2012
–
2013
Índice
Matrices y vectores
1
Operaciones básicas
1
Producto entre una matriz y un vector
3
Operaciones con matrices
5
Producto de matrices
5
Transpuesta de una matriz
6
Trabajo práctico
8
Ejemplos con Sage
10
Operaciones con matrices de
R
m×n10
Matrices y vectores
Operaciones básicas
Matriz deR2×2 A=
a11 a12 a21 a22
dondea11ya22son los elementos
diagonales. Matriz deR3×3
A=
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
dondea11,a22ya33son los elementos
diagonales. Matriz deR6×3
A=
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a41 a42 a43 a51 a52 a53 a61 a62 a63
que no tiene una diagonal. Matriz deR2×4
A=
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24
que no tiene una diagonal.
¿Qué es una matriz?
Tenemos dos vectores columnauyv.
Estos producen unamatriz de dos columnas y tres filasA.
Matriz
A=
u v
=
u1 v1
u2 v2
u3 v3
=
a11 a12
a21 a22
a31 a32
=
e f g
ConstruimosAapilandodos vectores columna.
Pero esigualmente correctopensar enAcomo unapila de tres vectores filae= (u1v1),f= (u2v2)yg= (u3v3).
Notación matricial
La primera fila de una matriz de 2×2 contienea11 ya12.
La segunda fila tienea21ya22.
El primer subíndice da la fila:aijestá en la filai.
El segundo da la columna:aij está en la columnaj.
Puede pensarse enAcomo una función dedos variables, que a cadaiy a cada jles asigna un escalar (un número).
A= a11 a12
a21 a22 !
= A(1, 1) A(1, 2)
A(2, 1) A(2, 2)
!
Esta notación A(i,j)es la utilizada generalmente por las aplica-ciones informáticas (Python, Sage, Octave, Matlab, Maple, . . . ) y por algunos libros de texto.
Matriz deRm×n
A=
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n .
.
. ... . .. ...
am1 am2 · · · amn
que tendrámncoeficientes.
Suma de matrices
Podemossumar dos matricesAyB.
Los coeficientesnuncase mezclan.
Suma de matrices
A= a11 a12
a21 a22 !
yB= b11 b12
b21 b22 !
sumanA+B= a11+b11 a12+b12
a21+b21 a22+b22 !
La resta de matrices sigue la misma idea, los coeficientes de A−Bseránaij−bij.
Suma de matrices enR2×2
A+B=
a11+b11 a12+b12 a21+b21 a22+b22
Multiplicación de una matriz deR2×2 por un escalarc∈R
cA=
ca11 ca12 ca21 ca22
Combinación lineal de matrices deR2×2
cA+dB=
ca11+db11 ca12+db12 ca21+db21 ca22+db22
Multiplicación por un escalar
La otra operación básica es lamultiplicación por un escalar
Las matrices pueden ser multiplicadas por2, por−1 o por
cual-quier otro númeroc.
Hay dos maneras de duplicar una matriz: sumarA+Ao (más fácil) multiplicar cada coeficiente por2.
Multiplicación escalar
2A= 2a11 2a12
2a21 2a22 !
−A= −a11 −a12 −a21 −a22
!
Algunas observaciones
Hay que notar que la suma de−AyAes la matriz cero.
¡Esto es la matriz0, que es distinto del número0!
El orden de la suma no altera el resultado:A+Bes igual a B+A.
A+B= 1 2
3 1 !
+ 1 0
0 1 !
= 2 2
3 2 !
B+A= 1 0
0 1 !
+ 1 2
3 1 !
= 2 2
3 2 !
Si la cantidad de filasmy de columnasnson iguales (m= n) se dice queAes unamatriz cuadrada.
Sim6=nse dice queAes unamatriz rectangular.
Propiedades de la suma de matrices
Propiedades de la suma de matrices
A+B=B+A ley conmutativa
c(A+B) =cA+cB ley distributiva A+ (B+C) = (A+B) +C ley asociativa
Suma de matrices enR4×2
A+B=
a11+b11 a12+b12 a21+b21 a22+b22 a31+b31 a32+b32 a41+b41 a42+b42
Multiplicación de una matriz deR4×2
por un escalarc∈R
cA=
ca11 ca12 ca21 ca22 ca31 ca32 ca41 ca42
Combinación lineal de matrices deR4×2
cA+dB=
ca11+db11 ca12+db12 ca21+db21 ca22+db22 ca31+db31 ca32+db32 ca41+db41 ca42+db42
Producto entre una matriz y un vector
Matriz multiplicando un vector columna (método1)
Definición1(una matrizAmultiplicando un vectorx).
Ax=
u v w x1 x2 x3
=x1u+x2v+x3w=b
dondeu,vywson los vectores columna deA, y se utiliza la opera-cióncombinación linealde vectores.
El resultado será unvectorb.
Matriz multiplicando un vector columna (método2)
Definición2(una matrizAmultiplicando un vectorx).
Ax= e f g x1 x2 x3 =
e·x f·x g·x
=b
dondee,fygson los vectores fila deA, y se utiliza la operación
producto puntode vectores.
Ejemplo1. Encontrar el vectorbresultante de combinar linealmente
los vectores columnai= (1, 0, 0),j= (0, 1, 0)yk= (0, 0, 1)con los escalaresx1=0,x2=2 yx3=0.
Fabricando la matrizAy el vectorxresulta
Ax=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 2 0
=2
0 1 0
=
0 2 0
=b
¡Aactúa sobrexy regresa unbque es idéntico ax!
Por esto la matrizAes llamadamatriz identidadI. Siempre se comprueba queIx=x, para cualquierx.
Ejemplo2. Dados la matrizA = 1 0
2 3 !
y el vector columna
x= 2
1 !
, calcularAx=b:
1. como combinación lineal de las columnas deA.
2. como productos punto de las filas deA.
1. La combinación lineal de columnas deAresulta
Ax= 1 0
2 3 !
2 1
!
=2 1 2 !
+1 0 3 !
= 2
7 !
=b
2. Los productos punto con las filas deAresultan
Ax= 1 0
2 3 !
2 1 !
= (1 0)·(2, 1) (2 3)·(2, 1)
!
= 2
7 !
=b
Repaso de ideas clave
1. Una matrizAdemfilas yncolumnas tienemncoeficientes (se
dice queA∈Rm×n)
2. Las operaciones básicas son
A+B=
a11+b11 a12+b12 a13+b13
a21+b21 a22+b22 a23+b23
a31+b31 a32+b32 a33+b33
cA=
ca11 ca12 ca13
ca21 ca22 ca23
ca31 ca32 ca33
3. Ax=bes una combinación lineal de las columnas deA.
Operaciones con matrices
Producto de matrices
¿Cómo pueden multiplicarse dos matrices?
Definición3(la matrizAmultiplicando a la matrizB).
a11 a12
a21 a22 !
b11 b12
b21 b22 !
= a11b11+a12b21 a11b12+a12b22
a21b11+a22b21 a21b12+a22b22 !
Definición4(utilizando el producto punto).
(ab)ij= (filaideA)·(columnajdeB)
Multiplicación deA ∈ R3×2con
B∈R2×3
AB=
a11 a12 a21 a22 a31 a32
b11 b12 b13 b21 b22 b23
=
a11b11+a12b21 a11b12+a12b22 a11b13+a12b23 a21b11+a22b21 a21b12+a22b22 a21b13+a22b23 a31b11+a32b21 a31b12+a32b22 a31b13+a32b23
=
c11 c12 c13 c21 c22 c23 c31 c32 c33
=C
dondeC∈R3×3.
Multiplicación deB ∈ R2×3con
A∈R3×2
BA=
b11 b12 b13 b21 b22 b23
a11 a12 a21 a22 a31 a32
=
a11b11+a21b12+a31b13 a12b11+a22b12+a32b13 a11b21+a21b22+a31b23 a12b21+a22b22+a32b23
=
d11 d12 d21 d22
=D
dondeD∈R2×2.
Condición necesaria para multiplicar dos matrices
Dadas matricesAdem×nyBde p×q, pueden multiplicarse comoABsolamentesin=p.
O sea, solamente si el número de columnas deAes igual al número de filas deB.
¡Sin6= p nopuede calcularse el producto!
Ejemplo3. Matrices cuadradas pueden multiplicarsesolamentesi
tienen el mismo tamaño
1 1 2 −1
! 2 2 3 4
!
= 5 6
1 0 !
El primer producto punto es (1)(2)+(1)(3)=5, los otros tres
pro-ductos punto dan6,1y0.
SiAyBson den×n, tambiénABes den×n.
ABcontienen2productos punto, y cada producto punto requie-renmultiplicaciones.
El cómputo deABrequieren3multiplicaciones.
Sin =100 hay que multiplicar1000000de veces. Sin=2, solo8
veces.
Propiedades del producto de matrices
Propiedades del producto de matrices
AB6=BA ley conmutativa no funciona
C(A+B) =CA+CB ley distributiva a izquierda
(A+B)C=AC+BC ley distributiva a derecha
Ejemplo4. SeaAuna matriz fila de1×3y seaBuna matriz
colum-na de3×1. EntoncesABserá una matriz de1×1, mientras queBA
será una matriz de3×3.
A=1 2 3 B=
0 1 2
AB=1 2 3
0 1 2
BA=
0 1 2
1 2 3
=8 =
0 0 0 1 2 3 2 4 6
Transpuesta de una matriz
Convirtiendo las columnas en filas y viceversa
Definimos una matrizATllamadatranspuestadeA.
Las columnas deAson las filas deAT.
SiAes dem×n, la transpuesta es den×m.
Definición5(traspuesta de una matriz). El coeficiente de la filaiy la columnajdeATcorresponde al de la fila jy la columnaideA
aT
ij=aji
A= 1 2 3
0 0 0 !
AT =
1 0 2 0 3 0
Transponiendo vectores columna y vectores fila
Un vector columnavsetransponeen uno filavT.
Un vector filawse transpone en uno columnawT.
Transpuesta de un vector
v=
1 0 2 0
vT=1 0 2 0
w=π π2
wT= ππ
Propiedades de la transposición
Propiedades de la transposición
Suma: la transpuesta deA+BesAT+BT.
Producto: la transpuesta deABes(AB)T =BTAT.
Repaso de ideas clave
1. El(ab)ijdeABes (filaideA)·(columna jdeB).
2. El productoABsolo puede calcularse si el número de columnas
ndeAes igual el número de filaspdeB.
Trabajo práctico
1. Calcular la sumaA+Bde los siguientes pares de matrices
(cuando esto sea posible).
a) A= 1 0
0 1 !
B= 2 3
0 2 !
b) A=
2 4 6 8 10 12 14 16 18
B=
−1 0 3
2 0 −2 6 1 5
c) A=
1 2 3 4 5 6
B=
2 3 7 11 13 17
!
d) A= 2a −a 0
0 0 2a
!
B= a 0 0
0 a −2a
!
2. Calcular el producto por un escalar, de cada una de las matrices
dadas, por los siguientes números:2,1/3,−1 y0.
A= 3 2
1 0 ! B=
a 0 0 0 b 0 0 0 c
C= 9 12 24
3 1 0 !
D= −1 6
3 −9 !
3. Dadas las siguientes cuatro matrices deR2×2
A= 1 0
0 1 !
B= a 0
0 0 !
C= 0 0
0 d
!
D= 0 b
c d
!
calcular las siguientes operaciones
a) 4A+2(B+C)
b) 12(B+C+D) +A
c) (B+C)−(D+A)
4. Calcular el vectorb=Axque resultará de cada producto.
a) 2 3 5 1
! 4 2
!
b) 3 6 6 12
! 2 −1
!
c) 1 2 4 2 0 1
! 3 1 1
5. SumarABaACy comparar con el resultado de calcularA(B+C).
A= 1 5
2 3 !
B= 0 2
0 1 !
C= 3 1
6. CalcularA2yA3. Luego hacer unapredicciónparaA5y paraAn.
a)A= 1 b
0 1 !
b)A= 2 2
0 0 !
7. Verificar que(AB)Tes igual aBTATpero que ambas difieren de
ATBT.
A= 1 0
2 1 !
B= 1 3
0 1 !
AB= 1 3
Ejemplos con Sage
.
El código Sage en los siguientes recuadros puede ser seleccionado, copiado y pegado en una hoja de trabajo de Sage, para ejecutarlo y así obtener los resultados y los gráficos.Operaciones con matrices de
R
m×nHacer combinaciones lineales de matrices
# crear una matriz A∈R2×2, con filas (1, 2) y (3, 1) A = matrix([(1,2),(3,1)])
# crear una matriz B∈R2×2, con filas (1, 0) y (0, 1) B = matrix([(1,0),(0,1)])
# calcular la suma y la resta C = A + B
D = A - B
print C
print D
# calcular la combinación lineal E=2A+0,5B E = 2*A + 1/2*B
print E
.
Puede utilizar estos ejemplos de código Sage como base para compro-bar los resultados de los ejercicios del trabajo práctico.Producto entre una matriz y un vector
# crear una matriz A∈R2×2, con filas (1, 0) y (2, 3) A = matrix([(1,0),(2,3)])
# crear un vector x= (2, 1)∈R2 x = vector((2,1))
# calcular el producto b=Ax b = A*x
print b
Producto entre dos matrices
# crear una matriz A∈R3×2, # con filas (2, 2), (0, 1) y (7, 9) A = matrix([(2,2),(0,1),(7,9)]) # crear una matriz B∈R2×3, # con filas (1, 2, 3) y (4, 0, 1) B = matrix([(1,2,3),(4,0,1)]) # calcular el producto AB
print A*B
# calcular el producto BA
print B*A
# comprobar que AB6=BA
Transpuesta de una matriz
# crear una matriz A∈R3×2 A = matrix([(2,2),(0,1),(7,9)]) # crear una matriz B∈R2×3 B = matrix([(1,2,3),(4,0,1)])
# calcular la transpuesta del producto (AB)T C = (A*B).transpose()
print C
# calcular el producto BTAT
D = B.transpose()*A.transpose()
print D
# comprobar que (AB)T ==BTAT