el orden de algunas ecuaciones, ver por ejemplo [16] o [14]. Este hecho aunque no se puede aplicar a todos los tipos de ecuaciones diferenciales, nos revela la importancia que la acción de una transformación puede tener en la ecuación diferencial estudiada..

(19) Capı́tulo 2. Grupos de Lie } Quien ama la práctica sin teorı́a es como el marinero que se embarca sin timón ni brújula y no sabe a donde ir ~ Leonardo da Vinci.. El desarrollo de los grupos de Lie ha abarcado diversas áreas de la matemática pura y aplicada, causando un gran impacto en cada una de estas, mucho más de lo esperado por el mismo Lie. Las aplicaciones de los grupos de simetrı́a de Lie se pueden encontrar en topologı́a algebráica, geometrı́a diferencial, teorı́a de invariantes, teorı́a de bifurcaciones, mecánica clásica, etc. No obstante, el estudio de los trabajos de Lie y de los grupos que llevan su nombre comenzarı́a hace poco más de un siglo, ya que desafortunadamente cayeron en el olvido por un largo periodo de tiempo durante el siglo XIX, hasta que se logró reformular la geometrı́a diferencial y gracias también al impulso que Eli Cartan les dio al estudiar sus usos geométricos. Los resultados obtenidos por Cartan han sido de gran importancia y abarcan las álgebras de Lie, la representación de los grupos de Lie semisimples, el estudio de simetrı́as en ecuaciones diferenciales, entre otras. Podemos decir que los trabajos Cartan son una sı́ntesis asombrosa entre la teorı́a de Lie, la geometrı́a diferencial y la topologı́a. Su estudio también ha despertado grandes inquietudes, como por ejemplo el quinto problema de Hilbert* , de la lista que el mismo Hilbert presentó en el * De los problemas propuestos por Hilbert el quinto se relaciona con la clasificación de los grupos de Lie, y fue enunciado por él ası́: “El concepto de Lie sobre grupo continuo de transformaciones sin asumir la diferenciabilidad de las funciones que definen el grupo”. Actualmente el quinto problema de Hilbert se puede asumir en términos simples ası́:“¿Es cualquier grupo localmente Euclı́deo un grupo de Lie?”. 18.

(20) CAPÍTULO 2. GRUPOS DE LIE. 19. año 1900 en el Segundo Congreso de Internacional de Matemáticas celebrado en Parı́s. Informalmente hablando, un grupo de Lie es un “grupo” que a la vez también es una “variedad”. En este orden de ideas, haremos una breve introducción a la teorı́a de los grupos de Lie y puesto que su concepto involucra el estudio de estos dos importantes objetos, en este capı́tulo explicamos sus definiciones y la manera en como están relacionadas..

(21) CAPÍTULO 2. GRUPOS DE LIE. 2.1.. 20. Grupos. Definición 2.1. Una operación binaria o ley de composición interna φ sobre un conjunto G es una función que aplica G × G en G. Esto es, para cada (a, b) ∈ G × G, φ(a, b) será un elemento de G, φ(a, b) ∈ G. φ : G × G −→ G (a, b) 7−→ φ(a, b) El elemento φ(a, b) se llama el compuesto de a con b. Definición 2.2. Un grupo hG, φi es un conjunto de elementos G, con una ley de composición interna φ, que satisface los siguientes axiomas: (a) Propiedad Asociativa. Para todos los a, b, c ∈ G, tenemos φ(a, φ(b, c)) = φ(φ(a, b), c). (b) Elemento Identidad. Existe un único elemento e en G tal que para todo x ∈ G, φ(x, e) = φ(e, x) = x. (c) Elemento Inverso. Para todo a ∈ G, existe un único elemento a0 en G tal que, φ(a, a0 ) = φ(a0 , a) = e, el elemento a0 se llama inverso de a y se nota como a−1 . Observación 2.1. En la gran mayorı́a de textos de álgebra abstracta la unicidad del elemento neutro e inverso no se incluyen en la definición de grupo, aun ası́, en esos casos no es difı́cil demostrar estas propiedades. Ver [8, Pág. 42] o [7, Pág. 56]. Definición 2.3. Un grupo G es abeliano si φ(a, b) = φ(b, a) para todos los elementos a y b en G. Ejemplo 2.1. (Z, +) es un grupo abeliano, donde + denota la adición usual en Z. Ejemplo 2.2. (Q, ·) no es un grupo por que 0 ∈ Q y no posee inverso. Ejemplo 2.3. Las propiedades conocidas de la multiplicación de los racionales, reales y los números complejos nos permiten mostrar que los conjuntos Q∗ , R∗ y C∗ de números no negativos bajo la multiplicación son grupos abelianos. Ejemplo 2.4. Si A es un conjunto entonces el conjunto B(A) de todas las biyecciones del conjunto A en sı́ mismo con la composición usual de funciones es un grupo. En efecto, sean f y g dos aplicaciones biyectivas de A en sı́ mismo, entonces:.

(22) CAPÍTULO 2. GRUPOS DE LIE. 21. (a) Si x, y ∈ A y tenemos que g(f (x)) = g(f (y)); como g es inyectiva, f (x) = f (y); como f es inyectiva, x = y lo que prueba que g ◦ f es inyectiva. Para demostrar que g ◦ f es sobreyectiva, basta que tomemos z ∈ A y como g es sobreyectiva existe y ∈ A tal que g(y) = z; como f es sobreyectiva existe x ∈ A tal que f (x) = y, esto es, g(f (x)) = z y por tanto g ◦f es sobreyectiva y la operación es cerrada. (b) La aplicación identidad de A en A es elemento neutro. (c) La asociatividad es una consecuencia inmediata de la asociatividad de la composición de funciones. (d) Si f ∈ B(A) entonces f −1 ∈ B(A). Si f −1 (x) = f −1 (y), tenemos que f (f −1 (x)) = f −1 (f (y)) de donde se deduce que x = y, luego f −1 es inyectiva; además si y ∈ A, el elemento x = f (y) satisface f −1 (x) = f −1 (f (y)) = y, con lo que f −1 es también sobreyectiva. En el caso en que A constituya el conjunto de los n primeros números naturales, los elementos de B(A) se denominan permutaciones de n elementos ; el conjunto de las permutaciones de n elementos se denota por Sn y al grupo (Sn , ◦) se le llama grupo simétrico de orden n. Ejemplo 2.5. El conjunto Mn × m (R) de todas las matrices de n × m es un grupo abeliano con la adición de matrices, pero no lo es con la multiplicación de matrices. Ejemplo 2.6. El subconjunto de Mn (R) de todas las matrices invertibles de n × n, notado por GL(n, R) es un grupo no abeliano con la multiplicación de matrices. GL(n, R) también se conoce como grupo lineal general de orden n y a partir de este se pueden generar otros grupos importantes de matrices, por ejemplo el grupo de las matrices ortogonales de orden n O(n, R) = A ∈ GL(n, R)/AAt = I . Al comprender la definición de grupo (Definición 2.2) notamos que estos surgen como una abstracción algebraica de la noción de simetrı́a, donde entendemos un objeto como simétrico si podemos someterlo a ciertas operaciones sin que el objeto cambie su estructura luego de efectuar cada una de las operaciones, en otras palabras, si al efectuar una operación sobre el objeto este permanece invariante. En este caso a la operación se le llama simetrı́a del objeto. Definición 2.4. Si A es un conjunto no vacı́o del plano, llamaremos a S(A) al conjunto de todos los movimientos del plano que dejan A invariante, es decir, el conjunto de todos los movimientos M del plano que satisfacen M (A) = A. El conjunto S(A) se conoce como el conjunto de simetrı́as de A. Teorema 2.1 ([7], Pág. 66). Sea A un conjunto no vacı́o del plano entonces S(A) el conjunto de las simetrı́as de A en el plano es un grupo con la composición de movimientos..

(23) CAPÍTULO 2. GRUPOS DE LIE. 22. Observación 2.2. Como se expone en [8], existe una correspondencia natural entre el grupo simétrico de n elementos Sn y el conjunto de todas las simetrı́as de un polı́gono regular de n-lados. Ejemplo 2.7. Consideremos a G como el conjunto de todas las simetrı́as que dejan invariante al triángulo equilátero ABC [2.1]. En este caso G también puede ser representado como el grupo de todas las permutaciones de los vértices A, B y C.. Figura 2.1: Triángulo ABC El elemento neutro e = (1, 2, 3) es la rotación de 0 grados alrededor del centro del triángulo, la cual corresponde al vértice 1 ubicado en A, el vértice 2 en B y el vértice 3 en C [2.2 (a)]. El elemento r = (3, 2, 1) corresponde a una rotación de 2π 3 alrededor del centro del triángulo y en sentido contrario a las agujas del reloj, esta transformación ubica el vértice 3 en el A, el 1 en el B y el 2 en el C [2.2 (b)]. El elemento de giro g = (3, 2, 1) representa la simetrı́a con respecto a la recta que pasa por el centro del triángulo y por el vértice 2; la cual hace corresponder el vértice 3 en A, el 2 en B y el 1 en C [2.2 (c)]. Los demás elementos o simetrı́as se obtienen a partir de las distintas composiciones de r y g. Si φ denota la composición de movimientos entonces el elemento φ(r, r) = r2 = (2, 3, 1) representa la rotación de 4π 3 alrededor del centro del triángulo obtenido al componer dos rotaciones de 2π 3 en sentido contrario a las agujas del reloj [2.2 (d)]. El elemento φ(r, g) = rg = (2, 1, 3) corresponde a la composición de una rotación de 2π 3 en sentido contrario a las agujas del reloj seguido por un giro [2.2 (e)]. Por último el elemento φ(g, r) = gr = (1, 3, 2) representa un giro seguido por una rotación de 2π 3 en sentido contrario a las agujas del reloj [2.2 (f)]. Teniendo en cuenta lo anterior no resulta difı́cil probar que estas son todas las.

(24) CAPÍTULO 2. GRUPOS DE LIE. 23. simetrı́as de un triángulo equilátero, más aun el conjunto G constituye un grupo con las composición de movimientos, que es no abeliano ya que por ejemplo φ(r, g) 6= φ(g, r).. Figura 2.2: Grupo de Simetrı́as de un triángulo equilátero. (a) identidad e; (b) 4π 2π rotación por 2π 3 , r; (c) giro, g; (d) rotación por 3 , φ(r, r); (e) rotación de 3 2π seguida por un giro, φ(r, g); (f) giro seguido por una rotación de 3 , φ(g, r). El grupo del ejemplo anterior recibe el nombre de grupo diédrico de orden 6. En general es posible demostrar que el conjunto de todas las simetrı́as de un polı́gono regular de n lados es un grupo [7, Pág. 69], el cual recibe el nombre de grupo diédrico de orden 2n y se simboliza mediante D2n .. 2.2.. Variedades Diferenciales. Las variedades son los objetos fundamentales en el estudio de la geometrı́a diferencial. En términos simples una variedad será un espacio que localmente se asemeja a algún espacio Euclidiano, pero que globalmente puede ser muy diferente. Para una introducción a las variedades se recomienda ver [11], donde además se encuentran resultados que no presentamos aquı́. En lo que sigue del trabajo nos referiremos a una función diferenciable como a una función de clase C ∞ . Si la función es biyectiva y diferenciable y su inversa también lo es, entonces la llamaremos difeomorfismo de clase C ∞ o simplemente difeomorfismo. Definición 2.5. Sea M un conjunto. Una Carta de dimensión n sobre M o.

(25) CAPÍTULO 2. GRUPOS DE LIE. 24. sistema de coordenadas es un par (U, ϕ) que consiste de un subconjunto U de M y una biyección ϕ de U a un conjunto abierto de Rn . A U se le conoce como dominio de la carta y además si p ∈ U entonces podemos asignarle coordenadas (x1 , x2 , . . . , xn ) mediante las funciones de proyección πi : Rn → R de manera que xi = πi ◦ ϕ para i = 1, 2, . . . , n. Definición 2.6. Una variedad diferencial de dimensión n es un conjunto M , junto con una colección de cartas sobre M , A = {(Ui , ϕi )}i∈I , siendo I un conjunto indexado de ı́ndices y ϕ(Ui ) un conjunto abierto en Rn , tales que S (a) M = Ui . i∈I. (b) Para cada i, j ∈ I con Ui ∩ Uj 6= ∅, la aplicación cambio de coordenadas ϕj ◦ ϕ−1 : ϕi (Ui ∩ Uj ) −→ ϕj (Ui ∩ Uj ) i es un difeomorfismo. Observación 2.3. Con base a la Definición 2.2 hacemos las siguientes observaciones: • A las cartas (Ui , ϕi ), (Uj , ϕj ) de la definición anterior se les dice compatibles y A es llamado un atlas de cartas sobre M . Diremos que la colección A = {(Ui , ϕi )} constituye una estructura diferencial sobre M cuando A sea máxima en relación a las condiciones (a) y (b) de la definición, es decir si no está contenido en ningún otro atlas sobre M . • La condición (b) es la que nos permite aplicar el cálculo diferencial en las variedades y a diferencia de las superfices que se estudian como objetos contenidos en R3 el concepto de variedad no requiere de un espacio ambiente. • En este trabajo nos interesaremos principalmente por las variedades diferenciales o de clase C ∞ donde las funciones de coordenadas son difeomorfismos de clase C ∞ . Frecuentemente se definen las variedades como C k variedades, en estos casos la condición de diferenciabilidad cambia en el sentido que sólo se exige que las funciones de cambio de parámetro sean de clase C k . • Una variedad de clase C 0 es una variedad topológica y son estudiadas en muchos textos de geometrı́a diferencial, como por ejemplo [10]. Una variedad topológica es un espacio topológico M , que además es Hausdorff, segundo contable y localmente euclı́deo. A partir de esta última condición vemos que las funciones de coordenadas son homeomorfismos o difeomorfismos de clase C 0. • En general una estructura diferencial sobre una variedad M puede definir una topologı́a sobre M de la siguiente manera: sea {(Ui , ϕi )}i∈I un atlas luego ϕ(Ui ) ∈ Rn para cada i ∈ I, entonces un subconjunto A de M es abierto en M si y solo si ϕ(A ∩ Ui ) es un subconjunto abierto de Rn para todo Ui satisfaciendo A ∩ Ui 6= ∅. Esta definición define la topologı́a inducida sobre M..

(26) CAPÍTULO 2. GRUPOS DE LIE. 25. Ejemplo 2.8. Rn es una variedad cubierta por la única carta (U, ϕ), donde U = Rn y ϕ es la aplicación identidad. Luego {(U, ϕ)} proporciona una estructura diferencial estándar para Rn . Ejemplo 2.9. Mn × m (R) es una variedad de dimensión n × m que se cubre por la biyección ϕ : Mn × m (R) → Rmn , definida por [aij ] 7−→ (a11 , . . . , a1n , a21 , . . . , a2n , . . . , am1 , . . . , amn ) Puesto que ϕ aplica todo Mn × m (R) en Rmn y es un difeomorfismo, la colección {(Mn × m (R), ϕ)} define una estructura diferencial para Mn × m (R). Ejemplo 2.10. Un subconjunto abierto G de una variedad diferenciable M de dimensión n es también una variedad de dimensión n. Como M es una variedad entonces admite una estructura diferencial, digamos {(Ui , ϕi )}i∈I a partir de esta obtenemos de manera natural una estructura para G, ası́ (Ui ∩ G, ϕ|Ui ∩G ) i∈I donde ϕ|Ui ∩G es la restricción de ϕ a Ui ∩ G. Ejemplo 2.11. El grupo lineal general GL(n, R) de las matrices no singulares de n × n es una variedad de dimensión n2 . Para ver esto, identificamos los 2 puntos de Rn con las matrices reales de tamaño n × n mediante la aplicación ϕ 2 definida en el Ejemplo 2.9. Ahora como la aplicación determinante M: Rn → R -1 es continua entonces M ((−∞, 0) ∪ (0, ∞)) = GL(n, R) es un conjunto abierto 2 de Rn ya que (−∞, 0) ∪ (0, ∞) es abierto en R. Por lo tanto por el Ejemplo 2.10, concluimos que GL(n, R) es una variedad de dimensión n2 . Todo conjunto M que posea una sola carta (M, ϕ) sobre M , esto es que (M, ϕ) sea una carta alrededor de cada punto p ∈ M , es claramente una variedad diferencial ya que los axiomas de la Definición 2.2 se satisfacen directamente. Sin embargo, usualmente es imposible encontrar una sola carta que cubra completamente a toda la variedad M . Ejemplo 2.12. Sea S 1 la circunferencia unitaria en R2 y sea U1 el subconjunto de S 1 que consiste de todos los puntos (cos t, sen t) con 0 < t < 2π. Entonces, ya que ϕ1 : U1 → R definida por (cos t, sen t) 7→ t es una biyección de un conjunto abierto a R; (U1 , ϕ1 ) es una carta sobre S 1 . De igual manera, sea U2 el conjunto de todos los puntos (cos τ, sen τ ) con −π < τ < π y ϕ2 : U2 → R definida por (cos τ, sen τ ) 7→ τ . Entonces (U2 , ϕ2 ) es otra carta sobre S 1 . Los conjuntos U1 y U2 cubren a S 1 y puesto que τ = t (0 < t < π) y τ = t − 2π (π < t < 2π), las aplicaciones t 7→ τ son difeomorfismos. Por lo tanto (U1 , ϕ1 ) y (U2 , ϕ2 ) conforman un atlas sobre S 1 . Ejemplo 2.13. Consideremos la esfera unitaria S 2 = (x, y, z) ∈ R3 / x2 + y 2 + z 2 = 1 La proyección estereográfica puede ser usada para cubrir a S 2 con un atlas de dos cartas. Los dominios se definen el polo norte y sur respectivamente U1 = S 2 − {(0, 0, 1)} ,. U2 = S 2 − {(0, 0, −1)} ..

(27) CAPÍTULO 2. GRUPOS DE LIE. 26. Sean ϕi : Ui → R2 ' {(x, y, 0)} para i = 1, 2, entonces las proyecciones estereográficas de los respectivos polos son x x y y ϕ1 (x, y, z) = , ϕ2 (x, y, z) = . , , 1−z 1−z 1+z 1+z Sobre U1 ∩ U2 el cambio de coordenadas ϕ1 ◦ ϕ−1 : R2 / {0} → R2 / {0} es un 2 difiomorfismo dado por la inversión x y ϕ1 ◦ ϕ2−1 (x, y) = , · x2 + y 2 x2 + y 2 De aquı́ se concluye que S 2 es una variedad de dimensión 2. Ejemplo 2.14. Si M es una variedad de dimensión m y N es una variedad de dimensión n, con estructuras diferenciales {(Uα , ϕα )} y {(Vβ , φβ )} respectivamente. Entonces M × N se convierte en una variedad diferencial de dimensión m + n, con estructura diferencial A = {Uα × Vβ , ϕα × φβ } , donde ϕα ×φβ : Uα ×Vβ → Rm ×Rn se define por ϕα ×φβ (x, y) = (ϕα (x), φβ (y)). A partir de este hecho podemos obtener nuevos ejemplos de variedades, por ejemplo el Toro n-dimensional T n = S 1 × · · · × S 1 . | {z } n veces. Ejemplo 2.15. Otros ejemplos de variedades importantes son las variedades cocientes, los espacios proyectivos, las variedades de grassmann y las variedades complejas. Cada una de estas se expone con detalle en [11] y [6]. Definición 2.7. Sea M una variedad diferenciable de dimensión n. Una función f : M → R se dice una función diferenciable en p ∈ M si existe una carta (Ui , ϕi ) con p ∈ Ui tal que f ◦ ϕ−1 es una función diferenciable sobre el i subconjunto abierto ϕ(Ui ) de Rn . En general se dice que f es diferenciable sobre M si es diferenciable sobre cada punto de M . Por la estructura diferencial de M esta definición es buena. En efecto si (Ui , ϕi ) y (Uj , ϕj ) son dos cartas de M con p ∈ Ui ∩Uj 6= ∅ y f es una función diferenciable con respecto al sistema de coordenadas definido por ϕi , entonces f es una función diferenciable con respecto al sistema de coordenadas definido por ϕj , pues −1 ◦ ϕi ◦ ϕ−1 f ◦ ϕ−1 j = f ◦ ϕi j está definida sobre ϕi (Ui ) ∩ ϕj (Uj ) y como ϕi ◦ ϕ−1 es diferenciable, entonces j f ◦ ϕ−1 también es diferenciable. j Definición 2.8. Sea p ∈ Ui ⊆ M y sea ϕi (p) = (x1 , x2 , . . . , xn ). Entonces f ◦ ϕ−1 j (x1 , x2 , . . . , xn ) la llamaremos expresión en coordenadas para f con respecto a la carta (Ui , ϕi )..

(28) CAPÍTULO 2. GRUPOS DE LIE. 27. Ejemplo 2.16. Las funciones coordenadas xi (i = 1, 2, . . . , n) definida por la carta (U, ϕ) sobre una variedad M de dimensión n, son funciones diferenciables. En efecto si p ∈ U y ϕ(p) = (x1 , x2 , . . . , xn ) entonces xi se define por xi (p) = πi ◦ ϕ(p), donde πi es la función proyección en la coordenada i. Su expresión en coordenadas viene dada por xi ◦ ϕ−1 x1 , . . . , xn = πi ◦ ϕ ◦ ϕ−1 x1 , . . . , xn = πi x1 , . . . , xn = xi Por lo tanto la función coordenada xi es diferenciable. Definición 2.9. Sean M m y N n variedades diferenciables. Una función F : M → N se dice diferenciable en p ∈ M si para cada carta (Uj , ϕj ) en f (p) y para cada carta (Ui , ϕi ) en p tal que f (Ui ) ⊆ Uj , la aplicación compuesta ϕj ◦ F ◦ ϕ−1 : ϕi (Ui ) → ϕj (Uj ) i es una función diferenciable. Ejemplo 2.17. El toro T 2 puede ser aplicado diferenciablemente en R3 si definimos F : T 2 → R3 por √ √ F (θ, ρ) = ( 2 + cos ρ) cos θ, ( 2 + cos ρ) sen ρ . Entonces F es diferenciable en θ y ρ , e inyectiva. La imagen de F es la superficie toroidal en R3 dada por la única ecuación p x2 + y 2 + z 2 + 1 = 2 2(x2 + y 2 ). De manera que el toro T 2 puede entenderse como una superficie en R3 . Definición 2.10. Sea F : M → N una aplicación diferenciable entre dos variedades M y N de dimensiones m y n respectivamente. El rango de F es el rango de la matriz jacobiana ∂Fi /∂xi de n × m en x. La aplicación F es de rango máximo sobre un subconjunto S ⊂ M si para cada x ∈ S el rango de F es el mayor posible, es decir, igual al menor de los números m, n. Definición 2.11. Sea F : M → N y dim M = m ≤ n =dim N . Si el rango de F es igual a n en todo punto entonces F se llama una inmersión. Si F es una inmersión inyectiva, entonces, F (M ) es una subvariedad inmersa. En otras palabras, una subvariedad N de M , es la imagen en M de una inmersión inyectiva F : N 0 → M , N = F (N 0 ), de una variedad N 0 en M junto con la topologı́a y la estructura diferencial que hacen de F : N 0 → M un difiomorfismo. Ejemplo 2.18. Sea N 0 = R y M = R3 . Entonces la aplicación φ : R → R3 dada por φ(t) = cos t, sen t, t define una espiral circular sobre el eje z. Además es claro que φ es inyectiva y φ0 (t) = − sen t, cos t, 1 nunca se anula, luego la condición del rango máximo se satisface. Por tanto esta espiral puede ser comprendida como subvariedad de R3 ..

(29) CAPÍTULO 2. GRUPOS DE LIE. 28. Definición 2.12. Una aplicación F : M → N entre dos variedades es regular si es una inmersión inyectiva y también un homeomorfismo de M en N , esto es, un homeomorfismo de N en su imagen F (N ). La imagen de una aplicación regular es llamada subvariedad regular o embebida. Ejemplo 2.19. En el Ejemplo 2.18 la espiral circular definida por φ es una subvariedad regular de R3 .. 2.3.. Introducción a los Grupos de Lie. Definición 2.13. Un grupo de Lie es un grupo G que también tiene estructura de variedad diferencial, en el sentido que la operación del grupo m : G × G −→ G,. m(g, h) = g · h,. g, h ∈ G,. i(g) = g −1 ,. g ∈ G,. y la inversión i : G −→ G,. son funciones diferenciables entre variedades. Observación 2.4. La Definición 2.13 nos permite resaltar lo siguiente: • Si G es un grupo de Lie. Entonces todo elemento g ∈ G define dos aplicaciones Lg , Rg : G → G, definidas por Lg (h) = gh y Rg (h) = hg, llamadas traslación a izquierda y derecha respectivamente. Además por la Definición 2.13, tenemos que Lg es diferenciable y como g −1 ∈ G , Lg−1 , es decir (Lg )−1 , es diferenciable. Por lo tanto la aplicación Lg define un difiomorfismo de G en si mismo. • Debido a que las aplicaciones de la Definición 2.13 son continuas, un grupo de Lie es, en particular, un grupo topológico (un espacio topológico con estructura de grupo en el que las aplicaciones de multiplicación e inversión son continuas). • Los grupos de Lie se pueden clasificar a partir de sus propiedades como variedad (conexidad, compacidad) y también como grupo topológico (metrizable, separable, localmente compacto o conexo). Aunque se ignorarán estos y otros resultados importantes, podrán ser encontrados en la bibliografı́a recomendada. El lector interesado en los grupos y álgebras de Lie, entre otras definiciones, ejemplos y propiedades, puede referirse a [17] o [4] y para sus aplicaciones a la fı́sica matemática a [9] o [6]. Cada uno de las siguientes variedades es un grupo de Lie con la operación del grupo indicada. Ejemplo 2.20. Rn . Este grupo aditivo que además es una variedad diferencian n n ble (Ejemplo 2.8). Es un grupo de Lie ya que las aplicaciones de R × R a R definidas por x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn 7→ x1 + y1 , . . . , xn + yn y la inversión son funciones diferenciables..

(30) CAPÍTULO 2. GRUPOS DE LIE. 29. Ejemplo 2.21. C∗ . Este grupo multiplicativo es una variedad diferencial que se cubre por la carta ϕ : C∗ → R2 , definida por ϕ(z) = ϕ(x+iy) = (x, y). Ahora como la aplicación (z1 , z2 ) 7→ z1 z2 , escrita en coordenadas, ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) 7→ (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) es diferenciable y la aplicación g 7→ g −1 que se define por −y x , (x, y) −→ 2 x + y 2 x2 + y 2 también es diferenciable. El grupo C∗ es un grupo de Lie. Ejemplo 2.22. La circunferencia S 1 . S 1 tiene estructura de grupo si identificamos cada punto con un número complejo de modulo 1, es decir el conjunto z ∈ C | |z|2 = 1 . Podemos ver que S 1 además tiene una estructura de variedad si usamos el sistema de coordenadas en el que a cada p ∈ S 1 se identifica con z = e2πit (t ∈ R), entonces la coordenada en p es cualquiera de las dos x1 = cos 2πt o x2 = sen 2πt. El punto identificado con z1 · z2 , esto es con e2πi(t1 +t2 ) , tiene a cualquiera de las dos cos 2π(t1 + t2 ) o sen 2π(t1 + t2 ) como coordenadas, por lo cual, ya que dado t1 esas son funciones diferenciales de cos 2πt2 o sen 2πt2 , S 1 es un grupo de Lie. Ejemplo 2.23. El grupo lineal GL(n, R). Este conjunto es un grupo bajo la multiplicación de matrices. También es una variedad vista como subconjunto abierto de la variedad Mn × n (R) (Ejemplo 2.11). La multiplicación es diferenciable por que las entradas de la matriz producto AB son polinomios generados por las entradas de A y B. La inversión es diferenciable puesto que la regla de Cramer nos permite expresar las entradas de A−1 como funciones racionales de las entradas de A. Por lo tanto GL(n, R) es un grupo de Lie. Ejemplo 2.24. Si G1 y G2 son grupos de Lie entonces el producto directo G1 × G2 es también un grupo de Lie. Para probar esto primero notamos a M1 y M2 como la estructura de variedad de los grupos G1 , G2 respectivamente. Debemos remarcar que los elementos (puntos) del grupo G1 × G2 constan de los mismos elementos (puntos) que M1 × M2 . Entonces como elementos de G1 × G2 (g1 , h1 )(g2 , h2 ) = (g1 g2 , h1 h2 ) y en términos de las coordenadas de la variedad g11 , . . . , g1n , h11 , . . . , h1n g21 , . . . , g2n , h21 , . . . , h2n = (g1 g2 )1 , . . . , (g1 g2 )n , (h1 h2 )1 , . . . , (h1 h2 )n. . Ahora como G1 y G2 son grupos de Lie, cada (g1 g2 )i (i = 1, 2, . . . , n) es una función diferenciable de las coordenadas h1 y h2 . la aplicación (M1 × M2 ) × (M1 × M2 ) → M1 × M2 es diferenciable, de igual manera la función inversión lo es. Por lo tanto G1 × G2 es un grupo de Lie. Ejemplo 2.25. El toro T n = S 1 × · · · × S 1 es un grupo de Lie en virtud de los | {z } n veces. Ejemplos 2.22 y 2.24. Definición 2.14. Sean G1 y G2 grupos de Lie, un homeomorfismo de grupos de Lie es una función F : G1 → G2 diferenciable que es también un.

(31) CAPÍTULO 2. GRUPOS DE LIE. 30. homeomorfismo de grupos. Si además, F es un difiomorfismo, entonces decimos que F es un isomorfismo de grupos de Lie. Ejemplo 2.26. Sea G1 = R y G2 = S 1 , identificado por e2πit /t ∈ R . Entonces la aplicación definida por t 7→ e2πit es un homeomorfismo entre grupos de Lie. En general sea G1 = Rn como grupo aditivo, G2 = T n . Entonces la función f definida por f (t1 , . . . , tn ) = (e2πit1 , . . . , e2πitn ) es un homeomorfismo entre los grupos Rn y T n . Ejemplo 2.27. La función determinante M: GL(n, R) → R∗ es diferenciable y además M(AB) = M(A) M(B). Luego M es un homeomorfismo de grupos de Lie. Las aplicaciones de los grupos de Lie abarcan diversas áreas de las matemáticas, sin embargo los grupos que nos interesan para el desarrollo del trabajo son los grupos de transformaciones de Lie, pues como veremos más adelante estos son los que actúan en las ecuaciones diferenciales. En el próximo capı́tulo exponemos este concepto y posteriormente en el capı́tulo 4 explicamos su relación con las ecuaciones diferenciales ordinarias.. 2.4.. Acción de Grupos. Cuando se estudia sobre el origen de la teorı́a de grupos, se pone en evidencia (sin haberse definido para la época) la acción de un grupo sobre un conjunto. En esta última sección desarrollamos esta definición la cual será importante para comprender con profundidad algunos conceptos del siguiente capı́tulo. Definición 2.15. Sea X un conjunto y G un grupo. Una acción de G sobre X es una aplicación θ : G × X → X definida por (g, x) 7→ θ(g, x), que satisface los siguientes axiomas: (a) θ(e, x) = x para todo x ∈ X, donde e es la identidad en G y (b) θ(g1 g2 , x) = θ(g1 , θ(g2 , x)) para todo x ∈ X y g1 ,g2 ∈ G. Bajo estas condiciones, X es un G-conjunto. Observación 2.5. Cuando esribimos g1 g2 , usamos la notación de producto para la operación del grupo. A menudo la Definición 2.15 se conoce como acción por izquierda de G en X, análogamente se puede definir la acción por derecha como sigue: (a) θ(x, e) = x para todo x ∈ X y (b) θ(x, g1 g2 ) = θ(θ(x, g1 ), g2 ) para todo x ∈ X y g1 ,g2 ∈ G. Para cualquiera de los dos casos se dice indistintamente que G actúa sobre X. Ejemplo 2.28. Todo grupo G es el mismo un G-conjunto, donde la acción viene dada por la multiplicación a izquierda de G, esto es, θ(g1 , g2 ) = g1 g2 . Similarmente G actúa sobre si mismo por medio de la aplicación θ(g1 , g2 ) = g2 g1−1 ..

(32) CAPÍTULO 2. GRUPOS DE LIE. 31. Ejemplo 2.29. Consideremos las raı́ces n-ésimas de la unidad ω0 = e0i , ω1 = ei/n , . . . , ωn = e(n−1)i/n . Sea G = Zn el grupo de los enteros módulo n bajo la adición y X = C. La aplicación θ : Zn × C → C dada por θ(k, z) = ωk z con 0 < k < n, define una acción de Zn sobre C, la cual rota en el sentido horario a z un ángulo de 2kπ/n sobre una circunferencia de radio |z|. Ejemplo 2.30. Sea X un conjunto del plano y G(X) el grupo de todas las simetrı́as de X. Entonces X es un S-conjunto donde la acción θ ∈ S(X) es la acción como elemento de S(X). En efecto, la condición (a) es inmediata como consecuencia de la definición de la transformación identidad, pues θ(e, x) = e(x) = x. La condición (b) se cumple ya que θ(g1 g2 , x) = g1 g2 (x) = x = g1 (g2 (x)) = θ(g1 , θ(g2 , x)). Como ejemplos directos de la afirmación anterior tenemos al grupos de las simetrı́as que actúan sobre el conjunto de los triángulos equiláteros o de los cuadrados. Definición 2.16. Dada una acción θ : G × X → X para cada elemento x ∈ X se define su estabilizador como el conjunto Gx = {g ∈ G : g(x) = x} . Al estabilizador también se le llama grupo de isotropı́a. Definición 2.17. Sea G un grupo, dada una acción en X, θ : G × X → X, se define la G-órbita de x ∈ X como el conjunto G(x) = {g(x) : ∀g ∈ G} Es decir la G-órbita de x es igual al conjunto de todos los y ∈ X tales que y = g(x), donde g ∈ G. El conjunto de todas las G-órbitas se denota por X/G. Definición 2.18. Una acción θ : G × X → X es transitiva si para cada x, y ∈ X existe g ∈ G tal que y = θ(g, x), en otras palabras las acciones transitivas son aquellas que inducen una sola órbita en X. Ejemplo 2.31. Sea G = R y X = R. Entonces G actúa sobre X mediante la traslación t(x) = x + t. En este caso G(x) = R, es decir existe una sola órbita, por lo que la acción es transitiva. Ejemplo 2.32. Sea G = Zn y X = C con la acción definida en el ejemplo 2.29. Entonces si z ∈ C (z 6= 0) la órbita G(z) es igual a un conjunto de n puntos igualmente distanciados en la circunferencia de radio |z| y centrada en el origen. Ahora si z = 0 entonces la óribita consta de un sólo punto, el origen. Ejemplo 2.33. Consideremos a SO(2) el grupo de las rotaciones en el plano. Este grupo es isomorfo a S 1 por medio de la aplicación cos θ − sen θ eiθ 7−→ sen θ cos θ Entonces SO(2) y por tanto S 1 , actúa sobre la esfera S 2 como las rotaciones de los ángulos longitud. Las órbitas en este ejemplo son cı́rculos de latitud en S 2 . Esta acción no es transitiva ya que no induce una única órbita..

(33) CAPÍTULO 2. GRUPOS DE LIE. 32. A lo largo del capı́tulo hemos estudiado ejemplos en los que el conjunto X sobre el cual se ejerce una determinada acción, tiene estructura de variedad diferenciable. Por ello resulta importante definir la acción de un grupo de Lie sobre una variedad. Definición 2.19. Sea G un grupo de Lie y M una variedad diferenciable. Una acción de G sobre M es una aplicación θ : G × X → X que satisface los axiomas de la Definición 2.15 y que además es diferenciable. En este caso, para cada g ∈ G, la aplicación θg : M → M define un difiomorfismo, con inversa θg−1 La órbita de cada punto p de la variedad se define como el conjunto de todas las imágenes de p bajo los elementos de G. Podemos hablar también de la trayectoria del punto p bajo la acción del grupo. En realidad una órbita es una subvariedad de M , que no siempre tiene la misma dimensión de M . A partir de las Definiciones 2.16 y 2.18 se definen de manera análoga el grupo de isotropı́a y la acción transitiva de un grupo de Lie sobre una variedad. Definición 2.20. La acción de un grupo de Lie es libre si el único elemento de G que fija todo elemento de M es la identidad, es decir, g(p) = p para algún p implica p = e. Esta afirmación es equivalente al requerimiento que Gp = e para todo p ∈ M . Ejemplo 2.34. GL(n, R) actúa de manera natural sobre Rn donde la acción por izquierda se define mediante la multiplicación de matrices: (A, x) 7→ Ax, considerando a x ∈ Rn como una matriz columna. Esta aplicación es una acción ya que la multiplicación de matrices es asociativa, (AB)x = A(Bx). Es diferenciable por que los componentes de Ax dependen polinómicamente de las entradas de la matriz A y de las componentes de x. Por último, como cualquier vector distinto de cero puede ser obtenido por una transformación lineal, hay exactamente dos órbitas: {0} y Rn − {0}. Claramente GL(n, R) actúa transitivamente sobre Rn − {0}. Ejemplo 2.35. La restricción de GL(n, R) a O(n × Rn ) → Rn define una acción diferenciable de O(n) en Rn . En este caso, las órbitas son el origen y las esferas centradas en el origen. Para justificar esto, notamos que cualquier transformación ortogonal preserva normas, entonces O(n) toma la esfera de radio R y la envı́a en sı́ misma; por otro lado, cualquier vector de longitud R puede ser obtenido por cualquier otro mediante una matriz ortogonal..

(34) Capı́tulo 3. Grupos de Transformaciones de Lie } La extrema importancia del trabajo de Lie para el desarrollo de la geometrı́a no puede ser subestimada: estoy seguro que en un futuro cercano lo será aun más ~ Felix Klein.. En este capı́tulo introducimos los conceptos de grupo de transformaciones de Lie y de transformación infinitesimal, centrando nuestra atención principalmente en los grupos de Lie uniparamétricos. Existen dos resultados significativos para estos grupos: el generador infinitesimal asociado a un grupo de transformaciones de Lie uniparamétrico y la existencia de coordenadas canónicas para el grupo. Siendo el primero el más importante para el desarrollo de la teorı́a de Lie y sus aplicaciones a las ecuaciones diferenciales, entre otras razones por que, como se verá más adelante, los grupos de transformaciones están completamente determinados por su generador.. 33.

(35) CAPÍTULO 3. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES DE LIE. 3.1.. 34. Grupos de Tranformaciones de Lie Uniparamétricos. En el capı́tulo anterior vimos que existen propiedades de los objetos que permanecen invariantes respecto a algunos movimientos o transformaciones, de esta manera la noción básica de grupo abstracto evoluciona a la teorı́a de los grupos de transformaciones. La importancia de describir un conjunto de transformaciones como un grupo se originó en la teorı́a de Galois. La noción moderna de grupo se puede remontar a dicha teorı́a donde fue por primera vez introducido el concepto en su forma presente. Si se considera un conjunto X dotado de alguna estructura matemática, el grupo de transformaciones, es el conjunto de transformaciones que preservan esa estructura. En la teorı́a de Galois, por ejemplo, el conjunto X puede ser un campo y cada transformación es un automorfismo del campo. Pero se puede ir más allá y pensar el conjunto como una variedad o un espacio topológico y cada transformación como una aplicación diferenciable o continua respectivamente. En esta dirección Lie aplicó los resultados que Galois habı́a encontrado en la solución de ecuaciones polinomiales, pero considerando los grupos de transformaciones que existen en el espacio de las ecuaciones diferenciales. En la práctica, los grupos de Lie no surgen naturalmente como grupo abstracto, pero sı́ concretamente como un grupo de transformaciones que actúa sobre alguna variedad M . Por ejemplo, el grupo GL(n) aparece como el grupo de transformaciones invertibles sobre Rn . En general, un grupo de Lie puede ser comprendido como un grupo de transformaciones de alguna variedad M si para cada elemento del grupo g ∈ G existe una aplicación φg (asociada a g) de M en si misma. A continuación explicamos el concepto de un grupo de transformaciones de Lie. Definición 3.1. Sea D ⊂ Rn abierto y conexo con x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ D e I ⊂ R un intervalo abierto con t ∈ R. El conjunto de transformaciones x∗ = X(x; t) que depende del parámetro t, con una ley de composición φ(t, p) de los parámetros t y p de I, forman un grupo de transformaciones sobre D, si satisface los siguientes axiomas: (a) Para cualquier t en I, X es inyectiva. (b) φ determina sobre I una estructura de grupo. (c) x∗ = x cuando t = e, es decir, para todo x ∈ D X(x; e) = x (d) Si x∗ = X(x; t) y x∗∗ = X(x∗ ; p) entonces x∗∗ = X(x; φ(t, p))..

(36) CAPÍTULO 3. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES DE LIE. 35. Observación 3.1. A partir de la Definición 3.1 surgen las siguientes observaciones: • X(x; t) es una aplicación de D ×I → D, por esta razón algunas veces se define al grupo, como un grupo de transformaciones que actúa sobre D o sobre una variedad M , ver [13] • La condición del inverso se deduce inmediatamente de la definición. En efecto, si x∗ = X(x; t) pertenece al grupo de transformaciones entonces x∗∗ = X(x∗ ; t−1 ) = X(X(x; t); t−1 ) = X(x; φ(t, t−1 )) = X(x; e) = x. Definición 3.2. Un grupo de transformaciones define un grupo de Lie de transformaciones uniparamétrico o de un parámetro si además de satisfacer los axiomas (a)-(d) de la Definición 3.1 cumple: (d) t varı́a continuamente sobre I. En particular puede escogerse I de manera que contenga al origen de R y hacer corresponder t = 0 con el elemento neutro del grupo de parámetros e. (d) La aplicación X es infinitamente diferenciable respecto de x en D y analı́tica respecto del parámetro t en I. (d) La operación φ(t, p) es una función analı́tica de t y p, con t, p ∈ I. En adelante nos referiremos a un grupo de transformaciones locales de Lie uniparamétrico simplemente como un grupo uniparamétrico. La definición para un grupo de Lie Multiparamétrico o con más de un parámetro es más compleja y no la presentaremos aquı́. Sin embargo el lector interesado en estos grupos y sus aplicaciones puede consultar las referencias [13] o [3]. Observación 3.2. Los grupos uniparamétricos son grupos de transformaciones que actúan de manera local, además, las condiciones anteriores definen la relación de grupos analı́tica. En general podemos, abusando un poco del lenguaje, definir un grupo de Lie uniparamétrico como una terna (M, G, X) donde G es un grupo, M es una variedad y X es una acción de G sobre M . Si en la Definición 3.2 entendemos a t como una variable de tiempo y a x como una variable espacial, entonces un grupo de Lie uniparamétrico define un flujo estacionario. En efecto, si fijamos x en D, X(x; t) definirá la evolución de X sobre todos los elementos de G, es decir la G-órbita de x en la acción de G sobre D. Ahora bien esta órbita puede pensarse como el movimiento de un punto a lo largo de una curva γ1 [3.1]. Al variar t las imágenes de x eventualmente se moverán sobre γ1 . Siendo más precisos si y = X(y; p) representa un punto sobre γ1 entonces x∗∗ = X(y; p) = X(x; φ(t, p)) debe ser también un punto sobre γ1 . Por lo tanto la curva γ1 que.

(37) CAPÍTULO 3. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES DE LIE. 36. Figura 3.1: Evolución de un Grupo Uniparamétrico pasa por x es la órbita por x del grupo y al tomar diferentes puntos iniciales se obtienen órbitas diferentes. Por último notamos que las curvas con autointersecciones no pueden definir la evolución de un grupo uniparamétrico. Ejemplo 3.1. El grupo de las traslaciones sobre el eje x en el plano x∗ = x + t, y ∗ = y,. t∈R. Para este grupo la acción se define ası́ R × R2 −→ R2 (t, (x, y)) 7−→ (x + t, y) Aquı́ la operación de parámetros viene dada por la suma usual en R, esto es φ(t, p) = t + p. Luego es claro que X(0, (x, y)) = (x, y) y si iteramos la operación obtenemos x∗∗ = x∗ + t = x + t + p = x + (t + p) y ∗∗ = y ∗ = y lo cual implica que la composición de transformaciones es cerrada. Además no es difı́cil mostrar que la acción es diferenciable y que φ es analı́tica en sus argumentos. Por lo tanto el grupo de las traslaciones en el plano es un grupo uniparamétrico. Ejemplo 3.2. El grupo de las homotecias en el plano x∗ = αx, y ∗ = α2 y,. 0<α<∞.

(38) CAPÍTULO 3. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES DE LIE. 37. En este caso la operación entre parámetros es φ(α, β) = αβ y el elemento identidad e = 1. La acción para este grupo viene dada por R × R2 −→ R2 (α, (x, y)) 7−→ (αx, α2 y) Obtenemos de manera directa que X(1, (α, β)) = (x, y) y si iteramos la operación x∗∗ = βx∗ = β(αx) = (αβ)x y ∗∗ = β 2 y ∗ = (αβ)2 y Luego el grupo de estas transformaciones es cerrado por la composición y como X es diferenciable y φ analı́tica, el grupo de las homotecias planas es un grupo uniparamétrico. Este grupo de transformaciones también puede ser re parametrizado en términos de t = α − 1, ası́ x∗ = (1 + t)x, y ∗ = (1 + t)2 y,. −1 < t < ∞. el elemento identidad serı́a e = 0 y la operación de parámetros vendrı́a dada por φ(t, p) = t + p + tp. Ejemplo 3.3. El grupo de las rotaciones en el plano x∗ = x cos t − y sen t, y ∗ = x sen t + y cos t. La acción X para este conjunto de transformaciones se define por (t, (x, y)) 7−→ (x∗ , y ∗ ). La operación de parámetros es φ(t, p) = t + p y el elemento neutro e = 0. Al iterar la operación obtenemos x∗∗ = x∗ cos p − y ∗ sen p = (x cos t − y sen t) cos p − (x sen t + y cos t) sen p = x cos(t + p) − y sen(t + p) y ∗∗ = x∗ sen p + y ∗ cos p = (x cos t − y sen t) sen p + (x sen t + y cos t) cos p = x sen(t + p) + y cos(t + p) Al igual que en los ejemplos anteriores, no es difı́cil mostrar que X es diferenciable y que φ es analı́tica. En conclusión el grupo de las rotaciones constituye un grupo de Lie uniparamétrico. Ejemplo 3.4. El grupo dado por las transformaciones x∗ = et x, y ∗ = e2t y, Es un grupo de Lie uniparamétrico, conocido como grupo de los escalamientos en el plano..

(39) CAPÍTULO 3. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES DE LIE. 38. Ejemplo 3.5. Para las transformaciones x , 1 − tx y y∗ = . 1 − tx. x∗ =. La acción de R sobre R2 se define ası́: X : R × R2 7−→ R2 x y (t, (x, y)) 7−→ , 1 − tx 1 − tx definida sobre el subconjunto abierto D ⊂ R × R2 ,   t < x1 si x > 0 D=  t > x1 si x < 0 Al iterar la operación obtenemos x. x∗∗ =. x∗ x 1−tx = = ∗ x 1 − px 1 − (t + p)x 1 − p 1−tx. y ∗∗ =. y∗ y 1−tx = = x 1 − px∗ 1 − (t + p)x 1 − p 1−tx. y. entonces vemos que la operación entre parámetros es la adición φ(t, p) = t + p. De aquı́ deducimos que el elemento neutro para el grupo de parámetros es e = 0 y se verifica que X(0, (x, y)) = (x, y). Además como la acción del grupo sobre R2 se expresa por medio de polinomios y funciones racionales, hay analiticidad tanto para la acción del grupo sobre R2 como para la operación φ entre parámetros. Por lo tanto este conjunto de transformaciones define un grupo de Lie uniparamétrico. Para encontrar las órbitas de este grupo tratamos de eliminar el parámetro y podemos concluir que hay dos, el origen y las rectas que pasan por el origen.. 3.2.. Transformaciones y Generadores Infinitesimales. Sea x ∈ Rn , t ∈ R y. x∗ = X(x; t). (3.1). un grupo de Lie uniparamétrico, tal que x∗ = x para t = 0 y para el que φ denota la operación entre valores del parámetro. Ahora bien, como se trata de un grupo de Lie uniparamétrico la acción X es diferenciable (Definición 3.2)..

(40) CAPÍTULO 3. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES DE LIE. 39. Por lo tanto podemos desarrollar x∗ en serie de Taylor alrededor de alguna vecindad de t = 0, de la siguiente manera t2 ∂ 2 X(x; t) ∂X(x; t) ∗ + ··· + x =x+t ∂t 2! ∂t2 t=0 t=0 ∂X(x; t) =x+t + o(t2 ) ∂t t=0 Si notamos ξ(x) =. ∂X(x; t) ∂t. t=0. La transformación x + tξ(x) la llamaremos transformación infinitesimal del grupo de Lie uniparamétrico (3.1) y las componentes de ξ son llamadas infinitesimales de (3.1). Ejemplo 3.6. Sobre R2 estas ecuaciones pueden escribirse ası́ x∗ = X((x, y); t) = x + tf (x, y) + o(t2 ) y ∗ = Y((x, y); t) = y + tg(x, y) + o(t2 ) Definición 3.3. El generador infinitesimal del grupo de Lie uniparamétrico (3.1) se define como el operador v = v(x) = ξ(x) · ∇ =. n X. ξ i (x). i=1. ∂ , ∂xi. donde ∇ denota el operador gradiente ∂ ∂ ∂ ∇= , ,..., . ∂x1 ∂x2 ∂xn Si F : Rn −→ R, dada por F (x) = F (x1 , x2 , . . . , xn ), es una función diferenciable. Entonces el generador infinitesimal asociado al grupo uniparamétrico (3.1) se expresa de la siguiente manera vF (x) =. n X i=1. ξ i (x). ∂F (x) · ∂xi. Observación 3.3. La razón por la que utilizamos la notación v para el generador infinitesimal es por que en general esta es la expresión que en geometrı́a diferencial denota un campo vectorial sobre una variedad. Aun ası́, en la mayorı́a de textos se sigue utilizando la terminologı́a de Lie y por tal razón se habla de generadores infinitesimales. El término generador indica que la repetida aplicación de la transformación infinitesimal genera la transformación finita..

(41) CAPÍTULO 3. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES DE LIE. 40. Ejemplo 3.7. En R2 el generador infinitesimal de un grupo de Lie uniparamétrico se puede escribir de la siguiente manera v = f (x, y). ∂ ∂ + g(x, y) , ∂x ∂y. donde los infinitesimales del grupo son generalmente denotados por las funciones ξ y η, ası́: η(x, y) = g(x, y), ξ(x, y) = f (x, y), =. ∂X ∂t. ,. =. t=0. ∂Y ∂t. · t=0. En los siguientes ejemplos veremos que si se tienen las ecuaciones del grupo uniparamétrico es posible obtener las expresiones para los generadores. Ejemplo 3.8. Para el grupo de las traslaciones planas x∗ = x + t, y ∗ = y, ∗. ∗. dy Tenemos dx dt = 1 y dt = 0. Luego el generador infinitesimal para este grupo es ∂ v = ∂x . Esto quiere decir que el vector tangente en cada punto (x, y) es (1, 0). Análogamente, para el grupo de las traslaciones en el eje y, el vector tangente ∂ . en cada punto es (0, 1). En este caso el generador viene dado por v = ∂y. Ejemplo 3.9. Para el grupo de las rotaciones planas x∗ = x cos t − y sen t, y ∗ = x sen t + y cos t. Se obtiene. dx∗ = −x sen t − y cos t, dt Luego el infinitesimal para el grupo es. dy ∗ = x cos t − y cos t dt. ξ(x) = (ξ(x, y), η(x, y)) ∗ dx dy ∗ = , dt t=0 dt t=0 = (−y, x) Por lo tanto, el generador infinitesimal para el grupo de las rotaciones es v = −y. ∂ ∂ +x · ∂x ∂y. Ejemplo 3.10. Para el grupo de los escalamientos en el plano x∗ = et x, y ∗ = e2t y,.

(42) CAPÍTULO 3. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES DE LIE. 41. Obtenemos. dx∗ dy ∗ = et x, = 2e2t y, dt dt De aquı́ tenemos que el infinitesimal es ξ(x) = (x, 2y) y por tanto el generador infinitesimal asociado a este grupo es v=x. 3.3.. ∂ ∂ + 2y · ∂x ∂y. Serie de Lie. Teorema 3.1. El grupo de Lie uniparamétrico x∗ = X(x; t) es equivalente a x∗ = etv x t2 = 1 + tv + v 2 + · · · 2! ∞ X v k x, = k=0. donde v es el generador infinitesimal del grupo y v k = vv k−1 , k = 1, 2, . . . , en particular v k F (x) es la función que obtenida al aplicar el operador v a la función v k−1 F (x) k = 1, 2, . . . , con v 0 F (x) = F (x). Demostración. Sea v = v(x) =. n X. ξ i (x). i=1. ∂ ∂xi. y v(x∗ ) =. n X. ξ i (x∗ ). i=1. ∂ ∂x∗i. ∗. donde x = X(x; t) es el grupo de Lie uniparamétrico. Aplicando el Teorema de Taylor, expandimos esta última expresión alrededor de t = 0 y obtenemos X ∞ k ∞ k k ∗ X t ∂X(x; t) d x t x∗ = = (3.2) k! ∂tk k! dtk t=0 t=0 k=0. k=0. Ahora para cualquier función diferenciable F (x), tenemos por la regla de la cadena n X ∂F (x∗ ) dx∗i d F (x∗ ) = dt ∂x∗i dt i=1 =. n X i=1. ξ i (x∗ ). ∂F (x∗ ) ∂x∗i. = v(x∗ )F (x).

(43) CAPÍTULO 3. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES DE LIE. 42. Luego, si en la relación anterior tomamos F (x∗ ) = x∗ , llegaremos a que dx∗ = v(x∗ )x∗ dt de igual manera d d2 x∗ = dt2 dt. . dx∗ dt. . = v(x∗ )v(x∗ )x∗ = v 2 (x∗ )x∗. En general dk x ∗ = v k (x∗ )x∗ , dtk. k = 1, 2, . . .. Por lo tanto deducimos dk x∗ dtk. = v k (x)x,. k = 1, 2, . . .. t=0. Finalmente si reemplazamos esta última expresión en (3.2) obtenemos la conclusión del Teorema ∞ k k ∗ X d x t ∗ x = k! dtk t=0 =. k=0 ∞ k X k=0. t k v (x). k! Q.E.D.. Definición 3.4. Si la serie de Taylor ∞ k X t k=0. k!. v k (x). del Teorema 3.1 converge, se le llama serie de Lie. Observación 3.4. El Teorema 3.1 muestra que el uso del generador infinitesimal conduce a un algoritmo para encontrar una solución explı́cita del problema de valor inicial: dx∗ = ξ(x∗ ) dt con x∗ = x. en. t = 0..