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(1)

2012

2013

Índice

Matrices y vectores

1

Operaciones básicas

1

Producto entre una matriz y un vector

3

Operaciones con matrices

5

Producto de matrices

5

Transpuesta de una matriz

6

Trabajo práctico

8

Ejemplos con Sage

10

Operaciones con matrices de

R

m×n

10

Matrices y vectores

Operaciones básicas

Matriz deR2×2 A=

a11 a12 a21 a22

dondea11ya22son los elementos

diagonales. Matriz deR3×3

A= 

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

dondea11,a22ya33son los elementos

diagonales. Matriz deR6×3

A= 

      

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a41 a42 a43 a51 a52 a53 a61 a62 a63

      

que no tiene una diagonal. Matriz deR2×4

A=

a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24

que no tiene una diagonal.

¿Qué es una matriz?

Tenemos dos vectores columnauyv.

Estos producen unamatriz de dos columnas y tres filasA.

Matriz

A=

 u v

 =

 

u1 v1

u2 v2

u3 v3 

 =

 

a11 a12

a21 a22

a31 a32 

  =

 

e f g

 

ConstruimosAapilandodos vectores columna.

Pero esigualmente correctopensar enAcomo unapila de tres vectores filae= (u1v1),f= (u2v2)yg= (u3v3).

(2)

Notación matricial

La primera fila de una matriz de 2×2 contienea11 ya12.

La segunda fila tienea21ya22.

El primer subíndice da la fila:aijestá en la filai.

El segundo da la columna:aij está en la columnaj.

Puede pensarse enAcomo una función dedos variables, que a cadaiy a cada jles asigna un escalar (un número).

A= a11 a12

a21 a22 !

= A(1, 1) A(1, 2)

A(2, 1) A(2, 2)

!

Esta notación A(i,j)es la utilizada generalmente por las aplica-ciones informáticas (Python, Sage, Octave, Matlab, Maple, . . . ) y por algunos libros de texto.

Matriz deRm×n

A= 

   

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n .

.

. ... . .. ...

am1 am2 · · · amn 

   

que tendrámncoeficientes.

Suma de matrices

Podemossumar dos matricesAyB.

Los coeficientesnuncase mezclan.

Suma de matrices

A= a11 a12

a21 a22 !

yB= b11 b12

b21 b22 !

sumanA+B= a11+b11 a12+b12

a21+b21 a22+b22 !

La resta de matrices sigue la misma idea, los coeficientes de ABseránaij−bij.

Suma de matrices enR2×2

A+B=

a11+b11 a12+b12 a21+b21 a22+b22

Multiplicación de una matriz deR2×2 por un escalarc∈R

cA=

ca11 ca12 ca21 ca22

Combinación lineal de matrices deR2×2

cA+dB=

ca11+db11 ca12+db12 ca21+db21 ca22+db22

Multiplicación por un escalar

La otra operación básica es lamultiplicación por un escalar

Las matrices pueden ser multiplicadas por2, por−1 o por

cual-quier otro númeroc.

Hay dos maneras de duplicar una matriz: sumarA+Ao (más fácil) multiplicar cada coeficiente por2.

Multiplicación escalar

2A= 2a11 2a12

2a21 2a22 !

A= −a11 −a12 −a21 −a22

!

(3)

Algunas observaciones

Hay que notar que la suma de−AyAes la matriz cero.

¡Esto es la matriz0, que es distinto del número0!

El orden de la suma no altera el resultado:A+Bes igual a B+A.

A+B= 1 2

3 1 !

+ 1 0

0 1 !

= 2 2

3 2 !

B+A= 1 0

0 1 !

+ 1 2

3 1 !

= 2 2

3 2 !

Si la cantidad de filasmy de columnasnson iguales (m= n) se dice queAes unamatriz cuadrada.

Sim6=nse dice queAes unamatriz rectangular.

Propiedades de la suma de matrices

Propiedades de la suma de matrices

A+B=B+A ley conmutativa

c(A+B) =cA+cB ley distributiva A+ (B+C) = (A+B) +C ley asociativa

Suma de matrices enR4×2

A+B= 

  

a11+b11 a12+b12 a21+b21 a22+b22 a31+b31 a32+b32 a41+b41 a42+b42

  

Multiplicación de una matriz deR4×2

por un escalarc∈R

cA= 

  

ca11 ca12 ca21 ca22 ca31 ca32 ca41 ca42

  

Combinación lineal de matrices deR4×2

cA+dB= 

  

ca11+db11 ca12+db12 ca21+db21 ca22+db22 ca31+db31 ca32+db32 ca41+db41 ca42+db42

  

Producto entre una matriz y un vector

Matriz multiplicando un vector columna (método1)

Definición1(una matrizAmultiplicando un vectorx).

Ax=

u v w       x1 x2 x3  

=x1u+x2v+x3w=b

dondeu,vywson los vectores columna deA, y se utiliza la opera-cióncombinación linealde vectores.

El resultado será unvectorb.

Matriz multiplicando un vector columna (método2)

Definición2(una matrizAmultiplicando un vectorx).

Ax=    e f g       x1 x2 x3   =   

e·x f·x g·x

 =b

dondee,fygson los vectores fila deA, y se utiliza la operación

producto puntode vectores.

(4)

Ejemplo1. Encontrar el vectorbresultante de combinar linealmente

los vectores columnai= (1, 0, 0),j= (0, 1, 0)yk= (0, 0, 1)con los escalaresx1=0,x2=2 yx3=0.

Fabricando la matrizAy el vectorxresulta

Ax=

 

1 0 0 0 1 0 0 0 1

 

  0 2 0

 =2

  0 1 0

 =

  0 2 0

 =b

¡Aactúa sobrexy regresa unbque es idéntico ax!

Por esto la matrizAes llamadamatriz identidadI. Siempre se comprueba queIx=x, para cualquierx.

Ejemplo2. Dados la matrizA = 1 0

2 3 !

y el vector columna

x= 2

1 !

, calcularAx=b:

1. como combinación lineal de las columnas deA.

2. como productos punto de las filas deA.

1. La combinación lineal de columnas deAresulta

Ax= 1 0

2 3 !

2 1

!

=2 1 2 !

+1 0 3 !

= 2

7 !

=b

2. Los productos punto con las filas deAresultan

Ax= 1 0

2 3 !

2 1 !

= (1 0)·(2, 1) (2 3)·(2, 1)

!

= 2

7 !

=b

Repaso de ideas clave

1. Una matrizAdemfilas yncolumnas tienemncoeficientes (se

dice queARm×n)

2. Las operaciones básicas son

A+B=

 

a11+b11 a12+b12 a13+b13

a21+b21 a22+b22 a23+b23

a31+b31 a32+b32 a33+b33 

 

cA=

 

ca11 ca12 ca13

ca21 ca22 ca23

ca31 ca32 ca33 

 

3. Ax=bes una combinación lineal de las columnas deA.

(5)

Operaciones con matrices

Producto de matrices

¿Cómo pueden multiplicarse dos matrices?

Definición3(la matrizAmultiplicando a la matrizB).

a11 a12

a21 a22 !

b11 b12

b21 b22 !

= a11b11+a12b21 a11b12+a12b22

a21b11+a22b21 a21b12+a22b22 !

Definición4(utilizando el producto punto).

(ab)ij= (filaideA)·(columnajdeB)

Multiplicación deAR3×2con

BR2×3

AB=  

a11 a12 a21 a22 a31 a32  

b11 b12 b13 b21 b22 b23

=  

a11b11+a12b21 a11b12+a12b22 a11b13+a12b23 a21b11+a22b21 a21b12+a22b22 a21b13+a22b23 a31b11+a32b21 a31b12+a32b22 a31b13+a32b23  

=  

c11 c12 c13 c21 c22 c23 c31 c32 c33  

=C

dondeCR3×3.

Multiplicación deBR2×3con

AR3×2

BA=

b11 b12 b13 b21 b22 b23

 

a11 a12 a21 a22 a31 a32  

=

a11b11+a21b12+a31b13 a12b11+a22b12+a32b13 a11b21+a21b22+a31b23 a12b21+a22b22+a32b23

=

d11 d12 d21 d22

=D

dondeDR2×2.

Condición necesaria para multiplicar dos matrices

Dadas matricesAdem×nyBde p×q, pueden multiplicarse comoABsolamentesin=p.

O sea, solamente si el número de columnas deAes igual al número de filas deB.

¡Sin6= p nopuede calcularse el producto!

Ejemplo3. Matrices cuadradas pueden multiplicarsesolamentesi

tienen el mismo tamaño

1 1 2 −1

! 2 2 3 4

!

= 5 6

1 0 !

El primer producto punto es (1)(2)+(1)(3)=5, los otros tres

pro-ductos punto dan6,1y0.

SiAyBson den×n, tambiénABes den×n.

ABcontienen2productos punto, y cada producto punto requie-renmultiplicaciones.

El cómputo deABrequieren3multiplicaciones.

Sin =100 hay que multiplicar1000000de veces. Sin=2, solo8

veces.

Propiedades del producto de matrices

Propiedades del producto de matrices

AB6=BA ley conmutativa no funciona

C(A+B) =CA+CB ley distributiva a izquierda

(A+B)C=AC+BC ley distributiva a derecha

(6)

Ejemplo4. SeaAuna matriz fila de1×3y seaBuna matriz

colum-na de3×1. EntoncesABserá una matriz de1×1, mientras queBA

será una matriz de3×3.

A=1 2 3 B= 

 

0 1 2

 

AB=1 2 3

 

0 1 2

BA=

 

0 1 2

 

1 2 3

=8 =

 

0 0 0 1 2 3 2 4 6

 

Transpuesta de una matriz

Convirtiendo las columnas en filas y viceversa

Definimos una matrizATllamadatranspuestadeA.

Las columnas deAson las filas deAT.

SiAes dem×n, la transpuesta es den×m.

Definición5(traspuesta de una matriz). El coeficiente de la filaiy la columnajdeATcorresponde al de la fila jy la columnaideA

aT

ij=aji

A= 1 2 3

0 0 0 !

AT =

 

1 0 2 0 3 0

 

Transponiendo vectores columna y vectores fila

Un vector columnavsetransponeen uno filavT.

Un vector filawse transpone en uno columnawT.

Transpuesta de un vector

v=

    1 0 2 0

   

vT=1 0 2 0

w=π π2

wT= ππ

(7)

Propiedades de la transposición

Propiedades de la transposición

Suma: la transpuesta deA+BesAT+BT.

Producto: la transpuesta deABes(AB)T =BTAT.

Repaso de ideas clave

1. El(ab)ijdeABes (filaideA)·(columna jdeB).

2. El productoABsolo puede calcularse si el número de columnas

ndeAes igual el número de filaspdeB.

(8)

Trabajo práctico

1. Calcular la sumaA+Bde los siguientes pares de matrices

(cuando esto sea posible).

a) A= 1 0

0 1 !

B= 2 3

0 2 !

b) A=

 

2 4 6 8 10 12 14 16 18

B= 

 

−1 0 3

2 0 −2 6 1 5

 

c) A=

   1 2 3 4 5 6  

B=

2 3 7 11 13 17

!

d) A= 2a −a 0

0 0 2a

!

B= a 0 0

0 a −2a

!

2. Calcular el producto por un escalar, de cada una de las matrices

dadas, por los siguientes números:2,1/3,−1 y0.

A= 3 2

1 0 ! B=   

a 0 0 0 b 0 0 0 c

 

C= 9 12 24

3 1 0 !

D= −1 6

3 −9 !

3. Dadas las siguientes cuatro matrices deR2×2

A= 1 0

0 1 !

B= a 0

0 0 !

C= 0 0

0 d

!

D= 0 b

c d

!

calcular las siguientes operaciones

a) 4A+2(B+C)

b) 12(B+C+D) +A

c) (B+C)−(D+A)

4. Calcular el vectorb=Axque resultará de cada producto.

a) 2 3 5 1

! 4 2

!

b) 3 6 6 12

! 2 −1

!

c) 1 2 4 2 0 1

!    3 1 1   

5. SumarABaACy comparar con el resultado de calcularA(B+C).

A= 1 5

2 3 !

B= 0 2

0 1 !

C= 3 1

(9)

6. CalcularA2yA3. Luego hacer unapredicciónparaA5y paraAn.

a)A= 1 b

0 1 !

b)A= 2 2

0 0 !

7. Verificar que(AB)Tes igual aBTATpero que ambas difieren de

ATBT.

A= 1 0

2 1 !

B= 1 3

0 1 !

AB= 1 3

(10)

Ejemplos con Sage

.

El código Sage en los siguientes recuadros puede ser seleccionado, copiado y pegado en una hoja de trabajo de Sage, para ejecutarlo y así obtener los resultados y los gráficos.

Operaciones con matrices de

R

m×n

Hacer combinaciones lineales de matrices

# crear una matriz AR2×2, con filas (1, 2) y (3, 1) A = matrix([(1,2),(3,1)])

# crear una matriz BR2×2, con filas (1, 0) y (0, 1) B = matrix([(1,0),(0,1)])

# calcular la suma y la resta C = A + B

D = A - B

print C

print D

# calcular la combinación lineal E=2A+0,5B E = 2*A + 1/2*B

print E

.

Puede utilizar estos ejemplos de código Sage como base para compro-bar los resultados de los ejercicios del trabajo práctico.

Producto entre una matriz y un vector

# crear una matriz AR2×2, con filas (1, 0) y (2, 3) A = matrix([(1,0),(2,3)])

# crear un vector x= (2, 1)∈R2 x = vector((2,1))

# calcular el producto b=Ax b = A*x

print b

Producto entre dos matrices

# crear una matriz AR3×2, # con filas (2, 2), (0, 1) y (7, 9) A = matrix([(2,2),(0,1),(7,9)]) # crear una matriz BR2×3, # con filas (1, 2, 3) y (4, 0, 1) B = matrix([(1,2,3),(4,0,1)]) # calcular el producto AB

print A*B

# calcular el producto BA

print B*A

# comprobar que AB6=BA

(11)

Transpuesta de una matriz

# crear una matriz AR3×2 A = matrix([(2,2),(0,1),(7,9)]) # crear una matriz BR2×3 B = matrix([(1,2,3),(4,0,1)])

# calcular la transpuesta del producto (AB)T C = (A*B).transpose()

print C

# calcular el producto BTAT

D = B.transpose()*A.transpose()

print D

# comprobar que (AB)T ==BTAT

Referencias

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